P O L I T E C H N I K A G D A S K A

WIESAW PUDLIK

WYMIANA I WYMIENNIKI CIEPA

Podrcznik dla studentw wydziaw mechanicznych specjalizujcych si

w technikach cieplnych i chodniczych

GDASK 2012

2

PRZEWODNICZCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTW POLITECHNIKI GDASKIEJ

Roman Kazimierczak

REDAKTOR SKRYPTW

Zdzisaw Puhaczewski

RECENZENT Czesaw Buraczewski

Wydanie I - 1980 r. Wydanie II - 1983 r. Wydanie III - 1988r. Wydanie IV - 2008 r. cyfrowe Wydanie V - 2012r. / cyfrowe

Wydano za zgod Rektora Politechniki Gdaskiej

Copyright by Politechnika Gdaska Gdask 2012

BIBLIOTEKA GOWNA POLITECHNIKI GDASKIEJ

PRACOWNIA DIGITALIZACJI ZBIORW

3

SPIS TRECI

Str.

PRZEDMOWA ................................................................... ................................5

I. PODSTAWOWE POJCIA I ZALENOCI ......................... ...................7 1. Podstawowe pojcia ....................................................................................7 2. Sposoby i prawa przenoszenia ciepa ..........................................................9 3. Rwnania rniczkowe pola temperatury...................................................14

II. USTALONE JEDNOWYMIAROWE PRZEWODZENIE CIEPA..........24 1. Przewodzenie ciepa w przegrodach......................................... .................24 2. Przewodzenie w prcie z wewntrznymi rdami ciepa..........................41 3. Przewodzenie ciepa w prtach i ebrach prostych.................................. ..43

III. PRZENIKANIE CIEPA....................................................................... .58 1. Przenikanie ciepa przez przegrody gadkie............................................. ..58 2. Przenikanie ciepa przez przegrody ebrowane............................... .. ...66 3. Intensyfikacja przenikania ciepa.......................................................... ..71 4; Krytyczna rednica izolacji......................................................................74

IV. PRZEPONOWE WYMIENNIKI CIEPA ................................ .................77 1. Rekuperatory rwnolego-prdowe ....................................................... ...77 2. Rekuperatory poprzeczno-prdowe............................................................87 3. Parowniki i skraplacze .............................................................. ................93 4. Sprawno (efektywno) termiczna wymiennika ciepa...........................94 5. Rozkad temperatury wzdu powierzchni wymiennika........................103

V. PRZEJMOWANIE CIEPA................................................................110 1. Rwnania konwekcji.................................................................................110 2. Metody rozwizania rwna konwekcji................................................... 114 3. Zastosowanie teorii podobiestwa do przejmowania ciepa.....................116 4. Konwekcja wymuszona.............................................................................129 5. Konwekcja swobodna...............................................................................155 6. Przejmowanie ciepa przy wrzeniu cieczy................................. ...............160 7. Przejmowanie ciepa przy skraplaniu par.................................. ...............177 8. Pewne zagadnienia obliczeniowe przejmowania ciepa............ ...............189

VI. PROMIENIOWANIE CIEPA ..................................................................203 1. Bierne waciwoci radiacyjne .................................................. ...............204 2. Emisja ciaa doskonale czarnego............................................... ...............207 3. Emisja cia szarych....................................................................................210 4. Kierunkowo emisji.................................................................... .............215 5 Przenoszenie ciepa midzy powierzchniami szarymi.................. .............218 6. Selektywne promieniowanie gazw............................................. .............226

VII. PRZENOSZENIE SUBSTANCJI I CIEPA ............................ .............237 1. Dyfuzja molekularna (drobinowa) ............................................... ......... ...238 2. Dyfuzja molarna (konwektywne przenoszenie substancji)........................243 3. Rwnoczesne przenoszenie ciepa i substancji midzy powietrzem i wod.........................................................................................................251 4. Dyfuzyjne wymienniki ciepa ...................................................... ............258

4

VIII. NIEUSTALONE PRZEWODZENIE CIEPA .......................... .......265 1. Rozwizanie analityczne......................................................................266 2. Obliczenia praktyczne.................................................................. .......272 3. Okresowo zmienna temperatura powierzchni.............................. .......275 4. Metoda rnic skoczonych ........................................................ .......279 5. Regeneracyjne wymienniki ciepa............................................... .......286

IX DWUWYMIAROWE USTALONE PRZEWODZENIE CIEPA......293 1. Rozwizanie analityczne ............................... ......................................293 2. Rozwizanie numeryczne........................................................ ...........293 3. Rozwizanie graficzne . ....................................................................297 4. Rozwizanie analogowo-dowiadczalne ....... ....................................301

ZACZNIKI: Tablice waciwoci fizycznych................................. .......304 DODATEK: Tok postpowania przy projektowaniu przeponowego

wymiennika ciepa....................................................... ......323

5

PRZEDMOWA

Non scholae sed vitae discimus*) Lucius A. Seneca

Treci niniejszego skryptu jest, zgodnie zreszt z obowizujcym pro-gramem nauczania, teoria przenoszenia energii cieplnej w zastosowaniu do zagadnie wystpujcych w pracy zawodowej inyniera mechanika. Przy je-go opracowaniu autor postawi sobie dwa cele: umoliwienie Studiujcemu zrozumienia wystpujcych zjawisk oraz nabycie przeze umiejtnoci ilo-ciowego przewidywania przebiegu tych zjawisk. Celom tym podporzdko-wano sposb prezentacji i podzia materiau. Materia podzielono z grubsza na dwie partie.

W pierwszej podaje si podstawowe pojcia, prawa i wypro-wadzone z nich rwnania pola temperatury, aby zaj si nastpnie bar-dziej szczegowo ustalonym przewodzeniem ciepa w przegrodach oraz ebrach i prtach prostych. To umoliwia przejcie do jednolitej prezentacji przenikania ciepa przez przegrody gadkie i ebrowane - podstawowego procesu w omawianej nastpnie teorii przeponowych wymiennikw ciepa. Tak wic przerobienie tego materiau daje Studiujcemu oprcz znajomoci teorii znaczn porcj wiedzy uytkowej, dziki ktrej moe On posi umiejtno rozwizywania wielu zagadnie technicznych - pod warunkiem, e wspczynniki przejmowania ciepa bd Mu dane. Sytuacja taka do czsto wystpuje w praktyce inynierskiej.

Druga partia powicona jest analizie konwekcyjnego i radia-cyjnego przenoszenia ciepa oraz rwnoczesnego przenoszenia substancji i ciepa i ma poza celem teoretyczno-poznawczym doprowadzi do opanowa-nia umiejtnoci wyznaczania rzeczonych wspczynnikw przejmowania ciepa. Zagadnienia i metody s w tej partii do zrnicowane, a uzyski-wane wyniki nie zawsze s wystarczajce dla potrzeb inynierskich.

Tak wic poza prezentowanymi w tym wykadzie ujciami oglniejszy-mi, sucymi przede wszystkim zrozumieniu zjawisk i stosowanych metod, konieczne bdzie w szeregu przypadkw praktycznych signicie do wzorw i wskazwek empirycznych, stosowanych i wanych jedynie w okrelonej dziedzinie czy aparaturze. Tym bardziej e zjawiska bywaj czsto bardziej zoone, ni to mona przedstawi w ograniczonym do podstaw wykadzie.

Zagadnienia zwizane z nieustalonym przewodzeniem ciepa umieszczo-no w odrbnej, ostatniej czci skryptu - w zastosowaniach praktycznych stanowi bowiem oddzieln dziedzin.

Dla uatwienia samodzielnego przyswajania sobie materiau zaopatrzono poszczeglne rozdziay w przykady liczbowe, wiczenia z wynikami licz-bowymi a take w streszczenia poszczeglnych rozdziaw, a w zaczni-kach podano tablice waciwoci fizycznych najwaniejszych substancji.

Autor

Gdask, w czerwcu 1979 r.

*) Uczymy si nie dla szkoy, lecz dla ycia

6

Przedmowa do II wydania

Przygotowujc drugie wydanie poprawiono wszelkie zauwaone niedostatki pierw-szego, a ponadto wzbogacono skrypt o syntetycznie ujty podrozdzia powicony analogii hydromechaniczno-termicznej. Poza tym wprowadzono kilka nowych rysun-kw i tablic dla lepszego zilustrowania tekstu i wymieniono na nowsze kilka wykre-sw uytkowych zapewniajc tym samym pene przestrzeganie jednostek ukadu SI.

W nadziei, e skrypt w obecnej postaci dobrze bdzie suy Studiujcym oddaje go w Ich rce

Autor Gdask, w sierpniu 1982 r.

Przedmowa do III wydania

Przygotowujc trzecie wydanie poprawiono wykryte w poprzednim bdy, doko-nano niezbdnych aktualizacji i wprowadzono pewne zmiany i uzupenienia tekstu wynikajce z zebranego dowiadczenia dydaktycznego.

Autor Gdask, w grudniu 1986 r.

Przedmowa do IV wydania cyfrowego

Niniejsze, czwarte wydanie ukazuje si w ramach Biblioteki Cyfrowej Politech-

niki Gdaskiej i jest dostpne Czytelnikom w Internecie. Jest to powtrzenie, spraw-

dzonej w praktyce dydaktycznej, treci wydania trzeciego, ale z niezbdnymi korek-

tami. Upyw czasu w niczym nie zmniejszy walorw dydaktycznych tego podrcznika,

czyli moliwoci poznania i zrozumienia zjawisk przenoszenia ciepa wraz z ich opi-

sem matematycznym, a przez to przyswojenia przez Studiujcego umiejtnoci obli-

czania i predykcji wielkoci wystpujcych w tych zjawiskach.

Aktualizacji wymagay niektre dane liczbowe. Ponadto wprowadzono w wielu

miejscach zmiany redakcyjne dla uatwienia percepcji tekstu. Natomiast zachowano,

stosowane dawniej w termodynamice, kontynentalne oznaczenie entalpii, za pomoc

litery i, zamiast uywanej dzi powszechnie, a wzitej z pimiennictwa anglosas-

kiego, litery h. Wprowadzenie zmiany tego oznaczenia na h , aczkolwiek poda-

ne, stwarzao jednak zbyt due trudnoci przy digitalizacji wzorw i rysunkw. Rzecz

dotyczy gwnie powietrza wilgotnego w czci VII i incydentalnych przypadkw w

pozostaym tekcie. Nie powinno to jednak sprawi trudnoci w przyswajaniu zapre-

zentowanego materiau. Te same przyczyny spowodoway, e pozostawiono bez zmian

wyniki zada i przykadw obliczeniowych. Otrzymano je swego czasu z oblicze na

suwaku logarytmicznym. Jednak powtrne przeliczenie ich wspczesnym kalkulatorem

daje niewielkie rozbienoci, s one - jak na technik ciepln - pomijalnie mae.

Autor

Gdask, w maju 2008 r.

Przedmowa do drugiego wydania cyfrowego

Do niniejszego wydania wprowadzono poprawion grafik w pozostaych nie-licznych rysunkach i w bardzo wielu wzorach. Dokonano rwnie szeregu niezbd-nych zmian werbalnych w tekcie.

Autor

Gdask, w kwietniu 2012 r.

7

I. PODSTAWOWE POJCIA I ZALENOCI

1. PODSTAWOWE POJCIA Wykad z Przenoszenia ciepa" obejmuje podstawowe koncepcje

teoretyczne i metody rozwizywania zagadnie przenoszenia energii cieplnej potrzebnych w pracy inyniera mechanika.

Ciepo jest to energia cieplna (tj. energia kinetyczna i potencjalna

mikroczstek) przenoszca si stosownie do II Zasady Termodynamiki samorzutnie od jednego ciaa do drugiego w kierunku (i na skutek) spadku temperatury*).

Jak z tego wynika, przenoszenie energii cieplnej jest procesem jednokierunkowym

i dlatego odchodzi si od tradycyjnej nazwy tej dyscypliny: wymiana ciepa", ktra su-geruje dziaanie dwukierunkowe (wymiana ciepa na zimno"). Na przykad w jzyku angielskim zamiast "heat exchange" uywa si obecnie terminu: "heat transfer", w rosyj-skim zamiast tepoobmen" jest tepoperenos " lub tepoperedacza", w niemieckim w miejsce Warmeaustausch" jest Wrmebertragung" itd. Natomiast okrelenie: Wymien- nik ciepa" zachowuje ywotno i jest powszechnie uywany dla okrelenia aparatu su-cego do przenoszenia ciepa midzy dwoma pynami. Dotyczy to rwnie jzykw obcych: angielski "heat exchanger", rosyjski tepoobmennik", niemiecki Wrmeaustau-scher" (ale rwnie cilejsze: Wrmebertrager).

