WYKTAD 4 ( SLAIDD

Prestmen'

metrycsme

PRZESTRZEN'

METRYCZNA 1

Niech Xbqdzie zbiovem . Metrykg no .

X

NQZYWQMY funky.g STWIERDZENIE

d :X ×X → IR owtasnosciach 011×1030

( ^ ) okx ,y)=O⇐ ) ×=ytdjestniezdegenero .

DOWD :

wane

Iedkixkdkiptokxiy) -

(2) d( × ,y)=d(y ,× ) ← djestsymetrycane =2d_kiy)

( 31 d( x. 2) folk ,y)td( yi 2) K mierjwnojiOf DKY )

trojkgte .

z

PRZYKTADY

×y

a ) XHR, okxiyklx - yl

(2) Kdowolnyiniepusly(3) A - dowolnysbior d( × ,y)={ 02 ×¥f metrykddyskrethe

X - ogranicsonefuukyeme A

d( f. g) = supatrlfl a) - g( a) /

TRZY BARDZO WAZNE PRZYKTADY XTIR" 2

• ya

xyIYyshiilxyYoglnlxih-lxiYsltlxiYzH.itlxniYnlo.m.ynk@metrykemig.s

he ×

miesdegenerowanieisymelriaspasywiste , mierownositrojkgte : oldx. 4=1×2-221t.it/xn-2nI==lxz-yntyn-2z1t...tlxnYn+Yn-2n/fHiynl+lyn-2zlt...tlxn-ynlt1yn2nl=d(x,y)tdly.2

)

•y

•Y

(a) dxlxiy )= iseugps,

!,nlyi'

Yi ' } Ha - at

mehy# supremum

FKsynthlmierowno.sc'

trojkgte : mien

dfx,z)= 1×[41 wtedy

dnfx,z)= lxkizklflxk - ykltlyizklf

is .yp{ lxiyiijtsgp { lyj -2,1 }=df× , g) + d. (yr )

(3) ds(×,y)= Hyatt

.tk/n.y#.@meGkeEuklidesoWe

× •

Niesdegenerowanie isymetrie shown sgocsywiste . Dowodzimy mierowmosa.

wojkgte .

3

? ?

ask.dedfxiyltdfyr ) fftzf { Effigy + €-2.5Rozwazamypmypowlek y=O

? ?

ftp.NEFTF Fit ,tE+fy

ten%k samieniamy no .

"t

" Obie strong nieriwhosa.

doowtnie -

dowodzimybowiem due- pooiwnajmy kwaowaty

wszystkich zi , a prawashone 001 znakuzinie Zyfxitzil' IZ#+#p +21PMsuety #p+#2+2/2xizi wstoje Zxizi IZxMFF2

Roswazmy WC a) =Z(

x.it/kD2VawCx)Z02atem0wfdYIIFYIIEIiItYEYnone*atEEitazxiaieo+JWykaaalismy,ZeVx,zelRhd(x,z)foKx.o)td(

2,0 )

Wykaaalismy ,Ze ttx ,z EIR

"

d( x. 2) f okx ,o)+d( 2,0 ) 42 2 2

Iauwazmy ze dz jest tromslacyjnieniezmiennicsd ,tsn ok a

, b) = d( atx,

btx )

¥4= do ( × -2,0 )=ob(( x - y ) - ( z -

y ) ,0 )=ob(x -

y ,z -

y ) -< da ( x .

y ,0 ) +

+ da ( z -

y ,0 ) = da (x. g) + do ( ziy )

-A

.

OBSERWACJA : Metnyki dz , d. ids me 112"

powstaty 2 metnyki I . - . 1 me R

see pomoug odpowiednichwww.ow.Poolobniemojgcmetryk.ggme X mozemyn wyprodukowad

"

gs , gs , gx no . Xx . . .xX = xn.

9s(×iy)= gcxsiynlt . . . + pkniyn ) gs ( x ,y)=q(x.,y^j2+..+g(xn,y# gatxyksuptgkiiyil}

Nawigc wigcej , majgc ( xz , gz ) , ( xzipz ) . ... ( xn , gn ) mozemy skonstmowai

Dz , Da , Do me Xzx Xzx ... x X

-Dslxiytgsks , g) + . . . + gncxniyn ) Da(Ky)=✓q(× , ,y^)2+ . . . + gnlxuiynt D. (Ky ) = iupfflxiiyf}

Metnykaposwahe zdefiniowac'

pojqcie zbieznosa.

ciggu i inne pojgcie typu a .ggCauchy

'

ago , puukt skupieuie itd wobiorach innych hiz R.

Nick (X.d) bgdziepmestrseniq metyczmg5

CIA ,GZBIEZNYWX

Nick ( in ) bqdzie apgiemw X. Mowimy ,Ze ( Xu ) jest abiezny do if

EX

jes.liHe > o FNEN : Vin > N d( g , xn ) ( E xe K(g. e)

CIA ,G CAUCHY'

EGO W X ( xn ) - ciggw X ( xu . ) jest ciggiem Cauchy'

ego jesli

He > 0 FNEIN : thin > N d( xnixm )< E

PUNKT SKUPIENIA CIA,

GU WX Punkt he X jest punktem skupienie aggu ( in )

jeiei'Ve > 0 V. New Fn > N : d( xn , b) ( E Xne K( h

, e)

BARDZO WAZNA DEF INICJA

Kulig otwartg o svodku W xo ipromieniu r > 0 nasywamy sbior

KC xo ,r)={ xex : d( x. xo ) ( n }

Kubgdomknigtq ... nozywamysbior E(× . ,n)={ XEX : d( X ,xo)§n}

KULEWRJZNYCH METRYKACH 6

X= 1122, dz ...

mic ciekawego .

2- .

K( ( 3,2 ) , 2)!

3

X=lR2, dz

X=R2, dx

ok( ( xay , ) , ( ×. ,yz)) = 1×5×4 + IYIYAI

1

. .

.

3 •2- . . .

i.

2.

>3

7

ZBlEZNOStWR0ZNYCHMETRYkACHMetnykeexplicitepojawiah.gwdefiniyiabieznosci.Caytoo2nacsezeroznemetrykiwa1ymsamymsbiomegenerujgN5Zuesbromyciggowabieznyu.7MowimyzemehyKigidha2biomeXsgno.wnowaznejes.lispeinionyjestwaruneKFesqbso.Vx.yelIoKx.ykagCx.yjigCx.ykbdlxiylSTWlERDZENlEiMetnyKidz.d2.dxsgn0wnowaznewlRnfnetrykiDz.Dz.DosgniwnowaznewXzx.i.xXnJDOw0DdsKytlxs-yzH.i.tlxn-yn1dzCxiD-FCxyfddx.y1-qupt1xi-yill@dfdzlx.y1-Flxi-yilfm.qupllxi-yill-m.d.Cx.y

)

dx ( x ,y ) f 1. of ( x. y ) Riwnowazhosc mehyk jest relayingniwhowaznosci

,sateen jestPEPpmehodnie.daKiykfZCxyff@upHxi-yilT-mdoCx.y

) , d. ( x ,y)f1dz(x. y )