Post on 20-May-2019
FIZYKA I
Wykład I i II
Prof. dr hab. Ewa Popko
WPPT Katedra Technologii Kwantowych
www.if.pwr.wroc.pl/~popko
ewa.popko@pwr.edu.pl
p. 231 A-1
Kurs uzupełniający
Rachunek różniczkowy i całkowy
2 wykłady: 17.10 i 24.10, sala 322 godz. 19
Dr Konrad Wieczorek
Zawartość wykładu
Wy 1 Wielkości fizyczne skalarne i wektorowe. Definicja iloczynu skalarnego i wektorowego. Pochodna wektora. Wektor
prędkości i przyspieszenia. Zasady zachowania pędu, energii i momentu pędu.
2
Wy 2 Ruch harmoniczny prosty jednowymiarowy. Równanie ruchu i jego rozwiązanie. Prędkość, przyspieszenie i energia
kinetyczna, potencjalna i całkowita. Ciało na sprężynie.
2
Wy 3 Prąd stały. Prawo Ohma, prawa Kirchoffa. Prąd przemienny. Prawo Ohma dla prądu przemiennego. Obwód LC 2
Wy 4 Ruch harmoniczny tłumiony. Równanie ruchu i jego rozwiązanie. Logarytmiczny dekrement tłumienia. Energia
całkowita. Obwód RLC. Ruch harmoniczny tłumiony z siłą wymuszającą. Równanie ruchu i jego rozwiązanie.
Rezonans w układzie RLC.
2
Wy 5 Fale mechaniczne i ich rodzaje. Równanie fali i parametry fali. Transport energii przez falę. Interferencja fal, fala
stojąca. Fala dźwiękowa. Natężenie fali. Spektrum fal dźwiękowych i skala decybelowa.
2
Wy 6 Pole skalarne i wektorowe. Gradient, dywergencja, rotacja. 2
Wy 7 Strumień pola elektrycznego. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego. Metale, dielektryki, półprzewodniki. Strumień
pola magnetycznego. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego.
2
Wy 8 Prawo indukcji Faradaya. Prąd przesunięcia i prawo Ampera-Maxwella. Siła Lorentza i efekt Halla. Magnetyczne
własności materii ( dia- i paramagnetyki, ferromagnetyki, pętla histerezy). Nadprzewodniki nisko- i
wysokotemperaturowe.
2
Wy 9 Fale elektromagnetyczne. Spektrum. Równanie fali i równanie falowe. Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni i
w ośrodku o współczynniku załamania n.
2
Wy
10
Oddziaływanie światła z materią. Odbicie, absorpcja i transmisja światła. Zespolony współczynnik załamania.
Prawo Lamberta-Bougera. Gęstość optyczna.
2
Wy
11
Prawa optyki geometrycznej. Całkowite wewnętrzne odbicie. Zjawisko dyspersji. Pryzmat szklany, jako element
dyspersyjny w spektrometrach. Powstawanie tęczy. Załamanie na sferycznej powierzchni. Obrazy tworzone dzięki
odbiciu: zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe.
2
Wy
12
Soczewka cienka skupiająca i rozpraszająca, układ 2 soczewek cienkich. Wady widzenia i ich korekcja. Przyrządy
optyczne: lupa, mikroskop, luneta.
2
Wy
13
Falowa natura światła. Polaryzacja fali elektromagnetycznej. Prawo Malusa Interferencja światła. Eksperyment
Younga. Rozkład natężeń w widmie interferencyjnym od dwu i większej ilości szczelin. Interferencja światła na
cienkich warstwach.
2
Wy
14
Dyfrakcja światła Fresnela i Fraunhofera. Rozkład natężeń w widmie dyfrakcyjnym od pojedynczej szczeliny.
Siatka dyfrakcyjna, jako element dyspersyjny w spektrometrach. Kryterium Rayleigh’a.
