ZASTOSOWANIE TRANSFORMAT FALKOWYCH DAUBECHIES W … · Parametr r oznacza pierwszych r maksymalnych...

STUDIA INFORMATICA 2008 Volume 29 Number 1 (75)

Maria SKUBLEWSKA-PASZKOWSKA, Jakub SMOKA Politechnika Lubelska, Instytut Informatyki

ZASTOSOWANIE TRANSFORMAT FALKOWYCH DAUBECHIES W KOMPRESJI OBRAZU

Streszczenie. Transformaty falkowe s coraz czciej stosowane w kompresji obrazw. Kada transformata posiada inne waciwoci, ktre wpywaj na jako obrazu skompresowanego. W artykule przedstawiono rodzin transformat falkowych Daubechies oraz transformat Haara i ich wpyw na stratn kompresj szeciu przykadowych obrazw. Do oceny jakoci obrazu skompresowanego zostay uyte miary, uwzgldniajce rnice wartoci pikseli obrazu oryginalnego i skompresowa-nego, ich korelacj, miary widmowe oraz miary krawdziowe.

Sowa kluczowe: kompresja falkowa, transformaty falkowe, bdy kompresji

THE PRACTICAL USE OF DAUBECHIES WAVELET TRANSFORM IN IMAGE COMPRESSION

Summary. Wavelet transforms are more and more often implemented in image compression. Each transform possesses its own unique features which influence on the quality of compressed image. In this article a family of Daubechies wavelet transforms and Haar transform are presented and their influence on lossy compression of six different images. The quality of compressed images was evaluated with measures based on the difference between original and compressed pixels, correlation measures, spectral and edge measures.

Keywords: wavelet compression, wavelet transform, compression distortion

1. Wstp

Stratna kompresja falkowa polega na wygenerowaniu obrazu wynikowego, ktrego rozmiar jest mniejszy w stosunku do oryginalnego. Czsto jako obrazu skompresowanego jest gorsza od obrazu poddawanego kompresji. Stopie kompresji oraz jako obrazu po

6 M. Skublewska-Paszkowska, J. Smoka

kompresji s uzalenione od transformaty falkowej zastosowanej w kompresji. Wpywa ona na waciwoci skompresowanego obrazu, ktre mog dotyczy wartoci pojedynczych pikseli, ich korelacji, znieksztace krawdzi obrazu oryginalnego oraz reprezentacji widmo-wej obrazw. Przedstawione wyniki zostay uzyskane dla transformat Daubechies stopni 4, 6, 8, 14, 20 oraz transformaty Haara, ktre zostay zastosowane do kompresji szeciu obrazw. Transformaty Daubechies stopnia k charakteryzuj si wasnoci, ktra zapewnia zerowe, bd bliskie zeru detale, jeli na przedziale nonika falki sygna jest rwny wielomianowi stopnia mniejszego ni k/2. Cecha ta powinna polepsza jako obrazu skompresowanego, jeli wartoci punktw obrazu tworz wielomian stopnia mniejszego ni k/2. Za pomoc przedstawionych miar jakoci obrazu zostay wybrane te transformaty falkowe, dla ktrych uzyskane zostay najmniejsze bdy kompresji dla obrazw syntetycznych i fotograficznych.

2. Podstawowe pojcia

Falka jest funkcj przedstawion wzorem (1) [1, 8]:

=

abttab 2

1)( (1)

Jest to funkcja podstawowa, na bazie ktrej budowane s rodziny falek przez przesuwanie i rozciganie falki bazowej za pomoc parametrw a i b. Parametry te s liczbami rzeczy-wistymi, a dodatkowo parametr a jest wikszy od jednoci. Za pomoc parametru a, funkcja falkowa pozwala na wyszczeglnienie charakterystycznych cech sygnau, takich jak jego

dynamiki oraz krtkotrwaych zmian. Parametr 21 zapewnia zachowanie energii sygnau

na kolejnych poziomach rozdzielczoci. Zalet funkcji falkowych jest dobra koncentracja wzgldem czasu i czstotliwoci.

