FIZYKA I

Wykład I i II

Prof. dr hab. Ewa Popko

WPPT Katedra Technologii Kwantowych

www.if.pwr.wroc.pl/~popko

ewa.popko@pwr.edu.pl

p. 231 A-1

Kurs uzupełniający

Rachunek różniczkowy i całkowy

2 wykłady: 17.10 i 24.10, sala 322 godz. 19

Dr Konrad Wieczorek

Zawartość wykładu

Wy 1 Wielkości fizyczne skalarne i wektorowe. Definicja iloczynu skalarnego i wektorowego. Pochodna wektora. Wektor

prędkości i przyspieszenia. Zasady zachowania pędu, energii i momentu pędu.

2

Wy 2 Ruch harmoniczny prosty jednowymiarowy. Równanie ruchu i jego rozwiązanie. Prędkość, przyspieszenie i energia

kinetyczna, potencjalna i całkowita. Ciało na sprężynie.

2

Wy 3 Prąd stały. Prawo Ohma, prawa Kirchoffa. Prąd przemienny. Prawo Ohma dla prądu przemiennego. Obwód LC 2

Wy 4 Ruch harmoniczny tłumiony. Równanie ruchu i jego rozwiązanie. Logarytmiczny dekrement tłumienia. Energia

całkowita. Obwód RLC. Ruch harmoniczny tłumiony z siłą wymuszającą. Równanie ruchu i jego rozwiązanie.

Rezonans w układzie RLC.

2

Wy 5 Fale mechaniczne i ich rodzaje. Równanie fali i parametry fali. Transport energii przez falę. Interferencja fal, fala

stojąca. Fala dźwiękowa. Natężenie fali. Spektrum fal dźwiękowych i skala decybelowa.

2

Wy 6 Pole skalarne i wektorowe. Gradient, dywergencja, rotacja. 2

Wy 7 Strumień pola elektrycznego. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego. Metale, dielektryki, półprzewodniki. Strumień

pola magnetycznego. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

2

Wy 8 Prawo indukcji Faradaya. Prąd przesunięcia i prawo Ampera-Maxwella. Siła Lorentza i efekt Halla. Magnetyczne

własności materii ( dia- i paramagnetyki, ferromagnetyki, pętla histerezy). Nadprzewodniki nisko- i

wysokotemperaturowe.

2

Wy 9 Fale elektromagnetyczne. Spektrum. Równanie fali i równanie falowe. Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni i

w ośrodku o współczynniku załamania n.

2

Wy

10

Oddziaływanie światła z materią. Odbicie, absorpcja i transmisja światła. Zespolony współczynnik załamania.

Prawo Lamberta-Bougera. Gęstość optyczna.

2

Wy

11

Prawa optyki geometrycznej. Całkowite wewnętrzne odbicie. Zjawisko dyspersji. Pryzmat szklany, jako element

dyspersyjny w spektrometrach. Powstawanie tęczy. Załamanie na sferycznej powierzchni. Obrazy tworzone dzięki

odbiciu: zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe.

2

Wy

12

Soczewka cienka skupiająca i rozpraszająca, układ 2 soczewek cienkich. Wady widzenia i ich korekcja. Przyrządy

optyczne: lupa, mikroskop, luneta.

2

Wy

13

Falowa natura światła. Polaryzacja fali elektromagnetycznej. Prawo Malusa Interferencja światła. Eksperyment

Younga. Rozkład natężeń w widmie interferencyjnym od dwu i większej ilości szczelin. Interferencja światła na

cienkich warstwach.

2

Wy

14

Dyfrakcja światła Fresnela i Fraunhofera. Rozkład natężeń w widmie dyfrakcyjnym od pojedynczej szczeliny.

Siatka dyfrakcyjna, jako element dyspersyjny w spektrometrach. Kryterium Rayleigh’a.

2

Wy

15

Prawa promieniowania ciała doskonale czarnego (CDC). Źródła termiczne, jako modele CDC. Korpuskularna

teoria światła. Prawo Plancka. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

2

Podręczniki

• D. Halliday, R.Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, Wydawnictwo

Naukowe PWN, Warszawa 2003 — podstawowy podręcznik

akademicki;

• J. Orear, FIZYKA , t. I i II, WNT, Warszawa 2008.

