PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 1

ALGORYTM WYMIAROWANIA BELKI STROPOWEJ ZGINANEJ WG PN-B-03264/ XII 2002 R.

- KONSTRUKCJE BETONOWE , ŻELBETOWE I SPRĘŻONE

Warszawa, poniedziałek, 10 maja 2010 Podstawowe zało żenia, dane materiałowe

L – rozpiętość belki; m H – wysokość słupa; m a – rozstaw słupów, dźwigarów; m

L

a

a H

Belka o przekroju b x h

S upłRygiel

b

b

h

Hs

Belka

S upł

Ly

Lz

Lz

Przeznaczenie budynku Przeznaczenie budynku określamy indywidualnie (np. biuro, dyskoteka itp.). Na jego podstawie wyznaczamy obciążenie użytkowe (zmienne), które traktujemy jako obciążenie krótkotrwałe – wyjątek stanowią powierzchnie magazynowe, dla których obciążenie zmienne należy traktować jak obciążenie długotrwałe. Obci ążenia zmienne: związane ze sposobem użytkowania pomieszczeń wg PN EN 1991-1-1. Obciążenia te oznaczamy Q (obliczeniowe) oraz Qk (charakterystyczne). Kategoria A - powierzchnie mieszkalne 2 kN/m2, Kategoria B - powierzchnie biurowe 3 kN/m2, Kategoria C1 - powierzchnie ze stołami (kawiarnia, sala lekcyjna) 3 kN/m2, Kategoria C2 - powierzchnie z siedzeniami nieruchomymi (kina, aule) 4 kN/m2, Kategoria C3 - powierzchnie w muzeach, salach wystaw 5 kN/m2, Kategoria C4 - powierzchnie na których możliwa jest aktywność ruchowa (dyskoteki,

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 2

sale gimnastyczne, sceny) 5 kN/m2, Kategoria C5 - powierzchnie dostępne dla tłumu (sale koncertowe, stadiony z

trybunami) 5 kN/m2, Kategoria D1 - powierzchnie handlowe (sklepy detaliczne) 4 kN/m2, Kategoria D2 - powierzchnie handlowe (w domach towarowych) 5 kN/m2, Kategoria E1 - powierzchnie magazynowe 7.5 kN/m2, Kategoria E2 - powierzchnie produkcyjne - wg stanu istniejącego, Kategoria F - powierzchnie garażowe (samochody osobowe) 2.5 kN/m2,

Wytrzymało ści i moduł spr ężysto ści betonu

Tablica: 2

[MPa] [GPa]

Kla

sa b

eton

u

Wyt

rzym

ałość

gwar

anto

wan

a

Wyt

rzym

ałość

char

akte

ryst

yczn

a n

a śc

iska

nie

Wyt

rzym

ałość

char

akte

ryst

yczn

a n

a ro

zcią

gani

e

Wyt

rzym

ałość śr

edni

a n

a ro

zcią

gani

e

Wyt

rzym

ałość

oblic

zeni

owa

w

kons

truk

cjac

h że

lbet

owyc

h i

sprężo

nych

na śc

iska

nie

Wyt

rzym

ałość

oblic

zeni

owa

w

kons

truk

cjac

h że

lbet

owyc

h i

sprężo

nych

na

rozc

iąga

nie

Wyt

rzym

ałość

oblic

zeni

owa

w

kons

truk

cjac

h be

tono

wyc

h na

śc

iska

nie

Śre

dni m

oduł

sp

ręży

stoś

ci w

zdłuż

włó

kien

fc,cube fck fctk fctm fcd fctd fcd* Ecm 1 B15 15 12 1,1 1,6 8,0 0,73 6,7 27 2 B20 20 16 1,3 1,9 10,6 0,87 8,9 29 3 B25 25 20 1,5 2,2 13,3 1,00 11,1 30 4 B30 30 25 1,8 2,6 16,7 1,20 13,9 31 5 B37 37 30 2,0 2,9 20,0 1,33 16,7 32 6 B45 45 35 2,2 3,2 23,3 1,47 19,4 34 7 B50 50 40 2,5 3,5 26,7 1,67 22,2 35 8 B55 55 45 2,7 3,8 30,0 1,80 25,0 36 9 B60 60 50 2,9 4,1 33,3 1,93 27,8 37

Obci ążenia stałe: związane są z ciężarem własnym płyty żelbetowej oraz samej belki – tej, którą liczymy. Ciężar 1m2 płyty należy przyjąć według schematu:

0.2 · ilość liter (imi ę + nazwisko + miejscowo ść urodzenia) kN/m 2 Obciążenia te oznaczamy G (obliczeniowe) oraz Gk (charakterystyczne). Ciężar żelbetu wynosi ρc=25 kN/m3. W zależności od wielkości obciążeń oraz rozpiętości i rozstawu przyjmujemy klasę betonu i stali. Dane materiałowe należy przyjmować rozważnie pamiętając o zasadzie łączenia odpowiednich gatunków stali i betonu ze sobą.