Funkcja falkowa oscyluje, skd pochodzi jej nazwa. Jest to wasno falki, ktr mona zapisa rwnaniem (2) [1, 8]:

= 0)(t (2) Z pojciem falki zwizane jest pojcie funkcji skalujcej oraz rwnania funkcji skalujcej

(4). Funkcja skalujca jest zdefiniowana rwnaniem (3) [1, 8]:

)2(2)( 2/ ntt mmmn = (3)

gdzie: m oznacza wspczynnik skali, a n wspczynnik przesunicia. Oba parametry s liczbami cakowitymi . ,...2,1,0,1,2...,, =nm

Zastosowanie transformat falkowych Daubechies w kompresji obrazu 7

Dla funkcji skalujcej spenione jest rwnanie [1, 8]:

=

=N

kk ktat

0)2()( (4)

gdzie: a oznacza wspczynnik funkcji skalujcej, a N ich liczb. Rozwizanie rwnania (4) moliwe jest jedynie, gdy suma wszystkich wspczynnikw wynosi 2.

k

Funkcja ta nie jest falk, poniewa nie spenia warunku (2). Funkcja skalujca jest funkcj znormalizowan [8]:

=1)(x (5) Za pomoc funkcji skalujcej mona zdefiniowa funkcj falkow [1, 8]:

=

=N

kk ktdt

0)()( (6)

gdzie: dk jest wspczynnikiem falkowym. Transformata falkowa jest dziaaniem polegajcym na podziale obrazu oryginalnego na

obraz zgrubny, zawierajcy urednion informacj o kompresowanym obrazie oraz szczegy, wyliczone na kolejnych j-tych poziomach rozdzielczoci. W kompresji obrazw

do obliczenia transformaty uywane s zespoy filtrw dolnoprzepustowych h~ oraz grno-przepustowych g~ . Cig wspczynnikw falkowych jest uzyskiwany przez dekompozycj

dyskretn sygnau na obraz zgrubny oraz reprezentacj szczegow ,

co mona przedstawi za pomoc rwna (7) oraz (8) [1]:

)1( jnf )(nf

)( jnf

)( jnd

=l

jlln

jn fhf

)1(2

)( ~ (7)

=l

jlln

jn fgd

)1(2

)( ~ (8)

Filtr dolnoprzepustowy h~ jest budowany za pomoc funkcji skalujcej (9) [1], nato-

miast grnoprzepustowy g~ jest tworzony z wykorzystaniem funkcji falkowej (10) [1]:

=

Znn nth

t )(~22

1 (9)

=

Znn ntg

t )(~22

1 (10)

Do obliczenia sygnau oryginalnego za pomoc wspczynnikw falkowych suy odwrotna transformata falkowa (11) [1]. Zoenie sygnau na kolejnych poziomach szcze-

gowoci polega na splocie szczegw z j-tego poziomu rozdzielczoci z filtrem oraz

zsumowania go ze splotem obrazu zgrubnego na j-tym poziomie aproksymacji z filtrem

g

. +h

+ +=l

jlnl

l

jlnl

jn dgfhf

)(2

)(2

)1( (11)


Filtry oraz zdefiniowane s nastpujco [1]: +h g

= +k

k ktht )2(2)( (12)

= k

k ktgt )2(2)( (13)

Algorytm Mallata [1] transformaty falkowej prostej i odwrotnej dla obrazw przedstawiony jest na rys. 1.

a) b)

Rys. 1. Schemat Mallata: a) dekompozycji obrazu, b) rekonstrukcji obrazu Fig. 1. Mallats scheme of: a) image decomposition, b) image reconstruction

Z liczb niezerowych wspczynnikw transformaty falkowej zwizane jest pojcie

nonika funkcji, oznaczajcego przedzia czasowy, w ktrym sygnay elementarne s nieze-rowe [1]. Nonik nazywamy zwartym, gdy przedzia czasowy jest przedziaem domknitym. Im duszy nonik posiada funkcja falkowa, tym wicej wspczynnikw niezerowych otrzymywanych jest po transformacie falkowej. Jeli funkcja skalujca posiada nonik, to take filtr h posiada taki sam nonik.

Liczba wspczynnikw zerowych transformaty falkowej jest zwizana z momentami zerowymi falki (14). Funkcja falkowa posiada zerowych momentw, jeli spenione jest rwnanie (14) [1]: q

qkdladttt k


3. Transformaty falkowe

3.1. Transformata Haara

Transformata Haara jest najprostsz transformat falkow, ktrej funkcja falkowa jest przedstawiona na rys. 2 [5].

