WYKŁAD DLA KIERUNKU MECHANIKA I BUDOWA · PDF fileMECHANIKA I BUDOWA MASZYN 1. 1. Analiza...

WYKŁAD DLA KIERUNKUMECHANIKA I BUDOWA MASZYN

1

1. Analiza strukturalna2. Więzy bierne i ich eliminacja3. Analiza kinematyczna4. Analiza kinematyczna c.d. – metody wektorowe5. Metody analityczne kinematyki6. Charakterystyka manipulatorów. Układy płaskie7. Kinematyka manipulatorów, jakobian8. Opis macierzowy układów przestrzennych9. Notacja Denavita-Hartenberga10. Przekładnie zębate obiegowe11. Wprowadzenie do dynamiki mechanizmów12. Analiza kinetostatyczna13. Analiza sił - metoda prac przygotowanych14. Badanie ruchu układów płaskich. Modele, redukcja sił i mas15. Nierównomierność biegu maszyny, sposoby regulacji

2

3

U K Ł A D Y M E C H A N I C Z N E:

Grupa I Elementy składowe nie przemieszczają się względem

siebie

konstrukcja nośna dachu hali,

wieża stalowa, most, korpus maszyny

Grupa II Elementy składowe przemieszczają się względem siebie

układ korbowy silnika spalinowego

zawieszenie koła samochodu, samolotu

schody ruchome

wysięgnik koparki, ładowarki

robot

4

UKŁADY KINEMATYCZNE:

MECHANIZMY MASZYN I URZĄDZEŃ,

POJAZDÓW, ROBOTÓW

(MANIPULATORY), …

5

Kurs ma nauczyć:

budowy i działania układów kinematycznych

metod analizy – opisu własności kinematycznych i dynamicznych

budowy i własności wybranych mechanizmów

Wiedza PRZYDATNA do:

projektowania, konstruowania i eksploatowania

6

Poszczególne działy TMiM:

struktura układów kinematycznych (el. składowe, połączenia,

własności ruchowe),

kinematyka (wyznaczanie parametrów ruchu)

dynamika

równowaga statyczna i kinetostatyczna (siły masowe ,siły w

połączeniach, siły napędzające, tarcie, sprawność),

badanie ruchu układów masowych

10

układ mechaniczny

sterowanie

11

SILNIKPRZEKŁ.

GŁÓWNA

PRZEKŁ.

RÓŻNICOWA

Schematyzacja

12

Schematyzacja

13

Schematyzacja

14

Schematyzacja

15

l

Własności

16

CZŁONY – elementy składowe układu kinematycznego

17

CZŁONY – elementy składowe układu kinematycznego

PRZEMIESZCZAJĄ SIĘ WZGLĘDEM SIEBIE

19

Klasy parf=5 → para V klasy

f=4 → para IV klasy

f=3 III

f=2 II

f=1 I

f=0 ???

f=6 ???

21

Pary kinematyczne układów płaskich

22


23


24

PARY:

WYŻSZE - styk punktowy lub liniowy

NIŻSZE: styk powierzchniowy

RODZAJ STYKU DECYDUJE O MOŻLIWOŚCI PRZENOSZENIA

DUŻYCH/MAŁYCH SIŁ W KONTAKCIE DWÓCH CZŁONÓW

Mechanizmy w których człony są połączone wyłącznie parami niższymi

nazywane są mechanizmami dźwigniowymi

Przykłady mechanizmów dźwigniowych ? (duże siły)

25

W=1

26

W=2

28

0

1

2

k

n = k + 1

29

Ruchliwość układów płaskich (2D):

Oznaczenia:

k – liczba członów ruchomych

n = k + 1 – wszystkie człony

p1 – liczba par I klasy,

p2 – liczba par II klasy

0

1

2

k

n = k + 1

30

Ruchliwość układów płaskich (2D):

0

1

2

k

n = k + 1

człon ma 3 stopnie swobody

k członów ma 3k = 3(n-1) stopni

swobody

utworzenie pary kinematycznej i-tej

klasy odbiera (3-i) stopni swobody

31

Układy płaskie (2D)

21 1213 ppnWT

54321 1234516 pppppnWT

Układy przestrzenne (3D)

TW RUCHLIWOŚĆ TEORETYCZNA !!!

33

1

1

2

2

2

1

TW

p

p

k

W = ?

34

1RW

W = ?

TW

21 ,, ppk

35

1TW 2TW

PORÓWNANIE

36

RUCHLIWOŚĆ LOKALNA

2TW

12

1

LTR

R

WWW

W

37

CZY JEST RUCH?

38

Szczególna geometria: człon BC prostoliniowy

011

0

LTR

R

WWW

W

Układ można

zmontować w 4

konfiguracjach

Jakich?

39

LTR WWW


40

41

00;6;5 21 TWppn

1RW?

42

BLTR WWWW

Więzy bierne – dodatkowe, zbędne

kinematycznie ograniczenia ruchuBW

43

UKŁAD NIERACJONALNY

44

14 RT WW

UKŁAD NIERACJONALNY – Z WIĘZAMI BIERNYMI

5041 BLTR WWWW

46

13 RT WW

4031 BLTR WWWW4BW

47

00 00h

48

00 00h 01 h01

49

Warunki ruchu

(geometria!)

UKŁAD Z WIĘZAMI BIERNYMI -

NIERACJONALNY

50

Modyfikacja struktury tak, aby:

WB = 0, brak więzów biernych,

WL = 0, brak ruchliwości lokalnych

wirnik powinien tworzyć z podstawą dwie pary

kinematyczne2 ip

51

WT = 6k -5p1 -4p2 -3p3 -2p4 -1p5

1 = 61 -50 -41 -30 -20 -11

1 = 61 -50 -40 -31 -21 -10

52

Rozwiązanie: k = 1, p3 = 1, p4 = 1

UKŁAD BEZ WIĘZÓW BIERNYCH - RACJONALNY

53

tarcie,

brak

poślizgu

Przekładnia cierna

54

tarcie,

brak

poślizgu

1001

032231

BLTR

TR

WWWW

WW

Przekładnia cierna

55

tarcie,

brak poślizgu

R

r

L

Warunek ruchu: L = R+r

Co gdy L > r+R ?

Co gdy L < r+R ?

56

WT =

BW

Racjonalne rozwiązanie?

57

4 x R (I klasa)

58

WNIOSKI:

Odstępstwo od tej zasady może być tylko świadome!!!

Ruch układu z więzami biernymi jest możliwy tylko dla szczególnych

warunków geometrycznych

Odchyłki wymiarów liniowych i kątowych zawsze skutkują kłopotami

montażowymi, dodatkowymi siłami, obniżeniem trwałości układu

kinematycznego

SĄ WIĘC NIERACJONALNE STRUKTURALNIE

W praktyce należy projektować układy racjonalne


59

60

położenia (konfiguracja) układu ↔

prędkość ↔ przyspieszenie

61

2

2vv

dt

sd

dt

dsa

dt

dss KK

KKK

KK

przemieszczeniu liniowemu sK(t) punktu K odpowiadają

prędkość i przyspieszenie liniowe

2

2

dt

d

dt

d

dt

d kkkk

kkk

przemieszczeniu kątowemu k(t), członu k odpowiadają

prędkość i przyspieszenie kątowe

62

METODY ANALIZY KINEMATYCZNEJ

graficzne

analityczne

numeryczne

Po co kinematyka?

wstępny etap projektowania

nie ma dynamiki bez kinematyki !!!

63

A

B

C

D

Podziałka długości:

mm

m

BC

BCl

100

1

)(

PODZIAŁKI RYSUKOWE

64

Podziałka siły:

mm

N

F

FF 1

100

100

)(

65

PODZIAŁKI OGÓLNIE

)(i

ii wielkość rzeczywista

wielkość rysunkowa

mm

ms

)v(

v -1

vPodziałka prędkości

mm

ms

)a(

a -2

aPodziałka przyspieszenia

66

A

BC

D

j

M

RYSOWANIE POŁOŻEŃ

67

A

BC

D

C*

j

M

68

A D

B

B1

C

E

F

Położenie - konfiguracja układu Człon AB obraca się do AB1

Co z pozostałymi członami?

