Zbigniew Osiak - viXravixra.org/pdf/1804.0176v1.pdf · 2018. 4. 13. · DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja...

Elektrycznoœæ

Zb

ign

iew

Os

iak

2

Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji

telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:

http://orcid.org/0000-0002-5007-306X

3

Madzi,

mojej córce poświęcam

Zbigniew Osiak

ELEKTRYCZOŚĆSTAŁE POLE ELEKTRYCZE W PRÓŻI

KODESATOR PŁASKIDIELEKTRYKI

PRĄD ELEKTRYCZY STAŁY W METALACHOBWODY PRĄDU STAŁEGO

4

© Copyright 2011 by Zbigniew Osiak

Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji

zabronione bez pisemnej zgody autora.

Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej

Rafał Pudło

Wydawnictwo: Self Publishing

ISBN: 978-83-272-3361-5

e-mail: [email protected]

Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji

telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:

http://orcid.org/0000-0002-5007-306X

5

SPIS TREŚCI

STAŁE POLE ELEKTRYCZE W PRÓŻI

1. Istotne cechy pola elektrycznego 11

2. Wektor natężenia pola elektrycznego E 11

• Natężenie pola elektrycznego E 11

• Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym 11

• Stałe pole elektryczne 12

• Jednorodne pole elektryczne 12

3. Wektor indukcji elektrycznej D 12

• Zjawisko indukcji elektrostatycznej 12

• Wektor indukcji elektrycznej D 12

• Relacja między wektorami E i D 12

4. Prawo Gaussa 13

• Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię 13

• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 14

• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 14

5. Potencjalność stałego pola wektora E 14

• Związek między natężeniem a potencjałem 15

6. Równania Poissona i Laplace’a 16

7. Prawo Coulomba 16

• Prawo Coulomba 16

• Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej 17

8. Linie wektorów E i D. Powierzchnie ekwipotencjalne 17

• Linie pola wektorowego 17

• Powierzchnie ekwipotencjalne 17

9. Pole ładunku punktowego 18

• Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego 18

• Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło-

wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18

• Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego. 18

10. Pole układu ładunków punktowych. Zasada superpozycji 18

• Zasada superpozycji natężeń 18

• Zasada superpozycji potencjałów 19

11. Pole dipola 19

• Dipol 19

• Moment elektryczny dipola 19

• Natężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostopadłej do osi dipola przechodzą-

cej przez jego środek 19

• Potencjał w dowolnym punkcie dipola daleko od środka dipola 19

• Natężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola 21

12. Dipol w zewnętrznym polu elektrycznym 22

• Dipol w jednorodnym polu elektrycznym 22

• Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 22

• Dipol w niejednorodnym polu elektrycznym 23

6

13. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola elektrycznego układu ładunkówpunktowych 24

• Multipole 24

• Rozwinięcie multipolowe potencjału 24

14. Multipole liniowe 27

• Multipol liniowy 27

• Natężenie pola multipola liniowego na jego osi 29

• Potencjał multipola liniowego w płaszczyźnie prostopadłej do osi multipola przecho-

dzącej przez jego środek 30

15. Siły wzajemnego oddziaływania między multipolami 30

• Dipol w polu ładunku punktowego 30

• Ładunek punktowy w polu dipola 30

• Dipol w polu dipola 31

• Monopol w polu multipola n-tego rzędu 31

• Dipol w polu multipola 31

• Siły wzajemnego oddziaływania multipoli liniowych leżących na wspólnej osi 31

16. Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 32

• Człon dipolowy 32

• Moment dipolowy układu ładunków 32

• Moment dipolowy jako niezmiennik 33

17. Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 33

• Człon kwadrupolowy 33

• Tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków 34

18. Człon oktupolowy w rozwinięciu potencjału 39

• Człon oktupolowy 39

• Tensor momentu oktupolowego układu ładunków 39

19. Kierunki własne (osie główne) i wartości własne oraz niezmienniki tensora momentukwadrupolowego 43

• Osie główne (kierunki własne) 43

20. Multipolowe rozwinięcie potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczo-nych ze stałą gęstością objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych,który stanowią osie elipsoidy 47

• Elipsoida 47

• Przejście od dyskretnego (nieciągłego) do ciągłego rozkładu ładunków 47

• Moment dipolowy ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipsoidy

ze stałą gęstością objętościową 48

• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych

w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 49

• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków

rozmieszczonych w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 52

• Przykład: Elektryczny moment kwadrupolowy jądra atomowego 52

• Przykład: Potencjał elektryczny jądra atomowego 54

21. Pola różnych naładowanych przewodników i rozkładów ładunków 54

• Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierz-

chniową ładunku 54

• Pole elektryczne dwóch nieskończonych płaszczyzn równoległych naładowanych róż-

noimiennymi ładunkami o stałych gęstościach powierzchniowych 55

• Pole elektryczne powierzchni cylindrycznej (walcowej) naładowanej ze stałą gęstością

powierzchniową ładunku 56

• Pole elektryczne walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową ładunku 57

7

• Pole elektryczne powierzchni kulistej (sferycznej) naładowanej ze stałą gęstością po-

wierzchniową ładunku 59

• Pole elektryczne kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową ładunku 60

22. Przewodnik w polu elektrycznym 62

• Naładowany przewodnik we własnym polu elektrycznym 62

• Przykład: Wiaderko (puszka) Faradaya 63

• Przykład: Ostrza 63

• Nienaładowany przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym 64

• Przykład: Elektrofor 64

• Przykład: Ekran elektrostatyczny (osłona elektrostatyczna) 64

• Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika 65

23. Energia potencjalna układu ładunków w zewnętrznym polu elektrycznym 66

• Energia potencjalna ładunku w zewnętrznym polu elektrycznym 66

• Energia potencjalna dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 66

• Energia potencjalna układu ładunków punktowych w zewnętrznym polu elektrycz-

nym 67

• Przykład: Energia potencjalna jądra atomowego w zewnętrznym polu elektrycznym 69

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z dipolem 69

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z kwadrupolem 69

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z dipolem 70

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z kwadrupolem 71

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem 72

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem – wzór

szczegółowy 73

24. Energia potencjalna wzajemnych oddziaływań między punktowymi ładunkami elek-trycznymi 76

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych 76

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu ładunków punkto-

wych 77

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania ciągłego rozkładu ładunków 77

25. Energia pola elektrycznego 78

• Energia pola elektrycznego ciągłego rozkładu ładunków 78

• Energia pola elektrycznego odosobnionego naładowanego przewodnika 79

• Energia własna ładunku punktowego 79

26. Ruch ładunków w polu elektrycznym 80

• Przyspieszenie, energia kinetyczna, prędkość i pęd ładunku w jednorodnym stałym po-

lu elektrycznym 80

• Równoległe i antyrównoległe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 80

• Prostopadłe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81

• Skośne wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81

• Atom wodoru (model Bohra) 82

KODESATOR PŁASKI

1. Kondensator płaski i jego pojemność 85

• Kondensator płaski 85

• Pojemność kondensatora 85

2. Połączenia kondensatorów 87

• Połączenie równoległe kondensatorów 87

• Połączenie szeregowe kondensatorów 87

8

• Połączenia mieszane kondensatorów szeregowo-równoległe 88

• Połączenia mostkowe kondensatorów 88

• Zwarty kondensator 89

• Kondensator z płytką metalową między okładkami 90

3. Pojemność płaskiego kondensatora z warstwami różnych dielektryków 90

• Opis powierzchni Gaussa 90

• Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego 90

• Pojemność kondensatora z dwoma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91

• Pojemność kondensatora z wieloma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91

• Pojemność kondensatora z płytką dielektryczną o grubości x w środku 91

• Pojemność kondensatora z dwoma równoległymi warstwami różnych dielektryków 92

4. Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92

• Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92

• Różne postacie wzoru na energię pola elektrycznego w kondensatorze 93

• Jak energia pola elektrycznego w danym kondensatorze zależy od jego pojemności?

93

5. Gęstość objętościowa energii pola elektrycznego 94

6. Siła wzajemnego przyciągania się okładek kondensatora 94

7. Dwa stany naładowanego kondensatora: ze źródłem (U=const) i bez źródła (Q=const)95

8. Bilans energii pola elektrycznego w kondensatorze 96

DIELEKTRYKI

1. Polaryzacja dielektryków 101

2. Zależność stałej dielektrycznej od temperatury i innych parametrów 102

• Dielektryki niepolarne i polarne 102

• Wektor polaryzacji 102

• Stała dielektryczna niepolarnych gazów rozrzedzonych 103

• Stała dielektryczna niepolarnych gazów, cieczy i kryształów 103

• Stała dielektryczna polarnych gazów rozrzedzonych gdy, << kT 104

• Stała dielektryczna polarnych gazów gdy, µE << kT 104

3. Warunki brzegowe 105

• Granica dielektryka z dielektrykiem 105

• Granica dielektryka z przewodnikiem 105

4. Dielektryki o różnych kształtach w jednorodnym stałym polu elektrycznym 106

5. Ferroelektryki 107

• Ferroelektryki 107

• Histereza dielektryczna 107

• Temperatura Curie 107

PRĄD ELEKTRYCZY STAŁY W METALACH

1. Prąd elektryczny przewodnictwa 109

• Prąd elektryczny przewodnictwa 109

• Natężenie prądu elektrycznego 109

• Prąd stały 109

• Kierunek przepływu prądu elektrycznego 109

• Gęstość prądu elektrycznego 110

9

2. Prawo Ohma 110

• Prawo Ohma 110

• Zależność oporu od długości, przekroju i rodzaju przewodnika metalowego 111

• Prawo Ohma w postaci lokalnej 111

3. Zależność oporu właściwego od temperatury 111

• Zależność oporu właściwego metali od temperatury 111

• Współczynnik temperaturowy oporu 112

• Nadprzewodnictwo 112

• Prawo Wiedemanna-Franza-Lorenza 112

4. Prawo Joule’a-Lenza 113

• Prawo Joule’a-Lenza 113

• Moc ciepła wydzielonego w przewodniku 113

• Prawo Joule’a-Lenza w postaci lokalnej 113

• Jak moc ciepła wydzielonego w danym przewodniku zależy od jego oporu? 114

5. Sukcesy i porażki klasycznej elektronowej teorii przewodnictwa elektrycznegow metalach 114

• Prędkość unoszenia 114

• Związek gęstości prądu z prędkością unoszenia 115

• Prędkość maksymalna i prędkość unoszenia 115

• Mikroskopowa interpretacja prawa Ohma 116

• Mikroskopowa interpretacja prawa Joule’a-Lenza. 116

• Mikroskopowa interpretacja prawa Wiedemanna-Franza-Lorenza 116

• Zależność przewodnictwa elektrycznego właściwego od temperatury 117

• Prawo Dulonga-Petita 117

• Porównanie relacji empirycznych z teoretycznymi 117

OBWODY PRĄDU STAŁEGO

1. Elementy obwodów elektrycznych 119

• Podstawowe elementy obwodów elektrycznych 119

• Symbole niektórych elementów obwodów elektrycznych 119

• Węzeł, gałąź, oczko 119

2. ΟΟΟΟbwód jednooczkowy bez źródła 120

3. Obwód jednooczkowy z jednym źródłem 121

• Prawa Kirchhoffa, Ohma i Joule’a-Lenza 121

• Wzajemne relacje między I, U i Rz 121

• Różne relacje dla Pz , Pw, Pc i η 122

• Wykresy Pz , Pw i Pc od Rz 123

• Charakterystyczne stany pracy źródła 123

4. Wykres zmienności potencjałów w oczku 124

5. Prawa Kirchhoffa 125

• Pierwsze prawo Kirchhoffa 125

• Drugie prawo Kirchhoffa 125

• Praktyczne wskazówki dotyczące układania równań Kirchhoffa dla danego obwodu

126

• Obliczanie różnicy potencjałów 126

• Uziemienie 126

6. Połączenia oporników 127

• Połączenie szeregowe oporników 127

• Połączenie równoległe oporników 127

10

• Połączenie mieszane oporników szeregowo-równoległe 128

• Zwarty opornik 128

• Transformacja trójkąta w gwiazdę i vice versa 129

• Symetryczne połączenia oporników 130

7. Mostek Wheatstone’a 131

• Stan równowagi mostka Wheatstone’a 131

• Przekątna pomiarowa i przekątna zasilania 131

• Zastosowanie 132

• Zero na skali galwanometru 132

• Opór zabezpieczający 132

• Minimalny błąd pomiaru 132

• Przykład 133

8. Pomiar oporu metodą techniczną 134

9. Połączenia źródeł napięcia 134

• Połączenie szeregowe źródeł napięcia 134

• Połączenie równoległe dwóch różnych źródeł napięcia 135

• Połączenia mieszane źródeł 136

10. Potencjometr 136

• Nieobciążony potencjometr-rozważania jakościowe 136

• Obciążony potencjometr-rozważania ilościowe 137

11. Amperomierz i woltomierz 138

• Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza 138

• Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza 138

• Jak z amperomierza zrobić woltomierz i vice versa? 139

12. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej źródła 139

11

STAŁEPOLE ELEKTRYCZE

W PRÓŻI

1 ISTOTE CECHY POLA ELEKTRYCZEGO

• Pole elektryczne między innymi:

1. Działa siłami na spoczywające i poruszające się ładunki elektryczne.

2. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych metali

(wywołuje indukcję elektrostatyczną).

3. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych dielektryków

(wywołuje polaryzację dielektryków).

Z opisem tych zjawisk związane są odpowiednio wektor natężenia pola elektrycznego E,

wektor indukcji elektrycznej D, zwanej też przesunięciem elektrycznym, oraz wektor polary-

zacji P, którym zajmiemy się w innym rozdziale.

2 WEKTOR ATĘŻEIA POLA ELEKTRYCZEGO E

• atężeniem pola elektrycznego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F , działa-

jącej ze strony pola na umieszczony w tym punkcie ładunek próbny qo , do wartości tego

ładunku.

Ładunek próbny z założenia jest dodatni i odpowiednio mały, aby jego pole nie zaburzało

badanego pola. Natężenie pola elektrycznego jest wektorem.

• Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym Znajomość wektorów natężenia pola w każdym punkcie pola elektrycznego pozwala na

obliczenie siły działającej na znajdujący się w polu ładunek elektryczny.

Na dodatni ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku i zwrocie natężenia pola

elektrycznego. Na ujemny ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku natężenia pola,

ale mająca zwrot przeciwny niż natężenie.

oq

FE =

[ ] . m

V

C

NE 11 ==

EF ⋅= q

EF

EF

↓↑⇒<

↑↑⇒>

0q

0q

STAŁE POLE ELEKTRYCZNE

12

• Stałym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektory natężeńsą stałe w czasie. Dalej zajmować się będziemy stałym polem elektrycznym, którego źródłemsą spoczywające ładunki elektryczne.• Jednorodnym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektorynatężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym punkcie pola. Jednorodne poleelektryczne jest szczególnie proste do opisu.

3 WEKTOR IDUKCJI ELEKTRYCZEJ D

• Zjawisko indukcji elektrostatycznej

• Wektor indukcji elektrycznej Wartością indukcji elektrycznej D w danym punkcie pola elektrycznego nazywamy sto-sunek maksymalnego ładunku q, indukowanego na powierzchni jednej z dwóch zetkniętychze sobą bardzo małych metalowych płytek próbnych umieszczonych w danym punkcie, dopola powierzchni (jednostronnej) S tej płytki.

Indukcja D jest wektorem o kierunku prostopadłym do płytek próbnych i skierowanym odpłytki, na której indukuje się ujemny ładunek elektryczny, do płytki, na której indukuje siędodatni ładunek elektryczny. Indukcja elektryczna nazywana była dawniej przesunięciemelektrycznym.

• Relacja między wektorami E i D Z doświadczenia wiadomo, że w jednorodnych izotropowych ośrodkach dielektrycznychwektory E i D są równoległe względem siebie, a ich wartości są proporcjonalne do siebiew każdym punkcie ośrodka.

UWAGAWłasność ta nie dotyczy ośrodków anizotropowych oraz ferroelektryków.

1. Stykamy ze sobą dwie nienaładowane kulki lub płytki metaloweumieszczone na izolujących podstawach.

2. Przybliżamy do nich dodatni (lub ujemny) ładunek indukujący.

3. Przy obecności ładunku indukującego, odsuwamy od siebie obiekulki.

4. Usuwamy ładunek indukujący.

S

q=D

[ ] . m

CD

21=

ED roεε=


13

εο = przenikalność elektryczna próżniεο = 8,85 · 10-12C/Vmεr = względna przenikalność dielektryczna ośrodka lub stała dielektryczna, czyli liczbainformująca ile razy natężenie pola elektrycznego w danym ośrodku jest mniejsze od na-tężenia pola elektrycznego w próżni

UWAGAIndukcja elektryczna D nie zależy od stałej dielektrycznej ośrodka.

4 PRAWO GAUSSA

• Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię Podamy definicję strumienia indukcji ΦD w prostym przypadku, kiedy w każdympunkcie płaskiej powierzchni indukcja ma taką samą stałą wartość, ustalony kierunek i zwrot,inaczej mówiąc, gdy pole jest jednorodne a powierzchnia jest fragmentem płaszczyzny.

Aby wyznaczyć strumień wektora indukcji, w przypadku gdy pole jest niejednorodnea powierzchnia nie jest płaska, należy powierzchnię podzielić na kawałki płaskie tak małe,aby we wszystkich punktach pole było jednorodne. Następnie należy obliczyć strumień dlakażdego kawałka

SD dd D ⋅=Φ

i wszystkie takie elementarne strumienie zsumować.

Inaczej mówiąc, w ogólnym przypadku strumień wektora indukcji D przez powierzchnięS dany jest jako

SD dS

D ⋅=Φ ∫∫ .

Dla powierzchni zamkniętej

∫∫ ⋅=ΦS

D dSD .

1≥ε r

1=ε r tylko dla próżni

rε >1 dla wszystkich dielektryków

rε = 1,00059 dla powietrza

SESD ⋅εε=Φ⋅=Φ roDD lub

[ ] . CD 1=Φ

S = pole płaskiej powierzchniS = wektor o wartości równej polu płaskiej powierzchni S, prostopadły do tej powierz-chni, o zwrocie na zewnątrz obszaru ograniczonego między innymi przez rozważanąpowierzchnię


14

• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej)

Powierzchnia zamknięta, którą otaczamy ładunki, nazywana jest powierzchnią Gaussa. Całasztuka stosowania prawa Gaussa polega na skonstruowaniu odpowiedniej powierzchniGaussa, co jest stosunkowo proste w przypadku pól symetrycznych.UWAGAStrumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest dodatni, gdy wektor maróżną od zera składową skierowaną na zewnątrz powierzchni Gaussa, prostopadłą do danegoelementu powierzchni. Strumień wektora przez dany element powierzchni jest ujemny, gdywektor ma różną od zera składową skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłądo danego elementu powierzchni.

• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej)

5 POTECJALOŚĆ STAŁEGO POLA WEKTORA E

• Przypomnijmy, zajmujemy się stałym polem elektrycznym, którego źródłem są spo-czywające ładunki elektryczne. Stałe pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lubpotencjalnym, czyli polem w którym praca wykonana przez siły pola przy przesuwaniu ła-dunku wzdłuż krzywej zamkniętej jest równa zeru. Inaczej mówiąc, praca wykonywana przezsiły pola przy przesuwaniu ładunku z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położeniatych punktów, a nie zależy od toru, po którym przesuwany był ładunek. To, że stałe pole wek-tora natężenia E jest potencjalne, oznacza również, że można go opisać skalarem zwanympotencjałem elektrycznym.

Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równyalgebraicznej sumie ładunków swobodnych otoczonych przez tę powierzchnię.

∑∫∫ =⋅=i

i

S

D qdΦ SD

Różnica potencjałów elektrycznych między punktami A i B jest równa stosunkowipracy WA→B, którą wykonują siły pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunkuq z punktu A do punktu B, do wartości tego ładunku.

[ ] V1C

J==ϕ 1

q

W BA

BA→=ϕ−ϕ

∫∫∫∫∫∫ ρ=VV

dV dV divD

ρ=Ddiv

ρ = gęstość objętościowa ładunku

⇒

⇒

∫∫∫∑

∫∫∫∫∫

∑∫∫

=

=⋅

=⋅

Vii

VS

ii

S

dV ρq

dV divd

Gaussa eTwierdzeni

qd

Gaussa Prawo

DSD

SD


15

UWAGAPotencjał w danym punkcie zdefiniowaliśmy jako różnicę potencjałów w tym punkcie orazw punkcie, gdzie z założenia przyjęliśmy potencjał równy zeru. Najczęściej przyjmuje sięϕ = 0 w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica potencjałów.

• Związek między natężeniem a potencjałem Z potencjalności stałego pola wektora E wynika związek między natężeniem a potencja-łem, który podamy dla najprostszego przypadku, czyli dla stałego pola jednorodnego wzdłużlinii wektora E.

W ogólnym przypadku:

UWAGAZnak minus oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego E jest skierowany od większegodo mniejszego potencjału.

x0 xA xB

( )

EF

lF

q

dW

qWB

A

BA

BABA

=

⋅=

ϕ−ϕ=

∫→

→ ⇒

Dla stałego potencjalnego pola elektryczne-go cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnejdrogi zamkniętej oraz rotacja wektora Ew każdym punkcie są równe zeru.

⇓

( )BABA x x E −−=ϕ−ϕ⇒

( )( )

qEF

x x FW

qW

ABBA

BABA

=

−=

ϕ−ϕ=

→

→

W stałym jednorodnym polu wektora E bezwzględnawartość różnicy potencjałów między punktami A i B,leżącymi na linii wektora E, jest równa iloczynowi war-tości wektora E i odległości d między tymi punktami

d BA

E=ϕ−ϕ

0rot

0dl

=

=⋅∫E

lE

0dl

=⋅∫ lF

Twierdzenie Stokesa

SElE drotdSl

⋅=⋅ ∫∫∫

Potencjałem elektrycznym ϕA w danym punkcie A pola elektrycznego nazywamystosunek pracy jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczanu ładunku qz danego punktu A do punktu B, w którym z założenia potencjał jest równy zeru,do wartości przemieszczanego ładunku.

0 , q

W B

BABA =ϕ=ϕ−ϕ →

gradϕ−=E0grad rot

0rot

=ϕ

=E⇒


16

6 RÓWAIA POISSOA I LAPLACE’A

7 PRAWO COULOMBA

• Prawo Coulomba Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się ładunekpunktowy Q, mamy:

εo = przenikalność elektryczna próżni εo = 8,85 · 10-12m-2N-1C2 1/4πεo = k = 9 · 10 9m2NC-2

εr = względna przenikalność dielektryczna lub stała dielektryczna, czyli liczba informu-jąca ile razy siła działająca między dwoma ładunkami elektrycznymi w danym ośrodkujest mniejsza od siły działającej między tymi ładunkami w próżni

1≥ε r

1=εr tylko dla próżni



laplasjan

,a'Laplace operator

zyx

grad div

gradgradgrad

graddivdiv

0grad

grad

div

2

2

2

2

2

2

2

r

ro

=∆

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆

ϕ∆=ϕ∇=ϕ

βα+αβ=αβ

α+α=α

=ε

ϕ−=

εε=

ρ=

AAA

E

ED

D⇒

ρ−=ϕεε

ρ=εε

ρ=εε+εε

ρ=εε

grad div

div

graddiv

div

ro

ro

roro

ro

E

EE

E

roεερ−

=ϕ∆ Równanie Poissona

ρ = 0

0=ϕ∆ Równanie Laplace’a

2r4S π=2

S

r4Dd π=⋅∫∫ SD

QdS

=⋅∫∫ SD

ED roεε=qEF =

2r

Q

4

1D ⋅

π=

2ro r

Q

4

1E

ε⋅

πε=

2ro r

Qq

4

1F

ε⋅

πε=

Dwa punktowe ładunki elektryczne oddziałująna siebie wzajemnie siłą, której wartość jestwprost proporcjonalna do iloczynu ich wartościoraz odwrotnie proporcjonalna do iloczynu kwa-dratu odległości między nimi i stałej dielektrycz-nej ośrodka, w którym się znajdują. Siła ta jestskierowana wzdłuż prostej łączącej oba oddzia-łujące ładunki. Dwa ładunki jednoimienne odpy-chają się, a dwa różnoimienne przyciągają się.


17

PRZYKŁADObliczmy ile razy wartość siły Fe odpychania elektrycznego dwóch elektronów jest większaod wartości siły Fg przyciągania grawitacyjnego tych dwóch elektronów.

• Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej

8 LIIE WEKTORÓW E I D. POWIERZCHIE EKWIPOTECJALE

• Linie pola wektorowego są liniami, do których styczne w każdym punkcie pokrywają sięz kierunkiem wektora w tym punkcie.• Pole elektryczne można charakteryzować, kreśląc linie wektorów E i D. Linie wektora Enazywa się niekiedy liniami sił pola elektrycznego. W próżni linie wektorów E i D pokrywa-ją się. Linie wektorów E i D zaczynają się na dodatnich ładunkach i kończą się na ujemnych,lub jeden z ich końców znajduje się w nieskończoności, przy czym linie wektora D zaczynająsię i kończą tylko na ładunkach swobodnych. Linie wektorów E i D nie mogą być zamknięte,ponieważ cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnej zamkniętej linii sił byłaby dodatnia. Liniewektorów E i D nie przecinają się. Linie wektorów E i D, w przypadku pola jednorodnego,są równoległe. Gęstość linii danego wektora jest wprost proporcjonalna do wartości tego wek-tora. Pojęcie linii sił pola elektrycznego wprowadził Faraday. Początkowo linie sił wiązanoz naprężeniami eteru.• Powierzchnie ekwipotencjalne, to powierzchnie stałego potencjału. Linie sił są prostopa-dłe do powierzchni ekwipotencjalnej. Gęstość powierzchni ekwipotencjalnych jest miarą war-tości gradientu potencjału, czyli miarą wartości natężenia pola elektrycznego.

22

3e

9

2

2e

g

2

2

e

kgNm067,6G

kg10,9m

C06,e

r

GmF

r

keF

−−

−

−

⋅=

⋅=

⋅=

=

=

11

1

1

1

1

11

⇒ 42

g

e 04 F

F1⋅≅

2

222r

2

o2 rr

qq

41

1

1

1

1

1 rF ⋅

ε⋅

πε=

r12 = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2 r12 = odległość między punktami 1 i 2 1212 rrr −= , 2121 rrr −= r12 = − r21

1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowiednio do punktu 1 i 2 F12 = siła z jaką ładunek q1 działa na ładunek q2

F12 = − F21


18

9 POLE ŁADUKU PUKTOWEGO

• atężenie pola elektrycznego ładunku punktowego

• Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło-wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił

• Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego

10 POLE UKŁADU ŁADUKÓW PUKTOWYCH. ZASADA SUPERPOZYCJI

• Zasada superpozycji natężeń

źródłowy ładunekQ

rr

Qq

4

q

r

2r

o

o

o

=

=ε

ε⋅

πε=

=

1

1 rF

FE

⇒rr

Q

4 2o

rE ⋅

πε=

1

rdr

r

4k

dr r

Qq

4d

dW

2

r

o

2ro

r

r

BA

B

A

11

1

1

1

−=

=ε

πε=

επε=⋅

⋅=

∫

∫→

rF

rF ⇒

−⋅=→

BABA rr

kQq W11

Wektor natężenia E pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków Qi ,równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczególnych ładunków.

i

iN

i2i

i

o

N

ii rr

Q

4

rEE ⋅⋅

πε== ∑∑

== 11

1

rA = odległość punktu A od ładunku źródłowego Q rB = odległość punktu B od ładunku źródłowego Q r = promień wodzący zaczepiony w źródle

Q = ładunek źródłowy r = odległość od źródła

−⋅=

=ϕ∞=

=ϕ

→

→

BABA

BB

BAA

rrkQqW

0 , r

q

W

11

⇒ kQ

r=ϕ

r

kQ

AA =ϕ

r~ , 0Q

1+ϕ>

r~ , 0Q

1−ϕ<

r

~ , 0Q1

ϕ>

r~ , 0Q

1ϕ<

Q>0

EE

Q<0


19

• Zasada superpozycji potencjałów

11 POLE DIPOLA

• Dipol Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch różnoimiennych ładunków punktowychq>0 i –q o identycznych wartościach bezwzględnych, znajdujących się w stałej odległości odsiebie. Osią dipola nazywamy prostą, na której znajdują się oba ładunki dipola. Środkiem di-pola nazywamy punkt leżący na osi dipola w równej odległości od obu ładunków dipola. Ra-mieniem dipola nazywamy wektor leżący na osi dipola, o początku w ładunku ujemnym,a końcu w ładunku dodatnim, o wartości równej odległości l między ładunkami dipola.

• Momentem elektrycznym µµµµ dipola lub elektrycznym momentem dipolowym nazywa-my wektor

l⋅= qµµµµ .