Rys. 2. Funkcja Haara Fig. 2. Haar function

Transformata jednopoziomowa dzieli sygna na dwa podcigi o takiej samej liczbie elementw, rwnej poowie dugoci oryginalnego sygnau. Jeden cig reprezentuje redni warto sygnau, a drugi detale (fluktuacje). Wspczynniki detali obliczane s jako rnica

dwch ssiednich wartoci sygnau podzielonych przez 2 i dlatego wiksza ich liczba dy do zera.

Zalet transformaty Haara jest zachowanie wikszej czci energii sygnau na wszystkich poziomach aproksymacji dla dowolnego sygnau [9].

Transformata ta najlepiej kompresuje obrazy stae. Wynika to z wasnoci tej transfor-maty, mwicej o uzyskaniu wspczynnikw detali rwnych (w przyblieniu) zero, jeli na przedziale nonika transformowany sygna jest stay [9]. Dla sygnaw zrnicowanych transformata ta generuje wiksz ilo niezerowych wspczynnikw detali, co pogarsza skuteczno tej transformaty w kompresji. Dugo nonika funkcji Haara jest rwna 2. Transformata Haara moe by traktowana jako transformata Daubechies stopnia drugiego.

3.2. Transformaty Daubechies

Transformaty Daubechies [1, 8, 9] stopnia 4,..,20 posiadaj duszy nonik falki ni transformata Haara. Oznacza to, e wspczynniki transformaty falkowej wyliczane s za pomocy wikszej liczby wspczynnikw falkowych oraz wartoci sygnau. Umoliwia to wykorzystanie tych falek do lepszej kompresji zrnicowanych sygnaw ni w przypadku transformaty Haara.


Transformaty falkowe Daubechies zachowuj najlepszy kompromis pomidzy dugoci nonika falki a liczb jej momentw zerowych, gdy posiadaj najmniejsz moliw dugo nonika dla konkretnej liczby momentw zerowych.

Funkcje skalujce j-poziomowej transformaty Daubechies k-tego poziomu posiadaj

energi rwn jeden (15) [9], natomiast ich suma jest rwna 2 (16) [9]:

12 =k

k (15)

2=k

k (16)

Poniewa w transformatach Daubechies uyte s filtry lustrzane, wspczynniki falkowe transformaty Daubechies k-tego poziomu zdefiniowane s rwnaniem (17) [1, 9]:

11)1( +

+= iki

i a (17)

Wspczynniki falkowe posiadaj energi rwn jeden na kadym poziomie aproksymacji k-poziomowej transformaty Daubechies (18) [9]. Suma wspczynnikw rwna jest zeru (19) [9]:

12 =k

k (18)

0=k

k (19)

Transformaty z wykorzystaniem falek Daubechies k-tego poziomu dobrze zachowuj energi kompresowanego sygnau.

Jedn z gwnych wasnoci transformat falkowych Daubechies stopnia k jest generowa-nie zerowych lub bliskich zeru wspczynnikw detali dla sygnaw przedstawiajcych wie-lomiany stopnia mniejszego ni k/2 w przedziale nonika funkcji falkowej. Dziki tym ce-chom transformaty te s wykorzystane w kompresji dla sygnaw rnych od staych. Im wikszy stopie transformaty Daubechies, tym wiksze wygadzenie sygnau jest otrzymywa-ne.

4. Porwnawcze miary jakoci obrazw

Istnieje wiele miar, za pomoc ktrych mona ocenia jako kompresowanych obrazw. Zastosowane miary mona podzieli na nastpujce grupy [3]: miary bazujce na rnicy wartoci odpowiednich pikseli w obrazie oryginalnym i skom-

presowanym, miary opisujce korelacje pomidzy obrazem podstawowym i wynikowym,


miary porwnujce krawdzie w obrazie oryginalnym i skompresowanym, miary okrelajce widmowe rnice pomidzy obrazami,

W przypadku obrazw kolorowych (standard RGB) naley przej na trzy skadowe luminancji i chrominancji okrelajce natenie wiata w obrazie oraz odcie i nasycenie barwy. Skadowe luminancji i chrominancji nie s skorelowane w takim stopniu jak skadowe RGB i dlatego wyznaczony bd jest obarczony mniejsz niedokadnoci. Na kadej skadowej obliczana jest wybrana miara kompresji, nastpnie sumowana ze wszystkich skadowych i dzielona przez liczb skadowych.

