4.1
B
AB A •
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4.1. Wektor zaczepiony i wektor swobodny
Uporządkowaną parę punktów (A, B), wyznaczającą
skierowany odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie
B, nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie A i
oznaczamy symbolem AB .
Wektory BA i AB to nie te same wektory
chociaż AB i BA to ten sam odcinek.
Współrzędne wektora zaczepionego AB
definiujemy następująco:
AB = [(xB ; yB ; zB) – (xA ; yA ; zA)] = [xB – xA ; yB – yA ; zB – zA]
Gdy punktem początkowym wektora zaczepionego jest O (0; 0; 0),
to współrzędne wektora OB są identyczne ze współrzędnymi
punktu B.
4.2
Przykład: Wyznaczyć współrzędne wektora zaczepionego w
punkcie A(2; -1; 3) o końcu w punkcie B(4; 5; -1)
Rozwiązanie:
Otrzymujemy AB = [4 - 2; 5 – (-1); -1 – 3] = [2; 6; -4].
Po dokonaniu odejmowań pozostają jako współrzędne wektora
trzy liczby. Sytuacja, w której znamy tylko współrzędne wektora,
nie opisuje zatem wektora zaczepionego.
Przykład: Dane są punkty A (0; 0; 0), B (1; 2; -1), C (1; 1; 1) i D
(2; 3; 0). Obliczyć współrzędne wektorów zaczepionych CDiAB .
Rozwiązanie:
AB = [1 – 0; 2 – 0; -1 – 0] = [1; 2; -1];
CD = [2 – 1; 3 – 1; 0 – 1] = [1; 2; -1].
Wektory CDiAB mają więc takie same współrzędne.
Wektor swobodny jest to zbiór nieskończenie wielu wektorów
zaczepionych o takich samych współrzędnych
(reprezentantów danego wektora swobodnego).
W dalszych rozważaniach zarówno wektory zaczepione jak i
swobodne będziemy krótko nazywać wektorami.
4.3
Z
az a O ay Y ax
a
α O ax X
4.2. Współrzędne kartezjańskie wektora
Współrzędnymi kartezjańskimi
prostokątnymi wektora a w przyjętym
układzie współrzędnych OXYZ,
oznaczanymi przez ax , ay , az ,
nazywamy współrzędne tego wektora na
kolejnych osiach układu, utworzone
przez umieszczenie początku wektora a w początku układu
współrzędnych.
Rzutując zaczepiony w początku układu współrzędnych wektor,
będący reprezentantem wektora
swobodnego a , na osie układu
współrzędnych, otrzymujemy wzory:
ax = a cos α , ay = a cos β , az = a cos γ ,
gdzie α , β , γ są to kąty, jakie tworzy wektor a z osiami OX, OY,
OZ. Liczba a we wzorach (6.2) to długość wektora a . Współrzędne
wektora a można więc zapisać w postaci
a = [ax ; ay ; az] = [a cos α ; a cos β ; a cos γ]
Przykład: Dane są kąty kierunkowe wektora a o długości a =5:α
=π/6, β = π/3, λ = π/2. Obliczyć współrzędne wektora a .
4.4
Rozwiązanie:
ax = a cos α = 5 ⋅ cos π/6 = 5 ⋅ cos 30° = 5 ⋅ 23 = 4,33
ay = a cos β = 5 ⋅ cos π/3 = 5 ⋅ cos 60° = 5 ⋅ 0,5 = 2,50
az = a cos γ = 5 ⋅ cos π/2 = 5 ⋅ cos 90° = 5 ⋅ 0 = 0
4.3. Długość wektora. Wersory
Jeśli a = [ax ; ay ; az], to długość wektora a , oznaczaną a lub
a (bez strzałki), obliczamy ze wzoru
222zyx aaaaa ++==
Długość wektora AB oznaczamy AB lub po prostu AB
222 )()()( ABABAB zzyyxxABAB −+−+−==
Przykład: Obliczyć długość wektora o początku w punkcie
A (2; -1; 3) i końcu w punkcie B (4; 2; -1).
