Właściwości średniej arytmetycznej

Właściwości średniej Właściwości średniej arytmetycznejarytmetycznej

Właściwości średniej arytmetycznejWłaściwości średniej arytmetycznej

Wartość średniej Wartość średniej arytmetycznej nie arytmetycznej nie ulega zmianie, jeśli ulega zmianie, jeśli wszystkie wagi wszystkie wagi pomnożymy przez pomnożymy przez liczbę stałą liczbę stałą cc::

xncxnc

nxn

i

ii

i

ii

)(.)(.


Jeżeli zbiorowość (populację) liczącą Jeżeli zbiorowość (populację) liczącą nn elementów elementów podzielimy na podzielimy na r r podgrup (podpopulacji) o liczebnościach podgrup (podpopulacji) o liczebnościach ww11, w, w22, w, w33,…….w,…….wrr, wówczas średnia arytmetyczna całej , wówczas średnia arytmetyczna całej zbiorowości (populacji) jest równa średniej ważonej zbiorowości (populacji) jest równa średniej ważonej średnich arytmetycznych średnich arytmetycznych ( gdzie j = 1,2,…r) podgrup ( gdzie j = 1,2,…r) podgrup (podpopulacji), z wagami (podpopulacji), z wagami wwjj ::

r

jj

r

jjj

k

ii

k

iii

w

xw

n

xnx

1

1

1

1


Jeśli zmniejszymy każdy wariant cechy Jeśli zmniejszymy każdy wariant cechy xxii o stałą o stałą cc, to średnia arytmetyczna też , to średnia arytmetyczna też ulegnie zmniejszeniu o stałą ulegnie zmniejszeniu o stałą cc::

cxncxn

i

ii

)(


Jeśli pomnożymy każdy wariant cechy Jeśli pomnożymy każdy wariant cechy xxii przez stałą przez stałą cc, to nowa średnia , to nowa średnia arytmetyczna będzie c – krotnością arytmetyczna będzie c – krotnością średniej pierwotnej:średniej pierwotnej:

xcnxcn

i

ii

).(

Właściwości średniej arytmetycznejWłaściwości średniej arytmetycznej Jeśli od każdego wariantu Jeśli od każdego wariantu xxii odejmiemy odejmiemy

średnią arytmetyczną wówczas suma tych średnią arytmetyczną wówczas suma tych różnic jest równa zeru:różnic jest równa zeru:

Powyższą własność formułujemy często w Powyższą własność formułujemy często w innej formie: innej formie: suma odchyleń od średniej suma odchyleń od średniej arytmetycznej jest równa zeru:arytmetycznej jest równa zeru:

0)( xxn ii

0)( xxi


Średnia arytmetyczna zawiera się między Średnia arytmetyczna zawiera się między krańcowymi wartościami cechy:krańcowymi wartościami cechy:

maxmin xxx


Średnia arytmetyczna zachowuje sumę Średnia arytmetyczna zachowuje sumę wartości cechy:wartości cechy:

iii nxnx


Wartość liczbowa średniej arytmetycznej Wartość liczbowa średniej arytmetycznej ma takie samo miano jak badana cecha ma takie samo miano jak badana cecha


Suma kwadratów odchyleń Suma kwadratów odchyleń wartości zmiennych badanej wartości zmiennych badanej cechy od średniej arytmetycznej cechy od średniej arytmetycznej rozkładu jest najmniejszarozkładu jest najmniejsza

Oznacza to, że suma kwadratów Oznacza to, że suma kwadratów odchyleń poszczególnych odchyleń poszczególnych wartości zmiennych badanej wartości zmiennych badanej cechy od jakiejkolwiek innej cechy od jakiejkolwiek innej wartości zmiennej rozkładu, wartości zmiennej rozkładu, różnej od średniej, będzie różnej od średniej, będzie zawsze większazawsze większa

min)( 2xxi

OgraniczeniaOgraniczeniaw stosowaniuw stosowaniuśredniej arytmetycznejśredniej arytmetycznej

Niejednokrotnie średnia arytmetyczna nie Niejednokrotnie średnia arytmetyczna nie może być uznana za wielkość może być uznana za wielkość reprezentatywną dla całego danego reprezentatywną dla całego danego zbioru, w sensie wyrażania tendencji zbioru, w sensie wyrażania tendencji centralnej, jej wartość poznawcza jest centralnej, jej wartość poznawcza jest niewielka (lub nawet żadna), a niekiedy niewielka (lub nawet żadna), a niekiedy wprowadza po prostu w błąd wprowadza po prostu w błąd

Ograniczenia w stosowaniu średniej Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznejarytmetycznej

A.A. W przypadku, gdy przedziały klasowe są W przypadku, gdy przedziały klasowe są otwarte (górny i dolny lub jeden z nich).otwarte (górny i dolny lub jeden z nich).

a) gdy liczebności przedziałów a) gdy liczebności przedziałów otwartych są stosunkowo nieliczne, można je otwartych są stosunkowo nieliczne, można je zamknąć i umownie ustalić środek przedziału;zamknąć i umownie ustalić środek przedziału;

b) gdy udział liczebności przedziałów b) gdy udział liczebności przedziałów otwartych w ogólnej sumie liczebności jest otwartych w ogólnej sumie liczebności jest znaczny, rezygnujemy z obliczania średniej znaczny, rezygnujemy z obliczania średniej

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznejOgraniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

BB. Gdy największe liczebności skupiają się . Gdy największe liczebności skupiają się zdecydowanie wokół najniższych lub najwyższych zdecydowanie wokół najniższych lub najwyższych wartości cechy (wartości cechy (szereg jest skrajnie asymetrycznyszereg jest skrajnie asymetryczny).).

Mężczyźni w wieku produkcyjnym, bierni zawodowo, według wieku

21,0423,52

4,872,73 2,84

4,36,73

9,5910,69

3,69

0

5

10

15

20

25

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65wiek w latach

%

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznejOgraniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

C. C. Wartość poznawcza średniej jest żadna, Wartość poznawcza średniej jest żadna, wówczas, wówczas, gdy ustalamy średnią ze gdy ustalamy średnią ze zbiorów niejednorodnychzbiorów niejednorodnych

Ograniczenia w stosowaniu średniej Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznejarytmetycznej

D. D. Obliczanie średniej mija się z celem również Obliczanie średniej mija się z celem również w tych szeregach, które dają rozkłady z w tych szeregach, które dają rozkłady z kilkoma skupiskami dominującymi (są to tzw. kilkoma skupiskami dominującymi (są to tzw. szeregi szeregi wielomodalnewielomodalne))

Rys. Rozkład dwumodalny

W większości przypadków rozkłady cech mierzalnych W większości przypadków rozkłady cech mierzalnych (zwanych zmiennymi) charakteryzują się pewną tendencja (zwanych zmiennymi) charakteryzują się pewną tendencja centralną, która polega na tym, że w miarę wzrostu centralną, która polega na tym, że w miarę wzrostu liczebności (częstości) zmniejszają się różnice pomiędzy liczebności (częstości) zmniejszają się różnice pomiędzy wartościami zmiennej a wartością centralną.wartościami zmiennej a wartością centralną.

Rozkłady, które nie odpowiadają temu warunkowi, nie Rozkłady, które nie odpowiadają temu warunkowi, nie powinny być opisywane za pomocą wartości średniej.powinny być opisywane za pomocą wartości średniej.

rozkłady skrajnie asymetrycznerozkłady skrajnie asymetryczne

Średnia Średnia geometrycznageometryczna

Średnią geometryczną n liczb jest Średnią geometryczną n liczb jest pierwiastek stopnia n z iloczynu tych pierwiastek stopnia n z iloczynu tych liczb.liczb.

Wykorzystywana jest Wykorzystywana jest do badania do badania zbiorowości, w zbiorowości, w których wartości których wartości jednostek są jednostek są przedstawiane w przedstawiane w liczbach względnychliczbach względnych

nng xxxx ...21

MedianaMediana

MedianaMediana odpowiada środkowi zbioru odpowiada środkowi zbioru danych, w którym to zbiorze wartości danych, w którym to zbiorze wartości cechy uporządkowano kolejno od cechy uporządkowano kolejno od najmniejszej do największej (czyli wg. najmniejszej do największej (czyli wg. rosnącej wartości cechy).rosnącej wartości cechy).

jeśli liczba obserwacji n jest liczbą jeśli liczba obserwacji n jest liczbą nieparzystą, mediana jest wartością nieparzystą, mediana jest wartością środkowej obserwacji:środkowej obserwacji:

jeśli liczba obserwacji n jest liczbą jeśli liczba obserwacji n jest liczbą parzystą, mediana jest średnią z dwóch parzystą, mediana jest średnią z dwóch wartości środkowych obserwacji:wartości środkowych obserwacji:

2)1()( nxxM

2)( 2

22

nn xxxM

medianę M(medianę M(XX) można zdefiniować jako taką wartość ) można zdefiniować jako taką wartość cechy, że prosta pionowa przechodząca przez nią dzieli cechy, że prosta pionowa przechodząca przez nią dzieli obszar pod krzywą na dwie równe częściobszar pod krzywą na dwie równe części

w praktyce medianę obliczamy w sytuacji, gdzie jedna w praktyce medianę obliczamy w sytuacji, gdzie jedna lub kilka wartości leży daleko od środka zbiorulub kilka wartości leży daleko od środka zbioru

mediana ma często zastosowanie w ekonomii w mediana ma często zastosowanie w ekonomii w rozkładach dochodów rozkładach dochodów

Uwaga!!!Uwaga!!! mediana ma sens tylko wtedy, gdy zbiór danych jest mediana ma sens tylko wtedy, gdy zbiór danych jest

uporządkowany rosnąco lub malejąco.uporządkowany rosnąco lub malejąco.

przykładprzykład Sprzedaż filmowych kaset video ma ograniczenia Sprzedaż filmowych kaset video ma ograniczenia

czasowe (na ekrany wchodzą coraz to nowsze filmy czasowe (na ekrany wchodzą coraz to nowsze filmy i „stare” szybko schodzą z ekranów kin).i „stare” szybko schodzą z ekranów kin).Właściciel musi decydować rozsądnie, z jakimi Właściciel musi decydować rozsądnie, z jakimi filmami nabyć taśmy.filmami nabyć taśmy.W tej sytuacji miary: - średnia i mediana – nie będą W tej sytuacji miary: - średnia i mediana – nie będą jemu pomocne.jemu pomocne.Zamiast tego, właścicielowi potrzebna jest wiedza Zamiast tego, właścicielowi potrzebna jest wiedza na temat, które filmy są najbardziej popularne i na temat, które filmy są najbardziej popularne i cieszą się największym zainteresowaniem, a zatem cieszą się największym zainteresowaniem, a zatem które filmy prawdopodobnie będą sprzedawać się które filmy prawdopodobnie będą sprzedawać się najlepiej.najlepiej.

Dominanta (modaDominanta (moda))

charakterystyczne własności dominantycharakterystyczne własności dominanty

dominantadominanta znajduje zastosowanie wówczas, gdy znajduje zastosowanie wówczas, gdy chcemy jedną liczbą wyrazić wartość cechy chcemy jedną liczbą wyrazić wartość cechy najbardziej typową i najczęściej występującąnajbardziej typową i najczęściej występującą

istnieje możliwość stosowania dominanty w istnieje możliwość stosowania dominanty w przypadku analizy cech mierzalnych i przypadku analizy cech mierzalnych i niemierzalnychniemierzalnych

dla cechy niemierzalnej dominantą jest ten dla cechy niemierzalnej dominantą jest ten wariant cechy, która ma największą częstość wariant cechy, która ma największą częstość występowania w badanej zbiorowościwystępowania w badanej zbiorowości

dominanta jest dominanta jest jedyną miarąjedyną miarą przeciętną, która przeciętną, która można wyznaczyć dla można wyznaczyć dla cech niemierzalnychcech niemierzalnych

charakterystyczne własności dominantycharakterystyczne własności dominanty

jest również możliwe - dla dużych liczebności i jest również możliwe - dla dużych liczebności i odpowiadającym im różnym wartościom - więcej odpowiadającym im różnym wartościom - więcej niż jedna dominanta (moda); niż jedna dominanta (moda);

zbiór z 2-oma modami nazywamy dwumodalnym, zbiór z 2-oma modami nazywamy dwumodalnym, zbiory z 3-ema modami trzymodalnymi;zbiory z 3-ema modami trzymodalnymi;

zbiory mające powyżej 3 mód zwą się zbiory mające powyżej 3 mód zwą się wielomodalnymi;wielomodalnymi;

w diametralnie różnym przypadku, gdy każda w diametralnie różnym przypadku, gdy każda wartość w zbiorze występuje tylko raz – zbiór nie wartość w zbiorze występuje tylko raz – zbiór nie ma mody.ma mody.

w przypadku, kiedy wartości zmiennej w przypadku, kiedy wartości zmiennej pogrupowane są w szereg rozdzielczy sposób pogrupowane są w szereg rozdzielczy sposób wyznaczanie dominanty (mody) w oparciu o jej wyznaczanie dominanty (mody) w oparciu o jej definicję nie może być zastosowanydefinicję nie może być zastosowany

analizując liczebności poszczególnych klas analizując liczebności poszczególnych klas można określić przedział wartości cechy, który można określić przedział wartości cechy, który dominuje w badanej zbiorowości. Nie wiadomo dominuje w badanej zbiorowości. Nie wiadomo jednak, która wartość dominuje w badanej jednak, która wartość dominuje w badanej zbiorowościzbiorowości

dominantę (modę) wyznacza się wówczas w dominantę (modę) wyznacza się wówczas w sposób przybliżony poprzez interpolację jej sposób przybliżony poprzez interpolację jej wartości z przedziału klasowego wartości z przedziału klasowego

metoda obliczania dominanty metoda obliczania dominanty Metoda interpolacyjna polega na obliczeniu dominanty Metoda interpolacyjna polega na obliczeniu dominanty

według wzoru:według wzoru:

lub:lub:

gdzie:gdzie:

DDxx00 - dolna granica przedziału dominującego; - dolna granica przedziału dominującego; n n DD -- liczebność (częstości względne) przedziału dominującego; liczebność (częstości względne) przedziału dominującego; nnD-1D-1 - liczebność (częstości względne) przedziału poprzedzającego przedział - liczebność (częstości względne) przedziału poprzedzającego przedział

dominujący;dominujący; nnD+1D+1 - liczebność (częstości względne) przedziału następującego po - liczebność (częstości względne) przedziału następującego po

przedziale dominującym;przedziale dominującym; hhDD - rozpiętość przedziału dominującego. - rozpiętość przedziału dominującego.

DDDDD

DDD h

nnnnnn

xxD

)()()(

11

10

DDDDD

DDD h

wwwwww

xxD

)()()(

11

10

Uwaga!!!Uwaga!!!

obliczając dominantę (modę) należy pamiętać o tym, obliczając dominantę (modę) należy pamiętać o tym, że:że:

w szeregu rozdzielczym może występować jedno w szeregu rozdzielczym może występować jedno wyraźnie zaznaczone maksimum (tzn. rozkład wyraźnie zaznaczone maksimum (tzn. rozkład empiryczny jest jednomodalny);empiryczny jest jednomodalny);

przedział dominanty (mody) oraz dwa sąsiadujące z przedział dominanty (mody) oraz dwa sąsiadujące z nim przedziały muszą mieć takie same rozpiętości nim przedziały muszą mieć takie same rozpiętości (szerokości);(szerokości);

jeśli dominanta w szeregu rozdzielczym występuje w jeśli dominanta w szeregu rozdzielczym występuje w skrajnych przedziałach klasowych, wówczas nie skrajnych przedziałach klasowych, wówczas nie oblicza się jej wg. wzoru interpolacyjnego oblicza się jej wg. wzoru interpolacyjnego

Średnie pozycyjne Średnie pozycyjne wyższych rzędów wyższych rzędów

W statystyce często używane są:W statystyce często używane są: percentylepercentyle – dzielimy całkowitą – dzielimy całkowitą

liczebność na 100 częściliczebność na 100 części decyledecyle – całkowitą liczebność dzielimy – całkowitą liczebność dzielimy

na 10 części na 10 części kwartylekwartyle – całkowitą liczebność dzielimy – całkowitą liczebność dzielimy

na 4 częścina 4 części

k-ty percentylk-ty percentyl zbioru danych zbioru danych uporządkowanych rosnąco jest to wartość uporządkowanych rosnąco jest to wartość x mająca tę własność, że k procent x mająca tę własność, że k procent liczebności zbioru leży na lub poniżej liczebności zbioru leży na lub poniżej wartości xwartości x

KwartyleKwartyle Kwartyle to takie wartości cechy QKwartyle to takie wartości cechy Q11, Q, Q22 i i

QQ33 , że ¼ obserwacji leży poniżej Q , że ¼ obserwacji leży poniżej Q11 , ¼ , ¼ powyżej Qpowyżej Q33 , ¼ obserwacji leży między , ¼ obserwacji leży między QQ11 a medianą a ¼ obserwacji leży a medianą a ¼ obserwacji leży między medianą a Qmiędzy medianą a Q33 . .

Wielkość QWielkość Q11 zwana jest kwartylem zwana jest kwartylem dolnym a Qdolnym a Q33 kwartylem górnym. kwartylem górnym.

Właściwości średniej arytmetycznej

Documents

Transcript of Właściwości średniej arytmetycznej