1
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
Przedmiot wykładu 5 Zasada zachowania
Równania bilansu masy w płynie
2
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
Y
X
Z
f (x, y,z)
ZX
XY
ZY
Af
Axf
Bf
Bxf
Ayf
Azf
Byf
Bzf
B AA AA
f f ff f dx dy dz
x y z
Różniczkowy przyrost funkcji f(x,y,z)
Af
Bf
A
B
drdz
dxdy
3
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
Bilans masy w obrębie elementu płynu
Elementarna przestrzeń kontrolna (element płynu)
w krzywoliniowym układzie współrzędnych
X
YZ
dydz
dx
1 2 3dq dq dq dV3{x,y,z}
5
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
yc dxdzdt
X
YZ
dydz
dx
xx
cdx c dx dydzdt
x x
xc dydzdt
yy
cdy c dy dxdzdt
y y
6
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
yc dxdzdt
zz
cdz c dz dxdydt
z z
zc dxdydt
yy
cdy c dy dxdzdt
y y
xx
cdx c dx dydzdt
x x
X
YZ
dydz
dx
xc dydzdt
7
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
( ) ( ) xx x x x
cdm c dydzdt ; dm dx c dx dydzdt
x x
Kierunek {X}
y( ) ( )y y y y
cdm c dxdzdt ; dm dy c dy dxdzdt
y y
Kierunek {Y}
( ) ( ) zz z z z
cdm c dxdydt ; dm dz c dz dxdydt
z z
Kierunek {Z}
Po wykonaniu mnożenia (w nawiasach)
i odejmowania (strumienia wpływającego (+)
i wypływającego (-) z przestrzeni kontrolnej:
8
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
Przyrost (ubytek) masy w objętości kontrolnej (dV) ma swoje źródło
w zmianie gęstości płynu w rozpatrywanej objętości kontrolnej:
stąd:
ostatecznie:
ponieważ:
ostatecznie:
x y zdm dm dm dm dVdtt
yx z( c )( c ) ( c )
dVdt dVdt dVdt dVdt 0x y z t
( ) ( ) 0t t
c c cr r r
yx z( c )( c ) ( c )
0 ; ( ) 0t x y z t
cr
d(c )
t dt
r
d0
dtcr
9
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
q3
q2
q1
nc n cr r
dS
cr
S
( )
Prawo zachowania wielkości skalarnej
S
( ) (S) ( ) (S)
Ud n FdS Q d n Q dSt
rrr r
W przypadku transportu masy nie zachodzi
produkcja w obszarze ( ) i na powierzchni (S)
( )
S
(S)
Q d 0
n Q dS 0rr
oraz: Cn F dS n cdS dmrr r r
&
9
Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu
dc 0
t
r
Bilans masy
( )
dmd
t dt
( ) (S)
d dSt
n cr r
(S) ( )
dS ( ) dn c cr r r
( )
( ) d 0t
cr
Twierdzenie Ostrogradskiego – Gaussa
Skalarny strumień pola (f) przez zamkniętą powierzchnię (S)
równa się całce rozbieżności (f)
rozciągniętej na obszar ( ) i zawartej wewnątrz powierzchni (S):
[ div(f ) f ]
(S) ( )
f dS f d
( ) (c ) ccr r r d
( )t dt
cr
Top Related