E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R I T M O S

1. Halla "x":

a) 2x+1 = 4x b) 2x=1/16 c) 3x+1 = 9x-2

d) 5 = 25x e) 51

= 25x f) 9 = 3 2-x2g) 81 = 3 3-2x

h) 41

= 2 3-x 2 i) 31-x 3 = 3 j) 16 = 2 x1+x k) 81 = 3 x1-2x

Sol: a) x=1; b) x=-4; c) x=5; d) x=1/4; e) x=-1/2; f) x="2; g) 7/2; h) x="1; i)4/3; j) 1/3; k) -1/2

2. Halla "x":a) x = 271/3 b) 5 = x1/2 c) 2 = 32x d) 27 = x3/2

e) 32 = 4x f) 8 = x3/2 g) 27 = 32x h) 0,001 = 10x

i) 100 = 101 x

j) 9 = 3 1+xx k) 27 = 92x l) 8 = 2 22x

m) 100 = 103x n) 0,01 = 10 1-2x

Sol: a) x=3; b) x=25; c) x=1/5; d) x=9; e) x=5/2; f) x=4; g) 3/2; h) x=-3; i) -2;j) -2; k) x=3/4; l) x=3; m) x=2/3; n) x=-1/2

3. Simplifica las siguientes expresiones:

a) 3 . 9 . 3 21-x2+x b) 2 . 2 . 2 x-31-x1-x 2c)

84

1-x

2-x

d) 9 . 2

3 + 3x

x1+x

e) 4

2 . 3 + 22-x

1-x1+x

f) e

e + e4x

+3x1-x

g) 2 + 2

2 . 41-x1+x

x-3x

h) 3 . 3

9 . 31+xx

x1+x

2 i) e

e - e1-2x

2-x1+x

Sol: a)3 2+3x ; b)2 1+x 2; c)2 1--x ; d) 3 . 2 -x ; e) 2 . 7 x-3 ; f) e e +

e1

3x-3

; g)

324

;

h)3 x-2x 2; g) ( ) e 1 - e 1--x3

4. Resuelve:

a) 4 = 9 + 3 1+x-x b) 2187 = 3 +32x c) 91

= 3 2-x1+x

d) 3 = 3 +33x-x2e) 10 = 10 1+x

1-x 2

f) 0 = 3 - 3 1+x1-2x

g) 500 = 5 . 3 + 5 3-6x1+2x h) 12- = 2 - 4 1+x2-x i) 0 = 77 - 3 . 4 - 3 x2)+(x 2

Sol: a) x=-1; b) x=2; c) x=1; d) x=1, x=2; e) x=2; f) x=2; g) 1; h) x=3; i)x=0

E X P O N E N C I A L E S

5. Resuelve:a) e = e 1)-(x 22-x b) 2 = 4 3-2x1+x c) 8 = 2 3-x1-x

d) 702- = 9 - 3 2+x1+2x e) 625 = 5 2-3x f) 1 = 5 6-x-x2

g) 54- = 3 - 3 2x1-2x h) 32 = 2 - 4 2+xx i) 25 = 5 3-x2-x

Sol: a) x=0; b) x=ò; c) x=4; d) x=1; e) x=2; f) x=-2, x=3; g) x=2; h) x=3; i) x=4

6. Resuelve:

a) 27 = 3 2+x+52x b) 120 = 3 + 3 + 3 + 3 1-xx2-x1+x c) 21

= 2 + 4 1-xx

d) 8 = 2 +3x+5-x e) 511 = 2 + ... + 8 + 4 + 2 + 1 x

f) 3280 = 3 + ... + 27 + 9 + 3 + 1 x g) 1365 = 4 + ... + 64 + 16 + 4 + 1 x

h) 19531 = 5 + ... + 125 + 25 + 5 + 1 x i)55987 = 6 + ... + 216 + 36 + 6 + 1 x

j) 19608 = 7 + ... + 343 + 49 + 7 + 1 x k) 29 = 2 + 2 + 2 + 2 3-x1+x1-xx

Sol: a) x=-1; b) x=3; c) x=-1; d) x=-1; e) x=8; f) x=7; g) x=5; h) x=6; i) x=6;j) x=5; k) x=3

7. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3.3x=27 b) 5.3x=405 c) 2x/4=4 d) 42x+1=1/4

Sol: a) x=2; b) x=4; c) x=4; d) x=-1

8. Las siguientes ecuaciones exponenciales tienen soluciones enteras. Hállalas:

a) 16 = 2x2b) 81 = 3 3-x c)

91

= 3x d) 3 = 31

x

Sol: a) x=2; b) x=7; c) x=-4; d) x=-1/2

9. Resuelve mediante un cambio de variable:a) 22x-3.2x-4=0 b) 3x+3x-1-3x-2=11 c) 2x+2-x=65/8

Sol: a) x=2; b) x=2; c) x=3, x=-3

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x+2 = 729 b) 23x-2 = 16 c) 5x+5x+1 = 750 d) 10002+x = 1

Sol: a) x=4; b) x=2; c) x=3; d) x=-2

11. Resuelve:

a) 2 = 8x-12x+1 b) x-13 = 3x 2-1 c) 2

= 42

25

x

x

3x+1

2

Sol: a) x=4; b) x=0, x=1; c) x=3, x=-2

12. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:a) 2x+1 = 4x b) 3x+2 = 9 c) 4x-1 = 2x+1 d) 25x+2 = 5-x-2

e) 3x-1+3x-3x+1=-45 f) 3x+1-3x-2.3x-1=12 g) 23x-22x-4=0h) 32x+1-12.3x+32=0

Sol: a) x=1; b) x=0; c) x=3; d) x=-2; e) x=3; f) x=2; g) x=1; h) x=0, x=1

13. Halla "x":

a) 4- = 2 - 2 + 2 1+xx1-x b) 1 = 51

- 5 + 5 1+xx c) 3 2x 2 = 32

d)271

= 3 . 3 x1+x e) 3 . 2 = 31

+ 3 1-2x1-x f) 33-2x a = a

Sol: a) x=3; b) x=-1; c) x=2/15; d) x=-2; e) x=0; f) x=5/3

14. Simplifica las siguientes expresiones:

a)2 . 4 . 8 32xx

2x

b)x2x -1 x+2 c)

8 . 42x+1 . 2

-xx

-x+1

d)625 . 125

5x . 25xx

x

e)

3 . 3 . 32

81x+1 . 9x

32x-3 . 34xf) ( )

81-x+1 . 3

. 932x

-xx+1 2

Sol: a)2 29x

; b)3 + 12

7x; c)22-x ; d)5-4x ; e)36 -x ; f)3x-1

15. Resuelve:a) 3x+2 + 2.3x - 33 = 0 b) 2x-1 - 3.2x + 2-1 = -2c) 2x+1 - 2x + 3.2-2 = 1 d) 22-x - 2-x + 2 = 23

e) 2x . 23-2x + 22 = 23 f) 5x-1 . 52x-3 = 3125

Sol: a) x=1; b) x=0; c) x=-2; d) x=-1; e) x=1; f) x=3

LOGARITMOSLOGARITMOS

1. Calcula los logaritmos que se indican:a) log232 b) log5625 c) log1000 d) log381e) lne3 f) log105 g) lnex h) log264i) log3729 j) log2128Sol: a) 5; b) 4; c) 3; d) 4; e) 3; f) 5; g) x; h) 6; i) 6; j) 7

2. Halla los logaritmos siguientes:a) log2(1/8) b) log2(1/2); c) log2(1/32)d) log3(1/3) e) log3(1/9) f) log3(1/81)g) log5(1/5) h) log5125 i) log525Sol: a) -3; b) -1; c) -5; d) -1; e) -2; f) -4; g) -1; h) 3; i) 2

3. Empleando la calculadora halla:a) log8 b) log3 c) log121 d) log(5,74) e) log(3,15)f) log(102,31) g) ln(4,15) h) ln(3,19) i) ln103