69

A D

B

B1

C

E

F

trajektorie niektórych punktów są oczywiste

70

A D

B

B1

C

E

F

C1

F1

E1

Człony nie zmieniają wymiarów (sztywne)

71

Położenie - konfiguracja układu

A D

B C

E

F F1

R=EF

Przemieszcza się suwak: F → F1

Co z pozostałymi członami?

72

A D

B

C

E

F

F1

tor E - E

73

A D

B

C

E

F

F1

tor E - E

R=EF

74

A D

B

C

E

F

F1

E1 tor E - E

R=EF


75

76

METODY WEKTOROWE,

GRAFICZNE

77

Dwa człony – ruch płaski

78

A

Bv

B

AAv

k

{0}

0

B

v styczne do toru

79

ruch płaski ruch obrotowy

80

k0

B

k0

A

BS

v

AS

vk

ktgj

)(BS

)(v

)(AS

v

k0

B

k0

A

81

B

a

A

b

vA = vB vBA=vAB=0

SAB

{0}

2 człony ruchome

liczba śr. obrotu:

2

1

2

nnni KAŻDY Z KAŻDYM !

82

6

2

144

i

23

1312

030201

S

SS

SSS

83

13

02

S

S

23

12

0301

S

S

SSpary kin.

???

84

VB

VC

S20

85

1, 2, 0 S12 i S10 S20

3, 2, 0 S32 i S30 S20

86

twierdzenie o trzech

śr obrotu:

trzy człony j, k, l trzy

środki obrotu Sjk Sjl Skl

leżące na jednej prostej

87

3010 SiS

2312 SiS13S

88

0

13

2

M

89

0

13

2

10

21

32

M

30

90

0

13

2

10 30

21

32

20

31

M

10

3010 SiS

3221 SiS31S

.......... SiS

.......... SiS20S

91

0

13

2

10 30

21

32

20

31

M

VM

10

92

Równania wektorowe

plan prędkości

plan przyspieszeń

93

0t

(2D) – punkty M i N – jeden człon

94

NMMN vvv

MNkNM rωv

t

NM

n

NMMNMMN aaaaaa

MNkMNkk

n

NM rrωωa2

MNk

t

NM rεa

95

A

B

C

K

D0

1

2

31const

ABωv 1B1B ABωv

T2R

96

A

B

C

K

D0

1

2

31constkvC

kvCB

CBBC vvv

kvCBkvC

vB vCB

vCpv

c

b

97

A

B

C

K

D0

1

2

31const

kvKB

kvKC

KCCKBB

KCCK

KBBK

vvvv

vvv

vvv

vB

vCB

vCpv

c

b

k

kvKC

kvKBvKB

vK

98

.kc

KC

bk

BK

bc

BC

ΔbckΔBCK

const

~

A

B

C

K

D0

1

2

31const

kvKB

kvBC

kvKC

kvCB

vB

vCB

vCpv

c

b

k

kvKC

kvKBvKB

vK

PODOBIEŃSTWO

członu BCK i planu bck

99

A

B

C

K

D0

1

2

31const

t

B

n

BB aaa

100

A

B

C

K

D0

1

2

31const

AB

vABωa)(

2

B2

1

n

B11

n

B ABωωa

0AB0ABεa 1

t

B1

t

B ABεa

101

A

B

C

K

D0

1

2

31const

Ca

t

CBa

c

b

Cka

Ban

CBa

CBa

t

CBka

n

CBka

pa

t

CB

n

CB

n

BC

CBBC

aaaa

aaa

CB

va

2

CBn

CB

102

ΔbckΔBCK~

PODOBIEŃSTWO

członu i planu a

A

B

C

K

D0

1

2

31const

Ca pac

bk

Ba

103

(2D) – punkty J i K - dwa człony j, k

KJJK vvv

ρωv k

j

KJ

104

C

KJ

t

KJ

n

KJJKJJK aaaaaaa

ρρωωa2

k

j

k

j

k

jn

KJ

ρεa k

jt

KJ

KJj

C

KJ vωa 2


105

106

OPIS KINEMATYKI

(RÓWNANIA – NA POŁOŻENIA, PRĘDKOŚCI I

PRZYSPIESZENIA)

OTRZYMUJE SIĘ M.IN. W OPARCIU

O W I E L O B O K W E K T O R Ó W,

KTÓRY ZASTĘPUJE UKŁAD KINEMATYCZNY

107

a a sin

a cos

Rzuty wektorów

108

a

a sin

a cos

109

A

B C

D

yo

xo

110

A

B C

D

1

1, a

2, b

3, c

0, d 3

2

yo

xo

0cdba

111

Rzuty na osie x i y

0sinsinsin

0coscoscos

321

321

cba

cdba

A

B C

D

1

1, a

2, b

3, c

0, d 3

2

yo

xo

112

Rzuty na osie x i y

0sinsinsin

0coscoscos

321

321

cba

cdba

Dane: a, b, c, d oraz 1 Określić: 2 i 3

113

2

312

2

312

sinsinsin

coscoscos

cab

cdab

2

312

22

2

312

22

sinsinsin

coscoscos

cab

cdab

114

231

2

31

2

2

2

22

sinsincoscos

sincos

cacda

b

3131

31

2222

coscossinsin2

cos2cos2

ac

cdaddcab

115

ac

dcbak

c

dk

a

dk

2

2222

321

313131 coscoscossinsin

3131231 coscoscos kkk

Podstawienie

116

Podstawienie:

2tan1

2tan1

cos

2tan1

2tan2

sin32

32

3

32

3

3

117

02

tan2

tan 332

CBA

gdzie:

31211

31211

cos1sin2

coscos

kkkCB

kkkA

A

ACBB

2

4tan

2

213

2

rozwiązania

118

Podobna droga do 2

2

321

2

321

sinsinsin

coscoscos

cba

cdba

22

21

2

21 sinsincoscos cbadba

i tak dalej … wyznaczamy 2

119

0

1 3

2

120

0

1 3

2

0

1 3

2

121

0cdba 2 równania rzutów

A

B C

D

1

1, a

2, b

3, c

0, d 3

2

yo

xo

122

0sinsinsin

0coscoscos

321

321

cba

cdba

Równania rzutów = równania położeń:

Zmienne:

)(),(),( 321 ttt 1 zmienna niezależna

(napęd), np. )(1 t

123

0coscoscos

0sinsinsin

332211

332211

cba

cba

Równania prędkości – 1-sza pochodna po czasie

3,2,1

idt

di

ii

124

Uporządkowanie

0coscos

sinsin

cos

sin

3

2

32

32

1

1

1

cb

cb

a

a

1

1

1

1

32

32

3

2

cos

sin

coscos

sinsin

a

a

cb

cb

Gdy dane 1

znane wartości (liczby) dla

określonego położenia

odwracanie macierzy

125

Równanie prędkości

0sincos

sincossincos

0cossin

cossincossin

3

2

333

2

2

2221

2

111

3

2

333

2

2

2221

2

111

cc

bbaa

cc

bbaa

Równania przyspieszeń – 2-ga pochodna po czasie

3,2,12

2

idt

d

dt

di

iii

0coscoscos

0sinsinsin

332211

332211

cba

cba

126

0sinsin

coscos

coscos

sinsin

sincos

cossin

2

3

2

2

32

32

3

2

32

32

2

1

1

11

11

cb

cb

cb

cb

aa

aa

Uporządkowanie

127

2

1

1

11

11

2

3

2

2

32

32

1

32

32

3

2

sincos

cossin

sinsin

coscos

coscos

sinsin

aa

aa

cb

cb

cb

cb

Gdy dane 1 i 1

128

0,...,,,...,,,...,

...