Pole temperatury jest obszarem, w ktrym kademu punktowi przy-

pisano okrelon warto temperatury. Pole temperatury okrelone jest funk- cj wsprzdnych i czasu, czyli

t = f (x, y, z, )

w prostoktnym ukadzie wsprzdnych, lub

t = f (r, , z, ) (1.1a)

w cylindrycznym ukadzie wsprzdnych (ukad kulisty stosowany jest bardzo rzadko).

Wyrnia si p o l e s t a c j o n a r n e lub u s t a l o n e , kiedy temperatu-

ra nie zaley od czasu i jest okrelona przez funkcj samych tylko wsp-rzdnych przestrzennych:

t = f (x, y, z) lub t = f (r, , z)

oraz p o l e n i e s t a c j o n a r n e lub n i e u s t a l o n e , kiedy temperatura zaley te od czasu i jest okrelona funkcjami (1.1) lub (1.1a).

____________ *) cile biorc przenoszenie energii cieplnej moe by spowodowane jeszcze

innymi przyczynami: rnic potencjaw elektrycznych lub rnic ste skadnikw. Zjawiska te maj jednak mae znaczenie techniczne i nie bd roz-patrywane w niniejszym podrczniku.

(1.1)

8

Ponadto pola mog by t r j w y m i a r o w e, kiedy temperatura zale-

y od 3 wsprzdnych, d w u w y m i a r o w e, kiedy zaley od 2 wsp-rzdnych lub jednowymiarowe, gdy zaley tylko od 1 wsprzdnej.

Pola dwuwymiarowe mog by p a s k i e, gdy s okrelone funkcj:

t = f (x, y, ) lub o s i o w o - s y m e t r y c z n e, kiedy opisuje je funkcja:

t = f (r, z, ). Powierzchnie izotermiczne powstaj przez poczenie punktw

o jednakowej wartoci temperatury, lady przecicia powierzchni izoter-micznych z paszczyzn (np. rysunku) stanowi l inie izotermiczne, czyli izotermy.

Celem okrelenia zmiennoci temperatury w przestrzeni naley wyzna-czy odlego midzy dwiema powierzchniami izotermicznymi. Jest ni odcinek n na normalnej w stosunku do powierzchni (rys. 1.1). Skoro odlegoci n odpowiada przyrost temperatury t, to miar zmiennoci temperatury jest:

(1.2)

Gradient temperatury (grad t lub t ) jest wektorem o module

okrelonym wzorem (1.2), lecym na normalnej do powierzchni izoter-micznej w danym punkcie i o zwrocie dodatnim, gdy zwrcony jest w kierunku wzrastajcej temperatury. Okrela on lokalny wzrost tempera-tury w przestrzeni.

Operator Hamiltona (nabla) czyli j jest wyraony w prostoktnym ukadzie wsprzdnych wzorem:

Operator ten zastosowany do wielkoci skalarnej

(jak jest temperatura) daje wektor gradientu tej tem-peratury, natomiast zastosowanie go do wektora (np.

prdkoci) daje skalar, jakim jest dywergencja (tej prdkoci).

Strumie ciepa [W] jest iloci energii cieplnej przenoszonej po-

przez pewn powierzchni kontroln A [m2] prostopad do tego strumie-nia.

Gsto strumienia cieplnego [W/m2] albo jednostkowy stru-

mie cieplny jest stosunkiem strumienia cieplnego do pola powierzchni kontrolnej:

[ W/m2 ] (1.3)

a w ukadzie wsprzdnych cylindrycznych:

Rys.1.1 I lus t rac ja grad ientu temperatury

Q

AQ

=q

9

2. SPOSOBY I PRAWA PRZENOSZENIA CIEPA

2.1. Przewodzenie ciepa Przewodzeniem ciepa nazywamy proces przenoszenia energii cieplnej

przez czsteczki nie podlegajce przemieszczeniom makroskopowym. Wystpuje ono jako jedyny mechanizm tylko w ciaach staych, a w

pynach (cieczach i gazach) tylko w okrelonych warunkach . Podstawowa zaleno dla tego zjawiska zostaa sformuowana przez

F o u r i e r a * (1822 r.):

(1.4)

Jednostkowy strumie cieplny jest proporcjonalny do gradientu tem-

peratury i jako wektor, zwrcony w kierunku s p a d k u temperatu- ry, jest skierowany przeciwnie do wektora gradientu (std znak minus we wzorze).

Wspczynnik proporcjonal-noci [W/mK] nazywa si wspczynnikiem przewodzenia ciepa i zaley od struktury wewntrznej substancji, jej gs-toci i temperatury.

Przykadowe wartoci tego wspczynnika podaje tab.1, a jego zmienno z temperatur pokazuje rys.1.2 obok.

.Dla wikszoci substancji sta-ych zaleno ta jest liniowa:

= 0(1 + bt) (1.5)

a wielko b jest staa.

R y s . 1 . 2 Z m i e n n o p r z e w o d n o c i c i e p l n e j z t e m p e r a t u r

__________________ * ) Jean Baptiste, Joseph Fourier (1768 1830) - matematyk i fizyk francuski.

10

T a b l i c a 1

Orientacyjne wartoci wsp czynnika przewodzenia ciep a w temperaturach 0.. .20C

1.2 Konwekcja i przejmowanie ciepa

Konwekcja polega na makroskopowym przemieszczaniu si zgrupo-wa czstek (porcji pynu) a wraz z nimi energii cieplnej tych czstek. Wystpuje ona w pynach, czyli w cieczach i gazach.

Przejmowanie (te: wnikanie) ciepa to przenoszenie energii ciepl-nej od cianki o temperaturze tw do wntrza pynu o temperaturze tf lub na odwrt.

Konwekcja stanowi zasadnicz tre przejmowania ciepa, ale przy ciance, gdzie ruch konwekcyjny zanika, ma miejsce przede wszystkim przewodzenie ciepa przez warstw pynu. Przewodzenie midzy czst-kami pynu towarzyszy zreszt konwekcji panujcej w caej objtoci pynu, jednak poza obszarem bezporednio przyciennym konwekcyjne przenoszenie energii cieplnej przewysza wielokrotnie przenoszenie prze-wodnociowe i jest mechanizmem dominujcym. Przejmowanie ciepa jest wic pojciem szerszym od konwekcji chocia obydwa terminy by-waj uywane zamiennie.

Rozrnia si k o n w e k c j s w o b o d n (n a t u r a 1 n ), w ktrej wewntrzny ruch pynu wywoany jest si wyporu (zdeterminowan przez rnic temperatur: cianki i wntrza pynu) oraz k o n w e k c j w y m u -s z o n , w ktrej wewntrzne ruchy pynu wywoane s przez oglny przepyw pynu.

Rodzaj substancji [W / mK ] Metale czyste

stal wglowa, eliwo Kamienie naturalne: granit, bazalt, wapie,

marmur, piaskowiec Materiay budowlane: betony, cegy, szka,

porcelany, glina, ziemia Tworzywa sztuczne, drewno, skra, guma,

ywice naturalne Materiay termoizolacyjne

35 ... 419 40 ... 60

1,5 ... 3,5

0,4 ... 1,5

0,1 ... 0,4 0,03 ... 0,1

Ciecze: woda i wodne roztwory rnych soli, amoniak, olej, mazut, benzyna, nafta, smoa, alkohole, dwutlenek wgla, dwutlenek siarki, chlorek metylu

Freony cieke

0,1 ... 0,07 0,6 ... 0,10

Gazy i pary: powietrze, azot, tlen, dwutlenek wgla, para wodna, para amoniaku, pary alkoholi

Pary freonw i dwutlenku siarki Hel i wodr

0,015 ... 0,025 0,005 ... 0,015

0,15 i 0,18 0,22

11

Obydwa rodzaje przejmowania ciepa podlegaj prawu N e w t o n a * (1701 r.):

(1.6)

gdzie: [W/m2K] - to wspczynnik przejmowania ciepa**.

_________________ *) Isaac Newton (1643 1727) - matematyk, fizyk i astronom angielski.

**) Obecnie spotyka si rwnie oznaczanie tego wspczynnika przez: h [W/m2K], jak pierwotnie tylko w li-

teraturze anglosaskiej. Dzieje si tak np. w normach PN-EN dotyczcych oblicze cieplnych budynkw.

Rodzaj konwekcji [W/m2K]

Konwekcja swobodna

gazy i pary (przegrzane)

ciecze: o duej lepkoci - np. oleje o mae] lepkoci - np. woda

3 ... 20

50 ... 100 250 ... 600

Konwekcja wymuszona

gazy pary (przegrzane) ciecze

o duej lepkoci - np. oleje o mae] lepkoci - np. woda cieke metale

10 ... 150

50 ... 600 500 ... 10 000

3 000 ... 100 000

Wrzenie cieczy organicznych wody

500 ... 2 500 1000 ... 50 000

Skraplanie par organicznych pary wodnej

500 ... 2 500 1000 ... 15 000

Rys. 1 .2 Prdy konwekcyjne: a) konwekc ja swobodna, b) konwekc ja wymuszona

T a b l i c a 2

Orientacyjne wartoci

wspczynnika przejmowania c iepa

12

. Dla warstewki pynu bezporednio przy cianie obowizuje prawo

Fouriera (1.4) - w warstwie tej energia cieplna przenoszona jest (w kierunku do cianki prostopadym) jedynie przez przewodzenie.

czc wzr (1.4) ze wzorem wyraajcym prawo Newtona (1.6) otrzymuje si wyraenie:

(1.7)

Jak wida, warto wspczynnika przejmowania ciepa zaley od

przewodnoci cieplnej pynu () oraz od rozkadu temperatury w pynie, zwaszcza przy ciance. Na rozkad ten wpywaj bardzo silnie warunki przepywu pynu - wyjania to rnice w wartociach wspczynnika przej-mowania ciepa dla tego samego pynu w tab. 2.

2.3. Promieniowanie ciepa Promieniowanie ciepa polega na przenoszeniu energii za porednictwem

fal elektromagnetycznych wszystkich dugoci, przede wszystkim jednak fal o dugociach: 0,8...400 m czyli tzw. fal podczerwonych. Proce ten zachodzi midzy powierzchniami cia. staych i cieczy poprzez ciaa ga-zowe i prni.

Ilo energii cieplnej wypromieniowanej przez jednostk powierzchni ciaa

staego lub cieczy o temperaturze T [K] i po-wierzchni A [m2] okrelona jest wzorem otrzy-manym dowiadczalnie przez S t e f a n a * (1879), a potem wyprowadzonym teoretycznie przez B o l t z m a n n a * (1884):

(1.8)

gdzie: C = Co = 5,677 [ W/m2K4 ]

jest sta promieniowania wynoszc dla tzw. ciaa doskonale czarnego: C = CO = 5,667 W/m2K4

Wielko:

13

Wskutek rnicy midzy temperaturami T1 > T2 emisja ciaa (1) przewaa i ilo energii przeniesionej od (1) do (2) oblicza si wzorem:

(1.9) w ktrym C1-2 jest sta promieniowania u k a d u cia (1) i (2) zalen gwnie od ich wzajemnego pooenia w przestrzeni.

