Wykład z fizyki

dr Ewa Popko

Cząstka

Obiekt o masie różnej od zera i rozmiarach punktu (zero-wymiar)

Dla ruchu translacyjnego można założyć, że obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu umieszczonej w centrum jego masy.

Wektor położenia

r

O

r

r rx

y

z

z

x

y

r = [x,y,z]

Wektor przemieszczenia

r = r(t2) – r(t1)x

y

z

r(t)r(t2)r(t1)

r

Wektor prędkości

x

y

z

r(t)

vdr

tdt

dr

r(t+dt)

v

dv

-v(t)

v(t+dt)

Przyspieszenie

x

y

z

v(t)

adv d r

tdt dt

2

2

v(t+dt)a(t)

Pochodna wektora

Pochodną funkcji f(x), jest funkcja f ’(x):

f (x)

f (x+x) f

0' lim

x

x x xx

x

f f

f

f x

Pochodna funkcji

Infinitezymalna zmiana df wartości funkcji f (x) spowodowana infinitezymalną zmianą dx jej argumentu nazywa się pochodną funkcji.

' x dx df f

xdx

dff(x)

' xdx

df

f

f

Różniczkowanie wektora

t

tttlim

dt

d0t

AAA

t

,...tA,tA,...ttA,ttAlim 2121

0t

,...t

tAttA,

t

tAttAlim 2211

0t

,...

dt

dA,

dt

dA 21

Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.

z

Ruch pocisku

20z0y0x000 tg,0,0

2

1tv,v,vz,y,xt r

W chwili t prędkość

tg,0,0v,v,vt 0z0y0x v

I przyspieszenie

g,0,0t a

UWAGA!

Słuszne tylko gdy przyspieszenie jest stałe.x

v

vx

a

vz

a

vx

vvz

a

vx

v

a

vx

vvz

Relacja odwrotnaPodstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego:: Niech f (t) będzie funkcją ciągłą, pochodną funkcji F(t), czyli f (t) = F’(t) wtedy

12

t

t

tFtFdttf2

1

A więc:

Jeśli znana jest prędkość cząstki w chwili t1 a przyspieszenie we wszystkich chwilach t' w całym przedziale między t1 i t jest równe a, to prędkość cząstki w chwili t jest równa:

t

t1

1

'dt'ttt avv

Relacja odwrotna

Jeśli znane jest położenie cząstki w chwili t1 i znana jest prędkość w chwilach t' pomiędzy t1 a t, to położenie cząstki w chwili t jest dane wzorem:

… i

t

t1

1

'dt'ttt vrr

Całka funkcji wektorowej

0

limb

i ixi ia

f x dx f x x

a bxi

x

f (xi)

Interpretacja geometryczna;Powierzchnia pod krzywą

Całka z funkcji wektorowej f (x) na przedziale [a,b] jest zdefiniowana następująco:

0

limb

i ixi ia

x dx x x

f f

i

Całkowanie wektora

iii

0t

b

att~limdt

i

AA

i

ii2i10t

t,...t~A,t~Alimi

,...tt~Alim,tt~Alim

iii2

0tiii1

0t ii

,...dtA,dtAb

a2

b

a1

Każdą składową wektora całkuje się osobno.

np: ruch ze stałym przyspieszeniem -przyspieszenie nie zależy od czasu

Prędkość cząstki jest liniową funkcją czasu.

t'dtt 0

t

0t0

0

avavv

gdzie: 00 vv (prędkość początkowa)

Położenie cząstki jest kwadratową funkcją czasu

2

tt'dt'tt

2

00

t

0t00

0

avravrr

gdzie (położenie początkowe) 00 rr

szybkość

Moduł wektora prędkości jest zwany szybkością

v v

v t ddt

ddt

d ddt dt

ddt

( )

r r r r l

dr

wniosek

Długość drogi cząstki jest równa całce z szybkości po czasie.

