Wykłady z fizyki – kurs Wykłady z fizyki – kurs podstawowypodstawowy

Mechanika cz. III Mechanika cz. III Hydro i termo - dynamika Hydro i termo - dynamika

home.agh.edu.pl/~wmwoch Wiesław Marek Woch

Fale

t

t + t

Fale

Klasyfikacja fal:Fale poprzeczne i podłużne

Fale sprężyste i fale elektromagnetyczne

Fale harmoniczne i nieharmoniczne

Fale płaskie i fale kuliste

FaleFale poprzeczne: kierunek drgań ośrodka prostopadły do

kierunku rozchodzenia się fali(fale na wodzie, drgania struny, fale elektromagnetyczne w próżni)

Fale podłużne: kierunek drgań równoległy do kierunku rozchodzenia się fali (fale dźwiękowe)

Fale

Opis zaburzeń (drgań) za pomocą funkcji harmonicznych

Długość, amplituda i prędkość fali

Długość fali: odległość pomiędzypunktami o tej samej fazieAmplituda: największe odchyleniez położenia równowagi

Liczba falowa

2, kk

Fale

Okres: okres czasu w jakim punkt fali wykonuje jedno pełne drganie.

Częstotliwość: ilość drgań w ciągu jednej sekundy

Prędkość fazowa: prędkość z jaką przemieszcza się czoło fali

kkTTkTv

1212

Prędkość fazowa zależy jedynie od własności ośrodka w którym rozchodzi się fala, a nie zależy od jej amplitudy

FaleFala płaska

Fala kulista

FaleRównanie fali

x

y

tAtyx

txyysin,00

,

x

y

x = b 0

x

y

x = v 0

xk

k

xvxbx

Zmiany w punkcie x=b są opóźnione o względem zmian w punkcie x=0

xktA

xktAtxy

tAtxy

sin

sin,

sin,

)()(

vtxyyvtxyy

Fale

22

112211

1122

coscos

),(sinsin

TTtgxtgx

tgx

txfTTtFz

f(x,t)

x

1

T0

z

xT0x2x1

T2

T1

2

Równanie liniowe: przybliżenie małych drgańlub małej długości swobodnej

10

201020

111222112200 coscossinsin)(coscos

1

xfT

xfTtgTtgT

tgTtgTTTtFTTTT z

Niech consttx

txfxg

,),()(

2

2

112

212

12

2

121

122

21

12

2

11

11

),(),()()(

...21)()(

...21)()(),(

xtxfx

xtxf

xxx

dxdgxgxg

xxdx

gdxxdxdgxgxgxx

xxdx

gdxxdxdgxgxgxx

Fale

f(x,t)

x

1

T0

z

xT0x2x1

T2

T1

2

2

2

2

2

0

02

2

02

2

0

2

2

02

2

0

2

2

02

2

2

2

0

2

2

0120

120

10

20

),(),(),(),(

),(),(

),(),(),(

),()()(

)(

ttxf

xtxfT

ttxf

xtxfT

ttxf

xtxfT

ttxfx

ttxfm

xtxfxT

xtxfxTxgxgT

xf

xfT

xfT

xfTtFz

Równanie falowe (jednowymiarowe)

gdzie prędkość fazowa

2

2

22

2

2

2

2

22 ),(1),(),(),(

ttxf

vxtxf

ttxf

xtxfv

0

0

Tv

FaleOperator d'Alembert’a (dalambercjan)

2

2

2

2

2

22 ,,

zyx

Operator Laplace’a (laplasjan)

Dalambercjan

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22 11

tvzyxtv

Równanie falowe

),,,(,0 tzyxfff

Analiza fourierowskaSzeregi trygonometryczne

Dla funkcji okresowych (F(x+)=F(x)), całkowalnych w danym przedziale,dla których suma częściowa szeregu jest zbieżna w tym przedziale

1

1

1

1

1

1

,cos)(2

,sin)(2

,)(1

cossin)(

10

110

x

xn

x

xn

x

x

x

nn

nn

nkxdxxFB

nkxdxxFA

DxdxxFB

nkxBnkxABxF

Analiza fourierowska

Przykład - fala prostokątna

...5sin255.03sin424.0sin273.1

...5sin543sin

34sin4

cossin)(

,124,20

0,0

110

0

xL

xL

xL

kxkxkx

nkxBnkxABxF

Nkknn

A

NkknAnBB

nn

nn

n

n

n

Analiza fourierowska...5sin255.03sin424.0sin273.1)( x

Lx

Lx

LxF

L

2L

L

2L

Interferencja fal z dwóch punktowych źródeł

Interferencja fal „kulistych” na powierzchni wody

Interferencja fal

2cos2,

2sin

2sin

2cos2

2cos

2sin2

2cos

2sin2sinsin

)sin()sin(

sinsin

)sin()sin(

21

11

2

1

AAtkxAy

tkxAtkxAy

tkxtkxAyyy

tkxAyvtk

xkAy

tkxAytkxAy

Doświadczenie Younga

)21(sinsin

nnd

d

Interferencja fal

Thomas Young (1773-1829)angielski fizyk, lekarz fizjolog i egiptolog. Był genialnym dzieckiem, nauczył się czytać już w wieku 2 lat. Szybko nauczył się też wielu języków, których w sumie znał 14. Prowadził badania w zakresie optyki (falowa natura światła, mechanizm akomodacji oka ludzkiego, teorią poczucia barw Younga-Helmholtza), sprężystości ciał stałych (moduł Younga) i inne.

r1

r2

d

sin2sin12

1221

ddkrrk

rkrktt

Interferencja fal

Doświadczenie Younga

Średni w czasie strumień energii

2

212

22

2

21

21cos)(2,

,21sin(,

),,(ˆ,4

rArA

rArktrAE

trEyEEcS

śr

Natężenie fali

21

21cos)(

,,

212

max

2

II

constrrAI

Doświadczenie YoungaObraz interferencyjny dwóch szczelin

I

sincos

21cos)( 2

max2

maxdIII

Źródła drgające w fazie

Źródła drgające z niezgodną fazą

sinsin

21sin)( 2

max2

maxdIII

DyfrakcjaDyfrakcja na pojedynczej szczelinieDyfrakcja – ugięcie fali

2

max

sin

sinsin)(

h

h

II

DyfrakcjaDyfrakcja na dwóch szczelinach – złożenie dyfrakcji i interferencji

2

2max

2

max2

max

sin

sinsinsincos)(

sin

sinsin)(sincos)(

h

hdII

h

h

IIdII

Dyfrakcja

Dyfrakcja

Dyfrakcja na strukturzekrystalicznej

Kryterium Rayleigha

.

