ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA PP – poziom podstawowyPR – poziom rozszerzony

• Zad.1. ( PP – 5 pkt)Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa 9 3 cm 3 . Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia.

graniastosłup czworokątny

• Zad.2. ( PP – 4 pkt)Podstawą prostopadłościanu 1111 DCBABCDA jest prostokąt o bokach długości: AD = 3

i AB = 6. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą

rachunków, że trójkąt 1BAD jest prostokątny.

A B

D C

A1

D1

B1

C1

• Zad.3. ( PP - 5 pkt)Czy 0,8 2m papieru samoprzylepnego wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 3 ,dm 4 dm , 5 dm ?

• Zad.4. ( PP – 5 pkt)Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 108. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

• Zad. 5. ( PP – 6 pkt )Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 060 .a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1

2m potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.

1

• Zad.6. ( PP – 7 pkt )W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Zad.7. ( PP – 6 pkt)Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie mają długość a.a) Sporządź rysunek tego ostrosłupa i zaznacz na nim kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oznacz ten kąt jako α .Oblicz kosinus kąta α , a następnie, korzystając z odpowiednich własności funkcji kosinus, uzasadnij, że α 060⟨ .b) Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa oraz jego objętość.

•Zad. 8. ( PP – 7 pkt )Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się 3144 , a pole powierzchni bocznej 396 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Zad.9. ( PP – 5 pkt)Grupa sześciu przyjaciół kupiła tort w kształcie graniastosłupa prostego, którego jedną z podstaw jest trójkąt równoramienny ABC ( patrz rysunek ). W trakcie dyskusji – jak podzielić tort na 6 „równych” części, Krysia przypomniała sobie własności środkowych dowolnego trójkąta i przecięła tort prostopadle do podstawy wzdłuż linii AK, BM i NC, gdzie punkty K, M, N są środkami odpowiednich boków trójkąta ABC. Czy Krysia miała rację? Odpowiedź uzasadnij.

A N B

K

CM

O

• Zad.10. ( PP -5 pkt)Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0,25 litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza – o średnicy 6 cm i wysokości 10 cm, druga – o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 oraz trzecia – o średnicy 6cm i wysokości 9 cm. Której szklanki objętość jest najbliższa 0,25 litra? Odpowiedź uzasadnij.

• Zad.11. ( PP – 3 pkt)Poniższy rysunek przedstawia stożek ścięty. Objętość takiej bryły obliczamy wg wzoru:

V = π31 ( )22 rrRRh +⋅+⋅⋅ , gdzie R - długość promienia podstawy dolnej, r - długość

promienia podstawy górnej, h - długość wysokości stożka ściętego.

2

R

r

Rada miasta postanowiła postawić w parku popiersie osoby zasłużonej. Popiersie ma stanąć na betonowym postumencie w kształcie stożka ściętego. Promienie podstaw tego postumentu są odpowiednio równe 30 cm i 50 cm, a jego wysokość jest równa 1,5 m. Jaki będzie koszt materiału zużytego na budowę postumentu, jeżeli wiadomo, że cena 1 m 3 betonu wynosi 200 zł? ( nie uwzględniamy zbrojenia ). Wynik podaj z dokładnością do 1 zł.

• Zad.12. ( PP- 7 pkt)Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca. Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5. Długość promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa 20 cm, a jej objętość 3200 3cmπ . Wszystkie warstwy wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość.Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie 0,24 kg mąki do wypieku warstwy środkowej.

• Zad.13. ( PP – 5 pkt)Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i

wysokość ma długość π18

dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź

podstawy ma długość 34 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

• Zad.14. ( PP – 4 pkt)Metalową kulę o promieniu 10 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16 cm i 12 cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o

średnicy cm3

38 . Oblicz długość wysokości tego walca.

• Zad. 15. ( PP – 6 pkt )Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe π378 . Oblicz objętość walca.

• Zad.16. ( PP – 5 pkt)Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń też w kształcie sześcianu położoną centralnie, służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź sześcianu

3

wewnętrznego jest równa 7 cm. Pole powierzchni sześcianu wewnętrznego jest 49 razy mniejsze od pola powierzchni sześcianu zewnętrznego.a) Oblicz grubość ścianek tego bloku.b) Oblicz ciężar bloku, jeżeli ciężar właściwy ołowiu jest równy 1,14 g / 3cm . Wynik podaj z dokładnością do 0,1 kg .

• Zad. 17. ( PP – 5 pkt )Waflowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy 030 , a tworząca ma długość 15 cm. Oblicz, ile 3cm lodów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie napełniony w 95%.

• Zad.18.( PP – 5 pkt)Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

• Zad.19. ( PR – 4 pkt)Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.

