Wykład 8Testy Studenta

• Jest kilka różnych testów Studenta. Mają one podobną strukturę ale służą do testowania różnych hipotez i różnią się nieco postacią statystyki testowej. Sześć podstawowych typów testów Studenta to:

• Test dla jednej próby, dla dwóch niezależnych prób i dla dwóch prób zależnych.

• Każdy z powyższych testów może być kierunkowy (alternatywa jednostronna) lub nie (alternatywa dwustronna).

“Test studenta dla pojedynczej proby, niekierunkowy”

• Przykład 1:• Studenci statystyki pomierzyli prędkość aut

prowadzonych przez 32 studentów na ulicy Wyspiańskiego.Średnia i odchylenie z próby są podane poniżej. Pomiary policyjne wskazują, że na ulicy Wyspiańskiego kierowcy (ogół populacji) prowadzą auta ze średnią 55 km/h. Czy nasze badanie sugeruje, że średnia prędkość aut prowadzonych przez studentów jest inna niż średnia w całej populacji kierowców ?

Prędkość aut w km/h

N mean S

32 66 5.5

“Kierunkowy test Studenta dla jednej próby”:

• Tym razem zadajemy pytanie:

• Czy średnia prędkość aut prowadzonych przez studentów przekracza 55 km/h?

• Uwaga: Decyzja o typie hipotezy alternatywnej (kierunkowa lub nie) powinna być podjęta zanim spojrzymy na dane.

Jaki będzie wynik jeżeli zadamy pytanie:

• Czy średnia prędkość aut prowadzonych przez studentów na ulicy Wyspiańskiego jest mniejsza niż 55 km/h?

“Test Studenta dla dwóch niezależnych prób,

niekierunkowy”:• Badacze chcą stwierdzić czy obecność

pewnego enzymu (G6PD) jest związana z rozwojem artretyzmu (RA). Aby to zbadać wybrano losowo 14 pacjentów chorych na artretyzm i utworzono grupę kontrolną z 17 zdrowych dorosłych. U każdej z badanych osób zmierzono poziom (G6PD) we krwi. Wyniki podano w jednostkach/g Hgb (Hgb=hemoglobina).

RA Grupa kontrolna

średnia 17.8 12.3

SD 3.2 2.84

Zakładając, że poziom G6PD w badanych populacjach ma w przybliżeniu rozkład normalny porównaj średnie poziomy G6PD u osób chorych na artretyzm i u osób zdrowych używając odpowiedniego testu statystycznego. Użyj liczby stopni swobodydf = n1 + n2 – 2.Rozwiązanie Czy średni poziom enzymu G6PD u osób chorych na artretyzm jest taki sam jak u zdrowych osób? 1 – średni poziom G6PD u osób chorych na artretyzm 2 – średni poziom G6PD u zdrowych osób

„Kierunkowy test Studenta dla dwóch niezależnych prób":

• Lekarstwo uśmierzające ból zostało przetestowane na grupie 50 kobiet cierpiących na bóle poporodowe. 25 losowo wybranych kobiet dostało lekarstwo a pozostałych 25 placebo. Dla każdej kobiety wyliczono wskaźnik uśmierzenia bólu w oparciu o wynik cogodzinnego wywiadu. Zakres zmienności tego wskaźnika był pomiędzy 0 (ból bez zmian) do 56 (całkowite uśmierzenie bólu na 8 godzin). Wyniki badań zawarte są w poniższej tabeli. Zakładając, że wskaźnik uśmierzenia bólu ma w obu populacjach rozkład normalny zweryfikuj hipotezę o przydatności badanego lekarstwa.

Wskaźnik uśmierzenia bólu

N Srednia SD

Placebo 25 25.32 12.05

lekarstwo 25 31.96 13.78

PytanieCzy lekarstwo redukuje ból bardziej efektywnie niż placebo ?

P-wartość• Przed przystąpieniem do testowania należy wybrać

poziom istotności .

• Odrzucamy H0 gdy statystyka testowa jest istotna, tzn. znajdzie się w obszarze odrzuceń.

• Obszar odrzuceń to zbiór wartości w ``ogonie’’ rozkładu Studenta taki, że całka z gęstości rozkładu Studenta po tym zbiorze wynosi .

• Jak porównać wynik testowania z kimś kto użył innej wartości ?