Podamy też inną, równoważną definicję momentu dipolowego, nadającą się do uogólnień.

• atężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostopadłej do osi dipola przecho-dzącej przez jego środek

Potencjał ϕ pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków Qi ,równy jest sumie potencjałów ϕi pochodzących od poszczególnych ładunków.

∑∑==

⋅πε

=ϕ=ϕN

i i

i

o

N

ii r

Q

4 11

1

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=+=µ

=+=µ

=+=µ

µ+µ+µ=

=+=

n

sss22z

n

sss22y

n

sss22x

zyx

n

sss22

zqzqzq

yqyqyq

xqxqxq

qqq

1

11

1

11

1

11

1

11

kji

rrr

µµµµ

µµµµ

+

=αE

Ecos 2

1

E21

+

=αr

lcos 2

1

l21

+

=αE

Ecos 2

1

E21

E+

E αE

-q l q>0

r+

E+

+

=αr

lcos 2

1

r-

l21

α

r r+

x

y

z

r1

r2

q1


20

• Potencjał w dowolnym punkcie daleko od środka dipola

UWAGAµcosα jest rzutem wektora momentu dipolowego µµµµ na promień wodzący poprowadzony ześrodka dipola do punktu obserwacji.

r = promień wodzący poprowadzony ze środka dipola

W każdym punkcie płaszczyzny prostopadłej do osi dipola, przechodzącej przez jegośrodek,1. wektor natężenia pola elektrycznego jest równoległy do osi dipola i skierowany od

ładunku dodatniego do ładunku ujemnego,2. potencjał elektryczny jest równy zeru.

2r

cosαµ⋅

πε=ϕ

o4

1

3r

r⋅⋅

πε=ϕ

µµµµ

o4

1

( )23

222 zyx

z

++

µ⋅

πε=ϕ

o4

1

⇓

x

y

z

rα

µ

r+

r-

x

y

z

rα

β

⇒ ⇒

ql

r

lcos

r

q

4E

cosE2E

2

2o

=µ

=α

⋅πε

=

α=

+

++

+

1

1

−+

−+

=

−⋅

πε=ϕ

rr

r

q

r

q

4 o

1

0=ϕ⇒

⇒3

o r4E

+

µ⋅

πε=

1

3ol

2E l

2r:dipola środku w

πε

µ==+

1

3o r

Eµ

⋅πε

≈4

1 E ϕ = 0

µ

rr lr ≈⇒>> +⇓

( ) ( )rµ,rl, ∠=∠=

−=ϕ

−+

α

r

q

r

q

4ππ

1

o

2rrr

coslrr

lr

≈⋅

α≈−

>>

+−

+−

( )

r

zcosα

zyxr

µrcosα

qlµ

2

1222

=

++=

=⋅

=

rµ


21

• atężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola

Ex = składowa E wzdłuż osi xEy = składowa E wzdłuż osi yEz = składowa E wzdłuż osi zEr = składowa radialna EEα = składowa południkowa EEβ = składowa równoleżnikowa E

( )

⋅+⋅⋅

πε−=

=

⋅

⋅πε

−=

⋅

⋅πε

−=

rr

rrE

µµµµµµµµ

µµµµµµµµ

gradrr

grad4

r grad

4r4 grad

33o

3o

30

111

11⇒

( )

−⋅

⋅⋅

πε=

34o rrr

3

4

µµµµµµµµ rrE

1

−⋅

αµ⋅

πε=

33o rrr

cos3

4

µµµµrE

1

( )25

222o

x

zyx

xz3

4E

++

µ⋅

πε=

1

( )25

222o

y

zyx

yz3

4E

++

µ⋅

πε=

1

( )( )2

5222

222

oz

zyx

xyz2

4E

++

−−µ⋅

πε=

1

3o r

sin

4E

αµ⋅

πε=α

1⇒

3o

rr

cos2

4E

αµ⋅

πε=

1⇒

⇒

⇒

( )223

o

cos3r4

E1

1 α+⋅πεµ

=⇒

⇒

0E =β⇒

⇓

µrcosα

gradr

r

r

3

r

1grad

r

rnrr grad

zk

yj

xigrad

gradE

rε 4π

1

43

1nn

3o

=⋅

=⋅

⋅−=

⋅=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

ϕ−=

⋅⋅=ϕ

−

rµ

µrµ

rµ

( )

( )

( )2

2

2

2z

2y

2x

z

y

x

222o

222

EEEE

zE

yE

xE

zyx

z

4

r

zcos

zyxr

1

3

1

1

++=

∂ϕ∂

−=

∂ϕ∂

−=

∂ϕ∂

−=

++

µ⋅

πε=ϕ

=α

++=

( )αcos1αsin

EEE

βrsinα

1E

αr

1E ,

rE

r

µcosα

ε4

1

22

2α

2r

αr

β

αr

2o

21

−=

+=

⊥

∂ϕ∂

⋅=

∂ϕ∂

⋅=∂ϕ∂

−=

⋅π

=ϕ

EE


22

12 DIPOL W ZEWĘTRZYM POLU ELEKTRYCZYM

• Dipol w jednorodnym polu elektrycznym

Para sił powoduje obrót dipola do położenia, w którym wektory µµµµ i E są równoległe (α=0).UWAGAWprawdzie M=0 dla kątów α=0 i α=π , ale są to jakościowo różne stany.1. α=0, M=0, µµµµ↑↑E, to stan stabilny. Małe odchylenie od stanu α=0 powoduje oscylacyjny ruch dipola wokół tego stanu.2. α=π, M=0, µµµµ↓↑E, to stan niestabilny.

Małe odchylenie od stanu α=π powoduje bezpowrotne wyjście z tego stanu.

• Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznymPodczas obrotu dipola siły pola elektrycznego wykonują pracę równą ujemnemu przyrostowienergii potencjalnej dipola.

⇒

⇒

⇓

⇓

∫α

π

ααµ=2

dsinEWP

αµ−= cosEWP

E⋅−= µµµµPW

ql

qEF

sinlFM

q

q

=µ

=

α=

=

=

×=

l

EF

FlM

µµµµ

EM ×= µµµµ⇒

⇒ αµ= sinEM

W jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E suma sił działających na dipol jest równazeru, ponieważ na dodatni ładunek dipola działa siła +qE, a na ujemny –qE. Siły +qE i –qEstanowią parę sił o momencie M.

∫

∫

α−=αα

π=α⇔=

α=α=

αµ=

α−=

−=∆

−=∆

α

α

cosdsin

2 0W

,WW

sinEM

MdW

WW

WWW

P

2P2P

el sił

el siłP

P2PP

2

11

1

1

α

l

-q

q>0

- = -qF E

F E = q


23

• Dipol w niejednorodnym polu elektrycznym W niejednorodnym polu elektrycznym siły działające na dipol mają na ogół różny od zeramoment i wypadkową wartość, powodują więc obrót dipola do położenia równoległegowzględem lokalnego natężenia i wciągają go w obszar pola o większym natężeniu.

Obliczmy ponownie siłę działającą na dipol w zewnętrznym niejednorodnym polu elektry-cznym.

αµ−=

⋅−=

−=

cosEW

W

gradW

P

P

p

c

E

F

µµµµ

( )E⋅= µµµµgradF⇒

⇒ ( )αµ= cosEgradF

( )

( ) ( )EE

l

ElE

EEE

EEF

⋅=⋅

=

⋅=∂∂

∂∂

=−

−=

µµµµµµµµ

µµµµ

gradgrad

q

gradl

l

ll

qq

2

2

1

1

⇒ ( )EF ⋅= µµµµgrad

l

-q q>0

E1

E2


24

13 ROZWIIĘCIE MULTIPOLOWE POTECJAŁU POLA UKŁADU ŁADU-KÓW PUKTOWYCH

• Multipole Multipolem n-tego rzędu nazywamy układ 2n ładunków o jednakowych wartościach bez-względnych, z czego połowę stanowią ładunki dodatnie, taki, że w dużej odległości od niegopotencjał pola elektrycznego wytworzonego przez ten układ zachowuje się w dobrym przybli-żeniu, jak

1

1

+ϕ

nR~ .

• Rozwinięcie multipolowe potencjału Potencjał układu ładunków punktowych w dużej odległości od tych ładunków można za-pisać w postaci szeregu

L+πε

+πε

+πε

=ϕ3

o

22

oo

o

R4

K

R4

K

R4

K1 ,

zwanym rozwinięciem multipolowym.

120 =

221 =

823 =

R~1

ϕ

2

1

R~ϕ

3

1

R~ϕ

4

1

R~ϕ

422 =

+q-q

+q

Multipol Ilość biegunów Przykład Potencjał

0

1

823 =

R~1

ϕ

2

1~ϕ

3

1~ϕ

4

1~ϕ

zerowego rzędu, monopol

pierwszego rzędu, dipol

drugiego rzędu, kwadrupol

trzeciego rzędu, oktupol

2

Punkt, w którym znajduje się ładunek Qi

Punkt, w którym wyznaczamy potencjał

(x, y, z)(x , y , z )i i i

0

RRi


25

Spróbujemy uzyskać ten sam wynik w inny sposób, przez rozwinięcie potencjału w szeregTaylora.

( )

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )α−α=α

−α=α

α=α

=α

=α

α

=

+

⋅α−

>>

+α−=

−=

πε=ϕ

∑

∑

∞

=

−

cos3cos52

cosP

3cos2

cosP

coscosP

cosP

n stopnia aLegendre'wielomian cosP

cosPR

R

R

R

R

Rcos2

RR

RcosRR2Rr

r

Q

4

33

22

o

n

in0n

n

i22

iii

i

2iii

2i

i i

i

o

1

11

1

1

1

1

1

ii RRr

⇓

( ) ( )

( )

( ) L+−απε

+απε

+πε

=ϕ

απε

=ϕ

α=α

=

+

⋅α−=

∑ ∑∑

∑ ∑

∑∑

∞

=+

∞

=+

∞

=

−

11111

1

111

11

1

1

1

i2

i i

2ii3

o

iii2oi

io

ini 0n

niin

o

0nin

ninin

0n

n

i22

iii

i

3cosRQ2R4

cosRQR4

QR4

cosPRQR4

cosPRR

cosPR

R

RR

R

R

Rcos2

Rr

∑=i

io QK = całkowity ładunek układu

∑ α=i

iii cosRQK1

= rzut wypadkowego momentu dipolowego układu ładunków na kie-

runek promienia wodzącego R

( )11−α= ∑ i

2

i

2ii2 3cosRQ

2K


26

Po rozwinięciu 1/ri w szereg Taylora, otrzymujemy

( ) ( ) ( )

i3i

i2i

ii

32

2i

2i

2ii

i

i i

i

o

xz ,xy ,xx

xz ,xy ,xx

zzyyxxr

r

r

Q

4

===

===

−+−+−=

−=

−=

πε=ϕ ∑

1

1

1

i

ii

RR

RRr

( )

( )∑ ∑

∑

−

=λλλ

−

=λλλ

−

πε=ϕ

−=

i

232i

io

232i

i

xxQ4

xxr

1

1

1

1

1

1⇒

( )

L

L

L

+

δ−

πε+α

πε+

πε=ϕ

+

δ−+α+=

α=

α=

⋅==

∂

∂−

α=⋅=

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δ

δ−=δ−=

=∂

∂

−

=

∂

∂

−

∂

∂−=

=

∂

∂−=

∂

∂∂

∂=

∂∂

∂

−=

−=⋅

−=

∂

∂

=

=

=

+

∂∂

∂+

∂

∂−

=

−=

∑∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

=µ =νµν

νµνµ

=µ =νµν

νµνµ

=ν

νν

−

=λλ

ν=νν

=ννν

µν

µννµ

µννµ

µ

ν

−

=λλ

−

=λλνµ

µ

ν

−

=λλ

−

=λλ

µν

ν

−

=λλ

µ

−

=λλ

νµ

−

=λλ

νµ

νν

−

=λλν

−

=λλ

−

=λλ

ν

−

=λλ

−

=λλ

−

=λλ

−

=λλ

νµ=µ =ννµ

−

=λλ

ν=νν

−

=λλ

−

=λλλ

3 3

2

ii

ii3

o

iii

i2oi

io

3 3

2

i

3ii2i

2ii

3ii

3

3

3

i232

3i

ii

3i

2335

2

33

22

53

22

33

22

33

2

2

33

223

223

22

3

2

33

22

33

223

2

5

2

53

2

3

2

33

223

2

232

23 3ii

232

3i

232

232i

i

R

xx3xxQ

2R4cosRQ

R4Q

R4

R

xx3xx

2RcosR

RRr

R

cosR

R

cosRR

RR

xxx

xx

cosRRxx

0

R

xx3

RRR

xx3

x

xxxxx3

x

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

R

xxxx2x

2x

x

Rx ,

Rx ,

Rx

xxx

xx2

xx

xxxxr

1 1

1 1

1

1

11

1

1111

1

1

1

1

1

11

1

1

11

1

1

1

11 1

1

11

1

1

1

1

1111

11111

1

11

1

111

11

RR

RR

i

i


27

Wykażemy jeszcze, że trzecie człony w obu rozwinięciach są identyczne.

14 MULTIPOLE LIIOWE

• Multipol liniowy jest multipolem, którego ładunki położone są na jednej prostej zwanejjego osią. Środkiem multipola liniowego będziemy nazywali punkt położony na jego osiw równej odległości od obu końców multipola.

( )

( )1

1

11111

1 1

1 11 11 1

1 11 11 1

1 1

−α==α

=

−=−=δ=

=δ−=

δ−

−απε

=

δ−

πε

∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

=µ =νννµµ

=µ =ν

ννµµ

=µ =ν

ννµµµν

=µ =ννµ

µν=µ =ν

νµ=µ =ν

ννµµ

=µ =νµν

νµνµ

=µ =νµν

νµνµ

i22

i22i

3 3ii

i2

3 3

22i

ii

2i

2i

3 3

2

ii3 3ii2

i

3 3ii

3 3

2

ii3 3

2

ii

i2

i

2ii3

o

3 3

2

ii

ii3

o

3cosR RR

xxxx

cos

RR

xxxx3RR

R

xxxx3 xxR

xxR

xxxx3

R

xx3xx

3cosRQ2R4

?

R

xx3xxQ

2R4

−+

+−

q q,

q ,qdipole

−+−+−+−

+−+−+−+

−+−+−

+−+−+

q 3q, 3q, 2q, 3q, 3q, q,

q ,q3 ,q3 ,q2 ,q3 ,q3 q,

q 4q, 6q, 4q, q,

q ,q4 ,q6 ,q4 ,q

oleheksadekap

−

+

q

qmonopole

−+−

+−+

q ,q2 ,q

q ,q2 ,qkwadrupole

−+−+

+−+−

q ,q3 ,q3 ,q

q ,q3 ,q3 ,qoktupole

−+

+−

q q,

q ,qdipole

−+−+−+−

+−+−+−+

−+−+−

+−+−+

q 3q, 3q, 2q, 3q, 3q, q,

q ,q3 ,q3 ,q2 ,q3 ,q3 q,

q 4q, 6q, 4q, q,

q ,q4 ,q6 ,q4 ,q

oleheksadekap

−

+

q

qmonopole

−+−

+−+

q ,q2 ,q

q ,q2 ,qkwadrupole

−+−+

+−+−

q ,q3 ,q3 ,q

q ,q3 ,q3 ,qoktupole


28

PRZYKŁADPotencjał i natężenie pola kwadrupola liniowego w punktach leżących na jego osi.

PRZYKŁADPotencjał i natężenie pola oktupola liniowego w punktach leżących na jego osi.

( )

( ) ( )( ) [ ]( )

RR

3

Rgrad

grad

0RR ,lRR

qQQ ,0qQQ

P , lub 0

P ,0 lub

cosPcosP

cos32

cosP

cosPRQR4

43

324

324

243

22

22

i2

i2

i2

4

i

2ii3

o2

R

E

−=

ϕ−=

====

−==>==

=π=α=α

=π=α=α

α−π=α

−α=α

απε

=ϕ ∑=

1

1

1

11

1

1

1

1

1

0q ,R4

ql23

o

2

2 >πε

=ϕ

0q ,RR4

ql64

o

2

2 >πε

=R

E⇒

⇒

⇓

( )

( ) ( )( ) [ ]( )( ) ( )

RR

4

Rgrad

grad

l2

RRRRRR ,l2

3RR

0qQQQQ ,qQQQQ

lub P , lub 0

lub P ,0 lub

cosP ,0cosP

cosPcosP

cos3cos52

cosP

cosPRQR4

54

7654328

8432765

38765

3432

33

33

ii3

i3

8

ii3

3ii4

o

3

R

E

−=

ϕ−=

========

>====−====

−+=π=α=α=α=α

+−=π=α=α=α=α

−=π=

α−π−=α

α−α=α

απε

=ϕ ∑=

1

1

11

11

11

1

1

1

1

1

1

( )0q ,

RR4

cosPql245

o

33

3 >πε

α=

RE

⇒( )

0q , R4

cosPql64

o

33

3 >πε

α=ϕ

α = kąt zawarty między pro-mieniem wodzącym, poprowa-dzonym z ujemnego do dodat-niego końca oktupola, a pro-mieniem wodzącym, poprowa-dzonym ze środka oktupola dopunktu obserwacji

l2

1l2

1

l2

3l2

3

1 2

3

4l

l l5

6

7 8l

2

1l2

1

l2

3l2

3

Punkt obserwacji

1 2 3 4

llR


29

Z przytoczonych przykładów wynika, że potencjał multipola liniowego n-tego rzędu spełnianastępujące zależności:

UWAGAŚrodek układu współrzędnych umieściliśmy w środku multipola (co nie było konieczne). Pro-mienie wodzące ładunków różne od zera tworzą z promieniem wodzącym punktu obserwacjikąty α lub π − α. Dla wielomianów (współczynników) Legendre’a stopnia parzystego P2,P4, P6, ...

( ) [ ]( ) cosPcosP nn α−π=α .Dla wielomianów (współczynników) Legendre’a stopnia nieparzystego P1, P3, P5, ...

( ) [ ]( ) cosPcosP nn α−π−=α .Innymi słowy, dla multipoli parzystego rzędu z kątami nie ma problemu. Obliczając współ-czynnik Legendre’a odpowiedniego parzystego stopnia, podstawiamy jeden z dwóch kątów αlub π − α, wedle uznania. Dla multipoli nieparzystego rzędu, obliczając współczynnik Le-gendre’a odpowiedniego nieparzystego stopnia, podstawiamy kąt α zawarty między promie-niem wodzącym ℜℜℜℜ, poprowadzonym z ujemnego do dodatniego końca multipola, a promie-niem wodzącym, poprowadzonym ze środku układu współrzędnych (środka multipola) dopunktu obserwacji.

• atężenie pola multipola liniowego na jego osi

( ) ( )α⋅πε

⋅±=ϕ+

cosP !nR4

qlnn

o

n

n 1 .

q>0

n! = silnia liczby naturalnej n 632 3! ,22 ! 2 , ! , ! 0 =⋅⋅==⋅=== 11111

R = promień wodzący poprowadzony ze środka multipola do punktu, w którym wyznaczamy potencjał

l = odległość między sąsiednimi grupami ładunków

( )

=±

( ) ( ) [ ]( ) cosPcosP nn

n α−π⋅−=α 1

⇔+1 oba końce multipola są ładunkami dodatnimi lub różnoimiennymi⇔−1 oba końce multipola są ładunkami ujemnymi

( ) ( )

( )

( ) ( )! nn!nRR

nR

grad

grad

lub 0

cosP!nR4

ql

2nn

nn

nno

n

n

11

11

1

1

1

+=+

+−=

ϕ−=

π=α=α

α⋅πε

⋅±=ϕ

++

+

R

E ⇒ ( ) ( ) ( )R

cosP! nR4

qln2n

o

n

n

RE ⋅α+⋅

πε⋅±=

+1


30

• Potencjał multipola liniowego w płaszczyźnie prostopadłej do osi multipola przecho-dzacej przez jego środek

15 SIŁY WZAJEMEGO ODDZIAŁYWAIA MIĘDZY MULTIPOLAMI LIIO-WYMI LEŻĄCYMI A WSPÓLEJ OSI

• Dipol w polu ładunku punktowego

• Ładunek punktowy w polu dipola

( ) ( )2nno

n

n cosP!nR4

ql π+

⋅πε

⋅±=ϕ1

( ) ( )5

o

4

433o

2

2o

oR4

ql9 ,0 ,

R4

ql ,0 ,

R4

q

πε±=ϕ=ϕ

πε

−±=ϕ=ϕ

πε=ϕ

1

( )

EF

R

R

RE

QR

cos

lub 0 . ,

RRR

cos3

4 33o

=

⋅αµ=

π=α=α∠=α

−

αµ⋅

πε=

µµµµ

µµµµ

µµµµ1

⇒

( ) ( )

lq

lR

2/lR2/lR4

QqF

22o

=

>>

−−

+πε=

µµµµ

11

+

−

⋅πε

−=42

3o

R

l

6R

l

2R

Qql2

4F

1

111

1

µµµµ⋅⋅πε

−=3

o R

Q2

4

1F

⇒

RR

2

Rgrad

lub 0

cosEgrad

R

Q

4E

32

2o

R

F

⋅−

=

π=α=α

αµ=

⋅πε

=

1

1

⇒RR

cosQ2

4 3o

RF ⋅

αµ⋅

πε−=

1

µµµµ⋅⋅πε

=3

o R

Q2

4

1F

l2

1

Q

l2

1

-q q>0l

-q q>0µ

Q


31

• Dipol w polu dipola

R = promień wodzący poprowadzony ze środka pierwszego dipola do środka drugiego dipola F12 = siła, z jaką pierwszy dipol działa na drugi dipol E1 = natężenie pola, którego źródłem jest pierwszy dipol w środku drugiego dipola

• Monopol w polu multipola n-tego rzędu

• Dipol w polu multipola

• Siły wzajemnego oddziaływania multipoli liniowych leżących na wspólnej osi

( ) ( ) ( )

n

n2no

n

n

Q

RcosP

R4

ql! n

EF

RE

=

⋅απε

+±=

+

1 ⇒

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )! 2n 2n! nRR

2n

Rgrad

ql

lub 0

cosEgrad

R4

cosPql! nE

3n2n

n

2no

nn

n

+=++

+−=

=µ

π=β=β

βµ=

πε

α+±=

++

+

1

1

1

R

F

Siła wzajemnego oddziaływania dwóch multipoli liniowycho rzędach n i m, leżących na wspólnej osi, zachowuje się jak

2nmR

~F++

1 .

⇒

( ) ( ) ( )RR4

cosPQql! n2n

o

nn R

F ⋅πε

α+±=

+

1

β = kąt zawarty między promieniem wodzącym R,poprowadzonym ze środka multipola do środka dipola,a momentem dipola µµµµ

( )

( )

( )( ) ( )

RR

3

Rgrad

, ,

grad

0 R

cos

,

RRR

cos3

43

33

R

E

EF

R

R

RE

⋅−

=

∠=∠=α

⋅=

π=α∨=α⇔⋅αµ=

∠=α

−⋅αµ

⋅πε

=

1

1

212112

2112

11111

11

111

0

14

µµµµµµµµµµµµ

µµµµ

µµµµ

µµµµ

µµµµ⇒

⇒

3oR4

2

πε= 1

1

µµµµE

RR4

cos64

o

RF ⋅

πε

αµµ−= 1221

12

3Rgrad

cos2 1

o

1221

124

⋅πε

αµµ=F⇒

-q1

q >01 -q2 q >02

( ) ( ) ( )RR4

cosPcosql! 2n3

o

nn R

F ⋅πε

αβµ+−±=


32

16 CZŁO DIPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU

• Moment dipolowy µµµµ układu ładunków

zapiszemy, rozdzielając człony związane z dodatnimi i ujemnymi ładunkami.

• Człon dipolowy Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru 0Q

ii =∑ , to rozwinięcie potencjału

układu ładunków

L+πε

α+

πε=ϕ

∑∑

R4

cosRQ

R4

Q

2o

iiii

o

ii

zaczyna się od drugiego wyrazu, zwanego członem dipolowym. W członie tym rozdzielimywspółrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych położenia punktu obserwacji.

ii

i

iiii

i

ii

2o

iiii

Q

zzyyxx

RRcos

R4

cosRQ

R

RR

RR

∑

∑

=

++=⋅

⋅=α

πε

α=ϕ

µµµµ

⇒

⇒

⇒ ∑ ⋅⋅πε

=ϕi

ii3o

QR4

RR1

( )∑ ++⋅πε

=ϕi

iiii3o

zzyyxxQR4

1

3oR4πε

⋅=ϕ

Rµµµµ

ii

iQ R∑=µµµµ

∑

∑

∑

∑

∑∑

−

−−

−

+

++

+

−−++

=

=

+=

ii

iii

ii

ii

i

iiii

ii

Q

Q

Q

Q

QQ

RR

RR

RRµµµµ

=++ii ,Q R ładunki dodatnie i ich promienie wodzące

=−−ii ,Q R ładunki ujemne i ich promienie wodzące

=−+ RR , promienie wodzące poprowadzone ze środka układu współrzędnych do środka ładunków odpowiednio dodatnich i ujemnych

∑∑ ++++ =i

iii

i QQ RR

∑∑ −−−− =i

iii

i QQ RR

⇒

⇒


33

• Moment dipolowy jako niezmiennik

DOWÓD

17 CZŁO KWADRUPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU

• Człon kwadrupolowy Jeżeli sumaryczny ładunek i moment dipolowy układu są równe zeru, to rozwinięcie po-tencjału

zaczyna się od trzeciego wyrazu, zwanego członem kwadrupolowym. W członie tym rozdzie-limy współrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych określających położeniepunktu, w którym wyznaczamy potencjał.

∑∑ −−++ +=i

ii

i QQ RRµµµµ

Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru

=∑ 0Q

ii , to moment dipolowy µµµµ

tego układu ładunków nie zależy od wyboru układu współrzędnych.

Niech IIi

Ii i RR będą promieniami wodzącymi tego samego ładunku iQ w dwóch różnych

układach współrzędnych, a c danym stałym wektorem i niech cRR += Ii

IIi , wtedy

( ) ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ µµµµµµµµ ==+=+=+== ∑∑∑∑∑∑∑i

Iii

ii

Ii

ii

ii

Ii

ii

Ii

ii

i

IIii QQQQQQQ RcRcRcRR .

( )L+

πε

−α+

πε

⋅+

πε=ϕ

∑∑

R4

cos3RQ2

R4

R4

Q

3o

i22

ii

i

3oo

ii 1

1

Rµµµµ

Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru

−=∑ ∑ −+

i iii QQ , a środki dodatnich

i ujemnych ładunków nie pokrywają się ( )0≠− −+ RR , to moment dipolowy µµµµ układu

ładunków jest równy iloczynowi sumarycznego ładunku dodatniego

∑ +

iiQ i promienia

wodzącego ( )−+ − RR poprowadzonego ze środka ładunków ujemnych do środka ładun-ków dodatnich.

0

QQ

QQ

i iii

ii

ii

≠−

−=

+=

−+

−+

−−++

∑ ∑

∑∑

RR

RRµµµµ

⇒ ( )−++ −= ∑ RRi

iQµµµµ


34

• Tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału układu ładunków punktowych możnaprzedstawić w postaci

, 0R

3zyd0

R

3yzd0

R

3xzd

0R

3xzd0

R

3xyd0

R

3xyd

R

3zd

R

3yd

R

3xd

2R4

2zy2yz2zx

2xz2yx2xy

2

2

zz2

2

yy2

2

xx3o

11111

−+

−+

−+

+

−+

−+

−+

+

−+

−+

−⋅⋅

πε=ϕ

( )

( )22

i

2iii

i2

2i

2i

2i

2i

i22

ii

i3o

RR

zzyyxxcos

zyxR

cos3RQ2R4

++=α

++=

−α⋅⋅πε

=ϕ ∑ 111

∑∑∑µ ν

µννµ

νµ

δ−⋅⋅

πε=ϕ

2

ii

ii3

o R

xx3xxQ

2R4

11

−+

−+

−+

+

−+

−+

−+

+

−+

−+

−⋅⋅

πε=ϕ

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

i2iii

i2iii2ii

ii

i2iii

i2iii2ii

ii

2

2

i

2ii2

22i

ii2

22i

ii3

o

0R

zy3yzQ0

R

zx3xzQ0

R

yx3xyQ

0R

yz3zyQ0

R

xz3zxQ0

R

xy3yxQ

R

z3zQ

R

y3yQ

R

x3xQ

2R4111

11

gdzie dziewięć wielkości, określonych poniżej

∑∑∑

∑∑∑======

===

iiiizy

iyziiizxxzii

iiyxxy

i

2iizz

2i

iiyy

2i

iixx

zyQdd ,zxQdd ,yxQdd

;zQd ,yQd ,xQd

,

tworzy tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków punktowych, zapisywany teżw następujący sposób

[ ] ∑ βααβαβ =

=i

iii

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xxQd ,

ddd

ddd

ddd

d .

ii3i

i2i

i z x,y x,xx ===1

Symetryczny tensor αβd kwadrupolowego momentu układu ładunków punktowych tworzy

dziewięć składowych, w tym sześć niezależnych, ponieważ

zyyzzxxzyxxy dd ,dd ,dd === .

