Ekonometria.

Co wynika z podejścia stochastycznego?

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6x

f(x)

co to jest zmienna losowa?

Repetytorium z rachunku prawdopodobieństwa, czyli

Prawdopodobieństwoliczba z zakresu <0,1> określająca siłę przekonania, że zajdzie niepewne zdarzenie

Zmienna losowa zmienna, która przyjmuje różne wartości wyznaczone przez los funkcja

W rachunku prawdopodobienstwa wartosc opisujaca spodziewany (srednio) wynik doswiadczenia losowego.Wartosc oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykly.Estymatorem wartosci oczekiwanej rozkladu cechy w populacji jest srednia arytmetyczna.

WartoWartoscsc oczekiwana oczekiwana E(E(XX), ), (przeci(przecieetna, tna, ssrednia), nadzieja matematycznarednia), nadzieja matematyczna

ppii - prawdopodobienstwo wystapienia i-tego wyniku

xxii –i-ty wynik

E(X)=E(X)= – wartosc oczekiwana

i

m

ii xpXE

1

)(

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzedu zmiennej losowej

ppii - prawdopodobienstwo wystapienia i-tego wyniku

xxii –i-ty wynik

E(X)=E(X)= – wartosc oczekiwana

DD(X)(X)==– wariancja

i

m

ii pxxXD

2

1

22 )()(

WariancjaWariancja DD22((XX), ), 22, , ss22

miara zmiennomiara zmiennosscici

Populacja

WariancjaWariancja DD22((XX), ), 22, , ss22

miara zmiennomiara zmiennosscici

n

xxs

m

ii

2

12

)(

Próba

1

)( 2

12

n

xxs

m

ii

Odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartosci jakiejs wielkosci (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) sa rozrzucone wokól jej sredniej. Im mniejsza wartosc odchylenia tym obserwacje bardziej skupione wokól sredniej.

1

)(1

2

n

xxs

n

ii

Odchylenie standardoweOdchylenie standardowe D(D(XX), ), , s, smiara zmiennomiara zmiennosscici

2ss

WspWspóóllczynnik korelacji czynnik korelacji , r, r

Współczynnik korelacji liniowej

n

i

n

iii

n

iii

yx

xy

yyn

xxn

yyxxn

ss

yxr

1 1

22

1

)(1

)(1

))((1

),cov(

11 xyr

(lac.) wzajemny zwiazekWzajemne powiazanie, wspólzaleznosc jakichs zjawisk lub obiektówW teorii prawdopodobienstwa i statystyce na ogól rozumie sie jako zaleznosc liniowa zmiennych losowych

Funkcja gestosci

Zmienna losowazmienna, która przyjmuje rózne wartosci wyznaczone przez los funkcja

ciagle i skokowe (dyskretne)

Dystrybuantaprawdopodobienstwo ze zmienna losowa X przyjmie wartosc mniejsza, lub równa x

x

duufxXPxF )()()(

Charakterystyki zmiennej losowej N()

Funkcja gęstości rozkładu normalnego N (0,1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

f(x)

Zakres zmienności x2

2

2

)(

21

)(

x

exfFunkcja gęstości

Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0,1)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-6 -4 -2 0 2 4 6x

F(x

)

Dystrybuanta

x

duufxXPxF )()()(dtexF

tx2

2

2

)(

21

)(

Charakterystyki zmiennej losowej

Rozkłady normalne przy różnych

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

f(x)

Rozkłady normalne przy różnych

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

f(x)

Przedziały prawdopodobieństwa dla rozkładu Normalnego

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

f(x)

KlasycznaMetodaNajmniejszychKwadratów

n - liczba obserwacjik - liczba zmiennych objaśniającychy - wektor obserwacji empirycznych zmiennej objaśnianej (endogenicznej, zależnej)

X - macierz obserwacji zmiennych objaśniających (egzogenicznych, niezależnych)

ny

yy

y...

2

1

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

X

,...,,...

,...,,,...,,

21

22221

11211

EkonometriaEkonometria

- wektor obserwacji teoretycznych (z modelu) b - wektor parametrów modelu

y

Klasyczna Metoda Najmniejszych KwadratówKlasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów

XbyXbXbXby kk ˆ...ˆ 2211

minˆ1

2

n

ttt yySKR

kb

b

b ...1

yXXXb TT 1)(

ttt yye ˆ e- składnik resztowy (reszta)

SKR

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

Prod

uk

cja

y,y

t

Y Yt

Co to jest podejście stochastyczne?

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-6 -4 -2 0 2 4 6x

f(x)

Y - zmienna objaśniana - składnik systematyczny - składnik przypadkowy (losowy)

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

YY= = + +

21)( xyE

Linia regresji populacji generalnej

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

Wszystkie możliwe wyniki obserwacjiModel hipotetyczny

),(XfY

Posiadane wyniki obserwacjiModel ekonometryczny(oszacowanie modelu hipotetycznego)

21XY

21ˆ bXby

21ˆ bXby

?Wnioskowanie z określonym

prawdopodobieństwem

y

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

Estymatory - funkcje zmiennych losowych np.