0,...,,,...,,,...,

0,...,,,...,,,...,

111

11122

11111

mnkmm

mnk

mnk

xxqqwwff

xxqqwwff

xxqqwwff

0,, xqwf

w – wektor wymiarów członów (liniowych i kątowych),

q – wektor znanych współrzędnych wektorowych (zmienne niezależne,

napędy),

x – wektor nieznanych współrzędnych wektorowych (zmienne zależne)

R. wektorowe

R. rzutów na x, y

129

0],[ tt qxf

00

q

q

fx

x

ff

dt

d

Ax

f

m

mmm

m

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

...

...

...

21

1

2

1

1

1

Tmxx ...1x zmienne zależne

130

Bq

f

n

mmm

n

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

...

...

...

21

1

2

1

1

1

qBxA

Tnqq ...1q zmienne niezależne, napędy

qBAx 1 R. PRĘDKOŚCI

131

Tnqq ...1q

Tmxx ...1x

qBqBxAxA qBxA

qBqBxAAx 1

R. PRZYSPIESZEŃ

132

M

MM yxqq 21,

133

0qcba 2 0sinsinsin

0coscoscos

2211

2211

xqxbqa

xqcxbqa

M

134

M

0sinsinsin

coscoscos

2211

2211

2

1

xqxbqa

xqcxbqa

f

ff

q1, q2 - zmienne niezależne (znane wymuszenia),

x1, x2 – zmienne zależne (niewiadome),

135

221

221

coscos

sinsin

xqxb

xqxb

x

fA

0sinsinsin

coscoscos

2211

2211

2

1

xqxbqa

xqcxbqa

f

ff

Ax

f

m

mmm

m

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

...

...

...

21

1

2

1

1

1

136

0sinsinsin

coscoscos

2211

2211

2

1

xqxbqa

xqcxbqa

f

ff

Bq

f

n

mmm

n

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

...

...

...

21

1

2

1

1

1

21

21

sincos

cossin

xqa

xqa

q

fB

137

Txx 21x Tqq 21q

qBAx 1

2

1

21

21

1

221

221

2

1

sincos

cossin

coscos

sinsin

q

q

xqa

xqa

xqxb

xqxb

x

x

Równanie prędkości

138

221

221

coscos

sinsin

xqxb

xqxb

x

fA

2222211

2222211

sincossin

cossincos

xqxxqxbx

xqxxqxbx

dt

d

AA

139

21

21

sincos

cossin

xqa

xqa

q

fB

2211

2211

cossin

sincos

xxqaq

xxqaq

dt

d

BB

140

Txx 21, x

Tqq 21, q

qBqBxAAx 1

Równanie przyspieszeń


141

142

MECHANIZMY ROBOTÓW

M A N I P U L A T O R Y

143

ROBOT JAKI JEST, KAŻDY WIDZI

układ mechaniczny

sterowanie

144

CZUJNIKI

CZUJNIKI

OTOCZ.JEDN.

STERUJ. NAPĘDY MANIP. EFEKTOR

układy mechaniczne

145

ZASTOSOWANIA:

PRACA W SRODOWISKU NIEBEZPIECZNYM:

•PROMIENIOWANIE, SKAŻENIE

•ZAGROŻENIE EKSPLOZJĄ (POLICJA, WOJSKO)

•WYSOKIE CIŚNIENIE, GŁĘBIA

UCIĄŻLIWE I POWTARZALNE OPERACJE TECHNOLOGICZNE

•MONTAZOWE, SPAWALNICZE, OBRÓBCZE, ...

MEDYCYNA, OCHRONA ZDROWIA

•REHABILITACJA

•ZABIEGI OPERACYJNE

•OPIEKA NAD NIEPEŁNOSPRAWNYMI i … inne

146

MANIPULATOR

KOPIUJĄCY

-małe siły (napędza operator),

- małe odległości (długi

łańcuch kinemat błędy)

servo

compute

r

147

servo

compute

r

operator steruje za pomocą

przycisków (brak „czucia”)

148

Serwonapędy – operator

„czuje” siłę

servo

compute

r

149

servo

compute

r

Robot współczesny

152

EFEKTOR

KORPUS

RUCHY

LOKALNE

RUCHY

REGIONALNE

LOKOMOCJA

Robot

przemysłowy

Struktura

153

Rozwiązania możliwe (układy 3D, uniwersalne)

x,y,z – pozycja efektora (3

st. swobody)

, , – orientacja efektora (3 st.

swobody)

Wymagana ruchliwość:

W = 3 + 3 (+ 1 na chwyt)

154

schemat ogólny, tylko pary 1 kl: R i/lub T

A

B

C

A T T T R T R R R

B T T R R R T T R

C T R R R T T R T

3T 2TR T2R 3R TRT R2T RTR 2RT

155

3T

156

3T

2TR

157

3T

2TR

3R

158

Manipulatory o strukturze:

szeregowejrównoległej

159

TTT

160

RTT

161

RRT

162

SCARA

RRR

163

W=1

W=2

W=3

164

STREFA ROBOCZA

165

Kąt i współczynnik serwisu

kąt serwisu:

współczynnik serwisu:

S

sk

p

4

10 k

166

k = 1

167

k = 1

k = 0

168

Manewrowość (redundancja)

Ruchliwość po unieruchomieniu efektora (chwytaka)

169

RRT

RRR

Układy płaskie W = 3

170

RTR

TRR

171

W = 3

pary R i/lub T

175

mechanizm i manipulator równoległy:

człony, pary kinematyczne, struktura oparta na

łańcuchach zamkniętych; jednakowe zjawiska

fizyczne, podobne metody analizy


176

177

orientacja

pozycjayxdane

QQ

,,,: 321

178

321

321342123112

321342123112

sinsinsin

coscoscos

aaay

aaax

Q

Q

179

321 ,,,

:

orientacja

pozycjayxdane

QQ

180

......... 321

321

321342123112

321342123112

sinsinsin

coscoscos

aaay

aaax

Q

Q

Dane: xQ, yQ

182j

k

183

j

k

M

M

jr

M

kr

k

jp

184

j

k

M

M

jr

M

kr

k

jp

kye kxe

k

j

185

k

j

M

k

k

j

M

jprRr

k

j

k

j

kx

j

sin

cose

k

j

k

j

ky

j

cos

sine

wersory

k

j

k

j

k

j

k

j

ky

j

kx

j

k

j

cossin

sincoseeRMacierz rotacji

186

k

j

k

j

M

k

M

k

k

j

k

j

k

j

k

j

M

j

M

j

y

x

y

x

y

x

cossin

sincos

k

j

k

j

k

j

k

j

T

k

j

j

k

k

j

cossin

sincos1RRR

Ik

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

10

01

cossin

sincos

cossin

sincos1RR

187

k

j

M

k

k

j

M

jprRr

M

k

k

j

M

j rAr Przekształcenie jednorodne

188

100

kpRA

j

k

j

k

j

100

cossin

sincos

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j y

x

A

Tk

j

k

j

k

jT

k

jT

k

j

k

j yx pqwektor wsp. absolutnych

189

x0

y0

a1

2

a2

3

a3

4

Q

1

2

3

10

2

3

11

3

3

3

2

2

1

1

0

Q

Q

Q

Q

y

x

AAAy

x

1

0

1

34

3

3 a

y

x

Q

Q

190

x0

y0

a12

a23

a34

Q

1

2

3

10

2

3

100

0cossin

0sincos

11

11

1

0A

191

x0

y0

a12

a23

a34

Q

1

2

3

10

2

3

100

0cossin

sincos

22

1222

2

1

a

A

192

x0

y0

a12

a23

a34

Q

1

2

3

10

2

3

100

0cossin

sincos

33

2333

3

2

a

A

193

1100

0cossin

sincos

100

0cossin

sincos

100

0cossin

0sincos

1

3

3

33

2333

22

1222

11

11

Q

Q

Q

Q

y

xa

a

y

x

194

3213

0

Q (xQ, yQ)

03

3

Q

Q

y

x

195

x0

y0

a1

2

a2

3

a3

4

Q

1

2

3

10

2

3

11

3

3

3

2

2

1

1

0

Q

Q

Q

Q

y

x

AAAy

x

1

0

1

34

3

3 a

y

x

Q

Q

196

100

sinsincossin

coscossincos

2123112321321

2123112321321

3

0

aa

aa

A

1

0

1

34

3

0

a

y

x

Q

Q

A

197

1

0

1

34

3

0

a

y

x

Q

Q

A

Prędkość punktu Q

198

2121231112

32132134

sinsin

sin

aa

axQ

2121231112

32132134

coscos

cos

aa

ayQ

321

199

3

2

1

333231

232221

131211

jjj

jjj

jjj

y

x

Q

Q

1

...