Tensor αβd jest tensorem drugiego rzędu.


35

Przeprowadzimy jeszcze raz ostatnie rachunki, korzystając ze skróconej notacji.

Spróbujemy inaczej określić tensor momentu kwadrupolowego tak, aby zmniejszyć liczbę

jego niezależnych składowych. W tym celu zrobimy pewną sztuczkę z zerem.

Dlaczego właśnie takie zero?

( )

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δ

===

===

=

=α

δ=

−α⋅⋅πε

=ϕ

µν

νµµν

νµνµ

µννµ

∑

∑

0

zx ,yx ,xx

zx ,yx ,x x

xxQd

RR

xxxxcos

xxR

cos3RQ2R4

i

i

3i

i

2i

i

32

i

ii

i

22

i

ii

i

2

ii2

i

i

22

i

i

i3

o

1

111

1

1

( )

δ−=−α µν

νµνµ 2

ii

i

22

iR

xx3xxcos3R 1⇒

⇓

δ−⋅⋅

πε=ϕ µν

νµµν 23

o R

xx3d

2R4

11⇒

⇓

∑∑=µ =ν

µννµ

µν

δ−⋅⋅

πε=ϕ

3 3

23

o R

xx3d

2R4 1 1

11

( )

0.δR

x3xδδR

3

inaczej samo, tolub

03R

3R

3

R3

R

zyx3

3

R

R

3z

3

R

R

3y

3

R

R

3x

3

R

µν2

νµ

µνµν

2

i

2

22

i

2

2222

i

2

22

i

2

22

i

2

22

i

1

111

=

−

=

−=

−

++=

−+

−+

−

⇒

2222

35

2

2

zyxR

RR

xx3

Rxx

xx

0R

aLaplace' Równanie

++=

δ−δ=∂∂

∂δ

∂∂∂

δ=∆

=∆

µννµ

µννµ

µν

νµµν

11

1

0R

xx3R

3

0R

xx3

0R

xx3

R

RR

xx3

RxxR

2

2

i

2

23

35

2

=

δ−δδ

⇓

=δ−δ

⇓

=

δ−δ⋅=

=δ−δ=∂∂

∂δ=∆

µννµ

µνµν

µννµ

µν

µννµ

µν

µννµ

µννµ

µν

1

1

111

=

−+

−+

−−

−++

−=

=

δ− µν

νµνµ

R

z3

3

R

R

y3

3

R

R

x3

3

R 0

R

zy3yz

R

x3x

R

xx3xx :zerem z sztuczka azapowiadan oto I

2

22

i

2

22

i

2

22

i

2ii2

22

i

2

ii

1111 L


36

Powracamy do członu kwadrupolowego w rozwinięciu potencjału.

Dµν jest tensorem momentu kwadrupolowego układu ładunków punktowych. A oto jego skła-

dowe.

( )

( ) ( )

( )

( )

δ−δ−=

=

δ−δδ−

δ−=

δ−

δ−δ−=

=

δ−δ−++

δ−δ−=

=

−−++

−

−=

=

−+

−+

−−

−++

−=

=

δ−

µννµ

µννµ

µννµ

µνµνµννµ

νµµννµ

νµ

µννµ

µννµ

µννµ

νµ

2

2

i

ii

2

2

i2

ii

2

ii

2

2

i

ii

zy2zyiixx2

2

xx

2

i

2

i

2ii2

22

i

2

i

2

22

i

2

22

i

2

22

i

2ii2

22

i

2

ii

R

xx3Rxx3

3

R

xx3R

3

R

xx3xx

R

xx3xx

rachunki. teraz jeszcze Powtórzmy

R

xx3Rxx3

3

R

zy3yz

R

x3Rx3

3

0R

zy30yz

R

x3R

3x

R

z3

3

R

R

y3

3

R

R

x3

3

R 0

R

zy3yz

R

x3x

R

xx3x x

1

1

1

1

11

1111

L

L

L

( )

( )∑

∑

∑

µννµµν

µννµ

µν

µννµ

µννµ

µννµ

νµ

δ−=

δ−⋅⋅

πε=ϕ

δ−δ−⋅⋅

πε=ϕ

δ−⋅⋅

πε=ϕ

i

2

i

ii

i

23

o

i2

2

i

ii

i3

o

i2

ii

i3

o

Rxx3QD

R

xx3D

6R4

R

xx3Rxx3Q

6R4

R

xx3x xQ

2R4

11

11

11

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

i

2

i

2

i

2

i

ii

i

izyyz

ii

i

izxxz

ii

i

iyxxy

2

i

2

i

2

i

i

i

i

2

i

2

iizz

2

i

2

i

2

i

i

i

i

2

i

2

iiyy

2

i

2

i

2

i

i

i

i

2

i

2

iixx

zyxR

zyQ3DD

zxQ3DD

yxQ3DD

yxz2QRz3QD

zxy2QRy3QD

zyx2QRx3QD

++=

==

==

==

−−=−=

−−=−=

−−=−=

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑ Tensor µνD ma 5 niezależnych składo-

wych, ponieważ jest tensorem symetry-

cznym

νµµν = DD ,

a suma jego składowych diagonalnych

jest równa zeru:

0DDD zzyyxx =++ .


37

Na koniec zestawimy różne postacie członu kwadrupolowego w rozwinięciu potencjału ukła-

du ładunków punktowych.

PRZYKŁAD

( )

( )

( )∑

∑∑

∑∑∑

∑

∑∑

∑∑∑

∑

µννµµν

=µ =νµν

νµµν

=µ =νµν

νµµννµ

νµµν

µννµ

=µ =νµν

=µ =νµν

νµνµ

δ−=

δ−⋅⋅

πε=ϕ

δ−δ−⋅⋅

πε=ϕ

=

δ−⋅⋅

πε=ϕ

δ−⋅⋅

πε=ϕ

−α⋅⋅πε

=ϕ

i

2

i

ii

i

3 3

23

o

3 3

i2

2

i

ii

i3

o

ii

i

2

3 3

3

o

3 3

i2

ii

i3

o

i

22

i

i

i3

o

Rxx3QD

R

xx3D

6R4

R

xx3Rxx3Q

6R4

x xQd

R

xx3d

2R4

R

xx3x xQ

2R4

cos3RQ2R4

1 1

1 1

i

1 1

1 1

11

11

11

11

111

Jeżeli sumaryczny ładunek i moment dipolowy układu są równe zeru, to składowe tensora

momentu kwadrupolowego tego układu ładunków nie zależą od wyboru układu współ-

rzędnych ze zbioru układów o analogicznych osiach równoległych.

0z ,0y ,Rx

0zzzz

0yyyy

lx ,0x ,0x ,lx

0qQQ

0qQQ

432

432

432

32

4

===

====

====

+===−=

<−==

>+==

1

1

1

122

i

4

i

ixx ql2xQd == ∑=1

pozostałe składowe tensora dµν są równe zeru

3

o

2

2

2

xx3

o

23

o

R4

ql2

R

x3d

2R4R

xx3d

2R4

πε=ϕ

−⋅⋅

πε=

δ−⋅⋅

πε=ϕ µν

νµµν 1

1111

-qq>0 l-q q>0l

1 2 3 4

-l 0 +l R

x


38

PRZYKŁAD

. Rε4

2ql

, R

3zD

R

3yD

R

3xD

6Rε4

, δR

x3xD

6Rε4

3

o

2

2

2

zz2

2

yy2

2

xx3

o

2 3

o

11111

11

π=ϕ

−+

−+

−⋅⋅

π=ϕ

−⋅⋅

π=ϕ µν

νµµν

0.z 0,y R,x

,2

ly ,

2

ly 0,yy

,2

l x0,x x,

2

lx

0,qQ Q 0,qQQ

4231

3421

4231

===

=−===

−====

<−==>==

( ) ( ).0DDDDDD

,0D ,ql3xy2QD ,ql3yx2QD

.0dddddd

,0d ,qlyQd ,qlxQd

zyyzzxxzyxxy

zz

24

i

2

i

2

iiyy

24

i

2

i

2

iixx

zyyzzxxzyxxy

zz

22

i

4

i

iyy

22

i

4

i

ixx

======

=−=−==−=

======

=−====

∑∑

∑∑

==

==

11

11

,

000

03ql0

003ql

D ,

000

0ql0

00ql

d 2

2

2

2

−=

−= µνµν

.ql2

3

Rε4

R

3yD

R

3xD

6Rε4δ

R

x3xD

6Rε4

,ql2

3

Rε4

R

3yd

R

3xd

2Rε4δ

R

x3xd

2Rε4

2

3

o

2

2

yy2

2

xx3

o

2 3

o

2

3

o

2

2

yy2

2

xx3

o

2 3

o

1

111111

1

111111

⋅⋅π

=

=

−+

−⋅⋅

π=

−⋅⋅⋅

π=ϕ

⋅⋅π

=

=

−+

−⋅⋅

π=

−⋅⋅⋅

π=ϕ

µννµ

µν

µννµ

µν

l2

1

l2

1l-

2

1

l-2

1

x

y

R = (x,0)

1

4

2

3

+q +q

-q

-ql2

1

l2

1l-

2

1

l-2

1

q>0

.2qlxQD

,2qlxQD

,4qlx2QD

24

1i

2

iizz

24

1i

2

iiyy

24

1i

2

iixx

−=−=

−=−=

==

∑

∑

∑

=

=

=

Pozostałe składowe tensora

Dµν są równe zeru.


39

18 CZŁO OKTUPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU

• Człon oktupolowy Jeżeli sumaryczny ładunek, moment dipolowy, oraz wszystkie składowe tensora momentu

kwadrupolowego układu są równe zeru, to rozwinięcie potencjału

zaczyna się od czwartego wyrazu, zwanego członem oktupolowym. W członie tym rozdzieli-

my współrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych położenia punktu obser-

wacji.

• Tensor momentu oktupolowego układu ładunków Człon oktupolowy w rozwinięciu potencjału układu ładunków punktowych można przed-

stawić w postaci

∑ ∑∑∑=α =β =γ

αβγαγββγαγβααβγ

δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ

i

3 3 3

3i4

o R

xxx

R

xxx5dQ

2R4 1 1 1

11 ,

gdzie dwadzieścia siedem wielkości dαβγ , określonych dalej, tworzy tensor momentu oktupo-

lowego układu ładunków punktowych.

( )L+

πε

α−α⋅+

πε

δ−⋅⋅

+πε

⋅+

πε=ϕ

∑∑ µννµ

µν

R4

cos3cos5RQ2

R4

R

xx3D

6

R4

R4

Q

4

o

ii

33

i

i

i

3

o

2

3

oo

i

i

11

Rµµµµ

( )

( )33

i

3

iiii

3

i

iiii

2

i

2

i

2

i

2

i

i

ii

33

ii4

o

RR

zzyyxxcos

RR

zzyyxxcos

zyxR

cos3cos5RQ2R4

++=α

++=α

++=

α−α⋅⋅πε

=ϕ ∑11

−+

−+

−+

+

−+

−+

−+

−+

+

−+

−+

−⋅⋅

πε=ϕ

δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ

∑

∑ ∑∑∑=α =β =γ

αβγαγββγαγβαγβα

0R

xyz5zyx6

R

z

R

zy5zy3

R

y

R

yz5zy3

R

x

R

xz5zx3

R

x

R

xy5yx3

R

z

R

zx5zx3

R

y

R

yx5yx3

R

z3

R

z5z

R

y3

R

y5y

R

x3

R

x5xQ

2R4

R

xxx

R

xxx5xxxQ

2R4

3iii3

2

i

2

i3

22

ii

3

22

ii3

22

ii3

2

i

2

i3

2

i

2

i

i3

33

i3

33

i3

33

ii4

o

i

3 3 3

3

iii

i4

o

11

11

1 1 1


40

Dwadzieścia siedem powyższych wielkości tworzy tensor momentu oktupolowego układu ła-

dunków punktowych, zapisywany też jako

∑ γβααβγ =i

iii

i xxxQd .

Tensor dαβγ jest tensorem trzeciego rzędu, stanowi go 33 = 27 składowych, w tym dziesięć

niezależnych.

Przeprowadźmy jeszcze raz ostatnie rachunki, korzystając ze skróconej notacji.

.zyxQdddddd

,zyQd d d

,zyQddd

,zxQddd

,yxQddd

,zxQddd

,yxQddd

,zQd ,yQd ,xQd

iii

i

izyxzxyyzxyxzxzyxyz

i

2

i

i

izyyyzyyyz

2

ii

i

izzyzyzyzz

2

ii

i

izzxzxzxzz

2

ii

i

iyyxyxyxyy

i

2

i

i

izxxxzxxxz

i

2

i

i

iyxxxyxxxy

i

3

iizzz

i

3

iiyyy

i

3

iixxx

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑∑∑

======

===

===

===

===

===

===

===

( )

33

i

iii

i

3

iiii2

i

i

i

i

i

ii

33

ii4

o

RR

xxxxxxcos

xxxxR

RR

xxcos

cos3cos5RQ2R4

γγββαα

βγγβαα

αα

=α

δ==

=α

α−α⋅⋅πε

=ϕ ∑11 ( )

δ+δ+δ−=

=

δ−=

=δ

−=

=α−α


βγαγβαγβα

βγγβααγγββαα

R

xxx

R

xxx5xxx

R

x3

R

xxx5xxx

R

xxxx3

R

xxxxxx5

cos3cos5R

3

iii

3

iii

iii

3

iii

ii

33

i

∑ ∑∑∑=α =β =γ


δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ

i

3 3 3

3

iii

i4

o R

xxx

R

xxx5xxxQ

2R4 1 1 1

11

Aby zmniejszyć liczbę składowych niezależnych tensora momentu oktupolowego, wykonamy

znowu sztuczkę z zerem

( ) 0R

xxx

R

xxx5xxxR

5 3

iii2

i

3 3 3

=

δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅ αβγαγββγαγβα

αβγαγββγα=α =β =γ

∑∑∑1 1 1

1.

Dla uproszczenia rachunków, opuścimy operatory sumowania ∑∑∑=α =β =γ

3 3 3

1 1 1

i przyjmiemy, że

δ+δ+δ−= αβγαγββγαγβα

R

xxx

R

xxx5A

3.


41

Powracamy do członu oktupolowego w rozwinięciu potencjału.

Wypiszemy teraz w jawnej postaci składowe tensora Dαβγ momentu oktupolowego.

Tensor Dαβγ momentu oktupolowego układu ładunków punktowych jest tensorem trzeciego

rzędu, tworzy go 33 = 27 składowych, w tym siedem niezależnych.

( )[ ]2

i

2

i

2

i

2

i

iii2

i

iii

i

i

i

3 3 3

3i4

o

zyxR

xxxRxxx5QD

R

xxx

R

xxx5DQ

0R4

++=

δ+δ+δ−=

δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ


=α =β =γ


∑

∑ ∑∑∑1 1 11

11

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0DDD

0DDD

0DDD

zyx5Q0zyx5QDDDDDD

zxzzy4QRzzy5QDDD

yxyzy4QRyzy5QDDD

yxxzx4QRxzx5QDDD

zxxyx4QRxyx5QDDD

zyzzx4QRzzx5QDDD

zyyyx4QRyyx5QDDD

zy3zx3z2QRz3z5QD

zy3yx3y2QRy3y5QD

zx3yx3x2QRx3x5QD

zzzzyyzxx

yzzyyyyxx

xzzxyyxxx

iii

i

iiii

i

izyxzxyyzxyxzxzyxyz

i

i

2

i

3

ii

2

ii

2

iii

2

i

i

izyyyzyyyz

i

i

2

i

3

i

2

iii

2

ii

2

ii

i

izzyzyzyzz

i

2

ii

3

i

2

iii

2

ii

2

ii

i

izzxzxzxzz

i

2

ii

3

i

2

iii

2

ii

2

ii

i

iyyxyxyxyy

i

i

2

i

3

ii

2

ii

2

iii

2

i

i

izxxxzxxxz

i

2

ii

3

ii

2

ii

2

iii

2

i

i

iyxxxyxxxy

i

i

2

ii

2

i

3

ii

i

2

ii

3

iizzz

i

2

iii

2

i

3

ii

i

2

ii

3

iiyyy

i

2

ii

2

ii

3

ii

i

2

ii

3

iixxx

=++

=++

=++

=−======

−−=−===

−−=−===

−−=−===

−−=−===

−−=−===

−−=−===

−−=−=

−−=−=

−−=−=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

( )

( )

( )[ ]

δ+δ+δ−δ+δ+δ−⋅=

=

δ+δ+δ⋅−=

=δ+δ+δ⋅−=

δ+δ+δ−

αβγαγββγαγβααβγαγββγαγβα

αβγαγββγαγβα

αβγαγββγαγβααβγαγββγαγβα

γβα

R

xxx

R

xxx5 xxxRxxx5

5

xxxR5

xxxA

AxxxR5

AxxxR

xxx

R

xxx5xxx

3

iii2

i

iii

iii2

i

iii

iii2

i

iii

3

iii

1

1

1


42

Napiszmy jeszcze raz wszystkie trzy postacie członu oktupolowego.

Na koniec powróćmy do sztuczki z zerem.

( )

( )[ ]

2

i

2

i

2

i

2

i

iii2

i

iii

i

i

i

3 3 3

3i4

o

i

iii

i

i

3 3 3

3i4

o

i

ii

33

ii4

o

zyxR

xxxRxxx5QD

R

xxx

R

xxx5DQ

0R4

xxxQd

R

xxx

R

xxx5dQ

2R4

cos3cos5RQ2R4

++=

δ+δ+δ−=

δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ

=

δ+δ+δ−⋅⋅

πε=ϕ

α−α⋅⋅πε

=ϕ


=α =β =γ


γβααβγ

=α =β =γ


∑

∑ ∑∑∑

∑

∑ ∑∑∑

∑

1 1 1

1 1 1

1

11

11

11

Jeżeli sumaryczny ładunek, moment dipolowy, oraz wszystkie składowe tensora momentu

kwadrupolowego układu ładunków punktowych są równe zeru, to składowe tensora mo-

mentu oktupolowego nie zależą od wyboru układu współrzędnych w zbiorze układów

o analogicznych osiach równoległych.

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 0RRzzRRyyRRxxR5

R

RzyxzzRzyxyyRzyxxxR5

R

zRzy5zRzx5zR3z5z3R5

R

yRyz5yRyx5yR3y5y3R5

R

xRxz5xRxy5xR3x5x3R5

R

xxxRxxx5xxxR

R5

R

xxx

R

xxx5xxxR

5

22

i

22

i

22

i3

2

i

2222

i

2222

i

2222

i3

2

i

222223

i3

2

i

222223

i3

2

i

222223

i3

2

i

2iii

3

2

i

3 3 3

3

iii2

i

3 3 3

5

5

=−+−+−⋅=

=−+++−+++−++⋅=

=−+−+−⋅+

+−+−+−⋅+

+−+−+−⋅=

=δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅⋅=

=

δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅

αβγαγββγαγβααβγαγββγα=α =β =γ

αβγαγββγαγβααβγαγββγα

=α =β =γ

∑∑∑

∑∑∑

1

1

11

1

1 1 1

1 1 1


43

PRZYKŁAD

19 KIERUKI WŁASE (OSIE GŁÓWE) I WARTOŚCI WŁASE ORAZ IEZ-MIEIKI TESORA MOMETU KWADRUPOLOWEGO

• Osie główne lub kierunki własne symetrycznego tensora drugiego rzędu, to kierunki osi

układu współrzędnych prostokątnych, w którym wszystkie składowe niediagonalne tensora są

równe zeru. Składowe diagonalne takiego tensora nazywane są jego wartościami własnymi.

Kierunek własny tensora ma tę własność, że każdy wektor x o tym kierunku, przemnożony

przez macierz utworzoną ze składowych tensora, staje się wektorem λx. Współczynnik λjest wartością własną tensora dla danego kierunku.

Układ ten (przedstawiony w trzech różnych równoważnych postaciach) posiada niezerowe

rozwiązanie x1, x2, x3 wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik jest równy zeru.

Współczynniki I1, I2, I3 określone są następująco:

lzzzz

0zzzz

lyyyy

0yyyy

lxxxx

0xxxx

0qQQQQ

0qQQQQ

7632

854

6543

872

8765

432

8642

753

====

====

====

====

====

====

>+====

<−====

1

1

1

1

l = odległość między

dwoma sąsiednimi ładunkami

∑=

=======8

i

3

iiiizyxzxyyzxyxzxzyxyz qlzyxQdddddd1

Pozostałe składowe tensora dαβγ są równe zeru.

∑=

=======8

i

3

iiiizyxzxyyzxyxzxzyxyz ql5zyxQ5DDDDDD1

Pozostałe składowe tensora Dαβγ są równe zeru.

λ=

3

2

3

2

33323

23222

32

x

x

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa 11

1

1

1111

lub

,2,3p

xxa pq

3

q

pq

1

1

=

λ=∑= lub

( )( )

( )

=λ−++

=+λ−+

=++λ−

0xaxaxa

0xaxaxa

0xaxaxa

3332323

3232222

3322

11

11

11111

( ) 0III

aaa

aaa

aaa

adet 32

23

33323

23222

32

pqpq =+λ−λ+λ−=

λ−

λ−

λ−

=λδ− 1

1

1

1111

+q

+q

-q

y

z

l

l

l 32

41

6

5

7

8

-q

-q+q

+q-q

x

q>0


44

Równanie 0III 32

23 =+λ−λ+λ− 1 nazywamy równaniem charakterystycznym (wiekowym

lub sekularnym).

Dla każdej wartości własnej tworzymy odpowiedni układ równań.

Rozwiązania tych równań wyznaczają kierunki własne tensora, odpowiadające wartościom

własnym , , 32 λλλ1 .

Ze składowych tensora momentu kwadrupolowego tworzymy macierz

Tensor momentu kwadrupolowego, jak każdy symetryczny tensor drugiego rzędu, można

sprowadzić do postaci diagonalnej o składowych rzeczywistych. W nowym układzie współ-

rzędnych składowe tensora dµν mają postać

Znajdujemy je jako rozwiązania , , 32 λλλ1 równania charakterystycznego, zwane wartoś-

ciami własnymi tensora dµν . Odpowiadające tym wartościom własnym kierunki własne sta-

nowią osie nowego układu współrzędnych.

( ) ( ) ( )332232233223322332323322pq3

3223332233332222

3332

2322

333

3

222

2

2

3

3322

aaaaaaaaaaaaaaaaaaadetI

aaaaaaaaaaaa

aa

aa

aa

aa

aa

aaI

aaaaI

111111111111

11111111

1

111

1

111

1

111

−−−++==

−+−+−=

=++=

=++= ∑=µ

µµ

. dd ,

ddd

ddd

ddd

d

333231

232221

131211

νµµνµν =

=

.

λ00

0λ0

00λ

ddd

ddd

ddd

d

3

2

1

'

33

'

32

'

31

'

23

'

22

'

21

'

13

'

12

'

11

'

=

=µν

3. 2, ,p ,xxa

3. 2, ,p ,xxa

3. 2, ,p ,xxa

p3q

3

q

pq

p2q

3

q

pq

pq

3

q

pq

1

1

1

1

1

1

1

=λ=

=λ=

=λ=

∑

∑

∑

=

=

=

( )

3. 2, ,p ,xλxd ,xλxd ,xλxd

0,IλIλIλλδddet

1p3q

3

1q

pqp2q

3

1q

pqp1q

3

1q

pq

32

2

1

3

pqpq

====

=+−+−=−

∑∑∑===


45

PRZYKŁAD

Równanie charakterystyczne

W układzie osi głównych tensor momentu kwadrupolowego przyjmuje postać diagonalną.

Aby znaleźć osie główne (kierunki własne) tensora, należy dla każdej wartości własnej

, , 32 λλλ1 rozwiązać odpowiedni układ równań.

Niezmiennikami ortogonalnych przekształceń układu współrzędnych są:

1. ślad macierzy utworzonej ze składowych tensora

''

33

'

22

''

3322 Idddd TrddddTr I 111111 =++==++== µνµν ,

2. wyznacznik macierzy utworzonej ze składowych tensora

'

2

'

2 IddetddetI === µνµν ,

3. wartości własne , , 32 λλλ1 macierzy utworzonej ze składowych tensora,

4. współczynnik I3 w równaniu charakterystycznym macierzy utworzonej ze

składowych tensora

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . Idddddddddddd

ddddddddddddI

'

3

'

32

'

23

'

33

'

22

'

3

'

3

'

33

''

2

'

2

'

22

'

32233322333322223

=−+−+−=

=−+−+−=

11111111

11111111

Tensor momentu kwadrupolowego

w układzie współrzędnych x1, x2

=µν

000

00ql

0ql0

d 2

2

0I

lqI

0I

0III

3

42

2

32

23

=

−=

=

=+λ−λ+λ−

1

10lq 423 =λ+λ−

Wartości własne:

0

ql

ql

3

2

2

2

=λ

−=λ

=λ1

⇒

−=

λ

λ

λ

=µν

000

0ql0

00ql

00

00

00

d 2

2

3

2

1

'

3. 2, ,p

,xxd ,xxd ,xxd p3q

3

q

pqp2q

3

q

pqpq

3

q

pq

1

11

1

1

=

λ=λ=λ= ∑∑∑===

( )( )

( )

0x

xx

0xql000

00xql0xql

00xqlxql0

ql

3

2

3

2

2

22

2

22

2

=

=

=−++

=+−+

=++−

=λ

1

1

1

1

( )( )

( )

0x

xx

0xql000

00xql0xql

00xqlxql0

ql

3

2

3

2

2

22

2

22

2

2

=

−=

=+++

=+++

=+++

−=λ

1

1

1

0x

0x

0x

0x0x0x0

0x0x0xql

0x0xqlx0

0

3

2

32

32

2

32

2

3

=

=

=

=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+

=⋅++⋅

=λ

1

1

1

1

l21

l21

l-21

l-21

l21

l21

l-21

l-21

4

3

1

2

x = x1

q>0

q>0-q

-q


46

x2

x1

( )0 x,xx 32 ==1

Kierunek własny

odpowiadający

wartości własnej2ql=λ1 .

( )0 x,xx 32 =−=1

Kierunek własny

odpowiadający

wartości własnej2

2 ql−=λ .

α tgα = 1

o45 ,tg

cosxsinxx

sinxcosxx

2

'

2

2

'

=α=α

α+α−=

α+α=

1

1

11

=µν

000

00ql

0ql0

d 2

2

−=µν

000

0ql0

00ql

d 2

2

'

2

'

2

2

'

xxx

xx x

⋅+⋅−=

⋅+⋅+=

2

212

2

2

212

21

Kierunki własne stanowią osie nowego układu współrzędnych '

2

'

1 x ,x . Nowe współrzędne pun-

któw, w których znajdują się ładunki kwadrupola, znajdujemy ze wzorów transformacyjnych.

'

2x'

1x4

3

1

2

'

2x'

1x

l21

l21

l-21

l-21

l21

l21

l-21

l-21

4

3

1

2

x = x1

A x1 x2

Q1 l⋅21 l⋅

21

Q2 l⋅21 l⋅−

21

Q3 l⋅−21 l⋅−

21

Q4 l⋅−21 l⋅

21

A '

1x '

2x

Q1 l⋅2

1 0

Q2 0 l⋅−2

1

Q3 l⋅−2

1 0

Q4 0 l⋅2

1


47

20 MULTIPOLOWE ROZWIIĘCIE POTECJAŁU POLA CIĄGŁEGO ROZ-KŁADU ŁADUKÓW ROZMIESZCZOYCH ZE STAŁĄ GĘSTOŚCIĄ OBJĘTOŚ-CIOWĄ W OBSZARZE ELIPSOIDY W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDYCH, KTÓRYSTAOWIĄ OSIE ELIPSOIDY

• Elipsoida Elipsoida obrotowa modeluje wiele obiektów, poczynając od kuli, poprzez dysk, cygaro,

a na walcu kończąc. Elipsoida trójosiowa jest powierzchnią daną równaniem kanonicznym.

a = b = c sfera

a = b > c elipsoida obrotowa spłaszczona

a = b < c elipsoida obrotowa wydłużona

Objętość elipsoidy wynosi

abc3

4V π⋅= .

Kontur rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z jest

elipsą

o półosiach

i polu powierzchni

−π=

2

2

zc

zabR 1 .

• Przejście od dyskretnego (nieciągłego) do ciągłego rozkładu ładunków Aby przejść, od wzorów dla układu ładunków punktowych do wzorów dla ciągłego roz-

kładu ładunków, dokonamy następujących odwzorowań.