Rozwiązanie: 2
AB = (4 – 2)2 + (2 – (-1))2 + (-1 –3)2 = 4 + 9 + 16 = 29
Stąd 2
AB = AB = ≈29 5,385
Wektory o długości równej 1 (wektory jednostkowe), nazywamy
wersorami.
4.5
a) Zapis: a b a b b) Zapis: a b a b
Dla każdego wektora (oprócz wektora zerowego) można
zbudować odpowiadający mu wersor. Jeżeli a = [ax ; ay ; az] , to
wektor o współrzędnych równych ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡aa
aa
aa zyx ;; ma długość 1. Stąd
dla kosinusów kierunkowych wektora mamy związek:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Dwa wektory, bia , są zgodnie
równoległe, gdy współrzędne jednego z
tych wektorów można otrzymać ze
współrzędnych drugiego, mnożąc je przez
liczbę dodatnią. Gdy ta liczba musi być
ujemna – mamy wektory przeciwnie
równoległe
Wersorem niezerowego wektora a = [ax , ay , az], oznaczonym
ae , nazywamy wektor
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
aa
aa
aa
e zyxa ,, = [ cos α, cos β, cos γ ]
Szczególnymi wersorami są wersory osi układu współrzędnych.
.
oś OZ wersor osi OX: i = [1; 0; 0] k
wersor osi OY: j = [0; 1; 0] j
wersor osi OZ: k = [0; 0; 1] i oś OY oś OX
Rys. 6.5. Wersory osi prostokątnego układu współrzędnych.
4.6
a b
ba +
4.4. Działania na wektorach
Wprowadzimy następujące działania na wektorach:
- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem),
- mnożenie wektora przez liczbę(wynik jest wektorem),
- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą),
- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3; wynik jest
wektorem).
Sumą wektorów a = [ax ; ay ; az] oraz b =
[bx ; by ; bz] jest wektor
ba + = [ax + bx ; ay + by ; az + bz]
Przykład 6.7:
Obliczyć sumę wektorów:
a = [3; -2; 5] , b = [-1; 4; -7] , c = [-4; -1; 2]
Rozwiązanie:
cba ++ = [3 – 1 – 4; -2 + 4 –1; 5 – 7 + 2] = [-2; 1; 0]
Iloczynem różnej od zera liczby λ ∈ R i niezerowego
wektora a nazywamy wektor =λ a [λax ; λay ; λaz]
Jest to wektor o długości aλ , zgodnie równoległy z wektorem
a , gdy λ > 0, a przeciwnie równoległy, gdy λ < 0.
4.7
Suma iloczynów wektorów i liczb nosi nazwę kombinacji liniowej wektorów i jest – oczywiście – wektorem:
Raaaa inn2211
n
1iii ∈+++=∑
=
ααααα ;... ,
i = 1,2, . . . ,n.
Dwa liniowo zależne wektory bia (dla których istnieje równa
wektorowi zerowemu kombinacja liniowa o współczynnikach
różnych od zera, tzn. istnieją λ1 i λ2 takie, że 021 =λ+λ ba )
nazywamy współliniowymi.
Przykład:
Wektory a = [4; -6; 5] i b = [-2; 3; -2,5] są liniowo zależne, gdyż
0)2(1 =⋅−+⋅ ba . Można stąd wyliczyć, że ba ⋅= 2 - czyli są one
zgodnie równoległe. Ponieważ są to wektory swobodne, więc
można wybrać reprezentanta każdego z nich, zaczepionego np. w
punkcie O (0; 0; 0). Wówczas wektory te leżą „jeden na drugim”,
przy czym wektor a jest dwa razy dłuższy od wektora b .
Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów
bia , oznaczanym ba ⋅ , nazywamy liczbę, określoną
następująco:
ba ⋅ = axbx + ayby + azbz
4.8
a c
)b,a(
b
Ioczyn skalarny niezerowego wektora przez siebie daje wynik
równy kwadratowi długości tego wektora:
aa ⋅ = axax + ayay + azaz = a2 czyli aaaa ⋅==
Tabliczka mnożenia skalarnego wersorów osi: i j k
i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 Przykład:
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a = [2; 3; -1] i b = [-1; 3; 2].