4.1. Miary rnicy pikseli

Miary te opisuj, w jakim stopniu wartoci pikseli obrazu skompresowanego odbiegaj od odpowiadajcych im wartoci pikseli obrazu oryginalnego. Im wiksza jest ta rnica, tym jako kompresji jest gorsza.

Jedn z podstawowych miar odzwierciedlajcych rnic pomidzy wartociami pikseli w obrazie oryginalnym i skompresowanym jest metryka Minkowskiego [3]:

=

=

=K

k

N

jikk jiCjiCNK 1

/11

,2 ),(

~),(11

(20)

Parametr N oznacza iloczyn liczby kolumn i wierszy w obrazie, a orazkC kC~ s macie-

rzami dwuwymiarowymi, zawierajcymi wartoci skadowej k, odpowiednio obrazu orygi-nalnego i skompresowanego. Dla parametru 2= otrzymywana jest miara znana jako MSE

(Mean Square Error) [3], a dla 1= bezwzgldna rnica pomidzy wartociami obrazu

oryginalnego i skompresowanego MAE (Mean Absolute Error) [3]:

=

=

=K

k

N

jikk jiCjiCNK

MSE1

1

,

2

2 ),(~),(11 (21)

=

=

=K

k

N

jikk jiCjiCNK

MAE1

1

,2 ),(

~),(11 (22)

Kolejn miar wynikajc z rwnania Minkowskiego dla = jest zmodyfikowana

bezwzgldna norma MIN (Modified Infinity Norm) [3]. Parametr ten powoduje wyszukanie maksymalnej rnicy pomidzy obrazem oryginalnym a skompresowanym i umieszczenie jej

na uporzdkowanej rosnco licie oznaczonej jako 2...,,2,1),~( NidlaCCi = . Lista ta za-

wiera kolejne maksymalne rnice odpowiadajcych pikseli w obrazie oryginalnym i wynikowym. Miara MIN dana jest nastpujcym wzorem (23):

=

=r

mm CC

rMIN

1

2 )~(1 (23)


Parametr r oznacza pierwszych r maksymalnych rnic dwch rozpatrywanych obrazw. Poza zmian wartoci pikseli w obrazie skompresowanym moe wystpi przemieszcze-

nie konkretnego piksela w stosunku do obrazu oryginalnego. Miara, ktra wyznacza bd zwizany z przesuniciem piksela w okrelonym otoczeniu, nosi nazw rnicy w ssiedz-twie ND (Neighborhood Difference) [3]:

{ } { }

+

=

= )),(),,(

~(min)),(~),,((min)(2

1,, ,

22/

2/, ,2 mlCjiCdmlCjiCdwN

NDjiji wml

wN

wji wml (24)

gdzie w oznacza wielko rozpatrywanego ssiedztwa piksela o w wierszach i w kolumnach. Parametr jest metryk odlegoci dan wzorem [3]: d

G

mlCjiC

Nmjli

mlCjiCd),(~),()(

)),(~),,((

++

= (25)

Parametry N oraz G oznaczaj rozmiary obszaru, w ktrym poszukiwane jest przemieszcze-nie rozpatrywanego punktu obrazu.

Przedstawione do tej pory miary kompresji s wyliczane dla cakowitego rozmiaru obrazw. Mona rozway podzia obrazu na r blokw, z ktrych kady ma rozmiar

NNnaN rr 211 log ,4, 3, 2, 1, r gdzie,22=

. Dla 1=r rozdzielczo jest rwna rozmiarowi

rozpatrywanego obrazu, a dla rozmiar pojedynczego bloku jest rwny jednemu

pikselowi. Rnice pomidzy obrazem oryginalnym a skompresowanym obliczane s dla kadego bloku osobno, sumowane i podzielone przez okrelone wagi (26) [3]:

