Analiza matematyczna

WYKŁAD 8

Badanie funkcji

III. Funkcje

Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu

• ekstrema funkcji,• twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum,• funkcje wypukłe i wklęsłe,• punkty przegięcia wykresu funkcji,• badanie przebiegu zmienności funkcji.

Ekstrema funkcji

Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne, gdy:

Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, gdy:

Rx 0

0 00 , :x S x f x f x

Rx 0

0 00 , :x S x f x f x

Ekstrema funkcji

Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne właściwe, gdy:

Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne właściwe, gdy:

Rx 0

0 00 , :x S x f x f x

Rx 0

0 00 , :x S x f x f x

Ekstrema funkcji

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.

Ekstrema funkcji

Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.

Ekstrema funkcji

Twierdzenie Fermata

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f ma:- ekstremum lokalne w punkcie x0,

- pochodną f’(x0),

to:

UWAGA:Implikacja odwrotna jest fałszywa

00 xf

Ekstrema funkcji

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero

albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Ekstrema funkcji

I warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-

-

to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

,00 xf

0

0

, : 00 :

, : 0

x S x f x

x S x f x

Ekstrema funkcji

II warunek wystarczający istnienia ekstremum

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-

-

- n jest liczbą parzystą, gdzie

to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

,0... 01

00 xfxfxf n

,00 xf n

,2n

Ekstrema funkcji

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-

-

- n jest liczbą nieparzystą,

to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego.

,0... 01

00 xfxfxf n

,00 xf n

Ekstrema funkcji

Wartość najmniejsza i największa funkcji na zbiorze

Liczba jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze , jeżeli:

Liczba jest wartością największą funkcji f na zbiorze , jeżeli:

fDARm

mxfAxmxfAx :oraz: 00

RM fDA

MxfAxMxfAx :oraz: 00

Ekstrema funkcji

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

2121

21

11

:10

xfxfxxf

bxxa

, ba

, ba

2121

21

11

:10

xfxfxxf

bxxa

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b), gdzie jeżeli:

2121

21

11

:10

xfxfxxf

bxxa

, ba

, ba

2121

21

11

:10

xfxfxxf

bxxa

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.

Funkcje wypukłe i wklęsłe

Warunek wystarczający wypukłości

Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wypukła na (a,b).

Jeżeli dla każdego , to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a,b).

00 xf bax ,

00 xf bax ,

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x0. Ponadto niech funkcja f ma tam pochodną (właściwą lub niewłaściwą).Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f w.t.w., gdy istnieje liczba >0 taka, że funkcja f jest ściśle wypukła na oraz ściśle wklęsła na albo jest odwrotnie.

,0xS

,0xS

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:- (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia,

- istnieje f’’(x0),

to:

UWAGA:Implikacja odwrotna jest fałszywa

00 xf

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punktach, w których ta pochodna

nie istnieje.

Punkty przegięcia wykresu funkcji

I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:- w punkcie x0 ma pochodną właściwą lub niewł.,

-

to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.

Twierdzenie jest też prawdziwe, gdy nierówności dla drugiej pochodnej są odwrotne w sąsiedztwach jednostronnych punktu x0.

0:,

0:,:0

0

0

xfxSx

xfxSx

Punkty przegięcia wykresu funkcji

II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-

-

- n jest liczbą nieparzystą,

to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.

,0... 01

00 xfxfxf n

,00 xf n

Punkty przegięcia wykresu funkcji

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:-

-

- n jest liczbą parzystą,

to (x0,f(x0)) nie jest punktem przegięcia jej wykresu.

,0... 01

00 xfxfxf n

,00 xf n

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.

Badanie funkcji

1. Ustalenie dziedziny funkcji.2. Wskazanie podstawowych własności funkcji (parzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość).3. Obliczenie granic lub wartości funkcji na „krańcach” dziedziny.4. Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.

Badanie funkcji

5. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny pochodnej;b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema;c) ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji;d) ustalenie ekstremów funkcji;e) obliczenie granic lub wartości pochodnej na „krańcach” jej dziedziny.

Badanie funkcji

6. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej;b) wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia;c) ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości;d) wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji;e) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.

Badanie funkcji

7. Sporządzenie tabelki.8. Sporządzenie wykresu funkcji.