Rozwiązanie:
ba ⋅ = 2⋅ (-1) + 3 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 2 = -2 + 9 – 2 = 5
Kątem niezerowych wektorów bia , oznaczanym ( )ba, ,
nazywamy kąt, jaki tworzy jeden z tych wektorów z osią zgodnie
równoległą do drugiego z wektorów.
Wprowadzimy teraz wzór na kosinus kąta pomiędzy wektorami
bia . Z rysunku widać, że acb =+ , skąd
bac −= , albo )()( babacc −⋅−=⋅ , skąd mamy
c2 = a2 - ba ⋅2 + b2
Z tw. kosinusów mamy:
c2 = a2 + b2 – 2ab cos ),( ba
Stąd ba ⋅2 = 2ab cos ),( ba
•
4.9
k j bac ×= i b a
lub
abbababa
abbaba zzyyxx ++
=⋅
=),cos(
Warunek prostopadłości niezerowych wektorów:
)()( 0baba0b0a =⋅⇔⊥∧≠∧≠
W przypadku wektorów w przestrzeni wektorowej n-wymiarowej,
mówimy o ortogonalności: dwa niezerowe wektory są
ortogonalne, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.
Iloczynem wektorowym wektorów bia w trójwymiarowej
przestrzeni wektorowej, oznaczanym ba × , nazywamy trzeci
wektor, bac ×= , mający następujące cechy:
1. ),(sin baabcc ==
2. bciac ⊥⊥
3. trójka wektorów ciba, , zaczepionych w tym samym punkcie,
jest ustawiona w takiej samej kolejności, jak wersory osi i, j, k
(wektory ciba, tworzą – analogicznie jak wersory osi – tak
zwaną prawoskrętną trójkę wektorów).
4.10
Dla wersorów osi:
j × i = -k
k × j = -i
i × k = -j
Tabliczka mnożenia wektorowego
× i j k i k -j j -k i k j -i
Własności iloczynu wektorowego.
Własności iloczynu wektorowego:
1. abba ×−=× (antyprzemienność)
2. cabacba ×+×=+× )( (rozdzielność względem dodawania)
3. )()( baba ×λ=×λ dla dowolnego λ ∈ R
4. )()( ba0ba0b0a ⇔=×⇒≠∧≠
Przykład
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów a = [2; 3; -1] i b = [-1; 3; 2].
j -k i lub po obróceniu -k o kąt 180 ° i j k j -i lub po obróceniu -i o kąt 90° j k k -j i
0
0
0
4.11
Rozwiązanie:
Mamy a = 2i + 3j – k oraz b = -i + 3j +2k
ale wynik,byćmógby tu i =−−++−−−+==×−×−×+×+×+×−×+×+×−=
=×−×−−×−×+×++−×+×+×+−×=++−×−+=×
)()()(
)()()()()(
i3ji6k3j4k6kk2jk3ikkj6jj9ij3ki4ji6ii2
k2kj3kikk2j3j3j3ij3k2i2j3i2ii2k2j3ikj3i2ba
przekształcimy to wyrażenie do postaci następującej:
231132
)3)1(32())1()1(22())1(323(
−−=
=⋅−−⋅+−⋅−−⋅−−⋅−⋅=
kjikji
Stąd
]9,3,9[939231132 −=+−
−−=× kjikji
ba
Uogólniając, dla wektorów a = [ax ; ay ; az] i b = [bx ; by ; bz]:
PAMIĘTAJMY:
wektor]9,3,9[a
liczba5
−−=×
−=⋅
b
ba
zyx
zyx
bbbaaakji
ba =×
← współrzędne wektora a ← współrzędne wektora b
4.12
Przykład:
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów
a = [2; 3; -1] i b = [-4; -6; 2].
Rozwiązanie:
.06432
2412
2613
264132 =
−−+
−−
−−
−=
−−−=× kjikji
ba
Wektory a i b są równoległe.
