Wprowadzenie Do Topologii
description
Transcript of Wprowadzenie Do Topologii
WPROWADZENIE DO TOPOLOGII
1 Przestrzenie metryczne przykłady przestrzeni metrycznych przestrzenie unormowane iloczyn skalarny topologia ciągi liczbowe domknięcie i wnętrze zbioru charakteryzacja zbioroacutew domkniętych
2 Odwzorowania ciągłe metryki roacutewnoważne 3 Przestrzenie metryczne zupełne twierdzenie Banacha o punkcie stałym
twierdzeniee Cantora twierdzenie Bairersquoa 4 Przestrzenie zwarte i podzbiory zwarte charakteryzacja podzbioroacutew
zwartych w R n twierdzenie Weierstrass o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej roacutewnoważność norm w R n lemat Lebesguelsquoa lemat o εndashsieci jednostajna ciągłość twierdzenie Borela lemat Diniego twierdzenie Arzeli twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
5 Przestrzenie ośrodkowe 6 Przestrzenie spoacutejne 7 Twierdzenie Urysohna o zanurzeniu w kostkę Hilberta 8 Parazwartość przestrzeni metrycznych ndash twierdzenie Stonersquoa twierdzenie
Dugundjirsquoego o przedłużeniu odwzorowań zastosowania twierdzenia Dugundji
9 Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych lemat Alexandera twierdzenie Tichonowa
PRZESTRZENIE METRYCZNE
Przestrzenią metryczną nazywamy parę (Xρ) gdzie X jest zbiorem ρ XtimesXrarr[0infin) funkcją zwaną metryką ktoacutera każdej parze (xy)isin XtimesX przyporządkowuje liczbę ρ(xy) zwaną odległością pomiędzy punktami x i y i ktoacutera spełnia trzy warunki
1) forallisinXyxρ(xy)=0hArr x=y (zwrotność)
2) forallisinXyx
ρ(xy)=ρ(yx) (symetryczność)
3) forallisinXyx
ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) (warunek troacutejkąta)
Pojęcie przestrzeni metrycznej wprowadził w 1906 roku Frēchēt
Najprostszym przykładem przestrzeni metrycznej (Xρ) jest przestrzeń dyskretna z
metryką dyskretną
ρ(xy)= Xyxyxdla
yxdlaisin
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ne
0
1
Przestrzenie dyskretne nie są ciekawym obiektem badań z punktu widzenia topologii dla nas będą interesujące przestrzenie euklidesowe w R n
R n =( isinforall=
ini
n xxx21
1 )Λ
Κ R
Z metryką euklidesową
ρ(xy)= sum=
minusn
iii yx
1
2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy =
Bez trudu można zauważyć że tak zdefiniowane funkcje ρ spełniają warunki zwartości i symetryczności Natomiast przy sprawdzaniu warunku troacutejkąta możemy skorzystać z nieroacutewności Cauchyrsquoego
sumsumsum===
sdotlen
ii
n
ii
n
iii baba
1
2
1
2
1 )
Teraz możemy przystąpić do sprawdzenia warunku troacutejkąta Niech iii yxc minus= iii zxa minus= iii yzb minus= Wtedy
ρ 2 (xy)=sum=
n
iic
1
2 =sum=
+n
iii ba
1
2)( = sumsumsum===
++n
ii
n
iii
n
ii bbaa
1
2
11
2 2 sumsumsum===
sdot+len
ii
n
ii
n
ii baa
1
2
1
2
1
2 2 +
sum=
+n
iib
1
2 = 2
1
2
1
2 )( sumsum==
+n
ii
n
ii ba = [ρ(xz)+ρ(zy)] 2 Zatem dla każdego xyzisinX
ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność ) Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to )ba le ||a||middot||b||
Przykłady przestrzeni metrycznych 1 metryka dyskretna na zbiorze X
ρ(xy)= Xyxyxdla
yxdlaisin
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ne
0
1 - jest nieinteresująca dla analizy
2 metryka euklidesowa
ρ(xy)= sum=
minusn
iii yx
1
2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy = isinR n
3 przestrzeń l )(np Na zbiorze R n wprowadzamy metrykę
ρ(xy)=pn
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
=
dla pgt1
Gdy p=2 otrzymujemy metrykę euklidesową na R n Przy sprawdzaniu że ρ jest metryką jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia należy powołać się na nieroacutewność Minkowskiego
01)(
1
1
1
1
1
1gegt⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡le⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ sumsumsum
===ii
pn
i
pi
pn
i
pi
pn
i
pii bapbaba
4 przestrzeń l p (pge 1) ||)(1
21 suminfin
=
infinlt=i
pip xxxl z metryką
ρ(xy)=p
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
infin
=
l 2 - nazywa się przestrzenią Hilberta 5 przestrzeń ciągoacutew ograniczonych
||)( 21 xiiM
Mxxxxmx
le== forallexist ||sup)( iii
yxyx minus=ρ
6 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R | f-ciągła z metryką ][|)()(sup|)( baxxggfgf isinminus=ρ
7 C p [ab] Na zbiorze C[ab] określamy metrykę
pb
a
p dxxgxfgf
1
|)()(|)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= intρ pge 1
Jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia Wynika on z nieroacutewności Minkowskiego dla całek
pb
a
ppb
a
ppb
a
p dttgdttfdttgtf111
)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+
a oto szkic dowodu
leΔ+Δ=Δ+asymp+ sumsumint==
n
i
ppii
pii
pn
ii
pii
pb
a
p tgtftgfdttgtf1
111
1
1
|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ
asympΔ+Δle sumsum==
pn
ii
pi
pn
ii
pigoMinkowskien
tgtf1
1
1
1)|)(|()|)(|( ξξ p
b
a
ppb
a
p dttgdttf11
)|)(|()|)(|( intint +
gdzie ][ 1110 iiiiiin tttttbttta minusminus isinminus=Δ=ltltle= ξ
PRZESTRZENIE UNORMOWANE Przestrzenią unormowaną nazwiemy parę (X||middot||) gdzie X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych natomiast funkcja ||middot|| Xrarr[0infin) zwana normą spełnia następujące warunki
1) forallisinXx
||x||=0hArr x=0
2) forallisinXyx
||x+y||le ||x||+||y||
3) forallforallisinisin RtXx
||tx||=|t|middot||x||
Każda norma wyznacza metrykę
ρ(xy)=||x-y|| Omoacutewiona poprzednio metryka euklidesowa była wyznaczona przez normę euklidesową
||x||= sum=
n
iix
1
2 dla x=( nxx 1 )
Ogoacutelnie na zbiorze R n można wprowadzić wiele roacuteżnych norm np
a) ||x||= ||1sum=
n
iix - norma modułowa
b) ||x||=max| ix | i=1n ndash norma bdquomaksimumrdquo
c) ||x||= pn
i
pix
1
1
)||(sum=
dla gep 1
Zanotujmy jeszcze jeden przykład przestrzeni z ktoacuterą często spotykamy się na kursie z analizy matematycznej jest to przestrzeń C[ab] wszystkich funkcji ciągłych f [ab]rarrR określonych na przedziale [ab] z normą
||f||=sup|f(x)| xisin[ab] Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to ba lt||a||middot||b|| oraz jeśli ta=b to
| ba |=||a||middot||b||
a-ε a+ε ( ) a
ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny
1sum=
=n
iii yxyx
Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność
xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci
leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego
TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter
K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ
AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa
K(aε)subA
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
PRZESTRZENIE METRYCZNE
