Wpływ pola magnetycznego na

plazmę w półprzewodnikach

Założenia

• pole magnetyczne B nie wpływa na polaryzację rdzeni

atomowych (zatem ε∞ nie zależy od B)

• pole magnetyczne nie wpływa na polaryzację, ani na częstości własne modów fononowych

Jedyny wpływ pola magnetycznego na polaryzacjęwynika z jego wpływu na zachowanie swobodnych nośników!

Wpływ pola magnetycznego na plazmę

(w półprzewodnikach)

0

)()(ωε

σωεωε

iL

+= )(ωεL

- funkcja dielektryczna siecibez nośników swobodnych

Pole magnetyczne modyfikuje ruch nośników poprzez siłę Lorentza

Równanie ruchu Tensor przewodnictwa Tensor dielektrycznej

τ

υυ

υr

rrrr ∗

∗ −×+=m

BeEedt

dm

)exp(0

tiEE ω−=rr

)exp(0

tiωυυ −=rr

Pole elektryczne zmienne w czasie Periodyczny w czasie „dodatek” do prędkości nośników

Eenjrrr

συ ˆ=−=

Znając zależność prędkości od pola magnetycznego spróbujemy znaleźć tensor przewodnictwa:

Zacznijmy od prędkości:

],0,0[ BB =r],,[

zyxυυυυ =

r],,[ zyx EEEE =

r

]0,,[

00

BB

B

eee

B xyzyx

zyx

υυυυυυ −==×rr

Wybieramy:

(dla elektronów)

−−=

−+−=

−−−=

∗

∗∗

∗∗

τ

υυ

τ

υυ

υ

τ

υυ

υ

zzz

y

x

yy

xy

xx

m

eE

dt

d

m

eB

m

eE

dt

d

m

eB

m

eE

dt

d

Stąd dostajemy układ równań na składowe prędkości

Szukamy rozwiązań w postaci: )exp()(0

tit ωυυ −=rr

−−=−

−+−=−

−−−=−

∗

∗∗

∗∗

τ

υωυ

τ

υυωυ

τ

υυωυ

zzz

y

x

y

y

x

y

x

x

m

eEi

m

eB

m

eEi

m

eB

m

eEi

000

0

0

0

0

0

0

0

0

−=

+−

−=

+−+−

−=+

+−

∗

∗∗

∗∗

m

eEi

m

eEi

m

eB

m

eE

m

eBi

z

z

y

yx

xyx

0

0

0

00

000

1

1

1

υτ

ω

υτ

ωυ

υυτ

ω

Spróbujmy wyrazić składowe prędkości przez składowe pola elektrycznego:

( )

( )

( )

−−=

−=−+−

−=+−

∗

∗

∗

zz

yyxc

xycx

Eim

e

Em

ei

Em

ei

00

000

000

1

1)(

)(1

ωτ

τυ

τυωτυτω

τυτωυωτ

∗=

m

eBc

ω

Częstość cyklotronowa:

( )

( )

( )

−−=

−=−+−

−=+−

∗

∗

∗

zz

yyxc

xycx

Eim

e

Em

ei

Em

ei

00

000

000

1

1)(

)(1

ωτ

τυ

τυωτυτω

τυτωυωτ

( )( )

( )( )

( )

−−=

−−−

+−=

+−−

+−=

∗

∗∗

∗∗

zz

yxc

c

y

ycx

c

x

Eim

e

Eim

eE

m

e

i

Em

eEi

m

e

i

00

00220

00220

1

1)()(1

1

)(1)(1

1

ωτ

τυ

ωττ

τωτ

τωωτυ

τωτ

ωττ

τωωτυ

υrr

enj −=

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

−

+−

−

+−

+−−

+−

−

=

∗

∗∗

∗∗

z

y

x

cc

c

c

c

c

z

y

x

E

E

E

im

ne

i

i

m

ne

im

ne

im

ne

i

i

m

ne

j

j

j

0

0

0

2

22

2

22

2

22

2

22

2

0

0

0

100

0)(1

1

)(1

0)(1)(1

1

ωτ

τ

τωωτ

ωττ

τωωτ

τωτ

τωωτ

τωτ

τωωτ

ωττ

Po przemnożeniu dostajemy zależność wektora gęstości prądu od wektora

pola elektrycznego:

Skorzystajmy ze związków:

∗∗=

−−=

m

ne

m

een

ττσ

2

00

2

0ετεωσ

optp=

0σ - przewodnictwo w stałym polu

elektrycznym (ω=0) w nieobecnościpola magnetycznego (B=0)

pω - częstość plazmowa

*

0

2

m

ne

opt

pεε

ω =

Eenjrrr

συ ˆ=−=

Znając zależność gęstości prądu od pola elektrycznego możemy znaleźć tensor przewodnictwa:

Przedstawmy tę równość

w postaci macierzowej i

wyznaczmy składowe tensora

przewodnictwa…

( )( ) ( )

( )( )

( )

( )

−

+−

−

+−

+−−

+−

−

=

z

y

x

cc

c

c

c

c

z

y

x

E

E

E

i

i

i

i

ii

i

j

j

j

0

0

0

0

22

0

22

0

22

0

22

0

0

0

0

100

0)(1

1

)(1

0)(1)(1

1

ωτ

στωωτ

ωτσ

τωωτ

τωστωωτ

τωσ

τωωτ

ωτσ

Tensor przewodnictwa w polu magnetycznym

EEj

zz

xxyx

xyxxrrr

==

σ

σσ

σσ

σ

00

0

0

ˆ

ωτ

ετεω

ωτ

σσ

ii

optp

zz−

=−

=11

0

2

0

( )( ) ( )

( )( ) ( )22

0

2

22

0

1

1

1

1

τωωτ

ωττεεω

τωωτ

ωτσσσ

c

optp

c

yyxxi

i

i

i

+−

−=

+−

−==

( ) ( ) ( ) ( )22

22

0

22

0

11 τωωτ

τωωεε

τωωτ

τωσσσ

c

cpopt

c

cxyyx

ii +−=

+−=−=

Granica długiego czasu relaksacji (zerowe tłumienie)

∞→τ 01

→=τ

γ

22

0

2

c

optp

yyxx

i

ωω

εεωωσσ

−==

ω

εεωσ 0

2

optp

zz

i=

22

2

0

c

cpopt

xyyxωω

ωωεεσσ

−−=−=

Tensor dielektrycznej w obecności nośników

0

ˆˆ)()(ˆωε

σωεωε

iI

L+=

=

zz

yyyx

xyxx

ε

εε

εε

ωε

00

0

0

)(ˆ

( )22

22

ωω

ωωεωε

−

−= ∞

TO

LL

Znając składowe tensora przewodnictwa znajdziemy

składowe tensora dielektrycznego

(sieć izotropowa)

ω

εεωσ 0

2

optp

zz

i=

2

2

)()(ω

ωεωεωε p

optLzz−=

22

2

0

c

cpopt

xyyxωω

ωωεεσσ

−−=−=

ωωω

ωωεεε

)(22

2

c

cpopt

xyyx

i

−−=−=

22

2

)()()(c

p

optLyyxxωω

ωεωεωεωε

−−==

22

0

2

c

optp

yyxx

i

ωω

εεωωσσ

−==

Związek składowych tensora przewodnictwa i tensora dielektrycznego (bez tłumienia):

(…taka jak bez pola B!)

(…znika w nieobecności pola B!)

Konfiguracje w polu magnetycznym

Bkrr

Konfiguracja Faradaya kr

zBrr

Br

]0,,[xx

iEEE =r

prawoskrętna

]0,,[xx

iEEE −=r

+σ

−σlewoskrętna

Bkrr

⊥Konfiguracja Voigta

kr

Br

xE

zE

Konfiguracja równoległa

BErr

Konfiguracja prostopadła

BErr

⊥

Podstawowe polaryzacje fal

02

2

0

2

0)(ˆ)( EEE

rrrrr

ckkk

ωωε=+⋅−Z równań Maxwella

(poprzedni wykład)

0ˆ)(00

2

0=−+⋅− EEE

rrrrrrεNNN

Fale poprzeczneyx

EENrrr

,⊥

ω

ckNrr

=Wprowadźmy wektor propagacji fali:

],,[yyx

EEEE =r

Można rozłożyć

wektor propagacji ⊥+= NNNrrr

IIBNrr

⊥⊥BNrr

II

)(

0

trkie

ω−=rrrr

EE

Długość wektora propagacji jest równa zespolonemu współczynnikowi załamania(poprzednie wykłady)

κinnN +== ~

cNk

ωrr=

Konfiguracja Faradaya:

0

00

0

02

2

=

−

−+

−−

z

y

x

zz

xxxy

xyxx

E

E

E

N

N

ε

εε

εε

( )( )

=−+

=−−

0

0

2

2

yxxxxy

yxyxxx

ENE

EEN

εε

εε ( )( )

−−=

=−−

y

xy

xxx

yxyxxx

EN

E

EEN

ε

ε

εε

2

20

( ) 0222 =+−xyxx

N εε

( )xyxx

iN εε ±=−2xyxx

iN εε ±=±

2

−

=⋅−

z

y

x

E

E

E

N

NN2

0

00

000

000

)( Errr

],0,0[ NN =r

zBNrr

=

z

y

x

E

E

E

N

N

N

N2

2

2

0

2

00

00

00

)Er

xyxxiN εε ±=±

2

xyxxiN εε +=+

2y

xy

xxxyxx

xE

iE

ε

εεε −+−=

xyiEE +=

xyxxiN εε −=−

2

Jaki jest związek pomiędzy

składowymi

pola elektrycznego Ex oraz Ey?

xyiEE −=

Polaryzacja prawoskrętna:

Polaryzacja

prawoskrętna:

Znajdźmy związek zespolonego współczynnik załamaniaze składowymi tensora dielektrycznego:

xyxxiN εε ±=±

2

22

2

)(c

p

xxωω

ωεεωε

−−= ∞∞ ωωω

ωωεε

)(22

2

c

cp

xy

i

−=

∞

Dygresja

Postać funkcji dielektrycznej w przypadku kryształu o wiązaniu jonowym zawierającym gaz swobodnych nośników:

TOpωω << stopt

εε =

TOpωω >> ∞= εε

opt

TOpωω ≈ Trzeba uwzględniać pełną funkcję

dielektryczną zależną od częstości

Rozważmy sytuację: TOpωω >>

ωωω

ωωε

ωω

ωεεε

)(22

2

22

2

2

c

cp

c

pi

iN−

±−

−==∞

∞∞±±

−−−= ∞±

ω

ω

ωω

ω

ωω

ωεε c

c

p

c

p

)(1

22

2

22

2

m

−−= ∞±

ω

ωω

ωω

ωεε c

c

p m

22

2

1

( )

−= ∞±

c

p

ωωω

ωεε

m

2

1

( )

+−== ∞±

γωωω

ωεε

in

c

p

m

2

21~

Bez tłumienia

Z tłumieniem

±= ε2~n Widmo odbicia, widmo absorpcjiZnając

Rozszczepienie krawędzi plazmowejKrawędź plazmowa (bez tłumienia):

gdy współczynnik odbicia R=1

( )01

2

=±

−=±

c

p

ωωω

ωε0~ 22 == Nn

022 =−± pc ωωωω 22

4 pc ωω +=∆

cpcωωωω

2

14

2

1 22 ±+=±

cωωω =− −+

Rozszczepienie krawędzi plazmowej!

2

1~

1~)(

+

−=

n

nR ω

Palik & Furdyna, Rep. Prog. Phys. 33 1193 (1970)

2

1~

1~

+

−=

n

nR

ε±=0ε±=∞

ε±=1

Zera i osobliwości funkcji dielektrycznej

w konfiguracji Faraday’a

Wzbudzenia poprzeczne,

wzbudzenia podłużne…

B. Lax and G. B. Wright Phys. Rev. Lett. 4, 16 (1960)

∗=

m

eBc

ω

Odbicie plazmowew polu magnetycznym

masa efektywna

B. Lax and G. B. Wright Phys. Rev. Lett. 4, 16 (1960)

Eksperyment (stary…)

Pochłanianie fale elektromagnetycznych – tam gdzie funkcja dielektryczna ma osobliwości (pamiętamy to z modelu oscylatora – warto sprawdzić jeszczeraz samodzielnie uwzględniając tłumienie i obliczając widmo absorpcji )

( )

−== ∞±

c

pnN

ωωω

ωε

m

2

221~

Osobliwości: zera mianownika

Tylko cωω =

+N ma osobliwość

Tylko jedna z polaryzacji jest daje absorpcję

rezonansową – jest aktywna cyklotronowo

CRA – cyclotron resonance active

Rezonans cyklotronowy to bardzo ważna metoda w badaniach półprzewodników

struktur półprzewodnikowych…

W. Knap et al. Appl. Phys. Lett. 70, 21 (1997)

Rezonans cyklotronowy w strukturze GaN/AlGaN

masa elektronu w GaN

-badania absorpcji z użyciem

spektroskopii Fourierowskiej

- metody badania absorpcji

z użyciem laserów w dalekiej

podczerwieni

Rezonans cyklotronowy w GaAs

Batke et al. Phys. Rev. B 48, 8761 (1993)

Rezonans cyklotronowy w germanie – anizotropia masy

efektywnej….

B. Lax, H.Zeiger, and E. Rosenblum, Phys. Rev. 93, 1418 (1954)

R. Dexter, H. Zeiger,and B. Lax, Phys. Rev. 95, 557 (1954)

A. Poulter et al. Phys. Rev Lett. 86, 336 (2001)

Przykład trochę na wyrost:rezonans cyklotronowy w dwuwymiarowym gazie elektronowym

Fale helikonowe

( )

−−= ∞+

c

p

ωωω

ωεε

2

1

pcωωω <<<<

Gdy rozważymy bardzo

małe częstości fali

+== ++

c

p

stN

ωω

ωεε

2

21

+=

c

p

st

ck

ωω

ωε

ω

2

2

2

21Korzystamy z definicji

wektora propagacji

c

pst

ckω

ωεω

2

22

=Helikon – poprzecznafala w plazmie

spolaryzowana kołowo

Helikon porusza się

wzdłuż pola

magnetycznego

z bardzo małą prędkością!

stεε →∞

Zastępujemy

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0

N2 +

ω/ωc

helikony rezonans

cyklotronowy