Zasada HuygensaKażdy punkt frontu falowego może być rozważany (traktowany) jako źródło wtórnych małych fal kulistych rozchodzących się we wszystkich kierunkach z prędkością równą prędkości rozchodzenia się fali pierwotnej.

Fale stojąceFala stojąca powstaje w wyniku interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w przeciwnych kierunkach, np. poprzez nałożenie na falę biegnącą fali odbitej.

txkAy

txkA

txktxktxktxkA

txkAtxkAyyytxkAytxkAy

amplituda

cossin2cossin2

2cos

2sin2

sinsinsinsin

21

2

1

Fale stojące

Polaryzacja – zmiana kierunku oscylacji rozchodzącego się zaburzenia w określony sposób (efekt właściwy dla fal poprzecznych)

Polaryzacja

PolaryzacjaPolaryzacja liniowa

tAyAxtAytAx

tAytAx

w

cosˆˆcosˆcosˆ

cosˆcosˆ

21

21

22

11

Polaryzacja kołowa

tAytAx

tAytAx

tAytAxw

sinˆcosˆ2

cosˆcosˆ

cosˆcosˆ

Polaryzacja eliptyczna

2211 cosˆcosˆ tAytAxw

Polaryzacja światła – prawo Malusa

Polaryzator 1

Polaryzator 2(analizator)

21cos

2

cos

2

0

20

II

II

PolaryzacjaPolaryzacja przez odbicieKąt Brewstera – kąt padania światła, przy którym promień odbity jest całkowicie spolaryzowany liniowo.

1

2

2

21

21

cos2

sinsin

sinsin

nntg

n

nn

nn

B

B

BB

B

211

2

2

1

sinsin n

nn

vv

PolaryzacjaDwójłomność – zdolność ośrodkówoptycznych do podwójnegozałamywania światła (rozdwojenia promieniaświetlnego). W krysztale jednoosiowym - promień wchodzący do kryształu rozdziela się na dwa. Jeden z nich to promień zwyczajny, spełnia on prawo Snelliusa, leży w płaszczyźnie padania, oznaczany jest symbolem o (ang. ordinary). Dla tego promienia kierunek drgań pola elektrycznego jest prostopadły do jego płaszczyzny głównej.

Drugi promień to promień nadzwyczajny - w ogólności nie spełnia on prawa Snelliusa; oznacza się go przez e (fr. extraordinaire). Promień ten nie musi leżeć w płaszczyźnie padania, może się załamać nawet wówczas, gdy promień pada prostopadle do powierzchni kryształu. Zmiana kierunku przy takim padaniu, zależy od kierunku osi optycznej w krysztale

Dwójłomny kryształ kalcytu (szpat islandzki) no = 1,658, ne = 1,486. 590 nm

Polaryzacja

Dwójłomny kryształ kalcytu (szpat islandzki) no = 1,658, ne = 1,486. 590 nm (rutyl, azotan sodu NaNO3 , cyrkon, ZrSiO4 , kalomel Hg2Cl2

2

2

2

000000

z

y

x

nn

n

Dudnienia

11

22cos

,2

,2

22cos

22cos2

2cos

2sin2sinsin

2cos2cos2cos2cos

21

2121

2121

2121

22

11

t

ttyy

ttyyyytyytyy

amp

m

m

m

m

Podstawy akustyki

Dźwięk – mechaniczna fala podłużna rozchodząca się w cieczach, ciałach stałych i gazach

zakres słyszalny 20 Hz – 20 000 Hzdo 20 Hz – infradźwięki, powyżej 20 kHz - ultradźwięki

Zmiana ciśnienia płynu spowodowana rozchodzeniemsię fali akustycznej

xSySB

VVBp

B – moduł sprężystości objętościowej lub moduł ściśliwości

xyBp

W granicy:

txqykxytxkyy mm

sincos

txkBkyxyBp m

sin

Ciśnienie zmienia się harmonicznie.

Prędkość fali

0Bv 0 - gęstość płynu na zewnątrz

strefy zgęszczenia

Podstawy akustyki

tqxBkypap

m sin

mma ykvyBkp 02 amplituda ciśnienia

tqxpptqxyy am sincos

Falę dźwiękową można traktować jako falę przemieszczeń albo jako falę ciśnieniową

Podstawy akustyki

gdzie: w - reakcja układu biologicznego (wrażenie zmysłowe), B - natężenie danego bodźca, B0 - wartość progowa natężenia danego bodźca (najniższą

wartość bodźca rejestrowanego przez ludzkie zmysły), (I0 = 10-12 W/m2)

Ocena głośności dźwięku zależy od logarytmu ciśnienia akustycznego. Konsekwencją prawa Webera-Fechnera jest fakt, że aby uzyskać liniową skalę, np. w pokrętle głośności radia (dwa razy dalsza pozycja daje dwa razy głośniejszy dźwięk), należy stosować potencjometr logarytmiczny.

2

2

00 0

log10log10logp

p

II

BBkw

Podstawy akustykiPrawo Webera-Fechnera (prawo fenomenologiczne) - relacja pomiędzy fizyczną miarą bodźca a reakcją układu biologicznego. Dotyczy ono reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok, słuch czy poczucie temperatury.

