Wojskowa Akademia Techniczna

Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów

Stopień, imię i nazwisko prowadzącego Stopień, imię i nazwisko słuchacza Grupa szkoleniowa

dr inż. Andrzej Wiśniewski Grzegorz Pol I7G2S1

Data wykonania ćwiczenia Data wykonania sprawozdania Numer ćwiczenia / laboratoria

09.11.2009 r. 16.11.2009 r. 2

Temat: Dyskretna Transformata Fouriera

1. Wykonanie obliczeń

Pierwsza część zadania polegała na ręcznym obliczeniu Dyskretnej Transformaty Fouriera. Obliczeniazamieściłem poniżej:

An=∑k=0

n−1

a kw3−kn

X=[1 23 ]

w3=ej 2⋅piN =e

j 23pi=cos 2

3pi jsin 2

3pi=−1

2 j 3

2

A0=1⋅w302⋅w3

03⋅w30=123=6

w3−1=−13 j

2−1

=2 −1−3 j

−13 j−1−3 j =−213 j

4=−1

2−3

2j

w3−2=w3

−12=−12−3

2j

2

= 13 j4

2

=−123

2j

w0−4=w3

−22=−123

2j2

=−12−3

2j

A1=12⋅−12−3

2j 3⋅−1

23

2j=−3

23

2j

A2=12⋅−123

2j 3⋅−1

2−3

2j=−3

2−3

2j

2. Wyznaczenie dyskretnej transformaty Fouriera w środowisku Matlab

Po wykonaniu obliczeń za pomocą środowiska Matlab sprawdzam poprawność moich obliczeń. Tą cześćwykonuje na trzy sposoby:

– wyznaczam DTF z definicji (podpunkt 2.1)– wyznaczam DTF z postaci macierzowej (podpunkt 2.2)– wyznaczam DTF za pomocą funkcji wbudowanej w Matlaba (podpunkt 2.3)

2.1 wyznaczam DTF z definicji

fragment kodu programu wynik disp('DFT z definicji')for n=1:N w1=w^(n-1); for k=1:N M(n)=M(n)+A(k)*w1^(1-k); end;end;M

DFT z definicji

M =

6.0000 -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i

2.2 wyznaczam DTF z postaci macierzowej

fragment kodu programu wynik disp('DFT z postaci macierzowej') for i=0:N-1; for k=0:N-1; M1(i+1,k+1)=w^(i*k); end;end;M2 = [M1*(A')]'

DFT z postaci macierzowej

M =

6.0000 -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i

2.3 wyznaczam DTF za pomocą funkcji wbudowanej w Matlaba

fragment kodu programu wynik disp('DFT za pomoca funkcjiMatlaba')M3=[fft(A)]

DFT za pomoca funkcji Matlaba

M =

6.0000 -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i

3. Wyświetlenie na wykresie widma amplitudowego i fazowego sygnału

Następnym zadaniem na laboratoriach było wyświetlenie na wykresie widma amplitudowego i fazowegosygnału 2_tony.waw, który został pobrany ze strony http://www.ita.wat.edu.pl/~lgrad/cps/index.html.Wyniki (3 wykresy) zostały umieszczone na jednej Figure - subplot (x,2,2). Poniżej prezentuje fragment koduoraz screeny wykresów.

fragment kodu programu:

[s,fs]=wavread('2_tony');widmo=fft(s);widmoamp=abs(widmo); widmofaz=unwrap(angle(widmo)); figure(1) ts=1/fs;L=length(s);t=[0:ts:(L-1)*ts];subplot(2,2,1);plot(t,s);grid ontitle('Przebieg czasowego sygnalu 2_tony.wav ')xlabel('ts [s]')ylabel('sygnal')f=[0:fs/L:(L-1)*fs/L];subplot(2,2,2);plot(f,widmoamp);grid ontitle('Widmo amplitudowe sygnalu ')xlabel('f [Hz]')ylabel('modul amplitudy')subplot(2,2,3);plot(f,widmofaz);grid ontitle('Widmo fazowe sygnalu')xlabel('f [Hz]')ylabel('faza [stopnie]')

screen:

4. Wnioski końcowe

Wyniki które otrzymałem w zadaniu 2 za pomocą trzech różnych metod są takie same. Jest topotwierdzeniem prawidłowości każdej metody.

Dyskretna Transformacja Fouriera (w skrócie DTF) jest wyjątkowo ważnym przekształceniem w cyfrowymprzetwarzaniu sygnałów głównie z powodu bezstratności – co krótko mówiąc oznacza że mając transformatędanego sygnału możemy odtworzyć jego oryginalny przebieg.

Na podstawie wykresu pokazującego widmo amplitudowe sygnału możemy zauważyć jego symetrycznośćwzględem osi częstotliwości (wynoszącej 4kHz). Natomiast widmo fazowe sygnału jest funkcją nieparzystąwzględem tej samej osi częstotliwości. Nazywamy to częstotliwością Nyquista (częstotliwość, która równajest połowie częstotliwości próbkowania).