2
Promieniowanie elektromagnetyczne
10-12 10-10 10-8 4 x 10-7
Gammarays
X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves
FM Shortwave AM
4 x 10-7
Wavelength in meters
5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7
7 x 10-7 10-4 10-2 1 102 104
Visi
ble
gamma X ultrafioletwidzialne
podczerwień mikrofale radiowe
Film_fala elektromagnetyczma.MOV
4
1 secondλ1
ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz
ν2 = 8 cycles/second = 8 hertz
λ2
λ3
ν3 = 16 cycles/second = 16 hertz
Promieniowanie elektromagnetyczne
[ ]sm
Tc νλλ
⋅==
[ ]HzT s == 11ν
λ− długość fali, mν − częstość, 1/sΤ− okres, sc – prędkość światła, m/s
5
Przykład 1 Wyznaczenie częstości światła z długości faliJaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm?
pamiętając, że λ ⋅ ν = c i przeliczając długość fali na metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi:
λ = 1.00 µm ⋅ = 1.00⋅10-6 m10-6
1µm
ν = = 3.00⋅1014 1/s3.00⋅108 m/s1.00⋅10-6 m
3.00⋅1014 Hz
Promieniowanie elektromagnetyczne
⇒=λ
ν c
6
1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego
2. Efekt fotoelektryczny3. Efekt Comptona4. Widma atomowe5. Okresowość
Fakty eksperymentalne
7
Fakty eksperymentalne
1. Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego
νhE =
Max Planck 1900
sJh ⋅⋅= −3410626.6
kwanty energii
http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html
8
Fakty eksperymentalne
2. Efekt fotoelektrycznyAlbert Einstein 1905
me – masa elektronuv – prędkośćν – częstość Φ – praca wyjścia
bilans energiiehν
Φ+=
Φ+=2
21
..
ve
elwyjsciapracaelkinetycznakwantu
mh
EE
ν
9
Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonówJaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 Hz?
Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodniez równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię, a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energięna mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 J, 1Hz = 1/s).
E = hν = (6.63⋅10-34 J⋅s) ⋅ (5.2⋅1014 1/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J
(6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10-20 J) ⋅ (6.022⋅1023/mol) ⋅ (1 kJ/103J) = 2.1⋅102 kJ/mol
Fakty eksperymentalne
10
równanie de Broglie’a
λhp =
Fakty eksperymentalne
3. Efekt Comptonazasada zachowania pędu
pi
ps θpe
pi
esi ppp rrr+=
psi
hhhλλλ
+= θλλ cos=
s
i
θcos=i
s
ppr
r
( )θλλ cos1−= ei
11
Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością 2.2⋅106 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu?
Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystaćmusimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda).
me= 9.109 ⋅ 10-28 g = 9.109 ⋅ 10-31 kg
6.63⋅10-34 J⋅s(9.109⋅10-31 kg) ⋅ (2.2⋅106 m/s)λ = = 3.3 ⋅ 10-10 m
1J = 1kg ⋅ m2/s2 ; 330 pm
Przykład 3 Obliczenie długości fali obiektu
Fakty eksperymentalne
eee m
hυ
λ⋅
=Fala de Broglie
12
Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm?
Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali.
me=9 ⋅10-31 kg
Przykład 3 Obliczenie masy fotonu
Fakty eksperymentalne
kg
smm
Jsm
chm
f
f
37
87-
34-
104103105
106.63 −⋅=⋅⋅⋅
⋅=
⋅=
λ
13
07_97
Prism
Slit
Continuousspectrum
Electric arc(white lightsource)
(a)
Prism
Slit
Detector(photographic plate)
Hydrogen gas
(b)
Highvoltage
410 nm434 nm 486 nm 656 nm
Detector(photographic plate)
Arc
VI BGYOR+
-
+
-
Fakty eksperymentalne
4. Widma atomowe
21211
22 >⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= n
nRoλ
14
Fakty eksperymentalne
5. Okresowość02_29
1H
3Li
11Na
19K
37Rb
55Cs
87Fr
4Be
12Mg
20Ca
38Sr
56Ba
88Ra
21Sc
39Y
57La*
89Ac†
22Ti
40Zr
72Hf
104Unq
23V
41Nb
73Ta
105Unp
24Cr
42Mo
74W
106Unh
25Mn
43Tc
75Re
107Uns
26Fe
44Ru
76Os
108Uno
27Co
45Rh
77Ir
109Une
110Uun
111Uuu
28Ni
46Pd
78Pt
29Cu
47Ag
79Au
30Zn
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
48Cd
80Hg
31Ga
49In
81Tl
5B
13Al
32Ge
50Sn
82Pb
6C
14Si
33As
51Sb
83Bi
7N
15P
34Se
52Te
84Po
8O
16S
9F
17Cl
35Br
53I
85At
10Ne
18Ar
36Kr
54Xe
86Rn
2He
58Ce
90Th
59Pr
91Pa
60Nd
92U
61Pm
93Np
62Sm
94Pu
63Eu
95Am
64Gd
96Cm
65Tb
97Bk
66Dy
98Cf
67Ho
99Es
68Er
100Fm
69Tm
101Md
70Yb
102No
71Lu
103Lr
1A
2A
Transition metals
3A 4A 5A 6A 7A
8A1
2 13 14 15 16 17
18
Alka
li m
etal
s
Alkalineearth metals Halogens
Noblegases
*Lanthanides
† Actinides
15
1. Kwantowanie energii2. Dualizm korpuskularno-falowy3. Nieoznaczoność położenia i pędu (Heisenberga)
Osobliwości świata w małej skali
16
dyfrakcja interferencja
dyfrakcjainterferencja
falowe
promieniowanie katodowepromieniowanie beta
efekt Comptonaefekt fotoelektryczny
korpuskularne
elektronyświatłowłasności
Dualizm korpuskularno-falowy
http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E
Przykład: proces fotograficzny
Które efekty dominują i dlaczego?