Natężenie fali emitowanej przez punktowe źródło dżwięku o mocy P i rozchodzącej się w ośrodku izotropowym

24 RP

SPI

R1

R2

P1

P2

22

21

2121 44 R

PRPIII

Podstawy akustyki

Zjawisko DoppleraŹródło dźwięku spoczywa; obserwator porusza się w kierunkuźródła z prędkością vD

vvvvvv

t

tvtvtnntvntvn

DD

D

DDD

,

, '

obserwator oddala się od źródła z prędkością v

vvvvv

t

tvtv

tnn DD

D

D

'

Zjawisko DoppleraObserwator spoczywa; źródło porusza się w kierunkuobserwatora z prędkością vS

SS

SSS

vvv

vvv

vvvv

'

''' ,

źródło oddala się od obserwatora z prędkością vS

SS

SSS

vvv

vvv

vvvv

'

''' ,

S

D

vvvv

'

Zjawisko Doppleradla fal elektromagnetycznych

relatywistyczny efekt Dopplera

ZD

Vwz

11

11,

11

)1(1)1(

1

)1()1(

12

11

2

''''1

c

ccTTc

TcTcTvc

TvcTvcTTv

wz

wzwzwz

11'

górne znaki odpowiadają oddalaniu się obserwatora i źródła, a dolne – zbliżaniu.

Źródło dźwięku porusza się z prędkością większą od prędkości dźwięku (szybciej od czoła fali). Czoła fali skupiają się na powierzchni stożkowej zwanej stożkiem Macha tworząc falę uderzeniową

Svv

sinvvSLiczba Macha

Liczba Macha

Hydrodynamika

Bar (bar) – jednostka w układzie CGS, bar= 106 dyn/cm2 Atmosfera fizyczna (atm) – równa ciśnieniu 760 mm Hg w temp. 273,15 K (0 °C) (średnie ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza na Ziemi). 1 mm Hg =1 torrAtmosfera techniczna (at) – at=1 kG/cm² (naciskowi 10 metrów słupa wody) Paskal – (Pa), jednostka w układzie SI, Pa=1 N/m2

Ciśnienie

Płyny: ciecze i gazy

iapowierzchnASAFp

SFp ,

HydrodynamikaBarometer Torricelli’ego

Evangelista Torricelli (1608 – 1647) – włoski fizyk i matematyk. W roku 1643 przeprowadził doświadczenie z zatopioną na jednym końcu rurką zanurzoną w rtęci, które stało się podstawą do skonstruowania barometru rtęciowego. Jednostka ciśnienia torr nosi nazwę dla upamiętnienia jego zasług.

hgp Hg0

HydrodynamikaPrawo Pascala

Ciśnienie wywierane na ciecz przenosi się jednakowo we wszystkich kierunkach i  w całej objętości cieczy ma jednakową wartość.

Blaise Pascal, (1623 - 1662) – francuski matematyk, fizyk i filozof religii. Jego wczesne dzieła powstawały spontanicznie, lecz w istotny sposób przyczyniły się do rozwoju nauki. Miał on znaczący wkład w konstrukcję mechanicznych kalkulatorów i mechanikę płynów; sprecyzował także pojęcia ciśnienia i próżni, uogólniając prace Torricellego. Pascal był przede wszystkim matematykiem. Już jako szesnastolatek napisał pracę obejmującą zagadnienia geometrii rzutowej, później zaś wraz z Pierre'em de Fermatem rozważał kwestie teorii prawdopodobieństwa, wywierając tym samym niemały wpływ na rozwój nowoczesnej ekonomii i nauk społecznych.

Prawo Pascala – przykład:

Hydrodynamika

prasa hydrauliczna

21

22112211

1111

22

11

2

2

1

1

?

,

VVxAxAxApxAp

xFxF

FAAF

AF

AFp

HydrodynamikaPrawo Archimedesa

Archimedes z Syrakuz (ok. 287–212 p.n.e.) – grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.W czasie drugiej wojny punickiej kierował pracami inżynieryjnymi przy obronie Syrakuz. Najważniejsze odkrycia: prawo Archimedesa, aksjomat Archimedesa, zasadę dźwigni – sławne powiedzenie Archimedesa „Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię”, prawa równi pochyłej, środek ciężkości i sposoby jego wyznaczania dla prostych figur, pojęcie siły

Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

cc

gw

gVgVgV

FBF

HydrodynamikaCiśnienie hydrostatyczne

h

S

c

p0Ciężar cieczy – siła parcia na dno:

hgpp

hgS

Shgp

ShgF

c

cc

c

0

Zmiany ciśnienia atmosferycznego w funkcji wysokości

10 116.0 km

TRgepp h

Hydrodynamika

Równanie ciągłości strugi

Płyn nieściśliwy – masa przepływająca przez powierzchnię A1 w danym czasie t jest taka sama jak masa przepływająca przez A2 powierzchnię w tym samym czasie t.

constvAvAvAvAvAtvAtvA

xAxAmm

nn

...2211

22112211

2211

21

HydrodynamikaRównanie (prawo)

Bernoulliego

1221

22

21

1221

22

21

21

21

)(21

21

)(

VgyVgyVvVv

Vpp

mgymgymvmv

VppW

Daniel Bernoulli (1700 -1782) – szwajcarski matematyk i fizyk. Pochodził ze znanej rodziny matematyków Bernoullich. Profesor matematyki w Petersburgu oraz anatomii i botaniki w Bazylei. Twórca mechaniki statystycznej (kinetyczna teoria gazów). Jako matematyk zajmował się rachunkiem prawdopodobieństwa, równaniami różniczkowymi i metodami przybliżonymi rozwiązywania równań. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej i podał równanie ruchu stacjonarnego cieczy idealnej zwane równaniem Bernoulliego.

2222

2111

1221

2221

21

21

21

21

vgypvgyp

gygyvvpp

constvgyp iii 2

21

HydrodynamikaRównanie (prawo) Bernoulliego – zastosowania

Siła nośna zalezy od prędkości samolotu, powierzchni skrzydeł i ich krzywizny oraz od kąta pomiędzy skrzydłem i horyzontem

Duża prędkość powietrza nad dachem powoduje wzrost ciśnienia dynamicznego w wyniku czego ciśnienie statyczne jest mniejsze niż pod dachem. Dach unosi się do góry.

