ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Maciej Burnecki

opracowaniestrona główna

Rysunki zostały wykonane za pomocą oprogramowania GeoGebra, na które swoimi wykładami zwrócił mojąuwagę p. dr Przemysław Kajetanowicz.

Dziękuję p. dr. Zbigniewowi Skoczylasowi za przejrzenie tekstu i liczne uwagi, dzięki którym redakcja jest owiele lepsza.

Spis treści

I Zadania 2

1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2

2 Geometria analityczna na płaszczyźnie 2

3 Liczby zespolone 3

4 Wielomiany i funkcje wymierne 4

5 Macierze i wyznaczniki 5

6 Układy równań liniowych 7

7 Geometria analityczna w przestrzeni 8

8 Pierwsze kolokwium 9

9 Drugie kolokwium 9

10 Egzamin 10

II Odpowiedzi, wskazówki 11

Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 11

Geometria analityczna na płaszczyźnie 12

Liczby zespolone 14

Wielomiany i funkcje wymierne 18

Macierze i wyznaczniki 19

Układy równań liniowych 20

Geometria analityczna w przestrzeni 21

Pierwsze kolokwium 23

Drugie kolokwium 23

1

Egzamin 24

Część I

Zadania1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna

1. Uprość wyrażenie

(a)a− b

a2 − 2ab+ b2

(ab− 1)

,

(b)b− aa2 − b2

(b

a+ 1)

,

(c)a4 + a3b+ a2b2

a3 − b3

(b2

a2− 1)

,

(d)

(a2 − b2

) (a4 − a3b+ a2b2 − ab3 + b4

)a6 − b6 + ab5 − ba5

.

2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f(x) wyznacz współczynnik przy α, jeśli

(a) f(x) = (x+ sin(x))7 , α = x4 sin3(x),

(b) f(x) = (1− ex)10 , α = e3x,

(c) f(x) =(x4 − 1

x2

)9, α = x24,

(d) f(x) =(

1x

+ 3√x

)99, α =

3√x

x98.

3. Zapisz w prostszej postaci liczbę

(a)n∑k=0

[(n

k

)3k],

(b)n∑k=0

[(n

k

)(−2)k

]

(c)n∑k=0

[nk(k + 1)(k + 2) . . . n

(n− k)!

],

(d)n∑k=0

[(−1)k(n− k + 1)(n− k + 2) . . . n

k! · nn−k

].

4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n:

(a) 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

(b) 13 + 23 + 33 + . . .+ n3 =n2(n+ 1)2

4,

(c) 3n + 1 ­ (n+ 1)2,

(d) liczba 4n − 4 jest podzielna przez 12.

2 Geometria analityczna na płaszczyźnie

1. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy wektorami u, v, jeśli

(a) u =(

1,√

3),v =

(−1,√

3),

(b) u =(−√

3, 1),v =

(−1,√

3),

2

(c) u =(√

2,√

2),v =

(−1,−

√3),

(d) u =(−√

2,−√

2),v =

(√3,−1

).

2. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie 4ABC, jeśli

(a) A = (1, 1), B =(√

3, 2 +√

3), C =

(1 +√

3, 2)

,

(b) A = (2, 1), B = (3, 2) oraz C =(

2−√

3, 1 +√

3)

,

(c) A =(

1, 1− 2√

2), B =

(−1 + 2

√6, 1 + 2

√2 +√

3), C = (0, 1),

(d) A =(

0, 3− 2√

2), B =

(2√

2, 4− 2√

2), C = (−1, 3).

3. Oblicz wysokość h trójkąta 4ABC o podstawie AC, jeśli

(a) A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2),

(b) A = (5,−5), B = (−2, 1) oraz C = (−1, 3).

4. Wyznacz punkt P0 przecięcia oraz kąt ϕ, pod jakim przecinają się proste na płaszczyźnie, określonerównaniami

(a){x =√

3 t,y = −t oraz

{x =√

3,y = −1 + s,

(b){x = 2

√3−√

3 t,y = −5 + t

oraz{x = s,

y = −1−√

3 s.

5. Wyznacz równanie okręgu, przechodzącego przez punkty

(a) A = (4, 6), B = (5, 5) i C = (6, 2),

(b) A = (1, 3 +√

7), B = (0, 3 +√

12) i C = (−1, 3−√

15).

6. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przecho-dząca przez punkty A,B, jeśli

(a) S = (1,−3), A = (−1, 2), B = (2, 4),

(b) S = (−2,−1), A = (1, 2), B = (4, 1).