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 3

Charakterystyczne f yk i obliczniowe f yd granice plastyczno ści oraz wytrzymało ści obliczeniowe na rozci ąganie f tk stali zbrojeniowej klas

A-0 do A-IIIN

Tablica: 3

[MPa]

Kla

sa s

tali

Zna

k ga

tunk

u st

ali

Spa

jaln

ość

Nom

inal

na ś

redn

ica

prę

tów

φ

[mm

]

Gra

nica

pla

styc

znoś

ci s

tali

char

akte

ryst

yczn

a

Gra

nica

pla

styc

znoś

ci s

tali

oblic

zeni

owa

Wyt

rzym

ałość

char

akte

ryst

yczn

a na

ro

zcią

gani

e

fyk fyd ftk 1 A-0 St0S-b spajalna 5,5÷40 220 190 300

2 A-I

St3SX-b St3SY-b St3S-b

spajalna 5,5÷40 240 210

320

PB 240 trudno spajalna 6÷40 265

3 A-II St50B trudno spajalna

6÷32 355 310 480 18G2-b spajalna

20G2Y-b spajalna 6÷28

4 A-III

25G2S

trudno spajalna

6÷40 395

350

530

35G2Y 6÷20 410 550

34GS 6÷32

RB 400 6÷40 400 440

RB 400 W spajalna

5 A-IIIN

20G2VY-b spajalna 6÷28 490

420

590

RB 500 trudno spajalna 6÷40 500 550

RB 500 W spajalna Wyznaczenie obci ążeń obliczeniowych Obciążenia obliczeniowe wyznaczamy przemnażając współczynnik bezpieczeństwa γf przez obciążenie charakterystyczne.

Q = Qk · γγγγf = 1,5 G = Gk · γγγγf = 1,35

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 4

UWAGA: W przypadku kilku obciążeń zmiennych lub też rozpatrywania różnych kombinacji obciążeń (np. wyjątkowe) należy uwzględnić współczynniki jednoczesności obciążeń zgodnie z PN-EN 1990:2004 Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji.

Wybrane tabele ze współczynnikami zamieszczono poniżej.

Minimalne grubo ści pr ętów i zalecenia dotycz ące jako ści betonu ze wzgl ędu na korozj ę

Klasa ekspozycji wg tablicy 6

Przyczyna korozji

brak karbonatyzacja chlorki chlorki z wody morskiej

X0 XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 minimalna grubo ść otulenia cmin [mm ]

stal zwykła 10 15 20 25 40 40

stal sprężająca 15 20 30 35 50 50

minimalna klasa betonu B15 B20 B20 B25 B30 B37 B37 B45 B37 B45 B45 maksymalny stosunek c/w - 0,65 0,60 0,60 0,50 0,55 0,55 0,45 0,50 0,45 0,45 min. zawarto ść cementu kg/m 3 - 260 280 280 300 300 300 320 300 320 340 Minimalne grubości otulenia (oprócz XC1) mogą być zmniejszone o 5 mm w przypadku zastosowania betonu o 2 klasy wyższego niż zalecana. Dodatkowo można zmniejszyć otulinę w przypadku zastosowania stali nierdzewnej lub zabezpieczenia stali powłoką.

Wartości częściowych współczynników bezpieczeństwa przyjmuje się z poniższej tabeli:

Przypadek do oddzielnego rozpatrzenia

Obci ążenie

Symbol

Sytuacja stała,

przejściowa

Sytuacja wyj ątkowa

Przypadek A Utrata równowagi statycznej; zagadnienia wytrzymałości materiałów konstrukcyjnych i podłoża gruntowego schodzą na dalszy plan.

Stałe: ciężary własne elementów konstrukcyjnych i niekonstruk., obciążenia od gruntu, wody gruntowej, wody wolnej, -niekorzystne, -korzystne, -obciążenia zmienne niekorzystne, -obciążenia wyjątkowe

γGsup

γGinf

γQ

γA

1.1 0.9 1.5 -

1.0 1.0 1.0 1.0

Przypadek B Zniszczenie konstrukcji lub elementów konstrukcyjnych włączając w to fundamenty, pale itp. dla których zagadnienia wytrzymałości materiałów konstrukcyjnych mają znaczenie podstawowe

Obciążenia stałe j.w -niekorzystne, -korzystne -obciążenia zmienne niekorzystne, -obciążenia wyjątkowe

γGsup

γGinf

γQ

γA

1.35 1.0 1.5 -

1.0 1.0 1.0 1.0

Przypadek C Zniszczenie w podłożu gruntowym

Obciążenia stałe j.w -niekorzystne, -korzystne -obciążenia zmienne niekorzystne, - obciążenia wyjątkowe