Nr 2log=

= ijijrrr ggd ~21

21

22 (26)

Parametr oznacza warto obrazu w punkcie o wsprzdnych i oraz j w rozpatrywanym

bloku. Wielorozdzielcza miara odlegoci MDM (Multiresolusion Distance Measure) polega

na zsumowaniu odlegoci dla wszystkich poziomw szczegowoci i dla kadych

skadowych obrazu (luminancji i chrominancji) (27) [3]:

ijg

krd

= =

=K

k

R

r

krdK

MDM1 1

1 (27)

gdzie K oznacza liczb pasm w obrazie, a R reprezentuje poziom rozdzielczoci obrazu. Przykadowo dla obrazu kwadratowego o rozmiarach 512512 R wynosi 9.


4.2. Miary korelacji

Jako kompresji moe zosta przedstawiona za pomoc miar korelacji, ktre za pomoc powizania obrazu oryginalnego i skompresowanego odzwierciedlaj ich stopie podobie-stwa [3].

Miara korelacji, ktra polega na wyznaczeniu ilorazu sumy wartoci obrazu oryginalnego i skompresowanego dla kadej ze skadowych luminancji i chrominancji, przedstawiona jest wzorem (28) [3]:

=

=

==K

kN

jik

N

jik

jiC

jiC

KCBM

11

0,

2

1

0,

2

),(~

),(1 (28)

Znormalizowana miara korelacji NCM (Normalized Cross Correlation) przedstawiona jest za pomoc rwnania (29):

=

=

==K

kN

jik

N

jikk

jiC

jiCjiC

KNCM

11

0,

2

1

0,

),(~

),(~),(1 (29)

Miara korelacji Czekanowskiego (Czekanowsky Measure) wyznacza podobiestwo pomidzy obrazem oryginalnym i skompresowanym (30). Jeli warto piksela obrazu skompresowanego jest identyczna z wartoci w obrazie oryginalnym, bd tej miary dy do jedynki:

( )

( )

=

=

=

+=

1

0,

1

12

),(~),(

),(~),,(min211

N

jiK

kkk

K

kkk

jiCjiC

jiCjiC

NCkM (30)

Miary korelacji mog wyznacza rnice pomidzy wektorami pikseli oryginalnego i skompresowanego obrazu. Wektor naley rozumie jako piksele w konkretnym kolorze. W celu znormalizowania wartoci bdu wprowadzony zosta parametr 2 . Najwiksza r-

nica pomidzy obrazem oryginalnym a skompresowanym osigana jest dla wartoci 0. W przypadku bezstratnej kompresji warto bdu wynosi 1. redni rnic wektora MAD (Mean of the Angle Difference) przedstawia rwnanie (31), a (32) rnic wielkoci wektora CAMD (Combined Angle Magnitude Difference):

=

=

N

ji jiCjiC

jiCjiC

NMAD

1,

12 ),(~),(

),(~),,(cos211

(31)


=

=

N

ji

jCjiC

jiCjiC

jiCjiC

NCAMD

1,2

12 2553

)(,~),(1

),(~),(

),(~),,(cos2111

(32)

4.3. Miary krawdziowe

Miary krawdziowe polegaj na porwnaniu krawdzi obrazu oryginalnego oraz skom-presowanego. Bdy, jakie mog powsta po kompresji, to: niecigo krawdzi, wyga-dzenie krawdzi lub te ich przemieszczenie. W tym celu naley wyodrbni krawdzie w tych dwch obrazach i je porwna. Obliczenie krawdzi zostao przeprowadzone za pomoc detekcji Canna [4].

Miara krawdziowa uyta do bada transformat falkowych jest miar Pratta PM (Pratt Measure) [3], przedstawion wzorem (33).