• Zad.20. ( PR –3 pkt)Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

• Zad.21. ( PR –3 pkt)Graniastosłup prawidłowy trójkątny jest opisany na kuli o promieniu 2. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad.22. ( PR – 5 pkt )Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną

podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 3π

. Sporządź odpowiedni

rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

• Zad. 23. ( PR – 6 pkt )Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym 060=α . Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 060=β . Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój.

• Zad. 24. ( PR – 6 pkt )Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 045 . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

4

• Zad. 25.( PR – 7 pkt )Punkt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

060 . Przez wierzchołek A podstawy, równolegle do przekątnej BD, poprowadzono płaszczyznę sieczną tworzącą z płaszczyzną podstawy ostrosłupa kąt 045 . Sporządź rysunek ostrosłupa, zaznacz otrzymany przekrój i oblicz pole tego przekroju.

• Zad.26. ( PR – 7 pkt)Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności 1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka, tak aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy 2:3 ( wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp. ).

• Zad.27. ( PR – 6 pkt)Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 2dm . Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do

płaszczyzny podstawy pod kątami 3π

i 6π

.

a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.b) Oblicz objętość ostrosłupa.

•.28. ( PR- 5 pkt)Prosta p jest nachylona do płaszczyzny π pod kątem o mierze 045 i przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Prosta q jest zawarta w płaszczyźnie π . Punkt A należy do prostej q. Kąt między prostą q i rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę π ma miarę 045 . Wykaż, że kąt ostry między prostymi p i q ma miarę 060 .

• Zad.29. ( PR – 7 pkt)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy, a długość 40. Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 060 . Oblicz długość promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie.

• Zad.30. ( PR – 8 pkt)W trójkącie ABC dane są: 8=AC , BC = 3, ACB∠ = 60 0 . Oblicz objętość i pole

powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC .

• Zad.31. ( PR – 9 pkt)Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

• Zad.32. ( PR- 4 pkt)W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze 040 . Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do 0,001 3cm .

5

• Zad.33. ( PR – 9 pkt)W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę α2 wpisano kulę.a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.b) Wyznacz αcos , jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4.

Zad.34. ( PR – 6 pkt)Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 36. Oblicz wymiary graniastosłupa o największej objętości.

Zad.35. ( PR – 7 pkt )Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 32 mIstnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.

Zad.36. ( PR – 6 pkt)Objętość walca jest równa 250π cm 3 . Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zad.37. ( PR – 10 pkt)Na kuli o promieniu długości R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu długości r i wysokości długości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. Oblicz długość promienia i wysokości znalezionego stożka.

Zad.38. ( PR – 12 pkt)Przekątna przekroju osiowego walca ma długość równą 2 3 . Jaką największą objętość może mieć ten walec? Odpowiedź odpowiednio uzasadnij.

• Zad. 39. ( PR -5 pkt )W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – długość wysokości ostrosłupa oraz α – miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( )00 9045 << α .

a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa 13

42

3

−⋅

αtgH

.

b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa 3

92 H . Wynik

podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.

• Zad. 40. ( PR -5 pkt )W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem 060=α . Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się 38 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 41. ( PR -5 pkt )Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 2 . Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.

6

• Zad. 42. ( PR -5 pkt )Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień

półkuli. Objętość stożka stanowi 32

objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły

lądownika.

• Zad. 43. ( PR -6 pkt )Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary α .a) Oblicz tangens największego z kątów α , dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku.b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi 1:11.

• Zad. 44. ( PR -6 pkt )Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony kąt dwuścienny.

• Zad. 45. ( PP -5 pkt )

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się 4

152a , gdzie a

oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem β . Oblicz βcos i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość β z dokładnością do 01 .

• Zad. 46. ( PP -4 pkt )

7

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym miary 120 0 ( zobacz rysunek ). Oblicz objętość tego stożka.

3120.0 °

• Zad. 47. ( PP - 5 pkt )Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach ABC i ''' CBA oraz krawędziach bocznych ''' ,, CCBBAA . Kąt między przekątną ściany bocznej 'AC a krawędzią podstawy AC ma miarę α . Promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa ma długość r. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 48. ( PP - 5 pkt )Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 060 . Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 060 . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 49. ( PP - 6 pkt )W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest

równy 32

. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

• Zad. 50. ( PR- 6 pkt )Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

8

• Zad. 51. ( PR- 4 pkt )Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Narysuj rysunek tego ostrosłupa. Zaznacz na tym rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.

• Zad. 52. ( PR- 7 pkt )Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy ostrosłupa. Najdłuższa krawędź boczna ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy . Narysuj rysunek pomocniczy i oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

9