γGsup

γGinf

γQ

γA

1.0 1.0 1.0 -

1.0 1.0 1.0 1.0

Stany graniczne no śności (SGN)

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 5

Kombinacje obciążeń oraz wielkości obciążenia przypadającego na poszczególną belkę: - Stany graniczne nośności - kombinacja podstawowa Wartości współczynników ΨΟ, Ψ1, Ψ2 dla budynków (jednoczesności występowania obciążenia zmiennego):

Obci ążenie ΨΨΨΨO ΨΨΨΨ1 ΨΨΨΨ2 Obciążenia użytkowe w budynkach: - kategoria A (domy, mieszkania, wille) - kategoria B (biura) - kategoria C (miejsca zebrań) - kategoria D (obiekty handlowe, miejsca zakupów) - kategoria E (magazyny)

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8

Obciążenia ruchome w budynkach: - kategoria F - kategoria G - kategoria H (dachy)

0.7 0.7 0.0

0.7 0.5 0.0

0.6 0.3 0.0

Obciążenia śniegiem na budynki 0.6 0.2 0.0 Działanie wiatru na budynki 0.6 0.5 0.0 Działanie temperatury (bez pożaru) w budynkach 0.6 0.5 0.0

Łączne obciążenie przypadające na belkę ΨΨΨΨo= 1

qk = (Gk + Qk·ΨΨΨΨo)·a; kN/m q = (G + Q· ΨΨΨΨo)·a; kN/m Wstępne przyj ęcie wymiarów belki Przyjmuje się następujące wymiary belek żelbetowych: szerokość 150, 180, 200, 250 mm i dalej, co 50 mm oraz wysokość 250, 300 mm i dalej co 50 mm do 800 mm a powyżej 800 mm co 100 mm

b = m; h = m; np. b/h = 0,3÷0,5

Rozpiętość efektywna belki leff = L+2·h/2 (belka swobodnie podparta, założenie upraszczające),

Moment zginaj ący - belka swobodnie podparta: 8lq

M2eff

sd⋅=

Zbrojenie podłużne belek. Pręty rozciągane min. φ 8 mm, pręty ściskane min. φ 12 mm. Strzemiona min. φ 4.5 mm. Maksymalny rozstaw podłużny strzemion smax ≤ 0.75 d i ≤ 400 mm, poprzeczny smax ≤ d i ≤ 600 mm. W strefie przypodporowej zagęszczone – np. 2 lub 3 krotnie. Minimalne pole przekroju zbrojenia w elementach zgi nanych Z uwagi na skurcz, osiadania podpór itp. Dla wlim (szerokość dopuszczalnego zarysowania) w zależności od maksymalnej

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 6

średnicy pręta [mm] � σslim = 160 MPa dla φ 32, � σslim = 200 MPa dla φ 25, � σslim = 240 MPa dla φ 16, � σslim = 280 MPa dla φ 12, � σslim = 320 MPa dla φ 10, � σslim = 360 MPa dla φ 8, � σslim = 400 MPa dla φ 6, � σslim = 450 MPa dla φ 5.

Zakładam pręty o średnicy φφφφ = mm Act = b·h - dla rozciągania osiowego oraz 0.5·b·h dla zginania

cfeffctm

32

ckctm ffMPa

MPaf

3.0f =⋅

⋅=

Określenie współczynnika k k = 0.8 dla h ≤ 300 mm k = 0.8 – (0.3·(h - 300 mm)/500 mm) dla 300 mm < h < 800 mm k = 0.5 dla h ≥ 800 mm

kc = 1 - dla rozciągania osiowego oraz 0.4 dla zginania Asmin1 = kc · k · fcfeff · Act/σslim

Z warunków konstrukcyjnych Asmin2 = 0.26 · b · h · fctm/fyk Asmin3 = 0.0013 · b · h Minimalne pole przekroju zbrojenia Asmin = max (Asmin1; Asmin2; Asmin3)

Założenie otulenia belki a1 = a2 = cmin + φst + φ/2 φst = 6 mm – średnica prętów strzemion (stała)

d = h - a1 Wyznaczenie zbrojenia Przekrój pojedynczo zbrojony

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 7

Rys. Układ sił w zginanym przekroju pojedynczego zbrojenia

MSd = MRd = α · fcd · b · xeff · (d - 0.5 · xeff) [1] As1 · fyd = α · fcd · b · xeff [2] xeff = ξeff · d ξeff = 0÷1 [3]

Wyznaczyć z równania pierwszego [1] – kwadratowego - wartości efektywnego zasięgu strefy ściskanej ξeff1 i ξeff2 zakładając, że α = 1. W przypadku, gdy ∆ równania jest < 0 należy zmienić wymiary belki. W przypadku gdy ∆ > 0, przynajmniej 1 z pierwiastków ξeff1 i ξeff2 zawiera się w przedziale <0÷1> oraz ξeff,lim < ξeff < 1 należy przejść do rozdziału Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony. Graniczne wartości ξξξξeff,lim w zależności od klasy stali wynoszą: 0.63 dla A-0, 0.62 dla A-I, 0.55 dla A-II, 0.53 dla A-III oraz 0.5 dla A-IIIN. Warunek ten związany jest z odpowiednim wykorzystaniem stali zbrojeniowej.