4. Halla el valor de "x" en las siguientes expresiones:a) 32 = 5xlog b) 36 = 2xlog 1 c) 81 = 2xlog

d) 49 = 2xlog e)21

5 = xlog f) = - 4161

xlog

g)21

5 = -xlog h)25

32 = xlog i) 0,01 = - 2xlog

21

j) log 4 = -x k) 216 = 3xlog l) 64 = 3xlog

Sol: a) x=2; b) x=6; c) x=9; d) x=7; e) x=25; f) x=2; g) x=1/25; h) x=4; i)x=10; j) x=1/16; k) x=6; l) x=4

5. Calcula x en las siguientes ecuaciones:a) log x = log 5 - log 2 b) ln x = 2 ln 3c) 1 + 2 log x = 3 d) 3 log3 x = -9

Sol: a) x=5/2; b) x=9; c) x=10; d) x=1/27

6. Resuelve:a) log216=x b) log(10000)=x c) log327=xd) logax=0 e) log9x=2 f) log16

%4=xg) 3 3 = xlog 9

Sol: a) x=4; b) x=4; c) x=3; d) x=1; e) x=81; f) x=1/4; g) x=1/6

7. Resuelve:

a) 0,0001 = -4xlog b) = x321

2log c)31

10 = xlog

d) ( 3 3 ) = x23log e) log 1 = x f) 81 = x3log

g) 2 ) = x822log ( log h) 5 = x5log i) 625 = x5log

Sol: a) x=10; b) x=-5; c) x=103; d) x=5/2; e) x=0; f) x=2; g) x=3; h) x=1/2; i) x=4

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) log x + log 30 = 1 b) log (2x) = log 32 - log x

Sol: a) x=1/3; b) x=4

a) 2 = x loglog b) 3 = x log c) 5 = x log

d) ( ) x = 32 22log e) 3 2 = x loglog f) 2 = 10 - x loglog

g) 81 = 5)-(2x 4 33 loglog h) 2 = 2)+x+x( 22log

i) 3 = 1-2x5+x3

2

2

log

Sol: a) x=2; b) x=1000; c) x=100000; d) x=10; e) x=9; f) x=1000; g) x=4; h)x=1, x=-2; i) x=1, x=13/3

10. Resuelve:

a) ( ) 2 = 25+3x log b) 0,1 = 2-x3x-5

log c) 2 = 1)+(x - 1)-(3x 33 loglog

d) 8 = 1)-(x 3 22 loglog e) (2x) = 1)-(x + 3 logloglog

f) x - 10 =100

x 4 logloglog 2 g)70 =3y - x

3 =y + x loglog

Sol: a) x=25; b) x=3/2; c) x=-5/3; d) x=3; e) x=3; f) x=1000; g) x=100, y=10

11. Expresa los siguientes logaritmos en función de log2:

a) 64 log b)161

log c) 5 log d) 0,32 log e) 3

532

log

Sol: a) 6 log2; b) -4 log2; c) 1-log2; d) 5 log2 - 2; e) 2 log2 - 1/3

12. Sabiendo que log2=0,30103 y log3=0,47712, calcula:a) log4 b) log5 c) log6 d) log9 e) log18f) log30 g) log48 h) log72 i) log16 j) log40k) log20 l) log32

13. Sabiendo que log2=0,30103 y log3=0,47712, calcula:

a) 0,3 log b) 0,48 log c) 3 40 log d)948

log e)518

log

f) 0,072 log g)4,830

log h) )(1,8 3log i) 4

329

log

j)59

log k)

38

2

log l)

45

3

log

14. Halla:

a)

128 . 22 . 64

4

33

2log b)

3 . 813 . 9 . 3

2-2

1-3

3log

c)

0,1 . 10

100 . 0,01

1-

3

log d)

