ELECTRODINAMICA CLASICAFIM 8650 (2)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

2do. Semestre 2014

MOMENTOS MULTIPOLARES

Supongamos que tenemos una distribucion de carga circunscrita aun volumen finito V , descrita por una densidad de carga ρ(~r ′).Entonces el potencial en un punto fuera de V esta dado por:

φ(~r) =1

4πεo

∫V

ρ(~r ′)|~r −~r ′|

=1

4πεo

∫Vρ(~r ′)d3r ′

∞∑`=0

∑m=−`

4π2`+ 1

r ′`

r `+1 Y ∗`m(θ′, ϕ′)Y`m(θ, ϕ)

=1

4πεo

∞∑`=0

∑m=−`

4π2`+ 1

q`mY`m(θ, ϕ)

r `+1

donde: q`m =

∫V

Y ∗`m(θ′, ϕ′)r ′`ρ(~r ′)d3r ′ son los momentos

multipolares.

Los primeros momentos tienen la forma:

q00 =1√4π

∫Vρ(~r ′)d3r ′ =

1√4π

q

q11 = −√

38π

∫Vρ(~r ′)(x ′ − iy ′)d3r ′ = −

√3

8π(px − ipy )

q10 = −√

384π

∫Vρ(~r ′)z ′d3r ′ = −

√3

4πpz

q22 =14

√152π

∫Vρ(~r ′)(x ′ − iy ′)2d3r ′ =

112

√152π

(Q11 − 2iQ12 −Q22)

q21 = −√

158π

∫Vρ(~r ′)z ′(x ′ − iy ′)d3r ′ = −1

3

√158π

(Q13 − iQ23)

q20 =12

√5

4π

∫Vρ(~r ′)(3z ′2 − r ′2)d3r ′ =

12

√5

4πQ33

Ası podemos escribir φ en termino de los primeros momentos:

4πεoφ(~r) =qr

+~p ·~rr3 +

12

∑i,j

Qijxixj

r5 + · · ·

donde

q =

∫V ′ρ(~r ′)d3r ′

~p =

∫V ′~r ′ρ(~r ′)d3r ′

Qij =

∫V ′

(3x ′i x

′j − r ′2δij

)ρ(~r ′)d3r ′

Las componentes del campo electrico son:

Er =`+ 1

(2`+ 1)εoq`m

Y`m(θ, ϕ)

r `+2

Eθ = − 1(2`+ 1)εo

q`m1

r `+2∂Y`m(θ, ϕ)

∂θ

Eϕ = − 1(2`+ 1)εo

q`m1

r `+2im

sin θY`m(θ, ϕ)

Para el caso de un dipolo ~p a lo largo del eje z:

Er =2p cos θ4πεor3

Eθ =p sin θ4πεor3

Eϕ = 0

Y para un dipolo ~p en el punto ~r ′:

~E(~r) =3n(~p · n)− ~p4πεo|~r −~r ′|3

(1)

Ahora demostraremos que a la ecuacion (1) le falta un termino que es unadelta en el punto en que se encuentra el dipolo.. Para esto consideremos denuevo una distribucion de carga ρ localizada dentro del volumen V .

Tomemos una esfera de radio R la cual puede encerrar la totalidad de lacarga o encontrase completamente fuera de la distribucion de carga.Entonces calculamos:∫

r<R

~E(~r)d3r = −∫

r<R∇φd3r = −

∫r=R

R2dΩφn

= − R2

4πεo

∫V

d3r ′ρ(~r ′)∫

r=RdΩ

n|~r −~r ′|

(2)

Escribimos n = x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ. Entonces al expandir1/|~r −~r ′| en esfericos armonicos solo aparece los terminos con ` = 1:∫

r=RdΩ

n|~r −~r ′|

=r<r 2>

∫dΩn cos γ

con cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′). La ultima integral vale4π~r ′

3r ′

por lo tanto, reemplazando en (2):∫r<R

~E(~r)d3r = − R2

3εo

∫V

d3r ′r<r2>

n′ρ(~r ′)

donde n′ = ~r ′/r ′ y r<> entre R y r ′.Si la esfera encierra completamente la carga r< = r ′ y r> = R,entonces ∫

r<R

~E(~r)d3r = −~p

3εo

Por el contrario si la esfera esta completamente fuera de la carga:∫r<R

~E(~r)d3r = − R3

3εo

∫V

d3r ′n′

r ′2ρ(~r ′) =

4π3

R3~E(0)

Por lo tanto:

~E(~r) =1

4πεo

[3(~p · n)− ~p4πεo|~r −~ro|3

− 4π3~pδ(~r −~ro)

]

ENERGIA DE UNA DISTRIBUCION DE CARGA EN UN CAMPOELECTRICO

Energıa de ρ en un campo externo:

W =

∫Vρ(~r)φ(~r)d3r (3)

