Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

Konkursy matematyczne w PolsceSulejw, 1719 padziernika 2008KOLOROWANIE Waldemar Roek

Zadanie 1. Mamy tabliczk czekolady 8x8. Jaka jest minimalna liczba ama po ktrej otrzymamy pojedyncze kawaki? (przeamanych kawakw nie mona skada pitrowo).

Rozwizanie 1. Po kadym amaniu przybywa dokadnie jeden kawaek. Tak wic zawsze musimy wykona 63 amania.

Zadanie 2. Z szachownicy o wymiarach 8 x 8 usunito dwa przeciwlege narone pola. Czy pozostae 62 pola mona pokry 31 prostoktami o wymiarach 2 x 1?

Rozwizanie 2. Nie mona. Kolorujemy szachownic w zwyky sposb. Wycite pola maj ten sam kolor, a prostokt 2x1 pokrywa pole rnych kolorw, wic obu kolorw musiaoby by tyle samo.

Zadanie 3. Czy szachownic 8x8 mona obskoczy ruchem konika szachowego, stajc na kadym polu dokadnie jeden raz, jeli startujemy z lewego dolnego pola i koczymy w prawym grnym?

Rozwizanie 3. Nie mona. Konik musi wykona 63 ruchy, a w kadym ruchu zmienia kolor pola. Tak wic po nieparzystej liczbie ruchw nie moe by na polu tego samego koloru jak ten z ktrego wystartowa.

Zadanie 4. (41 OM) Z szachownicy o wymiarach 8x8 o polach pokolorowanych w zwyky sposb usunito dwa pola rnych kolorw. Udowodni, e pozostae 62 pola mona pokry 31 prostoktami o wymiarach 2x1.

Rozwizanie 4. Midzy wycitymi polami jest parzysta liczba pl.

Zadanie 5. Z szachownicy 8x8 usuwamy jedno pole. Ktre pole naley usun, aby otrzyman figur mona byo pokry prostoktami o wymiarach 3x1?

Rozwizanie 5.Zielone - 21te - 22Biae - 21 Kady prostokt 3x1 pokrywa dokadnie jedno pole kadego koloru. Naley zatem usun te pole, uwzgldniajc symetrie i obroty. S cztery takie pola.

Rozwizanie 5.Zielone - 21te - 22Biae - 21 Kady prostokt 3x1 pokrywa dokadnie jedno pole kadego koloru. Naley zatem usun te pole, uwzgldniajc symetrie i obroty. S cztery takie pola.

Rozwizanie 5. A oto przykad pokrycia szachownicy prostoktami 3 x 1 po usuniciu jednego z wyznaczonych pl.

Zadanie 6. (46 OM) Kwadrat o boku dugoci n dzielimy na n2 kwadratw jednostkowych. Wyznaczy wszystkie liczby naturalne n dla ktrych taki kwadrat mona poci wzdu linii tego podziau na kwadraty, z ktrych kady ma bok dugoci 2 lub 3.

Rozwizanie 6. Jeli n jest liczb parzyst, tniemy kwadrat na kwadraty 2x2. Zamy zatem, e n jest liczba nieparzyst. Niebieskich pl jest o n wicej ni tych. Kady kwadrat 2x2 pokrywa 2 pola te i 2 pola niebieskie, a kady kwadrat 3x3 pokrywa 3 te i 6 niebieskich lub odwrotnie. Zatem dodajc rnice liczby pl obu kolorw otrzymamy liczb podzieln przez 3. Jednoczenie obliczona w ten sposb suma rwna si rnicy midzy liczb niebieskich i tych pl na caej szachownicy, czyli n. Tak wic jeli podzia jest wykonalny, to n dzieli si przez 2 lub przez 3 i na odwrt jeli n dzieli si przez 2 lub przez 3, to kwadrat mona poci w dany sposb.