1

2

Hydrodynamika

Zwężka (rurka) Venturi’ego

Równanie (prawo) Bernoulliego – zastosowania

'

2

221

'

212

AAhgAv

Atomizery

HydrodynamikaRównanie (prawo) Bernoulliego – zastosowania

Efekt Magnusa – zjawisko polegające na powstawaniu siły prostopadłej do kierunku ruchu, działającej na obracający się walec lub inną bryłę obrotową, poruszającą się względem płynu (cieczy, gazu).(Efekt odkryty przez niemieckiego fizyka Heinricha Gustava Magnusa w 1853 roku).

Hydrodynamika

Obracająca się piłka golfowa

HydrodynamikaPrzepływ cieczy przez przewód kołowy (cylinder)

drlprdv

drdvrlpr

drdvrlF

constdrdvrlF

2

22

:2

2

Siła lepkości proporcjonalna jest dogradientu prędkości dv/dr i powierzchnistykających się warstw 2rl

)(42

)( 22

or

ro rr

lprdr

lprv

Q(r) - masa płynu o gęstości przepływająca w jednostce czasu przez cylinder o promieniu r0

44

88;2;)()( oo r

lpr

lpQrdrdSdSrvrdQ

Wzór Poiseuille’a

- lepkości kinematyczna

- lepkości dynamiczna

PsPasPacm

sdynaPPuazP 101;)( 2

HydrodynamikaLiczba Reynoldsa

,Re rvrv

Re < 2000, przepływ laminarny (uporządkowany, warstwowy, stabilny)2000 < Re < 3000, przepływ przejściowy (częściowo turbulentny) Re > 3000, przepływ turbulentny (burzliwy)

HydrodynamikaWzór (siła) Stokesa

pomiar lepkości cieczy na podstawie pomiaru prędkości spadania w niej kuli

vrF 6

Termodynamika POJĘCIA PODSTAWOWE

UKŁAD – pewna część przyrody (wszechświata), która jest przedmiotem rozważań. OTOCZENIE – wszystko to, co znajduje się poza układem.

GRANICA UKŁADU – płaszczyzna fizyczna lub granica „pomyślana”„ oddzielająca układ od otoczenia.

RODZAJE UKŁADÓW

Układ OTWARTY

otoczenie

układ

materia energia

Układ ZAMKNIĘTY otoczenie

układ materia

energia

TermodynamikaRODZAJE UKŁADÓW

UKŁAD

HOMOGENICZNY ( jednorodny )

HETEROGENICZNY ( niejednorodny )

UKŁAD

JEDNOSKŁADNIKOWY

WIELOSKŁADNIKOWY

UKŁAD

JEDNOFAZOWY

WIELOFAZOWY

układ dwuskładnikowy dwufazowy

nasycony roztwór NaCl w wodzie

kryształy NaCl

Przykłady

układ jednoskładnikowy trójfazowy

para wodna

lód

woda

układ dwuskładnikowy dwufazowy

benzen

woda

układ dwuskładnikowy jednofazowy

tlen

azot

Termodynamika

TermodynamikaPARAMETRY STANUZMIENNE STANU UKŁADU

Wielkości fizyczne (V, T, p, m, c), które w sposób jednoznaczny opisują własności układu.

PARAMETRY STANU

INTENSYWNE nie zależą od masy

(wielkości) układu: T, p, c, M,

EKSTENSYWNE zależą od masy

(wielkości) układu: m, V, n, E,

Termodynamika

FAZA – – część lub całość układu, która wykazuje w całej swej masie jednakowe własności fizyczne i chemiczne (w szczególności jednakowe równanie stanu) i jest odgraniczona wyraźnie od reszty układu (otoczenia).

Liczba faz w układzie zależy od parametrów stanu ( p, T, c, V, M, etc. ).

PRZEMIANA FAZOWA – – samorzutna przemiana jednej fazy w drugą

Termodynamika

V, T, p

Parametry termodynamiczne – fenomenologiczne

TemperaturaWybrane skale temperatur

1742 r.- skala wprowadzona przez Anders’a Celsjusza

1848 r.- Lord Kelvin zaproponował bezwzględną termodynamiczną skalę temperatury

Kelvina T = [ tc + 273,15 ] KCelsjusza tc= [ T – 273,15 ] oCFahrenheita tF = [ T 1,8 – 459,67] oF Rankine'a tRank= [ T 1,8 ] oRankReaumura tR = [T 0,8 – 218,52] oR

Helowa reakcja termojądrowa 108

Wnętrze Słońca 107

Powierzchnia Słońca 6103

Topnienie wolframu 3,6103

Topnienie ołowiu 6102

Zamarzanie wody 2,7102

Skraplanie tlenu 9101

Skraplanie wodoru 2101

Skraplanie helu (4He) 4,2

Skraplanie helu (3He) przy najniższym osiągalnym ciśnieniu 310-1

Adiabatyczne rozmagnesowanie soli paramagnetycznych 10-3

Adiabatyczne rozmagnesowanie jąder atomowych 10-6

)(KT

Termodynamika

TermodynamikaTemperatura

KJkEkTi

ET

k

k

231038.12

i = 3 – gaz jednoatomowyi = 5 – gaz dwuatomowy,i = 6 – gaz wieloatomowy

kvm

T

vmkT

EkTik

3

21

232

2

2

stopnie swobody – zespół niezależnych zmiennych koniecznych i wystarczających do opisu stanu układu fizycznego w każdej chwili;

liczba stopni swobody układu mechanicznego złożonego z n punktów materialnych jest równa f = 3n – p (p – liczba więzów), bryły sztywnej f = 6 – p

TermodynamikaStan równowagi – wszystkie parametry mają określone wartości przy jednakowych warunkach zewnętrznych.Każda przemiana – przejście ze stanu (1) do stanu (2) – narusza stan równowagi.