{ }= +=

dn

i itd adnnPM

121

1,max

1 (33)

Parametry oraz oznaczaj odpowiednio liczb krawdzi w obrazie porwnawczym

oraz porwnywanym. Zmienna reprezentuje odlego i-tego krawdziowego piksela od

najbliszego piksela krawdziowego w obrazie skompresowanym. Element miary wyznacza przemieszczenie krawdzi. Zmienna a okrela preferowan szeroko

(rwn 1) piksela w idealnej mapie krawdzi odniesienia.

dn tn

id

{ td nn ,max }

4.4. Miary widmowe

Miary widmowe polegaj na obliczeniu rnicy wartoci obrazw oryginalnego i skompresowanego. Wartoci uzyskiwane s po obliczeniu transformaty Fouriera na obrazie oryginalnym i wynikowym [3]:

=

=

1

0,2exp2exp),(

N

nmkk N

imNuimnmC (34)

gdzie: u, v oznaczaj rzeczywist i urojon cz liczb zespolonych uzyskanych po transfer-macie Fouriera. Parametr k zmienia si od 1 do iloci skadowych obrazu. Do obliczenia miar zostaa zastosowana szybka transformata Fouriera (Fast Fourier Transform). Miara znieksztacenia widmowego fazowego SPD (Spectral Phase Distortion) polega na obliczeniu rnicy faz dwch obrazw (35) [3]:

=

=1

0,

2),(~),(1N

uuu

NSPD

(35)


Waona miara znieksztacenia widmowego WSD (Weighted Spectra Distortion) przed-stawiona jest przez rwnanie (36) [3]:

++=

=

=

1

0,

1

0,

22 ),(~),()1(),(~),(1N

u

N

uuMuMuu

NWSD

(36)

Parametr oznacza faz widma, a M reprezentuje jego amplitud.

5. Wyniki

Bdy kompresji obrazw przedstawione w rozdziale 4 zostay obliczone dla transformaty Haara oraz transformat Daubechies poziomw 4, 6, 8, 14 i 20 dla obrazw syntetycznych (3) i testowych (4). Obrazy syntetyczne zostay stworzone w taki sposb, aby ich wartoci w ko-lejnych kolumnach reprezentoway wielomiany odpowiednio stopni 1, 2 oraz 3, a w wier-szach funkcj sta. Ze wzgldu na ograniczenia zwizane z wartoci pikseli w obrazie (0255), w jednej kolumnie kolejne wartoci obrazu zostay uoone w wielomiany na przemian malejce i rosnce. Obrazy syntetyczne i testowe s kolorowymi obrazami kwadra-towymi o wymiarach 512 na 512 pikseli.

a) b) c)

Rys. 3. Obrazy syntetyczne; wielomiany stopnia: a) 1, b) 2, c) 3 Fig. 3. Synthetic images; polynomials degree: a) 1, b) 2, c) 3

a) b) c)

Rys. 4. Obrazy fotograficzne: a) Lena.bmp, b) peppers.bmp,c) baboon.bmp Fig. 4. Test images: a) Lena.bmp, b) peppers.bmp, c) baboon.bmp

Bdy kompresji dla obrazw fotograficznych i syntetycznych dla poszczeglnych trans-

format zostay przedstawione na wykresach (rys. 5 do rys. 8). Wszystkie transformaty byy


transfermatami 3-poziomowymi. W kompresji obrazw uyto kodowania EZW (Embedded Zerotree Wavelet) [10].

a) b)

c) d)

e) f)

Rys 5. Bdy rnicy pikseli dla kompresji falkowej dla obrazw: a) wielomianu

stopnia 1, b) wielomianu stopnia 2, c) wielomianu stopnia 3, d) Lena.bmp, e) peppers.bmp, f) baboon.bmp

Fig. 5. MSE distortion for wavelet compression for image: a)polynomial degree 1, b) polynomial degree 2, c) polynomial degree 3, d) Lena.bmp e) peppers.bmp, f) baboon.bmp


a) b)

c) d)

e) f)

Rys. 6. Bdy korelacji dla kompresji falkowej dla obrazw: a) wielomianu stopnia 1,

b) wielomianu stopnia 2, c) wielomianu stopnia 3, d) Lena.bmp, e) peppers.bmp, f) baboon.bmp

Fig. 6. Correlation distortion for wavelet compression for image: a) polynomial degree 1, b) polynomial degree 2, c) polynomial degree 3, d)Lena.bmp, e) peppers.bmp f) baboon.bmp


a) b)

c) d)

e) f)

Rys. 7. Bdy widmowe dla kompresji falkowej dla obrazw: a) wielomianu stopnia 1,

b) wielomianu stopnia 2, c) wielomianu stopnia 3, d) Lena.bmp, e) peppers.bmp, f) baboon.bmp