1=++2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xa, b, c = półosie elipsoidy

constz ,

c

zb

y

c

za

x

2

22

2

2

22

2

==

−

+

−

1

11

2

2

2

2

c

zb i

c

za −− 11

( )

( )

( )

( )∫∫∫∑

∫∫∫∑

∫∫∫∑

∫∫∫∑

ρ=µ→=µ

ρ=µ→=µ

ρ=µ→=µ

ρ=→

V

zi

i

iz

V

y

i

iiy

Vi

xiix

Vi

i

zdVz,y,xzQ

ydVz,y,xyQ

xdVz,y,xxQ

dVz,y,xQQ

( )

( )

( )∫∫∫∑

∫∫∫∑

∫∫∫∑

ρ=→=

ρ=→=

ρ=→=

V

2

zz

2

i

i

izz

V

2

yy

2

i

i

iyy

V

2

xx

2

i

i

ixx

dVzz,y,xdzQd

dVyz,y,xdyQd

dVxz,y,xdxQd


48

• Moment dipolowy ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipso-idy ze stałą gęstością objętościowąZałożymy ciągły rozkład ładunków w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową

( )abc4

Q3z,y,x

π=ρ .

Założymy też, że osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami elipsoidy, czyli z osiami

głównymi tensora momentu kwadrupolowego.

Rx = rzut na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi x

∫∫xR

dydz = pole rzutu na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą

do osi x

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )∫∫∫∑

∫∫∫∑

∫∫∫∑

−−ρ=→−−=

−−ρ=→−−=

−−ρ=→−−=

V

222

zz

2

i

2

i

2

i

i

izz

V

222

yy

2

i

2

i

2

i

i

iyy

V

222

xx

2

i

2

i

2

i

i

ixx

dVxyz2z,y,xDxyz2QD

dVzxy2z,y,xDzxy2QD

dVzyx2z,y,xDzyx2QD

( )

( )

04

xdxx

02

xxdx

a

xbcdydz

abc4

Q3x,y,x

xdVz,y,x

a

a

a

a

43

a

a

a

a

2

R

2

2

V

x

x

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=µ

+

−−

+

−−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

( )

( )

04

ydyy

02

yydy

b

yacdxdz

abc4

Q3x,y,x

ydVz,y,x

b

b

b

b

43

b

b

b

b

2

R

2

2

V

y

y

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=µ

+

−−

+

−−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

( )

( )

04

zdzz

02

zzdz

c

zabdxdy

abc4

Q3x,y,x

zdVz,y,x

c

c

c

c

43

c

c

c

c

2

R

2

2

V

z

z

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=µ

+

−−

+

−−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

0

dxa

xxbc

abc4

Q3

dydzxdxabc4

Q3

xdxdydzabc4

Q3

xdxdydzabc4

Q3

a

a

2

2

R

a

a

V

V

x

x

=

=

−π

π=

=π

=

=π

=

=π

=µ

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

1

⇓ ⇓ ⇓

0

dyb

yyac

abc4

Q3

dxdzydyabc4

Q3

ydxdydzabc4

Q3

ydxdydzabc4

Q3

b

b

2

2

R

b

b

V

V

y

y

=

=

−π

π=

=π

=

=π

=

=π

=µ

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

1

0

dzc

zzab

abc4

Q3

dxdyzdzabc4

Q3

zdxdydzabc4

Q3

zdxdydzabc4

Q3

c

c

2

2

R

c

c

V

V

z

z

=

=

−π

π=

=π

=

=π

=

=π

=µ

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

1


49

• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonychw obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową

( )

( )

5

a

a

5a

a

4

3

a

a

3a

a

2

R

2

2

V

2

xx

a5

2

5

xdxx

a3

2

3

xdxx

a

xbcdydz

abc4

Q3z,y,x

dVxz,y,xd

x

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

( )

( )

5

b

b

5b

b

4

3

b

b

3b

b

2

R

2

2

V

2

yy

b5

2

5

ydyy

b3

2

3

ydyy

b

yacdxdz

abc4

Q3z,y,x

dVyz,y,xd

y

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

( )

( )

5

c

c

5c

c

4

3

c

c

3c

c

2

R

2

2

V

2

zz

c5

2

5

zdzz

c3

2

3

zdzz

c

zabdxdy

abc4

Q3z,y,x

dVzz,y,xd

z

=

=

=

=

−π=

π=ρ

ρ=

+

−

+

−

+

−

+

−

∫

∫

∫∫

∫∫∫

1

⇓⇓⇓

2

xx

a

a

2

22

R

a

a

2

V

2

xx

Qa5

d

dxa

xxbc

abc4

Q3

dydzdxxabc4

Q3

dxdydzxabc4

Q3d

x

1

1

=

−π

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

2

zz

c

c

2

22

R

c

c

2

V

2

zz

Qc5

d

dzc

zzab

abc4

Q3

dxdydzzabc4

Q3

dxdydzzabc4

Q3d

z

1

1

=

−π

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

2

yy

b

b

2

22

R

b

b

2

V

2

yy

Qb5

d

dyb

yyπac

abc4

3Q

dxdzdyyabc4

3Q

dxdydzyabc4

3Qd

1

1

y

=

−

π=

=π

=

=π

=

∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

Rx = rzut na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi x

∫∫xR

dydz = pole rzutu na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do

osi x

Ry = rzut na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi y

∫∫yR

dxdz = pole rzutu na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do

osi y

Rz = rzut na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z

∫∫zR

dxdy = pole rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą

do osi z

W rozpatrywanym układzie współrzędnych, czyli układzie którego osie pokrywają się

z osiami elipsoidy, moment dipolowy jest równy zeru, ponieważ wszystkie jego składowe

są równe zeru.

( ) 0 0 , 0 , 0 zyx =⇒=µ=µ=µ µµµµ


50

( )( )

( )

( )

( )222

xx

333

a

a

b

b

c

c

2

22

2

22

2

22

a

a R

b

b R

c

c R

222

V

222

xx

V

222

xx

cba2Q5

D

abc5

4cab

5

4bca

5

8

abc4

Q3

dzc

zzabdy

b

yyacdx

a

xxbc2

abc4

Q3

dxdydzzdxdzdyydydzdxx2abc4

Q3

dxdydz zyx2abc4

Q3D

abc4

Q3z,y,x

dV zyx2z,y,xD

x y z

−−⋅=

π⋅−π⋅−π⋅π

=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111

( )( )

( )

( )

( )222

yy

333

b

b

a

a

c

c

2

22

2

22

2

22

b

b R

a

a R

c

c R

222

V

222

yy

V

222

yy

cab2Q5

D

abc5

4bca

5

4cab

5

8

abc4

Q3

dzc

zzabdx

a

xxbcdy

b

yyac2

abc4

Q3

dxdydzzdydzdxxdxdzdyy2abc4

Q3

dxdydz zxy2abc4

Q3D

abc4

Q3z,y,x

dV zxy2z,y,xD

y x z

−−⋅=


=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111


51

Zbierzmy otrzymane wyniki.

Składowe niediagonalne obu tensorów są wszystkie równe zeru.

W przypadku elipsoidy obrotowej

tensor momentu kwadrupolowego Dµν posiada tylko jedną składową niezależną Dzz .

UWAGASkładowa Dzz bywa utożsamiana z tensorem momentu kwadrupolowego, co prowadzi do nie-

porozumień.

( )( )

( )

( )

( )222

zz

333

c

c

b

b

a

a

2

22

2

22

2

22

c

c R

b

b R

a

a R

222

V

222

zz

V

222

zz

abc2Q5

D

bca5

4cab

5

4abc

5

8

abc4

Q3

dxa

xxbcdy

b

yyacdz

c

zzab2

abc4

Q3

dydzdxxdxdzdyydxdydzz2abc4

Q3

dxdydz xyz2abc4

Q3D

abc4

Q3z,y,x

dV xyz2z,y,xD

z y x

−−⋅=


=

=

−π−

−π−

−π

π=

=

−−

π=

=−−π

=

⇓

π=ρ

−−ρ=

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

∫∫∫

∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

1

111

111

( )

( )

( )

, DDD2

, acQ5

2D

, caQ5

D

, caQ5

D

, ba

yyxxzz

22

zz

22

yy

22

xx

1

1

1

==−

−=

−=

−=

=

( ) ( ) ( ). 0DDD

, ab2cQ5

1 D , ca2bQ

5

1 D , cb2aQ

5

1 D

,Qc5

1d ,Qb

5

1d ,Qa

5

1d

zzyyxx

222

zz

222

yy

222

xx

2

zz

2

yy

2

xx

=++

−−⋅=−−⋅=−−⋅=

⋅=⋅=⋅=


52

• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału pola ciągłego rozkładu ładunkówrozmieszczonych w obszarze elipsoidy obrotowej ze stałą gęstością objętościową

PRZYKŁADElektryczny moment kwadrupolowy jądra atomowegoJądro atomowe bywa modelowane elipsoidą obrotową, w której objętości rozmieszczony jest

ładunek Ze ze stałą gęstością objętościową

ca4

Ze32

=ρ .

Moment dipolowy ładunków rozmieszczonych ze stałą gęstością objętościową w obszarze eli-

psoidy obrotowej jest równy zeru względem układu współrzędnych, którego osie pokrywają

( )

2

22

2222

zyyzzxxzyxxy

22

zz

zzyyxx

32

2

3 3

3

o

2

R

zcos

zyxR

0DDDDDD

acQ5

2D

D2

DD

zx ,yx ,xx

R

xx3D

6R4

=α

++=

======

−=

−==

===

δ−

πε=ϕ µν

νµ

=µ =νµν∑∑

1

11

1

1 1

⇓

( )111

11

11

111

1111

11111

−απε

=ϕ

−

πε=ϕ

+−−

πε=ϕ

−+

−−

−−

πε=ϕ

−+

−+

−

πε=ϕ

2

zz3

o

2

2

22

zz3

o

2

2

222

zz3

o

2

2

2

2

2

2

2

zz3

o

2

2

2

zz2

2

yy2

2

xx3

o

2

cos3D4R4

R

Rz3D

4R4

R2

z6y3x3D

6R4

R

z3

R

y3

2R

x3

2D

6R4

R

z3D

R

y3D

R

x3D

6R4

Pierwsze trzy człony w rozwinięciu potencjału ostatecznie przyjmują postać

( )( )1111

1−α−⋅⋅

πε+⋅

πε=ϕ 222

3

oo

cos3ac0R4

Q

R4

Q .

Punkt obserwacji

α

y

z

x


53

się z osiami elipsoidy obrotowej, a równocześnie z osiami głównymi (kierunkami własnymi)

tensora momentu kwadrupolowego. W takim układzie współrzędnych tensor momentu kwa-

drupolowego Dµν posiada niezerowe rzeczywiste składowe diagonalne Dxx = Dyy = -(1/2) Dzz ,

a pozostałe składowe są równe zeru. Tensor momentu kwadrupolowego jądra posiada więc

tylko jedną składową niezależną Dzz .

W przypadku gdy moment kwadrupolowy ma tylko jedną niezależną składową, jej znak dos-

tarcza informacji o rozmieszczeniu ładunków.

Moment kwadrupolowy wyrazimy przez średni promień jądra r i parametr deformacji jądra η.

( )

C06,e

ZeQ

ba

abc2Q5

D

9

222

zz

111

1

−⋅=

=

=

−−=

⇒ ( )22

zz ac5

Ze2D −=

Jądra kuliste (sferyczne) mają Dzz = 0 .

Jądra wydłużone wzdłuż osi symetrii (cygaro) mają Dzz > 0 .

Jądra spłaszczone wzdłuż osi symetrii (dysk) mają Dzz < 0 .

( )

( )( ) η=−+=−+−

⋅=∆

=η

−=∆

⋅=

=+

=

−⋅=

−

222

5

o

3o

22

zz

r2acacac

ac

ac2

r

r

acr

m1007,r

Ar2

car

acZe5

2D

1

1

1 ⇒ η⋅= 2

zz Zer5

4D

y

z

x

y

z

x

y

z

x

Kula: D = 0zz Cygaro: D > 0zzDysk: D < 0zz


54

Elektryczny moment kwadrupolowy jądra bywa też definiowany, jako

( )( ) zz

222

V

o De

dV xy2zzy,x,ρe

Q11

⋅=−−⋅= ∫∫∫ .

PRZYKŁADPotencjał elektryczny jądra atomowego

21 POLA RÓŻYCH AŁADOWAYCH PRZEWODIKÓW I ROZKŁADÓWŁADUKÓW

• Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierz-chniową ładunku σσσσ

Ex>0 = wektor natężenia pola elektrycznego dla x>0

Ex<0 = wektor natężenia pola elektrycznego dla x<0

( )

( ) 222

zz

2

zz3

oo

rZe5

4ac

5

Ze2D

ZeQ

cos3D4R4R4

Q

η=−=

=

=

−απε

+πε

=ϕ

0000µµµµ

111 ( )( )1

1

1−α−

πε+

πε=ϕ 222

3

oo

cos3ac0R4

Ze

R4

Ze

( )11

−αηπε

+πε

=ϕ 22

3

oo

cos3r5R4

Ze

R4

Ze

( )

−α

η⋅+

πε=ϕ 11

2

2

2

o

cos35R

r

R4

Ze

Powierzchnię Gaussa stanowi powierzchnia

walca prostopadłego do naładowanej płasz-

czyzny. Strumień natężenia pola elektrycz-

nego przez powierzchnię boczną walca jest

równy zeru, ponieważ wektory natężeń pola

elektrycznego są równoległe do tej po-

wierzchni.

0x0x

i

i

0xoD

i

iD

Sq

S2E

q

<>

>

−=

σ=

ε=Φ

=Φ

∑

∑

EE

SS2E 0xo σ=ε >⇒ ⇒

x2 0x

x2 0x

o

0x

o

0x

xEE

xEE

⋅εσ−

=−=⇒<

⋅εσ+

==⇒>

>

>

S S

+σEx>0Ex<0

S-S


55

• Pole elektryczne dwóch nieskończonych płaszczyzn równoległych naładowanych róż-noimiennymi ładunkami o stałych gęstościach powierzchniowych +σσσσ i −σ−σ−σ−σ

( )xx

0x

0x

d

xdx

2E

0x

dx

dE

2

o

=

=ϕ

=

ϕ=ϕ

=

εσ+

=

>

ϕ−=

∫∫

1

1

( ) ( ) ( )11 xx2

xx 2

o

2 −⋅εσ

=ϕ−ϕ

( ) x2

xo

⋅εσ

−=ϕ

⇓

⇓

⇒

⇒

( )

( )

∫∫ =ϕ

=ϕϕ

ϕ

22 x

x

x

x

Edxd-

Edxd-

11

( )xx

0x

0x

2E

0x

dx

dE

2

o

=

=ϕ

=

εσ−

=

<

ϕ−=

1

1

⇒

( ) ( ) ( )2

o

2 xx2

xx −⋅εσ

=ϕ−ϕ 11

( ) x2

xo

⋅εσ

=ϕ

⇒

⇓

ooo 22E

εσ

=εσ

+εσ

=

Niebieskie strzałki oznaczają wektory natężeń pola elektrycznego, którego źródłem jest

płaszczyzna naładowana ujemnie. Czerwone strzałki oznaczają wektory natężeń pola

elektrycznego, którego źródłem jest płaszczyzna naładowana dodatnio.

o2εσ+

o2εσ−

xx

E

o2ε

o2ε

E = 0 E = 0

+σ−σ


56

• Pole elektryczne powierzchni cylindrycznej (walcowej) naładowanej ze stałą gęstoś-cią powierzchniową ładunku σσσσ

Prawo Gaussa dla powierzchni Sex :

Prawo Gaussa dla powierzchni Sin :

R = promień naładowanej powierzchni

cylindrycznej

Sex = cylindryczna powierzchnia Gaussa

współosiowa z naładowaną powierzchnią

cylindryczną o promieniu r ≥ R

Sin = cylindryczna powierzchnia Gaussa

współosiowa z naładowaną powierzchnią

cylindryczną o promieniu r < R

l >> R

∑

∑

=⋅π⋅σ=

⋅π⋅ε=Φ

≥

=Φ

i

i

oD

i

iD

QlR2q

lr2E

Rr

q

∑

∑

=

⋅π⋅ε=Φ

<

=Φ

i

i

oD

i

iD

0q

lr2E

Rr

q

⇒ 0E =

⇒

⇓⇓

QlR2lr2Eo =⋅π⋅σ=⋅π⋅ε

r

RE

oεσ

=rl2

QE

oπε=

l

Q

Rl2

Q

rlndr r

r

RE

dr

dE

Rr

Rl

o

=λ

π=σ

=

εσ

=

ϕ−=

≥

>>

∫1

⇒

⇒

( ) ( )[ ]

( ) ( ) dr r

Rrr

Edrrr

Edrd

2

2

r

ro

2

r

r

2

∫

∫

εσ

=ϕ−ϕ

=ϕ−ϕ−

=ϕ−

1

1

11

1

( ) ( )

1

1

1

1

r

rln

2

r

rln

l2

Q

r

rln

Rrr

2

o

2

o

2

o

2

πελ

=

πε=

εσ

=ϕ−ϕ

Sin

Sex

l

r1

r2


57

• Pole elektryczne walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową ładunku ρρρρ



( )

( ) ( )

( )R

rln

Rr

R

rln

RrR

0R

rr

Rr

o

o

2

εσ

−=ϕ

εσ

=ϕ−ϕ

⇓

=ϕ

=

=1

R = promień naładowanego walca

Sex = cylindryczna powierzchnia

Gaussa współosiowa z naładowanym

walcem o promieniu r > R

Sin = cylindryczna powierzchnia

Gaussa współosiowa z naładowanym

walcem o promieniu r < R

l >> R

l

Q

lR

Q

QlRq

lr2E

Rr

q

2

2

i

i

oD

i

iD

=λ

π=ρ

=⋅π⋅ρ=

⋅π⋅ε=Φ

≥

=Φ

∑

∑lRrl2E 2

o ρπ=πε

r2

RE

o

2

ερ

=

or2E

επλ

=

⇓

⇓

⇒

⇒

lrq

lr2E

Rr

q

2

i

i

oD

i

iD

⋅π⋅ρ=

⋅π⋅ε=Φ

<

=Φ

∑

∑⇓

⇒ lrrl2E 2

o ρπ=πε

o2

rE

ερ

=

Sin

Sex

l

ϕ

R

r

oε

ρ

R r

oε


58

( )rr

0r

0r

r 2

rdr

2

rE

dr

dE

Rr

2

2

o

=

=ϕ

=

=

ερ

=

ϕ−=

<

∫

1

1

1

( )o

2

2

o

2

4

RR

rr

Rr

rlndr r

r2

RE

dr

dE

Rr

ερ

−=ϕ

=

=

=

ερ

=

ϕ−=

≥

∫

1

1

⇒

( ) ( ) dr r2

Rrr

Edrd

2r

ro

2

2 ∫ερ

=ϕ−ϕ

=ϕ−

1

11

( ) ( )1

1r

rln

2

Rrr 2

o

2

2 ερ

=ϕ−ϕ

( ) ( )

+ε

ρ−=

ερ

−ϕ=ϕR

rln

22

R

R

rln

2

RRr

o

2

o

2 1

⇒

⇒

⇓

R

o

R

ε2

R

r

r

ϕ

punkt przegięcia

o

R

ερ4

2

−

⇒

⇒

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ∫

∫

ερ

=ϕ−ϕ

=ϕ−ϕ−

=ϕ−

2

2

r

ro

2

r

r

2

rdr2

rr

Edrrr

Edrd

1

1

1

1

⇒

( ) ( ) ( )22

2

o

2 rr4

rr 11 −ερ

=ϕ−ϕ

⇓

( )o

2

4

rr

ερ

−=ϕ


59

• Pole elektryczne powierzchni kulistej (sferycznej) naładowanej ze stałą gęstościąpowierzchniową ładunku +σσσσ



PRZYKŁADPrzykładem takiego rozmieszczenia ładunków jest naładowana kula metalowa, ponieważ ła-

dunki gromadzą się tylko na jej powierzchni.

R = promień sfery naładowanej elektrycznie

Sex = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną

sferą o promieniu r ≥ R

Sin = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną

sferą o promieniu r < R

rex i rin = promienie powierzchni Gaussa Sex i Sin koncen-

trycznych z naładowaną sferą

QR4q

r4E

Rr

q

2

i

i

2

oD

i

iD

=π⋅σ=

π⋅ε=Φ

≥

=Φ

∑

∑

2

or4

QE

πε=

rr4

Q2

o

rE ⋅

πε=⇒

( )

rdr

r

rε 4

QE

0

dr

dE

Rr

112

2

o

−=

π=

=∞ϕ

ϕ−=

≥

∫

( ) ( )[ ]

( )

( ) rε4

Qr

dr rε4

Qr

Edrr

Edrd

ro

r

2

o

r

1

1

∞

∞

∞

−π

=ϕ

π=ϕ

=ϕ−∞ϕ−

=ϕ−

∫

∫

⇒ ( )r4

Qr

o

1

πε=ϕ

0q

r4E

q

Rr

i

i

2

oD

i

iD

=

π⋅ε=Φ

=Φ

<

∑

∑⇒ 0E =

Natężenie pola elektrycznego, którego źródłem jest sfera naładowana ze stałą gęstością

powierzchniową ładunku σ , jest

1. wewnątrz sfery (r < R) równe zeru,

2. na zewnątrz sfery (r ≥ R) takie, jakby cały ładunek zgromadzony był w środku sfery.

R

Sin

⇒


60

PRZYKŁADZetknięto ze sobą dwie naładowane jednoimiennie metalowe kule, odpowiednio o promie-

niach R1 i R2 i potencjałach ϕ1 i ϕ2. Wyznaczmy potencjał wypadkowy tych kul.

• Pole elektryczne kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową ładunku ρρρρ


∗∗

∗

∗

+=+

πε=ϕ

πε=ϕ

πε=ϕ

πε=ϕ

22

2o

2

o

2o

22

o

QQQQ

R4

Q

R4

Q

R4

Q

R4

Q

11

1

1

1

11

2

22

RR

RR

+

ϕ+ϕ=ϕ

1

11⇒

R = promień kuli naładowanej elektrycznie

Sex = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną kulą

o promieniu r ≥ R

Sin = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną kulą

o promieniu r < R

RSin

( ) QR3/4q

r4E

q

Rr

3

i

i

2

oD

i

iD

=πρ=

π⋅ε=Φ

=Φ

≥

∑

∑⇒

2

or4

QE

πε=

*

2Q

*Q1

R1Q1

R2

Q2

R1

R2*

2Q

*Q1

R4

Q

oπε2

oR4

Q

πε

R r

ϕ

R4

Q

oπε

R r

2

oR4

Q

πε


61


3

3

i

i

2

oD

i

iD

R3

4

Q

r3

4q

r4E

q

R r

π=ρ

π⋅ρ=

π⋅ε=Φ

=Φ

<

∑

∑ o3

rE

ερ

=

3

oR4

QrE

πε=

⇒

⇓

⇒

Natężenie pola elektrycznego, którego źródłem jest kula naładowana ze stałą

gęstością objętościowa ρ, jest

1. wewnątrz kuli (r < R) takie, jakby źródłem pola była część całego ładunku

znajdująca się w kuli o promieniu r, i zgromadzona w jej środku,

2. na zewnątrz kuli (r ≥ R) takie, jakby cały ładunek zgromadzony był w środ-

ku kuli.

( )

rdr

r

r4

QE

0

dr

dE

Rr

2

o

11−=

πε=

=∞ϕ

ϕ−=

≥

∫

⇒

⇒

( ) ( )[ ]

( )

( )∞

∞

∞

−⋅πε

=ϕ

πε=ϕ

=ϕ−∞ϕ−

=ϕ−

∫

∫

ro

r

2

o

r

r4

Qr

dr r4

Qr

Edrr

Edrd

1

1

( )r4

Qr

o

1⋅

πε=ϕ

( ) ( )[ ]

( )

( )

( ) [ ]∞

∞

∞

∞

πε

+πε

=ϕ

πε+

πε=ϕ

+=ϕ

=ϕ−∞ϕ−

=ϕ−

∫∫

∫∫

∫

Ro

R

r

2

3

o

R

2

o

R

r

3

o

R

ex

R

r

in

r

r4

Q r

2R4

Qr

dr r4

Qrdr

R4

Qr

drEdrEr

Edrr

Edrd

11

1

( )3

o

2

o R8

Qr

R8

Q3r

πε−

πε=ϕ

⇒

⇓

( )

rdr

r

r2

rdr

r4

QrE

R4

QrE

0

dr

dE

Rr

2

2

2

o

ex

3

o

in

11

1

−=

=

πε=

πε=

=∞ϕ

ϕ−=

<

∫

∫


62

22 PRZEWODIK W POLU ELEKTRYCZYM

• aładowany przewodnik we własnym polu elektrycznym1. Nieskompensowane ładunki elektryczne gromadzą się tylko na zewnętrznej powierzchni

naładowanego przewodnika.

2. Wewnątrz naładowanego przewodnika natężenie pola elektrycznego jest równe zeru.

3. Wnętrze naładowanego przewodnika jest ekwipotencjalne.

4. Na zewnętrznej powierzchni naładowanego przewodnika natężenie pola ma tylko składo-

wą normalną (prostopadłą) do tej powierzchni.

5. Powierzchnia naładowanego przewodnika jest ekwipotencjalna.

6. Składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni naładowanego przewodnika jest

proporcjonalna do lokalnej gęstości powierzchniowej ładunku En = σ/εo .

7. Gęstość powierzchniowa ładunku naładowanego przewodnika jest odwrotnie proporcjo-

nalna do lokalnego promienia krzywizny σ ~ 1/R .

Spróbujemy wszystkie te twierdzenia udowodnić.

1. To, że nieskompensowane jednoimienne ładunki elektryczne gromadzą się tylko na zew-

nętrznej powierzchni metalu, jest wynikiem ich kulombowskiego odpychania się.

2. To, że wewnątrz metalu natężenie pola elektrycznego jest równe zeru, wynika z twierdze-

nia Gaussa, w związku z brakiem nieskompensowanego ładunku wewnątrz metalu.

3. To, że wnętrze metalu jest ekwipotencjalne, wynika z równania E = -gradϕ, w związku

ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.

4. To, że natężenie pola elektrycznego na powierzchni naładowanego metalu posiada tylko

składową normalną, czyli nie posiada składowej stycznej, wynika z (braku powierzchnio-

wych prądów elektrycznych) rotE = 0 w punktach wewnątrz i na zewnątrz metalu, w związ-

ku ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.

E = -gradϕ Wewnątrz metalu

Wewnątrz metalu ⇒ E = 0 . ϕ = const .

Wewnątrz i na zewnątrz metalu Na powierzchni metalu

rotE = 0 . Et = 0 ,

Wewnątrz metalu En ≠ 0 .

E = 0 .

⇒

R

24 R

Q

oπεR

Q

oπε8

3

R rr

ϕ

punkt przegięcia

R

Q

oπε8

3

3

2⋅


63

5. To, że powierzchnia naładowanego metalu jest ekwipotencjalna, wynika z E = -gradϕ,

w związku ze znikaniem na powierzchni metalu składowej stycznej natężenia pola elektrycz-

nego.

6. To, że składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni naładowanego metalu jest

proporcjonalna do lokalnej gęstości powierzchniowej ładunku, wynika z twierdzenia Gaussa,

w związku ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.

7. To, że gęstość powierzchniowa ładunku jest odwrotnie proporcjonalna do lokalnego pro-

mienia krzywizny, pokażemy na przykładzie naładowanej kuli metalowej.

PRZYKŁADWiaderko (puszka) Faradaya. Gromadzenie się nieskompensowanych jednoimiennych

ładunków elektrycznych tylko na zewnętrznej powierzchni przewodnika wykorzystuje się

w wiaderku Faradaya, czyli metalowej powłoce sferycznej (wydrążonej kuli metalowej).

Wszystkie ładunki elektryczne znajdujące się na sondzie (próbniku), po dotknięciu nią (nim)

wewnętrznej powierzchni wiaderka Faradaya, natychmiast gromadzą się na jego zewnętrznej

powierzchni. Wiaderko Faradaya świetnie nadaje się na końcówkę przyrządów pomiaro-

wych, takich jak elektrometry i elektroskopy, oraz na rezerwuar ładunków elektrycznych

w maszynach elektrostatycznych i elektrostatycznym generatorze Van de Graaffa.

PRZYKŁADOstrza. E ~ σ ~ 1/R . W pobliżu naładowanego ostrza natężenie pola elektrycznego jest tak

duże, że powoduje jonizację otaczających go cząsteczek powietrza. W pobliżu ujemnie nała-

E = -gradϕ Na powierzchni metalu

Na powierzchni metalu ϕ = const .

Et = 0 .

