Wykład 12• Statystyczny model dla jednoczynnikowej

ANOVy

yij =+γi + ij , ij ~ niezależne N(0,2) μ- średnia wartość cechy w całej populacji

μi – średnia dla i-tej grupy

γi= μi – μ

H0: 1 = 2 = 3 = … = k jest równoważna

H0: γ1 = γ2 = γ3 = … = γk=0

Model dwuczynnikowej ANOVy• Zrandomizowany układ blokowy

• Wpływ zabiegu, wpływ bloku

• Model– Yijk = + γi + j + ijk

• Hipoteza– H0 : γ1 = γ2 = γ3 = … = γk=0 (zabieg nie ma

wpływu)

– H1 : Nie H0 (niektóre γ są różne od zera)

Rozkład SS• Suma kwadratów pomiędzy blokami

• SS(całkowita) = SS(wewnątrz)+SS(pomiędzy)+

SS(blok)• df(całkowita) = df(wewnątrz)

+df(pomiędzy)+df(blok)• Df(blok)=b-1 = liczba bloków -1

2

1

( )b

j jj

SSB m y y

Tabela ANOVy

Źródło df SS MS statystyka F

Between k-1 SSBt MSBt=SSBt/(k-1)

Blok b-1 SSBl MSBl= SSBl/(b-1)

Within n-k-b+1 SSW MSW=SSW/(n-k-b+1) F=MSBt/MSW

Total n-1 SST

Przykład (wysokość roślin)

Nawóz I Nawóz II Nawóz III Średnia dla

bloku

Blok1 1.58 1.10 2.47 1.717

Blok2 1.15 1.05 2.15 1.450

Blok3 1.27 0.50 1.46 1.077

Blok4 1.25 1.00 2.36 1.537

Blok5 1.00 1.50 1.00 1.167

n 5 5 5

Średnia dla zabiegu

1.25 1.03 1.888

Budujemy tabelę ANOVy

• Całkowita średnia =

• SSBt (SS zabiegu)=

MSBt =

• SSBl (SS bloków)=

MSBl =

• SSW = SST – SSBt – SSBl = 1.452

• df(SSW) = , MSW =

• Fs = MSBt / MSW =

• df for numerator= , df for denominator=

• Wartość krytyczna=

• Decyzja

• Wniosek

Dane jakościowe

• Obserwacje klasyfikujemy do jakościowych klas

• Zliczamy liczbę obserwacji w każdej klasie

• Jeżeli są tylko dwie klasy, to liczba obserwacji w pierszej klasie ma rozkład

• Jeżeli mamy więcej niż dwie klasy, Możemy się skoncentrować na jednej

klasie - rozkładAlbo możemy rozważać wszystkie klasy

na raz

• Przypomnienie: p (nieznane) p-stwo sukcesu – np. bycia w

klasie 1n liczba obserwacji.Obserwujemy y = # obserwacji w klasie 1. = y ma rozkład , Jeżeli np i n(1-p) są dość duże to rozkład ten

możemy aproksymować rozkładem

p̂

• Rozkład 2

• Niech y1, … yk będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(0,1). Suma kwadratów tych zmiennych ma rozkład 2

k (rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody).

Test zgodności chi-kwadrat

• Rozważymy przypadek danych jakościowych

• Mamy próbę składającą się z n niezależnych obserwacji

• Będziemy testowali hipotezę o p-stwach należenia do poszczególnych klas

• Do obliczania wartości krytycznych skorzystamy z przybliżenia, które działa dla dużych rozmiarów prób.

• Liczymy oczekiwaną liczbę obserwacji w każdej klasie: npi (pi – założone p-stwo ``bycia’’ w i-tej klasie)

• Test możemy stosować gdy oczekiwana liczba obserwacji w każdej z klas jest niemniejsza niż 5.

• Test jest w założeniu podobny do testu znaków ale nie wykorzystuje rozkładu dwumianowego.

Prosty przypadek: dwie klasy

• Np. samiec/samica, tak/nie, sukces/porażka, poprawa/pogorszenie, itd.

• Badamy model genetyczny dziedziczenia pewnej cechy. Mamy dwie linie homozygotyczne muszki Drosophila, jedną z czerwonymi oczami i jedną z fioletowymi oczami. Sugeruje się, że za kolor oczu odpowiedzialny jest tylko jeden gen i że allel oczu czerwonych dominuje nad allelem oczu fioletowych.

• Jeżeli założona hipoteza jest prawdziwa to w krzyżówce F2 stosunek liczby muszek z czerwonymi oczami do liczby muszek z fioletowymi oczami powinien być w przybliżeniu równy

• Aby zweryfikować tę hipotezę wyhodowano 43 muszki z populacji F2 (wykorzystując kilku rodziców z linii homozygotycznych). 29 z tych muszek miało czerwone oczy a 14 fioletowe oczy.