...

sin

sinsin

sinsinsin

33

21

3213413

21233213412

21231123213411

j

j

aj

aaj

aaaj

200

3

2

1

J

Q

Q

y

x

J – jakobian manipulatora

ΘJV

VJΘ1

zadanie proste

zadanie odwrotne


201

203

k

j

M

k

k

j

M

jprRr

M{k}

{j}

204

k

j

M

k

k

j

M

jprRr

k

j

k

j

k

j

M

k

M

k

M

k

k

j

M

j

M

j

M

j

z

y

x

z

y

x

z

y

x

R

kz

j

ky

j

kx

j

k

jeeeR

205

kj

kj

kj

kx

j

xz

xy

xx

,cos

,cos

,cos

e

T

kz

j

T

ky

j

T

kx

j

T

k

j

k

j

j

k

e

e

e

RRR1

kosinusy kierunkowe

transponowanie tożsame z

odwracaniem

206

100

010

001

z

j

y

jj

T

kz

j

T

ky

j

T

kx

j

k

j

j

k

kkkx eee

e

e

e

IRR

207

100

010

001

z

j

y

jj

T

kz

j

T

ky

j

T

kx

j

k

j

j

k I kkkx eee

e

e

e

RR

1kx

jT

kx

jee

0kx

jT

ky

jee

0ky

jT

kx

jee

1ky

jT

ky

jee

...

...

.........

208

1kx

jT

kx

jee

0kx

jT

ky

jee

0kx

jT

kz

jee

0ky

jT

kx

jee

1ky

jT

ky

jee

0ky

jT

kz

jee

0kz

jT

kx

jee

0kz

jT

ky

jee

1kz

jT

kz

jee

abbaTT

209

1kx

jT

kx

jee 0ky

jT

kx

jee

1ky

jT

ky

jee

0kz

jT

kx

jee

0kz

jT

ky

jee

1kz

jT

kz

jee

9 elementów macierzy rotacji jest powiązanych 6-ma równaniami

tylko 3 są niezależne

210

k

j

M

k

k

j

M

jprRr

M

k

k

j

M

j rAr

1101

M

k

M

k

M

k

k

j

k

j

k

j

k

j

M

j

M

j

M

j

z

y

x

z

y

x

z

y

x

R

211

10001000

k

j

kz

j

ky

j

kx

j

k

j

k

j

k

j peeepRA

Macierz transformacji odwrotnej

10

1

j

k

j

k

j

k

j

k

k

j

j

k

z

y

x

RAA

212

{j}

{k}

k

j p

j

k p

k

jT

k

j

k

j

j

k

j

k pRpRp

213

k

jT

kz

j

k

jT

ky

j

k

jT

kx

j

k

j

T

kz

j

T

ky

j

T

kx

j

k

jT

k

j

pe

pe

pe

p

e

e

e

pR

k

jT

k

j

k

j

j

k

j

k pRpRp

10

1

k

jT

kz

j

k

jT

ky

j

k

jT

kx

j

j

k

k

j

j

k

pe

pe

pe

RAA

214

100010

k

j

kz

j

ky

j

kx

j

k

j

k

j

k

j peeepRA

Postać ogólna

215

{j}

k

j p{k}

1000

100

010

001

:

k

j

k

j

k

j

k

j

k

j

z

y

x

transl pA

216

{j}

z

x

y

Z

1000

0100

00cossin

00sincos

,:zz

zz

zk

j zrotA

217

{j}

z

x

y

y

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

,:yy

yy

yk

j yrotA

218

{j}

z

x

y

1000

0.............0

0.............0

0001

,: xk

j xrotA

UZUPEŁNIJ

219

1000

0cossin0

0sincos0

0001

,:xx

xx

xk

j xrotA

222

1000

100

010

001

k

j

k

j

k

j

z

y

x

k

j ptransl :

223

1000

02

cos02

sin

0010

02

sin02

cos

2,:

pp

pp

pyyrot

224

1000

02

cos2

sin0

02

sin2

cos0

0001

2,:

pp

pp

pxxrot

225

1000

02

cos2

sin0

02

sin2

cos0

0001

1000

02

cos02

sin

0010

02

sin02

cos

1000

100

010

001

pp

pp

pp

pp

k

j

k

j

k

j

k

j

z

y

x

A

1000

0010

0100

0001

1000

0001

0010

0100

1000

100

010

001

k

j

k

j

k

j

k

j

z

y

x

A

226

1000

001

100

010

k

j

k

j

k

j

k

j

z

y

x

A

Weryfikacja!

WYNIK MNOŻENIA

227

BAAB

składanie transformacji nie jest przemienne, a więc

uzyskanie poprawnej transformacji złożonej

wymaga zachowania odpowiedniej kolejności

transformacji elementarnych oraz dokonywania ich

w kolejnych pośrednich układach współrzędnych


228

229

po raz pierwszy opublikowana w pracy:

Denavit J., Hartenberg R.S.: A Kinematic Notation for

Lower Pairs Mechanisms Based on Matrices.

Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics,

Vol.22, 1955

230

W układach kinematycznych pary R, T, C, S i inne

231

Pary C, S (i inne) można zawsze zastąpić

przez łańcuch złożony z członów

połączonych tylko parami R i T

232

W układach zawierających wyłącznie pary obrotowe R i postępowe T

można poszczególnym członom przypisać lokalne układy

współrzędnych kierując się dwiema zasadami:

osie zj poszczególnych układów są zawsze

poprowadzone wzdłuż osi par wyznaczających

odpowiednio kierunek przesuwu (dla pary T) lub oś

obrotu (dla pary R),

osie xj poszczególnych układów są zawsze

poprowadzone w taki sposób, aby były prostopadłe

do osi zj+1 układu kolejnego

233

kkzrot

kd

kztransl

jjxrot

ja

jxtransl

kA

jtransf ::::)(

234

kkzrot

kd

kztransl

jjxrot

ja

jxtransl

kA

jtransf ::::)(

235

kkzrot

kd

kztransl

jjxrot

ja

jxtransl

kA

jtransf ::::)(

236

całkowita transformacja będzie zależna od tylko czterech

parametrów zaangażowanych w kolejne transformacje elementarne:

odległość aj pomiędzy osiami zj oraz zk,

kąt j zwichrowania osi zj oraz zk,

odległość dk początku układu {k} od osi xj mierzonej wzdłuż osi zk,

kąt k orientacji osi xk względem xj obróconej względem osi zk

PARAMETRY D-H

237

kkzrot

kd

kztransl

jjxrot

ja

jxtransl

kA

jtransf ::::)(

1000

0100

00cossin

00sincos

1000

100

0010

0001

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1000

0100

0010

001

kk

kk

kjj

jj

j

k

j

d

a

A

238

1000

coscoscossinsinsin

sinsincoscossincos

0sincos

jkjkjkj

jkjkjkj

jkk

k

j

d

d

a

A

1000

cossin0

sincossincoscossin

cossinsinsincoscos

1

kjj

kjkjkjk

kjkjkjk

k

j

j

k

d

a

a

AA

239

T

kkjjk

j da A

ZMIENNA

240

1000

coscoscossinsinsin

sinsincoscossincos

0sincos

jkjkjkj

jkjkjkj

jkk

k

j

d

d

a

A

T

kkjjk

j da A

JEDNA ZMIENNA

241

T

kkjjk

j da A

ZMIENNA

242

la

1

2

0

M

lc

3

243

z1 z0

la

1

2

z3

z2

0

lc

3

244

la

lb

1

2

z1

z3

z2

x2

0

x0

z0

x1

lc

3x3

q2

q1

q3

245

la

lb

1

2

z1

z3

z2

x2

0

x0

z0

x1

lc

3x3

q2

q1

q3

246

0

0

0

270

0

0

0

0

3

3

2

2

2

1

1

1

0

3

0

q

l

qq

a

AAAA

d

a

1000

0100

001

cos1

sin

001

sin1

cos

10 qq

qq

A

1000

002

cos2

sin

0100

002

sin2

cos

21

qq

qq

A

1000

0100

003

cos3

sin

03

sin3

cos

32 qq

alqq

A

247

03

1 2 1 2 1 0

1 2 1 2 1 0

2 2 0 0

0 0 0 1

23

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2

2 3 2 3 2 3 2 3 0 2

0 0 0 1

A

C C C S S

S C S S C

S CA

C C C C S S C C S C S C S la C C

S C C S S S S C S S S C C la S C

S C C S S S C C la S

TbcM ll 103 r M

T

zyxM rrr rAr3

3

00 1

iiii qsqc sincos

248

r l C C C C S S l S l C C

r l S C C S S S l C l S C

r l S C C S l S

x c b a

y c b a

z c a

1 2 3 1 2 3 1 1 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2

2 3 2 3 2

Punkt M w układzie globalnym {0}

249

Prędkość (i przyspieszenie)

250

kZMIENNA

kdZMIENNA

251

kjkk ωq ,

1000

coscoscossinsinsin

sinsincoscossincos

0sincos

10 jkjkjkj

jkjkjkj

jkk

k

j

k

j

k

j

d

d

a

pRA

252

k

j

jjk

j

jk pRpppp00000

constk

j

k

j

jjk ppRpp 000

?00 jjdt

dRR

Tjkjkjk

j dda cossinp

253

jzjyjxj eeeR0000

jzjjyjjxj

jzjyjxjjdt

d

dt

d

eωeωeω

eeeRR

000000

00000

jxjjxdt

deωe

000

10 jxe

Pochodna wektora jednostkowego:

254

kz

j

jzjky

j

jyjkx

j

jxj

k

j

jzjjyjjxjk

j

j

ppp 000000

0000000

eωeωeω

peωeωeωpR

k

j

jjk

j

j pRωpR000

k

j

jjjk pRωpp0000

PRĘDKOŚĆ POCZĄTKU UKŁADU {k}

Tkz

j

ky

j

kx

j

k

j pppp

255

Iloczyn wektorowy

T

zyx

BT

zyx

B bbbaaa ba

...

xzzx

yzzy

B

BBB

baba

baba

c

cba

256

Tkkjk

jk

k

k

q

q

00000

,

Rωω

Prędkość kątowa k członu k jest sumą wektorową prędkości członu j

w układzie podstawy j i prędkości względnej k,j w parze obrotowej

Prędkość względna k,j jest mierzona wzdłuż osi zk a więc jej

wyrażenie w układzie podstawy wymaga transformacji z układu {k} do

podstawy {0} za pomocą macierzy rotacji 0Rk

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA CZŁONU k W UKŁADZIE {0}

T

zkzkjk q 100000 eeRωω

257

k

j

jk

j

jjjk pRpRωpp 00000

k

j

jjk

j

jk pRpppp00000

kk dq

k

j

jk

j

jjk pRpRpp 0000

258

const

consta

qd

q

d

d

a

dt

d

j

j

kk

k

j

j

jk

jk

j

k

j

cos

sin

0

cos

sinp

k

j

jk

j

jjjk pRpRωpp 00000

Dla pary T, inaczej niż dla R, wektor jpk opisujący pozycję

{k} w {j} jest zmienny, a jego pochodna wynosi:

259

zk

j

jkjkj

jkjkj

kk

j

j eR

1

0

0

coscossinsinsin

sincoscossincos

0sincos

cos

sin

0

kzkkzk

j

jk

j

j qq eReRRpR000

k

j

jk

j q

cos

sin

0

p

260

kzkk

j

jjjk q eRpRωpp 00000

PRĘDKOŚĆ POCZĄTKU UKŁADU {k}

PRĘDKOŚĆ KĄTOWA CZŁONU k W UKŁADZIE {0}

jkjk ωωω 00

, 0

261

Prędkość punktu M na członie k-tym

M

k

kkM rRpr 000

M

k

kkkM rRωpr 0000

M

{0}

{k}

262

A teraz przyspieszenia ...


263

264

V M

M w w

SILNIK

ORGAN

ROBOCZY

Prze-

Kła-

dnia

= 1

w

wM

M

Przeniesienie ruchu z jednego wału na drugi

Zmiana momentu

Zmiana prędkości obrotowej

265

M 1 1

Dostarczamy

strumień mocy

M 2 2

Odbieramy

strumień mocy

h

zazębienie

266

Podział przekładni zębatych

h typ przekładni

0 h 0 walcowa

0 h 0 stożkowa

p/2 h 0 ślimakowa

0 h 0 śrubowa

267

jarzmo

osie stałe

osie

ruchome

268

PODST JARZMO

2 PODST

270

PRZEKŁADNIE ZĘBATE

Przekł. o osiach stałych Przekładnie obiegowe

Planetarne: W=1 Różnicowe i sumujące: W>1

271

Duże przełożenia przy zwartej budowie

Możliwość sumowania kilku napędów (W>1) – p.

sumujące

Zdolność przenoszenia dużych sił (mocy)

Możliwość rozdziału napędu na kilka odbiorników (W>1) –

p. różnicowe

272

Ciekawe trajektorie punktów kół obiegowych

Wysokie wymagania

dokładnościowe KOSZTY !!!

273

Koło obiegowe

Jarzmo

Koło centralneKoło centralne

274

satelita

Jarzmo

Koło słoneczneKoło słoneczne

275

Satelita 3

Satelita 1

Satelita 2

Potrojenie liczby par zazębień

duże moce i momenty

Zdolność przenoszenia dużych sił (mocy)

276

Moc: 750 kW, i = 8

Masa 87 kg Masa 1400 kg

Prz. zwykłe, szeregowe

Prz. obiegowe

(a- wykonanie specjalne)

420x320 610x520 850x510 1150x600

277

Możliwość rozdziału

Napędu

na kilka odbiorników (W>1)

– p. różnicowe

279po-ham.sam

280

po-line.sam

281

po-stop.sam

282

Zazębienie zewnętrzne

283

Zazębienie zewnętrzne

2

2

1

1

R

v

R

v

11

2

1

2

2

1

z

z

R

R

z

2

mR

284

Zazębienie wewnętrzne

2

2

1

1

R

v

R

v

11

2

1

2

2

1

z

z

R

R

285

1

2

J

A

B

2

J

vB J=AB M

S21

2=S MMv 21

2vB2R

22 R

JAB

2

2R

ABJ

21 RRAB

2

212

R

RRJ

2

21

2

2

1

2

1

2

1

mz

mzmzJ

2

212

z

zzJ

286

1

2

J

A

B

2

J

vB J=ABM

S20

2=S MMv 20

1

1=RCv

C

D1

Dv C=v

1

Bv.1 J

DC1 vv.2

podstawa)(0.3 20 S

Analiza prędkości – dwa napędy

287

1

23

J

1 J

3

J

1

2

widok z jarzma

288

1

23

J

1 J

3

J

1

2

widok z jarzma

Obroty wzgl.