125 25

625 5 -2

5log

Sol: a) -5/2; b) -9/2; c) 2/3; d) -7/2

9. Resuelve:

a) log 3 b) log2e c) log35 d) log5e) log525

Sol: a) ln3/ln10; b) 1/ln2; c) ln5/ln3; d) ln5/ln10; e) ln25/ln5=2

16. Determina los intervalos en los que puede variar x para que se verifique:a) 0#log3x#1 b) 1#log2x#4 c) 2#lnx#3 d) -1#log2x#0e) -2#lnx#1 f) 0<logx<2 g) 1#lnx2<2 h) 0<log2x#3Sol: a) 1#x#3; b) 2#x#16; c) e2#x#e3; d) 1/2#x#1; e) e-2#x#e; f) 1<x<100;

g) e#x<e; h) 1<x#8

17. ¿Qué números tienen logaritmo negativo si la base es 5?. Sol: x<1

18. Prueba que ln10.loge=1

19. Si la base de un sistema de logaritmos es 1/3. ¿Cómo son los logaritmos de losnúmeros mayores que 1? Sol: negativos

20. Si se multiplica un número por 8 ¿Qué variación experimenta su logaritmo enbase 2?. Sol: se le suma 3

15. Transforma los siguientes logaritmos en logaritmos neperianos:

21. Resuelve:a) log39 = x b) logx(1/8)=-3 c) log2x=5 d) log3( 3 /9)=xe) logx5=-2 f) ln(1/e2)=x g) log9( 3 /3)=x h) log(1/2)8=xi) log3x4=8 j) logx + log2=log5 k) log1/223=x l) logx-1=2

Sol: a) x=2; b) x=2; c) x=32; d) x=-3/2; e) x=1/ 5 ; f) x=-2; g) x=-1/4; h) x=-3; i) x=9; j) x=5/2; k) x=-3; l) x=1000

22. Resuelve las ecuaciones logarítmicas:a) log x+ 4 - log(3x) = -2 log3 b) lnx - ln(x-2) = ln(4x-3) - ln3c) log(x-2) - log(x2) = -log(3x) d) 2 logx - log(2x) = log(x-1)e) ln(x2+2) - ln(x+1) = ln(2-x) f) 3 logx - 2 log2 = log(x2) - log2

Sol: a) x=12; b) x=3; c) x=3; d) x=2; e) x=0; f) x=2

23. Determina los intervalos en los que puede variar x:a) 0<log3x#2 b) 1<log2x<3 c) 0#logx<1/2d) 1/2#log4x#1 e) -1<log3x<2 f) -2#log2x#3/2

Sol: a) 1<x#9; b) 2<x<8; c) 1#x< 10 ; d) 2#x#4; e) 1/3<x<9; f) 1/4#x# 8

24. Calcula el valor de los siguientes logaritmos:

a)

32 . 8

64 . 22 3

2log b) 3-15

-2

10 . 10

1000 . 10log c)

e . e e

. eln -42

33

81 . 3

27 . 323

5 . 25

625 . 125225d) log e) log f)

8 . 2

16 . 224log

Sol a) -1; b) -1; c) 13/2; d) 0; e) -1; f) 3/4

25. Resuelve:

a) 3 = x27log b) 3 32 = x2log c)2

7 = xlog

d) = 3x81

3log e)25

32 = xlog f) 0log 1000 x =

g) 7 = x49log h) = - 24x

2log i) 81 = 2xlog

j) = -19x

3log k) = 2x

1005log l) log 9 = 2x

Sol: a) x=1/3; b) x=5/3; c) x=49; d) x=3; e) x=4; f) x=1; g) x=1/4; h) x=1; i)x=3; j) x=9; k) x=4; l) x=9

26. Resuelve las ecuaciones:

a)

3

1ln (x -1) - ln( x2 -1) = ln b) + ln 2 = ln(x+3)

xx+1

ln

c) log (x+1) + log(x - 2) = log(2 - x) d)2 log(x - 1) = 2 log 2

e) log (x+1) - log x -1 = log(x - 2) f) log x + log(x+ 2) = log (4x -1)

Sol: a) x=2; b) x=1; c) x=-1, x=2; d) x=-1, x=3; e) x=5; f) x=1