Zadanie 7.(43 OM) Kady wierzchoek pewnego wielokta ma obie wsprzdne cakowite. Dugo kadego boku tego wielokta jest liczb naturaln. Udowodni, e obwd tego wielokta jest liczb parzyst.

Rozwizanie 7. Punkty kratowe kolorujemy w szachownic. Bok o dugoci parzystej nie zmienia koloru. x2 + y2 =z2 Analogicznie bok o dugoci nieparzystej zmienia kolor. x, y - tej samej parzystoci.

Droga jest zamknita, wic jest parzysta liczba zmian koloru, czyli parzysta liczba liczb nieparzystych.

Zadanie 8.(Baltic Way, 1998) Czy mona pokry szachownic o wymiarach 13x13 czterdziestoma dwoma klockami o wymiarach 4x1 w taki sposb, e tylko rodkowe pole szachownicy pozostanie niezakryte?

Rozwizanie 8. Nie mona. rodkowe pole jest te, a kady klocek 4x1 pokrywa 2 niebieskie i 2 te. Niebieskich bdzie wicej.

Zadanie 9.Czy szachownic o wymiarach 8x8 mona pokry pitnastoma klockami typu L i jednym 2x2 ?

Rozwizanie 9. Nie mona. Kolorujemy pasami. Jest tyle samo pl niebieskich i tych. Klocek 2 x 2 pokrywa dwa pola niebieskie i dwa pola te. Klocek typu L pokrywa: trzy pola niebieskie i jedno te lub trzy pola te i jedno niebieskie. Zatem powinno by ich tyle samo. A to jest niemoliwe, bo w sumie jest ich 15.

Zadanie 10. Dana jest szachownica 1000 x 1000. Gdzie po rodku tej szachownicy jest prostokt o wymiarach 10 x 9, na ktrym ustawiono 90 pionkw. Dozwolone ruchy, to bicie pionka w pionie lub w poziomie, przeskakujc go. Pionek zbity zostaje zdjty z szachownicy. Czy mona doprowadzi do sytuacji, w ktrej na szachownicy pozostanie tylko jeden pionek?

Rozwizanie 10.Kolorujemy szachownic na trzy kolory. 30 pionkw na niebieskich polach, 30 na tych polach 30 na czerwonych polach Po wykonaniu dowolnego bicia przybywa pion jednego koloru a ubywaj dwa piony pozostaych kolorw. Czyli bd trzy liczby nieparzyste. W kadym nastpnym ruchu zmieni si parzysto wszystkich trzech liczb. Czyli nie jest moliwe doprowadzenia do sytuacji, w ktrej na szachownicy pozostanie ukad 1,0,0.

Zadanie 11.Czy szachownic o wymiarach 10 x 10 mona pokry kostkami 4 x 1?

Rozwizanie 11. Nie mona. Malujemy szachownic co czwarte pole. Kady klocek 4 x 1 pokrywa dokadnie jedno pole niebieskie, ktrych jest 26. Potrzeba zatem 26 klockw. Ale 26x4 =104 >100.

Rozwizanie 11.Mona te tak pokolorowa. Kostka 4 x 1 pokrywa dokadnie dwa pola niebieskie i 2 pola te. A niebieskich jest wicej.

Zadanie 12. Z szachownicy o wymiarach (2n+1) x (2n+1) usuwamy jedno narone pole. Dla jakich n mona pokry powsta figur prostoktami wymiaru 2 x 1 w taki sposb, by dokadnie poowa tych prostoktw bya pooona poziomo?

Rozwizanie 12.Kolorujemy szachownic pasami. Wszystkich pl na szachownicy jest (2n+1)2 - 1 = 4n2 +4n.2n2+3n niebieskich i 2n2+n tych. Jest wic n2+n poziomych i n2+n pionowych prostoktw. Pionowe zakrywaj po jednym polu kadego koloru, poziome s jednokolorowe. Po pionowych zostaje n2 tych i n2+2n niebieskich. Std 2|n2, wic 2|n. I to wystarczy.