Stan nierównowagowy – jeśli jeden z parametrów opisujących stan układu, np. temperatura, przyjmuje w różnych punktach różne wartości.Jeśli układ odizolujemy od innych – temperatura zacznie się wyrównywać i przyjmie jednakową wartość we wszystkich punktach – układ osiągnie stan równowagi.

stannierównowagowy

stanrównowagi

relaksacja

Proces kwazistatyczny – proces odbywający się z nieskończenie małą prędkością - układ w każdej chwili jest w stanie równowagi.Przemiana składająca się z kolejnych stanów równowagi – przemiana równowagowa (kwazistatyczna).

Proces kwazistatyczny jest procesem odwracalnymProces niekwazistatyczny – jest procesem nieodwracalnym.

TermodynamikaZerowa zasada termodynamiki Jeśli układy A i B mogące ze sobą wymieniać ciepło są ze sobą w równowadze termodynamicznej, i to samo jest prawdą dla układów B i C, to układy A i C również są ze sobą w równowadze. Przez równowagę termodynamiczną rozumiemy stan, który w danych warunkach układ osiąga i już go nie zmienia.

Istnieje taka wielkość fizyczna nazwana temperaturą, która jest cechą wszystkich układów będących ze sobą w równowadze termodynamicznej (w stanach równowagi), taka, że równość temperatur jest warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi termicznej.

A B C

Termodynamika

Gaz doskonały

1. Składa się z atomów lub cząsteczek, które można uważać za punkty materialne (rozmiary cząsteczek, w tym objętość, są pomijalnie małe).

2. Atomy lub cząsteczki poruszają się chaotycznie i podlegają prawom dynamiki Newtona (poza momentami zderzenia na cząsteczki nie działają siły; zderzenia są doskonale sprężyste).

3. Całkowita liczba cząsteczek jest bardzo duża (zderzenia nie zmieniają ogólnego rozkładu prędkości cząsteczek; brak jest wyróżnionego kierunku – wektor średniej prędkości cząsteczek jest równy zero).

Własności gazu doskonałego

Termodynamika

x

y

v1

v2

L

MnnRTpVmolindlaRTpV

KmolJRkNkTNpVmol

NkTpVv

mkTvmkTv

NmpV

vvvvvvvvvv

vvvvvvzyxvNmpV

ALVAFp

ALvm

NAF

Lvm

NF

Lmv

vL

mvFvLt

mvmvmvpt

pF

AA

xxzyxzyx

zyxzyxx

xx

x

x

x

x

xxxxx

,,

/31.81038.11002.6,,132

123,

3

33

),,(),,(,

,

,

222

2)(,

2323

22

2

2222222222

2

22

2

Termodynamika

PROCESY TERMODYNAMICZNE(w zależności od stałości danego parametru stanu)

• IZOTERMICZNY ( T = const., dT =0 )

• ADIABATYCZNY ( Q = const., Q=0 )

• IZOBARYCZNY ( p = const., dp =0 )

• IZOCHORYCZNY ( V = const., dV =0 )

TermodynamikaENERGIA UKŁADU – – zdolność układu do wykonania pracy

PRACA dW = F dxdW = F dx

W < 0 W < 0 układ wykonuje pracę

W > 0 W > 0 praca jest wykonywana nad układem

PRACA

OBJĘTOŚCIOWA

Wobj.

NIEOBJĘTOŚCIOWA

W

Praca objętościowa:

2

1

V

Vobj pdVW

TermodynamikaPrzemiana izotermiczna

pz = pT = const

pV = nRT

nRTconstV

constp

dVV1nRT- dV p -

2

1

2

1

V

V

V

V .objW

VVln RTn - W

1

2.obj

Termodynamika

Przemiana izobarycznap = const

constp

nRTV

constpnRTpV

12

2

1

VVpdVpWV

Vobj

Termodynamika

Przemiana izochorycznaV = const

0

objW

constVnR

Tp

constVnRTpV

Izochory

Termodynamika

Przemiana adiabatyczna: Q=0

2211

1

1

VpVpV

constp

constpV

cc

TQC

Cm

c

TmQc

v

p

2

1

2

1

2

1

V

V

V

V

V

V

VdVconst

dVV

constpdVW

VV

pp T

QCTQC

deg

1000111111

gcalc

calCalkcalcalQ

TmcQTm

Qc

TermodynamikaZasada ekwipartycji energii:

średnia energia kinetyczna przypadająca na każdy stopieńswobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi:

kT21

Zasada ekwipartycji energii – uogólnienie:

jeżeli układ znajduje się w stanie równowagi w temperaturze bezwzględnej , to każdy wyraz niezależny we wzorze na energię zawierający kwadrat pędu lub współrzędnej ma tę samą średnią wartość równą

kT21

TermodynamikaRóżniczka zupełna

Forma Pfaffa – rodzaj formy różniczkowej określona wzorem:

0

),...,,(

)2()1(1

21

P

PPdxx

xxxfPABAB

i

n

i i

n

0

),...,,(),...,,(),...,,(

)2()1(

2121

1

21

dPdPdP

xxxxf

xxxxxf

xdx

xxxxfPd

ABAB

i

n

jj

n

ii

n

i i

n

A

B1

2Funkcje stanu (energia wewnętrzna,entalpia etc)

Funkcje typu ciepło, praca etc

TermodynamikaENERGIA WEWNĘTRZNA – U

całkowita energia układu będąca sumą całkowitej energii kinetycznej i potencjalnej cząsteczek tworzących układ

- energia potencjalna i kinetyczna makroskopowych części układu,- energia kinetyczna cząstek,- energia potencjalna oddziaływań międzycząsteczkowych i ewnątrzcząsteczkowych, itd.