7. Napisz równania tych stycznych do danego okręgu, które przecinają się z prostą przechodzącą przez punktyA,B, pod kątem ϕ, jeśli

(a) równaniem okręgu jest x2 − 2x+ y2 + 6y + 5 = 0 oraz A = (−2, 2), B = (1,−1), ϕ =π

4,

(b) równaniem okręgu jest x2 + 2x+ y2 − 3 = 0 oraz A =(√

3, 4), B = (0, 1), ϕ =

π

3.

3 Liczby zespolone

1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną

(a) z =1 + i

2− i,

(b) z =2 + 3i4 + 5i

.

2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek

(a) Re(−2iz + 4) ­ 0,

(b) Im(z − i) = Im((2− i)z + i),

(c) Re(z2)

= [Im(iz)]2 − 4,

(d) |iz + 2| = |iz − 2i|,(e) | − 2z| = |4z − 4|.

3

3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną

(a) z =(1 +

√3i)20

(1− i)40,

(b) z =(1 + i)40

(√

3− i)20,

(c) z =(√

3− i)24

(1−√

3i)14(1− i)20,

(d) z =(−√

3 + i)12

(1− i)24,

(e) z =(1− i

√3)700

(−1 + i)1400.

4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek

(a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,(b) Im

(z4)< 0,

(c) 0 ¬ arg(2− iz) ¬ π

2,

(d) Im(z4)> 0.

5. Wyznacz pole P figury

(a) F ={z ∈ C :

(Im(z3)­ 0)∧ (−1 ¬ Im(z) < 0)

},

(b) F ={z ∈ C :

(0 ¬ Im(z) ¬ 1√

3Re(z)

)∧ (|z| ¬ 2)

}.

6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie

(a) z2 − 2z + 4 = 0,

(b) z2 + 8z + 25 = 0,

(c) z2 + 10z + 34 = 0,

(d) z4 = (−1 + 2z)4.

7. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby

(a) z = −1,

(b) z = i,

(c) z = −2 + 2i,

(d) z = 1 + i,

(e) z = −2√

2.

8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby

(a) z = 81,

(b) z = −16,

(c) z = −8 + 8√

3 i.

4 Wielomiany i funkcje wymierne

1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli

(a) P (x) = x5 − x4 + 3x3 + x+ 7, Q(x) = x3 + x+ 1,

(b) P (x) = x4 + 2x3 + x2 + x+ 1, Q(x) = x2 + x+ 3.

2. Rozłóż wielomian W (x) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste, jeśli

(a) W (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x− 4,

4

(b) W (x) = x4 + 2x3 − x− 2.

3. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli

(a) P (x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1, Q(x) = x2 − 1,

(b) P (x) = x5 + x4 − 2, Q(x) = x2 + 4.

4. Rozłóż wielomian zespolony W (z) na czynniki liniowe, jeśli

(a) W (z) = z3 − 2z2 + 4z − 8,

(b) W (z) = z3 + 5z2 + 8z + 6.

5. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x) na sumę rzeczywistych ułamków prostych, jeśli

(a) f(x) =x2 + 3

x3 + 2x2 + 5x+ 4,

(b) f(x) =−x+ 2

x3 + 3x2 + 4x+ 4,

(c) f(x) =3x2 + 5x+ 1

x3 + 3x2 + 3x+ 2,

(d) f(x) =2x3 + 4x2 + 5x+ 5

x4 + 3x3 + 3x2 + 3x+ 2.

6. Rozłóż funkcję wymierną f(x) na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych, jeśli

(a) f(x) =x4 − 5x3 + 5x2 − 19x− 1

x3 − 5x2 + 4x− 20,

(b) f(x) =x5 − x4 − 5x3 −+3x− 2

x3 − x2 − 5x− 3.

5 Macierze i wyznaczniki

1. Rozwiąż równanie macierzowe

(a) 2A− 3(

1 2 00 1 −1

)=(−1 −6 20 −1 3

),

(b)

0 0 11 0 00 1 0

· 1 1

0 11 0

+ 2 ·AT =

1 23 32 −1

,

(c)

1 2 12 1 −11 0 1

·AT =

240

.

2. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru, przez rozwinięcie Laplace’a oraz przez sprowadzeniedo wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik

(a) W =∣∣∣∣ 1 2

3 5

∣∣∣∣,(b) W =

∣∣∣∣ −1 7−2 1

∣∣∣∣,(c) W =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 21 2 4

∣∣∣∣∣∣,(d) W =

∣∣∣∣∣∣8 10 79 7 95 5 5

∣∣∣∣∣∣.3. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy

trójkątnej, oblicz wyznacznik

5

(a) W =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣,

(b) W =

∣∣∣∣∣∣∣∣9 4 4 25 3 2 44 3 1 35 5 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣.4. Wyznacz te wartości parametru a ∈ C, dla których macierz A jest nieosobliwa, jeśli

(a) A =(a a2 a

),

(b) A =

a 1 11 1 a1 a 1

,

(c) A =

a 1 1 11 a 1 11 1 1 a1 1 a 1

.

5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razemz macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy A, jeśli

(a) A =(

1 1−1 4

),

(b) A =

1 1 −11 −1 1−1 1 1

,

(c) A =

1 1 11 2 11 1 2

,

(d) A =

1 2 11 3 11 2 2

.

6. Zbadaj, dla jakich parametrów a ∈ C istnieje macierz odwrotna A−1 do macierzy A, a następnie wyznaczogólny wzór na A−1, jeśli

(a) A =(a+ 1 2a+ 4 a+ 4

),

(b) A =

1 1 11 2 11 1 a

.

7. Wyznacz rząd r(A) macierzy A, jeśli

(a) A =

1 12 23 4

,

(b) A =

i 1−1 i

2i− 1 2 + i

,

(c) A =

1 2 1 42 3 2 5−3 −3 −3 −3

,

(d) A =

5 2i 4 −13 i 2 03 0 1 21 0 0 1

.

6

8. W zależności od parametru a ∈ C, wyznacz rzędy macierzy z zadania 4.

9. Dla macierzy A, wyznacz wartości własne λ ∈ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v ∈ C2,jeśli

(a) A =(

2 14 5

),

(b) A =(

1 32 2

),

(c) A =(

1 −12 −1

),

(d) A =(

7 2−17 −3

).

6 Układy równań liniowych

1. Rozwiąż układ równań

(a){x+ y = 3x− 3y = −5,

(b)

x+ y + z = 0x− y + z = 0x+ y − z = 2,

(c)

x+ y + z − t = 4x+ y − z + t = −4x− y + z + t = 2−x+ y + z + t = −2,

(d)

−x− y + z + t = 4x− y − z + t = 0x− y − z − t = −8,

(e)

x+ y + z = 12x+ y + 2z = 13x+ 2y + 3z = 3.

Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa, ze wzorów Cramera imetodą macierzy odwrotnej.

2. W zależności od parametru a ∈ C, rozwiąż układ równań

(a){

2x+ 3y = 82x− ay = 8,

(b)

(a+ 6)x+ y + 2z = 4x+ (a+ 5)y + 2z = 4x+ 2z = 4.

3. Wyznacz te wartości parametru a ∈ C, dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno roz-wiązanie:

(a){

2x+ 3y = a2

−8x− 12y = −36,

(b)

x+ y + 4z = a4y − 2z = 57x+ y + 10z = 8.

4. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu

(a){x+ 2y = 17x+ ay = a,

(b)

x+ y + az = 1x+ ay + z = aax+ y + z = −a− 1.

7

7 Geometria analityczna w przestrzeni

1. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których

(a) równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a2, 3)i wierzchołku E = (−a− 5, 4,−18) nad A, jest prostopadłościanem,

(b) kąt pomiędzy wektorami u = (a,−16, 4) oraz v = (2a, 1,−4) jest prosty,

(c) wektory u = (1, a2, 1),v = (3, 12, 3) są równoległe.

2. Podaj

(a) równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5),

(b) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym

x = 1 + t+ sy = 2 + t− sz = 1 + t+ s,

(c) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym

x = 1 + t+ sy = −t+ sz = 1− t+ 2s,

(d) równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x+ y + 2z + 1 = 0,

(e) równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym{x+ y + z − 1 = 0x+ 2y + 3z − 2 = 0,

(f) równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym

x = 1 + ty = 2− tz = 4 + t,

(g) równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m :

x = −1 + ty = 1z = 1 + t

oraz l :

x = 3− sy = sz = 5− s;

wyznacz punkt przecięcia tych prostych,

(h) równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m :

x = ty = 1z = 1 + t,

l :

x = −sy = 2 + sz = 1− s,

w punkcie ich przecięcia.