Elijamos ~ro = 0 como el orıgen y expandimos φ, suponiendo quealrededor de ~ro varıa lentamente:

φ(~r) = φ(0) +~r · ∇φ(0) +12

∑ij

ri rj∂2φ

∂ri∂rj(0) + · · ·

Reemplazamos ∇φ(0) = −~E(0) y restamos 16 r2∇ · ~E(0) = 0:

φ(~r) = φ(0)−~r · ~E(0)− 16

∑ij

(3ri rj − r2δij )∂Ej

∂ri(0) + · · ·

Reemplazando en (3):

W = qφ(0)− ~p · ~E(0)− 16

∑ij

Qij∂Ej

∂ri(0) + · · ·

Si el campo externo se debe exclusivamente a un dipolo ~p1 ubicadoen ~r1, el valor del campo en ~ro es:

~E(0) =1

4πεo3n(~p1 · n)− ~p1

|~ro −~r1|

Por lo tanto la energıa de interaccion entre un dipolo ~p1 en ~r1 y undipolo ~p en ~ro es:

WDIP = −~p · ~E(0) =1

4πεo

~p · ~p1 − 3(~p · n)(~p1 · n)

|~ro −~r1|

DIELECTRICOS

Polarizacion ~P =d~pd3r

Potencial φ =1

4πεo

∫V

~P(~r ′) · (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d3r =1

4πεo

∫V

−∇′ · ~P(~r ′)|~r −~r ′|

d3r

esto mediante~P(~r ′) · (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

= ~P(~r ′) · ∇′(

1|~r −~r ′|

)= ∇′ ·

(~P(~r ′)|~r −~r ′|

)− ∇

′ · ~P(~r ′)|~r −~r ′|

usando el teorema de la divergencia y considerando que V es unvolumen infinito.

Considerando un volumen finito para el dielectrico Vo, vemos que∇ · ~P tiene una singularidad en su superficie. Esta se puede aislarusando el teorema de la divergencia, para obtener:

φ(~r) =1

4πεo

∮So

σPd2r ′

|~r −~r ′|+

14πεo

∫Vo

ρPd3r ′

|~r −~r ′|

donde σP = ~P · n y ρP = −∇ · ~P

Ley de Gauss

∇ · ~E =1εo

(ρ+ ρP)

Vector desplazamiento

~D = εo~E + ~P → ∇ · ~D = ρ

Campo electrico irrotacional

Sigue siendo valido : ∇× ~E = 0

Medios lineales

~P = χ~E , ~D = ε~E = κεo~E ε = εo + χ κ =ε

εo

~P = (ε− εo)~E

Condiciones de borde entre dos dielectricos

D1n − D2n = 0; E1t − E2t = 0

Esta ultima condicion viene de∮~E · d` = 0, por lo tanto es

equivalente a φ1 = φ2.

Ejercicio 1.-

El espacio esta dividido en dos semi-espacios por un plano infinito.Uno de los semi-espacios tiene esta lleno con un dielectrico depermitividad ε1, dentro del cual se encuentra una carga puntual q a ladistancia a del plano de separacion. El otro semiespacio tienepermitividad ε2. Usando una expansion en polinomios de Legendreencuentre el potencial en todos los puntos del espacio y densidad decarga de polarizacion en el plano de separacion.

Ejercicio 2.-

Encuentre la fuerza de atraccion entre una esfera dielectrica de radioa y constante dielectrica κ y una carga puntual q ubicada a ladistancia c > a de su centro.

Ejercicio 3.-

Una carga puntual q se ubica a la distancia c del centro de unaesfera conductora a tierra de radio a < c, la cual tiene una capadielectrica de constante dielectrica κ y radio exterior b > a y b < c.Encuentre el potencial dentro de la capa y las cargas de polarizacion.

Ejercicio 4.-

Un cilindro conductor infinito de radio ρ = a se llena bajo el planoz = 0 con un dielectrico de constante κ. Hay una carga puntual q enel eje del cilindro. Encuentre el potencial electrostatico dentro delcilindro.

Ejercicio 5.-

Una cascara cilındrica dielectrica muy larga de radio interno a yexterno b se coloca en campo electrico Eo, previamente uniforme.

a) Determine el potencial y el campo electrico en las tres regiones.b) Discuta la forma de la solucion en el lımite de un cilindro solido.

Ejercicio 6.-

Dos esferas concentricas conductoras de radio interno a y externo bcon cargas ±Q. El espacio entre las esferas esta lleno hasta la mitadcon un dielectrico de permitividad ε, como se muestra en la figura.

+Q

−Q

a

b

a) Encuentre el campo electrico en todos los puntos.b) Calcule la carga en la esfera interior.c) Calcule la carga de polarizacion en el interior del dielectrico.d) Calcule la carga de polarizacion en la esfera exterior.