T a b l i c a 3 Orientacyjne wartoci stopnia czarnoci

2.4 Rwnoczesne przejmowanie i promieniowanie ciepa W wikszoci przypadkw technicznych powierzchnia ciaa staego

(lub cieczy) oddajc przykadowo energi ciepln do chodniejszego otoczenia czyni to na drodze:

a) przejmowania przez otaczajcy gaz, b) promieniowania poprzez otaczajcy gaz (przewanie powietrze)

do cia otaczajcych t powierzchni. Ma to szczeglne znaczenie przy okrelaniu strat cieplnych na rzecz

otoczenia oraz przy nagrzewaniu cia przez otaczajcy orodek. Wwczas dogodnie jest posugiwa si tzw. radiacyjnym wspczynni-

kiem przejmowania ciepa:

(1.10) ktry dodany do wspczynnika konwekcyjnego pozwala obliczy cakowite ciepo oddane przez powierzchni rwnaniem typu (1.6):

Substancja t

c

Polerowane metale 0 ... 200 0,02...0,07 Stal i eliwo obrobione wirowe Stal i eliwo pokryte rdz

0 ... 200 0 ... 200

0,24...0,45 ok. 0,80

Cega czerwona Papa dachowa Szko gadkie

0 ... 200 0 ... 200 0 ... 200

0,93...0,95 0,91 0,95

Farby i lakiery rnych barw Farba aluminiowa Blacha stalowa ocynkowana byszczca

i utleniona (szara)

0 ... 100 0 ... 100 0 ... 100

0,85...0,95 0,24...0,60 0,21...0,28

Ld i woda 0 ... 40 0,92 i 0,96 Szron i sadza 0 ... 100 0,98...0,99

14

Temperatura t2 musi tu oczywicie by jednakowa dla otaczajcych po-wierzchni cia i powietrza. Wielko c jest tzw. cakowitym wsp-czynnikiem przejmowania ciepa. 3. RWNANIA RNICZKOWE POLA TEMPERATURY

3.1. Rwnanie Fouriera - Kirchhoffa Do analizy zagadnie przenoszenia, ciepa potrzebne jest oglne rwnanie

rniczkowe pola temperatury dla ciaa jednorodnego. Scakowanie tego rw-nania dla okrelonych warunkw pozwoli wyznaczy funkcj wyraajc roz-kad przestrzenny temperatury w dowolnej chwili. W tym celu bierze si pod uwag ciao jednorodne o dowolnej konsystencji

(staej, ciekej lub lotnej) o objtoci V [m3] i zamykajcej ciao powierzchni zewntrznej A [m2]. Zachodzcy w tym ciele proces energetyczny rozpatruje si w elementarnie krtkim czasie d.

Zgodnie z pierwsz zasad termodynamiki ciepo dQ doprowadzone do tego ciaa rwne jest sumie przyrostu entalpii ciaa dI i elementarnej pra-cy technicznej dLt wykonanej przez substancj tego ciaa:

: dQ = dI + dLt (1.11)

Rys.1.5 Schemat do wyprowadzenia rwnania rniczkowego

po la temperatury Rozpatrzmy szczegowo poszczeglne czony tego rwnania bilansowego.

E l e m e n t a r n e c i e p o doprowadzone (a wic dodatnie) dQ jest rnic midzy ciepem wytworzonym w ciele kosztem innego rodzaju energii w tzw. rdach ciepa dQr oraz ciepem wyprowadzonym przez granic ciaa do otaczajcego orodka dQw:

(1.12)

wr dQ-dQ=dQ

15

r d a c i e p a wytwarzaj energi ciepln kosztem, na przykad: - energii mechanicznej - wskutek tarcia wewntrznego substancji, - energii chemicznej spalanego paliwa (lub innego procesu chemicznego), - energii elektrycznej traconej na rezystorach (tzw. ciepo Joule'a), - energii jdrowej procesw zachodzcych w reaktorach jdrowych.

Ilo wydzielanego ciepa w jednostce czasu okrelona jest przez nat- enie rde ciepa: [W/m3] zalene, oglnie biorc, od miejsca i cza- su. W elementarnej objtoci ciaa dV [m3] wydziela si w czasie d [s] ilo ciepa wynoszca:

(1.13) a strumie ciepa dopywajcego z rde wewntrznych wynosi (dla pewnej chwili ):

(1.14) Strumie dopywajcego z rde wewntrznych ciepa do caego ciaa o objtoci V [m3] otrzymuje si po scakowaniu (1.14):

(1.15) Tak wic w elementarnie krtkim czasie d d o p y w a z r d e w e w n t r z n y c h do caego ciaa ciepo:

(1.16) C i e p o w y p r o w a d z a n e n a z e w n t r z charakteryzuje lo-kalna warto gstoci strumienia cieplnego:

(1.17) bdca, w oglnym przypadku, zmienn zalen od miejsca i czasu. Zatem elementarny, bo dla powierzchni dA [m2], wyprowadzany stru- mie cieplny wynosi (w pewnej chwili ):

(1.18) Gsto strumienia cieplnego jest tu oczywicie okrelona przez gradient temperatury na granicy ciaa stosownie do prawa Fouriera (1.4):

(1.19) Zaleno (1.18) mona te przedstawi w zapisie wektorowym jako ilo- czyn skalarny:

(1.20)

vq

16

w ktrym wektor elementu powierzchniowego: wyraony jest przy pomocy wersora normalnego wzgldem tego ele- mentu powierzchniowego. Chwilowa warto strumienia cieplnego wyprowadzanego na caej po-wierzchni A [m2 ] wynosi:

(1.21) W elementarnie krtkim czasie d przez ca powierzchni A [m2] wy- prowadzane jest ciepo

(1.22) Teraz mona wrci do wzoru (1.12) i podstawi do niego (1.16) i (1.22). Otrzymuje si:

(1.23) Cak powierzchniow w tym wyraeniu mona przy pomocy twierdzenia Gaussa zamieni na objtociow:

(1.24) Otrzymuje si wtedy zamiast (1.23) wyraenie:

(1.25) albo

(1.26) E l e m e n t a r n y p r z y r o s t e n t a l p i i ciaa dI wynika z oglnego wzoru na przyrost jednostkowej entalpii:

(1.27) Element objtociowy dV zawiera substancj o masie:

(1.28) Zatem przyrost entalpii tego elementu wynosi:

(1.29)

17

a przyrost entalpii caego ciaa o objtoci V:

(1.30) E l e m e n t a r n a p r a c a t e c h n i c z n a okrelona jest przez elemen-tarn zmian cinienia. Cinienie jest oglnie biorc zmienne w caej obj-toci ciaa V, ale biorc pod uwag jego zrwnowaenie w kadym punkcie ciaa, mona je traktowa jak parametr skalarny (tak jak temperatur). Dla 1 kg substancji oblicza si elementarn prac techniczn zwizan z ele-mentarn zmian cinienia dP jako:

(1.31) Element objtociowy dV zawiera mas okrelon wzorem (1.28). Zatem praca techniczna wykonana przez substancj zawart w tym elemen-cie objtociowym:

(1.32) bowiem: Praca techniczna wykonana w czasie d przez substancj zawart w caym ciele o objtoci V wynosi wic:

(1.33) Majc szczegowe wyraenia na dQ, dI i dLt, tj. (1.26), (1.30) i (1.33) mona je podstawi do rwnania bilansowego I zasady termodynamiki (1.11) i otrzyma nastpujce rwnanie

(1.34) Rwnanie to dzieli si obustronnie przez d i po poczeniu caek po prawej stronie otrzymuje si:

(1.35) Jeeli obie caki s sobie rwne, to i funkcje podcakowe s rwne:

(1.36) albo po drobnych przeksztaceniach:

(1.37)

18

W rwnaniu tym wystpuj pochodne dwu funkcji miejsca i czasu:

t = t (x, y, z, ) i P = P (x, y, z, )

Rniczka zupena, np. pierwszej z tych funkcji, wyraa si wzorem:

(1.38)

Przez podzielenie obu stron przez d otrzymuje si pochodn temperatury wzgldem czasu:

(1.39) a e stosunek drogi (np. dx) do czasu jej przebycia (d) jest wielkoci ska-dowej prdkoci na odpowiednim kierunku (wx) wic:

(1.40) Pochodna tego rodzaju nazywa si p o c h o d n s u b s t a n c j a l n i dla wyrnienia oznacza si j symbolem: .

Wyraa ona zmiany danej wielkoci (skalarnej lub wektorowej - tu temperatury) w poruszajcym si pynie, obserwowane w elemencie ob-jtociowym dV. Zwizana jest wic z substancj - std nazwa..

We wzorze (1 .40) pierwsze 3 czony wyraaj zmian temperatury wskutek zmiany pooenia czstki pynu poruszajcej si z prdkoci w

z punktu o wsprzdnych: (x, y, z) do punktu: (x + dx, y + dy, z + dz) w czasie:

i jako cao nazywane s p o c h o d n k o n w e k c y j n .

Ostatni czon w (1.40) wyraa zmian temperatury wskutek upywu

czasu i stanowi tzw. p o c h o d n l o k a l n :

Pochodn konwekcyjn mona zapisa skrtowo w postaci iloczynu skalarnego: wektora prdkoci i operatora nabla (Hamiltona) , ktry jest jednoczenie symbolicznym wektorem (gdy operuje na skalarze) i sym-bolem rniczkowania kierunkowego:

(1.41)

Zatem:

(1.42)

Analogiczne zapisy uzyskuje si dla pochodnej c i n i e n i a wzgldem czasu:

(1.43)

19

Wprowadzajc do rwnania (1.37) wyraenia: (1.19), (1.42) i (1.43) otrzy-muje si tzw. rwnanie Fouriera - Kirchhoffa* w postaci najoglniejszej:

(1.44)

Rwnanie to ma zastosowanie gwnie do procesw izobarycznych tj. dla P = const lub bardzo do tego zblionych i wwczas rwnanie Fouriera - Kirchhoffa ma posta ogln:

(1.45) albo:

(1.46)

Bardzo czsto mona zaoy, e przewodno cieplna jest staa i rwna wartoci redniej w granicach temperatur wystpujcych w zja-wisku ( = r). Otrzymuje si wwczas podstawow posta rwnania F o u r i e r a - K i r c h h o f f a dla = const:

(1.47)

Wystpuje w niej wspczynnik wyrwnywania temperatury, nazywa- ny te dyfuzyjnoci ciepln:

(1.48)

Rwnanie (1.47) jest niezalene od rodzaju ukadu wsprzdnych. W przypadku ukadu kartezjaskiego, tj. dla wsprzdnych prostoktnych, przyjmuje posta nastpujc:

(1.49)

Jest to posta najczciej stosowana, ale w miar potrzeby mona rozpisa rwnania (1.47) dla innych ukadw wsprzdnych przy pomocy odpowied-nich wyrae na gradient i laplasjan 2 .

3.2. Rwnanie Fouriera Jeeli ciao, dla ktrego wyprowadzono rwnanie Fouriera - Kirchhoffa,

jest ciaem staym, to nie ma w nim wewntrznych ruchw substancji, czy- li: wx = wy = wz = w

= 0, a pochodna konwekcyjna w rwnaniu (1.46) i

nastpnych ulega wyzerowaniu. Otrzymuje si tzw. r w n a n i e r - ___ *) Gustav, Robert Kirchhoff (1824 1887) - fizyk niemiecki.

20

n i c z k o w e p r z e w o d z e n i a c i e p a F o u r i e r a w postaci oglnej:

(1.50) lub dla staej przewodnoci cieplnej tj. dla = const:

(1.51) Obydwa rwnania (1.50) i (1.51) s niezalene od ukadu wsprzdnych. Dla p r o s t o k t n e g o u k a d u w s p r z d n y c h otrzymuje si najbardziej rozpowszechnion posta rwnania rniczkowego prze-wodnictwa:

(1.52)

W rwnaniu tym jest znan (i dan) funkcj przestrzenno - czasowego rozkadu rde ciepa.

W zagadnieniach technicznych czsto wystpuje jeszcze ukad wsp-

rzdnych cylindrycznych i rzadziej ukad wsprzdnych sferycznych (ku-listych). Znajc posta laplasjanu dla odpowiedniego ukadu wsprzd-nych (z podrcznika matematyki) mona z rwnania (1.51) bez trudu uzys-ka potrzebny zapis rozwinity rwnania Fouriera dla tego ukadu.

Rys.1.6 Wsp rzdne cy l indryczne (walcowe)

Ukad wsprzdnych cylindrycznych okrela pooenie punktu przy pomocy kta azymutu , dugoci promienia wodzcego r i wy-sokoci z (rys. 1.6).