Powierzchnia niezbędnej stali zbrojeniowej: yd

effcd1s f

xbfA

⋅⋅⋅α=

Teraz należy sprawdzić ile należy przyjąć prętów zbrojeniowych n, tak żeby powierzchnia przyjętego zbrojenia była większa od powierzchni zbrojenia wyliczonego.

Obliczenia kończymy wyznaczając stopień zbrojenia: db

n⋅φ⋅=ρ

Dla tych, którym powy ższe nie roz świetliło zbytnio drogi: Po podstawieniu [3] do [1] i dalszych przekształceniach otrzymamy:

0dbf

M5,0

2cd

Sdeff

2eff =

⋅⋅⋅α+ξ−ξ⋅

Rozwiązujemy równanie kwadratowe i znajdujemy jego pierwiastki. Jeżeli ∆ < 0, co oznacza brak pierwiastków rzeczywistych należy zmienić wymiary belki lub sprawdzić przekrój podwójnie zbrojony. W przypadku gdy istnieją pierwiastki rzeczywiste do dalszych obliczeń bierzemy pierwiastek ξeff, zawierający się w przedziale <0÷1> Nawet w tym wypadku należy spełnić warunek rozkładu odkształceń w przekroju gwarantujący wykorzystanie stali. Przyjmuje się, że beton (niezależnie od klasy) jest w pełni wykorzystany, gdy εc = 0,35 %. Maksymalne graniczne wartości ξeff,lim zależą od klasy użytej stali:

%wE

f,

35,0

35,08,0

s

ydpl

pllim,eff =ε

ε+⋅=ξ (w procentach)

Jeżeli ξeff jest > od ξeff,lim to stal nie będzie wykorzystana i przekrój należy zaprojektować jako podwójnie zbrojony. W przeciwnym wypadku należy wyznaczyć powierzchnię niezbędnego zbrojenia z równania [2] otrzymując:

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 8

yd

effcd1s f

xbfA

⋅⋅⋅α=

Na tej podstawie należy wyliczyć ilość niezbędnych wkładek (n) zbrojeniowych o założonej średnicy φ.

4

An

21s

φ⋅π= wynik zaokrąglić do góry

Określenie stopnia zbrojenia ρ:

%,db4

n2

⋅

φ⋅π⋅=ρ

Przekrój podwójnie zbrojony

Rys. Układ sił w zginanym przekroju podwójnego zbrojenia

MSd = MRd = α · fcd · b · xeff · (d - 0.5 · xeff) + As2 · fyd · (d – a2) [4] As1 · fyd = α · fcd · b · xeff + As2 · fyd [5] xeff = ξeff ·d [3]

Wyznaczyć z równania pierwszego [1] – kwadratowego - wartości efektywnego zasięgu strefy ściskanej ξeff1 i ξeff2. Należy pamiętać, że wartość ξeff musi się mieścić w przedziale 0 < ξeff <1, ponieważ w przeciwnym wypadku nie miałoby to sensu fizycznego. Ponieważ wartość ξeff > ξeff,lim przyjmujemy ξeff = ξeff,lim. Następnie z równania [4] wyznaczamy As2 a z równania [5] wyliczamy As1. Należy dodatkowo pamiętać o odpowiednim rozmieszczeniu zbrojenia w szerokości b przekroju, który jest zmniejszony o podwójną otulinę. Minimalne odległości pomiędzy prętami wynoszą max (φ, 20 mm) Dla szerokości b ≤ 35 cm wystarczą 2 pręty w przypadku zbrojenia konstrukcyjnego. Dla szerokości > 35 cm trzeba założyć 4 pręty - żebra czteroramienne. Podobnie jest z wysokością h. Jeżeli h > 45 cm to trzeba stosować dodatkowe pręty w połowie wysokości belki WNIOSEK: Przyjęto belkę o wymiarach b x h wykonaną z betonu B-XX i zbrojoną prętami φ X ze stali A-X. Pręty dolne rozciągane X sztuk, pręty górne ściskane - konstrukcyjnie X sztuk. Przyjęto konstrukcyjnie strzemiona wykonane ze stali A-0 o

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 9

przekroju φ 6 w rozstawie c1 = X mm w przęśle oraz 1/3 c1 w strefie przypodporowej (1/6 L) z każdej strony.

PN-B-03264/XII 2002

marzec 2010 10