:م

ته ش ا مه پ ا(Advanced Engineering Mathematics)

Ali Asgari, Ph.D)ل in Geotechnical Engineering)

ا ما شا - -ش مه م

پ ا

م ا ه ا به

ل مسا تح -ن

ت مختلط

ل ت تا

ا م ل ب م ا ها ت مشت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

2

ا ت به ما

ا ته ا ش Advanced Engineering Mathematicsمه پ

ا

ه پتا ا مختلط ب ا

ا ا با مشت م

ه ت ت

ا م ا م ا ل ل

ا تا

3

: مختلط

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

, 1

, , 0,1

Re , Im

Z x iy i

Z x y i

x Z y Z

م ع :مختلط ت

محو :مختلط ه x ق قسمت .ست موهوم قسمت y محو حق

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, ,

, ,

,

Z x iy Z x iy

Z Z x x i y y Z Z x iy x iy x x y y i x y x y

Z x iy x iy x iy x x y y x y x yi

Z x iy x iy x iy x y x y

4

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 2 1 2

2 2

1 1Re , Im

2 2

, ,

,

z x z z z y z zi

z z z z z z z z

z zz z z z

z z

مختلطم:, ,z x iy z x iy

Complex Conjugate Numbers

مختلط:

2 2

cos , sin

cos sin

tan , arg , arg , 0

x r y r

z x iy r i

yr z x y zz z z z

x

5

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

1 2 1 2

1 2 1 2n n

z z z z

z z z z z z

ب لاب :م

م :بهمختلطت

22 2 2

1, 1

1 1 2

1tan , arg 2 , 0,1,2, Arg

1 4 4

2 cos sin 2 cos sin4 4 4 4

x y

r z x y

yz n n z

x

z x iy i i

ا =د مختلط : م 1 د+ س و فطب بنو . ب

1 1 1 1 2 2 2 2cos sin , cos sinz r i z r i

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin

cos sin

z z r r i i r r i

z z r r i

1 11 2 1 2

2 2

cos sinz r

iz r

6

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

مهDe Moivre’s Formula:

2 21 1, 0 1

tan 0, Arg 0 1 cos 0 sin 0 1

2 21 cos sin , 0,1,.., 1n

z x iy x y r z x y

yz z i

x

k kw i k n

n n

ا د nشه : م = د1 ن . تع

cos sin ,n nz r n i n

مختلطشه: cos sin cos sin ,

ni n i n

,

cos sin ,cos sin cos sin 2cos sin , 2 0,1,.., 1

n n

nn

n

z w w z

R rz r i w zR n i n r i kw R i n k k n

n n

2 2cos sin cos sin , 0,1,.., 1n n k k

w z R i r i k nn n n n

3 4

5 1

1 31 1, , 1 1, ,

2 2

1 1,5 5 1 5 5

1 5 i 1 5 i4 8 8 4 8 8

,

i i

7

ل ل بع ت :مشتق مختلط ت-ه مختلط :

لهبربطه زمربهمختلطصفحهرمعاحهستشعانقطه قبوقابلرخلنو.ست

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

, ,z a z x iy a x iy

z a x iy x iy x x i y y x x y y

,z a 1,z 1 2 ,z a

ه بسته ر قر ر بسته قر

و با ا حلقه

-بع مختلط :ت

, , , , R

, Re , , Im

w f z u iv u x y iv x y u v

u x y f z v x y f z

ا د,: م ن بر تع . بر تابع مختلط

2 6

, Re Re 2 6 Re 2 2 6 6 6 2 ,

, Im Im 2 2 6 6 2 6

w f z iz z

u x y f z i x iy x iy xi y x yi x y

v x y f z xi y x yi x y

8

ل ل بع ت :مشتق مختلط ت-ت تابع مختلط : پگfهستحدنقطهبرتابعومقت فنقطههمسا قتباشندشدتعر،منزبهه .شونزبهfتابعنگاشو