3. Wyznacz odległość d(P, π) punktu P od płaszczyzny π, jeśli

(a) P = (−2, 1, 3), π : x+ 2y + 2z − 3 = 0,

(b) P = (1, 2, 1), π :

x = 1 + t+ sy = 2 + sz = −1− t+ s.

4. Wyznacz odległość d(P, l) punktu P od prostej l, jeśli

(a) P = (2, 3, 4), l :

x = 1 + ty = 2 + tz = 3− t,

.

(b) P =(−5

2,−1

2, 1), l :

{x+ y + z + 5 = 0x− y − z + 2 = 0.

5. Wyznacz rzut prostopadły P ′ punktu P = (2, 2, 1) na

(a) prostą l :

x = 1 + ty = 3 + tz = −1− 2t,

.

(b) prostą l :{x− 2y − 3z + 1 = 0x− y + z = 0,

(c) płaszczyznę π : x+ 2y − 3z + 4 = 0,

(d) płaszczyznę π :

x = 1 + 2t− sy = −11 + t+ sz = t.

8

a następnie odbicia symetryczne P ′′ punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn.

6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy

(a) prostymi l :

x = 1 +

√22 t

y = 2−√22 t

z = t

oraz m :

x = 1 +

√22 −

√22 s

y = 2 +√22 −

√22 s

z = 1− s.

(b) płaszczyznami π1 :

x = 1 + t+ sy = t− sz = t+ s

oraz π2 : y − z − 1 = 0,

(c) prostą l :{x+ y + z + 2 = 0x− y + z + 3 = 0

i płaszczyzną π : x+ y + 5 = 0.

7. Wyznacz pole P

(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkachA = (2, 2, 4), B = (0,−2,−2), C = (2, 1, 2),

(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B =(0,−2,−2),

(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2,−2,−4), B = (0, 2, 2), C = (−2,−1,−2).

8. Wyznacz objętość V

(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1,−2,−2) i D = (−1, 1,−1),

(b) równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (1, 1, 1),v = (1, 1, 2) oraz w = (−1,−1, 3)× (1, 2, 3).

8 Pierwsze kolokwium

Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.

Zestaw A

1. Oblicz wysokość trójkąta 4ABC o podstawie BC, jeśli A = (−2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1).

2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =(−√

3 + i)25

(1− i)50.

3. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f(x) =2x2 + 5

x3 + 4x− 5na sumę rzeczywistych ułamków prostych.

Zestaw B

1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 6), B = (3, 7) oraz

C =(

2−√

3, 6 +√

3)

.

2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =(1− i

√3)50

(−1 + i)100.

3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną

f(x) =3x2 + 6x+ 3

x3 + 3x2 + 3x+ 2.

9 Drugie kolokwium

Zestaw A

1. Wyznacz te wartości parametru p ∈ C, dla których istnieje macierz odwrotna A−1 do macierzy

A =

1 p 4−2 −4 −82p 8 16

, a następnie podaj wzór na A−1.

9

2. W zależności od parametru q ∈ C, rozwiąż układ równań

2q2x+ y + z = 2 + 2qx+ 2y + 2z = 62x+ 2y + z = 7.

3. Niech P = (1, 1, 3) oraz prosta l będzie dana układem równań{x+ y + 2z − 6 = 0x+ z − 2 = 0.

Wyznacz rzut

prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l.

Zestaw B

1. Dla macierzy A =

0 1 11 0 11 1 0

wyznacz rząd r(A), wartości i wektory własne.

2. W zależności od parametru λ ∈ C, określ ilość rozwiązań układu

x+ λ2y + z = 0x+ y + t =

√2 i λ

x+ z + t = 2y + z + t = 2.

3. Wyznacz te wartości parametru p ∈ R, dla których prosta l :

x = 1 + ty = 1− 2ptz = −2 + t

jest prostopadła do płaszczy-

zny π :

x = 1 + u+ sy = u+ 2sz = 1 + u+ 3s.

Ponadto, wyznacz rzut punktu P = (1, 1,−2) na płaszczyznę π oraz odbicie

symetryczne tego punktu względem płaszczyzny π.

10 Egzamin

Zestaw A

1. Równanie z3 = (1 + 2 z)3 rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Rozwiąż równanie macierzowe

1 1 01 1 −11 −1 1

·A =(

1 −1 −11 1 0

)T.

3. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu x+ 2y + z = 12x+ y = 1−x+ a2y + z = 1 + a.

4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =

1 1 −11 1 −11 −1 1

.

