1

Wyznaczanie odkształce ń napi ęć i pr ądów. Źródła i sposoby poprawy odkształce ń napi ęć i pr ądów. Moce i współczynniki mocy. Odkształcenia - Przebiegi napięć i prądów róŜniące się od przebiegów sinusoidalnych. Najczęściej spotykane odkształcenia to : harmoniczne, załamania napięcia, przepięcia krótkotrwałe oscylacyjne i nieoscylacyjne.

Przykład odkształcenia oscylacyjnego sinusoidy napięcia podczas załączenia baterii kondensatorów Rodzaje harmonicznych : wyŜsze harmoniczne, interharmoniczne, subharmoniczne Harmoniczne są matematycznym odwzorowaniem niesinusoidalnych prądów lub napięć w sieciach elektroenergetycznych. Sieci z urządzeniami energetycznymi o charakterystykach nieliniowych oraz z obciąŜeniami nieliniowymi - wyŜsze harmoniczne prądu, wyŜsze harmoniczne napięcia. Typowe urządzenia energetyczne o charakterystykach nieliniowych to : transformatory mocy, urządzenia energetyczne z układami energoelektronicznymi. Typowe obciąŜenia nieliniowe - prostowniki, zasilacze urządzeń elektronicznych i róŜne układy napędowe z regulacją prędkości obrotowej. Analiza harmonicznych KaŜdy odkształcony przebieg okresowy moŜe być zastąpiony przez zbiór sinusoidalnych przebiegów (szereg Fouriera) o krotności częstotliwości podstawowej, nazywanych wyŜszymi harmonicznymi.

a) przebieg wartości chwilowych prądu b) widmo wh prądu

c) zastąpienie prądu chwilowego (a) prądami szeregu Fouriera Szereg Fouriera – podstawowe równanie : f(t) = a0 + a1cos (ω1t) + a2 cos (2ω1t) …….+ b1sin (ω1t) + b2sin (2ω1t) + …..

a) b)

2

= a0 + Σancos (nω1t) + ……. Σ bnsin(nω1t) f(t) jest funkcją okresową o częstotliwości podstawowej ω1.

Składowe symetryczne wy Ŝszych harmonicznych

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6 h=7 h=8 h=9 h=10 + - 0 + - 0 + - 0 +

h- rząd wyŜszej harmonicznej +, -, 0 – składowe symetryczne : zgodna, przeciwna, zerowa.

W sieciach trójfazowych cztero – lub pięcioprzewodowych niskiego napięcia (np. typu TT, TN-C, TN-S) przepływ prądów odkształconych z wh prądów fazowych rzędu 3 oraz krotności 3 powoduje pojawienie się prądu w przewodzie PEN lub N (dalej nazywanego prądem neutralnym). Wartość skuteczna prądu neutralnego jest sumą algebraiczną prądów tworzących układ składowych symetrycznych zerowych (0). Pozostałe harmoniczne (układ zgodny i przeciwny) nie wpływają na wartość prądu neutralnego.

Prawo Ohma w zapisie wektorowym - dla poszczególnych wh w sieci rozgałęzionej - wyraŜa zaleŜność :

Uh = Ih Zh gdzie : Uh – wektor napięcia węzłowego dla wh rzędu h, Ih – wektor prądu węzłowego dla wh rzędu h, Zh – macierz impedancji własnych i wzajemnych, h – rząd wh (1, 2, 3,...). Podstawowe miary wh Wartości skuteczne napięć i prądów odkształconych, stopnie udziału wh (u), współczynniki udziału wh (THD), moce elektryczne. Wartość skuteczną (ARMS dalej A) napięcia lub prądu odkształconego oblicza się ze wzoru

ALi = ∑=

=

kh

1h

2Lih,A = A1,Li

2Li,A )100/THD(1+

gdzie : Ah,Li – wartość skuteczna harmonicznej napięcia lub prądu rzędu h w fazie Li ; A≡{U ∪ I}, i=1 dla obwodu elektrycznego jednofazowego lub i=1 ∪ 2 ∪ 3 dla obwodu elektrycznego trójfazowego, h- rząd wh (1, 2, 3,...k); k - największy rząd wh określany wg stosownego dokumentu technicznego, zawierającego ocenę wh, THDA,Li - współczynnik zawartości wh parametru A; wyraŜony w %.

3

Współczynnik udziału (uA,h) poszczególnych wh w harmonicznej podstawowej napięcia lub prądu określa zaleŜność

uA,h,Li = Li,1

Li,h

A

A 100% .