21

Rwnanie rniczkowe Fouriera w ukadzie cylindrycznym ma jedn z nastpujcych dwu postaci:

(1.53)

(1.54)

Rys.1.7 Wsp rzdne s feryczne (ku l is te)

Ukad wsprzdnych sferycznych okrela pooenie punktu przy pomocy ktw: azymutu i biegunowego oraz dugoci promienia wodzcego r (czasami zamiast kta biegunowego stosowane jest jego dopenienie do kta prostego zwane szerokoci geograficzn). Rwnanie rniczkowe Fouriera w tym ukadzie ma posta:

(1.55) albo:

(1.56)

Do rozwizania rwnania rniczkowego przewodnictwa (1.52) i zna-lezienia funkcji t(x, y, z, ) potrzebna jest znajomo warunkw poczt-kowych i brzegowych.

Warunkiem pocztkowym jest rozkad temperatury w chwili pocztko-wej, tj. dla = 0, czyli: t (x, y, z ,0) = t (x, y, z). Bardzo czsto jest jednak po prostu:

t (x, y, z) = to = const.

Warunki brzegowe natomiast mog by: I. rodzaju (Dirichleta) - w postaci znanego rozkadu temperatury na gra-nicy ciaa w dowolnej chwili : tw().

22

(1.57)

przy czym czsto jest:

III. rodzaju (Fouriera) - w postaci znanej temperatury orodka ota-czajcego rozpatrywane ciao: tf i znanego wspczynnika przejmo-wania ciepa na granicy ciaa: c(x, y, z, ) - przy czym wspczyn-nik ten, jako c a k o w i t y , obejmuje poza przejmowaniem rwnie promieniowanie (jeeli ono wystpuje). Zachodzi tu rwno:

czyli (1.58)

Stosunek: c/ nazywany jest w matematyce wspczynnikiem wy-miany ciepa.

Rwnanie rniczkowe przewodnictwa (1.51) ulega w poszczeglnych przypadkach redukcji przyjmujc postacie znane w teorii rwna rnicz-kowych czstkowych:

Dla vq = 0 jest to paraboliczne rwnanie rniczkowe II. rzdu Fouriera:

(1.59)

jeeli jeszcze , to jest to eliptyczne rwnanie rniczkowe II rzdu Laplace'a:

(1.60)

Dla ale przy vq 0, jest to eliptyczne rwnanie rniczkowe

II rzdu Poissona:

(1.61)

przy czym musi by z n a n funkcj albo liczb.

Ponadto zamiast penego trjwymiarowego opisu mona w wielu istot-

nych dla praktyki przypadkach ograniczy si do 2 a czsto nawet do 1 tylko wymiaru. W tym ostatnim przypadku rniczki czstkowe zmieniaj si w zwyczajne i rozwizaniu podlega rwnanie rniczkowe zwyczajne.

II. rodzaju (Neumanna) - w postaci znanego gradientu temperatury na granicy ciaa w dowolnej chwili : czyli znanej gstoci stru-mienia cieplnego na granicy ciaa:

vq

23

Streszczenie czci pierwszej

Sprecyzowalimy p o d s t a w o w e p o j c i a nauki o przenoszeniu ciepa, takie jak

ciepo, pole temperatury, powierzchnia izotermiczna, gradient temperatury, strumie ciepa i gsto strumienia cieplnego.

Wskazalimy na istnienie kilku odmian pl temperatury, dokonujc w ten sposb klasy-fikacji zagadnie przenoszenia ciepa na ustalone i nieustalone oraz jedno i wielowymiaro-we.

Dokonalimy przegldu s p o s o b w t r a n s p o r t u e n e r g i i c i e p l n e j ze zwr-ceniem uwagi na to, w jakich ciaach wystpuj oraz jakim prawom podlegaj.

Mamy nastpujce prawa: F o u r i e r a dla przewodzenia ciepa N e w t o n a dla przejmowania ciepa S t e f a n a - B o l t z m a n n a dla promieniowania ciepa.

Wreszcie wprowadzilimy tzw. radiacyjny wspczynnik przejmowania ciepa, ktry

pozwala wczy promieniowanie ciepa towarzyszce przejmowaniu do prawa Newtona. Wyprowadzilimy rwnania rniczkowe pola temperatury: F o u r i e r a K i r c h -

h o f f a dla pynw (cieczy i gazw), w ktrych poza przewodzeniem ciepa wystpuj wewntrzne ruchy substancji oraz F o u r i e r a dla cia staych, w ktrych ma miejsce tylko przewodzenie ciepa. Poznalimy now waciwo materiaow w postaci wsp-czynnika wyrwnywania temperatury (dyfuzyjnoci cieplnej): a [m2/ s].

24

II. USTALONE, JEDNOWYMIAROWE PRZEWODZENIE CIEPA

Oglnym rwnaniem rniczkowym ustalonego pola temperatury dla cia

staych jest rwnanie (1.50), w ktrym pominito pochodn wzgldem czasu:

(2.1) Jego rozwizaniem dla okrelonych warunkw brzegowych jest rozkad tem-

peratury w ciele. Znajc ten rozkad mona wyznaczy gradient temperatury t na powierzchni kontrolnej A, a tym samym gsto strumienia cieplnego q

na tej powierzchni z prawa Fouriera (1.4) i w kocu cay strumie cieplny przenoszony przez powierzchni A.

Pomimo e ustalone pole temperatury jest, oglnie biorc, zmienne we wszys- tkich trzech kierunkach ukadu wsprzdnych, dla szeregu przypadkw o duym znaczeniu technicznym wystarczy rozpatrywa prosty model jednowymiarowy. Dotyczy to cian paskich, cylindrycznych i kulistych bez rde ciepa (czyli przegrd), takiego samego ksztatu cia z wewntrznymi rdami ciepa oraz prostych prtw i eber.

1. PRZEWODZENIE CIEPA W PRZEGRODACH

Przegrody charakteryzuj si tym, e nie ma w nich rde ciepa, a wic: Tak wic rwnanie rniczkowe pola temperatury (2.1) ma dla nich posta ogln:

(2.2)

1.1. Przegroda paska Zakada si, e przewodno cieplna jest staa (niezalena od temperatury)

i rwna wartoci redniej w granicach skrajnych temperatur na przegrodzie:

Tak wic rwnanie (2.2) przyjmuje posta:

(2.3) a ze wzgldu na jednowymiarowo zjawiska redukuje si do jeszcze prostszej postaci

(2.4)

Q

25

Po pierwszym cakowaniu jest: (2.5)

a po nastpnym otrzymuje si cak ogln:

t = C1 x +C2 (2.6) Stae cakowania wyznacza si z warunkw brzegowych, ktre sformuo- wane s dla obu izotermicznych powierzchni ograniczajcych (rys. 2.1) i s nastpujce:

dla x = 0 jest t = tw1 (2.7) dla x = jest t = tw2 (2.8)

przy czym zakada si: tw1 > tw2 . Z pierwszego warunku podstawionego do (2.6) otrzymuje si:

C2 = tw1 a z drugiego:

tw2 = C1 + tw1 czyli:

(2.10) Tak wic caka szczeglna rwnania (2.6) wyraajca rozk ad temperatury w przegrodzie ma posta:

(2.11) albo:

(2.12) albo:

(2.13) S to oczywicie rwnania prostej. Przeksztacenie wzoru (2.13) prowadzi do tzw. u j c i a b e z w y m i a r o w e g o :

(2.14) w ktrym b e z w y m i a r o w a t e m p e r a t u r a zmienia si od = 1 na lewej ciance, gdzie t = tw1, do wartoci = 0 dla t = tw2 na ciance prawej. Rwnie wsprzdna jest tu bezwymiarowa i zmienia si od 0 (dla x = 0) do 1 (dla x = ). W ujciu bezwymiarowym wykres przebiegu temperatury jest i d e n t y c z n y dla wszystkich przegrd paskich: jest nim prosta nachylona pod ktem 45 wzgldem osi

(2.9)

Rys.2.1 Przewodzenie c iep a w przegrodz ie p ask ie j

1C=dxdt

t-t

-=C w21w1

x

)t-t(-=t w2w1

26

Gradient temperatury okrelony jest wzorami (2.5) i (2.10). Wynosi on:

(2.15) Strumie cieplny na powierzchni przegrody Aw [m2] otrzymuje si przy pomocy tego gradientu z prawa Fouriera: i ostatecznie:

(2.16) Wzr ten mona przedstawi w nieco innym ujciu:

(2.17)

Ujcie to jest pod wzgldem formalnym identyczne z prawem Ohma dla prdu staego: spadek temperatury ( tw1 - tw2 ) odpowiada spadkowi potencjau elektrycznego, strumie cieplny Q czyli natenie przepywu energii cieplnej odpowiada nateniu prdu, a wielko Rw w mianow-niku odpowiada oporowi elektrycznemu - jest wic oporem cieplnym. Opr cieplny przegrody paskiej wynosi wic:

(2.18) 1.2. Przegroda paska o zmiennej przewodnoci cieplnej Zakada si liniow zaleno przewodnoci cieplnej z temperatur wedug wzoru (1.5): a temperatury na powierzchniach ograniczajcych tak jak poprzednio: tw1 > tw2. Podstawienie przewodnoci do rwnania (2.2) daje dla przy- padku jednokierunkowej tylko zmiennoci temperatury rwnanie:

(2.19) Po pierwszym cakowaniu jest:

(2.20) Rozdzielenie zmiennych: umoliwia wyznaczenie caki oglnej:

(2.21)

27

Z pierwszego warunku brzegowego sformuowanego dla lewej (izotermicz-nej) powierzchni ograniczajcej:

dla: x = 0 jest: t = tw1 (2.21) wynika po podstawieniu do (2.21):

(2.23) albo:

(2.24) Drugi warunek brzegowy:

dla: x = jest: t = tw2 (2.25) podstawiony do (2.21) wraz z (2.23) daje rwnanie:

(2.26) ktre umoliwia wyznaczenie staej w postaci:

(2.27) albo po prostych przeksztaceniach:

(2.28) Jednak wobec:

(2.29)

mona j wyrazi jako:

(2.30) Po podstawieniu staych wedug (2.30) i (2.24) do wyraenia na cak ogln (2.21) otrzymuje si rwnanie rozk adu temperatury:

(2.31) Jest to rwnanie paraboli, ktre najlepiej przedstawi w postaci:

(2.32) w ktrej:

(2.33)

(2.34)

28

(2.35)

W przypadku, gdy przewodno cieplna materiau przegrody ronie z temperatur, jest b > 0 i

wspczynnik A jest dodatni, a rwnanie (2.32) przedstawia parabol zwrcon wierzchokiem do gry, o odcitej wierzchoka (to) ujemnej, a rzdnej (xo) dodatniej - przebieg tej paraboli pokazuje rys.2.2a. Sens fizyczny ma tylko odcinek na prawej gazi w zakresie dodatnich x = 0 ... .

Rys.2.2 Przebieg krzywej x( t ) d la mater ia u: (a) o rosncej z temperatur przewodnoc i c iep lne j (b > 0) , (b) o male jcej z temperatur przewodnoc i c iep lne j (b tw2 co przeczy zaoeniu Rozk ad temperatury w przegrodzie paskiej jest wic odcinkiem paraboli zwrconym wypukoci do wyszych temperatur, gdy b > 0, albo do niszych temperatur, gdy b < 0 tak jak pokazano na powyszym rysunku 2.3.

Strumie cieplny okrela si z prawa Fouriera jako:

(2.36)

Podstawiajc tu (2.20), a nastpnie (2.30) otrzymuje si:

(2.37)

a wic wzr identyczny ze wzorem (2.16) dla przypadku staej przewodnoci cieplnej.

29

Przy wykorzystaniu gstoci strumie- nia cieplnego q , obliczonej ze wzoru (2.37), mona uproci zapis wspczynnikw A, B i C rwnania (2.32). Otrzymuje si wtedy: a samo rwnanie rozkadu temperatury ma wtedy posta:

(2.38) albo:

(2.39) Rozwizanie tego rwnania kwadratowego daje temperatur w postaci rozwikanej:

(2.39a)

1.3. Wielowarstwowa przegroda paska

Pod uwag bierze si ciank pask maj- c powierzchni Aw [m2] skadajc si z kilku warstw o grubociach: 1, 2, 3, ... i wspczyn-nikach przewodzenia ciepa: 1, 2, 3 ... tak jak na rysunku obok

W kadej warstwie przewodzenie ciepa od-bywa si w sposb podany w rozdziale 1.1, a strumie cieplny Q [W] jest taki sam w kadej z tych warstw.