Wzór na sin kąta między wektorami:
zyx
zyx
bbbaaa
abab
baba
kji1)(sin =
×=× )
4.5. Rachunek wektorowy – podsumowanie Wprowadziliśmy dwa podstawowe rodzaje wektorów: wektor
zaczepiony i wektor swobodny. Dla każdego wektora określone zostały:
długość (nazywana także modułem) – tak samo jak długość
odcinka,
kierunek – od punktu początkowego do końcowego, a także
zwrot – czyli zgodna lub przeciwna równoległość w stosunku do
drugiego wektora lub równoległej osi.
4.13
Położenie każdego wektora względem osi układu współrzędnych
można określić przy pomocy kątów kierunkowych lub kosinusów kierunkowych. Wektor o długości jednostkowej otrzymał nazwę „wersor”. Wersory osi układu współrzędnych oznaczone zostały literami i, j, k. Tworzą one bazę przestrzeni wektorowej trójwymiarowej.
Wprowadzone zostały działania na wektorach:
- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem), zapisywane: ba + ;
- mnożenie wektora przez liczbę (wynik jest wektorem),
zapisywane bez żadnego znaku między liczbą a wektorem:
∈λλ ,a � ;
- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą),
zapisywane z użyciem kropki: ba ⋅ ;
- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3 ; wynik jest
wektorem), zapisywane z użyciem krzyżyka: ba × .
Określone zostały warunki
- prostopadłości (ortogonalności) wektorów – z wykorzystaniem
iloczynu skalarnego
- równoległości wektorów – z wykorzystaniem iloczynu
wektorowego;
- współliniowości dwóch wektorów (znikanie ich kombinacji
liniowej).
Wprowadzono wzory na kosinus kąta między wektorami ( z
wykorzystaniem iloczynu skalarnego) i na sinus kąta między
wektorami (z wykorzystaniem modułu iloczynu wektorowego).
4.14
4.6. Zadania 4.1. Dane są punkty A = (1; 1; 3) , B = (0; -1; 4) i C = (3; -5; 0).
4.2. Wyznaczyć wektory
.CB,CA,BAwektoryorazBC,AC,AB
4.3. Dany jest punkt A = (1; -2; 3). Wyznaczyć punkt B, wiedząc, ze
a) AB = [3; 5; -4] , b) AB = [0; 2; 0] , c) AB = [-1; 2; -3].
4.4. Dane są wektory: a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1] , c = [1; 3; 3]
oraz d = [-1; -3; -2]. Wyznaczyć wektor
,b3a2,db,ca,ba −−++ adc2,d4c3 −++ .
4.5. Dwa wektory, ACiAB , mają wspólny początek A ( 1, 2, 0), tę
samą długość h = 2 i tworzą kąt .3/π=ϕ
a) Narysować te wektory oraz ich sumę i różnicę.
b) Narysować kilka wektorów – reprezentantów wektora
swobodnego a , którego reprezentantem jest wektor AB .
c) Obliczyć moduł sumy i moduł różnicy wektorów .ACiAB
4.6. Dany jest równoległobok o bokach AB, BC, CD, DA. Wyrazić
wektory ADiAB przez wektory BDiAC .
4.7. Wektory bAFiaAB == są sąsiednimi bokami sześciokąta
foremnego ABCDEF. Wyrazić wektory CF,BD,BC,AE,AD,AC za
pomocą wektorów bia .
4.15
4.8. Wektory viu o długościach u = 1, v = 2, tworzą kąt ϕ = 60°.
Obliczyć vuivu +− .
4.9. Wektory w,v,u mają moduły u = 4, v = 2, w = 6 i każde dwa
z tych wektorów tworzą kąt równy π/3. Obliczyć:
a) wvu ++ b) wvu +− c) wvu −+
4.10. Punkt jest początkiem trzech wektorów:
.cAD,bAC,aAB === Wektory bia są bokami trójkąta, wektor
c jest środkową tego trójkąta. Rozłożyć geometrycznie
4.11. wektor a na kierunki wektorów cib ;
4.12. wektor c na kierunki wektorów bia .