Uwaga!Określenie bezwzględnej wartości U nie jest możliwe.Podaje się wartości zmian tej funkcji termodynamicznej:dU – zmiana U w procesie elmentarnymU – zmiana U w procesie skończonym dla przejścia ze stanu ( p ) do stanu ( k ) dla wielkości mierzalnych

ENERGIA WEWNĘTRZNA - funkcja stanu - (w odróżnieniu do ciepła i pracy)

FUNKCJA STANU

Wartość jest jednoznacznie określona przez parametry stanu układu, zmiana funkcji stanu (Z) nie zależy od drogi przemiany a jedynie od stanu początkowego (p 1) i końcowego (k 2) w jakim układ się znajduje: dZ = Z2 – Z1 Z = Z2 – Z1

Elementarna zmiana funkcji stanu (Z) jest różniczką zupełną,

TermodynamikaPIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI

( ZASADA ZACHOWANIA ENERGII )

W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM:

dU = Qel. + Wel.

U = Q + W

Jeżeli W = Wobj. = p dV

dU = Qel. + p dV

U = Q + p V

TermodynamikaENERGIA WEWNĘTRZNA – U

U

energia wewnętrzna

temperatura, T

V = constDla gazu doskonałego

POJEMNOŚĆ CIEPLNA UKŁADU W STAŁEJ OBJĘTOŚCI

)(TUU

VV T

UC

dUdQconstVpdVdQdU

,

dTCdU VV = const

2

1

)(

)(T

TV

VV

dTTCU

TCC Ciepło właściwe przy stałej objętości:

V

VV T

Umm

Cc

1

TermodynamikaPrzemiana izobaryczna

Vp

VppV

pV

pp

ccR

ndTdTncdTncnRdTnRdTdTncdTnc

nRdTpdVpdVdTncdTnc

pdVdQdUpdVdWTQ

nc

:/

1

Wzór Mayera

1

V

p

Vp

cc

cc

TermodynamikaENTALPIA - H

TERMODYNAMICZNA FUNKCJA STANUdH = H2 – H1 , H = H2 – H1

H = U + p V

dH = dU + d(pV) = dU + p dV + V dp Jeżeli: W = Wobj

dU = Q - p dV to: dH = Q - p dV + p dV + V dp

dH = Q + V dp

TermodynamikaPOJEMNOŚĆ CIEPLNA UKŁADU POD STAŁYM CIŚNIENIEM

Hentalpia

p = const

temperatura, T

pp T

HCdHdQ

constpVdpdQdH

,

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu:

p

pp T

Hmm

Cc

1

dpVdTCdH p

2

1

),(T

TpdTCHTCC

TermodynamikaCiepło właściwe ciał stałych

Prawo Dulong’a-Petit:deg

96.533 calRkNC BAV

Ciepło właściwe metali:

3ATTC

TermodynamikaENTROPIA – S

TERMODYNAMICZNA FUNKCJA STANU: S = S2 – S1

Entropia określa stan nieuporządkowania układu

ZMIANA ENTROPII W PROCESIE ODWRACALNYM, izotermicznym ( zachodzącym w układzie zamkniętym ) wynosi:

TdQdS

ZMIANA ENTROPII W PROCESIE NIEODWRACALNYM (nierówność Clausiusa):

TdQdS

p = const.

Cp = const. : 1

2p T

Tln C n S

V = const.

C v = const. : 1

2v T

Tln C n S dT

TCnSconstC

dTTC

nSconstC

T

T

VV

T

T

pp

2

1

2

1

TermodynamikaENTROPIA

Entropia i strzałka czasuWiększość procesów naturalnych przebiega w jednym kierunku. O kierunku danego procedu nie decyduje energia lecz zmiana entropii układu.Przemiana nieodwracalna w układzie zamkniętym powoduje wzrost entropii S układu.Niższa entropia układu – „przeszłość”Wyższa entropia układu – „teraźniejszość” lub „przyszłość”.Wzrost entropii wyznacza kierunek przebiegu zdarzeń - strzałkę czasu.

Stan „zdezorganizowany” ma większe prawdopodobieństwo niż stan „zorganizowany”.

Prawdopodobieństwo z entropią połączył Ludwig Boltzmann: entropia jest miarą nieuporządkowania:

W – liczba sposobów, na jakie makroskopowy stan termodynamiczny układu (makrostan) może być zrealizowany poprzez stany mikroskopowe (mikrostany),

WkS ln

TermodynamikaENTROPIA

W wyniku wzrostu entropii (wzrostu „nieuporządkowania”), Wszechświat może osiągnąć stan maksymalnej entropii (równomiernego rozkładu energii). W stanie równowagi termodynamicznej nie będzie możliwe wykonanie żadnej pracy i nastąpi śmierć Wszechświata.

TermodynamikaSilnik (cykl) Carnota

(doskonały silnik cieplny – gaz doskonały)

Z pierwszej zasady termodynamiki:

21 QQW

1

21

1 QQQ

QW

Termodynamika

Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796 - 1832) – fizyk, inżynier wojskowy i matematyk francuski. Jeden z twórców podstaw współczesnej termodynamiki, autor teorii silników cieplnych, w tym cyklu idealnego silnika cieplnego – tzw. cyklu Carnota, zwolennik teorii cieplika.Wykazał, że praca wykonana przez maszynę parową jest wprost proporcjonalna do ilości ciepła, jaka przepływa z kotła do kondensatora i że ciepło jest w stanie wykonać pracę tylko przy przejściu z ciała cieplejszego do zimniejszego. Jest to tzw. cykl Carnota, które wraz z ograniczeniem Clausiusa stanowi drugą zasadę termodynamiki. W notatkach ogłoszonych tuż po śmierci autora, Carnot wygłasza zasadę równoważności ciepła i pracy. Za życia wsławił się jedyną ogłoszoną rozprawą o Sile poruszającej ognia (1824). Zmarł w wieku 36 lat na cholerę.