Fig. 7. Spectral distortion for wavelet compression for image: a)polynomial degree 1, b) polynomial degree 2, c) polynomial degree 3, d) Lena.bmp, e) peppers.bmp, f) baboon.bmp


a) b)

c) d)

e)

Rys. 8. Bdy krawdziowe dla kompresji falkowej dla obrazw: a) wielomianu stopnia 2, b) wielomianu stopnia 3, c) Lena.bmp, d) peppers.bmp, e) baboon.bmp

Fig. 8. Edge distortion for wavelet compression for image: a)polynomial degree 2, b) polyno-mial degree 3, c) Lena.bmp, d) peppers.bmp, e) baboon.bmp

Dla obrazu przedstawiajcego wielomian stopnia pierwszego, stopie kompresji obrazu

zosta ustawiony na 9.2, dla wielomian stopnia drugiego 7.9, a dla wielomianu stopnia trzeciego 5.7. Stopie kompresji dla obrazw testowych wynosi 2,1. Stopnie kompresji zostay dobrane w taki sposb, aby widoczne byy znieksztacenia obrazw skompresowa-nych i moliwe byo porwnanie wpywu transformat Daubechies na poszczeglne bdy kompresji. Dla obrazu reprezentujcego wielomian stopnia 1 oraz 2 najmniejsze bdy MSE (21), MAE (22), MIN (23) oraz ND (24) zostay osignite dla transformat Daubechies stopnia mniejszego ni k/2, gdzie k oznacza stopie transformaty. W przypadku wielomianu stopnia trzeciego wyniki nie s ju tak idealne. Zwizane jest to z niewystarczajc liczb prbek sygnau, skadajcych si na wielomian stopnia 3 (7) w porwnaniu z dugoci nonika transformaty Daubechies stopnia minimum smego.

Dla obrazw testowych najgorsz transformat okazaa si transformata Haara. Spowo-dowane jest to dugoci nonika, a take, co jest z tym zwizane, liczb wspczynnikw filtrowych. Bdy dla transformat Daubechies s porwnywalne. Najmniejsze bdy dla


rozpatrywanych transformat s uzalenione od rodzaju obrazw. Najbardziej optymalne wydaje si stosowanie transformat Daubechies co najwyej stopnia smego.

Bdy miar korelacyjnych dla wszystkich testowanych transformat s porwnywalne. Minimalnie najlepsza okazaa si transformata Haara, ktra najlepiej odzwierciedla powiza-nia pomidzy obrazem oryginalnym i skompresowanym.

Najwiksze znieksztacenia widmowe zostay osignite dla kompresji obrazw z zasto-sowaniem transformaty Haara. Najlepszymi transformatami okazay si transformaty Daubechies stopnia szstego bd smego. Wyjtek stanowi obraz syntetyczny wielomianu stopnia 3, dla ktrego najwysze wartoci wrd transformat Daubechies osiga transformata stopnia 6.

Bdy krawdziowe dla obrazu przedstawiajcego wielomian stopnia 1 s zerowe, co jest zgodne z rzeczywistoci, gdy w obrazie tym (rys. 2a)) nie wystpuj krawdzie. Dla obrazw testowych transformata Haara daa najlepsze wyniki, co udowadnia, e najlepiej j stosowa do dobrego odzwierciedlania krawdzi.

Dla wikszoci obrazw lepsze odwzorowania obrazu oryginalnego otrzymywane s dla transformat Daubechies. W kompresji obrazw najlepiej swoj rol speniaj transformaty Daubechies co najwyej stopnia smego, co dowodzi susznoci postulatu przedstawionego we wstpie do artykuu. Zatem odpowiednio do tego postulatu za gwny powd przewagi transformaty Daubechies co najwyej stopnia smego jest niewystpowanie w funkcji Obra-zowej wielomianw stopnia wyszego ni trzeci.

