Wstęga Möbiusa

Marcin Knapik IIIb

Jeden z twórców nowoczesnej geometrii algebraicznej, podał nową klasyfikację krzywych i powierzchni oraz pojęcie przekształcenia rzutowego. Znany z odkrycia funkcji Möbiusa oraz wstęgi Möbiusa. 

August Ferdinand Möbius

Powstaje z prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden z końców o 180°. Opisana przez niemieckiego matematyka  Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku. Powinna wyglądać tak:

Posiada ona dwie ważne cechy, o których dowiemy się później – podczas zadań.

Jak Wykonać?

Zadanie 1 Wykonujemy z pasku papierowego Obręcz.

Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm. Pośrodku rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Co zauważamy?

W przypadku obręczy linia została narysowana po jednej stronie.

Obserwacje:

Wnioski: Obręcz jest powierzchnią dwunostronną.

Zadanie 2 Wykonujemy z pasku papierowego Wstęgę

Möbiusa. Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm. Pośrodku rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Co zauważamy?

W przypadku wstęgi Möbiusa linia została narysowana po obu stronach.

Obserwacje:

Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy na przykład chcieli pokolorować ją tylko po jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej powierzchnię.

Zadanie 3

Używamy wstęgę Möbiusa z poprzedniego zadania. Przykładamy do krawędzi skuwkę od długopisu i przesuwamy ją po krawędzi

Co zauważamy?

Jadąc po jednej stronie, po jakimś czasie zauważysz, że skuwka wędruje po przeciwnej krawędzi (czyli to ta sama krawędź!). 

Obserwacje:

Wnioski: Wstęga Möbiusa posiada TYLKO jedną krawędź.

Zadanie 4

Używamy obręcz z poprzedniego zadania. Przykładamy do krawędzi skuwkę od długopisu i przesuwamy ją po krawędzi

Co zauważamy?

Jadąc po jednej stronie, skuwka cały czas wędruje po jednej krawędzi, nie możemy bez oderwania skuwki ‘objechać’ 2 krawędzi.

Obserwacje:

Wnioski: Obręcz posiada dwie krawędzie

Zadanie 5

Wykorzystujemy rzeczy z poprzednich zadań. Wstęgę oraz obręcz przecinamy wzdłuż narysowanej wcześniej linii.

Co otrzymujemy ?

W przypadku rozcięcia obręczy otrzymujemy dwie obręcze,ale dwa razy węższe.Natomiast w przypadku rozcięcia wstęgi Möbiusaotrzymujemy ponownie wstęgę, tym razem już dwustronną. Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż na początku.

Obserwacje:

Zastosowania Wstęga ta znalazła zastosowanie w technice. Poza tym jest ona lubianym elementem dekoracyjnym.

• Ogród Rzeźb w Muzeum Sztuki w Baltimore, w stanie Maryland (USA).

• Rzeźba przy wejściu do Science Center na Uniwersytecie Harvarda w Cambridge, w stanie

Massachusetts (USA).

A także…

Logo firmy Renault

…lub symbol recyklingu

Podsumowanie

• Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°,

• Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia, mająca jedną stronę i jedną krawędź,

• Została odkryta w 1858 roku przez Augusta Möbiusa, Johanna Benedicta Listinga,

• Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w technice, architekturze.

http://www.czernichow.edu.pl/Do%20pobrania/Materialy%20pomocnicze-matematyka-dzienne-B.%20Mrozicka/strona%20www/Wst%C4%99ga.html

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wst%C4%99ga_M%C3%B6biusa

http://pl.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius

http://zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/GREDA/index.html

Źródła:

Wykonał i przedstawiał : Marcin Knapik IIIb

Dziękuję za uwagę