5. Wyznacz rzut prostopadły punktu P = (1, 1, 1) na prostą

l :{x+ y + z − 2 = 0x+ z − 1 = 0.

.

Zestaw B

1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z3 = (−1 + 2z)3. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Rozwiąż równanie macierzowe AT ·

1 1 01 1 −11 −1 1

T

=(

1 −1 −11 1 0

).

3. W zależności od parametru a ∈ C, określ ilość rozwiązań układu 6x+ 3y + z = 24x+ y = 1−2x+ a2y + z = 1 + a.

10

4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =

1 1 −11 1 −11 −1 1

.

5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = (1,−1, 1) względem płaszczyzny x+ y + z + 1 = 0.

Zestaw C

1. Równanie z2+(1+i)z+i

2+

14

= 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Oblicz wysokość czworościanuABCD o podstawie4ABC, jeśliA = (1, 2, 1), B = (2, 3, 2), C = (0, 1, 1), D =(2, 4, 1).

3. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań

y + z = 2x+ y = 2x+ z = 4,

z trzema niewiadomymi x, y, z.

4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B =(

1 43 2

).

5. W zależności od parametru a ∈ C, określ rząd macierzy Da =

a 1 −1 1 1a 2 1 1 02 1 a 1 11 0 a 1 02 3 0 2 1

.

Część II

Odpowiedzi, wskazówkiWyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna

1. (a)1b

,

(b) −1a

,

(c) −a− b,(d) 1.

2. (a) a4 =(

73

)= 35,

(b) a3 = −(

103

)= −120,

(c) a2 =(

92

)= 36,

(d) a1 =(

991

)= 99.

3. (a) 4n,

(b) (−1)n,

(c) (1 + n)n,

(d)(

1− nn

)n.

4. Najpierw, przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenieT1. Następnie, z prawdziwości twierdzeń T1, T2, . . . , Tn (może wystarczyć użycie tylko Tn), wywnioskujprawdziwość twierdzenia Tn+1, gdzie n ∈ N+.

11

Geometria analityczna na płaszczyźnie

1. (a) ϕ =π

3,

(b) ϕ =π

6,

(c)1112π,

(d) ϕ =712π.

Aby nie używać funkcji trygonometrycznych kątaπ

12, w dwóch ostatnich przykładach wyniki można

otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów.

2. (a) ϕ =π

2,

(b) ϕ =π

6,

(c) ϕ =23π,

(d) ϕ =π

4.

3. (a) h =√

10,

(b) h = 2.

12

4. (a) P0 =(√

3,−1)

, ϕ =13π,

(b) P0 = (√

3,−4), ϕ =π

6.

5. (a) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 25,

(b) (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 16.

6. (a) (x− 1)2 + (y + 3)2 =192

13,

(b) (x+ 2)2 + (y + 1)2 =122

10.

13

7. (a) y = −1, y = −5, x = −1, x = 3,

(b) y = −2, y = 2, y = −√

3x−√

3 + 4, y = −√

3x−√

3− 4.

Liczby zespolone

1. (a) z =15

+35i,

(b) z =2341

+241i.

2. (a) półpłaszczyzna y ­ −2,

14

(b) prosta y =13x− 2

3,

(c) zbiór będący sumą prostych prostych y = 2, y = −2,

(d) prosta y = x,

15

(e) okrąg o środku w punkcie(

43, 0)

i promieniu23

.

3. (a) z = −12

+

√3

2i,

(b) z = −12−√

32i,

(c) z =12−√

32i,

(d) z = 1,

(e) z = −12

+

√3

2i.

4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, spełniających trzy warunki: Re(z) ­ 0, Im(z) ¬ 1 oraz z 6= i(przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)),

(b) arg(z) ∈(π

4,π

2

)∪(

3π4, π

)∪(

5π4,

3π2

)∪(

7π4, 2π), co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz

czterech kątów.

16

(c) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz ­ −2 ∧ z 6= −2i},

(d) arg(z) ∈(

0,π

4

)∪(π

2,

3π4

)∪(π,

5π4

)∪(

3π2,

7π4

), co na płaszczyźnie jest sumą wnętrz czterech

kątów.

5. (a) P =

√3

3,

17

(b) P =π

3.

6. (a) z ∈{

1 +√

3 i, 1−√

3 i}

,

(b) z ∈ {−4 + 3 i,−4− 3 i},(c) z ∈ {−5 + 3 i,−5− 3 i},

(d) z ∈{

1,25− 1

5i,

13,

25

+15i

}.