• Skrypty: K. Jezierski i in. FIZYKA wzory i prawa z objaśnieniami, cz. I

i II, Oficyna Wydawnicza PWr.

• Youtube: Ewa Popko – Fizyka I

Nobel z fizyki 2017 Nobel z fizyki trafił do trzech naukowców:

Rainera Weissa, Barry’ego C. Barisha i Kipa S. Thorne’a. To uhonorowanie ich

pracy nad falami grawitacyjnymi, której efektem jest wykrycie tych ostatnich.

Nagrodzeni naukowcy mieli według Królewskiej Akademii Nauk ―decydujący

wkład w detektor LIGO i obserwację fal grawitacyjnych‖. Badacze podzielą się

nagrodą pieniężną. Rainer Weiss otrzyma jej 50 proc., a dwaj pozostali laureaci

podzielą się drugą połową.

Nagroda wynosi osiem milionów koron, czyli ok. 3,5 miliona złotych

Nobel fizyka 2017

Livingstone w stanie Luizjana i Hanford w stanie Waszyngton.

https://www.youtube.com/watch?v=iphcyNWFD10

Fale grawitacyjne po raz pierwszy zaobserwowano 14 września 2015 r

Detekcja - LIGO, czyli Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory.

i j

k

x

y

z

Wektory jednostkowe

(Układ Kartezjański)

Prawoskrętny układ współrzędnych

Długość wektora=moduł=wartość bezwzględna

Jest to liczba zdefiniowana przez iloczyn

skalarny:

2aaaa

A

2a cos0 aA 2A A

Przykład

Iloczyn skalarny w R3

1 2 3[a ,a ,a ]A

1 2 3[b ,b ,b ]B

3

i i

i 1

a b

A B

przykład:

[1,-1,2] ○ [2,3,0] = 1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1

Kąt między wektorami

arccosa b

A BA

B

a

b

Kąt między dwoma wektorami jest

zdefiniowany przez ich iloczyn skalarny

cos abBA

Iloczyn wektorowy. Definicja. Obliczanie metodą

algebraiczną i przy pomocy wyznacznika.

Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym

jest wektor 𝒄, którego moduł jest równy:

𝒄 = 𝒂 × 𝒃

𝒄 = 𝒄 = 𝒂𝒃𝒔𝒊𝒏𝝋

𝒃

𝒂

Iloczyn wektorowy

𝒄 = 𝒂 × 𝒃

𝒄

𝒃

𝒂

Wektor 𝒄 jest prostopadły

do płaszczyzny na której

leżą wektory 𝒂 i 𝒃.

Zwrot wektora 𝒄 określa

reguła prawej dłoni (śruby

prawoskrętnej)

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny

a

b

𝒄 = 𝒂 × 𝒃 = −(𝒃 × 𝒂)= −𝒄′

𝒄

a

b

𝒄′

Iloczyn wektorowy wersorów

i j

k

𝐢 × 𝐣 = 1 ∙ 1 ∙ sin 90° 𝐤 = 𝐤

𝐤 × 𝐢 = 𝐣

𝐣 × 𝐤 = 𝐢

𝐣 × 𝐢 = −𝐤

𝐢 × 𝐤 = −𝐣

𝐤 × 𝐣 = −𝐢

𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤 × 𝐤 = 𝟎

𝐢 × 𝐢 = 1 ∙ 1 ∙ 𝑠𝑖𝑛0° = 0

𝐢 × 𝐣 = 𝐤

Iloczyn wektorowy

1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆa a a b b b a b i j k i j k

𝐤 × 𝐢 = 𝐣

𝐣 × 𝐤 = 𝐢 𝐣 × 𝐢 = −𝐤

𝐢 × 𝐤 = −𝐣

𝐤 × 𝐣 = −𝐢

𝐢 × 𝐣 = 𝐤

1 1 1 2 1 3ˆˆ0 ( )a b a b a b k j

2 1 2 2 2 3ˆˆ( ) 0a b a b a b k i

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b i j k

Można go obliczyć metodą wyznacznika:

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

i j k

a b

2 3 3 2[ ]a b a b a b i

Iloczyn wektorowy

𝐢 𝑎1

𝑏1

3 1 1 3[ ]a b a bj

1 2 2 1[ ]a b a b k

Użyteczne tożsamości:

Twierdzenia

d

d

d

d

d

d BAB

ABA

Różniczkowanie

) ( A B C B C A C A B

𝐀 × 𝐁 × 𝐂 = 𝐀 ∘ 𝐂 𝐁 − 𝐀 ∘ 𝐁 𝐂

Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna

wektora

Pochodna funkcji jednej zmiennej

x dx

df

f(x)

Dx

𝒇′ 𝒙 =𝒅𝒇

𝒅𝒙= 𝒍𝒊𝒎

𝜟𝐱→𝟎

𝒇 𝐱 + 𝜟𝒙 − 𝒇 𝒙

𝜟𝒙

Pochodną funkcji jednej zmiennej f𝒙, jest funkcja f ’(𝒙):

Df

Różniczka funkcji

Infinitezymalna zmiana df

wartości funkcji f(x)

spowodowana infinitezymalną

zmianą dx jej argumentu

nazywa się różniczką funkcji.

' df f x dx

x dx

df

f(x)

Użyteczne pochodne

𝒅

𝒅𝒙𝒂𝒇 = 𝒂

𝒅𝒇

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒙𝒎 = 𝒎𝒙𝒎−𝟏

𝒅𝒂

𝒅𝒙=0

𝒅

𝒅𝒙𝒆𝒙 = 𝒆𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒍𝒏𝒙 =

𝟏

𝒙

a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje

Użyteczne pochodne

𝒅

𝒅𝒙𝒖 + 𝒗 =

𝒅𝒖

𝒅𝒙+

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖

𝒅𝒗

𝒅𝒙+ 𝒗

𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 = −𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒖(𝒗) =

𝒅𝒖

𝒅𝒗∙𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 np.

Interpretacja geometryczna pochodnej

x

df

f(x)

dx

a

𝐭𝐠 a =𝒅𝒇

𝒅𝒙

Pochodna jest równa

tangensowi

kąta nachylenia

a stycznej do

wykresu funkcji w

danym punkcie.

Gdy argumentem funkcji jest czas…

𝒅𝒇

𝒅𝒕= 𝒍𝒊𝒎

𝜟𝒕→𝟎

𝒇 𝒕 + 𝜟𝒕 − 𝒇 𝒕

𝜟𝒕

Np. pochodna f’(t) po czasie

Pochodna wektora

f (t)

f (t+Dt) Df

Df

Dt

Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f𝑡, jest

funkcja f ’(t):

𝒇′(𝒕) ≡ lim∆𝒕→𝟎

𝒇 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒇(𝒕)

∆𝒕

Pochodna wektora cd.

D

D

D t

tttlim

dt

d

0t

AAA

D

DD

D t

,...tA,tA,...ttA,ttAlim 2121

0t

D

D

D

D

D,...

t

tAttA,

t

tAttAlim 2211

0t

1 2, ,...dA dA

dt dt

Pochodna wektora

dt

dA

,..., 21

dt

dA

dt

dA

Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.

Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor

prędkości.

Punkt materialny

Punkt materialny to obiekt o masie różnej od zera i zerowych rozmiarach.

W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty

traktujemy jak punkty materialne.

Dla ruchu translacyjnego można założyć, że

obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu

umieszczonej w centrum jego masy.

Wektor położenia

- Wektor związany z konfiguracją Wszechświata

Element zorientowany, który

ma początek w początku

układu odniesienia a koniec w

punkcie o współrzędnej

odpowiadającej położeniu

punktu materialnego.

r

O

r

r r = [x,y,z]

x

y

z

z

x

y

Wektor przemieszczenia

Dr = r(t2) – r(t1)

x

y

z

r(t) r(t1)

Dr

Położenie cząstki może

zmieniać się w czasie.