Współczynnik zawartości wh napięcia (THDu) lub prądu fazowego (THDI) oblicza się ze wzoru

THDA,Li = Li,1

kh

2h

2Li,h

A

A∑=

= 100% = ∑=

=

kh

2h

2Li,h,A )100/u( 100%

A 1,L,i – wartość skuteczna harmonicznej podstawowej napięcia lub prądu (h=1) w fazie Li, uA,h,Li - stopień udziału poszczególnych wh w harmonicznej podstawowej; wyraŜony w %. Współczynnik odkształcenia napięcia lub prądu (TFF) określa wzór

TFFA,Li = Li,1

kh

1h

2Li,h

A

A∑=

= = 2Li,A )100/THD(1+

Współczynnik amplitudy (szczytu) napięcia lub prądu (TCF) oblicza się z zaleŜności

TCFLi = Li

Li,S

A

A100%

gdzie : AS,Li – maksymalna wartość skuteczna prądu w fazie Li. JeŜeli przebieg napięcia lub prądu jest sinusoidalny to TCFLi =1,414. Przy przebiegach odkształconych TCFLi jest róŜne od 1,414. Rezonans wh harmonicznych Rezonans moŜna zdefiniować jako stan obwodu elektrycznego, w którym reaktancja odbiornika lub susceptancja odbiornika są równe zeru. JeŜeli w odbiorniku istnieje szeregowe połączenie elementów R, C, L i jest prawdziwy warunek X=0, to występuje rezonans szeregowy nazywany równieŜ rezonansem napięć. JeŜeli w odbiorniku istnieje równoległe połączenie elementów R, C, L i występuje warunek B=0 to odbiornik jest w stanie rezonansu równoległego nazywanego równieŜ rezonansem prądów.

Trójkąty rezystancji: a) ωω

LC

>1

; b) ωω

LC

<1

Z analizy trójkątów rezystancji przedstawionych na rysunku wynika, Ŝe dla przypadku

rezonansu, tzn. ωω

LC

=1

prawdziwe są zaleŜności: ϕ=0, Z=R, czyli w obwodzie z

rezonansem nie ma przesunięcia fazowego między prądem i napięciem. Obwód zachowuje się tak, jakby istniała w nim tylko rezystancja. W stanie rezonansu moc czynna wynosi:

4

IU cosIUP =ϕ⋅=

a moc bierna: 0sinIUQ =ϕ=

gdyŜ ϕ =0. Oznacza to, Ŝe cała energia elektryczna pobrana przez obwód przekształca się w ciepło w jego rezystancji R. Energia bierna przekazywana jest między elementami L i C z pominięciem źródła. Częstotliwość, przy której wystąpi rezonans nazywamy częstotliwo ścią rezonansow ą fr. Wartość częstotliwości fr otrzymamy z równania (2.4)

ωr LC=

1

lub

fLCr =

1

2π

Rezonans równoległy Rezonans szeregowy

Wzrost impedancji wypadkowej (bardzo duŜa wartość). Redukcja impedancji wypadkowej do poziomu Wzrost napięcia na impedancji. rezystancji. Wzrost prądu w obwodzie indukcyjność – pojemność. W stanie rezonansu szeregowego, czyli rezonansu napięć, występuje równowaŜenie się napięć na cewce i kondensatorze 0=− CL UU . Przy pewnych wartościach rezystancji R,

indukcyjności L i pojemności C - napięcia UL i UC mogą przybierać stosunkowo duŜe wartości, mimo Ŝe napięcie zasilające obwód U jest stosunkowo małe. Mówimy wówczas, Ŝe w obwodzie występują przepi ęcia . Przy częstotliwości rezonansowej f=fr wartości reaktancji XL i XC są sobie równe, a prąd I

osiąga największą wartość ograniczoną jedynie rezystancją R w obwodzie (R

UI r = ).

Źródło harmonicznych pr ądu

Elektryczny schemat zastępczy

Kondensatory

Uproszczony schemat układu

Kondensatory

Źró

dło

h

arm

on

iczn

ych

prą

du

Źró dło harmonicznych pr ądu

Kondensatory

Uproszczony schemat układu

Linia

Elektryczny schemat zastępczy

Źródło harmonicznych pr ądu

Źródło harmonicznych pr ądu

Kondensatory

Impedancja linii

Źró

dło

im

pedancy

jne

5

Napięcie UC osiąga wartość maksymalną dla częstotliwości tuŜ przed rezonansem, natomiast napięcie UL tuŜ po rezonansie. Przy częstotliwości rezonansowej napięcia UC i UL są sobie równe. Przyczyną rezonansu szeregowego jest występowanie w obwodzie transformatora i kondensatorów. Źródło harmonicznych prądu po stronie pierwotnej transformatora jest przyczyną duŜych odkształceń napięcia po stronie wtórnej transformatora. W rezultacie moŜe to doprowadzić do uszkodzenia kondensatorów, jeŜeli wydolność źródła harmonicznych jest większa niŜ wartość znamionowa kondensatorów Stosunek reaktancji indukcyjnej XL do rezystancji R obwodu nosi nazwę dobroci obwodu:

QX

R

fL

RL= =

2π

W stanie rezonansu równoległego, czyli rezonansu prądów mamy: 0II CL =+

co oznacza, Ŝe prądy w cewce i kondensatorze równowaŜą się. W stanie rezonansu równoległego prąd I ma wartość minimalną ograniczoną przez rezystancję R, natomiast prądy LI i CI równowaŜą się.

