WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne

• Ile co najmniej krawędzi gwarantuje istnienie kliki wielkości k?

• Ile co najwyżej krawędzi gwarantuje istnienie zbioru niezależnego wielkości k?

• Ile co najmniej wierzchołków gwarantuje klikę wielkości k lub zbiór niezależny wielkości l ?

Ile krawędzi gwarantuje K_3 ?

• n^2/4 nie gwarantuje, bo K(n/2,n/2)• Tw. (Mantel, 1907) Jeśli graf o n

wierzchołkach ma więcej niż n^2/4 krawędzi, to zawiera trójkąt.

• Dowód: G – graf bez trójkąta, v --wierzchołek o stopniu Δ, N(v) – zbiór sąsiadów v w G. Zbiór N(v) jest niezależny, stąd

4)( 2 /nne(G)

Ilustracja dowodu Tw. Mantla

v N(v)

n-Δ-1

Δ

V-{v}-N(v)

Wniosek z dowodu Tw. Mantla

• Jeśli n jest parzyste, G ma n^2/4 krawędzi i nie zawiera K_3, to G=K(n/2,n/2).

• Jeśli n jest nieparzyste, G ma (n^2-1)/4 krawędzi i nie zawiera K_3, to G=K((n-1)/2,(n+1)/2).

• Dowód dla n parzystego: w dowodzie Tw. Mantla równość e(G)=n^2/4 zachodzi tylko, gdy Δ=n/2 i nie ma krawędzi o obu końcach w V-N(v).

Uogólnienie problemu

• Dane: graf H i liczba naturalna n;

• Graf G nie zawierający H, o n wierzchołkach i największej możliwej liczbie krawędzi nazywamy ekstremalnym dla H i n, a jego liczbę krawędzi oznaczamy przez ex(n,H).

• Na przykład, dla n parzystego i H=K_3, K(n/2,n/2) jest ekstremalny, a ex(n,K_3)=n^2/4.

Tw. Turána -- intuicja

Żeby upchnąć jak najwięcej krawędzi unikając K_{k+1}, trzeba budować k-dzielny graf pełny.

n/k

n/k

n/k

Tw. Turána

Graf Turána T_k(n) to k-dzielny graf pełny, którego podział wierzchołków składa się z k-r zbiorów mocy q i r zbiorów mocy q+1. Dla n=1,...,k-1 przyjmujemy T_k(n) = K_n.

Oznaczmy t_k(n)=e(T_k(n)). Jasne, że

krr, qkn, nk 0

Tw.Turána 1941 Jedynym grafem ekstremalnym dla K_{k+1} i n jest graf Turána T_k(n). W szczególności

t_k(n)})ex(n,K_{k 1

t_k(n)})ex(n,K_{k 1

Dowód Tw. Turána

• Indukcja względem n: prawda dla n=1,...,k.• Załóżmy, że n>k a G jest grafem

ekstremalnym dla n i K_{k+1}.• G musi zawierać klikę K={x_1,...,x_k}

mocy k.• Z zał.ind. e(G-K) nie przekracza t_k(n-k).• Każdy wierzchołek grafu G-K ma w K co

najwyżej k-1 sąsiadów.

ntk

kknkntGe kk

2

)1)(()(

Ilustracja: k=4

KG-K

Ilustracja: grafy Turána

n=13, k=4, t_k(13)-t_k(9)=6+9•3

Dowód Tw. Turána – c.d.

• G jest ekstremalny, więc e(G)=t_k(n).• Zatem każdy wierzchołek w G-K ma

dokładnie k-1 sąsiadów w K.• Niech V_i={v: vx_i nie jest krawędzią}.• Zbiory V_i są niezależne i pokrywają V,

więc G jest k-dzielny.• Ale jedynym ekstremalnym grafem k-

dzielnym jest graf Turána T_k(n). �

Oszacowania liczb Turána

• Łatwo pokazać, że (ćwiczenia)

2

21

nk

kntk

k

knntkn

12

lim1

Ile krawędzi gwarantuje α>2 ?

nie gwarantuje, bo 2K_{n/2} (tutaj n parzyste)

czyli dopełnienie grafu Turána.

Ale mniej już tak – na podstawie Tw. Turána.