• Może się zdarzyć, że hipoteza odrzucona na poziomie istotności =0.05 nie będzie odrzucona jeżeli użyjemy = 0.01.

Przykład:• Stosujemy dwustronny test Studenta z 18 df na

poziomie istotności = 0.05. Wartość krytyczna = 2.101.

• Statystyka testowa wyliczona w oparciu o dane wynosi ts = 2.3, więc

• Moja koleżanka Ala chce użyć = 0.01. Jej krytyczna wartość = 2.878.

• Ala użyła tych samych danych, więc ts = i

• Czego potrzeba aby podjąć decyzję ?• Tablicy rozkładu Studenta aby ustalić wartość

krytyczną.• Wartości statystyki testowej ts.

• Czy Ala może uniknąć wyszukiwania nowej wartości krytycznej ?

• Tak. Możemy podać Ali P-wartość dla naszej statystyki. Znajomość P-wartości umożliwia podjęcie decyzji dla każdego poziomu istotności bez konieczności wyszukiwania wartości krytycznych.

• P-wartość to p-stwo, że przy prawdziwości hipotezy zerowej wartość statystyki przyjmie wartość bardziej ekstremalną, niż zaobserwowana w badanej próbie.

• Dla dwustronnego testu Studenta P-wartość to całka z gęstości rozkładu Studentana prawo od +| ts| i na lewo od -| ts|.

• Dla testów jednostronnych P-wartość to całka po jednej stronie zaobserwowanej statystyki w kierunku wyspecyfikowanym przez alternatywę.

• Przy HA : 1 > 2, P-wartość to całka na prawo od ts. • Przy HA : 1 < 2, P-wartość to całka na lewo od ts .

Kontynuacja przykładu

• Przy 18 df i ts = 2.3, P-wartość dla testu dwustronnego wynosi 0.034.

• Jest to całka z gęstości rozkładu Studenta na prawo od +2.3 i na lewo od -2.3.

• Jak używamy P-watości?

• Porównujemy je bezpośrednio z .

• Gdy P-wartość < , .

• Gdy P-wartość > , .

• Tak więc mówimy Ali, że P-wartość wynosi 0.034 i ona wie od razu, że na poziomie istotności = 0.01 .

• I my wiemy, że na poziomie istotności α = 0.05

• Jeżeli znamy P-wartość warto ją podać razem z wynikiem testu.

• Na przykład ``To badanie na poziomie istotności 0.05 potwierdza (P-wartość=0.034), że

Szacowanie P-wartości

• P-wartość można obliczyć przy pomocy komputera, korzystając z dystrybuanty rozkładu Studenta.

• P-wartość można także zgrubnie oszacować korzystając z tablic rozkładu Studenta. W tym wypadku należy wyszukać wartości krytyczne najbliżej ograniczające zaobserwowaną wartość statystyki. Szukana P-wartość dla testu jednostronnego leży wewnątrz odcinka wyznaczonego przez poziomy istotności odpowiadające wyszukanym wartościom krytycznym. P-wartość dla testu dwustronnego leży pomiędzy podwojonymi wartościami poziomów istotności odpowiadających ``ograniczającym’’ wartościom krytycznym.

Kontynuacja przykładu

• Oszacuj p-wartość dla dwustronnego testu Studenta, jeżeli wartość statystyki testowej wynosi 2.3 a liczba stopni swobody df=18.

ySE

y 0

21

21

yySE

yy

dSE

yy 21

Testy Studenta

Hipotezyzerowe

Hipotezy alternatywne df ts (1-) PU

dwustronne jednostronne

H0 HA ObszarKryt.

HA Obsz.Kryt.

JednaPróba

= 0 0 ts <- t/2

ts > t/2

< 0 ts <- t n-1 dla :y t/2SEy

> 0 ts > t

DwieNiezależnePróby

1 = 2 1

2

ts <- t/2

ts > t/2

1 < 2 ts < -t n1+n2-2

albopodanywzór

dla 1-2:

y1 –y2

t/2SEy1-y21 > 2 ts > t

DwieZależneProby

1 = 2 1

2

ts < –t/2

ts > t/2

1 < 2 ts <-t nd – 1 dla 1-2:

y1 –y2

t/2SEd1 > 2 ts > t

dSE

yy 21