2
Wy
15
Prawa promieniowania ciała doskonale czarnego (CDC). Źródła termiczne, jako modele CDC. Korpuskularna
teoria światła. Prawo Plancka. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
2
Podręczniki
• D. Halliday, R.Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2003 — podstawowy podręcznik
akademicki;
• J. Orear, FIZYKA , t. I i II, WNT, Warszawa 2008.
• Skrypty: K. Jezierski i in. FIZYKA wzory i prawa z objaśnieniami, cz. I
i II, Oficyna Wydawnicza PWr.
• Youtube: Ewa Popko – Fizyka I
Nobel z fizyki 2017 Nobel z fizyki trafił do trzech naukowców:
Rainera Weissa, Barry’ego C. Barisha i Kipa S. Thorne’a. To uhonorowanie ich
pracy nad falami grawitacyjnymi, której efektem jest wykrycie tych ostatnich.
Nagrodzeni naukowcy mieli według Królewskiej Akademii Nauk ―decydujący
wkład w detektor LIGO i obserwację fal grawitacyjnych‖. Badacze podzielą się
nagrodą pieniężną. Rainer Weiss otrzyma jej 50 proc., a dwaj pozostali laureaci
podzielą się drugą połową.
Nagroda wynosi osiem milionów koron, czyli ok. 3,5 miliona złotych
Nobel fizyka 2017
Livingstone w stanie Luizjana i Hanford w stanie Waszyngton.
https://www.youtube.com/watch?v=iphcyNWFD10
Fale grawitacyjne po raz pierwszy zaobserwowano 14 września 2015 r
Detekcja - LIGO, czyli Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory.
i j
k
x
y
z
Wektory jednostkowe
(Układ Kartezjański)
Prawoskrętny układ współrzędnych
Długość wektora=moduł=wartość bezwzględna
Jest to liczba zdefiniowana przez iloczyn
skalarny:
2aaaa
A
2a cos0 aA 2A A
Przykład
Iloczyn skalarny w R3
1 2 3[a ,a ,a ]A
1 2 3[b ,b ,b ]B
3
i i
i 1
a b
A B
przykład:
[1,-1,2] ○ [2,3,0] = 1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1
Kąt między wektorami
arccosa b
A BA
B
a
b
Kąt między dwoma wektorami jest
zdefiniowany przez ich iloczyn skalarny
cos abBA
Iloczyn wektorowy. Definicja. Obliczanie metodą
algebraiczną i przy pomocy wyznacznika.
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym
jest wektor 𝒄, którego moduł jest równy:
𝒄 = 𝒂 × 𝒃
𝒄 = 𝒄 = 𝒂𝒃𝒔𝒊𝒏𝝋
𝒃
𝒂
Iloczyn wektorowy
𝒄 = 𝒂 × 𝒃
𝒄
𝒃
𝒂
Wektor 𝒄 jest prostopadły
do płaszczyzny na której
leżą wektory 𝒂 i 𝒃.