• Klasy: Czerwone oczy; hipotetyczne p-stwo p =

oczekiwana liczba: E1 = Fioletowe oczy; hipotetyczne p-stwo p =

Oczekiwana liczba: E2 =

• Czy allel czerwonych oczu dominuje nad allelem fioletowych oczu ?

• Niech p będzie p-stwem, że muszka w populacji F2 ma czerwone oczy

• H0: p = ;

• HA:

Użyjemy testu zgodności chi-kwadrat2

s = (O-E)2/E przy H0 ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z df = #klas - 1 = .

• Testujemy na poziomie = 0.05 ;

• Wartość krytyczna =

• =• Tablica wartości krytycznych z książki

``Introduction to the Practice of Statistics’’,

D.S. Moore, G. P. McCabe

p̂

2s = (zaobserwowana - oczekiwana)2 /

oczekiwana = (O-E)2/E

• =

• Wniosek:

• Możemy także testować przeciwko alternatywie kierunkowej np. p < 0.75. W tym przypadku odrzucamy H0 gdy OBA poniższe warunki sa spełnione:

X2s > 2

1(2), tzn.

< 0.75 (tzn estymator odchyla się od hipotetycznej wartości w tym samym kierunku co HA)

p̂

Więcej niż 2 klasy

• U słodkiego groszku allel fioletowego koloru kwiatów (F) jest dominujący nad allelem czerwonego koloru (C) a allel wydłużonych ziaren pyłku (d) jest dominujący nad allelem okrągłych ziaren (o). Mamy P1 rodziców homozygotycznych z allelami dominującymi (FFdd) i P2 rodziców homozygotycznych z allelami recesywnymi (CCoo). W generacji F1 wszystkie groszki mają genotypy ( ) i mają

Groszki z populacji F1 krzyżujemy i dostajemy populację

F2. Przypuszcza się, że geny kontrolujące obie cechy są odległe o 20 cM. Jeżeli jest to prawdą to w populacji F2 poszczególne fenotypy powinny występować w proporcjach

• 67.44:7.56:7.56:17.44

• 67.44% fioletowe/wydłużone FFdd albo FCdd albo FFdo albo FCdo, [(2 -2+3)/4]• 7.56% fioletowe/okrągłe : FFoo albo FCoo, [(2-2)/4]• 7.56% czerwone/wydłużone = CCdd albo CCLdo,

[(2-2)/4]• 17.44% czerwone/okrągłe = CCoo, [(1-

)2/4],• Gdzie =0.1648 (p-stwo rekombinacji).

• Wyhodowano 381 osobników z populacji F2 i zaobserwowano

284 fioletowe/wydłużone21 fioletowe/okrągłe21 czerwone/wydłużone55 czerwone/okrągłe

• Czy geny są w odległości 20 cM ?

• Niech p1, p2, p3, p4 będą p-stwami odpowiednio

fioletowe/wydłużone, fioletowe/okragłe, czerwone/wydłużone, czerwone/okrągłe w populacji F2.

H0: p1 =0.6744, p2 = 0.0756, p3 =0.0756, p4 =0.1744 ; p-stwa poszczególnych klas odpowiadają odległości 20 cM.

HA: p-stwa klas nie odpowiadają odległości 20 cM.

• Użyjemy testu chi-kwadrat, df = #klas - 1 =

2s = (O-E)2/E ma przy H0 rozkład

• Testujemy na poziomie = 0.05;

• Wartość krytyczna =

• Wartości oczekiwane liczby obserwacji w każdej klasie przy H0 (n pi):

2s =

• Wniosek:

Podsumowanie testu chi-kwadrat zgodności

• Definiujemy pi dla każdej klasy i formułujemy hipotezę.

• Jeżeli są tylko dwie klasy to alternatywę można łatwo opisać za pomocą wzoru, może ona też być kierunkowa.

• Jeżeli mamy więcej niż dwie klasy alternatywę należy opisać słowami.

• Dla każdej klasy liczymy Ei = npi . Sprawdzamy czy wszystkie Ei są nie mniejsze niż 5. (Jeżeli nie to nie można stosować testu chi-kwadrat)

• Liczymy 2s = (O-E)2/E sumując po

wszystkich klasach.

• Porównujemy z wartością krytyczną z rozkładu 2

k-1; odrzucamy H0 gdy statystyka jest większa od wartości krytycznej.

Tablice wielodzielcze

• "2x2”, dwa rzędy i dwie kolumny• Dane jakościowe z czterema klasami, które

można połączyć w pary.• Dwie typowe sytuacje:Dwie niezależne próby; w każdej obserwujemy

jedną cechę o dwu wartościachJedna próba; obserwujemy dwie różne cechy z

których każda może przyjmować dwie wartości.

• Przykład sytuacji 1Próby to „lekarstwo” i „placebo” (lub dowolne

dwa zabiegi); obserwowana zmienna to „poprawa” lub „brak poprawy”.

próby „samce" i „samice" (dowolne dwie grupy, które chcemy porównać); obserwowana zmienna – np. kolor oczu, ``fioletowe’’ i „czerwone”.