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

0

0

lim ,

,

z zf z L

z z f z L

وسته=نقطهfتابعومقت :هستپ

0

0lim ,z z

f z f z

اته ف:مهمب بعحدتعر قتو رفمختلطحققحالت.جوساس خطجهتمتدفقطxحقق لسمتبه)چپستفقط(حق لندممندممختلطحالت لقتبهجهتهرتو .ندم

-مشتق تابع مختلط:ونقطهfتابعمشتق برهندمنشاfب :باستبر

0

0 0 00 00

0

lim limz z z

f z z f z f z f zf z z z z

z z z

ا ر تما =تابع : م ستمقا ر .مشتق پ

2

2 2 2 2 2

0 0 0

2

2lim lim lim 2 2z z z

f z z f z z

z z z z z z z zf z z z z

z z

9

ل ل بع ت :مشتق مختلط ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

-مشتق تابع مختلط: 1

2, , , , n nf f g fg

cf cf f g f g fg f g fg z nzg g

ا ب ر تما =تابع : م ستمشتق مقا رن .پ

0 0

0 0

0 0

,

lim lim 1 Ipath

lim lim

lim lim 1 IIpath

y x

z z

x y

f z z x iy z x i y

x i y

x i yf z z f z x x i y y x iyf z

z x i y x i y

x i y

رهابهتوجهبا:ته ر.ندمفرمشتقمقدمختلف،مس رمشتقنقطههتابعبنا ستپ نقاتماتابعرچه.نوسته .ستپ

-ل مختلط ل بع ت :ته تابع ر باشدD ناح ف شد مشتق پ ه تعر ر تابع ناح ند و ل م ه=نقطه تابع . تحل ل Dقع ناح تحل

ر تابع ند و گم ل باشد همسا .تحل

ا شه تابع مخرتما چند جمله تابع : م ا نقا و بع ل تو ست ل ل نقا تحل تحلستند .ن

20 1 2

, 0

nnf z c c z c z c z

g zf z h z

h z

10

ا پ-م ه ا :ا ملبرامعما-وشمعا هبوتحل مثابه.ندمفر دبگنظررمختلطتابعو :ر

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

,x y y xu v u v

:ا

رتومحا ر.رنتخامس Δبتدمس → Δبعد0 → ر0 Δتدمس → Δبعد0 → تابعمسلما.همقر0رمشتق رهانقطهمشتقاهستپ .شومختلفمس

0

lim , , , , ,z

f z z f zf z f z u x y iv x y z x iy z x i y

z

, , , , Rw f z u x y iv x y u v

هتابع لDناح ندمتحل بعمرتبهجزمشتقارفقطرو لهتو -وشمعا=همساتابعهمچننندابرما ف+ مشتقخوباشدشدتعرر بعگربعبااباشدپ وستهDمنهتو .باشدمرتبهجزمشتقپ

