Wytrzymałość materiałów - wyznaczanie sił wewnętrznych - przykład
7
a a/ 2 a/ 2 h P z y x Obliczanie sił wewnętrznych i tworzenie ich wykresów. Siły wewnętrzne są reakcją konstrukcji na działające na nią siły zewnętrzne. Jako takie, są skierowane przeciwnie do sił działających z zewnątrz. Dodatkowym skutkiem działania takich sił jest wytworzenie się momentów gnących i skręcających w różnych miejscach konstrukcji. Policzenie sił wewnętrznych jest pierwszym i kluczowym etapem dalszego wyliczania naprężeń, ugięć i wytrzymałości danej konstrukcji. Zagadnienie zostanie omówione na przykładzie takiej oto ramy przestrzennej: Omówienie przykładu: rama składa się z czterech zespawanych ze sobą prętów o przekroju kołowym. Na koniec pręta 1 działa siła P. Pręty 2 i 3 są na końcach umocowane w łożyskowaniach, które umożliwiają obracanie się prętów wokół własnej osi oraz ich przesuw wzdłuż osi Z. Pręt 4 jest na końcu na sztywno umocowany do wózka , który ogranicza ruch pręta do osi X. 1 4 2 3
description
Krótka instrukcja skupiająca się na wyznaczeniu reakcji podpór i sił wewnętrznych w ramie trójwymiarowej.
Transcript of Wytrzymałość materiałów - wyznaczanie sił wewnętrznych - przykład
aa/2
a/2
h
P
z
y
x
A
CD
B
RAx
RAy
RBx
RBy RCz
RCyaa/2
a/2
hz
y
x
Obliczanie sił wewnętrznych i tworzenie ich wykresów.Siły wewnętrzne są reakcją konstrukcji na działające na nią siły zewnętrzne. Jako takie, są skierowane przeciwnie do sił działających z zewnątrz. Dodatkowym skutkiem działania takich sił jest wytworzenie się momentów gnących i skręcających w różnych miejscach konstrukcji.
Policzenie sił wewnętrznych jest pierwszym i kluczowym etapem dalszego wyliczania naprężeń, ugięć i wytrzymałości danej konstrukcji.
Zagadnienie zostanie omówione na przykładzie takiej oto ramy przestrzennej:
Omówienie przykładu: rama składa się z czterech zespawanych ze sobą prętów o przekroju kołowym. Na koniec pręta 1 działa siła P. Pręty 2 i 3 są na końcach umocowane w łożyskowaniach, które umożliwiają obracanie się prętów wokół własnej osi oraz ich przesuw wzdłuż osi Z. Pręt 4 jest na końcu na sztywno umocowany do wózka , który ogranicza ruch pręta do osi X.
Pierwszym krokiem jest policzenie sił reakcji podpór w punktach A, B, C względem punktu D.
P
1
4
2
3
A
CD
B
aa/2
a/2
h
P
z
y
x
Należy zapisać równania reakcji. Otrzymane wartości sił reakcji podpór będą siłami, jakie w tych punktach działają zewnętrznie na konstrukcję ramy (podobnie, jak siła P, chociaż są nią wywołane). Suma sił, przyłożonych do układu (tu: siła P) oraz sił reakcji we wszystkich podporach jest równa 0, gdyż jest to układ statycznie wyznaczalny. Zawsze sumujemy tylko te siły lub momenty sił, które działają w jednej osi. Momenty sił były obliczane dla punktu D.1. ΣPx: RAx+RBx+P=02. ΣPy: RAy+RBy+RCy=03. ΣPz: RCz=04. ΣMDx: RAy ∙ a2 - RBy ∙ a2 =0
5. ΣMDy: RAx ∙ a2 - RBx ∙ a2 – RCz ∙ a=06. ΣMDy: P∙h – RCy ∙ a=0Z układu tych 6 równań wynika:1.: RAx = RBx = −P23.: RCz = 06.: RCy = P ∙ha2. i 6.: RAy = RBy = −P∙h2a
Ujemne wartości oznaczają zwrot sił lub momentów przeciwny do przyjętego.
Dotychczasowy układ możemy więc zastąpić takim:
P2
2
1
3
4
x
z
y
Teraz należy policzyć wartości sił wewnętrznych w każdym pręcie. Dla każdego pręta przyjmujemy prawoskrętny układ współrzędnych (jest to konieczne, gdyż w przypadku późniejszego liczenia wytrzymałości ramy, korzystamy ze wzorów opartych o taki właśnie układ współrzędnych). Układ ten został już przedstawiony na poprzednich ilustracjach. Zawsze należy przyjmować kierunek osi X zgodny z kierunkiem danego pręta. Tu zwroty osi X zawsze są skierowane w kierunku punktu D, by obliczone wcześniej siły reakcji podpór znajdowały się na początkach prętów a więc wystąpiły w równaniach sił wewnętrznych.
Pręt 1.
x1∈<0;h>
N(x1) = 0
Ty(x1) = 0
Tz (x1) = P
Ms (x1) = 0
Mgy(x1) = Px; Mgy ∈ <0;Ph>
Mgz (x1) = 0
Pręt 2.
x2∈<0;a2
>
N(x2) = 0
Ty(x2) = - P ∙h2a
Tz(x2) = - P2
Ms(x2) = 0
Mgy(x2) = - P2
x; Mgy ∈ <0;-P a4
>
Mgz(x2) = Ph2ax; Mgz ∈ <0;
Ph4
>
y
z
x
P
x
z
y
Pręt 3.
x3∈<0;a2
>
N(x3) = 0
Ty(x3) = P ∙h2a
Tz(x3) = - P2
Ms(x3) = 0
Mgy(x3) = - P2
x; Mgy ∈ <0;-P a4
>
Mgz(x3) = - Ph2ax; Mgz ∈ <0;-
Ph4
>
Pręt 4.
x4∈<0;a>
N(x4) = 0
Ty(x4) = 0
Tz(x4) = - Pha
;
Ms(x4) = 0
Mgy(x4) = - Pha
x; Mgy ∈ <0;-Ph2
>
Mgz(x4) = 0
Obliczone siły i momenty wewnętrzne można przedstawić w sposób graficzny. Rysujemy wykresy funkcji, jako które przyjmujemy obliczone wartości sił i momentów (niektóre zmieniają się liniowo, niektóre są stałe, można się też spotkać z charakterystykami nieliniowymi). Wykresy te rysujemy „na” prętach, najlepiej w płaszczyznach i kierunkach odpowiadających płaszczyznom działania sił i momentów sił. Dla przejrzystości rysunków przyrządzamy sześć ilustracji, po jednej dla każdego typu siły oraz momentu.
x
z
y
N
Ty
Tz
Ms
Mgyy
Mgz
−Ph2a
x
Ph2ax
−Ph4
−Ph4
Ph−Ph4
−Pa4