Gdyby tak nie byo, rozkad temperatury mu-siaby ulega zmianie wskutek gromadzenia si lub ubytku energii cieplnej w materiale cianki. Byby to wic przypadek niestacjonarny, co przeczy zaoeniu. Rys.2.4 Przewodzenie c iep a w przegrodz ie

p ask ie j wie lowarstwowej

Rys.2 .3 Rozk ady temperatury w c iance p ask ie j d la rosn -ce j (b > 0 i male jcej (b < 0) z temperatur przewodnoc i c iep lne j

30

Dla poszczeglnych warstw mamy:

lub (2.40)

lub (2.41)

lub (2.42)) Po zsumowaniu stronami otrzymuje si:

(2.43) Zatem strumie cieplny okrelony jest wzorem:

(2.44) Opr cieplny cianki wielowarstwowej oblicza si wic jako sum:

(2.45) a wic analogicznie jak przy szeregowym czeniu oporw elektrycznych. 1.4. Przegroda walcowa

Jest to bardzo wany w technice przypadek rury o przekroju koowym. Temperatury na powierzchni wewntrznej i zewntrznej przyjmuje si tak jak uprzednio stae - temperatura zmienia si tylko w kierunku pro-mieniowym: malejc od tw1 na ciance wewntrznej do tw2 na zew-ntrznej.

Rwnanie rniczkowe pola temperatury (2.3) najwaciwiej jest roz-pisa we wsprzdnych cylindrycznych wg (1.53) dla: t = f(r) f(,z):

(2.46)

Po pierwszym cakowaniu jest

(2.47) a po rozdzieleniu zmiennych:

(2.48) i nastpnym cakowaniu otrzymuje si cak ogln:

(2.49)

31

Obydwa warunki brzegowe: Dla r = r1 jest: t = tw1 Dla r = r2 jest: t = tw2

podstawione do (2.49) daj ukad rwna: z ktrego wyznacza si obie stae cakowania:

(2.50)

(2.51)

Po podstawieniu tych staych do rwnania oglnego (2.49) otrzy-muje si rozwizanie, ktrym jest rwnanie rozk adu temperatury w ciance walcowej ogrzewanej od strony w e w n t r z n e j :

(2.52) albo:

(2.53) Temperatura zmienia si wic wedug krzywej logarytmicznej skierowa-nej wypukoci w d jak na rys. 2.5a, bowiem logarytmicznie zmienne t wg wzoru (2.53) jest odejmowane we wzorze (2.52) od tw1. Przewodzony przez ciank strumie cieplny wynika z prawa Fouriera:

(2.54) przy czym gradient temperatury mona wyznaczy z (2.47) i (2.50):

(2.55) albo z bezporedniego rniczkowania rwnania (2.52).

32

Rys.2.5 . Przewodzenie c iep a w przegrodz ie wa lcowej :

a) od powierzchni wewn t rzne j do zewn t rzne j , b) od zewn t rz do wewn t rz

Po podstawieniu (2.55) do (2.54) z uwzgldnieniem wyraenia na po-wierzchni: walca: A = 2rL otrzymuje si:

(2.56) Sprowadzajc w tym wzorze wszystkie wielkoci po prawej stronie, nie bdce spadkiem temperatury, do mianownika otrzymuje si w mia-nowniku opr cieplny przegrody walcowej:

(2.57) Jednak lepiej byo by oblicza opr przegrody walcowej wzorem o ta-kim samym ksztacie jak dla cianki paskiej. W tym celu postuluje si, aby byo: przy czym: = r2 - r2 oraz = idem.

33

Zachodzi to wtedy, gdy: Jak wida mona oblicza opr cieplny cianki walcowej wzorem dla cianki paskiej (2.18) - jednak pod warunkiem, e zastosuje si w nim r e d n i l o g a r y t m i c z n powierzchni cianki walcowej:

(2.58) rednia (logarytmiczna) rednica:

(2.59) jest rwna podwojonemu redniemu (logarytmicznemu) promieniowi cianki walcowej. Tak wic opr cieplny przegrody walcowej mona oblicza jako:

(2.60) Gsto strumienia cieplnego:

(2.61) zmienia si wzdu promienia przegrody: maleje on od wartoci naj-wikszej, na wewntrznej powierzchni cianki (bo tam pole powierzch- ni jest najmniejsze), do najmniejszej - na powierzchni zewntrznej.

Gdy wielkoci temperatur zaoy si przeciwnie ni to uczyniono na pocztku, tzn. gdy:

strumie cieplny skierowany bdzie przeciwnie - tak jak na rys. 2.5 b. Jednak cay przeprowadzony wywd matematyczny pozostaje niezmie-niony: symbolika, rwnanie rniczkowe i warunki brzegowe s tu takie same, wic i otrzymane rwnanie rozkadu temperatury jest takie same jak (2.52) czy (2.53). Naley je jednak nieco przeksztaci, aby ujawni znak ujemny w (tw1 - tw2).

34

Otrzymuje si wtedy nastpujce rwnanie rozk adu temperatury

(2.62) oraz analogicznie:

(2.63)

Wykresem przebiegu temperatury jest nadal krzywa logarytmiczna, ale zwrcona wypukoci do gry jak na rys.2.5 b.

Jednak niezalenie od kierunku przenoszenia ciepa krzywa rozkadu

temperatury jest zawsze bardziej stroma przy wewntrznej powierzchni i wykazuje tam wikszy gradient - tam bowiem gsto strumienia cieplnego jest najwiksza.

1.5. Wielowarstwowa przegroda walcowa

Opr cieplny pojedynczej warstwy, okrelonej rednicami di i di+1 , a majc dugo Li i przewodno ciepln i wynosi:

(2.64)

Strumie cieplny jest okrelo- ny przez sum oporw wszyst- kich warstw:

(2.65)

przy czym redni powierzchni kadej warstwy oblicza si wedug redniej rednicy tej warstwy:

(.2.66)

Rys.2.6 Przewodzenie ciepa w przegrodzie walcowej wielowarstwowej

35

W pewnych warunkach (gdy di+1/di < 2) mona zamiast logarytmicznej sto-sowa redni arytmetyczn:

Sprawa ta zostanie szczegowo omwiona w czci IV. (rozdz. 1.3) przy analizie redniej rnicy temperatur w wymienniku ciepa.

1.6 . Przegroda kulista

W tym przypadku rwnanie rniczkowe pola temperatury (2.3) naj-lepiej rozpisa we wsprzdnych sferycznych posikujc si zapisem (1.55). Nadal utrzymuje si zaoenie, e temperatura zmienia si tylko w kierun-ku promienia: t = f(r) f(,). Niech temperatura na powierzchni wew-ntrznej (tw1) bdzie wiksza od tej na powierzchni zewntrznej (tw2), tak e strumie cieplny przewodzony bdzie od wewntrz na zewntrz (rys. 2.7).

Rys.2.7 Przewodzenie c iep a w przegrodz ie ku l is te j : a) od powierzchni wewn t rzne j do zewn t rzne j b) od zewn t rz do wewn t rz

Tak wic rwnanie:

(2.67)

36

po obustronnym pomnoeniu przez r2 i pierwszym scakowaniu daje:

(2.68) a po rozdzieleniu zmiennych:

(2.69) i nastpnym scakowaniu daje cak ogln

(2.70) Dla r = r1 jest: t = tw1, a dla r = r2 jest: t = tw2 , co podstawione do wzo- ru (2.70) daje ukad rwna

(2.71)

(2.72) z ktrego oblicza si obie stae cakowania:

(2.73)

(2.74) Po ich podstawieniu do (2.70) i niewielkich przeksztaceniach otrzymuje- si rwnanie rozk adu temperatury :

(2.75) albo:

(2.76) w ktrym:

(2.77) jest hiperbolicznie zalene od r.

Tak wic rozkad temperatury w przegrodzie kulistej ma charakter hi-

perboliczny o wikszym gradiencie przy wewntrznej (mniejszej) po- wierzchni ograniczajcej i skierowany jest wypukoci do dou (rys.2.7 a).

37

Gdy kierunek spadku temperatury jest odwrcony, tj. dla: tw1 < tw2 , rw-nanie (2.75) zmienia swoj posta na nastpujc:

(2.75a) albo:

(2.76a) przy:

(2.77a) i wykres rozkadu temperatury skierowany jest wypukoci do gry, jak na rys.2.7 b.

Wiksza stromizna krzywej i wikszy gradient temperatury wystpuj rwnie tutaj przy wewntrznej powierzchni ograniczajcej, tam, gdzie wskutek mniejszego pola powierzchni, gsto strumienia cieplnego jest wiksza. Strumie cieplny:

(2.78) oblicza si przy pomocy powierzchni:

(2.79) i gradientu temperatury wedug wzoru (2.68) z podstawieniem (2.73):

(2.80) lub uzyskanego z bezporedniego rniczkowania rwnania rozkadu tem-peratury (2.75). Ostatecznie otrzymuje si po podstawieniu (2.79) i (2.80) do (2.78):

(2.81) albo po uwzgldnieniu, e: r2 - r1 = oraz Ai = 4ri2 :

(2.82) Jak wic wida, rwnie przegrod kulist mona oblicza tak jak przegrod pask, ale przy pomocy r e d n i e j g e o m e t r y c z n e j z pl powierzchni ograniczajcych:

(2.83) gdzie:

(2.84)

38

Wwczas strumie cieplny:

(2.85) przy czym opr cieplny: a dla kulistej przegrody w i e l o w a r s t w o w e j mamy sum: tak jak w poprzednich rodzajach przegrd.

Gsto strumienia cieplnego oblicza si przy pomocy (2.80):

(2.86)

Jest ona jeszcze silniej zmienna z promieniem ni w przypadku przegrody walcowej, ale tak samo jak tam, maleje od wartoci naj-wikszej na powierzchni wewntrznej do wartoci najmniejszej na powierzchni zewntrznej. Zasada oglna, bdca uoglnieniem spostrzee poczynionych wyej, zostaa sformuowana przez H. Hausena w nastpujcy sposb: Strumie cieplny przewodzony przez przegrod o dowolnej krzywi- nie lecz o staej gruboci ( = const) mona oblicza tak jak dla p r z e -g r o d y p a s k i e j stosujc jednak odpowiednio obliczon redni po-wierzchni Aw:

gdy przegroda ma ksztat ograniczajcy k a n a , to przy pomocy r e d n i e j l o g a r y t m i c z n e j z powierzchni: wewntrznej i zewntrznej,

gdy przegroda ma charakter ograniczajcy p r z e s t r z e z a m k n i t (np. prostopadocienna komora domowej szaf- ki chodniczej), to przy pomocy r e d n i e j g e o m e t r y c z - n e j z powierzchni: zewntrznej i wewntrznej.

Przykady 1. Do komory suszarki doprowadza si, z gorcym powietrzem energi, ciepln w ilo-

ci 500 kW. 95% tej energii wykorzystuje si do suszenia, reszta pokrywa straty ciepa cianek komory. cianki te o gruboci 250 mm i powierzchni 220 m2 wyko- nane s z cegy o przewodnoci cieplnej 0,28 W/mK. Na zewntrznej powierzchni zmierzono temperatur 40C. Obliczy temperatur na wewntrznej powierzchni cianki.

R o z w i z a n i e cianki komory traktuje si jak paskie.

Strumie ciepa przewodzonego wynosi:

39

Ze wzoru (2.16) wyznacza si:

2. Obliczy maksymaln grubo warstwy lodu, jaka moe powsta na zewntrznej po-

wierzchni rury aluminiowej omywanej wod, jeeli temperatura wewntrznej powierzchni rury wynosi -28C, a natenie przepywu ciepa przez 1 m dugoci rury wynosi 177 W/m. rednica zewntrzna rury wynosi 95 mm, grubo cianki 6 mm. Przewodnoci cieplne: aluminium 208 W/m K, lodu 2,56 W/mK.

Rys.2.8 Szk ic sytuacyjny do przyk adu 2.

R o z w i z a n i e Po zakoczeniu narastania lodu na jego powierzchni temperatura zrwna si z tempe-

ratur wody i wyniesie 0C, a pole temperatury i przenoszenie ciepa ulegn ustaleniu. Dla odcinka o dugoci 1 m bdzie: Std: Ale czny opr cieplny rury i lodu wynosi: Dla rury aluminiowej mona obliczy redni logarytmiczn rednic: rednia arytmetyczna wynosiaby w tym przypadku 89,0 mm.