0 0

, , , ,lim lim ,z z

u x x y y iv x x y y u x y iv x yf z z f zf z

z x i y

I 0 0

0

0 0

, , , ,Path I : lim lim

, , , ,lim

, , , ,lim lim

x y

x

x xx x

u x x y y iv x x y y u x y iv x yf z

x i y

u x x y iv x x y u x y iv x y

xu x x y u x y v x x y v x y

i u ivx x

11

ا پ-م ه ا :ا ملبرامعما-وشمعا هبوتحل مثابه.ندمفر دبگنظررمختلطتابعو :ر

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

,x y y xu v u v

طچو .ستلتحلفوتابعپسستبرقرما-وششر

ا :مه

ا ل : م د=بو تابع تحل ن س . بر 2 cos sin , cos , , sin

cos , sin

x x x

x xx y y x

f z z e y i y u x y e y v x y e y

u e y v u e y v

, , , , Rw f z u x y iv x y u v

II 0 0

0

0 0

, , , ,Path II : lim lim

, , , ,lim

, , , ,lim lim

y x

y

y yx x

u x x y y iv x x y y u x y iv x yf z

x i y

u x y y iv x y y u x y iv x y

i y

u x y y u x y v x y y v x yiu v

i y y

هبر رمشتقتابعن دباشدپ رهامشتقبا :عنباشدسامختلفمس

I II,x x y y x y y xf z f z u iv v iu u v u v

ا ا :م

1 1,r ru v v u

r r

, , , , R, cos sinw f z u r iv r u v z r

12

ا پ-م ه ا :ا م

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

,x y y xu v u v

لهجوتابعچو .ستهمساتابعتابعپسستپمعا

ا ه تابع : م د ن =بتد ثابت − س − ست س دهمسا مز همسا ن 2.تع 2u x y y

, , , , Rw f z u x y iv x y u v

بعچنانچه ههمساتو طDناح ندمتابعماتابعنگاندصدما-وششر نجامزلبته.و.ستمختلطدمزبامتفا

ا بع پ ت ه ا :Harmonic Functionsم

هتابع لDناح بعنگاباشد،تحل لهتو ندمصدپمعا.ستمرتبهجزمشتق

2

2

0,

0xx yy

xx yx yy xyxx yy

u u uu v u v

v v v

بها لهجو وستهمرتبهجزمشتقهپمعا بعباشندشتهپ ندمات هو بهانظر لهجو ندمتاپهپمعا .و

بعبهگربعبا طهتو بعندمصدما-وششر ندمات .و

2 0u

2 , 2 1 2 1

, 2 2

, 22 2 1 1

x y y x x

y

x

u v x u v y v y

v x y v dy xdy xy h x

v x y xy x ch x h xv y y h x x c

x x

2 2 2, , 2 .f z u x y iv x y u x y y i xy x c z iz ic

همسا مز تابع

لتابع تحل

13

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

cos sinz x iy x iy xe e e e e y i y

البطو تبجزمختلطنماتابعخوبس قتابعهماند،2بامختلطنماتابعبومتناخاص .ستنماحق

ا ه : م له ل =جو ها معا 3 + د4 ن . تع 3 4ze i

or expze z ا :Exponential Functionتابع

دثابت:ت لتابعفوتابعن .ستاتتحل،تابع ستتا رتمابههتابع لمقا .ستتحل

5 3 4 cos sin 0.6 0.8 0.927

1.60 0.927 2 , 0,1, 2,

z x iy iy iye e e e i e y i y i y

z i n i n

cos sin cos sin expz z x x x x

x xe e e y i e y e y ie y z

1 2 1 2z z z ze e e 2 0 cos 2 sin 2 1ie e i

2 2, 1, , 1.i i i ie i e e i e 2 2cos sin cos sin 1.iye y i y y y

2 2cos sin cos sin , arg 2 , 0,1, 2,z x iy x x x ze e e e y i y e y y e e y n n

3 4 5 ln 5 1.609z xe e i x

14

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

cos sin 1 1cos , sin .