7. (a) w0 =12

+

√3

2, w1 = −1, w2 =

12−√

32

,

(b) w0 =

√3

2+

12i, w1 = −

√3

2+

12i, w2 = −i,

(c) w0 = 1 + i, w1 = −12−√

32

+

(−1

2+

√3

2

)i, w2 = −1

2+

√3

2+

(−1

2−√

32

)i,

(d) w0 =1 +√

3

2 3√

2+

√3− 1

2 3√

2i, w1 =

−13√

2+

13√

2i, w2 =

1−√

3

2 3√

2− 1 +

√3

2 3√

2i.

Wskazówka: cosπ

12=

√1 + cos

(2 · π12

)2

=

√2 +√

32

=1 +√

3

2√

2, sin

π

12=

√3− 1

2√

2.

(e) w0 =

√2

2+ i

√6

2, w1 = −

√2, w2 =

√2

2− i√

62

.

8. (a) z = 3 ∨ z = 3i ∨ z = −3 ∨ z = −3i,

(b) z =√

2 +√

2i ∨ z = −√

2 +√

2i ∨ z = −√

2−√

2i ∨ z =√

2−√

2i,

(c) z =√

3 + i ∨ z = −1 +√

3i ∨ z = −√

3− i ∨ z = 1−√

3i.

Wielomiany i funkcje wymierne

1. (a) I(x) = x2 − x+ 2, R(x) = 5,

18

(b) I(x) = x2 + x− 3, R(x) = x+ 10.

2. (a) W (x) = (x+ 2)(x− 2)(x2 + x+ 1

),

(b) W (x) = (x− 1)(x+ 2)(x2 + x+ 1).

3. (a) R(x) = 2x+ 3,

(b) R(x) = 16x+ 14.

4. (a) W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i),

(b) W (z) = (z + 3)(z + 1 + i)(z + 1− i).

5. (a) f(x) =−1

x2 + x+ 4+

1x+ 1

,

(b) f(x) =−x

x2 + x+ 2+

1x+ 2

,

(c) f(x) =2x

x2 + x+ 1+

1x+ 2

,

(d) f(x) =1

x+ 1+

1x+ 2

+1

x2 + 1.

6. (a) f(x) = x+1

x− 5+

1x2 + 4

,

(b) f(x) = x2 +1

(x+ 1)2+

1x− 3

.

Macierze i wyznaczniki

1. (a) A =(

1 0 10 1 0

),

(b) A =(

0 1 11 1 −1

),

(c) A =(

1 1 −1).

2. (a) W = −1,

(b) W = 13,

(c) W = 2,

(d) W = −10.

3. (a) W = 1,

(b) W = −5.

4. (a) a ∈ C \ {0, 2},(b) a ∈ C \ {−2, 1},(c) a ∈ C \ {−3, 1}.

5. (a) A−1 =

(45 − 1515

15

),

(b) A−1 =

12

12 0

12 0 1

2

0 12

12

,

(c) A−1 =

3 −1 −1−1 1 0−1 0 1

,

(d) A−1 =

4 −2 −1−1 1 0−1 0 1

.

19

6. (a) Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ C \ {1,−4}, wtedy A−1 =

( 1a−1 − 2

(a−1)(a+4)−1a−1

a+1(a−1)(a+4)

),

(b) macierz odwrotna istnieje dla a ∈ C \ {1}, wtedy A−1 =

2a−1a−1 −1 −1

a−1

−1 1 0−1a−1 0 1

a−1

.

7. (a) r(A) = 2,

(b) r(A) = 1,

(c) r(A) = 2,

(d) r(A) = 3.

8. (a) r(A) = 2 dla a ∈ C \ {0, 2}, r(A) = 1 dla a ∈ {0, 2},(b) r(B) = 3 dla a ∈ C \ {−2, 1}, r(B) = 2 dla a = −2, r(B) = 1 dla a = 1.

(c) r(C) = 4 dla a ∈ C \ {−3, 1}, r(C) = 3 dla a = −3, r(C) = 1 dla a = 1.