40

Tak wic opr cieplny rury wynosi Wobec tego: czyli: a wobec bdzie po podstawieniu i redukcjach: Ostatecznie wic: a szukana grubo warstwy lodu:

wiczenia 1. Mur ulobetonowy o dugoci 20 m, wysokoci 3,5 m i gruboci 0,5 m ma na po-

wierzchni wewntrznej temperatur 15o C, a na zewntrznej: -10C. Wspczynnik przewodzenia ciepa ulobetonu wynosi 0,8 W/mK. Obliczy ilo ciepa przewo-dzonego w cigu doby.

Odpowied: 241,9 MJ 2. Mur z poprzedniego zadania odgradza od atmosfery pomieszczenie, ktrego tempe-

ratura wynosi 20C, tyle samo wynosi temperatura pozostaych cian pomieszcze-nia i przedmiotw w nim ustawionych. Obliczy cakowity wspczynnik przejmo-wania ciepa c oraz radiacyjny wspczynnik przejmowania ciepa r i konwekcyj-ny , jeeli staa promieniowania wynosi 5,1 W/m2 K4

Odpowied: c = 8 W/m2K r = 5,0 " = 3,0 "

3. Obliczy spadek temperatury w cianie komory chodniczej skadajcej si z nastpu-

jcych warstw: 50 cm cegy o przewodnoci cieplnej 0,30 W/mK 10 cm pyty torfowej " " 0,065 " 2 cm tynku " " 0,75 "

Wydajno chodziarki rwnoway strumie ciepa napywajcego z zewntrz o gs-toci 16,4 W/m2. Wpyw spoin naley zaniedba. Wykreli rozkad temperatury.

Odpowied: 53,0 K

41

4. Rurocig stalowy o przewodnoci cieplnej 50 W/mK, rednicy zewntrznej 108 mm i gruboci cianki 5 mm pokryty jest izolacj skadajc si z nastpujcych trzech warstw:

o gruboci 25 mm i przewodnoci cieplnej 0,038 W/mK " 35 mm " " 0,052 " " 4 mm " " 0,12 "

Temperatury wynosz: na wewntrznej powierzchni rury tw1 = 218C, na zewntrznej powierzchni drugiej warstwy izolacyjnej tw4 = 76C. Obliczy nieznane temperatury na styku warstw i na zewntrznej powierzchni izolac- ji i wykreli rozkad temperatury.

Odpowied: tw2 t.w1 = 218C tw3 = 134,7C tw5 = 73,6C

5. Grzejnik elektryczny dostarczajcy ciepo do odparowania wody w warniku ma moc

2 kW i umieszczony jest w porcelanowej rurze ( = 1,15 W/mK) o rednicy zewntrz- nej 50 mm, gruboci 3 mm i dugoci 860 mm. Obliczy temperatury cian rury por-celanowej dla przypadku, w ktrym wspczynnik przejmowania ciepa przy wrzeniu wy- nosi 2500 W/m2 K, a cinienie pary: 400 kPa abs. (temp. nasycenia 143,2C).

Odpowied: tw2=l49,1C tw1=l89,9C

6. Przez hal fabryczn przeprowadzony jest przewd, ktrym przepywa nasycona para

wodna o nadcinieniu 1,16 MPa. Rurocig wykonany jest ze stali ( = 45,5 W/mK) ma rednic zewntrzn d1 = 57 mm i grubo cianki 1 = 4 mm. Rurocig naley za-izolowa tak, aby jednostkowa strata ciepa nie przekraczaa 70 W/m, a temperatura zewntrzna izolacji ze wzgldu na przepisy ochrony pracy nie przekraczaa 50C. Obliczy minimaln grubo izolacji 2 w przypadku stosowania sznura azbestowego o przewodnoci cieplnej = 0,175 W/mK. Temperatur wewntrznej powierzchni rury przyj rwn temperaturze pary. Naszkicowa rozkad temperatury. Cinienie atmos-feryczne wynosi: 100kPa.

Odpowied: 2 = 228,4 m

2. PRZEWODZENIE CIEPA W PRCIE Z WEWNTRZNYMI RDAMI CIEPA

Wyznaczenie pola temperatury w ciaach z wewntrznymi rdami ciepa

rozpatrzone zostanie na przykadzie czsto spotykanego przypadku prta walcowego.

W praktyce moe nim by prt oporowy grzejnika elektrycznego albo prt paliwowy reaktora atomowego.

Zakada si upraszczajco rwnomierny roz-kad rde ciepa, tak e ich natenie jest stae w caej objtoci.

W rzeczywistoci opr elektryczny, na kt- rym wytwarza si ciepo, jest funkcj tempe-ratury, a ta jest zmienna na promieniu. Podobnie rozkad neutronw w prcie paliwo-wym reaktora atomowego jest funkcj pro-mienia.

Zagadnienie najwygodniej jest rozwizywa

przy pomocy rwnania Fouriera zapisanego w ukadzie wsprzdnych cylindrycznych.

Rys.2 .9 Rozk ad temperatury w prc ie z wewn t rznymi rd ami c iep a.

42

Zakada si nadal, e temperatura jest zmienna tylko w kierunku promienio-wym a wic: Wobec tego rwnanie (1.54) uproci si do postaci

(2.87) Pierwsze dwa czony s pochodn iloczynu, tak wic:

(2.88) Wobec: f(r,,z,) cakowanie tego rwnania (po pomnoeniu obyd-wu stron przez r ) daje:

(2.89) albo:

(2.90)

Pierwszy warunek brzegowy wymaga, aby krzywa temperatury miaa w osi ekstremum (ze wzgldu na symetri wzgldem osi prta zarwno rozkadu rde ciepa jak i powierzchni odprowadzajcej ciepo). Dla: r = 0 jest wic: a po podstawieniu do (2.90) mamy: C1 = 0, czyli:

(2.91) Cakowanie tego rwnania daje:

(2.92) Z warunku, e na ciance (r = ro) temperatura t = tw wynika:

(2.93) Ostateczna zaleno temperatury od promienia ma wic posta

(2.94)

vq

43

a wic jest to parabola zwrcona wierzchokiem do gry (rys. 2.19). Najwysza temperatura wystpuje w osi (to). Jest ona wysza od tem-peratury cianki zewntrznej o:

(2.95)

W podobny sposb mona otrzyma rwnanie rozkadu temperatury

dla cian paskich, piercieniowych itp., zawierajcych wewntrzne rda ciepa.

3. PRZEWODZENIE CIEPA W PRTACH I EBRACH PROSTYCH

3.1 Rozkad temperatury i strumie cieplny

Zakadamy, e rozwaane prty lub ebra tworz cao monolityczn ze cian i zanurzone s w pynie o temperaturze tf, do ktrego oddaj (lub z ktrego pobieraj) ciepo na drodze przejmowania, co okrelone jest (danym) wspczynnikiem przejmowania ciepa - jednakowym na caej powierzchni. Ponadto przekrj poprzeczny prta lub ebra moe mie do-wolny ksztat ale niezmienny na caej dugoci, tak e Ap = const. Zakada si temperatur zmienn tylko w kierunku osi x , tzn. w danym przekroju poprzecznym temperatura jest jednakowa.

RYS. 2 .10 Przewodzenie c iep a w prc ie lub ebrze prostym

Zagadnienie rozwizuje si w oglnym przypadku ebra o dowolnym profilu w ten sposb, e rozpatruje si bilans cieplny elementu ebra przedstawionego na rysunku 2.10:

(2.96)

44

z czego dQ i wQ s strumieniami ciepa: doprowadzonym i wyprowadzo- nym przez p r z e w o d z e n i e przy kolejno zmienionych gradientach tem-peratury i powierzchniach przewodzenia ciepa Ap= f2(x), a jest ciepem odprowadzonym przez p r z e j m o w a n i e . To ostatnie wynosi:

(2.97) gdzie U [m] jest obwodem poprzecznym prta (ebra prostego) a t [C] jest (redni) temperatur elementu objtociowego.

Jednake dla ebra prostego o staym przekroju poprzecznym Ap = = const f2(x) i wtedy mona posuy si rwnaniem (2.1). W tym ce- lu odbir ciepa na obu powierzchniach zewntrznych sprowadza si do dziaania ujemnych rde ciepa rwnomiernie rozmieszczonych na du-goci prta (ebra). Jest to moliwe z powodu nierozpatrywania zmian temperatury w poprzek prta (ebra), tj. w kierunku gruboci. Obojtne jest wic, czy rdo ciepa dziaa wewntrz elementu objtociowego dV tak, jak to zakadano przy wyprowadzeniu podstawowego rwnania (2.1) albo raczej (1.47), czy te na brzegu tego elementu - istotne jest, e dzia- a ono na odcinku dx, na ktrym panuje (rednia) temperatura t. Znajc natenie rde ciepa:

(2.98) mona jego warto podstawi do rwnania (2.1), ktre przy zaoeniu staoci przewodnoci cieplnej ( = r = const) i dla: t = f(x) f(y,z) przyj-muje posta:

(2.99) albo po drobnych przeksztaceniach

(2.100) w ktrej wspczynnik:

(2.101) zakada si stay. Cak tego rwnania to, zgodni z reguami matematyki, funkcja:

(2.102) wielkoci: C1 i C2 s staymi, ktre naley wyznaczy z warunkw brzegowych.

Pierwszy warunek mwi, e u nasady (x = 0) temperatura rwna jest tem-peraturze cianki (t = tf). Wobec tego po podstawieniu do (2.102) otrzymuje si zwizek:

(2.103)

Q

45

Drugi warunek brzegowy odnosi si do sytuacji cieplnej na drugim kocu prta (ebra). Moliwe s tu dwa, a nawet trzy, przypadki. a) Prt lub ebro bardzo dugie Matematyczny warunek brzmi tutaj nastpujco:

(2.104)

W praktyce temperatura prta zrwnuje si z temperatur pynu na dugoci kilku metrw (rnica staje si pomiarowo nieuchwytna). Po podstawieniu tego do (2.102) otrzymuje si:

C1 = 0 (2.105) a wic zmienno temperatury na dugoci wyrazi si rwnaniem otrzymanym z (2.102), (2.103) i (2.105):

(2.106)

Rys.2.11 Rozk ad temperatury prc ie (ebrze) bardzo d ugim

Wykres t = f(x) jest krzyw wykadnicz zmierzajc asymptotycznie

do tf , to znaczy, e (t - tf ) 0, jak to pokazano na rys.2.11. Strumie cieplny dopywajcy do prta (ebra) jest oczywicie rw-ny strumieniowi oddanemu przez prt do pynu i wynosi:

(2.107) albo po uwzgldnieniu (2.101):

(2.108)

46

Opr cieplny bardzo dugiego prta (ebra) wynosi: b) Prt lub ebro krtkie o izolowanym czole

W tym przypadku strumie odprowadzany przez przekrj kocowy jest zerowy, tzn.

dla x = L jest: (2.109)

czyli:

(2.110) tzn. profil temperatury ma na kocu ebra styczn rwnoleg do osi x.