podstawy (koło 3) Obroty wzgl. J

Koło 1 n1 n1J = n1 - nJ

Koło 2 n2 n2J = n2 - nJ

Koło 3 n3 = 0 n3J = n3 - nJ

Jarzmo nJ 0

289

3

J

1

2 i

Js

Ju

sJ

uJ zf

112

3

1

2

3

2

2

1

3

1

3

1

z

z

z

z

J

J

J

J

J

J

J

J

OSIE STAŁE

290

3

J

1

2

11

31

z

z

J

J

03

112

3

1

2

3

1

z

z

z

z

J

J

1

1

31

z

zJ

291

113

4

2

1

1

3

z

z

z

z

J

J

„Widziane” z jarzma:

01

Ponieważ:

23

413 1zz

zz

J

Wynik:

13

2 4

J

?3 J

292

50;99;51;101:Zał 4321 zzzz

5049

1

5199

5010113

J

13

2 4

J

?3 J

293

J

1

2

J

2

J

1

2

J 2

294

J

1

2

J 2

J

1

2

J 2

296

z1 = 202;

z2 = 200

i = 100

= 0,85


297

298

0),,~

,,,),(( wMFFFqf tt BC

Dynamika opisuje związki pomiędzy:

ruchem q(t),

siłami czynnymi FC, siłami biernymi FB,

siłami tarcia F,

masami członów wraz z ich rozłożeniem na

członach

czasem t i geometrią członów w

M~

299

SIŁY W UKŁADZIE

KINEMATYCZNYM

300

ODPOWIADA NA PYTANIA:

jaka siła czynna FC jest potrzebna, aby wywołać oczekiwany ruch

q(t)?

DYNAMIKA ODWROTNA = KINETOSTATYKA

jaki jest ruch układu przy znanych siłach czynnych FC i biernych

FB?

DYNAMIKA PROSTA

301

m

Z dmyxI )( 22

)( 22

SSSZ yxmII

302

aF mb

εM Sb I

00 bm FFaF

00 bSI MMεM

303

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 0,004 0,008 0,012

czas [s]

Przysp. kąt

BC

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

55000

60000

Przysp. p.S

m, J

A

C

B

S

BC = 0,2 m

1 = 500 s-1 (1 = const)

(n1 = 5000 obr/min)

304

m, J

A

C

B

S

aSmax = 55000 ms-2

Bcmax = 90 000 s-2

m=0,2 kg, J=0,01 kgm2

Fbmax = - ma = 11000 N !!!

Mbmax = - J = 900 Nm !!!

305

e

S

Fb

22

1

250

500

001,0

msea

s

me

S

kgm 1

NmaFb 25025STAT

b

F

F

306

ma

I

F

M

F

Mh S

b

b

M

b

SIŁA (Fb) i MOMENT (Mb) BEZWŁADNOŚCI

aF mb

εM Sb I

307

ASAS

t

S

2n

S

t

S

n

S

; aa

aaaS

S

A

B

aS

SS

308

ASAS

t

S

2n

S

t

S

n

S

; aa

aaaS

SI

m

εM

aF

b

Sb

S

S

b

b

ma

I

F

Mh

S

A

B

aS

SSW

Fb

h

309

S

A

B

aS

SSW

Fb

h

mAS

I

a

a

ASma

aI

a

a

ma

AS

aI

a

a

ma

I

a

ahSW

a

a

SW

h

S

t

S

S

S

t

SS

t

S

S

S

t

SS

t

S

S

S

S

t

S

S

S

t

S

cos(?)

310

S

A

B

aS

SSW

Fb

h

AS

i

mAS

mi

mAS

ISW SSS

22

312

MASY SKUPIONE

CZŁON MODEL

313

masa członu i modelu są jednakowemm

k

i 1

środki mas członu i modelu pokrywają się

k

Sii

k

Sii myymmxxm11

masowe mom. bezwł. członu i modelu są jednakowe

k

SSSiii Iyxmyxm1

2222 )()(

314

4 równania można wyliczyć 4 parametry opisujące układ mas

skupionych

k mas skupionych oznacza 3k parametrów

jedna masa skupiona opisana przez: m, x, y

spośród 3k parametrów można zatem przyjąć p

p = 3k - 4

315

m, IS

a b

m1 m2

316

SIbmam

bmam

mmm

2

2

2

1

21

21

0?,,,

:Parametry

21 bamm

a b

m1 m2

Po przyjęciu a wyznaczamy m1 , m2 oraz b

318

j

i

Fijx

Fijy

Para krzywkowa K – II klasy (p2)

znany kierunek

znany punkt przyłożenia

jedna niewiadoma: składowa Fijx lub Fijy

319

i

j

Fijx

Fijy

Para obrotowa R – I klasy (p1)

znany punkt przyłożenia

dwie niewiadome:

składowa Fijx

składowa Fijy

320

i

j

Fijx

Fijy

Para postępowa T – I klasy (p1)

znany kierunek

dwie niewiadome:

punkt przyłożenia

składowa Fijx lub Fijy

322

F1

F2

F3

F3

F1

F2

323

F3

F1

F2

F4c

F1

F2

c

324

F1

F2

c

F4

F3

F3

F1

F2

F4c


325

326

M=?

F

2

0

1

327

M=?

F

2

0

1

01202 FFF

328

01202 FFF

M=?

F

2

0

1

329

01202 FFF

M=?

F

2

0

1

330

M=?

F

2

0

1

F

F02F12

01202 FFF

331

M=?

F

2

0

1

F

F02F12

F02

F12

332

M=?

F

2

0

1

00121 FFF02

F12

F01

F21

33300 1211 MhFM A

M=?

F

2

0

1

00121 FFF02

F12

F01

F21

h1

A

335Q

S0

1

2

3

Sprężyna+tłumik

336

01232 FQF

Q

S0

1

2

3

337

00323 FF

Q

S0

1

2

3

338

QF12

F32

Q

S0

1

2

3

F12

F23

01232 FQF

00323 FF

339

Q

S0

1

2

3

00121 SFF

F21

F01

S

340

m, J

M1=?

3

0

2

1 1

Dane:

m, J – masa, masowy mom. bzwł.

1 – prędkość kątowa 1

M1 = ? oraz siły oddziaływania

341

2

Mb

a

Fb

maFb

JMb

342

ma

J

F

Mh

b

b

bM Para sił

bFbF h

2

Mb

a

Fb

343

2

Fb

a

2

Fb

Mb

Fb

a

Fb

h

344

M1

3

0

2

1

Fb

0

A

01232 FFF b

Człon 2:

345

M1

3

0

2

1

Fb

F03

c

F23

c

F12

c

0

A

01232 FFF b

00323 FF

Człon 2:

Człon 3:

346

M1

3

0

2

1

Fb

F30

c

F32

c

F12

c

F10

c

0

A

h1

c

F32

c

F12

c

00

0

12111

0121

hFMM A

FF

347

UKŁAD KINEMATYCZNY W RÓWNOWADZE

KAŻDY CZŁON W RÓWNOWADZE

DOWOLNIE WYDZIELONA GRUPA

CZŁONÓW W RÓWNOWADZE

348

j

i

Fijx

Fijy

i

j

Fijx

Fijy

i

j

Fijx

Fijy

1 NIEWIADOMA 2 NIEWIADOME 2 NIEWIADOME

Liczba równań = Liczba niewiadomych

3k = 2p1 + p2

349

21 1213 ppnWT

0123 21 ppk

Ruchliwość

Warunek statycznej

wyznaczalnośći grupy

k 1 2

...

4

p1 1 3

...

6

p2 1 0

...

0

(k-p1–p2) (1-1-1) (2-3-0) (460)

PRZYKŁADY GRUP STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

350

grupa (1-1-1) grupa (2-3-0)

I kl - R lub T II kl - K lub J lub Z

I kl - R lub T

351

3

1

2

F12 F2

F32

F32 + F12 + F2 = 0

352

Grupy dwuczłonowe

RRR

RTR RTT

RRT

TR

T

353

Grupa RRR – układ sił

1

2

3

4

F2

F3

Ft12

Ft43

Fn43 Fn

12

A

B

C

h2

h3

0433212 FFFF

???