• Przykład sytuacji 2

• obserwujemy „kolor oczu" (czerwone/fioletowe) i „kształt skrzydła" (normalny/mniejszy)

• Oberwujemy czy ludzie palą i ćwiczą

:

Kolor oczu

czerwone fioletowe

Kszatłtskrzydła

normalne 39 11

mniejsze 18 32

4 klasy; obserwacje w tabeli 2x2

Testujemy niezależność zmiennych definiujących rzędy i kolumny. W tym przypadku będzie to odpowiadać testowaniu hipotezy czy oba geny leżą na innych chromosomach.

Przykład (wstępny):

Obserwowane zabieg Suma

Lekarstwo Placebo

Wynik Poprawa 15 4 19

Brak poprawy

11 17 28

Suma 26 21 47

• p1 = p-stwo, że nastąpi poprawa jeżeli pacjent bierze lekarstwo

• p2 = p-stwo, że nastąpi poprawa jeżeli pacjent bierze placebo

• H0: p1 = p2

• HA: p1 p2 ( or p1 > p2)

• W przeciwieństwie do testu zgodności nie mamy hipotetycznych wartości na p. Zamiast tego, H0 mówi, że oba p-stwa są takie same. Można to wyrazić w terminach niezależności.

• HA mówi, że p-stwa są różne co oznacza, że zmienne ``zabieg’’ i „wynik” nie są niezależne.

• =

• =

• Jakich wartości oczekiwalibyśmy gdyby H0 była prawdziwa ?

• Poprawa nastąpiła u 19 pacjentów. Jest to 19/47 = 40.4% wszystkich badanych. 26 pacjentów brało lekarstwo; Jeżeli H0 jest prawdziwa to u około 40.4% z nich powinna nastąpić poprawa =

1p̂

2p̂

• Podobnie liczba pacjentów u których nastąpiła poprawa mimo, że brali placebo powinna być bliska

• Ponadto oczekujemy, że nie nastąpiła poprawa u osób biorących lekarstwo i u osób biorących placebo.

• Te oczekiwane wartości umieszczamy w podobnej tabeli.

Oczekiwane zabieg Suma

Lekarstwo Placebo

Wynik Poprawa 10.5 8.5 19

Brakpoprawy

15.5 12.5 28

Suma 26 21 47

• Ogólnie,

• E = (suma w rzędzie)(suma w kolumnie)/(całkowita suma )

• Dla każdej z czterech klas.

• Aby stosować test chi-kwadrat E w każdej klasie powinno być nie mniejsze niż 5.

Łączymy obie tabele:

Oberwowane (Oczekiwane) zabieg Suma

Lekarstwo Placebo

Wynik Poprawa 15 (10.5) 4 (8.5) 19

Brak poprawy

11 (15.5) 17 (12.5) 28

Suma 26 21 47

• Czy u pacjentów biorących lekarstwo poprawa występuje częściej niż u pacjentów biorących placebo ?

• p1 = p-stwo poprawy u pacjentów biorących lekarstwo

• p2 = p-stwo poprawy u pacjentów biorących placebo

• H0: p1 = p2 ; p-stwo poprawy jest takie samo w obu grupach (albo wynik i zabieg są niezależne).

• HA: p1 > p2 ; p-stwo poprawy jest większe u pacjentów biorących lekarstwo

• Stosujemy test 2 dla niezależności

• X2s = (O-E)2/E przy H0 ma rozkład 2

1.

• Testujemy na poziomie istotności = 0.01; odrzucamy H0 gdy X2

s > [używamy kolumny 0.02 bo alternatywa jest kierunkowa]

• [Ponieważ alternatywa jest kierunkowa musimy wykonać kolejny krok]

•

•

• 2

1

ˆ

ˆ

p

p

2s =

• Wniosek

1p̂ 2p̂

• Stopnie swobody

• df = 1 dla tabeli 2x2. Ogólnie (#rzędów-1)(#kolumn-1)

• Wartości krytyczne

• Gdy HA jest niekierunkowa szukamy w kolumnie , gdy jest kierunkowa w kolumnie 2.

• Co oznacza odrzucenie H0? Czasami trzeba być ostrożnym przy formułowaniu wniosków. Gdy odrzucamy H0 to mamy przesłanki aby przypuszczać, że zmienne nie są niezależne, co nie zawsze odpowiada związkowi przyczynowemu.

• Nasze badanie wskazuje, że stan pacjentów biorących lekarstwo częściej się poprawia niż stan pacjentów biorących placebo.

• Tutaj kontrolowaliśmy zabieg więc możemy przypuszczać, że istnieje związek przyczynowy. Gdybyśmy jednak testowali niezależność koloru oczu i kształtu skrzydeł u muszek owocówek nie moglibyśmy stwierdzić związku przyczynowego (np. Kolor oczu wpływa na kształt skrzydeł). Możemy tylko powiedzieć że oba fenotypy są zmiennymi zależnymi.