Energıa Electrostatica en Medios Dielectricos

Si en un sistema con densidad de carga ρ(~r) y potencial φ(~r)realizamos un pequeno cambio en la densidad de carga δρ(~r), laenergıa del sistema cambia en:

δW =

∫δρ(~r)φ(~r)d3r (4)

Usando la ley de Gauss para dielectricos podemos escribir:δρ = ∇ · (δ~D)

Reemplazando y utilizando ~E = −∇φ, despues de una integracionpor partes:

δW =

∫~E · δ~Dd3r

y por lo tanto la energıa del sistema se puede escribir formalmentecomo:

W =

∫d3r

∫ D

0

~E · δ~D

Para un medio lineal: ~E · δ~D = 12δ(~E · ~D) y

W =12

∫d3r ~E · ~D

Si reemplazamos ~E y ~D por φ y ρ obtenemos:

W =12

∫ρ(~r)φ(~r)d3r (5)

Ası vemos que esta relacion es valida para dielectricos solo paracomportamiento lineal.

Ahora estudiaremos el cambio en la energıa electrostatica alintroducir un dielectrico lineal en un campo electrostatico con fuentesfijas.

Inicialmente tenemos un campo electrico ~Eo debido a una densidadde carga ρ(~r) en un medio de permitividad εo que puede ser funcionde posicion (Aquı εo NO ES necesariamente la permitividad de vacıo)

Ası la energıa inicial es:

Wo =12

∫~Eo · ~Dod3r donde ~Do = εo~Eo

Ahora introducimos un dielectrico de permitividad ε1 y de volumen V1.La presencia del dielectrico puede ser descrita por una permitividadε(~r), la cual sera considerada como una funcion suave que cambiacontınuamente desde ε1 a εo al pasar del dielectrico al medio inicial.

Wo =12

∫~E · ~Dd3r donde ~D = ε~E

La diferencia de energıa es:

W =12

∫(~E · ~D − ~Eo · ~Do)d3r

=12

∫(~E · ~Do − ~D · ~Eo)d3r +

12

∫d3r(~E + ~Eo) · (~D − ~Do)

Se puede demostrar que la segunda integral es cero. Podemosescribir ~E + ~Eo = −∇φ. Entonces escribimos la segunda integralcomo:

−12

∫d3r∇φ · (~D − ~Do) =

12

∫d3rφ∇ · (~D − ~Do) = 0

debido a que ∇ · (~D − ~Do) = 0, porque la densidad de carga quedainvariante.

Entonces, como fuera de V1, ~D = εo~E , el cambio de energıa quedacomo:

W =12

∫(~E · ~Do − ~D · ~Eo)d3r = −1

2

∫V1

(ε1 − εo)~E · ~Eod3r (6)

Sin embargo ~P = (ε1 − εo)~E , lo que nos da:

W = −12

∫V1

d3r ~P · ~Eo =12

∫V1

d3rw(~r)

en que w(~r) = − 12~P · ~Eo es la densidad de energıa del dielectrico

introducido en el campo electrico.

Ahora consideremos el caso en que los conductores que producen elcampo se encuentran a potencial constante, para lo cual se requiereuna fuente externa, como una baterıa. Consideraremos solamentemedios lineales. Entonces un pequeno cambio en la configuracionproducira cambios tanto en la densidad de carga como en elpotencial dentro de los dielectricos. Usando (5) podemos escribir elcambio de la energıa del sistema como:

δW =12

∫(ρδφ+ φδρ)d3r

Comparacion con (4) muestra que los dos terminos de esta ecuacionson iguales, si las propiedades dielectricas no cambian.

Si al introducir un dielectrico a cargas constantes, las propiedadesdielectricas cambian y como δρ = 0 obviamente los dos terminos dela ecuacion anterior no son son iguales.

El proceso de alteracion de las propiedades dielectricas en lapresencia de electrodos a potencial fijo, puede ser visto como unproceso que ocurre en dos pasos.

Primero desconectamos las baterıas. El cambio de energıa seproduce entonces con cargas constantes.

δW1 =12

∫ρδφ1d3r

Este paso producira entonces el cambio de energıa (6).En el segundo paso se vuelven a conectar las baterıas pararestaurar el potencial en los electrodos. Habra un flujo de cargaδρ2 acompanado por un cambio de potencial δφ2 = −δφ1. Estaparte del proceso se realiza manteniendo las propiedadesdielectricas, luego el cambio de energıa es entonces:

δW2 =12

∫(ρδφ2 + φδρ2)d3r

=

∫ρδφ2d3r = −

∫ρδφ1d3r = −2δW1

Por lo tanto el cambio total de energıa es:

δW = δW1 + δW2 = −δW1 = −12

∫ρδφd3r

y por lo tanto en este caso para un desplazamiento mecanico dξ lafuerza que actua sobre el sistema es:

F = +

(∂W∂ξ

)φ