Zadanie 13. Na kadym polu szachownicy o wymiarach 2009 x 2009 siedzi zajc. W pewnej chwili kady zajc przeskakuje na ssiednie pole (dwa pola s ssiednie, gdy maja wsplny bok). Pokaza, e przynajmniej jedno pole zostanie puste. (Uwaga: szachownica moe mie wymiar (2n+1)x(2n+1))

Rozwizanie 13. Kolorujemy szachownic. Jeeli bok kwadratu jest liczb nieparzyst, to liczba pl niebieskich jest inna ni liczba pl tych. Jeli zajc przeskakuje na ssiednie pole, to zmienia kolor klatki. Zatem jeli na pocztku tych klatek byo wicej, to ktra pozostanie pusta.

Zadanie 14.Czy szachownic o wymiarach 8 x 8 mona pokry nieparzyst liczb kwadratw 2 x 2

i pewn liczb figur

Rozwizanie 14. Kolorujemy szachownic w nastpujcy sposb Na szachownicy znajduj si 32 pola zielone i 32 pola biae. Zauwamy, e kwadrat 2 x 2 pokrywa przy takim kolorowaniu nieparzyst liczb pl zielonych, a pozostae figurki pokrywaj parzyst liczb pl zielonych. Czyli nie jest moliwe pokrycie szachownicy zgodnie z warunkami zadania.

Zadanie 15. Prostokt pokryto kwadratami 2 x 2 i prostoktami 1 x 4. Zabieramy jeden kwadrat 2 x 2 i dodajemy jeden prostokt 1 x 4. Wyka, e po tej wymianie nie jestemy w stanie pokry tego prostokta.

Rozwizanie 15. Kolorujemy prostokt w nastpujcy sposb Zauwamy, e kady kwadrat 2 x 2 pokrywa dokadnie jedno zielone pole, natomiast prostokt 4 x 1 pokrywa zero lub dwa pola zielone.

Zadanie 16. Prostokt podzielono na pewn liczb mniejszych prostoktw. Udowodni, e jeeli kady z maych prostoktw ma przynajmniej jeden bok o dugoci cakowitej, to duy prostokt ma co najmniej jeden bok o dugoci cakowitej.

Rozwizanie 16. Pokolorujmy ten prostokt tak jak zwyk szachownic w kwadraty o boku . Zauwamy, e przy takim kolorowaniu, jeli przynajmniej jeden bok prostokta ma dugo cakowit, to pole obszaru niebieskiego jest rwne polu obszaru tego. Skoro wic prostokt podzielono na mae prostokty z ktrych kady ma przynajmniej jeden bok dugoci cakowitej, to suma pl niebieskich ze wszystkich tych prostoktw jest rwna sumie pl tych.

Rozwizanie 16. Zamy zatem, e prostokt o wymiarach axb, gdzie a i b nie s liczbami cakowitymi podzielono na mniejsze prostokty, z ktrych kady ma przynajmniej jeden bok o dugoci cakowitej. Wycinamy z tej szachownicy prostokt o maksymalnych wymiarach, ktrego obydwa boki maj dugo cakowit. W wycitym prostokcie pole tego jest rwne polu niebieskiego. Pola s rwne take w prostoktach otoczonych czerwonym kolorem (bo jeden bok jest cakowity). Tak wic wystarczy przeanalizowa sytuacj w zakropkowanym prostokcie.

Rozwizanie 16.Mamy trzy moliwoci:

0 PN

x < P= , PN= x, P > PN

0 < x, y < P= +xy, PN= x + y,

+ xy > x + y (bo: ( - x)( - y) > 0 ).

W kadym z powyszych przypadkw P PN , a to jest sprzeczne z faktem, e sumy pl w maych prostoktach s rwne. Tak wic przynajmniej jeden z bokw duego prostokta ma dugo cakowit.