354


1

2

3

4

F2

F3

Ft12

Ft43

Fn43 Fn

12

A

B

C

h2

h3

04343

321212

nt

nt

FF

FFFF

AB

t

AB

tB

l

hFF

lFhFM

2212

12222 00

BC

t

BC

tB

l

hFF

lFhFM

3343

43333 00

355


1

2

3

4

F2

F3

Ft12

Ft43

Fn43 Fn

12

A

B

C

h2

h3

F2

Ft12

F3

Ft43

Fn

43

Fn

12

04343

321212

nt

nt

FF

FFFF


356

357

ss

dsFdL cossF

kąt - pomiędzy siłą F i przemieszczeniem ds

Praca momentu

dMdL cosΘM

Praca siły

358

Praca przygotowana (wirtualna) L odnoszona jest do tzw.

przemieszczeń przygotowanych r i

sFL cos sF

cosML ΘM

359

Zasada prac wirtualnych:

„Układ kinematyczny, w określonej konfiguracji

(położeniu), znajduje się w równowadze statycznej

lub quasi-statycznej, jeżeli suma prac

przygotowanych wykonana przez siły i momenty

zewnętrzne, w tym również przez siły i momenty

masowe, na odpowiadających im przemieszczeniach

przygotowanych jest równa zeru.”

360

0 j

jjk

k

k ΘMsF

j

jj

k

kk MsF 0coscos

j

jj

k

kkt

Mt

sF 01

cos1

cos

361

jjktt

s

1v

1k

j

jj

k

k MF 0cosvcos k

362

j

jj

k

k MF 0cosvcos k

M = aF

M

F

F

a

0vcos k k

kF

364

hFF cosv

warunek równowagi kinetostatycznej układu,

sprowadzony do zerowania się sumy mocy od sił

zewnętrznych można zapisać jako sumę

momentów sił przyłożonych do odpowiednich

punktów planu prędkości obróconych względem

bieguna tego planu

00cosv k

kk

k

kk hFF

365

Q

A

B

CF=?

odwrócony plan

prędkości

CBBC vvv

hQsF

FhQs

/

0

c

a

bF

Q

s

h

Przykład – met. graficzna

366

sFL cos rF

cosML ΘM

Praca przygotowana (wirtualna)

367

Przemieszczenia wirtualne są wariacjami funkcji.

Układ „zamrożony” więc czas jest stałą (t = const)

Jak różniczkowanie:

- postać jawna yy

zx

x

zztyxzz constt

,,

00,,,

z

z

fy

y

fx

x

ftzyxf constt

- postać uwikłana

368

Przykład – met. analityczna

369

cay

bax

K

K

sin

cos

cay

bax

K

K

sin

cos

cay

bax

K

K

sin

cos

cos

sin

ay

ax

K

K

370

0)(cos)(sin

M

F

Faa

y

x

yx FaFaM )(cos)(sin

0T

K M Fr

371

0

?

3

2

1

ey

ex

F

F

f

f

f

SIŁY CZYNNE

SIŁY EFEKTORAx0

y0

a12

a23

a34

Q

1

2

3

Fe

f1

f2

f3

372

0

?

3

2

1

ey

ex

F

F

f

f

f

Z zasady prac przygotowanych

0

03

2

1

321

ey

ex

QQ F

F

yx

f

f

f

e

TTQufΘ

373

ΘJuJ

3

2

1

Q

Q

y

x

TTTJΘu

e

TTQufΘ e

TTTQJΘfΘ

e

TQJf

J – jakobian manipulatora


374

375

Równania N-E RÓWNOWAGA SIŁ, BADANIE RUCHU

376

Równania Newtona-Eulera (2D)

y

x

S

y

x

a

a

I

m

m

M

F

F

00

00

00

377

3 równania dla 1 członu

łączna liczba równań jest wielokrotnością liczby członów

k członów ruchomych daje 3k równań dla płaskich

378

S1

S2

y0

x0

a

b

e

c d

f

h2

1

0

PRZYKŁAD

379

MF

S1

S2

y0

x0

a

b

e

c d

f

h2

1

0

siły zewnętrzne

02v FsignF

380

MF

F21

F01x

F01y

F02(1)

F02(2)

S1

S2

y0

x0

a

b

e

c d

f

h2

1

0

siły zewnętrzne + siły w parach

kinemat.

381

Dane:

wymiary, ruch (położenie, prędkość, przyspieszenie),

masy m1, m2 i masowy moment bezwładności I1,

siła oporu F

ZADANIE ODWROTNE DYNAMIKI

Zadanie:

określić M (napęd),

siły w parach kinematycznych

?)2(

02

)1(

02210101 T

yxx MFFFFFF

382

Dane:

wymiary, warunki początkowe ruchu (położenie, prędkość),

masy m1, m2 i masowy moment bezwładności I1,

siła oporu F, moment czynny M

Zadanie:

określić ruch (przyspieszenie prędkość położenie),

siły w parach kinematycznych

?)2(

02

)1(

02210101 T

yxx FFFFF F

ZADANIE PROSTE DYNAMIKI

383

?)2(

02

)1(

02210101 T

yxx FFFFF F

ZADANIE PROSTE DYNAMIKI

ZADANIE ODWROTNE DYNAMIKI

?)2(

02

)1(

02210101 T

yxx MFFFFFF

384

Współrzędne środka masy S1 członu 1

sin

cos

1

1

a

a

y

x

S

S

Prędkość i przyspieszenie ((t)):

cos

sin

1

1

a

a

y

x

S

S

sincos

cossin2

2

1

1

aa

aa

y

x

S

S

385

Dla członu 2

fbxS cos2

sin2 bxS

cossin 2

2 bbxS

022

386

Siły i momenty dla członu 1

cossin 2

12101 aamFF x

sincos 2

1101 aamgmF y

121

01

01sin

sin

cosIMabF

F

F

a

a

y

x

1210101 sincossin IMabFaFaF yx

387

Siły i momenty dla członu 2

02

2

221

v

cossin

FsignF

bbmFF

02

)2(

02

)1(

02 gmFF

0cos

cossin

)2(

02

)1(

0221

bfdcF

bfcFFhbheF

388

Porządkowanie do formy macierzowej

!!! dla zadania prostego !!!

xzn GFF

Fzn wektor sił znanych – obciążenia zewnętrzne, siły

odśrodkowe

G macierz, której elementy zawierają wyłącznie parametry

masowe i geometryczne,

Fx wektor wielkości nieznanych.

389

Tzn

FhgmbmF

Mamgmam

2

2

2

2

11

2

1

cos

sincos

F

coscos

0sin00

011000

sin00100

00sincossin

cos00010

sin00101

6564

6564

2

1

1

1

bfdcgbfcg

ggbhe

bm

Iabaa

am

am

G

390

znx FGF1

Tyxx FFFFF )2(

02

)1(

02210101F

PRZYSPIESZENIE

CZŁONU 1

PRĘDKOŚĆ PRZEMIESZCZENIE

CAŁKOWANIE

CAŁKOWANIE

391

skQq

E

q

E

dt

dk

kk

...,,2,1

skQ

q

E

q

E

dt

dk

kk

...,,2,1

skQq

E

q

E

dt

dk

kk

...,,2,1

E - energia kinetyczna układu,

każdej z s współrzędnych uogólnionych qk

przypisuje się siłę uogólnioną Qk (siła uogólniona –

przypisana współrzędnej uogólnionej)

Równania Lagrange’a

392

k

kpq

PQ

gdzie P jest energią potencjalną układu

Z siły Qk można wydzielić część Qkp od sił potencjalnych i

część Qkz pochodzącą od sił pozostałych

pierwsza z sił wyrażona jest równaniem

393

kz

kkk

Qq

P

q

E

q

E

dt

d

kolejna postać równania

394

czasem jest upraszczana

kz

kk

Qq

L

q

L

dt

d

po wprowadzeniu tzw. potencjału kinetycznego L w

postaci

PEL

395

DANE:

masy m1 i m2

masowe momenty bezwładności I1 i I2

wyprowadzić zależności opisujące

ruch układu przy znanych momentach

napędowych MC1 i MC2.

