Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku

cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym

dr inż. Monika Lewandowska

                         

Plan seminarium• Cel pracy • Sformułowanie zagadnienia • Model matematyczny zagadnienia

– Model w zmiennych wymiarowych– Model w zmiennych bezwymiarowych

• Rozwiązanie modelu– Transformacja Laplace’a – Rozwiązanie w dziedzinie obrazu– Rozwiązanie w dziedzinie oryginału– Weryfikacja poprawności rozwiązania

• Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników• Podsumowanie i wnioski

Cel pracy

Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury

w cienkiej warstwie ogrzewanej obustronnie promieniowaniem

laserowym

Podstawowe założenia

• Badany ośrodek - cienka warstwa o grubości l

• Stała temperatura początkowa T0

• W chwili początkowej rozpoczyna się ogrzewanie obu powierzchni ośrodka

• Zagadnienie jednowymiarowe

• Izolowane brzegi

• Stałe parametry termofizyczne

x0 l

Model matematycznyR ó w n a n ie b ila n su e n e r g ii

),( txgx

q

t

Tc p

gęstość ośrodka [kg/m3]cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)]

q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)]g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3]

R ó w n a n i e C a t t a n e o

xT

ktq

tq k

k – przewodność cieplna [W/(m K)]tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]

Model matematyczny

Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła

gt

gt

cx

Ta

t

T

t

Tt k

pk

12

2

2

2

- dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s] - prędkość propagacji fali termicznej [m/s]

)/( pcka

ktaw /

txgtxgtxg rl ,,,

xRtItxgl exp1,

xlRtItxgr exp1,

Model ogrzewania laserowego

I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2] R – współczynnik odbicia powierzchni metalu – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]

Warunki graniczne

Warunki początkowe:

0)0,( TxT

)0,(1

)0,( 0)0,( xgc

xtT

xqp

Warunki brzegowe:

0,0 0),0( t

xT

tq

0, 0),(

tLx

TtLq

Zmienne bezwymiarowe

awxX 2/

ktt 2/

00 / TTTT m

0/ TTcgt mpk

0/ TTcwq mp

Model w postaci bezwymiarowej

4222

2

2

2

X

Równanie przewodzenia ciepła:

Warunki graniczne:

00, X

0,20, XX

0,0 X

0,

LX

Model źródła ciepła:

,,, XXX rl XXl exp, 0

XLXr exp, 0

Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji Laplace’a

,,,,, XLXXXX llrl

Transformata Laplace’a równania i warunków brzegowych

XsssXssdX

sXdl

l

exp22,2,

02

2

0,0 sdX

d l

0, sLdX

d l

Rozwiązanie w dziedzinie obrazu

XsBsAXsBsAXsAsXl expexpexp, 210

20

0 2

22

ss

sssA

LsBLsB

LLsB

sB

sAsA

expexp

expexp01

LsBLsB

LLsB

sB

sAsA

expexp

expexp02

2/12 sssB

Rozwinięcie w szereg dwumianowy

0

0

01

)(

)12()(exp)exp(

)(

2)(exp

)()(exp)(

n

n

sB

XLnsBL

sB

XnLsB

sAXsBsA

0

1

02

)(

)12()(exp)exp(

)(

2)(exp

)()(exp)(

n

n

sB

XLnsBL

sB

XnLsB

sAXsBsA

Rozwiązanie w dziedzinie oryginału

0

0

0 1

0

,)12()exp(

,)12()exp(

),2(),2(

)exp()(),(

ni

ni

n nii

Hil

XLnhL

XLnhL

XnLhXnLh

XfX

pduufpuIu

pph

pHi

i

for)()exp(

0for0),( 2/122

0

duuuuf pmmpHi )(exp)(exp)(1

)(0

2/121 1m 1 p

Weryfikacja poprawności rozwiązania

• Porównanie wyników otrzymywanych na podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą algorytmu MacCormacka

• Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają równanie bilansu energii dla całego ośrodka

),(2

XX

0

0

0 00exp1

4),(2, dLdXdXdXX

LL

Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X

0 .0 1

0 .1

1

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X

0 .1

1

XXX l exp)(),(),( 0

5 , 1 , 1 , )()( 0 L

Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X

0 .0

0 .5

1 .0

1 .5

2 .0

0 2 4 6 8 1 0

X

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

1 .2

5 , 1 , )()( 0

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

)( u

1L 10 1

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

)( u

1L 10 10

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

)( u

10 1 10L

Podsumowanie i wnioski

• Otrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym

• Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka

• Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al. (szczególnie dla małych wartości i L), a rozbieżności narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu różnicowego dla brzegów ośrodka.

Literatura

• M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time dependent laser heat source. Heat Mass Transfer 37 (2001) 333-342.

• M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) 537-544.

• M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for the case of a finite medium symmetrically heated on both sides. Int. Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69