2

2/2

n

Oszacowanie α z dołu

• Tw. Caro’79 i Wei’81

Vv vd

G1

1

Dowód: Dla każdej permutacji wierzchołków π, niech l(π) będzie liczbą wierzchołków mających wszystkich sąsiadów „na prawo”. Tworzą one zbiór niezależny, więc

lG

Dowód – c.d.• Niech ł(v) będzie liczbą permutacji, w których v

ma wszystkich sąsiadów na prawo. Wtedy

v

vłl

• oraz

1

!)!1(!

1

v

vv

v dn

dndd

nvł

• Zatem istnieje π takie, że

Vv vd

l1

1

Ilustracja

v

N(v)

Przyjęcie na 6 osób

• Wśród dowolnych trzech osób zawsze są co najmniej dwie tej samej płci.

• Wśród dowolnych sześciu osób zawsze są co najmniej trzy, które się znają LUB co najmniej trzy, które się nie znają.

A

BC

D

E

F

Liczba K_3 łącznie w grafie i jego dopełnieniu

Goodman 1959 Łącznie trójkątów w grafie na n wierzchołkach i jego dopełnieniu jest co najmniej n(n-1)(n-5)/24.

Dowód: Niech t_i będzie liczbą indukowanych podgrafów grafu G o 3 wierzchołkach i i krawędziach, i=0,1,2,3.

2121 ttdnd vVv v

Ilustracja

v

d_v

n-1- d_v

Dowód tw. Goodmana -- dokończenie

2

2130 21

23)(

3

nnntt

ntt

Tw. Ramseya

Notacja „strzałkowa” Erdősa-Rado:

Piszemy n (k,l), gdy każdy graf na n wierzchołkach zawiera klikę mocy k LUB zbiór niezależny mocy l (równoważnie, jego dopełnienie zawiera klikę mocy l).

Przykład: 6 (3,3)

Tw. (Ramsey 1930) Dla wszystkich naturalnych k i l, istnieje n takie, że n (k,l).

Dowód tw. Ramseya• Indukcja względem k+l• Jeśli k=2 to l (k,l).• Zawsze: n (k,l) wgdy n (l,k) • Weźmy k>2 i l>2; niech n_1 (k-1,l),

n_2 (k,l-1) (tutaj stosujemy zał. ind.)• Pokażemy, że n_1+n_2 (k,l).• W dowolnym grafie G na n_1+n_2

wierzchołkach, każdy wierzchołek v ma albo co najmniej n_1 sąsiadów albo co najmniej n_2 nie-sąsiadów.

Dowód tw. Ramseya – c.d.

• Bez straty ogólności (symetria!) przyjmijmy przypadek pierwszy i do podgrafu indukowanego G[N(v)], gdzie |N(v)|=n_1, zastosujmy własność n_1 (k-1,l).

• Jeśli G[N(v)] zawiera zbiór niezależny mocy l, to koniec dowodu.

• Jeśli G[N(v)] zawiera klikę mocy k-1, to ta klika wraz z wierzchołkiem v tworzy klikę mocy k. �

Ilustracja

v

n_1=R(k-1,l)

n_2=R(k,l-1)

Liczby Ramseya

• R(k,l) to najmniejsza liczba n taka, że n (k,l). • R(3,3)=6 bo 6 (3,3) oraz istnieje graf na 5 wierzchołkach

(jaki?) taki, że ω=α=2.• Z dowodu Tw. Ramseya wynika rekurencja

)1,(),1(),( lkRlkRlkR

1046)2,4()3,3()3,4( RRR

934 ),R( 18)4,3(2)4,4( RR

9)4,3( R 18)4,4( R ?)5,5( R

Oszacowania liczb Ramseya

kc

k

kkkR

k41

22),(

2/2),( kkkR

(1)

(2)

Gra ramseyowska -- online

Opis gry: Zaczynając od pustego grafu, w każdej rundzie Konstruktor rysuje krawędź a Malarz maluje ją jednym z dwóch kolorów.

Malarz przegrywa, gdy pojawi się monochromatyczny trójkąt.

Ile rund może przetrwać Malarz, zakładając, że obaj gracze grają bezbłędnie?

Na pewno nie więcej niż 15 (dlaczego?), ale czy Konstruktor może osiągnąć wygraną wcześniej?

Przykład gry