Dobroć obwodu równoległego związana jest zasadniczo ze stratami mocy w kondensatorze i

zaleŜy od stosunku rezystancji R od reaktancji XC. Dobroć QR

XC

= , w stanie rezonansu:

QR

X

R

XrC Lr r

= =

oraz

rrrL

CL QIQR

U

X

UII

r

rr====

Oznacza to, Ŝe przy rezonansie prądy IL i IC są Qr razy większe od prądu pobieranego przez obwód co nosi nazwę przet ęŜenia . Uwzględnienie harmonicznych jest waŜne w projektowaniu sieci elektroenergetycznych. Źródła wy Ŝszych harmonicznych pr ądu Wszystkie obciąŜenia nieliniowe Wszystkie obciąŜenia nieliniowe pobierają prądy o przebiegu odkształconym. Przykłady takich obciąŜeń wymienione są poniŜej. · Sprzęt radiowo-telewizyjny i komputerowy; odbiorniki te wyposaŜone są w róŜnej klasy zasilacze z pojemnościowymi filtrami napięcia, w których prądzie znaczący udział maja harmoniczne rzędu 3 i 5. · Świetlówki, zwłaszcza coraz powszechniej stosowane świetlówki kompaktowe, wyposaŜone w układ przemiennika częstotliwości; odbiorniki te pobierają prąd o bardzo szerokim spektrum wyŜszych harmonicznych. · RóŜnego rodzaju zasilacze, przede wszystkim zasilacze z przetwarzaniem energii (SMPS). · Bezstopniowe regulatory prędkości obrotowej silników, np. silników elektronarzędzi. · Elektroniczne sterowniki natęŜenia oświetlenia. · Układy bezprzerwowego zasilania (UPS). · Urządzenia z rdzeniami magnetycznymi czy na przykład transformatory, silniki. Oddziaływanie odkształce ń napi ęć i pr ądów na urz ądzenia elektryczne

1. Migotanie ekranów monitorów 2. Przegrzewanie się transformatorów przy niepełnym obciąŜeniu

6

3. Straty w silnikach indukcyjnych 4. Przegrzewanie się przewodów na skutek zjawiska naskórkowości 5. Nieprawidłowe funkcjonowanie urządzeń sterujących procesami technologicznymi 6. PrzeciąŜanie sieci danych 7. Problemy z urządzeniami do poprawy współczynnika mocy 8. PrzeciąŜanie przewodów neutralnych 9. NiepoŜądane działanie zabezpieczeń

Przeciwdziałanie skutkom negatywnym oddziaływania o dkształce ń

1. UPS, generatory rezerwowe 2. Pomiary faktycznej wartości skutecznej 3. Zmniejszanie dopuszczalnych obciąŜeń urządzeń elektrycznych 4. Obwody wydzielone 5. Odpowiednio połączone i dobrane uzwojenia fazowe transformatorów mocy 6. Kable z Ŝyłami wielodrutowymi dla obciąŜeń harmonicznych 7. Wymiana przewodów instalacji elektrycznych 8. Podział odbiorników na kategorie 9. Stosowanie siatek ekwipotencjalnych 10. Filtry pasywne 11. Filtry aktywne 12. Zmiana systemu instalacji na TN-S 13. Zwiększenie przekroju przewodów neutralnych.

Moce i współczynniki mocy w układach elektroenerget ycznych Moce dla przebiegów sinusoidalnych napi ęcia i pr ądu

7

- moc czynna P = P1= U I cos ϕ , - moc bierna Q = Q1 = U I sin ϕ, - moc pozorna S = U I = U1 I1, - trójkąt mocy S2 = P2 + Q2, - współczynnik mocy cos ϕ = P/S. Przykład. Silnik charakteryzują parametry : Pn = 51 kW, cos ϕ = 0,86 , η = 0,91. Obliczyć moce elektryczne odpowiadające wyszczególnionym danym. P = 56 kW, S= 65 kVA, Q = 33 kvar Wartości cos ϕ oraz tg ϕ dla powszechnie uŜywanych urządzeń elektrycznych