Zwrot wektora 𝒄 określa
reguła prawej dłoni (śruby
prawoskrętnej)
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny
a
b
𝒄 = 𝒂 × 𝒃 = −(𝒃 × 𝒂)= −𝒄′
𝒄
a
b
𝒄′
Iloczyn wektorowy wersorów
i j
k
𝐢 × 𝐣 = 1 ∙ 1 ∙ sin 90° 𝐤 = 𝐤
𝐤 × 𝐢 = 𝐣
𝐣 × 𝐤 = 𝐢
𝐣 × 𝐢 = −𝐤
𝐢 × 𝐤 = −𝐣
𝐤 × 𝐣 = −𝐢
𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤 × 𝐤 = 𝟎
𝐢 × 𝐢 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛0° = 0
𝐢 × 𝐣 = 𝐤
Iloczyn wektorowy
1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆa a a b b b a b i j k i j k
𝐤 × 𝐢 = 𝐣
𝐣 × 𝐤 = 𝐢 𝐣 × 𝐢 = −𝐤
𝐢 × 𝐤 = −𝐣
𝐤 × 𝐣 = −𝐢
𝐢 × 𝐣 = 𝐤
1 1 1 2 1 3ˆˆ0 ( )a b a b a b k j
2 1 2 2 2 3ˆˆ( ) 0a b a b a b k i
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b i j k
Można go obliczyć metodą wyznacznika:
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
i j k
a b
2 3 3 2[ ]a b a b a b i
Iloczyn wektorowy
𝐢 𝑎1
𝑏1
3 1 1 3[ ]a b a bj
1 2 2 1[ ]a b a b k
Użyteczne tożsamości:
Twierdzenia
d
d
d
d
d
d BAB
ABA
Różniczkowanie
) ( A B C B C A C A B
𝐀 × 𝐁 × 𝐂 = 𝐀 ∘ 𝐂 𝐁 − 𝐀 ∘ 𝐁 𝐂
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna
wektora
Pochodna funkcji jednej zmiennej
x dx
df
f(x)
Dx
𝒇′ 𝒙 =𝒅𝒇
𝒅𝒙= 𝒍𝒊𝒎
𝜟𝐱→𝟎
𝒇 𝐱 + 𝜟𝒙 − 𝒇 𝒙
𝜟𝒙
Pochodną funkcji jednej zmiennej f𝒙, jest funkcja f ’(𝒙):
Df
Różniczka funkcji
Infinitezymalna zmiana df
wartości funkcji f(x)
spowodowana infinitezymalną
zmianą dx jej argumentu
nazywa się różniczką funkcji.
' df f x dx
x dx
df
f(x)
Użyteczne pochodne
𝒅
𝒅𝒙𝒂𝒇 = 𝒂
𝒅𝒇
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒙𝒎 = 𝒎𝒙𝒎−𝟏
𝒅𝒂
𝒅𝒙=0
𝒅
𝒅𝒙𝒆𝒙 = 𝒆𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒍𝒏𝒙 =
𝟏
𝒙
a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje
Użyteczne pochodne
𝒅
𝒅𝒙𝒖 + 𝒗 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙+
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒖(𝒗) =
𝒅𝒖
𝒅𝒗∙𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 np.
Interpretacja geometryczna pochodnej
x
df
f(x)
dx
a
𝐭𝐠 a =𝒅𝒇
𝒅𝒙
Pochodna jest równa
tangensowi
kąta nachylenia
a stycznej do
wykresu funkcji w
danym punkcie.
Gdy argumentem funkcji jest czas…
𝒅𝒇
𝒅𝒕= 𝒍𝒊𝒎
𝜟𝒕→𝟎
𝒇 𝒕 + 𝜟𝒕 − 𝒇 𝒕
𝜟𝒕
Np. pochodna f’(t) po czasie
Pochodna wektora
f (t)
f (t+Dt) Df
Df
Dt
Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f𝑡, jest
funkcja f ’(t):
𝒇′(𝒕) ≡ lim∆𝒕→𝟎
𝒇 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒇(𝒕)
∆𝒕
Pochodna wektora cd.
D
D
D t
tttlim
dt
d
0t
AAA
D
DD
D t
,...tA,tA,...ttA,ttAlim 2121
0t
D
D
D
D
D,...
t
tAttA,
t
tAttAlim 2211
0t
1 2, ,...dA dA
dt dt
Pochodna wektora
dt
dA
,..., 21
dt
dA
dt
dA
Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.
Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor
prędkości.
Punkt materialny
Punkt materialny to obiekt o masie różnej od zera i zerowych rozmiarach.
W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty
traktujemy jak punkty materialne.
Dla ruchu translacyjnego można założyć, że
obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
Wektor położenia
- Wektor związany z konfiguracją Wszechświata
Element zorientowany, który
ma początek w początku
układu odniesienia a koniec w
punkcie o współrzędnej
odpowiadającej położeniu
punktu materialnego.
r
O
r
r r = [x,y,z]
x
y
z
z
x
y
Wektor przemieszczenia
Dr = r(t2) – r(t1)
x
y
z
r(t) r(t1)
Dr
Położenie cząstki może
zmieniać się w czasie.
