WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D. ;
description
Transcript of WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D. ;
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Krew jest mieszaniną osocza i krwinek
Testy wykonane na krwi za pomocą wiskometru, którego wymiar charakterystyczny szczeliny pomiarowej jest dużowiększy od wymiaru charakterystycznego krwinek pozwalają na wysunięcie następującego wniosku:
W dużych naczyniach krwionośnych dla których wymiar charakterystyczny (średnica) jestdużo większy niż charakterystyczny wymiar krwinek, krew może być traktowanajak płyn jednorodny .
Właściwości mechaniczne krwi traktowanej jako płyn jednorodny można ująć definiując odpowiednie równanie konstytutywne.
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Zakładamy że jednorodny płyn który przybliża nam zachowanie krwi ma dwie podstawowecechy:
jest izotropowy
jest nieściśliwy
A)
B)
A) bazujemy na założeniu że przy braku naprężeń odkształcenie w płynie zanika i krwinkinie mają żadnego preferowanego kierunku w przestrzeni;
B) wykorzystujemy fakt iż przy ciśnieniach panujących w organizmie człowieka ( normalne warunki fizjologiczne)nie wykazano wpływu ciśnienia na gęstość krwi;
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Z obserwacji danych prezentowanych na poprzednim wykładzie można wysnuć wniosek,że reologia krwi różni się od reologii płynu Newtonowskiego zmienna wartością lepkości.
Dla płynu Newtonowskiego równanie konstytutywne wygląda następująco:
ijijij Vp 2
i
j
j
iij x
u
x
uV
21
tensor naprężeń
tensor odkształceń
składowe prędkości
lepkość płynu
0332211 VVVVii
(9.1)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Krew nie spełnia równania (9.1) ponieważ μ nie jest stałą a zmienia się wraz ze zmianą wartości naprężeń. Równanie (9.1) spełnia natomiast osocze krwi pozbawione krwinek. Można więc stwierdzić, że nie – Newtonowska natura krwi bierze się z obecności krwinek zawieszonych w krwi.
Jednym z podstawowych założeń mechaniki ośrodków ciągłych jest to że równania opisująceich dynamikę muszą być zgodne z algebrą tensorów tzn. każdy element musi być tensoremtego samego rzędu.
Postaramy się teraz zmodyfikować równanie (9.1) tak aby opisywało zachowanie się krwi:
Jeżeli decydujemy się aby równanie (9.1) opisywało zachowanie krwi z założeniem o izotropowości zachowań mechanicznych to μ musi być skalarną funkcją tensora odkształceń Vij . Vij jest symetrycznym tensorem rzędu 2 w przestrzeni trójwymiarowej
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Vij ma trzy niezmienniki:
3322111 VVVI
1113
3133
3332
2322
2221
12112 VV
VV
VV
VV
VV
VVI
333231
232221
131211
3
VVV
VVV
VVV
I
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Założyliśmy, że krew jest płynem nieściśliwym więc I1 = 0, I2 przyjmie więc wartości mniejszeod 0. Korzystniej jest wprowadzić więc nowy niezmiennik zdefiniowany następująco:
ijijVVIIJ21
31
2212
A więc lepkość μ musi być funkcją J2 i I3
Z równania definiującego J2 widać że jest on funkcją odkształcenia, z doświadczeń widać że lepkość krwi zależy od szybkości ścinania a więc można stwierdzić że lepkość krwi jest funkcją J2
Można zaproponować następujące równanie konstytutywne dla przepływu krwi:
ijijij VJp 22
(9.2)
(**)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
121
2
2
1 2212 V
xv
xv
hv
szybkość ścinania:
w tym przypadku wszystkie inne elementy tensora Vij wynoszą 0 więc niezmiennik J2 przyjmujepostać:
2122 VJ
(9.3)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
a więc z równania na szybkość ścinania (9.3) wynika :
22 J
podczas gdy z równania konstytutywnego postaci (**) wynika:
22212212 22 JJJVJ
Na poprzednim wykładzie przedstawiono dane doświadczalne które spełniały równanie Cassona , które można przedstawić w postaci:
212 y
(9.4)
(9.5)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
z porównania równań (9.4) i (9.5) wynika że lepkość krwi może być przedstawiona w postacizależności:
2
y
Pozwala to nam zdefiniować równanie konstytutywne dla krwi w przepływie w postaci:
ijijij VJp 22
2
1
2
2
2
1
2
1
4
1
22
2
2
J
J
Jy
(9.6)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Równanie (9.6) jest słuszne dla J2 różnego od 0 i przyjmującego małe wartości. Jeżeli J2 przyjmuje duże wartości wyniki eksperymentalne redukują się do prostej zależnościμ=const. i wtedy równanie (9.1) może być stosowane do opisu przepływu krwi.