4.13. Dane są trzy liniowo niezależne wektory cib,a . Zbadać
liniową zależność wektorów.
cbr,c5,0bq,bap,cbam)c
cbar,cbaq,cp)b
car,cbq,cbap)a
−=+=+=−−=
+−=−−==
+−=+=++=
4.14. Mając dane wersory q,p tworzące kąt 45°, utworzono
wektory q2p4v,qp3u +=+= i zbudowano na tych wektorach
równoległobok. Obliczyć długości przekątnych tego
równoległoboku.
4.16
4.15. Wyznacz długość wektora AB , jego rzuty na osie układu
współrzędnych, kąty, jakie tworzy z osiami współrzędnych dla
następujących danych:
A (-1; 0; 3) , B (-2; 5; 0)
A (0; 3; -4) , B (4; 0; -3)
A (1; 2; -3) , B (-2; -4; 6)
4.16. Obliczyć wersory wektorów dicba ,, z zadania 3.
4.17. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów bia , wiedząc, że
a = 2 , b = 3 , )b,a( = π/3
a = 2 , b = 5 , )b,a( = 0°
a = 2 , b = 5 , )b,a( = 120°
a = 1 , b = 5 , )b,a( = π/2
4.18. Obliczyć kąt )b,a( wiedząc, że
a) a = 2 , b = 5 , ba ⋅ = 5
b) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = 6
c) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = 0
d) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = -6
4.19. Dane są punkty A = (0; -1; 3) , B (6; 5; -2) , C = (1; -2; 3).
4.20. Wykazać, że ACAB ⊥ .
4.21. Dla jakich wartości parametru m
4.22. wektory [m2 + 1; m; 1] i [10; 4; m] są równoległe?
4.23. wektory [m2; -3; 0] i [m; m; m +2] są prostopadłe?
4.17
4.24. Zbadać, czy dwa poniższe wektory są równoległe lub
prostopadłe. W przypadku równoległości wyrazić jeden z nich
przez drugi:
a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1]
b) a = [1; 5; 0] , b = [2; 10; 1]
c) a = [1; 1; 1] , b = [-1; 1; 0]
4.25. Dane są cztery wektory. Wyrazić jeden z nich jako kombinację
liniową pozostałych:
a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1] , c = [1; 3; 3] , d = [-1; -3; -2]
b) a = [1; 2; 1] , b = [-1; 0; 1] , c = [3; 0; 0] , d = [0; 1; -2]
c) a = [6; 0; 1] , b = [1; 1; 2] , c = [-1; 0; 1] , d = [0; 0; 1]
d) a = [3; 0; 1] , b = [1; 4; -2] , c = [5; 8; -3] , d = [2; -4; 3]
4.26. Wyznacz wektory prostopadłe do danych dwóch wektorów:
a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1]
b) a = [1; 5; 0] , b = [2; 10; 1]
c) a = [1; 1; 1] , b = [-1; 1; 0]
d) a = [2; -3; 1] , b = -4; 6; -2]
4.27. Wektor tworzy z osiami OX i OY kąty π/3 i π/4. Obliczyć kąt,
który ten wektor tworzy z osią OZ.
4.28. Zbadać, czy oś o kosinusach kierunkowych 1/2, 1/2, 21 /
jest prostopadła do osi o kosinusach kierunkowych 0,
./, 5152−
4.29. Oś p ma kosinusy kierunkowe 1/3, -2/3, 2/3. Obliczyć kosinusy
kierunkowe osi s, wiedząc, że keee sps ⊥⊥ , .
4.18
4.30. Udowodnić, że delta Kroneckera może być zdefiniowana w
trójwymiarowej przestrzeni wektorowej przy wykorzystaniu
iloczynu skalarnego wektorów bazy, jeżeli osie układu
współrzędnych nazwiemy OX = OX1 , OY = OX2 , OZ = OX3, a
wersory osi: i = e1 , j = e2 , k = e3.
Top Related