2 2cos sin

ixix ix ix ix

ix

e x i xx e e x e e

ie x i x

ا د: م ه :نشا

ات ل بع م :ت

1 1 sin cos 1 1cos , sin , tan , cot , sec , csc

2 2 cos sin cos siniz iz iz iz z z

z e e z e e z z z zi z z z z

cos cos cosh sin sinh

sin sin cosh cos sinh

z x y i x y

z x y i x y

2cos sin , sin , cos tan sec ,z z z z z z

2 2

2 2

cos cos sinh

sin sin sinh

z x y

z x y

1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1

cos cos cos sin sin

sin sin cos sin cos , cos sin 1

z z z z z z

z z z z z z z z

1 1cos cos sin cos sin cos sin

2 2 2 2

1 1sin cos sin cos sin sin cos

2 2 2 2

y y y yi x iy i x iy y y

y y y yi x iy i x iy y y

e e e ez e e e x i x e x i x x i x

e e e ez e e e x i x e x i x x i x

i i

2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos cos cosh sin sinh

cosh 1 sinhcos cos cosh sin sinh cos cos 1 sinh sin sinh

cos cos cos sin sinh cos sinh

z x y i x y

y yz x y x y z x y x y

z x x x y x y

15

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

ات ل بع م :ت

21cos 5 10 10 1 0

29.89910 100 4

5 25 10.1012

9.899, 0.101 2.292, 1, 2 , 0,1, 2,

2 2.292

iz iz iz iz iz iz

iz y ix

y y ix

z e e e e e e

e e

e e y e x n n

z n i

1 1cosh , sinh

2 2sinh cosh 1 1

tanh , coth , sech , cschcosh sinh cosh sinh

z z z zz e e z e e

z zz z z z

z z z z

ا ه : م له ل cosجو ها معا = د5 ن . تع شه ند ق ه حق . تابع مجمو

بعتنا:ته قمختلطمثلثاتتو زنقطه.ستحق بعهنستتما ترهموsincosتو ستمساوچت ندsincosهصو ستندر .ن

ب بع :ت

cosh sinh , sinh coshz z z z

cosh cos , sinh sin

cos cosh , sin sinh .

iz z iz i z

iz z iz i z

د: ت ه :نشا

2 2 2 2

sin cos sinh coshRe tan , Im tan ,

cos sinh cos sinh

x x y yz z

x y x y

16

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

ln , , 0w z z x iy z

ا :م

ت ا بع :ت

, ,

ln ln 0, arg

w u iv u iv i uz e e e e re r e v

z r i r z z

ln1 0, 2 , 4 , Ln1 0

ln 4 1.386294 2 , 0,1, 2, Ln4 1.386294

ln 1 , 3 , 5 , Ln 1

ln 4 1.386294 2 1 , 0,1, 2, Ln 4 1.386294

ln 2, 3 2,5 2, Ln 2

ln 4 1.386294 2 2 , Ln 4 1.386294

i i

n i n

i i i i

n i n i

i i i i i i

i i n i i i

2

ln 4 1.386294 2 2 , Ln 4 1.386294 2

ln 3 4 ln 5 arg 3 4 1.609438 0.927295 2 , Ln 3 4 1.609438 0.927295

i i n i i i

i i i i n i i i

we z

تها تتفا قبامختلطلگا هبهنظر.شومشرنجاحق صحمضاباومان ،ممشخص2 تلشو علگا lnمختلطب , ≠ تب0 صلمقد.ستمقدنها lnصلومابامتناظرArgباLnهمنما:Ln ln Argz z i z

ln Ln 2 , 1,2,z z n i n قرستابطه Argنگاباشدمثبتحق = قرست0 نگاباشدمنفحق Arg .ست=Ln ln :negative real Ln ln :positive realz z i z z z z

17

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

11 2 1 2 1 2

2

ln ln ln , ln ln lnz

z z z z z zz

ت ا بع :ت

قر لتابعستمشتقنگانباشد،صفرامنفحق هدتحل .بوخو 1ln :not 0or negative realz z

z

2 2

2 222 2

2 222 2 2

1ln ln ln arctan

2

1 1 1ln

2 1

1 1ln

2 1

x xx

y xy

yz r i c x y i c

x

xu x y v

x y xy x

y yu x y v

x y xy x

سما-وششر :نمبر

ت ا ل تابع ل :ب ت

2 2 2 2 2 2

1ln x x

x y x iyz u iv i

x y x y x y z

بع ت :ت, , complex, 0cw z z x iy c z

, ln ln lnc cw z w z c z lnc c zw z e

تچو علگا تبlnمختلطب جهستمقدنها زنت تبلحالتن نهاندمصلمقد=خامقد.ستمقد .و

1 ln1if , 2,3, , n zc nc n w z z e

n

18

بع مهم ب مختلط :ت

ل مختلط ل بع ت مختلط ت

بع ت lnc:ت c zw z e

تچو علگا تبlnمختلطب جهستمقدنها زنت تبلحالتن صلمقد=خامقد.ستمقدنهاندم .و

1 ln1if , 2,3, , n zc nc n w z z e

n

ا :م ln exp ln exp 2 exp 2

2 2i i ii e i i i i n i n

2 2 ln 1 4 2 1 11 exp 2 ln 1 exp 2 ln 2 2 2 sin ln 2 cos ln 2

4 2 2i i i ni e i i i i n i e i

نا : ت دصفحه تما تمر ن ز حل ر س نگل تا .