⇒

2

o

R4

q

R4

q

π=σ

πε=ϕ

⇒R

~1

σ

S

q

qSE noD

=σ

wnętrze zewnętrze

S

o

n Eεσ

=⇒

wiaderko Faradaya

sonda


64

dowanego ostrza wskutek wypływu elektronów powstają jony ujemne. W pobliżu dodatnio

naładowanego ostrza, w skutek zasysania elektronów, powstają jony dodatnie. W obu przy-

padkach powstaje tzw. „wiatr elektryczny”, którego istnienie można spektakularnie zademon-

strować pochylaniem się płomienia świecy w kierunku od ostrza, lub obrotem wiatraczka.

Wypływ elektronów z uziemionego ostrza wykorzystywany jest w piorunochronach.

• ienaładowany przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym1. Zewnętrzne pole elektryczne wywołuje w nienaładowanym przewodniku zjawisko induk-

cji elektrostatycznej, które polega na deformacji chmury swobodnych elektronów przewod-

nictwa. Na zewnętrznej powierzchni przewodnika indukuje się ładunek.

PRZYKŁADElektrofor. Zjawisko indukcji elektrostatycznej wykorzystane jest w elektroforze do wytwa-

rzania ładunków elektrycznych.

2. Natężenia obu pól, zewnętrznego i powstałego wewnątrz metalu w wyniku deformacji

chmury elektronowej, znoszą się. Wypadkowe natężenie pola w dowolnym punkcie wewnątrz

przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu elektrycznym, jest równe zeru.

PRZYKŁADEkran elektrostatyczny (osłona elektrostatyczna). Otoczenie urządzeń i przyrządów po-

miarowych uziemioną blachą lub siatką metalową (klatka Faradaya) osłania je (ekranuje)

przed wpływem zewnętrznego pola elektrostatycznego, ponieważ pole ładunków zewnętrz-

nych znosi się z polem ładunków indukowanych przez nie na zewnętrznej powierzchni osło-

ny.

3. Ładunki znajdujące się wewnątrz uziemionej osłony metalowej indukują na jej wewnętrz-

nej powierzchni ładunek

równy im co do bezwzględnej wartości, ale przeciwnego znaku. Do ziemi odpływa ładunek

równy ładunkowi wewnątrz osłony.

Uziemiona osłona metalowa ekranuje przestrzeń na zewnątrz osłony od ładunków znaj-

dujących się wewnątrz osłony.

powierzchnia Gaussa

∫∫σ−S

dS

rączka izolująca

metal

rączka izolująca

ebonit naładowanyprzez pocieranie


65

4. Wnętrze nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu elektrycz-

nym, jest ekwipotencjalne.

5. Na powierzchni nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu

elektrycznym, natężenie pola ma tylko składową prostopadłą do powierzchni przewodnika.

6. Powierzchnia nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu ele-

ktrycznym, jest powierzchnią ekwipotencjalną.

7. Emisja polowa. Silne pole elektryczne o natężeniu 108V/m i większym powoduje emisję

elektronów z metalu. Zjawisko to nosi nazwę emisji polowej, zimnej emisji lub autoemisji.

Gęstość prądu autoemisji nie zależy od temperatury emitera. Przykładem wykorzystania tego

zjawiska jest mikroskop polowy.

• Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika

Pojemnością elektryczną C odosobnionego przewodnika nazywamy stosunek ładunku q,

zgromadzonego na powierzchni przewodnika, do potencjału ϕ na jego powierzchni.

PRZYKŁADPojemność odosobnionej kuli metalowej:

∫∫∫∫∫∑

∑∫∫

ρ+σ=

=ε

=⋅

VSi

i

i

i

S

dVdSQ

0Qd

G

1SE

⇒

S = wewnętrzna powierzchnia osłony metalowej

∫∫∫ρV

dV = ładunek znajdujący się wewnątrz osłony metalowej

- ∫∫σS

dS = ładunek znajdujący się na wewnętrznej powierzchni osłony

ϕ=

qC

R4

q

qC

oπε=ϕ

ϕ=

⇒ R4C oπε=

ϕ ~ q

ϕ

q

∫∫∫∫∫∑

∑∫∫

ρ+σ=

=ε

=⋅

VSi

i

i

i

S

dVdSQ

0Qd

G

1SE

∫∫∫∫∫ ρ=σ−VS

dVdS


66

23 EERGIA POTECJALA UKŁADU ŁADUKÓW W ZEWĘTRZYMPOLU ELEKTRYCZYM

• Energia potencjalna ładunku w zewnętrznym polu elektrycznym Energią potencjalną Wp wzajemnego oddziaływania ładunku q z zewnętrznymi nieru-

chomymi ładunkami wytwarzającymi pole elektryczne, w danym punkcie tego pola, nazywa-

my pracę jaką wykonują siły pola przy przemieszczaniu ładunku q z danego punktu do nies-

kończoności (lub do punktu, w którym z założenia energia potencjalna jest równa zeru).

ϕ = potencjał pola zewnętrznego w punkcie zajętym przez ładunek q

Siłę działającą ze strony pola na ładunek q można wyrazić przez jego energię potencjalną.

• Energia potencjalna dipola w zewnętrznym polu elektrycznym Obliczymy ponownie energię potencjalną wzajemnego oddziaływania dipola z zewnętrz-

nymi nieruchomymi ładunkami wytwarzającymi pole elektryczne.

( )

0

qW

WW

A

AA

AP

=ϕ

ϕ=ϕ

ϕ−ϕ=

=

∞

∞∞→

∞→

⇒ ϕ= qWP

ϕ=

ϕ−=

=

qW

grad

q

P

E

EF

⇒PgradW−=F

ϕ1 i ϕ2 = potencjały zewnętrznego pola elektrycznego w punktach zajmowanych przez

ładunki dipola q1 i q2

E = natężenie zewnętrznego pola elektrycznego w miejscu

2 0W

q

grad

gradll

ll

qqW

P

2

22P

π=α⇔=

=

ϕ−=

ϕ⋅=∂ϕ∂

∂ϕ∂

=ϕ−ϕ

ϕ+ϕ=

l

E

l

µµµµ

1

11

⇒

⇓

E⋅−= µµµµPW

αµ−= cosEWP

E

q = -q < 01 q = q > 02

l

E

q = -q < 01 q = q > 02

l α


67

• Energia potencjalna układu ładunków punktowych w zewnętrznym polu elektrycz-nym

Jeżeli w obszarze, w którym znajduje się układ ładunków, pole zewnętrzne niewiele się zmie-

nia, to energię potencjalną tego układu ładunków można rozwinąć w szereg Taylora.

( )i

i

iP QW R∑ ϕ=

ϕ(Ri) = potencjał zewnętrznego pola elektrycznego w punkcie zajmowanym przez ła-

dunek Qi

( )i

3

i

2

i

i x,x,x1=R = promień wodzący i-tego ładunku

( )

( ) ( ) ( ) ( )L

xx

x,x,xxx

2x

x,x,xx0,0,0x,x,x

x,x,xQW

o

2

2

ii

o

32ii

3

i

2

i

i

3

i

2

i

i

iP

3 +

∂∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+ϕ=ϕ

ϕ=

λκλ

κ λκ

λ λλ ∑∑∑

∑

111

1

1

( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑ ∑∑ +

∂∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+ϕ=

λκλ

κ λκ

λ λλ

i o

32

2

ii

i

i o

32i

i

i

iP xx

x,x,xxx

2Q

x

x,x,xxQ0,0,0QW L

11 1

( ) ( ) ( )L+

∂∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+ϕ=

λκλ

κ λκλ

λ λ∑∑∑∑∑∑

o

32

2

ii

i

i

i

i

i

o

32

i

iPxx

x,x,xxxQ

2xQ

x

x,x,xQ0,0,0W 11 1

( ) ( ) ( )L+

∂∂

ϕ∂+⋅−ϕ=

λκκ λκλ∑∑∑

o

32

2

i

iPxx

x,x,xd

20,0,0Q0,0,0W 11

Eµµµµ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

κλλκ

λλ

λλλ λ

λλ

λλ

=

⋅−=⋅−=µ⋅−=⋅

∂

ϕ∂

µ=

−=

∂

ϕ∂

∑

∑∑∑

∑

dxxQ

0,0,00,0,00,0,0ExQx

x,x,x

xQ

0,0,0Ex

x,x,x

ii

i

i

i

i

i

o

32

i

i

i

o

32

EE µµµµµµµµ1

1

⇓


68

W wyrażeniu na energię potencjalną człon opisujący oddziaływanie kwadrupola z zewnętrz-

nym polem elektrycznym przedstawimy w innej postaci.

Zbierzmy otrzymane wyniki.

( ) =ϕ 0,0,0 wartość potencjału pola zewnętrznego w początku układu współrzędnych

( ) =0,0,0E wektor natężenia zewnętrznego pola elektrycznego w początku układu współ-

rzędnych

=λE składowe wektora natężenia pola elektrycznego w początku układu współrzędnych

z3y2x EE ,EE ,EE :E ===λ 1

µµµµ = wektor momentu dipolowego

=µλ składowe wektora momentu dipolowego

z3y2x , , : µ=µµ=µµ=µµλ 1

=κλd tensor momentu kwadrupolowego

( )=

∂

ϕ∂

λ o

32

x

x,x,x1 wartości pierwszych pochodnych potencjału pola zewnętrznego w po-

czątku układu współrzędnych

( )=

∂∂

ϕ∂

λκ o

32

2

xx

x,x,x1 wartości drugich pochodnych potencjału pola zewnętrznego w po-

czątku układu współrzędnych

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )o

321

2

o

321

2

i

2

i

ii

i

i o

321

22

i

o

321

2ii

i

2

i

ii

i

i

o

321

22

i

o

321

2

i

i

i

i

xx

x,x,xD

6

1

xx

x,x,xRxx3Q

6

1

xx

x,x,xR

xx

x,x,xxx3Q

6

1

DRxx3Q

0xx

x,x,xR

xx

x,x,xxxQ

2

1

∂∂

ϕ∂=

∂∂

ϕ∂δ−=

=

∂∂

ϕ∂δ−

∂∂

ϕ∂=

=δ−

=

∂∂

ϕ∂δ

=

∂∂

ϕ∂

λκκλ

λκκ λκλλκ

κ λ λκκλ

λκλκ

κλκλλκ

λκκλ

λκλ

κ λκ

∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑

∑∑∑

( ) ( ) ( )∑∑∑

κ λ λκκλ +

∂∂

ϕ∂+⋅−ϕ= L

o

321

2

i

iPxx

x,x,xd

2

1 0,0,0 Q0,0,0 W Eµµµµ

( ) ( ) ( )∑∑∑

κ λ λκκλ +

∂∂

ϕ∂+⋅−ϕ= L

o

321

2

i

iPxx

x,x,xD

6

1 0,0,0 Q0,0,0 W Eµµµµ


69

PRZYKŁADEnergia potencjalna jądra atomowego w zewnętrznym polu elektrycznymZałożymy, że dodatni ładunek jądra rozmieszczony jest ze stałą gęstością objętościową

w obszarze elipsoidy obrotowej. Wybierzemy układ współrzędnych, którego osie pokrywają

się z osiami elipsoidy.

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z dipolem

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z kwadrupolem

( )

( )

αµ=⋅

⋅πε

−=

⋅−=

cosR

RR4

Q0,0,0

0,0,0 W

2

o

P

R

RE

E

µµµµ

µµµµ

3

o

PR

Q

4 W

R⋅⋅

πε=

µµµµ1

2

o

PR

cosQ

4 W

αµ⋅

πε=

1⇒ ⇒

( )

( )R

Q

4x,x,x

xx

x,x,xd

2 W

o

32

o

32

2

P

⋅πε

=ϕ

∂∂

ϕ∂= ∑∑

κ λ λκκλ

1

1

1

1

o

2

o

PRxx

dQ24

W ∑∑κ λ λκ

κλ

⋅

∂∂∂

⋅⋅⋅πε

=111

⇓

( )

zyx

0zyx

zD

yD

xD

6

1 QW

rZe5

4ac

5

Ze2D , D

2

1DD,, ZeQ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

o

2

2

zz

o

2

2

yy

o

2

2

xx

i

iP

222

zzzzyyxx

i

i

∂

ϕ∂−=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂⇒=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+⋅−ϕ=

η=−=−====

∑

∑

Eµµµµ

0000µµµµ

( )o

2

321

2

zzPz

x ,x,xD

4

1 Ze W

∂

ϕ∂+=

MOOPOL

Q

DIPOL

Rα

Q

MOOPOL

R

KWADRUPOL


70

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z dipolem

o

2

o

PRxx

dQ24

W ∑∑κ λ λκ

κλ

⋅

∂∂∂

⋅⋅⋅πε

=111

δ−=δ⋅−=

=∂

∂⋅−⋅

∂∂

−=

−

∂∂

=

⋅

∂∂

∂∂

=⋅∂∂

∂

κλλκ

κλλκ

λ

κ

λκ

κ

λκλλκ

2335

333

2

R

xx3

RRR

xx3

x

x

R

Rxx

R

x

xRxxRxx

11

1111

δ−⋅⋅⋅

πε= κλ

λκ

κ λκλ∑∑ 23

o

PR

xx3d

R

Q

24W

11

( )

−⋅

⋅⋅

πε=

⋅−=

34

o

P

RRR

3

4

W

222

21

1 µµµµµµµµ

µµµµ

RRE

E ( )( )

⋅−

⋅⋅⋅

πε−=

3

2

5

2

o

PRR

3

4W

µµµµµµµµµµµµµµµµ 111 RR

22

222

222

cos

cosR

cosR

α−α=α

αµµ=⋅

αµ=⋅

αµ=⋅

11

111

111

µµµµµµµµ

µµµµ

µµµµ

R

R

⇒

( )223

o

2P coscoscos3

R4W 11

1 α−αα⋅πε

µµ−=

µ1 µ2

α2α1

α12


71

PRZYKŁAD

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z kwadrupolem

0

0

0

2

=α

=α

=α

12

1

3

o

2P

R4

2W

πε

µµ−= 1⇒

π=α

π=α

=α

2

2

0

1

1

3

o

2P

R4

2W

πε

µµ= 1⇒

0

2

2

2

=α

π=α

π=α

12

1

3

o

2P

R4W

πε

µµ= 1⇒

π=α

π=α

π=α

12

1

2

2

23

o

2P

R4W

πε

µµ−= 1⇒

2

0

2

2

π=α

=α

π=α

12

1

0Wp =⇒

( )

( ) ( )R, , R

cos

4x,x,x

xx

x,x,xd

2W

2

o

32

0

32

2

P

µµµµ∠=ααµ

⋅πε

=ϕ

∂∂

ϕ∂⋅=

λκκ λκλ∑∑

1-

1

1

1

0

2

o

PRxx

dcos24

W

⋅

∂∂

∂∂

αµ⋅⋅πε

=λκκ λ

κλ∑∑111-

⇓

µ1 µ2

µ1 µ2

µ1

µ2

R

KWADRUPOL DIPOL

µ

µ2µ1

µ1 µ2


72

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem

0

2

o

PRxx

dcos24

W

⋅

∂∂

∂∂

αµ⋅⋅πε

=λκκ λ

κλ∑∑111-

δ−=

δ+

−−=

=

∂

∂+

∂∂

−=

−

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂

κλλκ

κλλκ

κ

λ

κλ

λ

κλκλκ

2446

44422

2

R

xx4

R

2

RR

xx42

x

x

RRxx2

R

x2

xRxxRxx

1

1111

δ−⋅

αµ⋅

πε= κλ

λκ

κ λκλ∑∑ 24

o

PR

xx4d

R

cos

4W

1-

( )

( )

δ−⋅⋅

πε=ϕ

∂∂

ϕ∂=

µννµ

µ νµν

βαα βαβ

∑∑

∑∑

35

II

o

32

0

32

2

I

P

RR

xx3d

24x,x,x

xx

x,x,xd

2W

111

1

1

1

⇓

0

557

III

o

P

0

35

III

o

P

R

x3

x

xx

R

3

R

xxx5d

xd

44W

RR

xx3d

xxd

44W

δ+

∂

∂⋅+

−

∂∂

⋅⋅πε

=

δ−

∂∂

∂∂

⋅⋅πε

=

αµν

α

νµνµα

µ νµν

βα βαβ

µννµ

µ νµν

αβα βαβ

∑∑∑∑

∑∑∑∑

111

111

0

2

24

III

5

o

P

xx

xx3

x

xxx

x

xxxxx

R

5xxxx

R

05

ddR44

W

∂∂

∂+δδ+

∂

∂+

∂

∂+δ−⋅

⋅⋅⋅πε

=

βα

νµµναβ

β

νµα

α

νµββαµννµβα

α β µ νµναβ∑∑∑∑

11

111

KWADRUPOL IIKWADRUPOL I


73

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem -wzór szczegółowy

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

−++

+

−++

+

−++

+

−++

+

−++

+

−++

+

−++++

+

−++++

+

−++++

+

+−−+++

+

+−−+++

+

+−−+++

+

+−+

+

+−+

+

+−⋅⋅⋅

πε=

24

3II

zz

I

yz

II

yz

I

zz

24

3II

zz

I

xz

II

xz

I

zz

24

3II

yy

I

yz

II

yz

I

yy

24

3II

yy

I

xy

II

xy

I

yy

24

3II

xx

I

xz

II

xz

I

xx

24

3II

xx

I

xy

II

xy

I

xx

24

2II

xz

I

yz

II

yz

I

xz

II

zz

I

xy

II

xy

I

zz

24

2II

xy

I

yz

II

yz

I

xy

II

yy

I

xz

II

xz

I

yy

24

2II

xy

I

xz

II

xz

I

xy

II

xx

I

yz

II

yz

I

xx

2

2

2

2

4

22II

zy

I

yz

II

yy

I

zz

II

zz

I

yy

2

2

2

2

4

22II

xz

I

xz

II

xx

I

zz

II

zz

I

xx

2

2

2

2

4

22II

xy

I

xy

II

xx

I

yy

II

yy

I

xx

2

2

4

4II

zz

I

zz

2

2

4

4II

yy

I

yy

2

2

4

4II

xx

I

xx5

o

P

R

yz45

R

yz05dd2 dd2

R

xz45

R

xz05dd2 dd2

R

yz45

R

zy05dd2dd2

R

xy45

R

xy05dd2dd2

R

xz45

R

zx05dd2 dd2

R

xy45

R

yx05dd2 dd2

R

xy5

R

xyz05dd4 dd4 dd2dd2

R

xz5

R

zxy05dd4dd4dd2dd2

R

yz5

R

yzx05dd4 dd4dd2dd2

3R

z5

R

y5

R

zy05 dd4 dd dd

3R

z5

R

x5

R

yx05 dd4 dd dd

3R

y5

R

x5

R

yx05dd4dddd

9R

z90

R

z05 d d

9R

y90

R

y05dd

9R

x90

R

x05dd

R44W

1

1

1

1

1

1

11

11

11

111

111

111

1

1

1111



74

PRZYKŁADEnergia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch kwadrupoli liniowych leżących na

wspólnej osi:

Pierwszy sposób

Drugi sposób

Trzeci sposób

( )

( )

532

2

0

32

2

P

3

o

2

32

2

xx

x

2

xx

xR

xx

x,x,xd

2W

R4

Ql2x,x,x

0Q ,Ql2d

11

1 1

1

=∂∂

=

∂∂

ϕ∂⋅=

πε=ϕ

>=

βαα βαβ∑∑

( )0

2

32

2

xxPx

x,x,xd

2W

∂

ϕ∂⋅= 11

0

32

22

o

pxx

Ql24

W

∂∂

⋅πε

=11

⇒

⇒

⇓

⇓

−+

⋅πε

=

−+

++

−−

+−

πε=

+

−+

−+

−+

++++

−+

+

++++

−+

++

++

++

πε=

4

4

2

25

42

o

P

22222

o

P

8474645483736353

827262528765

o

P

R

l4

R

l3R

lQ24

4W

l2R

Q

l2R

Q

lR

Q4

lR

Q4

R

Q6

4W

R

QQ

lR

QQ

lR

QQ

l2R

QQ

lR

QQ

R

QQ

R

QQ

lR

QQ

lR

QQ

R

QQ

R

QQ

lR

QQ

l2R

QQ

lR

QQ

lR

QQ

R

QQ

4W

1

1

1

1 1111

5

42

o

PR

lQ24

4W ⋅

πε=

1lR >>

( )

2

i

2

iizz

2

i

2

iiyy

222

i

2

iixx

Ql2xQD

Ql2xQD

Ql4Ql00Ql2xQ2D

−=−=

−=−=

=+++==

∑

∑

∑

5

42

o

PR

lQ24

4W ⋅

πε=

1

l l ll1 2 3 4 5 6 7 8

⇒


75

PRZYKŁAD

532

2

3

2

o

2

xx

2

2

2

2

2

2

xxzzyy

2

2

zz2

2

yy2

2

xxP

x

2

xx

xR

R

Ql2

4

Ql4D

0zyx

D2

DD

zD

yD

xD

6W

11

1

1

1

=∂

∂

=

⋅πε

=ϕ

=

=∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂

−==

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂=

2

2

xxP

2

2

2

2

2

2

xxP

xD

4W

zy2xD

6W

∂

ϕ∂=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂−

∂

ϕ∂=

1

1 1

5

42

o

PR

lQ24

4W ⋅

πε=

1

⇒

⇒

⇒

⇓

⇓

( )

+−−++

+

+−+

+−⋅⋅⋅

πε=

3R

y5

R

x5

4R

yx05dddd

9R

y90

R

y05dd 9

R

x90

R

x05dd

R44W

2

2

2

222II

xx

I

yy

II

yy

I

xx

2

2

4

4II

yy

I

yy2

2

4

4II

xx

I

xx5

o

P

111

11111

0y

Rx

Qld

Qld

Qld

Qld

2II

yy

2II

xx

2I

yy

2I

xx

=

=

−=

=

−=

=

5

42

o

PR

lQ

4

57

4W ⋅⋅

πε=

1

x

y

2

3

4

1


l

l

l

l

l

ll

l

5

6

7

8


76

24 EERGIA POTECJALA WZAJEMEGO ODDZIAŁYWAIA MIĘDZYPUKTOWYMI ŁADUKAMI ELEKTRYCZYMI

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych Energia potencjalna Wp wzajemnego oddziaływania układu dwóch ładunków punkto-

wych q1 i q2 , znajdujących się w odległości r12 od siebie, jest równa pracy jaką wykonują

siły elektryczne przy rozsuwaniu tych ładunków na odległość nieskończenie wielką.

Ujemny przyrost energii potencjalnej układu ładunków, związany ze zmianą położenia tych

ładunków względem siebie, równy jest pracy wykonywanej przez siły elektryczne (działające

między ładunkami) podczas zmiany ich względnego położenia.

Wsił el = -∆Wp

• Energię potencjalną Wp wzajemnego oddziaływania układu dwóch ładunków

punktowych q1 i q2 wyrazimy w innej postaci.

ϕ1 = potencjał pola pochodzący od ładunku q2 w punkcie zajmowanym przez ładunek q1

ϕ2 = potencjał pola pochodzący od ładunku q1 w punkcie zajmowanym przez ładunek q2

ϕk = potencjał pola pochodzący od wszystkich ładunków prócz ładunku qk w punkcie

zajmowanym przez ładunek qk

( )

0

r

q

4

qq

qW

WW

B

2o

A

2

BABA

BAP

=ϕ

⋅πε

=ϕ

=

ϕ−ϕ=

=

→

→

1

11

2

2

o

Pr

qq

4W

1

11⋅

πε=⇒

⇓

ODPYCHANIE 0 WP ⇔> 0 WP ⇔< PRZYCIĄGANIE

11

1

1

1

1

1

22

2o

12

2o

2

2o

2P

rr

r4

q

r4

q

r4

qqW

=

πε=ϕ

πε=ϕ

πε= ( )22P qq

2W ϕ+ϕ= 11

1

∑=

ϕ=n

k

kkP q2

W1

1

⇓

⇒

Ogólnie:

)(B ∞A )(B

q1 q2r12

12r

1~WP

12r

1−~WP

Ładunki jednoimienne

Ładunki różnoimienne

12r

1~WP

12r

1−~WP

Wp

r12


77

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu ładunków punk-towych

PRZYKŁADEnergia potencjalna wzajemnego oddziaływania trzech ładunków punktowych q1, q2, q3 :

Rozważania o energii potencjalnej zakończymy, podając jeszcze raz jej definicję.

• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania ciągłego rozkładu ładunków

ikki

n

kii ki

i

o

k

n

1k

kkP

rr

r

q

4

q2

W

=

⋅πε

=ϕ

ϕ⋅=

∑

∑

≠=

=

1

1

1

ki , r

qq

42W

n

k

n

i ki

ik

o

P ≠⋅πε

⋅= ∑∑= =1 1

11

⇒

+++++⋅

πε⋅=

32

23

3

3

23

32

2

2

3

3

2

2

o

Pr

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

r

qq

42W

1

1

1

1

1

1

1

111

++⋅

πε=

23

32

3

3

2

2

o

Pr

qq

r

qq

r

qq

4W

1

1

1

11

Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania układu ładunków punktowych jest równa

pracy jaką wykonują

1. siły zewnętrzne przy tworzeniu tego układu ze spoczywających ładunków znajdujących

się w nieskończenie dużej odległości od siebie, lub

2. siły wewnętrzne przy likwidacji tego układu polegającej na usunięciu każdego ładunku

oddzielnie do nieskończoności, tak by w stanie końcowym odległość między każdą parą

ładunków była nieskończenie duża.

Oczywiście w obu przypadkach zakładamy, że energia potencjalna jest równa zeru w stanie,

gdy odległość między każdą parą ładunków jest nieskończenie duża.

Wzór ∑=

ϕ=n

k

kkP q2

W1

1 dostosujemy do przypadku ciągłego rozkładu ładunków w danej

objętości z gęstością objętościową ρ = dq/dV , na danej powierzchni z gęstością powierz-

chniową σ = dq/ds, na danej linii z gęstością liniową λ = dq/dl .

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫ ∫∫

λϕ+σϕ+ρϕ=

λ=σ=ρ=

lSV

P

lV S

dl2

dS2

dV2

W

dlq , dSq , dVq

111

ϕ = potencjał pola wszystkich ładunków objętościowych, powierzchniowych i liniowych

w elemencie objętości dV, na elemencie powierzchni dS i na elemencie liniowym dl


78

25 EERGIA POLA ELEKTRYCZEGO

• Energia pola elektrycznego ciągłego rozkładu ładunków

Energia pola elektrycznego jest sumą energii własnych ładunków będących źródłem pola ele-

ktrycznego i energii wzajemnego oddziaływania tych ładunków. Energia własna ładunku jest

równa pracy jaką wykonałyby siły wzajemnego odpychania się tworzących go składników

przy hipotetycznym oddalaniu się ich do nieskończoności. Dodatnia energia własna ładunków

jest niemniejsza od energii wzajemnego oddziaływania między nimi. Prześledźmy to na przy-

kładzie dwóch ładunków q1 i q2, które są źródłem pól o natężeniach E1 i E2. Energia pola

wypadkowego o natężeniu E = E1+E2 wyniesie:

W11,W22 = energie własne ładunków q1 i q2

W12 = energia wzajemnego oddziaływania ładunków q1 i q2

Wzór ∫∫∫∫ ∫∫ λϕ+σϕ+ρϕ=lV S

P dl2

dS2

dV2

W111

sprowadzimy do postaci ∫∫∫ε=V

2

oP dVE2

W1

,

której można nadać piękną interpretacje fizyczną. Dla prostoty rozpatrzymy przypadek

σ = 0, λ = 0.

Energia ∫∫∫ε=V

2

o dVE2

W1

jest energią pola elektrycznego zlokalizowaną w przestrzeni

z gęstością objętościową 2

o

df

E2dV

dW ε==

1w .

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

ε=

=ρϕ=ε

=

+

ερϕ

−

V

2

oP

P

VV

2

o

V

2

o

dVE2

W

WdV2

dVE2

0dV E

1

1 1

⇒

( )

( ) ( ) . dV εdV 2ε2

W

, dVEε2

W

, dVEε2

W

, WWWW

, dV 2ε2

dVEε2

dVEε2

dVEε2

W

V

21o

V

21o12

V

2

2o22

V

2

1o11

122211

V

21o

V

2

2o

V

2

1o

V

2

o

1

1

1

1111

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

⋅=⋅=

=

=

++=

⋅++==

EEEE

EE

( )[ ]

( ) 0 bo 0d

grad

d dV

Greena eTwierdzeni

0 0, ,dV2

W

S

o

2

SV

22

V

P

=∞ϕ=⋅ϕ∇ϕ

ερ

−=ϕ∇

−=ϕ=ϕ∇

⋅ϕ∇ϕ=ϕ∇+ϕ∇ϕ

=λ=σρϕ=

∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫

S

E

S

1


79

• Energia pola elektrycznego odosobnionego naładowanego przewodnika jest równa

pracy jaką należy wykonać, aby go naładować. Niech dW oznacza pracę jaką należy wyko-

nać, aby przenieść ładunek dq z nieskończoności na przewodnik.