9. (a) wartości własnej λ1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci(

α−α

), gdzie α ∈ C \ {0}, na

przykład v1 =(

1−1

), wartości własnej λ1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci

(α4α

),

gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2 =(

14

),

(b) wartości własnej λ1 = 4 odpowiadają wektory własne postaci(αα

), gdzie α ∈ C\{0}, na przykład

v1 =(

11

), wartości własnej λ1 = −1 odpowiadają wektory własne postaci

(3α−2α

), gdzie

α ∈ C \ {0}, na przykład v2 =(

3−2

),

(c) wartości własnej λ1 = i odpowiadają wektory własne postaci(

α(1− i)α

), gdzie α ∈ C \ {0},

na przykład v1 =(

11− i

), wartości własnej λ2 = −i odpowiadają wektory własne postaci(

α(1 + i)α

), gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2 =

(1

1 + i

),

(d) wartości własnej λ1 = 2+3i odpowiadają wektory własne postaci(

2α(−5 + 3i)α

), gdzie α ∈ C\{0},

na przykład v1 =(

2−5 + 3i

), wartości własnej λ2 = 2 − 3i odpowiadają wektory własne postaci(

2α(−5− 3i)α

), gdzie α ∈ C \ {0}, na przykład v2 =

(2

−5− 3i

).

Układy równań liniowych

1. (a) x = 1, y = 2,

(b) x = 1, y = 0, z = −1,

(c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.

(d) y = 2, t = 4, z = x+ 2, z ∈ C – dowolne,

(e) układ sprzeczny (brak rozwiązań).

2. (a) Dla a ∈ C \ {−3} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4, y = 0, a dla a = −3 nieskończenie

wiele rozwiązań postaci{x = 4− 32yy ∈ C,

(b) dla a ∈ C\{−5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0, z = 2, a dla a = −5 nieskończenie

wiele rozwiązań postaci

x = 4− 2zy = 0z ∈ C.

20

3. (a) a = −3 lub a = 3,

(b) a = 1.

4. (a) Dla a ∈ C\{14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań),

(b) dla a ∈ C\{−2, 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = −2 nieskończenie wiele rozwiązań,a dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

Geometria analityczna w przestrzeni

1. (a) a = −3,

(b) a = 4 lub a = −4,

(c) a = 2 lub a = −2.

2. (a) x− z + 2 = 0,

(b) x− z = 0,

(c) x+ 3y − 2z + 1 = 0,

21

(d)

x = −1 + t+ 2sy = −tz = −s,

(e)

x = 1 + ty = −1− 2tz = 1 + t,

(f){x+ y − 4 = 0y + z − 6 = 0,

(g) punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a płaszczyzna ma równaniex− z + 2 = 0,

(h)

x = 1 + ty = 1z = 2− t.

.

3. (a) d(P, π) = 1,

(b) równaniem ogólnym płaszczyzny jest na przykład x− 2y + z + 4 = 0, a odległość d(P, π) =

√23.

4. (a) d(P, l) =2√

63

,

(b) d(P, l) =√

3.

5. (a) P ′ =(−1

2,

32, 2), P ′′ = (−3, 1, 3),

(b) P ′ =(

43,

53,−1

3

), P ′′ =

(23,

43,−5

3

),

(c) P ′ =(

32, 1,

52

), P ′′ = (1, 0, 4),

(d) P ′ = (1, 1, 4) , P ′′ = (0, 0, 7).

6. (a) ϕ =π

3,

(b) ϕ =π

3,

(c) ϕ =π

6.

7. (a) P = 2√

6,

(b) P = 4√

6,

(c) P =√

6.

8. (a) V = 1,

(b) V = 15.

22

Pierwsze kolokwium

Zestaw A

1. h =22√34.

2. z = −12−√

32i.

3. f(x) =1

x− 1+

x

x2 + x+ 5.

Zestaw B

1.π

6.

2. z =12

+

√3

2i.

3. f(x) =1

x+ 2+

2x+ 1x2 + x+ 1

.

Drugie kolokwium

Zestaw A

1. Macierz A jest odwracalna dla p ∈ C \ {2}, wtedy A−1 =

0 1

p−212p−4

1p−2

12p−4 0

− 12p−4 − p+2

8p−16 − 18p−16

.

2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla q ∈ C \ {−12,

12}, postaci

x = 2

1+2q

y = 1+8q1+2q

z = 1−2q1+2q .

Dla q =12

układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, postaci

x = 1 + t

y = 52 −

32 t

z = t,gdzie t ∈ C.

Dla q = −12

układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

3. Rzutem jest P ′ =(−1

3,

53,

73

), a odległość d(P, l) =

2√

63

.