Różnica wektorów
położenia w dwóch różnych
chwilach czasu t1 i t2
nazywa się wektorem
przemieszczenia:
r(t2)
Wektor prędkości
x
y
z
r(t)
Szybkość zmian wektora
położenia cząstki nazywa
się wektorem prędkości tej
cząstki.
dt
d
tt
t
rrv
D
D
Dlim
0
dr
r(t+dt)
v
Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica
szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym
do zera.
Prędkość chwilowa
y
x
∆𝑟1
B
A1
A2 A3
A4
Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru
Wektor prędkości chwilowej
Wektor prędkości chwilowej jest
styczny do toru w punkcie,
w którym cząstka znajduje się w
danej chwili
Vp
Vk
Prędkość chwilowa
Przykład:
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕
𝒗𝒙 = −𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒗𝒚 = +𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕
𝒗 𝒕 = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
Szybkość i przyspieszenie
Szybkość
Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością
v v
Szybkość jest równa
pochodnej drogi po czasie
v tddt
ddt
d d
dt dt
ddt
( )
r r r r
l
dr
Można pokazać, że droga
jest równa całce z prędkości chwilowej po
czasie.
2
1
t
t
v(t)dtl
Szybkość
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
𝒗 = 𝝎𝟐𝑹𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 + 𝝎𝟐𝑹𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝑹
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
Średnia szybkość
Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do
czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła
vsr =Δl
Δt
2
1
t
t
sr
2 1
vdtΔl
vΔt t t
Można pokazać, że
Przykład cd
Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi
(punkt wykonał jeden pełny obrót):
vsr =𝒍
𝑻=
2𝝅𝑹
T
Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T:
( ) (0)0!
T
t T
D
Dsr
r r rv
R
v
l t
x
dv
-v(t)
v(t+dt)
Wektor przyśpieszenia
x
y
z
v(t)
Szybkość zmian wektora
prędkości cząstki nazywa się
wektorem przyśpieszenia.
2
2
0lim dtdtt
tt
rdvdva
D
D
D
v(t+dt)
a(t)
Przyśpieszenie chwilowe jest
zdefiniowane jako granica szybkości
zmian wektora prędkości przy Dt
dążącym do zera.
Przyśpieszenie - przykłady
𝒗𝟏
𝒗𝟐
∆𝒗
𝒂
𝒗𝟏
𝒗𝟐
∆𝒗
𝒂
∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏
Przyśpieszenie - przykłady
𝒗𝟏
𝒗𝟐
∆𝒗
𝒂
Średnie przyśpieszenie
2
1
2 1
t
t
sr
t dt
t t
a
a
12
12
tt
tt
vv
srt
D
D
va
Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu,
w którym zaszła ta zmiana nazywa się
średnim przyśpieszeniem.
t1
t2 Dv
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że
𝐚𝑠𝑟
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)
𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)
𝒂 𝒕 = −𝝎𝟐𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, −𝝎𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎
𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐𝒓(𝒕)
𝒂 = 𝝎𝟒𝑹𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝎𝒕 + 𝝎𝟒𝑹𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝟐𝑹
Prędkość i przyspieszenie jako
pochodne
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝒂𝒕𝟐
𝟐
𝒗𝒙 =𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒗𝟎 +
𝟐𝒂𝒕
𝟐= 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕
𝒂𝒙 =𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕= 𝒂
t
a
0
a(t) t
V(0)
0
V(t)
t
x(0)
0
x(t)
Użyteczne równania
Przekształcając i
otrzymujemy:
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝒂𝒕𝟐
𝟐
𝒙 = 𝒙𝟎 +𝟏
𝟐(𝒗𝟎 + 𝒗)𝒕
𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)