Punkt przejścia pomiędzy zachowaniem Newtonowskim rów. (9.1) a nie Niewtonowskimrów. (9.6) zależy od wartości Hematokrytu.
Hematokryt – objętość czerwonych krwinek do całkowitej objętości.
Dla normalnej krwi z małą wartością Hematokrytu H= 8.25 % lepkość jest wartością stałąw szerokim zakresie naprężeń ścinających od 0.1 to 10000 s-1.Dla wartości Hematokrytu H=18 % krew zachowuje się jak płyn Newtonowski kiedy γ>600 s-1
dla mniejszych wartości naprężeń spełnione jest równanie (9.6)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
W przypadku ustania przepływu kiedy Vij=0 równanie konstytutywne (9.6) musi być zastąpione nową relacją naprężenia- odkształcenia.
Dla takiego zachowania krwi posiadamy bardzo mało danych, więc tylkohipotetyczne równania konstytutywne mogą być zaproponowane.
Rozważmy teraz bardzo prosty przypadek laminarnego przepływu krwi przewodemkołowym.
Zakładamy : przewód jest długi a przepływ jest ustalony
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Najlepiej rozpatrywać problem wewspółrzędnych cylindrycznych.
Przepływ spełnia równanie Naviera-Stokesadla płynów nieściśliwych. Na ściankachprzyjmujemy warunek brzegowyzerowania się prędkości krwi.
Przepływ jest symetryczny , tylko współrzędnau(r) nie zanika. u(r) jest funkcją tylko r.
Rozpatrzmy cylinder o średnicy r i jednostkowej długości wycięty z przepływu. Doznaje on działania ciśnienia p1 i p2 oraz naprężeń τ na powierzchni bocznej walca.
dxdp
pp 121działa na powierzchnię 2r
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
natomiast τ działa na powierzchnię 1*2πr
W stanie ustalonym równanie równowagi sił wygląda następująco:
dxdp
rr 22
lub
dxdpr
2 (Stokes, 1851)
Teraz musimy wprowadzić równanie konstytutywne wiążące naprężenia z odkształceniem
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
płyn Newtonowski
drdu
dxdpr
drdu
2
przy naszych założeniach dp/dx musi byćwartością stałą a wiec po scałkowaniu:
Bdxdpr
u 4
2
stałą B można wyznaczyć z warunku brzegowego:
0u ar
dxdp
rau 22
41
(paraboliczny profil prędkości)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Strumień może być obliczony przez scałkowanie:
a
urdrQ0
2dxdpa
Q
8
4
i średnia prędkość przepływu:
dxdpa
um 8
2
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
krew z Lepkością opisaną równaniem Cassona:
równanie
dxdpr
2 jest ważne dla każdego rodzaju płynu
Naprężenia ścinające działające na powierzchnięcylindryczną są funkcją promienia r.
ściankagranica płynięcia
brak przepływu
W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruchto tak jak dla bryły sztywnej.
profil prędkości zależy więc od wartości τy i τw
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
dxdpr
2
dxdpa
w 2
dxdprc
y 2
jeżeli wy nie mamy przepływu 0u
adxdp y2
jeżeli wy
arc
arc adx
dp y2
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
i profil prędkości musi wyglądać następująco:
dla r<rc profil jest płaski. Dla r>rc i r<a równanieCassona jest spełnione.
ydxdpr
2
rozwiązując względem γ
2
21
ydx
dprdrdu
stąd możemy wyznaczyć profil prędkości:
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
rarrarra
dxdp
u cc 238
41 2
3
2
322
dla r=rc prędkość przyjmuje wartość
cc rara
dxdp
u31
41 3