Przestrzenią metryczną nazywamy parę (Xρ) gdzie X jest zbiorem ρ XtimesXrarr[0infin) funkcją zwaną metryką ktoacutera każdej parze (xy)isin XtimesX przyporządkowuje liczbę ρ(xy) zwaną odległością pomiędzy punktami x i y i ktoacutera spełnia trzy warunki
1) forallisinXyxρ(xy)=0hArr x=y (zwrotność)
2) forallisinXyx
ρ(xy)=ρ(yx) (symetryczność)
3) forallisinXyx
ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) (warunek troacutejkąta)
Pojęcie przestrzeni metrycznej wprowadził w 1906 roku Frēchēt
Najprostszym przykładem przestrzeni metrycznej (Xρ) jest przestrzeń dyskretna z
metryką dyskretną
ρ(xy)= Xyxyxdla
yxdlaisin
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ne
0
1
Przestrzenie dyskretne nie są ciekawym obiektem badań z punktu widzenia topologii dla nas będą interesujące przestrzenie euklidesowe w R n
R n =( isinforall=
ini
n xxx21
1 )Λ
Κ R
Z metryką euklidesową
ρ(xy)= sum=
minusn
iii yx
1
2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy =
Bez trudu można zauważyć że tak zdefiniowane funkcje ρ spełniają warunki zwartości i symetryczności Natomiast przy sprawdzaniu warunku troacutejkąta możemy skorzystać z nieroacutewności Cauchyrsquoego
sumsumsum===
sdotlen
ii
n
ii
n
iii baba
1
2
1
2
1 )
Teraz możemy przystąpić do sprawdzenia warunku troacutejkąta Niech iii yxc minus= iii zxa minus= iii yzb minus= Wtedy
ρ 2 (xy)=sum=
n
iic
1
2 =sum=
+n
iii ba
1
2)( = sumsumsum===
++n
ii
n
iii
n
ii bbaa
1
2
11
2 2 sumsumsum===
sdot+len
ii
n
ii
n
ii baa
1
2
1
2
1
2 2 +
sum=
+n
iib
1
2 = 2
1
2
1
2 )( sumsum==
+n
ii
n
ii ba = [ρ(xz)+ρ(zy)] 2 Zatem dla każdego xyzisinX
ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność ) Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to )ba le ||a||middot||b||
Przykłady przestrzeni metrycznych 1 metryka dyskretna na zbiorze X
ρ(xy)= Xyxyxdla
yxdlaisin
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ne
0
1 - jest nieinteresująca dla analizy
2 metryka euklidesowa
ρ(xy)= sum=
minusn
iii yx
1
2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy = isinR n
3 przestrzeń l )(np Na zbiorze R n wprowadzamy metrykę
ρ(xy)=pn
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
=
dla pgt1
Gdy p=2 otrzymujemy metrykę euklidesową na R n Przy sprawdzaniu że ρ jest metryką jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia należy powołać się na nieroacutewność Minkowskiego
01)(
1
1
1
1
1
1gegt⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡le⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ sumsumsum
===ii
pn
i
pi
pn
i
pi
pn
i
pii bapbaba
4 przestrzeń l p (pge 1) ||)(1
21 suminfin
=
infinlt=i
pip xxxl z metryką
ρ(xy)=p
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
infin
=
l 2 - nazywa się przestrzenią Hilberta 5 przestrzeń ciągoacutew ograniczonych
||)( 21 xiiM
Mxxxxmx
le== forallexist ||sup)( iii
yxyx minus=ρ
6 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R | f-ciągła z metryką ][|)()(sup|)( baxxggfgf isinminus=ρ
7 C p [ab] Na zbiorze C[ab] określamy metrykę
pb
a
p dxxgxfgf
1
|)()(|)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= intρ pge 1
Jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia Wynika on z nieroacutewności Minkowskiego dla całek
pb
a
ppb
a
ppb
a
p dttgdttfdttgtf111
)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+
a oto szkic dowodu
leΔ+Δ=Δ+asymp+ sumsumint==
n
i
ppii
pii
pn
ii
pii
pb
a
p tgtftgfdttgtf1
111
1
1
|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ
asympΔ+Δle sumsum==
pn
ii
pi
pn
ii
pigoMinkowskien
tgtf1
1
1
1)|)(|()|)(|( ξξ p
b
a
ppb
a
p dttgdttf11
)|)(|()|)(|( intint +
gdzie ][ 1110 iiiiiin tttttbttta minusminus isinminus=Δ=ltltle= ξ
PRZESTRZENIE UNORMOWANE Przestrzenią unormowaną nazwiemy parę (X||middot||) gdzie X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych natomiast funkcja ||middot|| Xrarr[0infin) zwana normą spełnia następujące warunki
1) forallisinXx
||x||=0hArr x=0
2) forallisinXyx
||x+y||le ||x||+||y||
3) forallforallisinisin RtXx
||tx||=|t|middot||x||
Każda norma wyznacza metrykę
ρ(xy)=||x-y|| Omoacutewiona poprzednio metryka euklidesowa była wyznaczona przez normę euklidesową
||x||= sum=
n
iix
1
2 dla x=( nxx 1 )
Ogoacutelnie na zbiorze R n można wprowadzić wiele roacuteżnych norm np
a) ||x||= ||1sum=
n
iix - norma modułowa
b) ||x||=max| ix | i=1n ndash norma bdquomaksimumrdquo
c) ||x||= pn
i
pix
1
1
)||(sum=
dla gep 1
Zanotujmy jeszcze jeden przykład przestrzeni z ktoacuterą często spotykamy się na kursie z analizy matematycznej jest to przestrzeń C[ab] wszystkich funkcji ciągłych f [ab]rarrR określonych na przedziale [ab] z normą
||f||=sup|f(x)| xisin[ab] Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to ba lt||a||middot||b|| oraz jeśli ta=b to
| ba |=||a||middot||b||
a-ε a+ε ( ) a
ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny
1sum=
=n
iii yxyx
Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność
xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci
leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego
TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter
K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ
AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa
K(aε)subA
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Przykłady przestrzeni metrycznych 1 metryka dyskretna na zbiorze X
ρ(xy)= Xyxyxdla
yxdlaisin
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ne
0
1 - jest nieinteresująca dla analizy
2 metryka euklidesowa
ρ(xy)= sum=
minusn
iii yx
1
2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy = isinR n
3 przestrzeń l )(np Na zbiorze R n wprowadzamy metrykę
ρ(xy)=pn
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
=
dla pgt1
Gdy p=2 otrzymujemy metrykę euklidesową na R n Przy sprawdzaniu że ρ jest metryką jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia należy powołać się na nieroacutewność Minkowskiego
01)(
1
1
1
1
1
1gegt⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡le⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+ sumsumsum
===ii
pn
i
pi
pn
i
pi
pn
i
pii bapbaba
4 przestrzeń l p (pge 1) ||)(1
21 suminfin
=
infinlt=i
pip xxxl z metryką
ρ(xy)=p
i
pii yx
1
1|| ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minussum
infin
=
l 2 - nazywa się przestrzenią Hilberta 5 przestrzeń ciągoacutew ograniczonych
||)( 21 xiiM
Mxxxxmx
le== forallexist ||sup)( iii
yxyx minus=ρ
6 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R | f-ciągła z metryką ][|)()(sup|)( baxxggfgf isinminus=ρ