LITERATURA

1. Biaasiewicz J.: Falki i aproksymacje. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004.

2. Schroeder P., Sweldens W.: Wavelets in Computer Graphics. http://www.multires.caltech-.edu/teaching/courses/waveletcourse/athome.pdf

3. Avcibas I.: Image quality statistic and their use in steganalysis and compression. Bogazici University 2001.

4. Green B.: Canny Edge Detection Tutorial. 2002. http://www.pages.drexel.edu/~weg22-/can_tut.html

5. Sandberg K.: The Haar wavelet transform, http://amath.colorado.edu/courses/4720-/2000Spr/Labs/Haar/haar.html, April 2000

6. Analiza falkowa, http://valdi20.w.interia.pl/analiza/analiza.htm.

http://www.pages%1F.drexel.edu/%1F%7Eweg22%1F/can_tut.htmlhttp://www.pages%1F.drexel.edu/%1F%7Eweg22%1F/can_tut.htmlhttp://amath.colorado.edu/courses/4720%1F/2000Spr/Labs/Haar/haar.htmlhttp://amath.colorado.edu/courses/4720%1F/2000Spr/Labs/Haar/haar.htmlhttp://valdi20.w.interia.pl/analiza/analiza.htm


7. Christopoulou E. B., Skodras A. N., Reed T. R., Christopoulus C. A.: On the JPEG2000 Implementation on Different Computer Platforms, http://www.upatras.gr/ieee/skodras-/pubs/ans-c36.pdf.

8. Daubechies I.: Ten lectures on wavelets. Rutgers University and AT&T Bell Laboratories 9. Walker J. S.:A Primer on Wavelets and their Scientific Applications., CHAPMAN &

HALL/CRC. 10. Shapiro J. M.: Embedded Image Coding Using Zerotrees of Wavelet Coefficients. IEEE

Transactions On Signal Processing, vol. 41, no. 12, december 1991.

Recenzent: Dr hab. in. Maria Pietruszka, prof. Pol. dzkiej

Wpyno do Redakcji 19 padziernika 2007 r.

Abstract

More and more often wavelet transform is implemented in image compression because of good approximation in time and frequency. Each transform possesses its own unique features which influence on the quality and compression rate of gained image. The family of Daubechies wavelet transforms is often used in image compression. One of the advantages of these k-level Daubechies wavelets is their ability to generate the great numbers of small values (zero or close to zero) for detail coefficients if the signal is the same as polynomial degree less than k/2 over the support interval. Haar transform, which can be treated as second Daubechies wavelet transform, wavelet transform Daubechies for 4, 6, 8, 14 and 20 degree were implemented in image compression. These transforms were evaluated with different measures which can be divided into four categories. The first one concerns the difference between pixel values in original and compressed image, the second one represents correlation measures, the third one spectral measures and the last one edge measures. Wavelet transforms were applied to different synthetic images, which represent polynomial first, second and third degree, and test images: lena.bmp, peppers.bmp and baboon.bmp. For more measures Daubechies wavelets are better than Haar transform. In image compression the best application is Daubechies wavelet transform equal or less than eight degree. It is caused by the lack of polynomial degree higher than three in images.

http://www.upatras.gr%1F/ieee/skodras/pubs%1F/ans-c36.pdfhttp://www.upatras.gr%1F/ieee/skodras/pubs%1F/ans-c36.pdf


Adresy

Maria SKUBLEWSKA-PASZKOWSKA: Politechnika Lubelska, Instytut Informatyki, ul. Nadbystrzycka 36B, 20-618 Lublin, Polska, [email protected] . Jakub SMOKA: Politechnika Lubelska, Instytut Informatyki, ul. Nadbystrzycka 36B, 20-618 Lublin, Polska, [email protected] .

mailto:[email protected]:[email protected]

1. Wstp 2. Podstawowe pojcia 3. Transformaty falkowe 3.1. Transformata Haara 3.2. Transformaty Daubechies

4. Porwnawcze miary jakoci obrazw 4.1. Miary rnicy pikseli 4.2. Miary korelacji 4.3. Miary krawdziowe 4.4. Miary widmowe

5. Wyniki

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/SyntheticBoldness 1.000000 /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice

ZASTOSOWANIE TRANSFORMAT FALKOWYCH DAUBECHIES W … · Parametr r oznacza pierwszych r maksymalnych...

Documents

Transcript of ZASTOSOWANIE TRANSFORMAT FALKOWYCH DAUBECHIES W … · Parametr r oznacza pierwszych r maksymalnych...