Równania o prawych stronach analitycznych 9–1

9 Równania różniczkowe zwyczajne o

prawych stronach analitycznych

Definicja. Mówimy, że funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest

analityczna w punkcie (y1, . . . , ym) ∈ E, jeżeli istnieją r1 > 0, . . . , rn > 0,takie, że

• (y1 − r1, y1 + r1)× · · · × (ym − rm, ym + rm) ⊂ E,

• f obcięta do zbioru (y1 − r1, y1 + r1)× · · · × (ym − rm, ym + rm) jestsumą szeregu potęgowego m zmiennych zbieżnego w każdym punkcietego zbioru.

Funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ Rm jest obszarem, jest analityczna na E,

gdy jest analityczna w każdym punkcie tego obszaru.

Funkcja wektorowa określona na obszarze E ⊂ Rm jest analityczna na E,

gdy każda z jej współrzędnych jest analityczna naE.

Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie Cauchy’ego). Niech f : (a, b)×D → Rn,

gdzie D ⊂ Rn jest obszarem, będzie funkcją analityczną na (a, b)×D.

Wówczas dla każdego t0 ∈ (a, b) i każdego x0 ∈ D istnieje dokładnie jednorozwiązanie nieprzedłużalne ϕϕϕ : (α, β)→ D zagadnienia początkowego

x′ = f(t,x)

x(t0) = x0.

Rozwiązanie to jest funkcją analityczną na (α, β).

9.1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe

jednorodne o współczynnikach analitycznych

Twierdzenie 9.2. Załóżmy, że w równaniu różniczkowym liniowym

jednorodnym

(RLJAn) x(n) + p1(t)x(n−1) + · · ·+ p

n−1(t)x′ + p

n(t)x = 0

każda z funkcji p1, . . . , pn jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego naprzedziale (t0 − r0, t0 + r0), gdzie r0 > 0. Wówczas dla każdego

9–2 Skompilował Janusz Mierczyński

(x0, x1, . . . , xn−1) ∈ Rn rozwiązanie zagadnienia początkowego

x(n) + p1(t)x(n−1) + · · ·+ p

n−1(t)x′ + p

n(t)x = h(t)

x(t0) = x0

x′(t0) = x1...

x(n−1)(t0) = xn−1.

jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego na przedziale (t0 − r0, t0 + r0).Współczynniki tego szeregu potęgowego można wyliczyć przez podstawienie

odpowiednich danych do równania.

9.2 Równania różniczkowe Legendre’a

Definicja. Równaniem różniczkowym Legendre’a 1 nazywamy równanieróżniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne

(RLegα) (1− t2)x′′ − 2tx′ + α(α + 1)x = 0,

gdzie α ∈ R, rozpatrywane na przedziale (−1, 1).

Łatwo zauważyć, że po przekształceniu

x′′ −2t

1− t2x′ +α(α+ 1)

1− t2x = 0

funkcje p1(t) = −2t/(1− t2) i p2(t) = α(α+ 1)/(1− t

2) można wyrazić jakosumy szeregów potęgowych zbieżnych na (−1, 1). Z Twierdzenia 9.2 wynika,że każde rozwiązanie równania Legendre’a (RLeg

α) jest funkcją będącą

sumą szeregu potęgowego zbieżnego na (−1, 1).Oznaczmy przez ϕ1 rozwiązanie równania Legendre’a (RLegα) z warunkamipoczątkowymi x(0) = 1, x′(0) = 0, i przez ϕ2 rozwiązanie równania (RLegα)z warunkami początkowymi x(0) = 0, x′(0) = 1. Rozwiązania ϕ1 i ϕ2 możnazapisać w postaci sum następujących szeregów potęgowych (o przedziałachzbieżności zawierających, na podstawie Twierdzenia 9.2, przedział (−1, 1)):

ϕ1(t) = 1 +

+∞∑

m=1

(−1)m(α + 2m− 1)(α + 2m− 3) . . . (α + 1)α(α− 2) . . . (α− 2m+ 2)

(2m)!t2m,

1Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), matematyk francuski

Równania o prawych stronach analitycznych 9–3

ϕ2(t) = t+

+∞∑

m=1

(−1)m(α + 2m)(α + 2m− 2) . . . (α + 2)(α− 1)(α− 3) . . . (α− 2m+ 1)

(2m)!t2m+1.

Zakładamy odtąd, że α jest liczbą całkowitą nieujemną n.Jeśli n jest parzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 tylko skończenie wielewspółczynników jest różnych od zera (zatem ϕ1 jest wielomianem), zaś wewzorze na ϕ2 wszystkie współczynniki są niezerowe (zatem ϕ2 nie jestwielomianem).Jeśli n jest nieparzyste, wówczas we wzorze na ϕ1 wszystkie współczynnikisą niezerowe (zatem ϕ1 nie jest wielomianem, zaś we wzorze na ϕ2 tylkoskończenie wiele współczynników jest różnych od zera (zatem ϕ2 jestwielomianem).W obu przypadkach, zbiór rozwiązań równania różniczkowego Legendre’abędących wielomianami tworzy przestrzeń liniową wymiaru jeden.

Definicja. n-tym wielomianem Legendre’a, gdzie n = 0, 1, 2, 3, . . . ,nazywamy rozwiązanie P

n(·) równania różniczkowego Legendre’a

(RLegn) (1− t2)x′′ − 2tx′ + n(n + 1)x = 0

będące wielomianem, znormalizowane tak, że dla t = 1 przyjmuje wartość 1.

Niechϕ(t) := ((t2 − 1)n)(n).

Oznaczmy u(t) := (t2 − 1)n. Różniczkując tę funkcję n+ 2 razy,otrzymujemy

(t2 − 1)u(n+2)(t) + 2t(n+ 1)u(n+1)(t) + (n+ 1)nu(n)(t)

− 2ntu(n+1)(t)− 2n(n + 1)u(n)(t) = 0.

Ponieważ ϕ(t) = u(n)(t), funkcja ϕ spełnia zatem równanieLegendre’a (RLeg

n).

Dalej, zauważmy że

ϕ(t) = ((t− 1)n(t+ 1)n)(n) = ((t− 1)n)(n)(t+ 1)n + v(t) = n!(t+ 1)n + v(t),

gdzie v(1) = 0. Zatem ϕ(1) = n!2n.Z powyższych rozumowań wynika, że

Pn(t) =

1

n!2n((t2 − 1)n)(n)

9–4 Skompilował Janusz Mierczyński

(jest to tzw. wzór Rodriguesa 2). W szczególności, n-ty wielomianLegendre’a to wielomian stopnia n, o współczynniku przy najwyższejpotędze równym (2n)!/(2n(n!)2).

2Benjamin Olinde Rodrigues (1795 – 1851), matematyk francuski