yXXXb TT 1)(

21XY

Dobre estymatory

Podejście stochastycznePodejście stochastyczne

metody szacowania parametrów

nieobciążonenieobciążone przy dużej liczbie prób średnie ocen b bliskie

zgodnezgodne przy dużej liczbie obserwacji w próbie oceny b bliskie

efektywneefektywne małe średnie kwadratów odchyleń (b- )2

)(bE

1)(lim

n

bP

Założenia modelu standardowego

KMNK

1. Zmienna objaśniająca ( XX ) jest nielosowa

2. Składnik losowy ma rozkład normalny : N(,)

Założenia modelu standardowego

3. Zakłócenia mają tendencję do wzajemnej redukcjiE() = 0

Wykorzystanie reguł

elementarnej statystyki

Wnioskowanie statystyczne w oparciu o rozkład

t-Studenta i F

Uchylenie =>estymatory nie są

nieobciążone4. Składnik losowy jest sferyczny: - brak autokorelacji - homoskedastyczność

Utrata efektywności estymatorów

ji Brak autokorelacji składnika losowego

cov( i, j ) = 0

Założenia modelu standardowego

e E(Y)

AutokorelacjaAutokorelacja

e E(Y)

Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.

Podstawowe przyczyny autokorelacji składnika losowego:- pominięcie sezonowości- błędny dobór postaci funkcji.

Założenia modelu standardowego

AutokorelacjaAutokorelacja

Postępowanie w przypadku autokorelacji

tit

p

iit u

1

p - pewna liczba N

i - współczynniki autokorelacji

ut - proces czysto losowy

E(ut)=0, u2

Proces czysto losowy:proces stacjonarny, w którym- w czasie dyskretnym- wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne

Proces czysto losowy:proces stacjonarny, w którym- w czasie dyskretnym- wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne

Obniżenie efektywności estymatorów KMNK

Problematyczne stosowanie testów istotności t i F

Możliwe większe błędy - szacunki dodatkowych parametrów

e E(Y)

e E(Y)

homoskedastyczny

HomoskedastycznośćHomoskedastyczność Składnik losowy jest o takiej samej wariancji D2() = 2

heteroskedastyczny

IV. Weryfikacja modelu

czyli jak ocenić model?

II. Konstrukcja modelu

II. Konstrukcja modelu

III. Estymacja parametrów

III. Estymacja parametrów

IV. Weryfikacja modelu

IV. Weryfikacja modelu

V. PrognozaV. Prognoza

I. Specyfikacja zmiennych

I. Specyfikacja zmiennych

Etapy budowy modelu ekonometrycznegoEtapy budowy modelu ekonometrycznego

Weryfikacja modelu

Weryfikacja merytoryczna

Weryfikacja statystyczna

Ocena jakości modelu

Badanie istotności

zmiennych

Badanie Rozkładu

reszt

znaki parametrów• skala parametrów• konsekwencje prognostyczne• konsekwencje modelowe

Co oznacza weryfikacja merytoryczna?

Co oznacza badanie istotności zmiennych ?

Zmienna objaśniająca jest istotna jeżeli w zauważalny (wyraźny) sposób wpływa na zmienną objaśnianą

• Wszystkie zmienne objaśniające muszą być istotne• Metoda - wnioskowanie statystyczne w oparciu o statystykę t-Studenta• - poziom istotności (=0,05 =0,10)

V. Prognoza

czyli jak wykorzystać model?

y

y

Przedziały ufności dla linii regresjiPrzedziały ufności dla linii regresji

21ˆ bxby

y

x

11

1

2

2*

nxx

xxsV n

tt

t

Funkcja gęstości rozkładu normalnego N(0,1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

f(x)

SkSkaad sid siee biorbioraa przedziaprzedzia lly ufnoy ufnossci?ci?

2

11)(

kkXP NierNieróównownoscsc CzebyszewaCzebyszewa

];[ **

tknttkntt VtyVtyy

0%

5%

10%

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Statystyka t-Studenta

Od czego zaleOd czego zalezzy szerokoy szeroko scsc przedziaprzedzia llóó w ufnow ufnossci?ci?

];[ **

tknttkntt VtyVtyy

0%

1%

2%

3%

4%

5%

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Statystyka t-Studenta

Od czego zaleOd czego zalezzy szerokoy szerokoscsc przedziaprzedzia llóów ufnow ufnossci?ci?

Q=100 Q=6

Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:Odpowiedzi wynikające z podejścia stochastycznego:

- Jaką metodę najlepiej zastosować przy szacowaniu parametrów modelu? - Jaki błąd może zostać popełniony przy szacowaniu?- Na jaki błąd się narażamy dokonując prognozy?

Wybrane metody taksonomii,

czyli jak dobierać zmienne do modelu?

Next:

A. Aczel Statystyka w zarządzaniu PWN 2000 A.Welfe Ekonometria, PWE’95

Z.Czerwiński Dylematy ekonomiczne, PWE’92

Z. Czerwiński Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo AE Poznań 2002

A. Zeliaś Teoria prognozy PWE’97

J.Gajda Prognozowanie i symulacja a decyzje gospodarcze, Wydawnictwo C.H. Beck 2001

K.Jajuga (red.) Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O.Langego we Wrocławiu’99W.Kordecki Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Definicje twierdzenia wzory. Oficyna Wydawnicza GIS 2001

B.Guzik (red.) Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe. Materiały

dydaktyczne AE Poznań’2000

W.Samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska, PWE’98

W.Sadowski (red.) Elementy ekonometrii i programowania matematycznego. PWN’80

M.Cieślak (red.) Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania. PWN’97

G.Chow Ekonometria, PWN’95

LiteraturaLiteratura