Fala de Broglie’a
eee m
hυ
λ⋅
=
18
Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie:
eee m
hυ
λ⋅
=
Gdzie zatem znajduje się elektron?
Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie.
Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Elektrony
Dualizm korpuskularno-falowy
cechy fali i cząstki
19
energia
masa
pęd
hh -- stała Plancka = 6.62 stała Plancka = 6.62 .. 1010--3434 JJ..ss
νν –– częstość, sczęstość, s--11
λλ -- długość fali, mdługość fali, m
cc –– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/s
λν hc
hp f ==
νhE f =
2chm f
ν=
Światło cechy fali i cząstki
Dualizm korpuskularno-falowy
20
jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej położeniagdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej prędkościtzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości
hpx ≥∆⋅∆Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa?
nie, w opisie makroskopowym świata falowe właściwości materii nie odgrywają praktycznie roli i można je zaniedbać
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
21
Kwantowy opis atomu
1. Kwantowanie energiiinterpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała doskonale czarnego
νhE =2. Dualizm korpuskularno-falowy
każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o długości:
ph
=λ
3. Zasada nieoznaczonościnie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki
hpx ≥∆⋅∆
22
5. Gęstość prawdopodobieństwamożna natomiast ustalić prawdopodobieństwo P przebywania cząstki w określonej objętości dV. Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako gęstość prawdopodobieństwa Ψ2:
dVP
=2ψgdzie Ψ oznacza funkcję falową.
Kwantowy opis atomu
4. Równanie Schrödingerafunkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe:
ψψ EH =ˆ
23
Co to jest funkcja falowa?
xy
z P – prawdopodobieństwoΨ– funkcja falowaρ – gęstość prawdopodobieństwa
),,(),,,( zyxtzyxdVP ρρρ ≈==
Definicje
12
2
=
=
∫ψ
ρψ
Kwantowy opis atomu
24
DefinicjeCo to jest operator w matematyce?
dowolna operacja matematyczna, jak na przykład:
sindxd
×+
fgfG ⋅=ˆ
Co to jest zagadnienie własne?jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g:
wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G
^
^
Kwantowy opis atomu
25
VTH ˆˆˆ +=
Równanie Schrödingera
m – masa cząstkih – stała Plancka
zasada zachowania energii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− 2
2
2
2
2
22
2 dzd
dyd
dxd
mh
reZ
0
2
4πε⋅
−
Z – ładunek jądraE – ładunek elektronu
energia przyciągania ładunków (Coulomba)jądro-elektron, elektron-elektron, jądro-jądro
energia kinetyczna elektronów i jąder
ε0 – stała dielektryczna próżnir – promień
operator energii potencjalnejoperator energii kinetycznej
Energia w atomie - bilans
Kwantowy opis atomu
26
Równanie Schrödingera
2
22
2ˆ
dxd
mhH −=
jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= 2
2
2
2
2
22
2ˆ
dzd
dyd
dxd
mhH
a w trzech wymiarach x, y, z:
m – masa cząstkih – stała Plancka
Mechanika kwantowa
27
Równanie Schrödingera
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie.
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E wyznaczonymi doświadczalnie.
Mechanika kwantowa
28
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
xx=0 x=L
)()(2 2
22
xExdxd
mh ψψ =−
równanie Schrödingera ma postać:
Mechanika kwantowa
29
)Ψ(Ψ 2 2
22
xEdx
dm
h=−
E – energia cząstki
A, B – stałe całkowania
kxBkxAx cossin)Ψ( +=
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
rozwiązanie równania ma postać ogólną:
gdzie
π2h
=h21
)2(h
mEk = i
Mechanika kwantowa
30
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla:
x=0 to Ψ=0 i x=L to Ψ=0bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła.
Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ(x=0)=Asin (k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0
zauważmy, że: sinkx=0 i coskx=1wówczas B=0
Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ(x=L)=Asin (k⋅L)=0wówczas A=0 lub sin (k⋅L)=0
jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L)
Mechanika kwantowa
31
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)Zatem dalej:
sin (k⋅L)=0
wtedy i tylko wtedy, gdy
k=n⋅π i n jest liczbą naturalną
Podstawmy do wzoru na k
Z tego otrzymamy wzór na energię E
π 2π 3π
...2,1)2( 21
=== nnmEk πh
...218 2
22
,nmL
hnE ==Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n
Mechanika kwantowa
32
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
...218 2
22
,nmL
hnE ==
Mechanika kwantowa
12
3
4
5
14
9
16
25
nn2E
poziomy energetyczne cząstki
0
energia
33
dla stanu podstawowegodla stanu podstawowego n = 1
dla stanu wzbudzonego n > 1
można wykazać, że z warunku
określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego
∫ =ΨL
dxx0
2 1)(
Lxn
Lxn
πsin2)(21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Ψ
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Mechanika kwantowa
funkcja falowa
34
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Mechanika kwantowa
funkcja falowa i energia
Lxn
Lxn
πsin2)(21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Ψ
2
22
8mLhnE =
x=0 x=L
1
2
3
1
4
9
nn2E
0
ψ
Top Related