Wartość średnia

Wartość średnia funkcji f (x) w przedziale a,b jest liczbą:

( , )

b

aav

f x dx

f a bb a

a b

x

fav

uwagab

a

b a dx

Wektor prędkości średniej

12

t

tav tt

dtt2

1

v

v

12

12

tt

tt

rr

t

r

t1

t2

r

Jest to stosunek wektora przemieszczenia do czasu trwania ruchu

Średnie przyspieszenie

12

t

tav tt

dtt2

1

a

a

12

12

tt

tt

vv

t

v

t1

t2v

Układ biegunowy

początek

O

P(r, )

r00Θ

r

UB - UK

y = R sin()= R sin(t)

x = R cos()= R cos(t)

UUB

= arctan (y/x)

R2 = x2+y2

Prędkość w UB

dtd

v

dtd

dtdr

)(dt

00

000

0

rrv

rrr

drv

rr

r

rrdtd

r

00

00

00

Θr

Θr

rr

dt

d

dt

d

dd

ddd

r0(t+dt)

początek

O

P(r, )

r0(t)0Θ

dr0

Prędkość w UB

0Θ0rΘr Θvrvvvvdtd

riz v

000

0 Θrr

rvdtd

rr v

dtd

v

00 Θ

r

dtd

dt

d

Vr – prędkość radialna; V - prędkość transwersalna

v r 0 0v r Θ

Prędkość kątowa

dtdΘ

ω

dtdω

α Przyśpieszenie kątowe

Przyspieszenie dośrodkowe

• Jest to przyspieszenie skierowane do środka koła:

vv2

RRRR

1

1

vlub

v

ss

R R

vvTrójkąty podobne:

Rv

a2

dosr

1v

Rsrs

at t

v

1 1

0 0

v vlim limt t

s sa

R t R t

Ruch jednostajny po okręguJest to ruch ze stałą szybkością .

r

v

x

y

z

v r

0,sin,cos ttrt r

rωv 0,cos,sin ttrt

dosrara 22 0,sin,cos ttrt

a

dtdθ

ω

rωvdr

rdθdr

dt

/1/dt

Ruch jednostajny po okręgu

a = arad =adosr

Ruch niejednostajny po okręgu

dtd

dtd

dtd

dtd r

ωrω

rωv

a )(

dtdω

2)()( ωrrωωrrωωrvωra

= 0

dosrstyczne aarra 2

r

v

x

y

z

dtdθ

ω

astyczne

dωniech dω ω

adosr

Ruch niejednostajny po okręgu

tan

2v

adt

da

ar

a

styczne

raddosr

v

UKartezjański i UBiegunowy

RR

vv

st

(x,y)

y = R sin()= R sin(t)x = R cos()= R cos(t) = arctan (y/x)

= ts = v ts = R = Rt

v = R

Okres i częstotliwość1 obrót = 2 radianów (a)okres (T) = sek / obroty (b)prędkość kątowa () = rad / sek Z (a) i (b)

= 2 /T

częstotliwość (f) = obroty / sek

więc T = 1 / f = 2/

RR

vv

s

= 2 / T = 2f

Obrót wokół ustalonej osi• Niech t

• Przyspieszenie kątowe:

2

2

dt

d

dt

d

Niech = constant.

Po scałkowaniu:

t

0

constant

200 2

1tt

Obrót

– s = R– v = R– at = R– at - przyspieszenie styczne

R

v

s 2αt

21

t0

ω0

θθ

αt0

ωω

α

const

Współrzędne biegunoweW układzie kartezjańskim - prędkość dx/dt = v.

Dla v=const x = vt

W układzie biegunowym - prędkość kątowa d/dt = .Dlaconst = t

[radiany/sek]

s = vt.ale też s = R = Rt, więc:

RR

vv

x

y

st

v = R

Porównanie

kątowe liniowe

constant

t 0

0 021

2t t

constanta

v v at 0

x x v t at 0 021

2

x = rv = rat = r