Rys.2.12 Rozk ad temperatury w prc ie (ebrze) o izo lowanym czole

Zastosowanie rniczkowania (2.110) do rwnania (2.102) daje:

(2.111) a wic:

(2.112) a po uwzgldnieniu (2.103)otrzymuje si wartoci staych cakowania:

(2.113) Podstawienie ich do (2.102) daje wzr na zmienno temperatury z dugoci:

(2.114)

47

albo po uwzgldnieniu, e funkcje wykadnicze tworz funkcj hiperbolicz- n: wzr:

(2.115)

Temperatury wystpuj tu jako nadwyki nad temperatur pynu (tf), co czasami skania do uycia umylnych oznacze dla tych nadwyek wtedy wzr (2.115) przyjmuje posta:

(2.115a)

Strumie cieplny wyznacza si jak uprzednio (u nasady prta):

(2.116) albo:

(2.116a) gdzie:

(2.117) Opr cieplny w tym przypadku wyznacza si jako:

(2.118) c) Prt lub ebro krtkie z przejmowaniem ciepa na czole

W tym przypadku strumie ciepa przenoszony przez czoo, na kt-rym wspczynnik przejmowania ciepa wynosi L, okrelony jest zaleno-ci:

(2.119) ale z rniczkowania (2.102) jest:

(2.120) Z przyrwnania (2.119) i (2.120) oraz przy wykorzystaniu (2.102) otrzymu-je si rwnanie:

(2.121) ktre wraz z rwnaniem (2.103) pozwala okreli wartoci obydwu staych cakowania:

48

(2.122)

(2.123) Zatem rwnanie rozk adu temperatury wzdu dugoci prta (ebra) jest nastpujce:

(2.124) Jest to wzr oglny w szczeglnym przypadku, gdy czoo nie przenosi ciepa i = 0, redukuje si on do wzoru (2.115) z poprzedniego przy-padku. Strumie cieplny wyznacza si tak jak poprzednio: przy pomocy gradientu temperatury u nasady prta (ebra) obliczonego tym razem z (2.124):

(2.125) W praktyce jednak i dla tego przypadku stosuje si wzory z poprzedniego rozdziau tj. (2.116) i (2.118) z powikszon (o p gruboci ebra) dugo-ci:

(2.126)

49

przez co uwzgldnia si z dostateczn dla praktyki dokadnoci nieadiaba-tyczno czoa. 3.2. Sprawno ebra

Sprawnoci (stopniem wykorzystania) ebra . nazywa si stosunek rzeczywicie przeniesionej energii cieplnej do iloci, jak by prze-nioso ebro o staej temperaturze rwnej temperaturze u nasady eb- ra t = tw :

(2.127)

Jeeli wprowadzi redni temperatur ebra (o powierzchni zewntrznej A) obliczon jako: to ciepo rzeczywicie przeniesione do (lub od) pynu wynosi: a ciepo przeniesione przy staej temperaturze ebra:

Rys.2.13. Rozkady temperatury w ebrze idealnym i rzeczywistym

Po podstawieniu tych wyrae do (2.127) otrzymuje si wyraenie na spraw-no ebra:

(2.127a) Przy znanej sprawnoci ebra danego typu, np. z wykresu rys. 2.14, mona bardzo prosto obliczy ciepo przeniesione przez to ebro jako:

(2.128)

Q

50

Dla obliczenia sprawnoci eber trzeba wyznaczy zmienno tem-

peratury wzdu ebra, a potem strumie cieplny lub redni temperatu-r ebra. Dla e b r a p r o s t e g o o gruboci strumie cieplny jest da-ny wzorem (2.116) z dugoci okrelon przez (2.126). Wobec tego sprawno ebra prostego wynosi:

(2.129)

Rys.2.14 Sprawnoc i eber prostych i okrg ych

51bowiem: Przy szerokoci ebra b mona przeksztaci wyraenie (2.101):

(2.130) i wtedy wzr na sprawno ebra prostego przyjmuje posta:

(2.131)

Rys. 2. l4a Sprawnoc i eber ig owych

Dla innych typw eber okrelenie sprawnoci jest trudniejsze stosuje si metody analityczne lub przyblione. Na przykad dla bardzo rozpow-szechnionych, e b e r o k r g y c h w ksztacie piercieni osadzonych na rurze lub wykonanych jako jedna cao z rur rozkad temperatury opi-sywany jest funkcjami Bessela. Gotowe wartoci sprawnoci dla tego przypadku podaje rys. 2.14. Jeeli rnica midzy dugoci promienia zew-ntrznego i wewntrznego: rz - rw = L nie jest zbyt dua w porwnaniu z dugoci promienia wewntrznego rw, to mona stosowa wzory dla e-ber prostych stosujc rednie wartoci U i Ap. 3.3. Optymalne wymiary ebra prostego

Przy projektowaniu ebra nasuwa si pytanie o jego optymalne roz-miary, tzn. o stosunek dugoci do gruboci. Przy okrelonym zuyciu materiau, czyli jednakowej powierzchni wzdunego przekroju ebra A, is-nieje wiele moliwych ksztatw pomidzy skrajnymi przedstawionymi na rys. 2.15.

52

Ksztatem optymalnym bdzie oczywicie ten, dla ktrego przenoszony stru-mie cieplny okae si najwikszy. Bierzemy wzr (2.116a) na strumie cieplny i wprowadzamy do niego wyrae-nie (2.130) oraz wielko:

(2.132)

Rys.2.15 I lus t rac ja do optymal izac j i rozmiarw ebra prostego

Otrzymujemy:

(2.133)

a po podstawieniu :

(2.134)

co jest robocz zalenoci Q od .

Istnieje oczywicie wiele moliwych ksztatw ebra prostego pomidzy skraj-nymi przedstawionymi na rys. 2.15. Jeden z nich bdzie mia wymiary optymalne ze wzgldu na wydajno ciepln.

W rozpatrywanym zagadnieniu stae s: , , b, A' i (tw - tf). Po zrniczkowaniu (2.132) wzgldem i przyrwnaniu wyniku do zera otrzymuje si rwnanie:

(2.135) w ktrym:

(2.136) Rozwizanie uzyskane na drodze numerycznej lub graficznej wyraa liczba:

k = 1,419 i dla niej strumie cieplny osiga maksimum.

53

Zatem o p t y m a l n a g r u b o e b r a prostego wyraona jest wzorem:

(2.137) a optyma1ny stosunek dugoci do gruboci:

(2.138) S p r a w n o ebra prostego o optymalnych wymiarach obliczy mona z (2.131) przy zaoeniu: L + /2 L i wykorzystaniu (2.130) i (2.136):

Wzory (2.137) i (2.138) pozwalaj obliczy optymalne wymiary po-jedynczego e b r a .

Pozostaje jeszcze sprawa optymalnego r o z s t a w i e n i a eber. Ta

sprawa jest trudniejsza, cho istniej udane prby rozwizania tego za-gadnienia*). Zmierzaj one do okrelenia optymalnego rozstawu e -b e r dla kadej wartoci wspczynnika przejmowania ciepa (warun-kw przepywu) lub na odwrt.

Granica stosowalnoci eber

ebra stosuje si dla zwikszenia powierzchni przejmujcej ciepo, gdy wspczynnik przejmowania ciepa jest may (a wic przede wszyst-kim w zetkniciu z gazami). Ze wzrostem przejmowanie ciepa staje si intensywniejsze, temperatura ebra ( t ) zmienia si szybciej i na krtszym odcinku osiga temperatur otaczajcego pynu ( tf ). Zbyt dugie ebro bdzie wtedy niewykorzystane, a wic niecelowe. Naley wic zbada zmienno przenoszonego strumienia cieplnego Q z dugoci ebra: L. Ekstremum tej funkcji istnieje dla:

(2.139) Stosujc dla ebra prostego dokadniejszy wzr (2.125) otrzymuje si:

(2.140) Po zrniczkowaniu i pominiciu mianownika oraz redukcjach otrzy- muje si warunek istnienia ekstremum:

(2.141) czyli:

(2.142) _________ *) J. Madejski: Teoria wymiany ciepa" PWN, Warszawa Pozna, 1963.

54

Podstawiajc to do wzoru (2.125) na Q otrzymuje si wzr na warto ekstremaln strumienia:

(2.143)

Przedstawia on ilo ciepa przenoszon przez powierzchni zajt

przez sam podstaw ebra wtedy, gdyby tego ebra nie byo. Wprowadzajc do (2.142) uproszczony zwizek (2.130) na m i zakada-

jc L = otrzymuje si po przeksztaceniach:

(2.144} jako warunek istnienia minimum strumienia (2.143). ebro bdzie wic celowe, gdy przeniesie wicej ciepa ni to mini-

mum (tzn. e ebro nie bdzie izolatorem cieplnym) czyli dla: (2.145)

W praktyce zaostrza si ten warunek 5-krotnie, by mie pewno, e zas-tosowanie ebra nie bdzie bezcelowe, tak wic:

(2.146)

albo:

(2.147)

Dla cienkich eber stalowych omywanych gazem warunek ten jest wielokrotnie przekraczany. Na przykad dla: = 1 mm, = 45 W/mK, i = 15 W/m2K jest:

ale dla eber grubszych, np. odlewanych ( = 10 mm) omywanych wod ( = 2000 W/m2K), wypada:

i ebro bdzie niecelowe. 3.5. Przykady

1. Ile razy wzronie strumie cieplny odprowadzany z 1 m2 paskiej ciany, jeeli na-

oy na ni proste stalowe ebra o staej gruboci 1 mm, wysokoci (dugoci) 40 mm, rozstawie 20 mm i przewodnoci cieplnej 45,5 W/mK ? Temperatury wynosz: cia-ny 80C, powietrza otaczajcego 20C. Wspczynnik przejmowania ciepa, taki sam dla eber i odcinkw ciany pomidzy nimi, wynosi 29 W/m2K.

55

Rys.2.16 Szkic sytuacyjny do przykadu 1 R o z w i z a n i e

cianka bez eber oddaje: cianka uebrowana oddaje ciepo ebrami i odcinkami midzyebrowymi. Ich ilo: Kade ebro oddaje strumie cieplny: Podstawiono tu: a warto tangensa hiperbolicznego odczytano z tablic

Odcinek midzyebrowy oddaje czny strumie oddawany przez zebra i odcinki midzy nimi:

W rezultacie otrzymuje si stosunek:

2. Termometr rtciowy mierzcy temperatur powietrza w zbiorniku zanurzony jest w oleju wypeniajcym dno tulejki. Wskutek tego wskazuje on temperatur koca tulejki. Temperatura ta jest nisza od temperatury powietrza wskutek odprowadza-nia ciepa przez tulejk do cianki.

Obliczy wynikajcy z tego bd pomiaru, jeeli na termometrze odczytano 100C, temperatura u nasady tulejki wynosi 50C, tulejka ma dugo 140 mm, grubo 1 mm, przewodno ciepln 58 W/mK, a wspczynnik przejmowania ciepa midzy powiet-rzem i tulejk wynosi 29 W/m2K.

56

R o z w i z a n i e

Temperatura w dowolnym przekroju tulejki dana jest rwnaniem (2.113). Zatem na kocu, gdzie: x = L i t = tL, jest (wobec: cosh 0 = 1): : Std temperatura powietrza dla znanej temperatury tL wyniesie: Potrzebny jest stosunek: ktry pozwala obliczy: Zatem mL = 22,360,140 = 3,13.

Rys .2 .17 Szk ic sy tuacy jny do p rzyk adu Z tablic otrzymuje si cosh 3,13 = 11,459. Wobec tego: Bd pomiaru wynosi wic: Zastosowana tu dugo cakowita tulejki L = 140 mm odpowiada dokadnie wiel-koci powierzchni zewntrznej p r z e j m u j c e j ciepo, bowiem powierzchnia ta skadajc si z czci walcowej i z pkuli wynosi:

57

3.6. wiczenia 1. Obliczy optymalne rozmiary ebra podanego w przykadzie 1.

Odpowied : opt = 1,0010-3 m L/opt = 39,7 40 L = 40 mm

2. Ile ciepa odpywa do powietrza przez proste stalowe ebro ( = 66,5 W/mK) o dugo-

ci 2 m, wysokoci L = 60 mm i gruboci 4 mm, jeeli z pomiaru uzyskano temperatu-ry: u nasady ebra 200C, na jego kocu 96,5C, a dla powietrza otaczajcego 20C ?

Odpowied: Q = 1515 W

3. Ile ciepa oddaje aluminiowa ( = 203,5 W/mK) rura ebrowana o rednicy zewntrz ej 80 mm i temperaturze powierzchni zewntrznej rury 120C do powietrza o tempera-raturze 20C, jeeli wspczynnik przejmowania ciepa wynosi = 9,3 W/m2K, a ebra s okrge o gruboci 2 mm i rednicy zewntrznej 180 mm, osadzone w liczbie 45 sztuk na 1 m dugoci rury ? Okreli sprawno ebra i temperatur na jego kocu tL !

Uwaga: Sprawno ebra okreli z wykresu, temperatur tL liczy jak dla ebra pros-tego.

Odpowied: Q = 1815 W = 0,94 tL = 94,2C

Streszczenie czci drugiej

Przedstawiono wane w technice ustalone w czasie jednowymiarowe przewodzenie ciep-a w p r z e g r o d a c h p a s k i c h i w a l c o w y c h jedno- i wielowarstwowych, a tak-e w przegrodzie k u l i s t e j . Okrelono charakter zmiennoci temperatury wzdu stru-mienia cieplnego. Dla przegrd paskich o staej przewodnoci cieplnej jest ona prostoli-niowa, a dla innych ma przebieg krzywoliniowy. Wyprowadzono wzory do obliczania strumienia cieplnego. Zwrcono uwag na analogi przewodzenia ciepa i przewodzenia prdu elektrycznego i wprowadzono pojcie o p o r u c i e p l n e g o .

Wyznaczono rozkad temperatury w przypadku jednowymiarowego p r t a walcowego z w e w n t r z n y m i r d a m i c i e p a .

Dokonano analizy przewodzenia ciepa p r t a c h i e b r a c h prostych przy zaoeniu jednowymiarowoci procesu i wyprowadzono zalenoci temperatury od dugoci oraz wzo-ry na przenoszony strumie cieplny.

Wprowadzono pojcie s p r a w n o c i e b r a i podano sposb jego wyznaczania dla ebra prostego. Przedstawiono analizy majce na celu okrelenie optymalnych rozmiarw ebra oraz granicy stosowalnoci eber.

58

III. PRZENIKANIE CIEPA (ZOONE PRZENOSZENIE CIEPA)

Przenikanie ciepa polega na przenoszeniu energii cieplnej przez konwek-cj i przewodzenie (czyli przez przejmowanie) od pynu do cianki, nastp-nie przez przewodzenie wewntrz przegrody i znowu przez przejmowanie od cianki w gb drugiego pynu. W szczeglnych przypadkach, przejmo-waniu ciepa na powierzchni moe towarzyszy promieniowanie ciepa wte-dy wspczynnik przejmowania ciepa na tej powierzchni reprezentuje trans-port energii cieplnej przez obydwa mechanizmy stanowic wspczynnik ca-kowity:

c = + r

w ktrym wspczynnik radiacyjny r okrelony jest wzorem (1.10). PRZENIKANIE CIEPA PRZEZ PRZEGRODY GADKIE

Rozwaa si ustalone jednowymiarowe pole temperatury (przykado-wy rozkad temperatury podaje rys. 3.1), wobec czego strumie cieplny prze-noszony kolejno od pynu do cianki, potem wewntrz cianki oraz od cian-ki do drugiego pynu jest na kadym etapie tego procesu taki sam.

Przy uyciu oznacze podanych na rys.3.1 mamy dla kadego z tych eta-pw:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

cianka nie musi oczywicie by paska - Aw jest redni powierzch-ni poprzeczn przegrody obliczon w odpowiedni, a podany uprzednio, sposb. Po wyodrbnieniu w powyszych rwnaniach spadkw tempera- tur:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

59

Rys.3.1 Rozk ad temperatury przy przenikaniu c iep a i zsumowaniu stronami otrzymuje si zaleno

(3.7) albo

(3.8) Zaleno t wygodniej byo by uj w postaci podobnej do poznanego uprzednio rwnania Newtona (l.6):

(3.9)

Jest to tzw. prawo (albo rwnanie) P c l e t a * , w ktrym: k [W/m2K] sta-nowi wspczynnik przenikania ciepa**, a Ao [m2] powierzchni oblicze-niow. T powierzchni moe by powierzchnia A1, A2 lub Aw zalenie od wy-boru lub obowizujcej w danej dziedzinie konwencji (przepisw). I tak w kotach parowych jest ni zawsze powierzchnia od stron spalin. Z identycznoci zapisw (3.8) i (3.9) wynika:

(3.10)

O p r c i e p l n y przenikania ciepa stanowi oczywicie mianownik wy-raenia (3.8), czyli:

(3.11) Opr przenikania jest wic sum oporw cieplnych poszczeglnych pro-cesw skadowych. ________________ *) Jean Claude Pclet (1793 1857) - fizyk francuski. **) Obecnie (rok 2008) spotyka si te oznaczenie tej wielkoci przez: U [W/m2K], np. w normach

PN-EN dotyczcych oblicze cieplnych budynkw

60

T a b l i c a 4

Orientacyjne wartoci wspczynnika przenikania ciepa k [W/m2K]

Ukad k [W/m2K] Uwagi

Budynki ciany zewntrzne drzwi zewntrzne, bramy okna 1-szybowe okna 2-szybowe izolacyjne stropy

Wymienniki ciepa ciecz-ciecz wodne

olejowo-wodne

wodne dochadzacze skroplin pynw chodniczych ciecz wrzca - ciecz chodnice freonowe lub amoniakalne, solanki lub wody ciecz - gaz chodnice wodne spronego powietrza chodnice solankowe powietrza spalinowe podgrzewacze wody kotowej grzejniki wodne centralnego ogrzewania ciecz wrzca gaz chodnice freonowe chodnice amoniakalne powietrza parowniki chodnicze sufitowe i przycienne parowniki kotowe konwekcyjne parowniki kotowe opromieniowane kondensujca para - ciecz skraplacze turbin parowych skraplacze tokowych silnikw parowych skraplacze amoniakalne skraplacze freonowe podgrzewacze parowe oleju opaowego podgrzewacze regeneracyjne wody podgrzewacze ciepownicze wody podgrzewacze okrtowe wody zasilajcej bojlery parowo - wodne kondensuiaca para - ciecz wrzca wyparki roztworw wodnych wyparki cieczy dajcych osad skraplaczo - parowniki kolumn niskotem-peraturowego rozdzielania powietrza kondensuiaca para gaz parowe grzejniki centralnego ogrzewania skraplacze amoniaku chodzone powietrzem

skraplacze freonu chodzone powietrzem gaz -gaz spalinowe podgrzewacze powietrza:

turbin spalinowych kotw parowych

spalinowe przegrzewacze pary paszczowo - rurowe wymienniki ciepa w technice rozdzielania gazw

0,3...1,2 (...2,0) 3 ... 4 4 ... 5 1,5 .. 3

3 ... 7,5

140...350 850...2000 25...60

100...300

230...580

200...1500

30...1000 20...35 10...35 7...13,5 5....6

14...45 12...18 17...55 10...20 20....60 20...400

2300...4500 1300...1800 500...1300 300...1000 60...450 900...2000 2200...2600 600...3500 ok. 350

600...4000 25...600

700...950

8,5...14,5 5,5...6,5 55....70 17....35 33....42 10....25

30...70 12...18 13...35 20...35

35...70

konw. swobodna konw. wymuszona konw swobodna konw. wymuszona

zalenie od konstrukcji

zalenie od konstrukcji i cinienia

gadkie i ebrowane gadkie ebrowane rury gadkie rury ebrowane

gadkie ebrowane gadkie ebrowane gadkie ebrowane

rurowe pytowe

61

1.1. Szczeglne przypadki wspczynnika przenikania ciepa cianka paska , w ktrej wszystkie powierzchnie s jednakowe:

A1 = Aw = A2 = Ao Z tego powodu powierzchnie znikaj ze wzoru (3.10) i otrzymujemy:

(3.12) a dla cianki wielowarstwowej o oporze cieplnym:

(3.13) cianka walcowa okrelona jest rednicami d1 i d2, z ktrych wyznacza si rednic redni dw. W przypadku cian metalowych (o duej prze-wodnoci cieplnej ) wystarcza okreli dw jako redni arytmetyczn. Dzielc we wzorze (3.10) obie strony przez Ao otrzymuje si:

(3.14) Stosunki powierzchni mona zastpi stosunkami rednic:

(3.15) Po podstawieniu tego do (3.14) otrzymuje si

(3.16) Jeeli przegroda walcowa skada si z kilku warstw o cznym oporze cieplnym:

(3.17) to opr cieplny przenikania wynosi:

(3.18) a wspczynnik przenikania ciepa wyraa si wzorem:

(3.19)

62

Albo po wprowadzeniu rednic:

(3.20)

Przykady

1. Obliczy wspczynnik przenikania ciepa przez ciank rurki o rednicach: 12 i 8 mm, wykonanej z mosidzu ( = 100 W/mK), jeeli wewntrz rurki przepywa olej, dla ktrego 1 = 75 W/m2K, a na zewntrz powietrze, ktre ma 2 = 20 W/m2K.

R o z w i z a n i e rednia rednica rurki: Dla porwnania: rednia arytmetyczna: 10,0 mm.

Rys.3.2 Szk ic sytuacyjny do przyk adu 1

Za powierzchni obliczeniow przyjmuje si powierzchni z gorszym wspczyn-nikiem czyli

Ao = A2 Potrzebne wic bd stosunki: Wspczynnik przenikania ciepa wg wzoru (3.16) wynosi: Gdyby wzi Ao = A1 to przy do = 8 mm byoby: k = 21,4 W/m2 K.

63

2. W stalowej ( = 45 W/mK) rurze kota parowego opomkowego o rednicy zew-ntrznej 50 mm i gruboci cianki 3 mm wrze woda pod cinieniem absolutnym 1500 kPa. Rura ogrzewana jest z zewntrz przez spaliny o temperaturze 800C. Obliczy strumie cieplny przypadajcy na 1 m dugoci rury, jeeli wspczynniki przejmowania ciepa wynosz:

dla wody wrzcej 1 = 4000 W/m2K, a dla spalin 2 = 25 W/m2K.

Rys.3.3 Szk ic sytuacyjny do przyk adu 2

R o z w i z a n i e Temperatura wrzenia wody dla cinienia 1500 kPa:

ts = tf 1 = 198,1C Poszczeglne powierzchnie wynosz:

A1 = d1 L = 0,044 1 = 0,138 m2

Aw = dw L 2d+d 21 L = 0,047 1 = 0,148 m2

A2 = d2 L = 0,050 1 = 0,157 m2 Opr cieplny przenikania obliczamy jako: A wic strumie cieplny :

Dla wyznaczenia temperatur cian oblicza si spadki temperatury w procesach ska-dowych.

Z prawa Newtona dla wody wrzcej:

wynika

64

Dla przewodzenia w ciance jest: z czego: Wreszcie z rwnania Newtona dla przejmowania po stronie spalin jest Suma spadkw temperatury musi oczywicie spenia warunek:

co, jak wykazuje przeliczenie kontrolne, jest spenione. Temperatury rury wynosz wic:

Naley zauway, e procesy czstkowe wygodniej si liczy przy pomocy oporw cieplnych - zostay one bowiem obliczone "po drodze" przy wyznaczaniu cakowitego oporu przenikania. Na przykad po stronie wody mamy:

3. Dla danych poprzedniego zadania obliczy temperatur cianki zewntrznej w przy-padku, gdy wntrze rury pokrywa 2 mm warstwa kamienia krzemionkowego o prze-wodnoci = 0,2 W/mK.

R o z w i z a n i e : rednia rednica warstwy kamienia wynosi: rednia powierzchnia tej warstwy: Opr cieplny przegrody (dwuwarstwowej): Opr cieplny przenikania: Strumie cieplny:

65

Rys.3.4 Szk ic sytuacyjny do przyk adu 3.

Spadki temperatury: Zatem temperatura zewntrznej cianki rury:

wiczenia 1. Mur ceglany o gruboci 300 mm i przewodnoci cieplnej = 0,8 W/mK oddzie-

la pomieszczenie o temperaturze 20C od powietrza atmosferycznego o tempera-turze 20C. Obliczy jednostkow strat ciepln (strumie cieplny) i temperatury cian, jeeli wspczynnik przejmowania ciepa jest po obydwu stronach ciany jednakowy i wynosi 9 W/m2K.

Odpowied: = 64 W/m2 tw 1 = 12o C tw 2 = - 12o C

2. Obliczy strumie cieplny i temperatury powierzchni zewntrznych muru z pop-

rzedniego zadania w przypadku, gdy pokryto go z zewntrz warstw klinkieru o gruboci 3 mm i przewodnoci cieplnej = 0,165 W/mK.

Odpowied: = 49,6 W/m2 tw 1 = 13,8o C tw 2 = - 13,8oC

3. Obliczy jednostkowy strumie cieplny (strat zimna) [W/m] nieizolowanego

rurocigu stalowego ( = 58 W/mK) o rednicy zewntrznej 76 mm i wewntrz- nej 68 mm, jeeli temperatura pynu przepywajcego rur wynosi -20 C, wsp-czynnik przejmowania ciepa 1 = 232