Różnica wektorów

położenia w dwóch różnych

chwilach czasu t1 i t2

nazywa się wektorem

przemieszczenia:

r(t2)

Wektor prędkości

x

y

z

r(t)

Szybkość zmian wektora

położenia cząstki nazywa

się wektorem prędkości tej

cząstki.

dt

d

tt

t

rrv

D

D

Dlim

0

dr

r(t+dt)

v

Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica

szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym

do zera.

Prędkość chwilowa

y

x

∆𝑟1

B

A1

A2 A3

A4

Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru

Wektor prędkości chwilowej

Wektor prędkości chwilowej jest

styczny do toru w punkcie,

w którym cząstka znajduje się w

danej chwili

Vp

Vk

Prędkość chwilowa

Przykład:

𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

𝒙 = 𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

𝒗𝒙 = −𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 𝒗𝒚 = +𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕

𝒗 𝒕 = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

Szybkość i przyspieszenie

Szybkość

Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością

v v

Szybkość jest równa

pochodnej drogi po czasie

v tddt

ddt

d d

dt dt

ddt

( )

r r r r

l

dr

Można pokazać, że droga

jest równa całce z prędkości chwilowej po

czasie.

2

1

t

t

v(t)dtl

Szybkość

Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy

𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

𝒗 = 𝝎𝟐𝑹𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 + 𝝎𝟐𝑹𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝑹

𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

Średnia szybkość

Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do

czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła

vsr =Δl

Δt

2

1

t

t

sr

2 1

vdtΔl

vΔt t t

Można pokazać, że

Przykład cd

Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi

(punkt wykonał jeden pełny obrót):

vsr =𝒍

𝑻=

2𝝅𝑹

T

Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T:

( ) (0)0!

T

t T

D

Dsr

r r rv

R

v

l t

x

dv

-v(t)

v(t+dt)

Wektor przyśpieszenia

x

y

z

v(t)

Szybkość zmian wektora

prędkości cząstki nazywa się

wektorem przyśpieszenia.

2

2

0lim dtdtt

tt

rdvdva

D

D

D

v(t+dt)

a(t)

Przyśpieszenie chwilowe jest

zdefiniowane jako granica szybkości

zmian wektora prędkości przy Dt

dążącym do zera.

Przyśpieszenie - przykłady

𝒗𝟏

𝒗𝟐

∆𝒗

𝒂

𝒗𝟏

𝒗𝟐

∆𝒗

𝒂

∆𝒗 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝟏

Przyśpieszenie - przykłady

𝒗𝟏

𝒗𝟐

∆𝒗

𝒂

Średnie przyśpieszenie

2

1

2 1

t

t

sr

t dt

t t

a

a

12

12

tt

tt

vv

srt

D

D

va

Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu,

w którym zaszła ta zmiana nazywa się

średnim przyśpieszeniem.

t1

t2 Dv

Na kolejnym wykładzie pokażemy, że

𝐚𝑠𝑟

Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy

𝒓(𝒕) = (𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎)

𝒗(𝒕) = (−𝝎𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝝎𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, 𝟎)

𝒂 𝒕 = −𝝎𝟐𝑹𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕, −𝝎𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕, 𝟎

𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐𝒓(𝒕)

𝒂 = 𝝎𝟒𝑹𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝎𝒕 + 𝝎𝟒𝑹𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 + 𝟎 = 𝝎𝟐𝑹

Prędkość i przyspieszenie jako

pochodne

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝒂𝒕𝟐

𝟐

𝒗𝒙 =𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝒗𝟎 +

𝟐𝒂𝒕

𝟐= 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕

𝒂𝒙 =𝒅𝒗𝒙

𝒅𝒕= 𝒂

t

a

0

a(t) t

V(0)

0

V(t)

t

x(0)

0

x(t)

Użyteczne równania

Przekształcając i

otrzymujemy:

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎𝒕 +𝒂𝒕𝟐

𝟐

𝒙 = 𝒙𝟎 +𝟏

𝟐(𝒗𝟎 + 𝒗)𝒕

𝒗𝟐 = 𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)