Rodzaj urządzenia cos ϕ tg ϕ Typowy silnik indukcyjny przy obciąŜeniu : 0 % 25 % 50 % 75 % 100 %

0,17 0,55 0,73 0,8

0,85

5,8 1,52 0,94 0,75 0,62

Lampy Ŝarowe 1 0 Lampy fluorescencyjne (brak kompensacji)) 0,5 1,73 Lampy fluorescencyjne (z kompensacją) 0,93 0,39 Lampy wyładowcze 0,4 do 0,6 2,29 do 1,33 Piece rezystancyjne 1,0 0 Piece indukcyjne 0,85 0,62 Piece dielektryczne 0,85 0,62 Zgrzewarki 0,8 do 0,9 0,75 do 0,48 Spawarki łukowe 1-fazowe statyczne 0,5 1,73 Spawarki łukowe generatorowe 0,7 do 0,9 1,02 do 0,48 Spawarki łukowe transformatorowe 0,7 do 0,8 1,02 do 0,75 Piece łukowe 0,8 0,75 Poprawę cos ϕ ilustruje poniŜszy schemat

ObciąŜenie

Moce dla przebiegów niesinusoidalnych napi ęcia i pr ądu W ogólnym przypadku moc czynną elektryczną (średnią) oblicza się z zaleŜności

8

P = ∫T

dt iu T

1

Jeśli napięcie i prąd są okresowymi funkcjami czasu, o tym samym okresie T, to moŜna je rozłoŜyć na szeregi Fouriera. Wtedy moc czynną moŜna obliczyć z zaleŜności P = nnn cosIU Φ∑

n

gdzie : n - rząd harmonicznej napięcia i prądu. PowyŜsze zaleŜności bazują na fizycznym zjawisku mocy i energii elektrycznej. Definicja mocy biernej wg Budeanu, szerzej stosowana i aprobowana jako standard ma postać

Q = nnn sin IU Φ∑n

Zwykle moc ta jest oznaczana jako QB. Moc pozorną wyraŜa zaleŜność

S = ∑∑n

2n

n

2n IU

S2 = ∑∑n

2n

n

2n IU ≥ 2

nnn ) cosIU( Φ∑n

+ 2nnn )sin IU( Φ∑

n

Trójkąt mocy jest ogólnie nie spełniony dla definicji mocy biernej wg Budeanu i dlatego musi być wprowadzona dodatkowa moc nazywana mocą dystorsji D

D2 = S2 – P2 – Q2

Rys. Układ geometryczny mocy Budeanu Najbardziej znana, oprócz definicji Budeanu, to defincja S. Fryzego. Fryze definiuje moce jako funkcje czasu. Prąd dzieli na dwa składniki. Pierwszy ia jest prądem o tym samym kształcie i kącie fazowym jak napięcie (prąd rezystancyjny); ma on amplitudę taką, Ŝe Ia*U jest równe mocy czynnej. Drugi składnik prądu jest prądem szczątkowym ir. Prądy spełniają równania

ia = u2U

P

ir = i - ia

JeŜeli prąd ir zostanie skompensowany, źródło będzie widoczne jako czysto rezystancyjne obciąŜenie i współczynnik mocy będzie równy jedności. MoŜna wykazać, Ŝe ia i ir są ortogonalne a ich wartości skuteczne spełniają zaleŜność

I2 = I2a + I2r Moc pozorna moŜe być wtedy określona jako iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia S2 = U2 I2 = U2 (I2a + I2r) = P2 + Q2 W opracowaniach moc bierna Fryzego jest często oznaczana jako QF i nazywana jest „mocą fikcyjną”.

P

DB S

QB

.

.

9

Współczynnik mocy, w przypadku przebiegów sinusoidalnych napięcia i prądu, nazywany powszechnie cos ϕ , oblicza się z zaleŜności

cos ϕ = 1

1

S

P=

21

21

1

QP

P

+

Współczynnik mocy, w przypadku przebiegów niesinusoidalnych napięcia i prądu oblicza się z zaleŜności

λ = S

P =UI

PP2i

i1 ∑=

+=

2I

2U11

2ii1

)100/THD(1)100/THD(1IU

PP

++

+∑=

W większości przypadków zachodzą dwa warunki 1) P1+∑

2iP ≈ P1

2) THDU jest zwykle mniejsze niŜ 10 %, zatem U≈ U1. Uwzględniając powyŜsze relacje we współczynniku mocy λ otrzymuje się

λ = 2

I11

1

)100/THD(1IU

P

+= cos ϕ

2I )100/THD(1

1

+

zatem

λ < cos ϕ