PRZYKŁAD

396

Dwie wsp. Uogólnione → dwa równania Lagrange’a

2,1

iQ

LL

dt

di

ii

Energia kinetyczna E i potencjalną P członu 1

2

11

2

1

2

1112

1

2

1 IamE

1111 sin gamP

397

Współrzędne środka masy członu 2

21211

21211

2

2

2sinsin

coscos

ab

ab

y

x

S

S

Sr

i prędkości

2122111

21221111

2

2

2coscos

sinsin

ab

ab

y

x

S

S

S

r

398

Energia kinetyczna i potencjalna członu 2

221222222

1

2

1 ImE S

T

S rr

2121122 sinsin abgmP

Podstawienia dla uproszczenia zapisu

1221

1221

coscos

sinsin

CC

SS

ii

ii

399

2

2122111

2

2122111122

coscos

sinsin

ab

abS

T

S

rr

12112112211

2

2

2

21

2

1122

2 CCSSba

abS

T

S

rr

z iloczynu skalarnego

400

Wykorzystując relację na sinus i cosinus sumy kątów

2121121 CCCSS

mamy

212211

2

2

2

21

2

1122 2 CbaabS

T

S rr

401

energia kinetyczna członu 2

2212

212211

2

2

2

21

2

1122

2

1

22

1

I

CbaabmE

energia potencjalna członu 2

1221122 SaSbgmP

402

potencjał kinetyczny L

PPEEL 121

122112111

2

212

212211

2

2

2

21

2

112

2

11

2

1

2

11

2

1

22

1

2

1

2

1

SaSbgmSgamI

Cba

abmIamL

403

212

21221

2

221

2

11

2111

2

11

1 22

222

2

1

ICba

abmIam

L

21221221221221

2

221

2

112

111

2

11

1

22

ISbaCbaabm

IamL

dt

d

Kolejne pochodne

404

2122121

2

2212

2

ICbaamL

212212212121

2

2212

2

ISbaCbaamL

dt

d

405

122112111

1

CaCbgmCgamL

12222122112

2

CgamSbamL

406

1122112111

212122

2

22122

22212

2

22

12212

2

2

2

121

2

11

2

2

CMCaCbgmCgam

SbamSbam

ICbaam

ICbaabmIam

równanie ruchu członu 1

407

21222

2

1212222

2

22

122122

2

22

CMCgam

SbamIam

ICbamam

równanie ruchu członu 2


408

409

MECHANIZM O RUCHLIWOŚCI W=1

ZNANE OBCIĄŻENIA ZEWNĘTRZNE;

ZNANE MASY I MASOWE MOM.

BEZWŁADNOŚCI;

ZNANY STAN RUCHU W CHWILI t=0

410

model o ruchu postępowym T

mzr - masa zredukowana

Fzr - siła zredukowana

411

model o ruchu obrotowym R

Izr - zredukowany masowy

moment bezwładności

Mzr - moment zredukowany

412

w określonym przedziale czasu praca L sił zewnętrznych wywołuje

zmianę energii kinetycznej E

EL

Równania ruchu dla modelu o ruchu postępowym

dt

dsmddsFF zr

BzrCzr v2

v2

FC, FB - siła czynna, bierna

413

w określonym przedziale czasu praca L sił zewnętrznych wywołuje

zmianę energii kinetycznej E

EL

Równania ruchu dla modelu o ruchu obrotowym

dt

dIddMM zr

BzrCzr

2

2

MC, MB - moment czynny, bierny

414

Redukcja mas (mzr = , Izr = )

energia kinetyczna układu = energia kinetyczna modelu

E = Em

22

v 22

iiiii

ImE

k

i

iiiik

i

i

ImEE

1

22

1 22

v

człon w ruchu płaskim

k członów:

415

dla modelu o ruchu obrotowym

2

v2

zrm

mE

2

2zrm

IE

416

Wielkości masowe zredukowane

dla modelu o ruchu postępowym

k

i

iiiizr Imm

1

222

22

v

2

v

k

i

ii

iizr Imm

1

22

vv

v

417


k

i

iiiizr ImI

1

222

22

v

2

k

i

ii

iizr ImI

1

22v

418

2

33

2

22

2

22

2

11

2

11

v2

1

2

1v

2

1

2

1v

2

1

mIm

ImE

Energia kinetyczna układu

419

1

1

2

33

2

22

2

221

2

11

vvv

mImImI zr

33

2

22

2

22

2

11

2

11 vv

vv

v

vv

v

mImImmzr

Moment bezwładności zredukowany i masa zredukowana

itd

21 vv

itd

vv

v 11

Zależne od położenia układu !!!

420

moce rozwijane przez siły zewnętrzne i odpowiednią wielkość

zredukowaną są sobie równe

Redukcja sił w oparciu o porównanie mocy

moc sił zewnętrznych

iiii MN Fv

moc siły zredukowanej i momentu zredukowanego

zrzrzrzr MNFN v

421

Porównanie

zrNN


iiiizr MF Fvv

1


iiiizr MM

Fv1

422

suma mocy rozwijanych przez siły zewnętrzne

1133v MFN


31

13 vvv

MFFzr


13

31

v

FMM zr

423

d

dI

d

dI

I

d

dM zr

22

2

1

2

dt

dIddM zr

2

2

d

dI

dt

dIM zr

2

2

1

424

Mzr ma część reprezentującą siły czynne MCzr i siły bierne MBzr

2

2IddMM BzrCzr

Całkujemy w przedziale od p do k

22

22ppkk

BzrCzr

IIdMM

k

p

dMMII

I k

p

BzrCzr

k

p

k

p

k

222

425

tłocznik

matryca

blacha

t

F

t

moment

napędowy

1 cykl

F

przem. tłocznika

426

Przyczyny: zmienny Izr , zmienne momenty: MCzr i MBzr

427

Miara: – współczynnik

nierównomierności biegu:

śr

minmax

2

minmax śr

428

22

22pzrpkzrk

BzrCzr

IIdMM

k

p

Założenia:

ruch ustalony, znana sr

przebiegi MCzr() i MBzr() znane

zmienność zred. mom. bezwł.

pomijalna; Izr = const.

429

22

22pzrpkzrk

BzrCzr

IIdMM

k

p

dMMLk

p

BzrCzr

maxmin kp

2

min

2

max2

1 zrIL

430

2

min

2

max2

1 zrIL

22

min

2

max

minmaxminmax

minmaxminmax

2

22

śr

śrśr

śr

śr

2

2

śrzr

śrzrI

LIL

431

2

2

śrzr

śrzrI

LIL

zr

śr

KZ

śrKZzr

IL

III

L

22 ''

KOŁO ZAMACHOWE

432

KZKZ IGDg

GDI 40

4

22

433

2

S

W

KW

KS

I

I

2

S

W

KW

KS

I

I

KSI

KWI

434

Koło zamachowe pełni rolę

mechanicznego akumulatora

energii.

Akumuluje ją w tych fazach

ruchu, kiedy siły czynne

przeważają nad biernymi i

zwiększają prędkość układu i

oddaje w fazach przewagi sił

biernych, kiedy układ ma

tendencję do obniżania

prędkości.

WYKŁAD DLA KIERUNKU MECHANIKA I BUDOWA · PDF fileMECHANIKA I BUDOWA MASZYN 1. 1. Analiza...

Documents

Transcript of WYKŁAD DLA KIERUNKU MECHANIKA I BUDOWA · PDF fileMECHANIKA I BUDOWA MASZYN 1. 1. Analiza...