1

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

Przedmiot wykładu 5 Zasada zachowania

Równania bilansu masy w płynie

2

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

Y

X

Z

f (x, y,z)

ZX

XY

ZY

Af

Axf

Bf

Bxf

Ayf

Azf

Byf

Bzf

B AA AA

f f ff f dx dy dz

x y z

Różniczkowy przyrost funkcji f(x,y,z)

Af

Bf

A

B

drdz

dxdy

3

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

Bilans masy w obrębie elementu płynu

Elementarna przestrzeń kontrolna (element płynu)

w krzywoliniowym układzie współrzędnych

X

YZ

dydz

dx

1 2 3dq dq dq dV3{x,y,z}

4

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

X

YZ

dydz

dx

xx

dcdx c dx dydzdt

x dx

xc dydzdt

5

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

yc dxdzdt

X

YZ

dydz

dx

xx

cdx c dx dydzdt

x x

xc dydzdt

yy

cdy c dy dxdzdt

y y

6

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

yc dxdzdt

zz

cdz c dz dxdydt

z z

zc dxdydt

yy

cdy c dy dxdzdt

y y

xx

cdx c dx dydzdt

x x

X

YZ

dydz

dx

xc dydzdt

7

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

( ) ( ) xx x x x

cdm c dydzdt ; dm dx c dx dydzdt

x x

Kierunek {X}

y( ) ( )y y y y

cdm c dxdzdt ; dm dy c dy dxdzdt

y y

Kierunek {Y}

( ) ( ) zz z z z

cdm c dxdydt ; dm dz c dz dxdydt

z z

Kierunek {Z}

Po wykonaniu mnożenia (w nawiasach)

i odejmowania (strumienia wpływającego (+)

i wypływającego (-) z przestrzeni kontrolnej:

8

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

Przyrost (ubytek) masy w objętości kontrolnej (dV) ma swoje źródło

w zmianie gęstości płynu w rozpatrywanej objętości kontrolnej:

stąd:

ostatecznie:

ponieważ:

ostatecznie:

x y zdm dm dm dm dVdtt

yx z( c )( c ) ( c )

dVdt dVdt dVdt dVdt 0x y z t

( ) ( ) 0t t

c c cr r r

yx z( c )( c ) ( c )

0 ; ( ) 0t x y z t

cr

d(c )

t dt

r

d0

dtcr

9

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

q3

q2

q1

nc n cr r

dS

cr

S

( )

Prawo zachowania wielkości skalarnej

S

( ) (S) ( ) (S)

Ud n FdS Q d n Q dSt

rrr r

W przypadku transportu masy nie zachodzi

produkcja w obszarze ( ) i na powierzchni (S)

( )

S

(S)

Q d 0

n Q dS 0rr

oraz: Cn F dS n cdS dmrr r r

&

9

Prawo zachowania. Równania bilansu masy płynu

dc 0

t

r

Bilans masy

( )

dmd

t dt

( ) (S)

d dSt

n cr r

(S) ( )

dS ( ) dn c cr r r

( )

( ) d 0t

cr

Twierdzenie Ostrogradskiego – Gaussa

Skalarny strumień pola (f) przez zamkniętą powierzchnię (S)

równa się całce rozbieżności (f)

rozciągniętej na obszar ( ) i zawartej wewnątrz powierzchni (S):

[ div(f ) f ]

(S) ( )

f dS f d

( ) (c ) ccr r r d

( )t dt

cr

Koniec