23

Zestaw B

1. Rząd r(A) = 3, wartościami własnymi są liczby λ1 = −1 oraz λ2 = 2.

Wektory własne dla wartości własnej λ1 = −1 są postaci v =

−t− sts

, gdzie t, s ∈ C, |t|2 + |s|2 6= 0,

a wektory własne dla wartości własnej λ1 = 2 są postaci v =

ttt

, gdzie 0 6= t ∈ C.

2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla λ ∈ C \ {−√

2 i,√

2 i}, nieskończenie wiele rozwiązań dlaλ = −

√2 i oraz jest sprzeczny dla λ =

√2 i.

3. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny dla p = 1.

Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyznę π jest P ′ =(

116,−2

3,−7

6

), a odbiciem symetrycznym

P ′′ =(

83,−7

3,−1

3

).

Egzamin

Zestaw A

1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwa-

dratowe. Rozwiązaniami są liczby z1 = −1, z2 = − 514

+

√3

14i, z3 = − 5

14−√

314i.

2. A =

1 1 01 1 −11 −1 1

−1 · ( 1 −1 −11 1 0

)T(zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie),

A =

0 1

212

1 − 12 − 121 −1 0

· 1 −1−1 1−1 0

=

−1 1

2

2 12

2 0

.

3. Wyznacznik macierzy głównej W = 2a2− 2, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jednorozwiązanie.

Użycie „rozumowania”: jeśli W = Wx = Wy = Wz = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jestnieoznaczony), dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania.

Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = λ(λ− 1)(2− λ).

Wartościami własnymi są λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2, a wektory własne są odpowiednio postaci

v1 =

0αα

,v2 =

ααα

,v3 =

αα0

, gdzie α ∈ C \ {0}.

24

5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład

x = 1− ty = 1z = t,

a jej wektorem kierunkowym u =

(−1, 0, 1).

Płaszczyzna, do której należy punkt P i która jest prostopadła do l, ma równanie x− z = 0.

Poszukiwanym rzutem jest P ′ =(

12, 1,

12

).

Zestaw B

1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwa-

dratowe. Rozwiązaniami są liczby z1 = 1, z2 =514

+

√3

14i, z3 =

514−√

314i.

2. Można, choć niekoniecznie, wykorzystać wzór (X · Y )T = Y T ·XT .

Wtedy A =

1 1 01 1 −11 −1 1

−1 · ( 1 −1 −11 1 0

)T(zła kolejność mnożenia dyswalifikuje rozwiązanie),

A =

0 1

212

1 − 12 − 121 −1 0

· 1 −1−1 1−1 0

=

−1 1

2

2 12

2 0

.

3. Wyznacznik macierzy głównej W = 4a2− 4, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jednorozwiązanie.

Użycie „rozumowania”: jeśli W = Wx = Wy = Wz = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jestnieoznaczony), dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania.

Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = λ(λ− 1)(2− λ).

Wartościami własnymi są λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2, a wektory własne są odpowiednio postaci

v1 =

0αα

,v2 =

ααα

,v3 =

αα0

, gdzie α ∈ C \ {0}.

5. Prosta, do której należy punkt P i która jest prostopadła do danej płaszczyzny, ma na przykład równanie x = 1 + ty = −1 + tz = t.

Rzutem punktu P na daną płaszczyznę jest P ′ =(

13,−5

3,

13

), a poszukiwanym odbiciem

symetrycznym P ′′ =(−1

3,−7

3,−1

3

).

25

Zestaw C

1. ∆ = −1,√

∆ = {−i, i}. Rozwiązaniami są liczby z1 = −12, z2 = −1

2− i.

2. Równaniem płaszczyzny podstawy π jest x− y + 1 = 0. Wysokość h = d(D,π) =

√2

2.

3. Macierz główna A =

0 1 11 1 01 0 1

, jej odwrotność A−1 =

− 12

12

12

12

12 − 12

12 − 12

12

.

Kolumna niewiadomych X = A−1 ·

224

=

202

.

Formułujemy odpowiedź: x = 2, y = 0, z = 2.

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = (λ+ 2)(λ− 5), stąd wartościami własnymi są λ1 = −2, λ1 = 5.

Dla wartości własnej λ1 wektory własne są postaci v1 =(−4α3α

),

dla wartości własnej λ2 wektory własne są postaci v2 =(αα

),

w obu przypadkach α ∈ C \ {0}.

5. Wyznacznik det (Da) = 4a2 − 4, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} rząd r (Da) = 5.

Oddzielnie sprawdzając, r (D−1) = 4, r (D1) = 4.

26