Języki
Strony
Prawny
1
Bryła sztywna – ciało którego elementy nie mogą się przemieszczać względem siebie
Ruchu bryły sztywnej nie można opisywać tak jak ruchu punktu materialnego ponieważ bryła
sztywna może wykonywać oprócz postępowego ruch obrotowy.
Podczas ruchu obrotowego każdy element bryły sztywnej porusza się z inną prędkością liniową i innym
przyspieszeniem liniowym.
2
rs r
s
długość łuku/długość promienia
Kąt wyrażamy w radianach: 360°=2 radianów
Przmieszczenie kątowe
if
3
4
Średnia prędkość kątowa:
Chwilowa prędkość kątowa:
Średnia przyspieszenie kątowe:
Chwilowe przyspieszenie kątowe:
ttt if
if
ttt if
if
dt
d
tt
0lim
dt
d
tt
0lim
5
Prędkość kątowa jest wektorem. Jej kierunek i zwrot można wyznaczyć stosując regułę prawej dłoni, lub
śruby prawoskrętnej.
6
tif
2
2
1ttiif
atvv if
2
2
1attvxx iif
Ruch obrotowy: Ruch postępowy:
7
dt
dr
dt
rd
dt
dsv
dt
d rv
dt
dr
dt
rd
dt
dvat
dt
d rat Punkty o różnych odległościach od osi obrotu (różnych r) poruszają
się z takimi samymi prędkościami i przyspieszeniami kątowymi, ale z różnymi prędkościami i przyspieszeniami postępowymi.
8
r
var
2
rv
ra
rr
ra
t
r
2
2
tr aaa
9
Każdy element bryły sztywnej posiada energię kinetyczną związaną ze swoją masą i
prędkością ruchu postępowego:
2
2
iii
vmK
Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego jest sumą energii
poszczególnych elementów:
222
2
1
2
1iiiiiobr rmvmKK
2
iirmI definicja mometu bezwładności
10
Ruch obrotowy: Ruch postępowy:
2
2
1IKobr
2
2
1mvK pos
Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest odpowiednikiem masy w ruch postępowym.
Moment bezwładności zależy nie tylko od masy bryły, ale także od rozkładu masy wokół osi obrotu
11
dmrmrI i
i
im
22
0lim
Obręcz (masa M rozłożona równomiernie w odległości R od
środka)
222 MRdmRdmrI
12
obręcz, pierścień walec kula
pręt względem końca
pręt względem środka
2MRI 2
2
1MRI 2
5
2MRI
2
12
1MLI 2
3
1MLI
13
2MdIIŚM
Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności względem wybranej osi równoległej do osi przechodzącej przez
środek masy i odległej od niej o d.
Przykład: Dla pręta o masie M i długości L dla osi przechodzącej przez środek masy:
2
12
1MLI
ŚM
Dla osi przechodzącej przez koniec pręta (odległej o L/2 od środka):
2
2
2
3
1
212
1ML
LMMLI
oś obrotu
oś przez środek masy d
14
Frτ Moment siły– iloczyn wektorowy
wektora r łączącego oś obrotu i miejsce przyłożenia siły oraz wektora siły F.
Moment siły można interpretować jako zdolność siły do obracania ciała.
Iloczyn wektorowy wektorów a i b jest prostopadły do płaszczyzny w której leżą te wektory
sinabba
15
kierunek działania
siły
FdrF sin
Moment siły powoduje obrót bryły sztywnej
221121 dFdF wypadkowy moment siły
>0 gdy skręcenie jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
<0 gdy skręcenie jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara
d – ramię siły (prostopadłe do F)
sinrd
16
tt maF rmarF tt rat
2mrrmr Imr 2 I
I
Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: wypadkowy
moment siły działający na bryłę jest proporcjonaly do jej przyspieszenia kątowego, a stałą proporcjonalności
jest moment bezwładności bryły.
Ft – siła styczna (prostopadła do r)
17
rdFddW sin sF
rdds
Jedynie składowa styczna siły (Fsin) wykonuje pracę, bo jest równoległa do
elementu łuku ds. Składowa radialna (Fcos) jest prostopadła do ds więc praca przez nią wykonana jest
równa zero.
ddW
W ruchu postępowym: dxFdW x
rF sin
18
d
dI
dt
d
d
dI
dt
dII
dWdId
Praca wykonana przez siły zewnętrzne nad obracającą się bryłą sztywną jest równa zmianie jej energii kinetycznej ruchu
obrotowego
22
2
1
2
1if IIdIdW
f
i
f
i
19
x
dt
dxv
dt
dva
m
maF
2
2
1mvK
Ruch postępowy Ruch obrotowy
dt
d
dt
d
I I
2
2
1IKobr
przemieszcznie przemieszcznie kątowe
prędkość prędkość kątowa
przyspieszenie przyspieszenie kątowe
masa moment bezwładności
siła moment siły
energa kinetyczna ruchu postępowego
energa kinetyczna ruchu obrotowego