Silnik (cykl) Carnota

1

21

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1111

1

2

1

2

1

2

1

21

22

1121

1ln

ln1

ln

ln1

ln

ln1

ln

ln11

ln

ln,

TTT

TT

VVT

VVT

VVT

VVT

VV

VV

VV

VV

VVVVVV

VV

VV

VV

VVVVVVVV

VpVpVpVpVpVpVpVp

VpVpVpVp

VpVpVpVp

VVT

VVT

VVnRT

VVnRT

QQ

QQQ

VVnRTWQ

VVnRTWQconstTT

D

C

D

C

A

B

D

C

D

C

A

B

D

C

A

B

ACDBA

A

C

C

D

D

B

B

ACDBDBCA

AACCDDBBDDBBCCAA

AADDDDCC

CCBBBBAA

A

B

D

C

A

B

D

C

D

C

A

B

TermodynamikaDruga zasada termodynamiki

Entropia układu zamkniętego wzrasta w przemianach nieodwracalnych i nie zmienia się w przemianach odwracalnych. Entropia nigdy nie maleje: S 0.

Żadna cykliczna maszyna cieplna pracująca między temperaturami: górną T1 i dolną T2 nie może mieć sprawności większej niż:

1

21

TTT

S. Carnot: silnik cieplny nie może pracować nie pobierając ciepła ze źródła o wyższej temperaturze i nie oddając go do źródła o niższej temperaturze.

W. Ostwald: perpetuum mobile II rodzaju jest niemożliwe do zrealizowania.

M. Planck: niemożliwe jest skonstruowanie działającego periodycznie silnika, którego działanie polegałoby tylko na podnoszeniu ciężarów i równoczesnym ochładzaniu jednego źródła ciepła.

R. Claussius: ciepło nie może samorzutnie przejść od ciała o temperaturze niższej do ciała o temperaturze wyższej.

E. Schmidt: nie można całkowicie odwrócić przemiany, w której występuje tarcie.

Termodynamika

Nie można osiągnąć temperatury zera bezwzględnego w skończonej serii procesów termodynamicznych, jeżeli za punkt wyjścia obierzemy niezerową temperaturę bezwzględną.

Trzecia zasada termodynamikiZasada Nernsta

ENERGIA SWOBODNA - F(energia swobodna Helmholtza)

TERMODYNAMICZNA FUNKCJA STANU

dF = F2 – F1 F = F2 – F1

F = U - T S

dF = dU - d(T S) = dU - T dS - S dT

F = F (T, V)

TermodynamikaJeżeli T, V = const.: dF = dU - T dS F = U - T S

Dla procesu odwracalnego: dT

dQdS

dQ. = T dS

SdTdWSdTTdSdWTdSSdTTdSdUdFTdSdUdWdWTdSdUdWdQdU

,

Dla T=constWFdWdF

ZMIANA ENERGII SWOBODNEJ W ODWRACALNYM PROCESIEIZOTERMICZNYM JEST RÓWNA MAKSYMALNEJ PRACY JAKĄ UKŁAD MOŻE WYKONAĆ.

TermodynamikaEnergia swobodna

pdVdWdF

Jeśeli T = const oraz V = const:

0 pdVdWdF

W IZOTERMICZNO - IZOCHORYCZNYM PROCESIE ODWRACALNYM ZMIANA ENERGII SWOBODNEJ JEST RÓWNA ZERO (WARUNEK RÓWNOWAGI).

KRYTERIUM SAMORZUTNOŚCI PROCESÓWT, V = const

F < 0

F = 0

F > 0

proces może przebiegać samorzutnie (W < 0 - układ wykonuje pracę)

proces odwracalny (układ znajduje się w stanie równowagi)

proces nie może przebiegać samorzutnie (mógłby zajść pod warunkiem dostarczenia do układu energii z zewnątrz, bo W > 0 , czyli praca musi być dostarczona z zewnątrz )

TermodynamikaSdTdWdF

Układ wykonuje pracę:

SdTpdVdFpdVdW

),( VTFF

pVFS

TF

dVVFdT

TFdF

TV

TV

2TU

TF

T

STU

TFTSUF

V

Równanie Gibbsa – Helmholtza

TermodynamikaENTALPIA SWOBODNA - G

(Potencjał termodynamiczny, funkcja Gibbsa)

Termodynamiczna funkcja stanu

dG = G2 – G1 G = G2 – G1

Jeżeli T, p = const:

TdSdTSdHTSddHdGTSHGpTGG

)(),(

pdVdpVdFpVddFdGpVFGTSUFTSpVUGpVUH

TdSdHdG

)(,

p = const pdVdFdG

SdTVdpTdSdTSVdpTdSdGVdpTdSdHTdSdTSdHTSddHdGTSHG

)(

TermodynamikaDla T, p = const: 0dG

W izotermiczno – izobarycznym procesie odwracalnym zmiana entalpii swobodnej jest równa zero (warunek równowagi)

Zmiana entalpii swobodnej (G) w procesie izotermiczno - izobarycznym pozwala określić, czy dany proces jest samorzutny czy też nie

KRYTERIUM SAMORZUTNOŚCI PROCESÓW (T, p = const)

G < 0

G = 0

G > 0

proces może przebiegać samorzutnie

proces odwracalny (układ znajduje się w stanie równowagi)

proces nie może przebiegać samorzutnie (mógłby zajść pod warunkiem dostarczenia do układu energii z zewnątrz)

Termodynamika

Udziały H i S decydujące o samorzutności procesu

G = H - T S

E N T A L P IA E N T R O P IA P R O C E S S A M O R Z U T N Y ?H < 0 S > 0 T A K ( G < 0 )H < 0 S < 0 T A K , je ż e li H ST

H > 0 S > 0 T A K , je ż e li H ST

H > 0 S < 0 N IE ( G > 0 )

Termodynamika

dppG dT

TG dG

Tp

G = f ( T, p )

S - TG

p

V

pG

T

dG = - S dT + V dp

ZMIANY ENTALPII SWOBODNEJ Z TEMPERATURĄ I CIŚNIENIEM

enta

lpia

sw

obod

na, G

temperatura, T

GAZ

CIECZ

CIAŁO STAŁE

enta

lpia

sw

obod

na, G

ciśnienie, p

GAZ

CIECZ

CIAŁO STAŁE

TermodynamikaUKŁAD WIELOSKŁADNIKOWY

2,2

1,1,, 11

dnnGdn

nGdp

pGdT

TGdG

pTpTnTnp 1222 n , n , n , n ,

G = G ( T, p, ni, nj ... )

np. Układ dwuskładnikowy: G = f ( T, p, n1, n2 )