PRZYKŁADEnergia pola równomiernie naładowanej kuli o promieniu R:

• Energia własna ładunku punktowego

UWAGAŁadunek punktowy ma nieskończenie wielką energię własną. Przytoczone powyżej rozumo-

wanie jest wynikiem nieporozumienia. Elektrodynamika klasyczna nie czyni żadnych założeń

o strukturze ładunków i prądów. Ładunek punktowy jest pojęciem nieprecyzyjnym, modeluje

on tylko symetrycznie sferyczne rozkłady ładunków (powierzchnia sferyczna naładowana ze

stałą gęstością powierzchniową ładunku σ i kula naładowana ze stałą gęstością objętościową

ładunku ρ w odległości od środka każdej z nich nie mniejszej niż promień odpowiednio sfery

i kuli) oraz dowolny układ ładunków w odpowiednio dużej odległości od punktu obserwacji.

Jak uczy fizyka kwantowa małe ładunki są obiektami rozmytymi w przestrzeni.

( )

2

2d

Cq

Cddq

0

dqdW

ϕ=ϕϕ

ϕ=

ϕ=

=ϕ

ϕ−ϕ=

∫

∞

∞

1

⇒

C2

q

2

q

2

CW

2

CdCdCdqW

dqdW

22

2

00 0

=ϕ

=ϕ

=

ϕ=ϕϕ=ϕϕ=ϕ=

ϕ=

∫∫ ∫ϕϕ ϕ

R4C

rdr

r

drr4dV

r

q

4E

dVE2

W

o

2

2

2

o

V

2

o

πε=

−=

π=

⋅πε

=

ε=

∫

∫∫∫

11

1

1

R8

q

r8

qdr

r8

qW

o

2

Ro

2

R

2

o

2

πε=

−πε

=πε

=∞∞

∫11

⇓

rdr

r

drr4dV

r

q

4E

dVE2

W

2

2

2

o

V

2

o

11

1

1

−=

π=

⋅πε

=

ε=

∫

∫∫∫ ∞=

πε

−=πε

=∞∞

∫0o

2

0

2

o

2

r8

qdr

r8

qW

11

∞=W⇒

⇓

r

dr

R

r

dr

q

C2

qW

2

=⇒


80

26 RUCH ŁADUKÓW W POLU ELEKTRYCZYM

• Przyspieszenie, energia kinetyczna, prędkość i pęd ładunku w jednorodnym stałympolu elektrycznym

• Równoległe i antyrównoległe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne

qEF

maF

=

=E

m

qa ⋅=⇒

m2

pE

mvp

qUW

EW

2

mvE

2

k

k

2

k

=

=

=

∆=

=

mqU2p m

qU2v qUE

0 v

qUE

k

o

k

=⇒=⇒=

=

=∆

0q

0

const

>

=

=→

ov

E

⇒

⇒

const=→ F

0q

0

const

<

=

=→

ov

Econst=← F

ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony


⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

0q

const

>

→

=→

ov

Econst=→ F


0q

const

<

→

=→

ov

E const=← F

0q

const

>

←

=→

ov

E

ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony, a po zatrzymaniu

się i zmianie kierunku prędkości – jednostajnie przyspieszony

ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony, a po zatrzymaniu

się i zmianie kierunku prędkości – jednostajnie przyspieszony

const=→ F

0q

const

<

←

=→

ov

E


const=← F


81

• Prostopadłe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne

• Skośne wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne

tvZ

2

ath

maF

qEF

o

2

=

=

=

=

Em

qa ⋅=

a

h2t =

Em

q

h2vZ o

⋅=

22

2

o

ZE

hv2

m

q=

α=αα

⋅α=

=

→

α→

→

⋅+

=

=

=

⋅−→

α→

→

→

+=

=

↑

↑

↑

↑

2sinsincos2

tcosvZ

?Z

tt

sin vv

h S

t2

v vS

?h

t2t

Em

q a

sinv v

0 v

t t

atvv

?t

o

oo

max

o

max

oo

o

=↑t czas, po którym ładunek znajdzie się w wierzchołku paraboli

⇒

⇒ ⇒

a

vvt o−

=

Em

q

sinvt o

⋅

α=↑

Em

q

sinv2t o

⋅

α=

⇓

Em

q2

sinvh

22

omax

⋅⋅

α=

Em

q

sincosv2Z

2

o

⋅

αα=

Em

q

2sinvZ

2

o

⋅

α=

⇒

⇒ ⇒

E

h

Z

q>0

q<0

α

vo

Z

hmax

E

q>0 α

vo

v sino α

v coso α


82

• Atom wodoru (model Bohra)

Pk

o

2

P

2

k

2

o

2

e

2

ed

ed

WWW

R4

eW

2

mvW

RR4

e

RR

vm

+=

πε−

=

=

⋅πε

−=

⋅−=

=

RF

RF

FF

Przeprowadzone obliczenia pozornie wyglądają na poprawne. Zgodnie z fizyką klasyczną,

krążący wokół jądra elektron powinien emitować energię w postaci fali elektromagnetycz-

nej i po torze spiralnym spaść na jądro. Według Bohra, elektron poruszając się wokół jądra

po tzw. stacjonarnych orbitach, spełniających warunek

( ) , ... 4, 3, 2, ,n , nRvm 1nne == h

nie emituje energii.

sJ0054,2

h

sJ0625,6h

kg009,9m

C0602,e

R8

eW

T

R2v

vm4

eR

nRvm

34

34

3

e

9

no

2

n

n

nn

2

neo

2

n

nne

⋅⋅=π

=

⋅⋅=

⋅=

⋅=

⋅πε

−=

π=

⋅πε

=

=

−

−

−

−

11

1

11

11

1

1

1

1

h

h

2

o

22

e

R4

e

R

vm

πε=

2

eo

2

vm4

eR

πε=

R8

eW

o

2

k πε=

R8

eW

o

2

πε−=

2W

W

P

k 1−=

⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇓

⇓

2

2

e

2

on n

em

4R ⋅

πε=

h

n4

ev

o

2

n

1⋅

πε=

h

3

4

e

32

o3

4

e

32

o

3

n nem

h4n

em

32T ⋅

ε=⋅

επ=

h

22

o

2

4

en

n32

emW

1⋅

επ−=

h

⇒

⇒

⇒

⇒

R

F

ee


83

2

no

2

n

2

no

2

np

2

2

n

2

ne

nk

nnnnen

4nnen

4

n

2

nn

nnen

n

n

n

nn

3

n

2

n

n~

R8

eW

n~

R4

eW

n~v~

2

vmW

n~Rv~RvmL

n~a~amF

n~

R

va

n~v~vmp

n~

T

R~

T

R2v

n~T

n~R

1

1

1

1

1

1

1

−πε

−=

−πε

−=

=

=

=

=

=

π=

2n

2np

2nk

n

4n

4n

n

n

3

n

2

n

n~W

n~W

n~W

n~L

n~F

n~a

n~p

n~v

n~T

n~R

1

1

1

1

1

1

1

−

−

⇒

n = główna liczba kwantowa, czyli numer dozwolonej stacjonarnej orbity

Rn = promień n-tej dozwolonej stacjonarnej orbity

Tn = okres obiegu n-tej dozwolonej stacjonarnej orbity

vn = prędkość elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie

pn = pęd elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie

an = przyspieszenie dośrodkowe elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie

Fn = siła dośrodkowa działająca na elektron na n-tej stacjonarnej orbicie

Ln = moment pędu elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie

Wkn = energia kinetyczna atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie

Wpn = energia potencjalna atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie

Wn = energia całkowita atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie

85

KODESATOR PŁASKI

1 KODESATOR PŁASKI I JEGO POJEMOŚĆ

• Kondensator płaski stanowi układ dwóch płaskich równoległych płytek metalowych,

zwanych jego okładkami, naładowanych ładunkami o takich samych wartościach bezwzględ-

nych, ale przeciwnych znakach.

U U

+ -

+ -

+ -

+ -

Q Q

U = napięcie między okładkami kondensatora

Q = ładunek na dodatniej okładce kondensatora

• Pojemnością C kondensatora nazywamy stosunek ładunku Q na okładce dodatniej do

napięcia U między okładkami.

U

Q C =

UWAGA

Dla danego kondensatora: C = const , U ~ Q .

• Kondensator płaski modelowany jest dwoma nieskończonymi płaszczyznami

równoległymi naładowanymi różnoimiennymi ładunkami o gęstościach powierzchniowych

+ σ i - σ .

Z prawa Gaussa wynika, że w obszarze między tymi płaszczyznami:

ro

Eεε

σ= lub

S

Q E

roεε= ,

a na zewnątrz E = 0 .

E = natężenie pola elektrycznego w obszarze między okładkami kondensatora

σ = gęstość powierzchniowa ładunku, czyli stosunek ładunku Q zgromadzonego na da-

nej powierzchni do pola S tej powierzchni

σ = Q/S

oε = przenikalność dielektryczna próżni

oε = 8,85 · 10 12− F/m

rε = względna przenikalność dielektryczna ośrodka lub stała dielektryczna, czyli liczba

mówiąca ile razy pojemność danego kondensatora z dielektrykiem, znajdującym się

między jego okładkami, jest większa od pojemności tego kondensatora, gdy między jego

okładkami jest próżnia

KONDENSATOR PŁASKI

86

S = pole powierzchni jednej okładki kondensatora

d = odległość między okładkami kondensatora

UWAGA

• Na zewnątrz kondensatora nie ma pola elektrycznego, E = 0. Wewnątrz kondensatora

pole elektryczne jest jednorodne. Na brzegach okładek kondensatora pole elektryczne bywa

niejednorodne.

W celu zlikwidowania niejednorodności pola elektrycznego na brzegach okładek kondensa-

tora płaskiego stosuje się w praktyce pierścień ochronny.

• Jeżeli kondensator tworzą płytki różnego kształtu i wielkości, to przy przybliżonym obli-

czaniu pojemności za S podstawiamy pole tzw. powierzchni czynnej, czyli wspólnej części

płyt znajdujących się nad sobą.

S

Q E

d

U E

U

Q C

roεε=

=

=

⇒d

S C r0εε=

Ostatni wzór jest tym dokładniejszy, im d2 jest mniejsze od S.

1r ≥ε

1r =ε tylko dla próżni



+

+

+

+

-

-

-

-E =0 E =0

S

KONDENSATOR PŁASKI

87

2 POŁĄCZEIA KODESATORÓW

• Połączenie równoległe kondensatorów

UWAGAPołączenie równoległe trzech kondensatorów można przedstawić na różne sposoby:

• Połączenie szeregowe kondensatorów

C

1C 2C 11 Q/U C =

1U 2U 22 Q/U C = ⇒

Q Q ( )21 U UQ/ C += ( ) ( )21 1/C 1/C 1/C +=

UWAGA

Korzystając ze wzoru 21 C

1

C

1

C

1+= , pamiętaj o odwróceniu wyniku C

C

1→

lub używaj postaci 21

21

C C

CC C

+= .

W połączeniu szeregowym kondensatorów ładunek na każdej okładce jest co do

bezwzględnej wartości taki sam, a odwrotność pojemności zastępczej jest równa

sumie odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

C2

C1 Q1

Q1

U

C

C = C +C 1 2( Q +Q )/U1 2= C

Q /U2= C 2

Q U1/= C 1

W połączeniu równoległym kondensatorów napięcie na każdym kondensatorze jest

takie samo, a pojemność zastępcza jest równa sumie pojemności poszczegól nych

kondensatorów.

KONDENSATOR PŁASKI

88

TWIERDZEIEW przypadku połączenia szeregowego n identycznych kondensatorów, każdy o pojemności

C, pojemność zastępcza jest n-krotnie mniejsza niż C.

TWIERDZEIEW połączeniu szeregowym dowolnej liczby różnych kondensatorów pojemność zastępcza jest

mniejsza od najmniejszej pojemności w sieci.

• Połączenia mieszane kondensatorów szeregowo-równoległe Poniżej podamy dwa proste przykłady połączeń mieszanych kondensatorów szeregowo-

równoległych. Obliczenie pojemności zastępczej polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci

kondensatorów.

• Połączenia mostkowe kondensatorów

Sieć ta jest przykładem mostkowego połączenia kondensatorów. W przypadku, gdy

4231 CC CC = , kondensator 5C można pominąć, redukując sieć do połączenia szeregowo-

równoległego.

C3

C2

C1

C3

C = C +C12 1 2

(C +C )C1 2 3

C +C +C1 2 3=C123

C3

C2C1

C3

C +C1 2

C C1 2=C12

C3+C1 C2

C C1 2=C123

C3

C 2 C1

C4

n

CCzast =

C C C C

n

CCzast =

KONDENSATOR PŁASKI

89

TWIERDZEIE

DOWÓD

PRZYKŁADNajbardziej popularna ilustracja omawianego twierdzenia:

Oba układy są identyczne. Ponieważ CC CC ⋅=⋅ , kondensator czerwony można pominąć.

Pojemność zastępcza zredukowanej sieci wynosi C.

PRZYKŁADNiekiedy pojawia się bardziej wyrafinowany przykład w postaci następującego pytania. Czy

istnieje sieć utworzona z nieparzystej liczby kondensatorów taka, że usunięcie z niej jednego

kondensatora nie zmieni pojemności zastępczej?

• Zwarty kondensator

ϕ−ϕ=

ϕϕ=

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

=

=

ϕ=ϕ=ϕ

⇓

=

QC

-

QC

QC

QC

QQ

QQ

0U

1

4

4

3

3

3

3

2

2

1

1

1

43

21

42

5

4231 CCCC ⋅=⋅

334441

344

55

22

322211

QQ

CC

C U

CC

QQ

1

ϕϕϕϕ

++

ϕ

ϕ

++

ϕϕϕϕ

⇒

42315 CC CC 0 U =⇔=

Zwarty kondensator nie jest kondensatorem.

CC

CC

C

C

C

C

C Czast zast= ? = ?

KONDENSATOR PŁASKI

90

• Kondensator z płytką metalową między okładkami Jak zmieni się pojemność kondensatora po włożeniu między jego okładki płytki metalo-

wej o grubości x?

d1 d2

d

x

d

S C 0ε= x - d d d d d x d 2121 =+⇒=++

Po włożeniu płytki metalowej układ można rozpatrywać jako dwa kondensatory połączone

szeregowo.

d1 d2

. d

S C ,

d

S C

2

0

2

1

0

1

ε=

ε=

C1 C2

3 POJEMOŚĆ PŁASKIEGO KODESATORA Z WARSTWAMI RÓŻYCH

DIELEKTRYKÓW

Wykorzystując prawo Gaussa, obliczymy ponownie natężenie pola elektrycznego w kon-

densatorze z jednorodnym dielektrykiem całkowicie wypełniającym przestrzeń między okład-

kami kondensatora.

• Opis powierzchni Gaussa Powierzchnia Gaussa jest w tym przypadku powierzchnią prostopadłościanu, którego jed-

na para ścian równoległych jest równoległa do okładek kondensatora. Pole powierzchni każ-

dej z tych ścian jest identyczne z polem powierzchni okładki kondensatora.

• Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego Strumień natężenia przez ściany powierzchni Gaussa prostopadle do okładek jest równy

zeru ze względu na równoległość wektora natężenia do tych ścian. Niezerowy strumień otrzy-

mujemy jedynie dla jednej ze ścian powierzchni Gaussa równoległej do okładek. Całkowity

strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa wynosi:

S E E ⋅=Φ .

++ + + + +

E.. .

.

. . . . .

. . . .

.

.

. .

.

. . . . . . . . . . . . .

.

. . .

.. .

.

. . . . .

. . . .

.

.

. . .

. . . . . . . . . . . . .

.

. . . .

.

++ + + + +

E.. .

.

. . . . . .

. . .

. .

.

. . . . . . . . . . . . .

.

. . .

.. .

.

. . . . .

. . . .

.

.

. . .

. . . . . . . . . . . . .

.

. . . .

.

. xd

d

C

C ,

xd

Sε

dd

Sε

CC

CCC xo

21

o

21

21x −

=−

=+

=+

=

d

x1

CC lub

xd

dCC xx

−=

−

⋅=

KONDENSATOR PŁASKI

91

Na mocy twierdzenia Gaussa:

ro

Εεε

Q SE Φ =⋅= lub

Sεε

Q E

ro

= .

UWAGAW przypadku płaskiego kondensatora, wypełnionego równoległymi warstwami różnych

jednorodnych dielektryków, natężenie pola w każdej warstwie wynosi:

S

Q E

io

i εε= .

• Pojemność kondensatora z dwoma szeregowymi warstwami różnych dielektryków

S

Q E

S

Q E

d

E

d

E

Q C

20

2

10

1

2

22

1

11

21

εε=

εε=

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ=

⇒

2

2

1

1

0

d

d

S C

ε+

ε

ε= ⇐

⇑ Rozwiązanie można również uzyskać traktując ten układ jako dwa kondensatory połączone

szeregowo 21

21

2

202

1

101

C C

CC C ,

d

S C ,

d

S C

+

⋅=

εε=

εε= .

• Pojemność kondensatora z wieloma szeregowymi warstwami różnych dielektryków

n

n

2

2

1

1

0

d

d

d

S C

ε++

ε+

ε

ε=

L

• Pojemność kondensatora z płytką dielektryczną o grubości x w środku

x d d d

x d

1

1

d

d

d

S C

21

2

3

r2

1

3

3

2

2

1

1

0

−=+

=

=ε

ε=ε

=ε

ε+

ε+

ε

ε=

⇒

x d x

S C

r

o

−+ε

ε= ⇐

1d 2d 3d

x

d

1ε 2ε 3ε

1E 2E

1ε 2ε

1ϕ 2ϕϕ

1d 2d

KONDENSATOR PŁASKI

92

• Pojemność kondensatora z dwoma równoległymi warstwami różnych dielektryków

Układ ten można potraktować jako dwa kondensatory

S1 S2 połączone równolegle o pojemnościach C1 i C2.

4 EERGIA POLA ELEKTRYCZEGO W KODESATORZE

• Energia Wee pola elektrycznego w kondensatorze jest równa energii doprowadzonej do

kondensatora w procesie ładowania go lub jest równa co do bezwzględnej wartości ciepłu ja-

kie wydziela się w oporniku zwierającym kondensator.

Energia pola elektrycznego w kondensatorze jest równa pracy jaką muszą wykonać siły

zewnętrzne, aby ładunek z jednej okładki przenieść na drugą. W związku z przeniesieniem ła-

dunku dQ między okładkami siły zewnętrzne wykonują pracę dWe = UdQ.

Energia We pola elektrycznego w kondensatorze jest równa polu powierzchni pod wykresem

U od Q.

⇓

( )d

S S C 2211o ε+εε=

2122o

211o

1 C C C ,d

S C ,

d

S C +=

εε=

εε=

1ε 2ε

2

QU We =

U

Q

We

2

Q

0

e

Q 2

1 QdQ

U

Q C

UdQdW

∫ =

=

=

2

QU

2

CU

2C

Q W

22

e ===

2C

Q QdQ

C

1 dQ

C

Q UdQ W

2

Q

0

Q

0

Q

0

e ∫∫∫ ====⇒

KONDENSATOR PŁASKI

93

• Różne postacie wzoru na energię pola elektrycznego w kondensatorze

• Jak energia pola elektrycznego w danym kondensatorze zależy od jego pojemności

1. w połączeniu szeregowym kondensatorów?

2. w połączeniu równoległym kondensatorów?

UWAGACałkowita energia układu kondensatorów jest równa sumie energii zgromadzonych w posz-

czególnych kondensatorach układu.

d

UE

d

SC

U

QC

2

QUW

ro

e

=

εε=

=

= 2C

QW

2

e=

2

CUW

2

e=

2

roe EdS2

1W εε=

S2

QdW

ro

2

e εε=⇒

⇒2d

USW

2

ro

e

εε=

⇒

⇒

⇓

W połączeniu szeregowym kondensatorów więcej energii gromadzi się w kondensatorze

o mniejszej pojemności.

W połączeniu równoległym kondensatorów więcej energii gromadzi się w kondensatorze

o większej pojemności.

=W2

1

C1

C2

C2C1

QQ

=W2C

2Q

C~W 1

=W2

W1 C1

C2

=W 2CU

2

C~W

C1

C2

U

KONDENSATOR PŁASKI

94

5 GĘSTOŚĆ OBJĘTOŚCIOWA EERGII POLA ELEKTRYCZEGO

• Poprzednio otrzymaliśmy dla energii pola elektrycznego w kondensatorze wyrażenie

2

roe EdSεε2

1 W ⋅⋅= .

Sd = V = objętość przestrzeni między okładkami kondensatora, w której zgromadzona jest

energia pola elektrycznego

Energia jednorodnego pola elektrycznego jest w tej objętości rozłożona równomiernie z gęs-

tością objętościową energii w równą:

UWAGAWzór ten jest poprawny dla dowolnego jednorodnego pola elektrycznego lub dla niejednorod-

nego pola elektrycznego w odpowiednio małym obszarze.

• Pole elektrostatyczne, czyli pole elektryczne, którego natężenie jest stałe w czasie, stanowi

szczególny przypadek pola elektromagnetycznego. Najbardziej spektakularnym wynikiem

teorii pola elektromagnetycznego, rozwiniętej przede wszystkim przez Maxwella, było odkry-

cie fal elektromagnetycznych.

6 SIŁA WZAJEMEGO PRZYCIĄGAIA SIĘ OKŁADEK KODESATORA

• Aby wyznaczyć siłę wzajemnego przyciągania się dwóch okładek kondensatora płaskiego,

przyrównamy pracę, jaką wykonują siły elektryczne przy zmianie odległości między

okładkami kondensatora, do zmiany energii pola elektrycznego w kondensatorze.

ZASTOSOWAIEW oparciu o wzór na U została opracowana przez Kelvina w roku 1860 metoda pomiaru na-

pięcia przy pomocy tzw. elektrometru bezwzględnego, zwanego też woltomierzem absolut-

nym lub wagą napięcia.

Sεε

Q E

d

Sεε C

CU Q

Sε2ε

∆dQ ∆W

∆dF W

∆W W

ro

ro

ro

2

e

elel sił

eel łsi

=

=

=

=

−=

−=S2

Q F

ro

2

el εε=

2

2

roel

d2

SU F

εε=

S

2F d U

ro

el

εε=

QE2

1 Fel =⇒ ⇒

⇓

⇓

2

roe

df

E2

1

V

W εε==w

KONDENSATOR PŁASKI

95

7 DWA STAY AŁADOWAEGO KODESATORA:

ZE ŹRÓDŁEM (U=COST) I BEZ ŹRÓDŁA (Q= COST)

• Jak zmiana parametrów εr, S, d, x wpływa na C, Q, U, We, E?

Płaski kondensator powietrzny naładowano i

I. odłączono od źródła stałego napięcia.

II. pozostawiono ze źródłem stałego napięcia.

Następnie w każdym przypadku:

1. włożono dielektryk do wnętrza kondensatora, εr wzrosło.

2. wyjęto dielektryk z wnętrza kondensatora, εr zmalało.

3. zwiększono powierzchnię okładek kondensatora, lub dołączono równolegle nie nałado-

wany kondensator, S wzrosło.

4. zmniejszono powierzchnię okładek kondensatora, S zmalało.

5. oddalono okładki kondensatora, d wzrosło.

6. zbliżono okładki kondensatora, d zmalało.

7. włożono płytkę metalową do wnętrza kondensatora, x wzrosło.

8. wyjęto płytkę metalową z wnętrza kondensatora, x zmalało.

Zbadaj jak w skutek tego zachowały się w każdym przypadku:

A. pojemność kondensatora, C.

B. ładunek na okładkach kondensatora, Q.

C. napięcie między okładkami kondensatora, U.

D. energia pola elektrycznego w kondensatorze, We.

E. natężenie pola elektrycznego w kondensatorze, E.

• Z faktu, że naładowany kondensator odłączony od źródła charakteryzuje Q = const, a po-

zostawiony ze źródłem U = const, oraz z relacji zestawionych w pionowej ramce, uzyskujemy

odpowiedzi na tytułowe pytanie.

d

U E

C2

Q W

2

CU W

2

QU W

U

Q C

d

x 1

C C

d

S C

2

e

2

e

e

x

ro

=

=

=

=

=

−=

εε=

Kondensator bez źródła

Q = const

Kondensator ze źródłem

U = const

⇒

C U We E

εr

εr

S

S

d const

d const

x

x

C Q We E

εr const

εr const

S const

S const

d

d

x

x

↑ ↑ ↑

↑

↑ ↑ ↑

↑

↑

↑ ↑

↑ ↑

↑

↑

↑

↑

↑

↑ ↑ ↑ ↑

↑

↑

↑

↑↑↑

↑↑↑↑

↑↑↑

↓↓

↓↓

↓↓

↓

↓↓↓

↓↓↓

↓↓

↓↓↓

↓↓

↓↓↓

↓↓

↓↓↓↓

↓↓↓↓

↓

↓

KONDENSATOR PŁASKI

96

8 BILAS EERGII POLA ELEKTRYCZEGO W KODESATORZE

• Dla izotermicznych zmian stanu układu i przy założeniu, że zmiana energii kinetycznej

ciał układu jest do pominięcia, mamy:

eW∆ = zmiana energii pola elektrycznego w kondensatorze

zW∆ = zmiana energii związana z pracą wykonaną przez siły zewnętrzne podczas:

wkładania dielektryka −

wyjmowania dielektryka +

zwiększania powierzchni −

zmniejszania powierzchni +

oddalania okładek +

zbliżania okładek −

wkładania płytki metalowej −

wyjmowania płytki metalowej +

zW∆ = Wsił zew

Fzew = − Fel

aW∆ = zmiana energii związana z:

ładowaniem akumulatora −

rozładowaniem akumulatora +

aW∆ = E∆Q

E = siła elektromotoryczna

cW∆ = zmiana energii związana z wydzielaniem się ciepła Joule’a-Lenza w przewodach

w wyniku przepływu prądu elektrycznego −

cW∆ = − QJL

fW∆ = zmiana energii związana z emisją fal elektromagnetycznych −

+ oznacza, że dany składnik jest dodatni

− oznacza, że dany składnik jest ujemny

elektromagnetycznefale

ciepło układ

źródło napięcia stałego

T = const

fcaze W W W W W ∆+∆+∆+∆=∆

KONDENSATOR PŁASKI

97

• Rozpatrzmy przypadek, dla którego wydzielanie się ciepła Joule’a-Lenza i emisję fal elek-

tromagnetycznych można zaniedbać. Równanie bilansu energii pola elektrycznego w konden-

satorze redukuje się wtedy do postaci:

∆Q W∆W zew sile ε+=

⇓ ⇓

zew silezew sile12

2

1

2

2e

W∆W QUW∆W UCUC ∆Q

constQ const U UC2

1 UC

2

1 ∆W

=∆+=−=

===−= ε

⇓ ⇓

zew sile

e

W W

const U W2 QU

−=∆

=⇒∆=∆

⇓ ⇓

zew silW2 QU −=∆

UWAGARelacja U∆Q = −2 Wsił zew lub ∆Wa = −2 ∆Wz ma następującą interpretację. Wkład do

energii pola elektrycznego w kondensatorze, pochodzący od pracy sił zewnętrznych, jest co do

wartości bezwzględnej dwa razy mniejszy, ale przeciwnego znaku niż wkład pochodzący od

kondensatora. Inaczej mówiąc: jak siły zewnętrzne zabiorą kondensatorowi energię, to

akumulator doda mu dwa razy więcej. Jak siły zewnętrzne dadzą kondensatorowi energię, to

akumulator zabierze mu dwa razy więcej.

KONDENSATOR PŁASKI

98

Kondensator płaski o pojemności C naładowano i odłączono od źródła stałego napięcia.

1. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby n - razy zmienić odległość między okład-

kami kondensatora ? (Jeżeli d wzrośnie n razy, to n > 1. Jeżeli d zmaleje n razy, to n < 1.)

n

C

nd

S C

C d

S C

2C

Q

C2

Q W

W W

const Q

ro2

ro

1

1

2

2

2

e

ezew sil

=εε

=

=εε

=

−=∆

∆=

=

⇒ ( )C2

Q 1 n W

2

zew sil −=

UWAGA Jeżeli d wzrośnie dwa razy, to n = 2 . Jeżeli d zmaleje dwa razy, to n = 2

1 .

2. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć płytkę metalową o grubości x

między okładki kondensatora?

xd

Cd C

C C

C2

Q

2C

Q W

W W

const Q

2

1

1

2

2

2

e

ezew sil

−=

=

−=∆

∆=

=

⇒ d

x

C2

Q W

2

zew sil ⋅−=

UWAGA Płytka metalowa jest wciągana do kondensatora.

3. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć dielektryk między okładki

kondensatora?

C d

S C

C d

S C

2C

Q

2C

Q W

W W

const Q

rro

2

o

1

1

2

2

2

e

ezew sil

ε=εε

=

=ε

=

−=∆

∆=

=

⇒ r

r

2

zew sil

1

C2

Q W

ε

ε−⋅=

UWAGA Dielektryk jest wciągany do kondensatora.

4. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby wyjąć dielektryk z kondensatora?

KONDENSATOR PŁASKI

99

r

o2

ro

1

1

2

2

2

e

ezew lsi

C

d

S C

C d

S C

2C

Q

2C

Q W

W W

const Q

ε=

ε=

=εε

=

−=∆

∆=

=

⇒ ( ) 1 2C

Q W r

2

zew sil −ε=

UWAGA Dielektryk jest wciągany do kondensatora.

Kondensator płaski o pojemności C naładowano do napięcia U i pozostawiono z akumu-latorem. Wydzielanie się ciepła Joule’a-Lenza i emisję fal elektromagnetycznych zanied-bujemy.

1. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby n-razy zmienić odległość między okład-

kami kondensatora?

n

C

nd

S C

C d

S C

2

UC

2

UC W

W W

const U

ro2

ro

1

2

1

2

2e

ezew sil

=εε

=

=εε

=

−=∆

∆−=

=

⇒ n

1n CU

2

1 W 2

zew sil

−⋅=

UWAGA Jeżeli d wzrośnie dwa razy, to n = 2 . Jeżeli d zmaleje dwa razy, to n = 1/2 .

2. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć płytkę metalową o grubości x

między okładki kondensatora?

x d

Cd C , C C

2

UC

2

UC W

W W

const U

21

2

1

2

2e

ezew sil

−==

−=∆

∆−=

=

⇒ xd

dCU

2

1 W 2

zew sil −⋅−=

UWAGA Płytka metalowa jest wciągana do kondensatora.

KONDENSATOR PŁASKI

100

3. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć dielektryk między okładki kon-

densatora?

C d

S C

C d

S C

2

UC

2

UC W

W W

const U

rro

2

o

1

2

1

2

2 e

ezew sil

ε=εε

=

=ε

=

−=∆

∆−=

=

⇒ ( )r

2

zew sil 1 CU2

1 W ε−=

UWAGADielektryk jest wciągany do kondensatora.

4. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby wyjąć dielektryk z kondensatora?

r

o2

r0

1

2

1

2

2e

ezew sil

C

d

S C

C d

S C

2

UC

2

UC W

W W

const U

ε=

ε=

=εε

=

−=∆

∆−=

=

⇒ r

r2

zew sil

1 CU

2

1 W

ε

−ε⋅=

UWAGADielektryk jest wciągany do kondensatora.

101

DIELEKTRYKI

1 POLARYZACJA DIELEKTRYKÓW

• W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy dielektryk makroskopowo, jako ośro-

dek nie przewodzący prądu elektrycznego, charakteryzowany przez stałą dielektryczną rε ,

nie wnikając w budowę cząsteczkową tej grupy materiałów.

• Polaryzacja dielektrykówPrzy braku zewnętrznego pola elektrycznego w dielektryku niepolarnym każda cząsteczka ma

moment dipolowy równy zeru, a w dielektryku polarnym suma momentów dipolowych wszy-

stkich cząsteczek jest równa zeru pomimo, że każda cząsteczka ma różny od zera trwały mo-

ment dipolowy. Polaryzacja dielektryka polega na tym, że w zewnętrznym polu elektrycznym

pojawia się w dielektryku różny od zera sumaryczny moment dipolowy cząsteczek. W zew-

nętrznym polu elektrycznym każda cząsteczka dielektryka niepolarnego uzyskuje induko-

wany (wymuszony) elektryczny moment dipolowy indµ skierowany wzdłuż natężenia pola

elektrycznego.

ef0ind αε Eµ =

α = polaryzowalność cząsteczki

[ ]α = m3

Polaryzowalność α cząsteczki nie zależy od temperatury, gęstości oraz ciśnienia.

lµ qind =

q = sumaryczny dodatni ładunek wszystkich jąder w cząsteczce

l = wektor poprowadzony od środka ciężkości elektronów w cząsteczce do środka

ciężkości dodatnich ładunków jąder atomowych

efE = natężenie efektywnego pola elektrycznego, czyli pola, które faktycznie działa na

daną cząsteczkę dielektryka, będącego sumą pola zewnętrznego i pól pozostałych cząste-

czek

Pole efektywne nazywane jest niekiedy polem lokalnym lub skutecznym.

W dielektrykach polarnych zewnętrzne jednorodne pole elektryczne powoduje

ustawienie się momentów dipolowych cząsteczek wzdłuż pola elektrycznego, czemu

przeszkadza ich chaotyczny ruch cieplny. Zewnętrzne pole elektryczne powoduje również

powstawanie w cząsteczkach dodatkowego indukowanego momentu dipolowego.

Na powierzchniach granicznych spolaryzowanego dielektryka, prostopadłych do natę-

żenia zewnętrznego pola elektrycznego, pojawiają się związane ładunki elektryczne będące

źródłem pola elektrycznego o natężeniu mającym taki sam kierunek, ale przeciwny zwrot niż

natężenie zewnętrznego pola elektrycznego. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego w ob-

szarze dielektryka jest sumą wektorową natężeń obu pól. Oczywiście, wartość wypadkowego

natężenia jest mniejsza od wartości natężenia zewnętrznego, jednorodnego, stałego w czasie

pola elektrycznego.

DIELEKTRYKI

102

UWAGAJeżeli źródłem pola elektrycznego jest płaski kondensator podłączony do źródła stałego na-pięcia, a jednorodny dielektryk całkowicie wypełnia przestrzeń między okładkami kondensato-ra, to natężenie pola wewnątrz dielektryka jest takie samo jak między okładkami kondensatorabez tego dielektryka. Jeżeli źródłem pola elektrycznego jest płaski kondensator naładowanyi odłączony od źródła stałego napięcia, a jednorodny dielektryk całkowicie wypełnia przestrzeńmiędzy okładkami kondensatora, to natężenie pola wewnątrz dielektryka jest rε razy mniejszeod natężenia pola między okładkami kondensatora bez tego dielektryka.

2 ZALEŻOŚĆ STAŁEJ DIELEKTRYCZEJ OD TEMPERATURY I IYCH PA-

RAMETRÓW

• W dielektrykach niepolarnych cząsteczki nie mają trwałych momentów dipolowych,w dielektrykach polarnych cząsteczki mają trwałe momenty dipolowe.• Wektor polaryzacjiWektorem polaryzacji lub polaryzacją P nazywamy wektor będący sumą momentówdipolowych wszystkich cząsteczek dielektryka podzieloną przez jego objętość.

∑=

=N

1iiV

1µP

N = liczba cząsteczek zawartych w objętości V V = objętość dielektryka

Dla dielektryka niepolarnego znajdującego się w polu elektrycznym:

ind

N

1ii Nµµ =∑

=

ef0ind αε Eµ = ⇒ ef0n EP αε=

V

Nn =

indµ = indukowany moment dipolowy jednej cząsteczki

n = koncentracja cząsteczek n = stosunek liczby cząsteczek N, zawartych w objętości V, do objętości V α = polaryzowalność cząsteczki efE = natężenie efektywnego pola elektrycznego

Wektor polaryzacji spełnia empiryczną relację:

( )EP 1r0 −εε= .

E = natężenie wypadkowego pola elektrycznego w dielektryku

I już jesteśmy gotowi do otrzymania zapowiadanych w tytule zależności.

DIELEKTRYKI

103

• Stała dielektryczna niepolarnych gazów rozrzedzonych

ef0n EP αε= ⇒ α+=ε n1r

( )EP 1r0 −εε=

EE =ef ⇒ dM

N1 A

r ⋅α

+=ε

M

dNn A ⋅=

kT

pn = ⇒

T

p

k1r ⋅

α+=ε

d = gęstość dielektryka, [d] = kg m-3

M = masa cząsteczkowa, [M] = kg kmol-1

AN = liczba Avogardo = 6,022 · 1026 kmol-1

p = ciśnienie, [p] = Pa k = stała Boltzmanna = 1,38 · 10-23 J K-1

1

α

rε

• Stała dielektryczna niepolarnych gazów, cieczy i kryształów Przypomnijmy, w dotychczasowych rozważaniach E oznaczało natężenie wypadkowegopola w dielektryku, będącego sumą pola pochodzącego od źródeł zewnętrznych i polapochodzącego od ładunków pojawiających się wskutek polaryzacji na zewnętrznejpowierzchni dielektryka. Aby polepszyć zgodność relacji teoretycznych z doświadczeniem,wprowadza się do wzorów tzw. natężenie efE efektywnego pola elektrycznego, czyli pola,

które faktycznie działa na daną cząsteczkę dielektryka, będącego suma pola zewnętrznegoi pól pozostałych cząsteczek. Zgodnie z teorią Lorentza, przyjmujemy dla natężenia polaefektywnego równania

PEE ⋅ε

+=0

ef 3

1 lub EE ⋅

+ε=

3

2ref .

ef0n EP αε= ⇒ 3

n

2

1

r

r α=

+ε−ε

( )EP 1r0 −εε=

EE ⋅+ε

=3

2ref Równanie Mossottiego-Clausiusa.

M

dNn A ⋅= ⇒

3

N

d

M

2

1 A

r

r α=⋅

+ε−ε

Polaryzowalność α nie zależy od temperatury, ciśnieniaoraz gęstości i dlatego stała dielektryczna rε niepolarnychgazów rozrzedzonych jest liniową funkcją gęstości.

DIELEKTRYKI

104

Równanie Langevina-Debaye’a Równanie Langevina-Debaye’a

• Stała dielektryczna polarnych gazów rozrzedzonych, gdy µE << kT

ef

2

0 kT3

nn EP

µ+αε= Równanie Langevina-Debye’a

( )EP 1r0 −εε= ⇒

εµ

+α+=ε0

2

r kT3n1

EE =ef

µ = moment dipolowy trwałego dipola przy braku pola elektrycznego k = Stała Boltzmanna

• Stała dielektryczna polarnych gazów, gdy µE << kT

ef

2

0 kT3

nn EP

µ+αε= ⇒

εµ

+α=+ε−ε

0

2

r

r

kT33

n

2

1

( )EP 1r0 −εε=

EE ⋅+ε

=3

2ref Równanie Mossottiego-Clausiusa-Langevina-Debye’a

M

dNn A ⋅= ⇒

εµ

+α=⋅+ε−ε

0

2A

r

r

kT33

N

d

M

2

1

d = gęstość dielektryka M = masa cząsteczkowa AN = liczba Avogardo α = polaryzowalność cząsteczki µ = moment dipolowy trwałego dipola przy braku pola elektrycznego k = Stała Boltzmanna n = koncentracja cząsteczek

W przypadku dielektryków polarnych w stanie gazowym zgodnie, z prawem Mossottiego-Clausiusa-Langevina-Debye’a, wzrost temperatury powoduje zmniejszenie się stałej dielek-trycznej.

Wielkość d

M

2

1

r

r ⋅+ε−ε

bywa nazywana polaryzacją molową.

DIELEKTRYKI

105

3 WARUKI GRAICZE

• Granica dielektryka z dielektrykiemNa nienaładowanej powierzchni granicznej dwóch stykających się ze sobą dielektryków mu-szą być spełnione podane poniżej warunki graniczne dla składowych wektorów natężenia polaelektrycznego stycznych (równoległych) i normalnych (prostopadłych) do powierzchni grani-cznej.WARUEK 1Składowe styczne natężeń pól po obu stronach powierzchni granicznej są takie same.

UWAGAZałożyliśmy, że 0rot =E . Wynika to z potencjalności stałego pola wektora E .

WARUEK 2Składowe normalne natężeń pól po obu stronach powierzchni granicznej są odwrotnie propor-cjonalne do stałych dielektrycznych ośrodków.

UWAGAZałożyliśmy, że gęstość powierzchniowa ładunków swobodnych σ na powierzchni granicznejjest równa zeru. W przeciwnym przypadku warunek graniczny dla składowych normalnych na-tężeń pól elektrycznych przyjmuje postać:

o

n11n22 EEεσ

=ε−ε .

• Granica dielektryka z przewodnikiemNa granicy między dielektrykiem a przewodnikiem składowa styczna wektora natężenia polajest równa zeru.

σ = gęstość ładunków swobodnych na powierzchni przewodnika

UWAGANa granicy dielektryka z przewodnikiem wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadłydo powierzchni przewodnika.

0rot =EED roεε=

t1t2 EE =

1

t1

2

t2 DD

ε=

ε⇒

n1n2 DD =

n11n22 EE ε=ε⇒

ρ=Ddiv0=ρ

ED roεε=

0E t2 =

2on2E

εεσ

=⇒

t1t2 EE =

on11n22 EE

εσ

=ε−ε

0E t1 = , 0E n1 =

1 = metal, 2 = dielektryk

DIELEKTRYKI

106

4 DIELEKTRYKI O RÓŻYCH KSZTAŁTACH W JEDORODYM STAŁYM

POLU ELEKTRYCZYM

• Dla kilku brył wzór na natężenie pola elektrycznego wewnątrz bryły ma podobną strukturę.

−

ε

ε+

=

1n1ex

in

oin

EE .

n = współczynnik depolaryzacji inE = natężenie pola elektrycznego w bryle o stałej dielektrycznej inε

oE = natężenie zewnętrznego pola elektrycznego w próżni

exε = stała dielektryczna ośrodka, w którym znajduje się rozważana bryła

inε = stała dielektryczna bryły

Ponieważ

inex

ino E1

ε

εεP

−= ,

mamy też

PEE n1

o

oin ε−= .

Pole wewnątrz każdej z tych brył jest jednorodne i równoległe do pola zewnętrznego.

• Dielektryk uzyskuje w zewnętrznym polu elektrycznym wskutek polaryzacji różny od zeramoment dipolowy Pµ V* = i zachowuje się jak dipol elektryczny. Moment sił działających na

taki dipol spowoduje, że ustawi się on tak, by wektory *µ i oE były równoległe. Jeżeli zew-

nętrzne pole elektryczne jest niejednorodne, to rozpatrywany dielektryk dozna jeszcze działa-nia siły w kierunku silniejszego pola.PRZYKŁADŹródłem niejednorodnego pola elektrycznego są laski szklane lub ebonitowe oraz kawałki bur-sztynu naelektryzowane przez pocieranie. Przyciągają one drobne skrawki różnych dielektry-

Kula 3

1n =

inex

oexin 2

3

ε+ε

ε=

EE

Długi walec o osi prostopadłej do oE 2

1n =

inex

oexin

2

ε+ε

ε=

EE

Walec o osi równoległej do oE 0n = oin EE =

Płytka płasko równoległa prostopadła do oE 1n = in

oexin ε

ε=

EE

DIELEKTRYKI

107

5 FERROELEKTRYKI

• Ferroelektrykami nazywamy dielektryki krystaliczne, które przy braku zewnętrznego po-la elektrycznego składają się z domen, czyli małych spolaryzowanych obszarów. Ze względuna chaotyczne rozmieszczenie domen, ich wypadkowy moment dipolowy, a tym samym całko-wita polaryzacja są równe zeru. W zewnętrznym polu elektrycznym ferroelektryki ulegają po-laryzacji, która polega na powiększaniu się domen i obrocie ich momentów dipolowychw kierunku pola. Ferroelektrykami są na przykład tytanian baru ( )3BaTiO , sól Seignette’a, czyli winian so-

dowo potasowy ( )OH4ONaKC 264 ⋅ , kwaśny fosforan potasu ( )42POKH , oraz 42PORbH ,

42POCsH , 42AsORbH , 42AsOKH , 42AsOCsH , 3KTaO , 3NaTaO , 3KNbO , 3PbTiO ,

3LiTaO , 3LiNbO , 727 ONbCd .

Stałe dielektryczne ferroelekryków zależą nieliniowo od temperatury i natężenia zewnętrz-nego pola elektrycznego.• Histereza dielektryczna jest zależnością polaryzacji P ferroelektryka od natężenia E zew-nętrznego pola elektrycznego. Danej wartości natężenia E odpowiadają różne wartości polary-zacji P w zależności od jej wcześniejszej wartości. Ferroelektryki posiadają „pamięć”.

E

P

0

12

3

45

6

Pole powierzchni pętli histerezy jest proporcjonalne do ciepła wydzielonego w ferroelektrykupodczas jednego obiegu ( )1654321 −−−−−− .

• Temperaturą Curie (punktem Curie) nazywamy temperaturę, powyżej której ferroelek-tryk przechodzi w stan właściwy dla normalnego dielektryka polarnego. Niektóre ferroelek-tryki posiadają dwa punkty Curie. Górny punkt Curie i dolny punkt Curie, to temperatura od-powiednio powyżej i poniżej której ferroelektryk traci swe własności. W temperaturze Curie ferroelektryki osiągają bardzo duże wartości stałej dielekrycznejrzędu 63 1010 ÷ .

0 = stan początkowy1 i 4 = polaryzacja nasycenia2 i 5 = polaryzacja szczątkowa3 i 6 = koercja

109

PRĄD ELEKTRYCZ Y

STAŁY W METALACH

1 PRĄD ELEKTRYCZ Y PRZEWOD ICTWA

• Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Dalej

zajmować się będziemy tzw. prądem przewodnictwa lub prądem przewodzenia, czyli

uporządkowanym ruchem swobodnych ładunków w ośrodkach przewodzących pod wpływem

zewnętrznego pola elektrycznego.

Ośrodek przewodzący ośniki prądu

metale, stopy metali, węgiel elektrony

półprzewodniki elektrony i dziury

elektrolity jony ujemne i dodatnie

gazy jony ujemne i dodatnie oraz elektrony

UWAGA

Wewnątrz metalu E = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy metal jest odosobniony i nie istnieje różna

od zera różnica potencjałów między dowolnymi jego punktami.

• atężeniem I prądu elektrycznego nazywamy stosunek ładunku Q, przepływającego

przez poprzeczny przekrój przewodnika, do czasu t tego przepływu.

Natężenie prądu elektrycznego jest skalarem.

PRZYKŁAD

Jeżeli w przewodniku płynie prąd o natężeniu jednego ampera, to przez przekrój poprzeczny

tego przewodnika w czasie jednej sekundy przepływa 6,25 · 1018

elektronów.

• Prądem stałym, jakim będziemy się dalej zajmować, nazywamy prąd, którego natężenie

jest stałe w czasie.

• Kierunek przepływu prądu elektrycznego przyjęto umownie oznaczać strzałką skiero-

waną od punktu przewodnika o potencjale wyższym do punktu przewodnika o potencjale niż-

szym. Tak określony kierunek prądu zgadza się z kierunkiem ruchu dodatnich nośników

prądu. Ujemne nośniki prądu poruszają się w kierunku przeciwnym do umownego kierunku

prądu.

t

Q I =

[ ] .amper 1 1A s1

C1 I ===

e106,25 C C101,6 e 1819⋅=⇒⋅=

−

PRĄD STAŁY

110

• Gęstością j prądu elektrycznego nazywamy stosunek natężenia prądu I do pola powie-rzchni S przekroju poprzecznego przewodnika, na którym to przekroju rozkład prądu jestrównomierny.

S

Ij =

Gęstość prądu elektrycznego jest wektorem o kierunku prądu elektrycznego.

2 PRAWO OHMA

• Prawo Ohma Dla przewodników metalowych obserwuje się doświadczalnie liniową zależność międzynapięciem U przyłożonym do końców przewodnika a natężeniem I prądu płynącego w prze-wodniku. Relacja ta zwana jest prawem Ohma.

UWAGA

Dla danego przewodnika : R = const, I ~ U .

Prawo Ohma bywa zapisane także w innej postaci:

UG I ⋅= .

Prawo Ohma

[ ] ⋅= m1

A1 j

2

[ ]

Ω÷≈

=Ω==

=

=

610 0 R

om 1 1 1A

1V R

I

U R

arezystancj luby elektrycznopór R

[ ] simens11SV1

A1

1

1G

R

1G

jakonduktanclubeelektryczntwoprzewodnicG

===Ω

=

=

=

I

U

UR

1 I ⋅=

PRĄD STAŁY

111

• Zależność oporu od długości, przekroju i rodzaju materiału przewodnika metalowe-go

S

l ρ R = lub

S γ

l R =

l = długość przewodnika S = pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika ρ = opór elektryczny właściwy lub rezystywność

[ρ] = 1Ω m = 1 omometr γ = przewodnictwo elektryczne właściwe lub konduktywność

• Prawo Ohma w postaci lokalnej

3 ZALEŻ.OŚĆ OPORU WŁAŚCIWEGO OD TEMPERATURY

• Opór elektryczny właściwy zależy liniowo od temperatury, z pominięciem niskich i wy-sokich temperatur. Dla wielu metali spełniona jest relacja:

T273

1 273 ⋅ρ⋅=ρ .

[ ]1m

1S

m1

1

1

=⋅Ω

=γ

ρ=γ

S

l R

lE UR

U I

S

I j

γ=

⋅=

=

=

E j γ=⇒

ρ

T ~ ρ

T

T

1 ~ γ

γ

T

PRĄD STAŁY

112

• Badając doświadczalnie zależność oporu właściwego od temperatury, wyznacza się tzw.współczynnik temperaturowy oporu właściwego α .

T = temperatura w skali Kelvina ρ273 = opór właściwy w temperaturze 273 K

Współczynnik temperaturowy oporu właściwego α ma prostą interpretację, która staje się wi-doczna, gdy wzór definicyjny zapisać w postaci:

( ) T 2731 273273 ⋅α⋅ρ+⋅α−⋅ρ=ρ .

• .adprzewodnictwo

W niskich temperaturach bliskich zera bezwzględnego opór niektórych metali nagle spadado zera. Zjawisko to, odkryte przez Kamerlingh-Onnesa w 1911 roku, nazwano nadprzewod-nictwem.

• Prawo Wiedemanna-Franza-Lorenza Stosunek współczynnika przewodnictwa cieplnego K do przewodnictwa elektrycznegowłaściwego γ dla wszystkich metali jest proporcjonalny do temperatury bezwzględnej T.

L = liczba Lorenza

273 T

1 273

273 −

ρ−ρ⋅

ρ=α

[ ]K

1 =α

TL K

⋅=γ

ρ

T

273

1 =α

ρ

T

273

1 <α

T

ρ

273

1 >α

PRĄD STAŁY

113

4 PRAWO JOULEÀ-LE.ZA

• Prawo Jouleà – Lenza Podczas przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik wydziela się w nim ciepło,którego wartość W jest proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu I2, oporu przewodnika R,oraz czasu przepływu t.

• Moc P ciepła wydzielonego w przewodniku

• Prawo Jouleà – Lenza w postaci lokalnej

ω = gęstość mocy ciepła wydzielonego w przewodniku ω = stosunek mocy wydzielonego ciepła do objętości, w której się ona wydzieliła

t R I W 2 ⋅⋅=

R

U I

tRI W

t

W P

2

=

⋅⋅=

=

UI R

U RI P

22 ⋅==⋅=⇒

E jS

I j

S

l R

RI P

lS

P

2

⋅γ=

=

ρ=γ

⋅ρ=

⋅=

⋅=ω

1

222 E j j ⋅γ=⋅γ

=⋅ρ=ω1⇒

S

l

P

U

R = const

P ~ U2

P

I

R = const

P ~ I2

PRĄD STAŁY

114

• Jak moc ciepła wydzielonego w danym przewodniku zależy od jego oporu1. w połączeniu szeregowym przewodników?2. w połączeniu równoległym przewodników?

5 SUKCESY I PORAŻKI KLASYCZ.EJ ELEKTRO.OWEJ TEORIIPRZEWOD.ICTWA ELEKTRYCZ.EGO W METALACH

• W metalach w stanie stałym swobodne elektrony, zachowujące się jak gaz doskonały, po-ruszają się chaotycznie z prędkością średnią vśr~106

sm między drgającymi jonami dodatnimi

tworzącymi sieć krystaliczną. Jeżeli do końców przewodnika przyłożymy stałą różnicępotencjałów, to pole elektryczne powstałe w przewodniku spowoduje uporządkowany ruchelektronów wzdłuż przewodnika z prędkością vu~10-4

sm , zwaną prędkością unoszenia.

UWAGAZmiany natężenia pola elektrycznego wzdłuż drutu rozchodzą się z prędkością światła rzędu108

sm nadając niemal jednocześnie wszystkim elektronom przewodnictwa składową prędkość

wzdłuż drutu vu~10-4sm .

PRZYKŁADPrędkość średnia vśr bezwładnego ruchu cieplnego elektronów w temperaturze pokojowejw nieobecności pola elektrycznego wynosi:

K 293 T

kg109,1 m

K

J101,38 k

2

kT3

2

vm

31-

23-

2śr

=

⋅⋅=

⋅⋅=

=

⇒s

m 101,3

m

3kT v 6

śr ⋅≈=

W połączeniu szeregowym przewodników więcej ciepła wydziela się w przewodnikuo większym oporze.W połączeniu równoległym przewodników więcej ciepła wydziela się w przewodnikuo mniejszym oporze.

I I I

R 2

I = P

R 2R 1

P 2P 1 = R2

R 1

P ~ R

R2

R 1P 2P 1 =

U

2

R U = P

1R ~ P

PRĄD STAŁY

115

• Związek gęstości prądu z prędkością unoszenia

vu = prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa Sl = objętość przewodnika cylindrycznego o długości l i polu powierzchni przekroju poprzecznego S n = gęstość elektronów swobodnych przewodnictwa nSl = liczba elektronów swobodnych w przewodniku n = NAd/M NA = liczba Avogadro d = gęstość metalu

M = masa molowa lub cząsteczkowa metalu e = ładunek elektronu

• Prędkość maksymalna i prędkość unoszenia Na elektron o masie m i ładunku e, w stałym polu elektrycznym o natężeniu E, wewnątrzmetalu działa siła F = eE = ma, która nadaje mu przyśpieszenie a:

Elektron będzie tylko przyśpieszany w czasie jaki upływa od zderzenia do kolejnego zderze-nia z jonami sieci krystalicznej. Średni czas τ między kolejnymi zderzeniami wynosi:

vśr = średnia prędkość ruchów termicznych elektronów przewodnictwa λ = średnia droga swobodna elektronów przewodnictwa

Pod koniec swobodnego przebiegu, odbywającego się ruchem jednostajnie przyśpieszonym,elektron uzyskuje prędkość:

Średnią prędkość, z jaką elektron porusza się w czasie swobodnego przebiegu, można trakto-wać jako prędkość unoszenia.

. m

eF a =

uv

l t

nSle Qt

Q I

S

I j

=

=

=

=

uenv j =⇒

. v

λ τ

śr

=

m

eEa

v

a v

śr

max

=

λ=τ

τ=

⇒śr

max vm

eE v

λ⋅=

śr

maxu v2m

eE

2

v v

λ⋅==

PRĄD STAŁY

116

• Mikroskopowa interpretacja prawa Ohma

• Mikroskopowa interpretacja prawa Joule`a – Lenza Zderzający się z siecią elektron przekazuje jej energię kinetyczną Ek . Mnożąc tę energięprzez częstotliwość zderzeń elektronów z siecią vśr/λ i przez gęstość elektronów n , otrzma-my gęstość mocy przekazanej energii od wszystkich elektronów.

• Mikroskopowa interpretacja prawa Wiedemanna – Franza – Lorenza Zakładając, że przewodnictwo cieplne metali związane jest z gazem elektronów swobod-nych, możemy wyznaczyć współczynnik przewodnictwa cieplnego K metali, wykorzystującrelację dla współczynnika przewodnictwa cieplnego gazów, kładąc w niej liczbę stopni swo-body i = 3.

E j

v2m

eE v

env j

śru

u

γ=

λ⋅=

= ⇒

⇒

Emv2

ne j

śr

2

⋅λ

=

śr

2

mv2

ne

λ=γ

2

śrk

śrmax

2max

k

E

nv

E

vm

eE v

2

mv E

γ=ω

⋅λ

⋅=ω

λ⋅=

=2

śr

2

Emv2

ne ⋅

λ=ω

śr

2

mv2

ne

λ=γ

⇒

⇒

LT K

2

3kT

2

mv

mv2

ne

M

dN n

kN R

3in2

iRC

dCv3

1 K

2śr

śr

2

A

A

v

vśr

=γ

=

λ=γ

=

=

=

=

λ=

⇒

⇒

⇒

λ= śrnkv2

1K

Te

3k

K2

2

⋅=γ

2

2

e

3k L =

PRĄD STAŁY

117

• Zależność przewodnictwa elektrycznego właściwego γγγγ od temperatury T Klasyczna elektronowa teoria przewodnictwa elektrycznego metali nie radzi sobie z wy-jaśnieniem doświadczalnej zależności przewodnictwa elektrycznego właściwego γ od tem-peratury T.