7 C p [ab] Na zbiorze C[ab] określamy metrykę
pb
a
p dxxgxfgf
1
|)()(|)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= intρ pge 1
Jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia Wynika on z nieroacutewności Minkowskiego dla całek
pb
a
ppb
a
ppb
a
p dttgdttfdttgtf111
)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+
a oto szkic dowodu
leΔ+Δ=Δ+asymp+ sumsumint==
n
i
ppii
pii
pn
ii
pii
pb
a
p tgtftgfdttgtf1
111
1
1
|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ
asympΔ+Δle sumsum==
pn
ii
pi
pn
ii
pigoMinkowskien
tgtf1
1
1
1)|)(|()|)(|( ξξ p
b
a
ppb
a
p dttgdttf11
)|)(|()|)(|( intint +
gdzie ][ 1110 iiiiiin tttttbttta minusminus isinminus=Δ=ltltle= ξ
PRZESTRZENIE UNORMOWANE Przestrzenią unormowaną nazwiemy parę (X||middot||) gdzie X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych natomiast funkcja ||middot|| Xrarr[0infin) zwana normą spełnia następujące warunki
1) forallisinXx
||x||=0hArr x=0
2) forallisinXyx
||x+y||le ||x||+||y||
3) forallforallisinisin RtXx
||tx||=|t|middot||x||
Każda norma wyznacza metrykę
ρ(xy)=||x-y|| Omoacutewiona poprzednio metryka euklidesowa była wyznaczona przez normę euklidesową
||x||= sum=
n
iix
1
2 dla x=( nxx 1 )
Ogoacutelnie na zbiorze R n można wprowadzić wiele roacuteżnych norm np
a) ||x||= ||1sum=
n
iix - norma modułowa
b) ||x||=max| ix | i=1n ndash norma bdquomaksimumrdquo
c) ||x||= pn
i
pix
1
1
)||(sum=
dla gep 1
Zanotujmy jeszcze jeden przykład przestrzeni z ktoacuterą często spotykamy się na kursie z analizy matematycznej jest to przestrzeń C[ab] wszystkich funkcji ciągłych f [ab]rarrR określonych na przedziale [ab] z normą
||f||=sup|f(x)| xisin[ab] Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to ba lt||a||middot||b|| oraz jeśli ta=b to
| ba |=||a||middot||b||
a-ε a+ε ( ) a
ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny
1sum=
=n
iii yxyx
Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność
xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci
leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego
TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter
K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ
AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa
K(aε)subA
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
asympΔ+Δle sumsum==
pn
ii
pi
pn
ii
pigoMinkowskien
tgtf1
1
1
1)|)(|()|)(|( ξξ p
b
a
ppb
a
p dttgdttf11
)|)(|()|)(|( intint +
gdzie ][ 1110 iiiiiin tttttbttta minusminus isinminus=Δ=ltltle= ξ
PRZESTRZENIE UNORMOWANE Przestrzenią unormowaną nazwiemy parę (X||middot||) gdzie X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych natomiast funkcja ||middot|| Xrarr[0infin) zwana normą spełnia następujące warunki
1) forallisinXx
||x||=0hArr x=0
2) forallisinXyx
||x+y||le ||x||+||y||
3) forallforallisinisin RtXx
||tx||=|t|middot||x||
Każda norma wyznacza metrykę
ρ(xy)=||x-y|| Omoacutewiona poprzednio metryka euklidesowa była wyznaczona przez normę euklidesową
||x||= sum=
n
iix
1
2 dla x=( nxx 1 )
Ogoacutelnie na zbiorze R n można wprowadzić wiele roacuteżnych norm np
a) ||x||= ||1sum=
n
iix - norma modułowa
b) ||x||=max| ix | i=1n ndash norma bdquomaksimumrdquo
c) ||x||= pn
i
pix
1
1
)||(sum=
dla gep 1
Zanotujmy jeszcze jeden przykład przestrzeni z ktoacuterą często spotykamy się na kursie z analizy matematycznej jest to przestrzeń C[ab] wszystkich funkcji ciągłych f [ab]rarrR określonych na przedziale [ab] z normą
||f||=sup|f(x)| xisin[ab] Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to ba lt||a||middot||b|| oraz jeśli ta=b to
| ba |=||a||middot||b||
a-ε a+ε ( ) a
ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny
1sum=
=n
iii yxyx
Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność
xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci
leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego
TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter
K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ
AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa
K(aε)subA
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
a-ε a+ε ( ) a
ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny
1sum=
=n
iii yxyx
Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność
xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci
leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego
TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter
K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ
AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa
K(aε)subA
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A
Topologia T(ρ) ma następujące własności
1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem
otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności
1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T
Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja
Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności
1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT
Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina
topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję
1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si
nin PAAA isincapcap forall
le
1 Κ nisinN
3) topologii T S =ΥW Wsub B S
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin BBAxTA
xisinBsubA
Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy
existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1
xisinB 1 capcapΚ B n subA
Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1
Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2
W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3
Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX
Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4
Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci
[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci
[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
CIĄGI
Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x
kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x
infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall
gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε
Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=
infinrarrnlim x n hArr forallexistforall
gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)
Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja
Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted
Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja
Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn
też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x
ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy
εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
))()(()(00
afxfaxXx
W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([
00εδ
δεafKaKf subexistforall
gtgt
Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego
)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że
))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr
lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem
ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ
ltexistforallexistgtgt
)(00
axx
i εσ δ ge))((( afxf Niech n1
=δ
Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie
Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1
)(ρ
σTuf
Tuisinminus
isinforall (tzn
przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy
Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub
Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że
)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)
METRYKI ROacuteWNOWAŻNE
Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)
)()( σρσρ TT =hArrequiv
Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy
0)(0)(
rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n
σρ
Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci
)()( σρ TAXTAXXA
isinhArrisinforallsub
Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy
AxxxnAxn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
ρ
co jest roacutewnoważne temu że Axxxn
Axn
isinrArr⎯rarr⎯forallsub
σ
a więc A
jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki
1 euklidesową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1
2111 )())()((ρ
2 modułową sum=
minus=n
iiinn yxyyxx
1112 ||))()((ρ
3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le
ρ
Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne
CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n
Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką
sum=
minus=n
iiyixyx
1
2))()(()(ρ
Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(
Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo
)(|)()(||)()(||)()(|1
2 yxiyixiyixyxn
iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum
=
Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie
Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni
ciąg )( iam jest
zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn
)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le
można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan
imm
nmni=ltminus= sumforallforall
=ge=
2
1
2
1|)()(|)(
0
Pokazaliśmy że ερε
naamnmn
ltforallexistforallgegt
)(000
a to oznacza że aam rarr
Ćwiczenie 1
Udowodnić że )()( kakaaa mnk
mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall
le
σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką
modułową lub maksimum
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa
modułowa i maksimum są roacutewnoważne
Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f
Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie
Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe
Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że
ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f
Ćwiczenie
Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted
Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο
ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE
Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często
będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty
a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do
zbioru A Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=
infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0
takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że
(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)
Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie
Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted
Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że
)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub
DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru
ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym
Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie
Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall
gt
hArrisin0ε
A AcapK(xε)neOslash
Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash
Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie
Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x
existsub
hArrisinAxn
A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x
PODPRZESTRZEŃ
Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo
sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ
K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y
Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )
jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R
PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE
Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnmnn
xx
Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający
warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup
][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)
Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne
1 przestrzeń liczb wymiernych
2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b
a
dxxgxfgf |)()(|)(ρ
Dowoacuted
f 1 (x) f 2 (x) 1 2
⎩⎨⎧
isinisin
=]21[1]10[
)(xxx
xfn
n
01
11
1)(|)()(|2
0
1
0int int ⎯⎯ rarr⎯
+minus
+=minus=minus infinrarr
le
mnmn
mn
mn mndxxxdxxfxf
01
11
1)( ⎯⎯ rarr⎯+
minus+
= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni
C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧
isinisin
=rarr]10[0]21[1
)()(xdlaxdla
xfxfn
Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin
01
1||2
0
rarr+
leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że
0|)()(|2
0
rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2
0
2
0
2
0
0|||||| dxgfdxffdxgf nn
Więc otrzymalibyśmy że 0||2
0
=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki
że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe
Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to
0)(0)( =hArr=int xhdxxhb
a
dla )(][ hEbaxisin
gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE
Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11
====+minus rarrrarr
xyxyyxx
sprzeczność
Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że
() )())()((
yxyfxfXyx
αρρ leforallisin
10 ltle α
to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco
Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted
Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo
)())()(()())()(()( 102
10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10
232 xxxx ραρ le
)()()())()(()( 10
1101121 xxxxxxxfxfxx nn
nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=
)()( 101
21 xxxx nnn ραρ +++ le
mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ
le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010
110
110
nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα
01
1)(1
1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus
ltminus
minusle infinrarr
minus
nn
mnn xxxx
αρα
ααρα
Z powyższego wynika że ερ
εltforallexistforall
gegt
)(00 0
mnnnmn
xx
Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego
)()(limlim 1
xfxfxx nnnn===
infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =
Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas
)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność
Niech
)(sup)( AyxyxAd isin= ρ
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i
niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =
infinrarr nnFd
ma przekroacutej niepusty neinfin
=Ι
1nnF Oslash
Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek
Couchyrsquoego Niech nnpp
infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie
wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall
0nFpisin (0nF jest zbiorem
domkniętym) Więc Ιinfin
=
isin1n
nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin
=
=1
n
nFp bo jeśli Ιinfin
=
isin1n
nFg to
0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =
Definicje
1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin
DxKXx
)(0
εε
Oslash (np zbioacuter
Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i
domknięty AF sup
4 Zbioacuter Υinfin
=
=1n
nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych
nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa
W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted
Niech Υinfin
=
sub1n
nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że
necapforallforallgtisin
)()(0
EXxKXx
εε
Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg
kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że
1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++
2) nn10 ltlt ε
3) =cap nnn ExK )( ε Oslash
Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11
1 ltε takie że
1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że
111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin
=
isin1
)(n
nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są
zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin
Stąd ExKExKpn
n )()( 01
0 εε subisininfin
=Υ
Wniosek
Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn
xXxXx n
rarrexistforallsubisin
) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)
Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter
nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01
neinfin
=Υn
nEX ne 10 aaX Oslash
sprzeczność z 10 aaX =
PRZESTRZENIE ZWARTE
PODZBIORY ZWARTE Definicja
Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie
Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted
Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x
kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy
infinrarrklim y k =
infinrarrklim f(x
kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny
ykn
Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia
Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]
dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze
zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym
Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika
Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji
Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony
Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter
AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn
XxAaNn nn
capisinexistforallforallisinisinisin
Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x
kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a
Stąd ρ(x
kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)
co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk
axn ρ
Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest
domknięty i ograniczony Dowoacuted
Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi
Lemat o ε-sieci
W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie
dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję
( )Υn
iin xKXx
11
=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ
n
iixKX
1
=
ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg
nx spełniający warunek
( )Υn
iin
nxKXx
11
=+ isinforall ε
Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn
mnxxmn
Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x
kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że
( ) ερ ltlk nn xx
dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność
Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn
( ) ( ) εσδρδε
ltrArrltforallexistforallisingtgt
)()(00
yfxfyxXyx
Dowoacuted
Ustalmy εgt0 Rodzina 2
1 YyyKfP isin⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym
przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isinrArrlt minus
isinisinexistforall 2
1
εδρ yKfzxzxYyXzx
Stąd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛isin
2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf
Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ
δltrArrltexistforall
gtisin
)()(0
zfxfzxXzx
Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje
wartość najmniejszą i największą Dowoacuted
Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że
)(sup xfAXxisin
= oraz )(inf xfBXxisin
=
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA
infinrarr= oraz
)(lim nnzfB
infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi
zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)
NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat
Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że
|||||||||| xAxxanRx
leleforallisin
Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia
Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0
mamy Sxx
isin||||
i w konsekwencji
Axxa lele
||||
Stąd już
||||||||||0
xAxxax
leleforallne
oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0
Wniosek
Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted
Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele
Wynika nieroacutewność
)()()( 000 raAxK
arxKrxK ρσρ subsub
gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||
Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas
sumsumsum===
lesdotlesdot==n
ii
n
iii
n
iii xMexexxxf
111||||||||||)(
Z powyższego wynika
sum=
minusltminusn
iii xxMxfxf
1
00 |||)()(|
co już daje ciągłość normy
Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że
PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted
Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1
=ε istnieje zbioacuter
XAn sub n
Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o
elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk
⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że
00
3 Un
aKakn sub⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isin
dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że
00
)3( Un
aKAkn subsub
dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin
Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK
Xxsubforall
isin)( ε dla
pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X
)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory
1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a
rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin
=Ι
1nnA Oslash (stąd
poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin
=
infin
=
infin
=
===1 11
n n
nn
nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać
pokrycie skończone knn nnUUXk
ltltcupcup= 1
1 Ponieważ
knn UU subsub 1
(bo 21 supsup AA ) więc )(
kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność
Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w
przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin
=Ι
1nnF Oslash jest niepusty
Dowoacuted
Przypuśćmy że =infin
=Ι
1nnF Oslash Woacutewczas Υ
infin
=
=1
)(n
n XFX Stąd nexist takie że
XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin
leforallforall
2 fxfxf nXx)()( rarrforall
isin-ciągła
wtedy ffX
n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε
ltminusforallforallexistforallisingegt
)()(000
xfxf nXxnnn
Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo
)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn
UU oraz
Υinfin
=
=1n
n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0
1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a
to oznacza że εltminusforallforallisinge
)()(0
xfxf nXxnn
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności
z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie
zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ
δεltminusrArrltforallexistforall
isingtgt)()()(
00yfxfyx
Mf
Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff
Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯
Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε
εltminusforallforallexistforall
isingegt)()(
00 0xfxf nmXxnnmn
Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(
εδρ ltminusrArrltforallforall
isinyfxfyx nnXyxn
Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że
(3) 3)()(0
εltminusforallforallge inminnm
xfxf
Mamy
333)()()()()()(
)()()()()()()()(
____
εεε ++ltminus+minus+minusle
minus+minus+minus=minus
44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn
nin
xwzbieznosc
inim
ciagloscajednostajn
imm
nininimimmnm
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
i
Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg
knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯
Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff
ksub ktoacutery jest zbieżny w
każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
44434241
34333231
24232221
14131211
ffffffffffffffff
gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie
Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf
TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez
fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf
Pgfisinsdotminus+forall
isin
Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(
yfxfPfPyx
neexistforallisinisin
Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1
Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]
xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(
Dowoacuted
Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2
11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n
Udowodnimy najpierw że (1)
[ ]xxwnxn
leleforallforallisin
)(010
n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty
)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((
211)()(
21)()( 2
1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn
Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz
[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z
(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]
)()(lim10
xfxfnnfx=existforall
infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw
otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd
xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]
xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10
Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf
Pgfisinisinisinforall
isin)min()max(
Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc
takie że cxfXx
leforallisin
)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(
leforallisin c
xfXx
Z poprzedniego lematu exist
ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że
cxf
cxf
cxfw
xn
)()()( 22
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎯rarr⎯
Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf
cf
c isin=sdot Z kolei
[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(
21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=
Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to
)()()()( )(
bfbfafaf babaPfXCfXba ba
==existforallforallisinisinisin
Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv
2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(
ahbhahxhxg
minusminus
=
Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz
)()()()( bfbfafaf baba ==
Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε
ltexistforallforallisinisingt
)()(0
ffPfXCf
Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary
Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz
baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny
XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone
baba nUU
1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i
le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz
ε+lt )()( xfxfb Niech ba
n
ib i
VV 1
=
= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia
XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf
jb le= )(max)(ε Wtedy
Pf isinε oraz εε minusgtforallisin
)()( xfxfXx
a także )()( εε +lt xfxf
Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku
Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X
Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =
Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła
realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=
k
n
kii
niin xxaxxw
111
1
1)( αα zawiera wszystkie
funkcje stałe i rozdziela punkty w K
PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted
Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA
n
takie że ΥnAa n
aKXisin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
1 Stąd zbioacuter Υinfin
=
=1
n
nAD
jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X
Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=
gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P
sum sdotsdot=hArrisink
k
kiikii
id
idii xfxfccxgPg
1
1
11)()()( gdzie Nii k isin1
Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup
realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że
1)(]10[
gerArrneforallrarr
gfgfNgf
ρ
Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo
kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum
więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2
1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci
suminfin
=
isinrealisin+0
)sincos(n
nnnn Nmbanxbnxa
PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte
realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash
Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo
xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(
0baUxx capsub+minusexist
gtεε
ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z
definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci
]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter
[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα
X f
a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że
neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus
są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=
ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[
TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy
)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(
xxAxAx
Xxxρρρ leminusforall
isin co pociąga jednostajną
ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że
Xxxxfg
isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku
będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy
YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy
]10[)( 21 isin=infinixxxI
z metryką ρ
)()(21)( 2121
1yyyxxxyxyx
iiii ==minus= sum
infin
=
ρ
Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną
)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację
xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że
3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge
Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx
PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru
XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=
odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego
wiisin Dowoacuted 1
Zdefiniujemy przez indukcję
(1) 11 UV = Ιni
inn nxdxUV
lt ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ltcap=
1)( gdzie
(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)
nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub
(4) Υwn
nVXisin
=
Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin
(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz
wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=
Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego
2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy
(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz
(b) 21)( Sn
zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność
Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu
W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać
pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje
pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall
isin
nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV
00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego
)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone
Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
nUXxdXxH n
1 11
(1)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛isincap
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ geisin=
lt nHxdXx
nUXxdXxH tn
stssn
11 Υ
Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności
(2) ssn Un
HK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ
Własność (2) jest oczywista
(3) ( )n
HHdst st1 gerArrlt
gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że
)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn
xK sub⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin
Istotnie ( )n
UXxd xs1 )( ge ponadto ( )
nHxd tn
xst
1 )(
geforalllt
(bo ( )n
Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co
jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
nHKG snsn 3
1
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Mamy (5) snsn
snGH
subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X
Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ
Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn
nGQ subforall Niech
snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że
=capforallge
knk
QW empty
Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
nxK
61 przecina co najwyżej
jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cap=
nxKWV
61 jest otoczeniem otwartym
punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki
(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA
(ii) necapforallforallforallisingtpartisin
)(0
δδ
aKUsSsAa
empty )3( δaKas isinrArr
(iii) forallisinSs
odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem
sumisin
=
Stt
ss UXxd
UXxdx
)()(
)(ϕ
Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego
XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym
przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4
1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le
Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że
necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4
1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin
3 )()( 45 Axdaxd sss lt
4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4
1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A
Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta
δδδδδδ
32)()()()()()()()(
34
23
23
45
41
=+=sdot+lt+=
=++lt++le
AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad
ss
ssssss
Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz
korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem
⎪⎩
⎪⎨⎧
isinisin
= sumisinSs
sxsD AXxdlaaf
Axdlaxfxf )(
)()(
)(ϕ
jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy
(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +
1 xyyxXyx
+=+forallisin
2 zyxzyxXzyx
++=++forallisin
)()(
3 xxXxX
=+forallexistisinisin
00
4 0=+existforallisinisin
yxXyXx
XX ⎯rarr⎯timesreal bull
5 realisin=sdotforallisin
11 xxXx
6 )()(
xxXx
βαβαβα
=sdotforallforallisinrealisin
7 xxxXx
βαβαβα
+=+forallforallisinrealisin
)(
8 yxyxXyx
αααα
+=+forallforallisinrealisin
)(
(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx
(i) 00 =hArr=forallisin
xxXx
(ii) yxyxXyx
+le+forallisin
(iii) xrrxrXx
=forallforallrealisinisin
Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(
Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie
Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df
O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe
SXF rarr
Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe
SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F
EFforallsub
skończony hipFnotinrArr 0
gdzie
(2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
realisin== sum sumisin isin
aFa Fa
aa ttatFhip 1)(
jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony
Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera
)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie
wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4
1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4
1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt
Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu
Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem
(7) )()()(
xfxfxr
D
D= Yxisin
jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin
) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1
1
1
0 +
+
=sum= ni
n
i
et Z założenia indukcyjnego wynika że
01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett
en
ini
n
in =isin= sum
= ++
11
11 )0( sprzeczność z
wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek
Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma
przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład
0cX = 0lim)( 21 == nxxxX
|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
isin
2
1)( 2121 xx
xxx F
X434 21
1)(1 lerArrle xFx
Przypuśćmy że xxFBx
=existisin
)( tzn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎯rarr⎯
21
)( 2121 xxx
xx F stąd
21
2
1123121
xxxxxxx
xx nn
+====
+= minus 0
21
lim ne+
=x
xn sprzeczność
Przykład
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
2lX = )(1
221 infinlt= sum
infin
=iixxxX
suminfin
=
=1
2
iixx ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf
x=exist )(
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus= 1)( 21
221 xxxxx Stąd
212312
21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale
( ) 01011
2
1
2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin
=
infin
=iii
ii
i xxxx sprzeczność
Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że
BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie
1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt
)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x
Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki
1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin
Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie
Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter
)(| ssSs
s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ
nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie
sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim
SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie
ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s
isinΠforall minus
isin)(1
Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n
nsns
subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus
isinisinisin)()( 1
11
111
Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek
WUUxTW nBUUWx n
subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin
11
Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego
TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego
pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny
PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina
BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini
notinforallle
Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij
i isin)(1 że
(4) XUUB iij
ii =cupcupcup )(1
Z powyższego otrzymujemy że
(5) XUB ik
kii
n
i=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛cup⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1ΥΙ
Stąd już XUU ik
ki=cup
Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)
Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us
minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni
sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss
minusminus
isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub
Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1
ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ
nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-
41
- Dowoacuted
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Lemat
- Dowoacuted
- Twierdzenie Arzeli
- Dowoacuted
- TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA
-
- Przygotowanie
-
- Lemat 1
- Dowoacuted
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Lemat 3
- Dowoacuted
-
- Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa
-
- Dowoacuted
- Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz
- Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także
- Wniosek
- Dowoacuted powyższego wniosku
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE OŚRODKOWE
-
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- PRZESTRZENIE SPOacuteJNE
-
- Definicja
- Uwaga
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Definicja
- Twierdzenie
- Dowoacuted
-
- TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU
-
- Odległość punktu od zbioru
- Dowoacuted
- Podprzestrzeń
- Zanurzenie
-
- Zdefiniujmy
-
- Twierdzenie Urysohna
- Dowoacuted
-
- PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Lemat 1
- Dowoacuted 1
- Zdefiniujemy przez indukcję
- Dowoacuted 2
- Twierdzenie Stonersquoa
- Dowoacuted
- Definicja
- Lemat 2
- Dowoacuted
- Definicja
- Definicja przestrzeni unormowanej
- Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego
-
- O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO
-
- Twierdzenie
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
- Wniosek
- Dowoacuted
-