2211 dn dn dp V dT S - dG

S - 21 n ,n

,pTG

V 21 n ,n

,TpG

1n

2

,,1 pTnG

2n

1

,,2 pTnG

- potencjał chemiczny

Termodynamika

Proces przekształcania się jednej fazy w inną nazywa się przejściemfazowym lub przemianą fazową

Przejścia fazowe

Przykłady przejść fazowych:- przemiany fazowe pierwszego rodzaju: przemiany, w których ulega zmianie stan skupienia: parowanie i skraplanie, krystalizacja i topnienie, sublimacja i resublimacja, ferromagnetyk – paramagnetyk w obecności zewnętrznego pola magnetycznego- przemiany fazowe drugiego rodzaju: przemiany zachodzące bez zmiany stanu skupienia: przemiana przewodnik – nadprzewodnik, ferromagnetyk – paramagnetyk w Tc, hel I – hel II

Przejścia fazowe pierwszego rodzaju

Nieciągła pierwsza pochodna entalpii swobodnej G

TG

Klasyfikacja Ehrenfesta przejść fazowych

Nieciągłość n-tej pochodnej entalpii swobodnej G (funkcji Gibbsa) w punkcie(temperaturze) przemiany określa jej rząd

TermodynamikaPrzejścia fazowe pierwszego rodzaju (nieciągłe)

G

T (K)TM

Gsolid

Gliquid

STG

p

Sliquid > Ssolid

W punkcie przejścia fazowego Gsolid=Gliquid

Ciepło utajone – współistnienie faz

pT

G

– nieciągła !

TermodynamikaPrzejścia fazowe pierwszego rodzaju (nieciągłe)

p

IIIII

p

I

T

IIIII

T

I

TGSS

TG

TGVV

TG

TermodynamikaPrzejścia fazowe drugiego rodzaju (ciągłe)

p

II

p

IIpIIpI

p

I

p

I

p

IIIII

p

I

T

IIIII

T

I

III

TG

TS

Tc

Tc

TS

TG

TGSS

TG

pGVV

pG

GG

2

2

2

2

TermodynamikaPrzejścia fazowe drugiego rodzaju (ciągłe)

Przykłady przejścia fazowego drugiego rodzaju

100 150 200 250 3000

2

4

6

8

10

12

R (

)

T (K)

YBa2Cu

3O

7 film

Tc=90 K

DyBa2Cu3O7

Nadprzewodniki

Nadciekły hel

TermodynamikaMetody transportu ciepła

konwekcja przewodzenie promieniowaniePrzykłady:

Prawo stygnięcia (prawo stygnięcia Newtona):"Szybkość z jaką układ stygnie jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy układem a otoczeniem."

tk

R

tkRR

tk

R

R

R

RtT

TR

T

T

t

RR

RRR

R

TeTT

eTTTTeTTTT

tkTTTTtkTT

dtkTT

dTdtkTT

dT

TTkTTcmdt

dTTTdt

cmdT

cmdTdQTTdtdQ

00

00

0

ln)ln(

)()(

)()()(

)(

0

0

TermodynamikaPrawo Fouriera

Gęstość przewodzonego strumienia ciepła jest wprost proporcjonalna do natężenia pola temperatury E, określonego przez wielkość gradientu temperatury

),,,( tzyxTgradEdtdQ

gdzie jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego

Zbiornik ciepła T1

Chłodnica T2

l

S

Sl

TTtQ 12

Termodynamika

Równanie przewodzenia ciepła mechanizmy:- fonony- elektrony

TV

eCVtV t

1

0

0 500 1000 1500 2000 2500

100

150

200

250R^2 = 0.99922A 85B 210.28758 ±0.16324C 786.20552 ±0.76833

T [K

]

t [s]

TermodynamikaRozszerzalność cieplna (termiczna)

tLLtLLL

tLLtLL

10

00

0

0

·10-6 [K-1]

aluminium 23

arsen 6

kobalt 12.6

żelazo 12.5

potas 84

srebro 20

porcelana 4

stal 13

diament 1

Rozszerzalność liniowa

Rozszerzalność objętościowa

tVV 10

3Dla ciał izotropowych

TermodynamikaRównanie stanu gazów rzeczywistych

constRTMmpV

RTbVVap

2

Równanie van der Waalsagazu rzeczywistego (dla 1 mola)

Substancja a[10-5

Nm4/kmol2]b[103 m3/kmol]

HelWodórArgonTlenAzotDwutlenek węgla

0.0340.2481.321.381.364.01

23.4126.6130.3232.5838.5242.69

TermodynamikaRównanie stanu gazów rzeczywistych

objętość molowa

ciśn

ieni

e p

Gaz idealny

obszarkoegzystencji

Wartości krytyczne pk, Vk, Tk

Krzywe równowagi faz

Termodynamika

T

p

Ciałostałe gaz

ciecz

Punkt potrójny

p.krytyczny

CO2

T

p

Ciałostałe gaz

ciecz

H2O

sublimacja

wrzenietopnienie

Materiały źródłowe:J. Orear, Fizyka, WNT 1990, t.1 I 2 R. Resnic, D. Halliday, Fizyka, PWN, t. I i II, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, t. I-V C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN E.M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN F.C. Crawford, Fale, PWN E.H. Wichmann, Fizyka kwantowa, PWN F. Reif, Fizyka statystyczna, PWN R.P. Feynman, R.B.Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, PWN, t. I, cz. I i II, t. II, cz.I i II, t. III A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, t. I i II J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN

Matematyka F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorow, PWN

http://pl.wikipedia.org/wikihttp://portalwiedzy.onet.plhttp://www.bazywiedzy.comhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.eduhttp://www.physicsclassroom.comhttp://www.rapidtables.comhttp://chemistry.about.comhttp://www.britannica.comhttp://www.newscientist.comhttp://www.learner.org