Relacja doświadczalna: γ ~ 1/T

• Prawo Dulonga-Petita Inna wpadka klasycznej teorii elektronowej dotyczy ciepła właściwego molowego C me-tali. Zgodnie z tą teoria energia wewnętrzna metalu jest sumą energii drgań sieci krystalicznej3NRT i energii chmury elektronowej 1,5NRT, gdzie N jest liczbą moli metalu, a R stałągazową. Z pierwszej zasady termodynamiki

wynika, że C = 4,5 R .Przypomnijmy treść doświadczalnego prawa Dulonga-Petita.Ciepło właściwe molowe C krystalicznych ciał stałych wynosi 3R.

C = 3 R

I znów relacja teoretyczna nie zgadza się z relacją doświadczalną.

• Porównanie relacji empirycznych z teoretycznymi

Z porównania relacji empirycznych i teoretycznych otrzymaliśmy interpretacje mikroskopo-we dla przewodnictwa elektrycznego właściwego γ i liczby Lorenza L.

2

3kT

2

mv

mv2

ne

2śr

2śr

2

=

λ=γ

T

1 ≈γ⇒

( ) TCN 1,5NRT NRT3 ∆=+∆

Prawo Relacja empiryczna Relacja teoretyczna Współczynnik

Ohma

Joule'a-Lenza

Wiedemanna-Franza

Dulonga-Petita

2Eγ=ω2

śr

2

Em2

ne⋅

vλ

=ω

Te

3kK2

2

⋅=γ 2

2

e

3kL =

śrm2

env

λ=γ

T

1≈γ

śrm2en

vλ

=γEj γ=

LTK

=γ

T1

≈γ

3RC = 4,5RC =

Em2

nej

śr

2

⋅vλ

=

119

OBWODY PRĄDUSTAŁEGO

1 ELEMETY OBWODÓW ELEKTRYCZYCH

• Podstawowymi elementami obwodów elektrycznych są źródła energii elektrycznej i od-biorniki tej energii. Źródło napięcia charakteryzuje jego opór wewnętrzny Rw i siła elektro-motoryczna ε .

• Symbole niektórych elementów obwodów elektrycznych

• Węzeł, gałąź, oczkoWęzłem obwodu elektrycznego nazywamy punkt, w którym spotykają się co najmniej trzyelementy obwodu.Gałęzią obwodu elektrycznego nazywamy jeden lub kilka elementów połączonych względemsiebie szeregowo. Natężenie prądu płynącego przez każdy element gałęzi jest takie samo. Napoczątku i końcu gałęzi znajdują się zaciski. Gałęzie obwodu dzielimy na pasywne i aktywne.Gałęzią pasywną nazywamy gałąź nie zawierającą źródeł.

Gałęzią aktywną nazywamy gałąź zawierającą źródło.

Oczkiem obwodu elektrycznego nazywamy fragment obwodu bez rozgałęzień, tworzącyzamkniętą drogę dla przepływu prądu.

Siłą elektromotoryczną ε źródła nazywamy różnicę potencjałów na jego zaciskach, gdyprzez źródło nie płynie prąd.

A

V

źródło stałego napięcia

opornik, rezystor

opornik z możliwością regulacji oporu

wyłącznik

żarówka

amperomierz

0IRU1221 >−==ϕ−ϕ ε1 2R ε I

0 IR U 1221 >==ϕ−ϕ1 2

R I


120

PRZYKŁAD

2 OBWÓD JEDOOCZKOWY BEZ ŹRÓDŁA

• Obwód jednooczkowy bez źródła jest fragmentem większego obwodu. W pozostałej

części obwodu musi znajdować się źródło napięcia.

Relacje między wielkościami, opisującymi stan obwodu jednooczkowego, znajdujemy z praw

Kirchhoffa i Ohma.

21 I I I +=

2211 RI RI = 21BA U U ==ϕ−ϕ⇒

⇓

W mały opór wpływa duży prąd.

W duży opór wpływa mały prąd.

W mostku Wheatstone’a znajdujemy:

4 węzły,

6 gałęzi,

7 oczek.

Gałąź AC jest aktywna.

Gałęzie AB, BC, CD, DA i BD są pasywne.

B

A C

D

ε

G

I2

I1

I2

A B

I1


121

3 OBWÓD JEDOOCZKOWY Z JEDYM ŹRÓDŁEM

• Prawa Kirchhoffa, Ohma i Joule’a-Lenza

• Wzajemne relacje między I, U i Rz

Lenza-aJoule'prawoRIP

OhmaprawoIRU

KirchhoffaprawoRR

I

2

z

zw

=

=

+= ε

A

V

- +

ε RW

RZ

U

U

Rz

I

Rz

Jeżeli 0R w ≠ , to ε<U

U

I

I

U

Dane źródło: ε = const , Rw = const.

Różne odbiorniki: Rz zmienia się.

ε = IRw + IRz U = IRz

zR I U

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

Zmiana oporu odbiornika Rz powoduje

przeciwne względem siebie zmiany wska-

zań amperomierza i woltomierza.

wIRU −= ε wR

UI

−=

ε⇐ ⇒

⇒

prąd zwarciawR

ε=

zw RR

I+

=ε

zIRU =

zw RR

I+

=ε

⇓

zw

z

RR

RU

+

=ε

( )jalowystan ε

( )jalowystan ε( )zwarcie w

/Rε

( )zwarcie w

/Rε

ε


122

• Różne relacje dla Pz , Pw , Pc i ηηηη

Pz = moc ciepła wydzielonego w oporze odbiornika Rz

Pw = moc ciepła wydzielonego w oporze wewnętrznym Rw

Pc = moc ciepła wydzielonego w całym obwodzie

η = sprawność źródła

ε 2/Rw = moc ciepła wydzielonego w oporze wewnętrznym Rw podczas zwarcia

Jest to największa moc jaka może wydzielić się w obwodzie, szkoda tylko, że w źródle,

a nie w odbiorniku.

( )2

zw

z

2

z R R

R P

+=

εw

2

z RI I P −= ε⇒

z

2

z RI P =z

2

zR

U P = UI Pz =⇒

w

2

w RI P =( )2

zw

w

2

w R R

R P

+=

ε⇒

I η P z ε= ( )w

22

zR

η η Pε

⋅−=

εU

η = P

P P

c

wc −=η

zw

z

R R

R

+=η

C

Z

ZWC

2

WZ

ZW

Z

W

W

ZW

z

P

Pη

PPP

RIP

U

URR

RR

RU

R

UI

IRU

RRI

IRU

=

+=

=

−=

+=

−=

−=

⇓

+=

=

ε

ε

εε

ε

W

ZR

U)U(P

−=

ε⇒

I Pc ε=( )zw

2

c R R I P +=zw

2

cR R

P+

=ε

W

CR

U)(P

εε −=

⇓W

2

WR

U)(P

−=

ε⇒


123

• Wykresy Pz , Pw i Pc od Rz

• Charakterystyczne stany pracy źródła

( )2

zw

z

2

z R R

R P

+=

ε( )2

zw

w

2

w R R

R P

+=

εzw

2

cR R

P+

=ε

w

2

zwzR4

1 max P R Rε

⋅==⇔=

STAN Rz U I Pz Pw Pc η UWAGI

jałowy

źródła∞ ε 0 0 0 0

obwód

otwarty

zwarcia

źródła0 0

wR

ε0

w

2

R

εw

2

R

ε0

zwarty

odbiornik

dopasowania

odbiornika

do źródła

Rw ε2

1

wR2

1 εw

2

R4

1 εw

2

R4

1 εw

2

R2

1 ε2

1

WR W2R ZR

WP

ZP

CP

( )WR

SEM2 ZP WP CP

3VSEM

1RW


124

4 WYKRES ZMIEOŚCI POTECJAŁÓW W OCZKU

• Wykres zmienności potencjałów w obwodzie jednooczkowym lub w oczku obwodu

wielooczkowego sporządzamy według poniższego odwzorowania.

PRZYKŁAD

Wykresy takie są bardzo przydatne przy rozważaniach jakościowych.

ϕϕ ϕϕϕεε

εε

ϕ

1987654321


125

5 PRAWA KIRCHHOFFA

Do analizy złożonych obwodów składających się z dowolnej liczby węzłów, gałęzi,

oczek, oporników i źródeł wykorzystuje się dwa prawa Kirchhoffa.

• Pierwsze prawo Kirchhoffa

Dla każdego węzła obwodu

suma natężeń prądów spotykających się w węźle, wziętych z odpowiednimi znakami,

jest równa zeru.

Konwencja znakowa:

1. Jeżeli k-ty prąd wpływa do węzła, to piszemy +Ik .

2. Jeżeli k-ty prąd wypływa z węzła, to piszemy −Ik .

• Pierwsze prawo Kirchhoffa bywa formułowane także w postaci mniej abstrakcyjnej.

Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów

wypływających z węzła.

• Drugie prawo Kirchhoffa

Dla każdego oczka obwodu

suma wszystkich sił elektromotorycznych wziętych z odpowiednimi znakami jest

równa sumie wszystkich iloczynów IkRk wziętych z odpowiednimi znakami.

Konwencja znakowa:

1. Obieramy kierunek obchodzenia oczka.

2. Gdy przechodzimy przez źródło w kierunku SEM, to piszemy +ε.

W przypadku przeciwnym piszemy −ε. 3. Gdy przechodzimy przez opór w kierunku płynięcia prądu, to piszemy +IR.

W przypadku przeciwnym piszemy −IR.

0 Ik

k =∑

k

i k

ki RI ∑ ∑=ε

kierunek obiegu

−IR

+IR

+ε−ε


126

• Praktyczne wskazówki dotyczące układania równań Kirchhoffa dla danego obwodu

1. Zaznaczamy kierunki wszystkich sił elektromotorycznych.

2. W każdej gałęzi zaznaczamy dowolny kierunek przepływu prądu. Jeżeli po rozwiązaniu

równań Kirchhoffa otrzymamy dla danej gałęzi ujemny prąd, oznaczać to będzie, że przy-

jęliśmy niewłaściwy kierunek przepływu prądu.

3. Wybieramy dany kierunek obchodzenia oczek, na przykład, zgodny z kierunkiem ruchu

wskazówek zegara.

4. Jeżeli sieć ma W węzłów i G gałęzi, to wygodnie jest napisać w oparciu o pierwsze

prawo Kirchhoffa W – 1 niezależnych równań i w oparciu o drugie prawo Kirchhoffa G –W + 1 niezależnych równań, pamiętając by każde nowe oczko zawierało co najmniej jedną

nową gałąź nie należącą do wcześniej analizowanych oczek.

PRZYKŁAD

• Obliczanie różnicy potencjałów

Różnica potencjałów w punktach A i B należących do danego oczka jest równa

sumie wszystkich iloczynów Ik Rk, wziętych z odpowiednimi znakami, napotkanych

na drodze od A do B, pomniejszonej o sumę wszystkich sił elektromotorycznych

napotkanych na drodze od A do B, wziętych z odpowiednimi znakami.

PRZYKŁAD

• Uziemienie. Jeden punkt obwodu można uziemić, ponieważ nie wpływa to na wartości natężeń prądów

w obwodzie. Zgodnie z umową, potencjał uziemionego punktu jest równy zeru.

∑∑→→

−=ϕ−ϕBA

i

BA

kkBA RI ε

B doA od drodze na B A →

Oblicz wskazanie amperomierza i woltomierza.

R = 1Ω

ε = 1V

I = ?

ϕΑ − ϕB = ?

ROZWIĄZAIE

3ε = 3IR , I = ε/R = 1A , ϕΑ − ϕΒ = ΙR − ε = 0 .

W obwodzie tym znajdujemy:

4 węzły, W = 4,

6 gałęzi, G = 6,

7 oczek.

Można napisać 11 równań, w tym 6 niezależnych,

3 równania niezależne w oparciu o pierwsze prawo

Kirchhoffa oraz 3 równania niezależne w oparciu

o drugie prawo Kirchhoffa. Liczba niezależnych

równań powinna być równa liczbie gałęzi.

G

V

RR

R

BA

A

ε

εε


127

6 POŁĄCZEIA OPORIKÓW

• Połączenie szeregowe oporników

• Połączenie równoległe oporników

UWAGAKorzystając ze wzoru , pamiętaj o odwróceniu wyniku

lub używaj postaci .

UWAGAPołączenie równoległe trzech oporników można przedstawić na różne sposoby:

21 R

1

R

1

R

1+= R

R

1→

21

21

R R

RR R

+=

W połączeniu szeregowym oporników natężenie prądu płynącego przez każdy opornik jest

takie samo, a opór zastępczy jest równy sumie oporów poszczególnych oporników.

W połączeniu równoległym oporników napięcie na każdym oporniku jest takie samo,

a odwrotność oporu zastępczego jest równa sumie odwrotności oporów poszczególnych

oporników.

>

>>

> UU

I1I

I2R 2

R 1

R

I = I + I1 2

U = I1

R 1

U= I 2

R 2

RU

= I R1

R1

1R2

1+=

⇒I

>> >

>>

U

U2 UU1

II I

R 2 R 1 R

U = I RU = U + U1 2

U = I R 2 2

U = I R1 1

R = R + R1 2

⇒


128

TWIERDZEIEW przypadku połączenia równoległego n jednakowych oporników, każdy o oporze R , opór

zastępczy jest n-krotnie mniejszy niż R.

TWIERDZEIEW połączeniu równoległym dowolnej liczby różnych oporników opór zastępczy jest mniejszy

od najmniejszego oporu w sieci.

TWIERDZEIEW połączeniu równoległym oporników usunięcie dowolnego opornika lub zwiększenie warto-

ści jego oporu powoduje wzrost oporu zastępczego układu.

PRZYKŁAD

A po usunięciu

3 A 2V 2V 1 i , , , A1 mierników wskazania sie zachowują jak Zbadaj

opornika R lub po zwiększeniu jego wartości.3

• Połączenia mieszane oporników szeregowo-równoległe W przypadku mieszanych szeregowo-równoległych połączeń oporników obliczanie oporu

zastępczego polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci.

• Zwarty opornik

Zwarty opornik nie jest opornikiem.

Opór zastępczy takiego układu jest równy zeru.

R R

= RzastR R R R

R

∨

∨∨

∨

I 1

A 1

I 3R 3

R 1

I 1

V 1

I 2

R 2

U

Rzast

U = I R U

U = U + U U

U = I R I

I = I + I I

1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 2

1 2 3 3

⇒⇒⇒⇒

U= I 1 Rzast

⇒ I1

∨

∨∨

∨

1

A 1

I 3R 3

R 1

I 1

V 1

I 2

R 2

U

Rzast

U = I R U

U = U + U U

U = I R I

I = I + I I

1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 2

1 2 3 3

⇒⇒⇒⇒

U= I 1 Rzast

⇒ I1


129

• Transformacja trójkąta w gwiazdę i vice versa

Połączenie oporników z lewej strony nazywamy połączeniem w trójkąt lub trójkątem. Połą-

czenie z prawej strony nazywamy połączeniem w gwiazdę lub gwiazdą. Wyznaczenie oporów

w gwieździe, gdy dane są opory w trójkącie, nazywamy transformacją trójkąta w gwiazdę.

Wyznaczenie oporów w trójkącie, gdy dane są opory w gwieździe, nazywamy transformacjągwiazdy w trójkąt.

UWAGA

R R1 2

R R1 3

R R2 3

R RA C

R +R2 3+ R1

R +R2 3+ R1

R +R2 3+ R1

w gwiazdy trójkąt. Transformacja

w trójkata gwiazdę. Transformacja

R =

R =

R =

A

B

C +R C

R C

+ R B= R 3

+R B

R B

+ RA

RA

= R2

R = R + R +1 A C

RB+ R A= : 0 = IC

RC+ R A= : 0 = I B

RC

R )2

R +R2 3

(R +R )2 3

(R +R )1 3

+ +

+ R B

(R1

R1

R2

R1= : 0 = I A

+R3

R3

R 2+ R1

R +R2 3+ R1

R RA B

R RB C

Opór danej gałęzi gwiazdy jest równy iloczynowi oporów dwóch gałęzi trójkąta, spotyka-

jących się w węźle należącym do danej gałęzi gwiazdy, podzielonemu przez sumę oporów

wszystkich gałęzi trójkąta.

Opór danej gałęzi trójkąta jest równy sumie oporów dwóch gałęzi gwiazdy, łączących parę

węzłów należących do danej gałęzi trójkąta, plus iloczyn tych oporów gwiazdy podzielony

przez opór trzeciej gałęzi gwiazdy.

Trójkąt i gwiazda są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy opory pomiędzy każdą parą

węzłów w trójkącie i w gwieździe są jednakowe przy odłączonym węźle trzecim, czyli

gdy do węzła trzeciego nie wpływa prąd.

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3

AIA

IA

AR A

I BI B

B B

R B

I CI C

R C

R1 R2

C C

R3


130

PRZYKŁADWyznacz w mostku Wheatstone`a opór zastępczy między punktami A i C.

W mostku Wheatstone`a nie ma połączeń szeregowych ani równoległych, są natomiast połą-

czenia w trójkąt. Dokonamy transformacji trójkąta ABD w równoważną gwiazdę:

541

41A

RRR

RRR

++= ,

541

51B

RRR

RRR

++= ,

541

54D

RRR

RRR

++= .

Opór zastępczy między punktami A i C wynosi

( )( )

32DB

3D2B

A ACRR R R

R RR R R R

+++

+++= .

• Symetryczne połączenia oporników

R3

IR

6

IR

3

I++=ε R

2

IR

4

IR

4

IR

2

I+++=ε

++=3

R

6

R

3

RI ε , R

6

5R zast =

+++=2

R

4

R

4

R

2

RIε , R

2

3R zast =

ε

R1

D D

C

B B

A A C

ε

R2

R5

R3R4

R

R2

R3

R

R

RB

ε

∧ ∧

∧∧

∧

∧

I

I

3

3

I

I

I


131

7 MOSTEK WHEATSTOEÀ

• Stan równowagi mostka Wheatstoneà Mówimy, że mostek Wheatstoneà jest w równowadze lub jest zrównoważony, gdy różni-

ca potencjałów między punktami B i D jest równa zeru, UBD = 0, a przez galwanometr nie

płynie prąd, IG = 0.

• Przekątna pomiarowa i przekątna zasilania W zrównoważonym mostku Wheatstoneà można zamienić miejscami galwanometr

(przekątna pomiarowa) i źródło (przekątna zasilania).

RW

R 5

R 4 R 3

R 2R 1

D

C

B

A G

IG

I 4 I 3

I 2I 1

R R = R R1 3 2 4

R3R 2

R4= R 1

I R = I R2 2 3 3

U = U2 3

U = UBC DC

I R = I R1 1 4 4

U =U1 4

U = UAB AD

I = I3 4

I = I1 2

I = 0G

U = 0BD

R R2 4= R R 1 30 = I G

I I

R 4 R 3

R 2R 1

D

C

B

A

GIG

I 4 I 3

I 2I 1

R R = R R1 3 2 4

R2R1

R3= R 4

I R = I R1 1 2 2

U = U1 2

U = UBA BC

I R = I R4 4 3 3

U = U4 3

U = UAD CD

I = I2 3

I = I1 4

I = 0G

U = 0AC

R R2 4= R R 1 30 = I G


132

• Zastosowanie

Zapisując warunek równowagi dla mostka, możemy zastąpić opory odpowiednich części dru-

tu ich długościami.

• Zero na skali galwanometru Galwanometr powinien mieć położenie zerowe na środku skali, ponieważ prąd w gałęzi

z miernikiem może płynąć w jedną lub drugą stronę.

• Opór zabezpieczający Aby zabezpieczyć galwanometr przed zbyt dużym prądem, w przypadku nie zrównowa-

żenia mostka, stosuje się opór zabezpieczający, włączając go na różne sposoby.

• Minimalny błąd pomiaru.

W jakim położeniu suwaka pomiar jest najdokładniejszy?

Jeżeli w momencie zrównoważenia mostka suwak znajduje się na środku drutu oporowego, to

pomiar oporu obarczony jest najmniejszym błędem.

Mostek Wheatstone’a wykorzystywany jest do pomiarów

oporów powyżej 1 Ω . Pomiary mniejszych oporów

obarczane są zbyt dużym błędem ze względu na opory

przewodów łączących i opory występujące na stykach.

Z warunków równowagi mostka można obliczyć opór

nieznany, znając wartości trzech pozostałych. W prakty-

ce stosowany jest mostek, w którym dwa oporniki zastę-

puje się drutem oporowym.

( ) sc R sR

s c DC

s AD

c AC

x −⋅=⋅

−=

=

=

⇒

−⋅=

s

scR R x

2

x

xx

x

s

cR

ds

dR

sds

dR R

s

scR R

⋅=

∆⋅=∆

−⋅= ⇒

( ) sc s

s

R

R

x

x

−⋅∆

=∆

( ) d2

1 s max sc s min

R

R

x

x ⋅=⇔=−⋅⇔=∆

⇓

GG G

oporowy drut A

B

R R X

C D

G


133

PRZYKŁADKorzystając z twierdzenia o stanie równowagi mostka, można łatwo sprawdzić, że opór zas-

tępczy każdego poniżej podanego układu wynosi R.

R

R

R R

R

R

R

R R

R


134

8 POMIAR OPORU METODĄ TECHICZĄ

• Zbadajmy błędy jakie popełniamy, mierząc opór danego opornika jako iloraz wskazania

woltomierza i amperomierza.

R = dokładna wartość oporu

R* = zmierzona wartość oporu

9 POŁĄCZEIA ŹRÓDEŁ APIĘCIA

• Połączenia szeregowe źródeł napięcia

∧ A

RV

I

R A

R

V

⇓

> R* R

R A⇔ R R ≈* R

=* R R + RA

= =* R IR +

IIR A

∧∧∧ A

RV

I I R

R A

R

V

I RV V= R ⋅ I R

I = IV+ I R

A= =* R R ⋅ I R

IV+ I R

V

⇓

⇓

RV

R + 1

R= * R

< R* R

>> R V⇔ R R ≈* R

+ = * R 1

R 1

RV

1lub

IV

RrI

RrrI

IRIrIr

zast

zast

21

21

2121

+=

++

+=

⇓

++=+

ε

εε

εε

⇒

21zast

21zast

r r r

ε ε ε

+=

+=

r2r 1

ε2ε1

R

I

I

I

odbiornik

<


135

W połączeniu szeregowym źródeł natężenie prądu płynącego przez każde źródło

jest takie samo. Siła elektromotoryczna źródła zastępczego jest równa sumie sił

elektromotorycznych poszczególnych źródeł. Opór źródła zastępczego jest sumą

oporów poszczególnych źródeł.

UWAGAW rozpatrywanym powyżej przypadku założyliśmy zgodność sił elektromotorycznych posz-

czególnych źródeł. W przypadku ogólnym należy pamiętać o konwencji znakowej przyjętej

przy omawianiu drugiego prawa Kirhchoffa.

• Przy szeregowym połączeniu n identycznych źródeł, każde o sile elektromotorycznej ε,

oporze wewnętrznym r, siła elektromotoryczna εzast i opór rzast źródła zastępczego wyno-

szą:

rn r

n

zast

zast

⋅=

⋅= εε .

• Połączenie równoległe dwóch różnych źródeł napięcia

Przy odłączonym odbiorniku, w oczku utworzonym z obu źródeł płynie prąd o natężeniu Iźr .

Rr I

rIrI

IRrI

III

zast

zast

221121

111

21

+=

−=−

+=

+=

εεε

ε

Rrr

rr

rr

rr

I

21

21

21

2211

++

+

+

=

εε⇒ ⇒

21

21zast

21

1221zast

rr

rr r

rr

rr

+=

+

+=

εεε

I

ε I

I

odbiorni

k

ε2

1

r1

I

1

I2

⇒21

21źr

rrI

−

−=

εε2źr1żr21

21

rIrI +=−

>

εεεε

I

ε2

ε1r1

źr

Iźr


136

UWAGAPołączenie równoległe różnych źródeł jest nieekonomiczne, ponieważ źródła rozładowują się.

Aby tego uniknąć, w praktyce stosuje się połączenia równoległe identycznych źródeł.

• Przy równoległym połączeniu n identycznych źródeł, każde o sile elektromotorycznej ε

i oporze wewnętrznym r, siła elektromotoryczna εzast i opór wewnętrzny rzast źródła zas-

tępczego wynoszą:

n

r rzast

zast

=

= εε .

Połączenie równoległe identycznych źródeł zwiększa sprawność źródła zastępczego.

• Połączenia mieszane źródełObliczanie parametrów źródła zastępczego polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci

źródeł.

10 POTECJOMETR

• ieobciążony potencjometr - rozważania jakościowe Potencjometr jest układem regulującym napięcie, tworzymy go spinając źródło stałego na-

pięcia odpowiednio dużym oporem, aby zminimalizować moc wydzielanego w nim ciepła.

Zasada działania potencjometru wyjaśniona jest na rysunku poniżej.

R R R R

4U

4U

4U

4U

U

14

U

34

U

24

U


137

PRZYKŁAD

• Obciążony potencjometr - rozważania ilościowe

Jeżeli suwak oddala się od punktu stałego, to napię-

cie na zaciskach wyjściowych potencjometru rośnie.

Jeżeli suwak zbliża się do punktu stałego, to napię-

cie na zaciskach wyjściowych potencjometru maleje.

Po przesunięciu suwaka potencjometru w prawo

napięcie podane z końcówek potencjometru na

odbiornik zmaleje, co spowoduje zmniejszenie się

natężenia prądu płynącego przez odbiornik.

IRU

RIIR0

IR RI RI

III

op

nźrwźr

pźr

=

−=

++=

+=

ε

⇓

+++

+

=

o

nn

o

wR

R1RR

R

R1R

Iε

( ) 1R

1

R

1RR

U

o

nw +

++

=ε

suwakpunkt stały

∧

U = IR = ?

U

A I = ?

odbiornik

ε RW

IźrIźr

I

I Ip

<

R

Ro Rn<

V

A

U = IR = ?


138

11 AMPEROMIERZ I WOLTOMIERZ

• Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza

RA = opór wewnętrzny amperomierza

Rb = opór bocznika

I = stary zakres pomiarowy amperomierza

nI = nowy zakres pomiarowy amperomierza

• Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza

Bocznik przyłączany równolegle względem amperomierza.

Posobnik przyłączamy szeregowo względem woltomierza.

RV = opór wewnętrzny woltomierza

Rp = opór posobnika

nIRV = nowy zakres pomiarowy woltomierza

IRV = stary zakres pomiarowy woltomierza

pVV IRIRnIR +=

( )1nRR Vp −=

zakresstary

zakresnowy n =

1n

RR A

b −=

zakresstary

zakresnowy n =

( ) bA IR1nIR −=

R = ?b

>

> > nowyzakres

staryzakres

RA

A

I

I

1) - (n BOCZNIK

nI

VI I

stary zakres

nowy zakres

? = Rp R V

POSOBNIK

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

nIRV

IR V IR p


139

• Jak z amperomierza zrobić woltomierz i vice versa? Idealny amperomierz powinien mieć opór wewnętrzny nieskończenie mały, aby na mier-

niku nie pojawiało się napięcie.

Idealny woltomierz powinien mieć opór wewnętrzny nieskończenie wielki, aby do gałęzi

z miernikiem nie wpływał żaden prąd.

12 KOMPESACYJA METODA POMIARU SIŁY ELEKTROMOTORYCZEJŹRÓDŁA

• Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej polega na porównaniu nie-

znanej siły elektromotorycznej εX badanego źródła ze znaną siłą elektromotoryczną εW

źródła wzorcowego.

Suwak S potencjometru przesuwamy aż do wyzerowania galwanometru, I2 = 0. Siła elektro-

motoryczna εW zostaje wtedy skompensowana przez napięcie na oporze R1.

Amperomierz można przerobić na woltomierz dołączając do niego szeregowo bardzo duży

opór.

Woltomierz można przerobić na amperomierz przyłączając do niego równolegle bardzo

mały opór.

w211w RIRI −=ε

21 III +=0I2 =

⇓

11w RI=ε


140

Suwak potencjometru przesuwamy aż do wyzerowania galwanometru, I2 = 0. Siła elektro-

motoryczna εx zostaje wtedy skompensowana przez napięcie na oporze R2 .

UWAGAIR , wx ≤εε .

1w

2x

IR

IR

=

=

εε ⇒

1

2

w

x

R

R=

εε

0I

III

rIRI

2

21

x221x

=

+=

−=ε

⇓

2x IR=ε

Zb

ign

iew

Os

iak

Nale¿ê do pokolenia fizyków, dla których idolamibyli Albert Einstein, Lew Dawidowicz Landaui Richard P. Feynman. Einstein zniewoli³ mniepotêg¹ swej intuicji. Landaua podziwiam za

rzetelnoœæ, precyzjê i prostotê wywodów orazinstynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia.

Feynman urzek³ mnie lekkoœci¹ narracjii subtelnym poczuciem humoru.

Zbigniew Osiak - viXravixra.org/pdf/1804.0176v1.pdf · 2018. 4. 13. · DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja...

Documents

Transcript of Zbigniew Osiak - viXravixra.org/pdf/1804.0176v1.pdf · 2018. 4. 13. · DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja...