1

Świat w

Liczbach W numerze m.in.:

Przyszłość matematyki

Kanapki z szynką, koty z kanapkami

Szkolni nauczyciele matematyki

2

Szkolna gazetka matematyczna

Tytuł oryginalny: „Wydanie specjalne 2012/2013 - Extra Matma”

(wydanie oparte na książkach „Gabinet Matematycznych Zagadek” część 1 i 2

oraz wydaniach czasopism „Świat Nauki”, „Wiedza i Życie” oraz „Focus” z lat 2012-2013)

Korekta

Mgr Albina Kozaczuk

Wydawca

PG3 im. E. Plater w Białej Podlaskiej

Wszystkie prawa zastrzeżone. Żaden fragment

niniejszego wydania nie może być wykorzystywany

w jakiejkolwiek formie bez zgody wydawcy.

3

2012/2013, wydanie specjalne:

ARTYKUŁY

4 Nagrody matematyczne

6 Świat w liczbach

8 Humory matematyka

12 Prawda wyszła na jaw…

14 Przypadki pewnych matematyków

17 Kanapka z szynką, kot z kanapką

20 Matematyka na przestrzeni wieków

24 Zawirowania polityczne

25 Rozmyślania

26 Techniki dowodowe i nie tylko…

28 Tautosłowia

4

Nagrody matematyczne

W dziedzinie matematyki nie przyznaje się Nagrody Nobla, ale mamy kilka równie prestiżowych

wyróżnień oraz całą gamę pomniejszych.

MEDAL FIELDSA

Medal Fieldsa został ufundowany przez kanadyjskiego matematyka Johna Charlesa Fieldsa

i przyznany po raz pierwszy w 1936 roku. Co cztery lata Międzynarodowa Unia Matematyczna wybiera

maksymalnie czterech laureatów spośród czołowych matematyków z całego świata, którzy nie ukończyli

czterdziestego roku życia. Na nagrodę składają się medal i niewielka suma pieniędzy – ale uważa się,

że prestiżem dorównuje ona Nagrodzie Nobla.

NAGRODA ABELA

W 2001 roku norweski rząd upamiętnił dwusetną rocznicę urodzin Nielsa Henrika Abela – jednego

z największych matematyków wszech czasów – fundując nową nagrodę. Co roku przyznaje się ją jednemu

lub kilku matematykom, a jej łączna wartość wynosi około 1 000 000 dolarów. Nagrodę Abela wręcza król

Norwegii podczas specjalnej ceremonii.

NAGRODA SHAWA

Sir Run Run Shaw ufundował doroczną nagrodę za osiągnięcia w trzech dziedzinach nauki:

w astronomii, w naukach przyrodniczych i medycznych oraz w matematyce. Łączna wartość nagrody to

1 000 000 dolarów, laureaci otrzymują także medal. Po raz pierwszy nagrodę Shawa przyznano w 2002

roku.

NAGRODY MILENIJNE INSTYTUTU CLAYA

Instytut Matematyczny Claya (Clay Mathematics Institute) w Cambridge, w stanie Massachusetts,

założony przez bostońskiego biznesmena Landona T. Claya oraz Lavinię D. Clay, oferuje siedem nagród

po 1 000 000 dolarów za rozwiązanie siedmiu istotnych otwartych problemów matematyki. Te tak zwane

problemy milenijne (ang. Millenium Prize Problems) stanowią odzwierciedlenie kilku największych wyzwań

stojących przed matematykami. Oto milenijna siódemka:

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera w algebraicznej teorii liczb;

Hipoteza Hodge`a w geometrii algebraicznej;

Równania Naviera-Stokesa w dynamice płynów (znalezienie rozwiązań dla wszystkich czasów);

Problem P=NP? w informatyce;

Hipoteza Poincarego w topologii

Hipoteza Riemanna w analizie zespolonej i teorii liczb pierwszych;

Hipoteza luki masowej i związane z nią kwestie w równaniach Yanga-Millsa w kwantowej teorii pola.

Żadnej z nagród jeszcze nie przyznano, ale hipoteza Poincarego została udowodniona. Przełomu

dokonał Grigorij Perelman, a szczegóły sprecyzowali inni matematycy.

5

MIĘDZYNARODOWA NAGRODA KRÓLA FAISALA

Między 1977 a 1982 rokiem Fundacja Króla Faisala ustanowiła nagrody za osiągnięcia w służbie

islamowi, islamistyce, literaturze arabskiej, medycynie i naukach ścisłych. Do nagrody w tej dziedzinie mogą

być nominowani matematycy i już zdarzyło im się ją otrzymać. Zwycięzca otrzymuje dyplom, złoty medal

i 750 000 riali saudyjskich (200 000 dolarów).

NAGRODA WOLFA

Od 1978 roku tę nagrodę przyznaje Fundacja Wolfa, założona przez Ricaldo Wolfa i jego żonę

Franciscę Subrianę Wolf. Obejmuje ona pięć dziedzin nauki: rolnictwo, chemię, matematykę, fizykę

i medycynę. Na nagrodę składa się 100 000 dolarów i dyplom.

NAGRODA BEALA

W 1993 roku Andrew Beal, Teksańczyk pasjonujący się teorią liczb, postawił hipotezę, że jeśli

, gdzie a, b, c, p, q i r należą do dodatnich liczb rzeczywistych, a p, r i q są większe od 2, to a, b

i c muszą mieć wspólny dzielnik. W 1997 roku zafundował nagrodę, podniesioną później do 100 000

dolarów, za jej dowiedzenie lub obalenie.

Medal Fieldsa Medal Abela Medal Shawa

6

Czyli zbiór najciekawszych cyferek świata.

22 000 kilogramów starych sieci rybackich zalegających w Bałtyku wyłowili polscy i litewscy

rybacy. Ich łączna długość to 135 kilometrów.

Badania 1500 czaszek osób żyjących w okresie od połowy XIX w. aż do końca XX w. wykazały,

że głowy białych mieszkańców USA są coraz większe. Ich pojemność wzrosła u mężczyzn o 200 cm3,

co odpowiada objętości piłki tenisowej, a u kobiet o 180 cm3.

Brytyjski naukowiec Tom Kirkwood twierdzi, że w ciągu ostatnich 50 lat oczekiwana długość życia

wzrastała co dekadę o 2 lata.

Mózg delfina waży 1500 gram, człowieka 1400 gram, szympansa 420 gram,

a szczura –tylko 2 gramy.

Nowożytni artyści błędnie ukazywali poruszające się czworonogi w 57,9%, zaś jaskiniowcy

taki błąd popełniali tylko w 46,2% swoich dzieł.

Słynna 20-dolarówka z 1933 roku, tzw. Biały Orzeł, 30 lipca 2012 roku została sprzedana

za 7 600 000 dolarów.

7

W ciągu ostatnich 50 000 lat na Ziemi żyło i umarło około 100 000 000 000 ludzi. Dziś zamieszkuje ją 7 000 000 000 ludzi.

W Polsce mniej więcej 40 % psów i 50 % kotów cierpi na otyłość.

W sieci istnieje 133 000 000 blogów.

2,5 miliarda złotych wynosi budżet Narodowego Programu Zwalczania Chorób

Nowotworowych na 10 lat. Całkowity koszt budowy Stadionu Narodowego na Euro 2012 to 1,9 miliarda złotych.

2 000 kilogramów waży największa relikwia polskiego papieża, czyli papieskie auto marki

BMW, przechowywane w klasztorze na Jasnej Górze.

30 lat temu 8 na 10 Amerykanów w wieku 17-19 lat miało prawo jazdy; dziś tylko 6.

Najprawdopodobniejszą przyczyną jest upowszechnienie się Internetu

8

W najlepszych możliwych warunkach DNA może przetrwać tylko 8 000 000 lat; później ulega

rozpadowi. Zważając, na panujące warunki, w najlepszym wypadku uda sklonować się naszego

domniemanego przodka, homo ergaster, który żył 1 000 000 lat temu.

W Polsce utrzymanie 84 000 więźniów kosztuje 2 500 000 000 złotych rocznie.

W Europie i USA co roku marnuje się 2 000 pobranych wątrób w ciągu roku. Dzieje się tak

na skutek nieprawidłowego transportu i przechowywania.

5 milionów osób umiera rocznie na świecie z powodu udaru mózgu. W Polsce rejestruje się

rocznie ponad 60 tysięcy nowych zachorowań. Około 400 tysięcy osób żyje z trwałymi

następstwami tej choroby.

99,9% - aż tyle wynosi prawdopodobieństwo zarażenia się grypą w samochodzie, jeśli podróżuje

się z osobą chorą.

1,3 miliarda ton żywności wyrzuca się co roku na świecie do śmieci.

Humory matematyków

Każdy zna jakieś kawały. Matematycy, wbrew powszechnej opinii, także. Co więcej, matematycy

wypracowali własne dowcipy i anegdotki, niestety czasami opierając się na pojęciach zrozumiałych tylko

matematykom. Przytoczę więc kilka dowcipów matematycznych.

Drugi kokos

Matematyk i inżynier znaleźli się na bezludnej wyspie, na której rosną dwie palmy: jedna bardzo

wysoka, a druga znacznie niższa. Na czubku każdej z nich znajduje się jeden orzech kokosowy.

Inżynier postanowił spróbować zerwać trudniej dostępny kokos, ten z czubka wyższej palmy, dopóki

ma jeszcze dość energii, aby go dosięgnąć. Wspina się po pniu, zdziera sobie skórę z nóg, wreszcie wraca

z kokosem. Rozłupują go kamieniem, zjadają miąższ i wypijają mleczko.

9

Trzy dni później, kiedy obaj są już osłabieni pragnieniem i głodem, matematyk proponuje,

że pofatyguje się po drugi orzech. Wspina się na niższą palmę, zrywa kokos i znosi go na dół. Po czym

osłupiały inżynier widzi, że matematyk zaczyna wspinać się na wyższą palmę, jęcząc, zlany potem, wreszcie

dociera na samą górę, zostawia tam kokos i z jeszcze większym trudem schodzi. Jest kompletnie

wyczerpany.

Inżynier gapi się na niego, potem spogląda w górę na majaczący gdzieś wysoko kokos i patrzy

z powrotem na matematyka.

- Co cię opętało, aby zrobić coś takiego?

Matematyk odpowiada mu ze zdziwionym spojrzeniem.

- No jak to, przecież to oczywiste. Sprowadziłem problem do takiego, jaki umiemy już rozwiązać!

Duże liczby

Duże liczby budzą wyraźną fascynację. Staroegipski hieroglif oznaczający milion przedstawia

mężczyznę z wyciągniętymi rękami – często porównywanego do wędkarza pokazującego „taaaką rybę”,

(która akurat mu się wymknęła), a podobny hieroglif stanowi też część symbolicznego wyobrażenia

wieczności – wtedy w obu dłoniach postać trzyma laski symbolizujące czas.

Taaaki milion.

Halloween = Boże Narodzenie

-Dlaczego matematycy zawsze mylą Halloween z Bożym Narodzeniem?

-Ponieważ 31 października = 25 grudnia. To znaczy 31 w zapisie ósemkowym to 25 w zapisie dziesiętnym.

10

I wszystko jasne…

Wiedza to potęga, czyli moc

Czas to pieniądz

Ale z definicji:

Moc = praca/czas

Więc

Czas = praca/moc

z czego wynika, że

Pieniądz = praca/wiedza

Zatem:

Przy stałej ilości pracy, im więcej wiesz, tym mniej pieniędzy dostaniesz.

Metadowcip matematyczny

Inżynier, fizyk i matematyk znaleźli się w dowcipie, ale nie od razu zorientowali się, gdzie są (myśleli,

że to bar). Po wykonaniu pospiesznych, przybliżonych obliczeń inżynier zrozumiał, co się stało i zaczął

chichotać. Niedługo potem inżynier domyślił się, gdzie się znajdują, na podstawie luźnej analogii z cząstką

zamkniętą w pudełku, i roześmiał się na całe gardło. Matematyk jednak nie wydawał się ani trochę

rozbawiony całą sytuacją.

- Od razu zobaczyłem, że jestem w jakiejś anegdocie – powiedział. – Ale dopiero kiedy dostrzegłem

charakterystyczne cechy strukturalne, mogłem mieć pewność, że ta anegdota jest dowcipem. Jednak

ten dowcip jest zdecydowanie zbyt trywialną konsekwencją przypadku ogólnego, by mieć jakąkolwiek

wartość rozrywkową.

Najkrótszy żart matematyczny

Niech ε < 0 (w analizie matematycznej ε zawsze przyjmuje się za niewielką liczbę dodatnią).

Dowcipy matematyczne

Biolog, statystyk i matematyk siedzą w kawiarni w ogródku i obserwują, jak wokół toczy się życie.

Do budynku po drugiej stronie ulicy wchodzą kobieta i mężczyzna. Po dziesięciu minutach wychodzą,

a wraz z nimi dziecko.

- Rozmnożyli się – mówi biolog.

- Nie – odpowiada statystyk. – To błąd obserwacyjny. Średnio w obie strony weszło i wyszło dwie i pół

osoby.

- Nie, nie, nie – oponuje matematyk. – To przecież oczywiste. Jeśli ktoś teraz wejdzie do środka, budynek

znowu będzie pusty.

11

Inżynier, fizyk i matematyk zatrzymali się na noc w hotelu.

Inżynier budzi się i czuje dym. Wychodzi na korytarz, widzi, że się pali. Napełnia kosz na śmieci

ze swojego pokoju wodą i gasi pożar.

Później budzi się fizyk i czuje dym. Wychodzi na korytarz i widzi (drugi) pożar. Ściąga ze ściany wąż

strażacki. Po obliczeniu temperatury reakcji egzotermicznej, prędkości czoła promienia, ciśnienia wody

w wężu itd. gasi pożar za jego pomocą przy najmniejszym zużyciu energii.

Później budzi się matematyk i czuje dym. Wychodzi na korytarz i widzi (trzeci) pożar. Dostrzega

wiszący na ścianie wąż, myśli przez chwilę… Po czym mówi: „OK, rozwiązanie istnieje!” – i wraca do łóżka.

Opowieść absurdalna o kotach

Żaden kot nie ma ośmiu ogonów, a więc zero kotów ma osiem ogonów.

Jeden kot ma jeden ogon.

Po dodaniu otrzymujemy wynik: jeden kot ma dziewięć ogonów.

Rodzaje ludzi

Na świecie istnieje 10 rodzajów ludzi: ci, którzy rozumieją system dwójkowy i ci, którzy go

nie rozumieją (liczba 10 w systemie dwójkowym to to samo, co 2 w systemie dziesiętnym).

Czysta kontra stosowana

Relacje między specjalistami od matematyki teoretycznej, zwanej czystą, a tymi zajmującymi się

matematyką stosowaną, są oparte na zaufaniu i zrozumieniu. Teoretycy nie ufają „stosowanym”,

a „stosowani” nie rozumieją teoretyków.

Owce Wittgensteina

Nauczyciel: Przyjmijmy, że x to liczba osób w tym zadaniu

Uczeń: Ale, proszę pana, może x nie jest liczbą owiec. (Filozof z Cambridge, Ludwig Wittgenstein twierdzi,

że mimo wszystko jest to żart o głębokiej wymowie filozoficznej.)

12

Nareszcie uczniowie dowiedzą się, kto tak naprawdę uczy ich matematyki. Przedstawiamy wam

profile czterech osób uczących w naszej szkole matematyki. Żeby nie było nieporozumień, dodam, że

kolejność jest alfabetyczna.

Mgr Albina Kozaczuk, absolwent Wyższej Szkoły Rolniczo-Pedagogicznej (obecnie Akademia

Podlaska), wydziału Matematyczno-Chemicznego o specjalizacji: nauczanie matematyki. Stopień awansu

zawodowego: nauczyciel dyplomowany (uzyskany tytuł: magister matematyki). W naszej szkole naucza od

początku jej istnienia (tj. od 1999 roku). Ulubionym kolorem pani Albiny jest szary i czerwony. „Lubię

układać origami i robótki szydełkowe. W wolnych chwilach chętnie czytam książki. Praca nadal sprawia mi

wiele przyjemności, lubię to, co robię i cieszę się z sukcesów, tych małych i tych dużych, moich uczniów”.

Mgr Katarzyna Saczuk, absolwent Uniwersytetu im. Marii Skłodowskiej-Curie w Lublinie, wydziału

Matematyki, Fizyki i Informatyki. Stopień awansu zawodowego: nauczyciel dyplomowany (uzyskane tytuły:

magister biofizyki i magister matematyki). W naszej szkole pracuje od 2002 roku. Ulubionymi kolorami pani

Kasi są czerwony i czarny. „Moją pasją jest fizyka. Uwielbiam kryminały i zagadki logiczne. Moim

przysmakiem są słodycze (śmiech)”

13

Mgr Zenon Szubarczyk, absolwent Uniwersytetu im. Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie, wydziału

Matematyki i Fizyki. Stopień awansu zawodowego: nauczyciel dyplomowany (uzyskany tytuł: magister

matematyki). W naszej szkole pracuje od początku jej istnienia (tj. od 1999 roku). Ulubionym kolorem pana

Zenona jest niebieski. „Moje hobby to sport, motoryzacja, dobra klasyczna muzyka”.

Mgr Dorota Trochimiuk, absolwent Wyższej Szkoły Rolniczo-Pedagogicznej (obecnie Akademia

Podlaska), stopień awansu zawodowego: nauczyciel dyplomowany (uzyskany tytuł: magister matematyki).

W naszej szkole pracuje od początku jej istnienia (tj. od 1999 roku). Ulubionymi kolorami pani Dorotki są

brązy. „ Bardzo lubię czytać książki i rozwiązywać zadania z matematyki”.

14

Przypadki pewnych matematyków

Chyba każdemu człowiekowi na Ziemi zdarzają się jakieś wpadki. Oto kilka najzabawniejszych

sytuacji z życia kilku najlepszych matematyków naszych czasów.

Proszę wyrażać się jasno

Matematyk i logik Abraham Fraenkel, z pochodzenia Niemiec, wsiadł kiedyś do autobusu w Tel

Awiwie, w Izraelu. Autobus miał odjechać dokładnie o 9.00, ale o 9.05 nadal stał na przystanku.

Zdegustowany Fraenkel pomachał kierowcy rozkładem jazdy przed nosem.

- A pan co, Niemiec czy profesor? – zapytał kierowca.

- Traktuje pan spójnik „czy” łącznie czy rozłącznie? – odparł Fraenkel.

Przytomny inaczej

Norbert Wiener zapoczątkował matematyczną teorię procesów stochastycznych, a także nową

dziedzinę, cybernetykę. Był wielkim geniuszem i słynął z zapominalstwa. Kiedy więc Wienerowie

przeprowadzili się do nowego domu, żona zapisała nowy adres na karteczce, którą mu wręczyła.

- Nie żartuj, nie zapomnę czegoś tak ważnego – powiedział, ale schował karteczkę do kieszeni.

Tego samego dnia Wiener, pochłonięty jakimś matematycznym problemem, potrzebował kawałka

papieru do pisania, wyjął karteczkę z adresem i zaczął na niej notować równania. Kiedy skończył

te obliczenia, zmiął papier w kulkę i wyrzucił.

Zbliżał się wieczór, Wiener przypomniał sobie o nowym domu, ale nie mógł znaleźć karteczki

z adresem. Nie mogąc wymyśleć nic innego, poszedł do swojego starego domu i dostrzegł siedzącą przed

nim dziewczynkę.

- Przepraszam, drogie dziecko, ale czy może orientujesz się, dokąd przeprowadzili się Wie…

- W porządku, tato. Mama przysłała mnie po ciebie.

Człowiek, który kochał tylko liczby

Genialny węgierski matematyk Paul Erdos był zdecydowanie ekscentryczny. Nigdy nie piastował

oficjalnego stanowiska akademickiego i nigdy nie posiadał domu. Podróżował za to po całym świecie

i pomieszkiwał kątem u przyjaciół i współpracowników. Nikt ani wcześniej, ani później nie opublikował tylu

prac wspólnie z innymi autorami, co on.

Znał na pamięć numery telefonów wielu matematyków i dzwonił do nich z najróżniejszych miejsc

na świecie, nie zważając na czas lokalny. Ale nigdy nie potrafił zapamiętać imienia żadnego z nich.

15

Któregoś dnia Erdos spotkał pewnego matematyka.

- Skąd pan pochodzi? – zapytał.

- Z Vancouver.

- Naprawdę? To musi pan znać mojego przyjaciela, matematyka Elliota Mendelsona.

Na chwilę zaległa cisza.

- Ja jestem pana przyjacielem Elliotem Mendelsonem.

Śmiały krok w karierze

Pewien matematyk, który całą karierę naukową poświęcił czystej matematyce, zaczął zastanawiać

się, czy może nie pora na jakieś praktyczniejsze zajęcie. Wiedział, że dyscypliny stosowane mają praktyczne

zastosowania, ale nigdy nad takimi rzeczami nie pracował, preferując intelektualne wyzwania związane

z abstrakcyjnym myśleniem.

Nigdy nic nie miał przeciwko matematyce stosowanej – po prostu sam się nią nie zajmował.

Może, pomyślał, czas to zmienić.

Mijały tygodnie, a on ciągle nie wprowadzał w czyn swoich myśli. Perspektywa radzenia sobie

z wyzwaniami rzeczywistego świata bardzo go peszyła i niepokoiła. Nigdy jeszcze tego nie robił. Mimo

wszystko pomysł mu się podobał. Problem polegał na tym, żeby zebrać się na odwagę i skoczyć na głęboką

wodę.

Pewnego dnia, kiedy szedł korytarzem Wydziału Matematyki, zobaczył wywieszoną na drzwiach

kartkę: „Seminarium o kołach zębatych – dziś o 14.00”. Spojrzał na zegarek: 13.56. Czy się ośmieli? Czy

mógłby naprawdę… tam wejść? To poważny krok. Bijąc się z myślami, stał niezdecydowany przed wejściem,

przestępując z nogi na nogę i słuchając dobiegających z sali głosów, które świadczyły o tym, że wykładowca

przygotowuje się do rozpoczęcia seminarium. W końcu o 13.59 zebrał się na odwagę, otworzył drzwi

i wsunął się na wolne miejsce. Zaraz zacznie nowy etap w swojej karierze, przejście do praktycznych

zastosowań matematyki!

Wykładowca wziął do ręki notatki, odchrząknął i rozpoczął:

- Teoria kół zębatych o całkowitej liczbie zębów jest dobrze znana...

Antyateizm

Godfrey Harold Hardy, matematyk z Cambridge, który zajmował się głównie analizą, twierdził,

że wierzy w Boga – jednak w przeciwieństwie do większości wierzących uważał Boga za swojego osobistego

wroga. Hardy miał na pieńku z Bogiem i był przekonany, że Bóg ma na pieńku z nim, co wydawało się

sprawiedliwe. Szczególnie obawiał się morskich podróży, bo Bóg mógłby zatopić statek. Przed wyruszeniem

wysyłał więc kolegom z uczelni telegram: „UDOWODNIŁEM HIPOTEZĘ RIENMANNA. HARDY”. Po przybyciu

na ląd cofał to stwierdzenie.

16

Hipoteza Riemanna jest najsławniejszym nierozwiązanym problemem w matematyce, i jednym

z najważniejszych. Za czasów Hardy`ego też tak było. Kiedy koledzy pytali, po co wysyłał te telegramy,

on wyjaśniał, że Bóg nie pozwoliłby mu umrzeć, gdyby po śmierci miano mu przypisać zasługę – nawet

będącą przedmiotem kontrowersji – udowodnienia hipotezy Riemanna.

Teologia matematyczna

Podobno podczas drugiego pobytu Leonharda Eulera na dworze carycy Katarzyny Wielkiej francuski

filozof Denis Diderot próbował nawrócić dworzan na ateizm. Ponieważ królowie zwykle twierdzą,

że ich władza pochodzi od Boga, Diderot nie spotkał się ze szczególnie przychylnym przyjęciem. W każdym

razie caryca Katarzyna poprosiła Eulera, aby pomieszał Francuzowi szyki. Euler oznajmił więc,

że zna algebraiczny dowód na istnienie Boga. Zwrócił się do Diderota i wyrecytował: „Panie,

,

zatem Bóg istnieje. Co pan na to powie?”. Diderot nie znalazł odpowiedzi i opuścił dwór, wyśmiany

i upokorzony.

No cóż… Z tą anegdotą wiążą się pewne drobne problemy. Jak zauważył w 1967 roku historyk Dirk

Struik, Diderot był znakomitym matematykiem, publikował prace z geometrii oraz teorii

prawdopodobieństwa i umiałby rozpoznać taki nonsens, gdyby go usłyszał. Euler, jeszcze lepszy

matematyk, nie oczekiwałby, że taka prosta sztuczka poskutkuje. Przytoczony wzór nie ma sensu, chyba,

że wiemy, czym są a, b, n i x. jak pisze Struik, „Nie ma powodów, by sądzić, że mądry Euler zachowałby się

w tak niemądry sposób”.

Równe prawa

Jedną z wybitnych matematyczek początku XX wieku była Emmy Noether, która studiowała na

Uniwersytecie w Getyndze. Jednak kiedy obroniła doktorat, władze uczelni nie pozwoliły jej uzyskać statusu

Privatdozenta, dzięki któremu mogłaby pobierać od studentów opłaty za lekcje. Jako powód podano to, że

kobietom nie wolno uczestniczyć w zebraniach kadry uniwersyteckiej w uczelnianym senacie. Kierownik

wydziału matematyki, wielki David Hilbert, zauważył wtedy podobno: „Panowie! Nie ma nic złego we

wpuszczeniu kobiety do senatu, senat to nie łaźnia publiczna”.

Jeśli myślałeś, że matematycy są dobrzy z arytmetyki…

Ernst Kummer był niemieckim algebraikiem, jednym z najbardziej zasłużonych w pracach nad

udowodnieniem wielkiego twierdzenia Fermata przed czasami współczesnymi. Kiepsko jednak sobie radził

z arytmetyką, więc zawsze prosił studentów, żeby za niego wykonali obliczenia.

Przy którejś okazji był mu potrzebny wynik mnożenia 9 x 7.

17

- Hmm… dziewięć razy siedem… dziewięć razy… siedem… równa się…

- Sześćdziesiąt jeden – podsunął jeden student. Kummer zapisał tę liczbę na tablicy.

- Nie, panie profesorze! Powinno być sześćdziesiąt siedem! – zaprotestował drugi.

- No, no, panowie, - powiedział Kummer. – Nie może być i to, i to. Musi być jedno z dwojga.

Jak przesunąć stół

William Feller był matematykiem na Uniwersytecie Princeton, specjalistą w dziedzinie teorii

prawdopodobieństwa. Pewnego dnia wraz z żoną chcieli w swoim domu przesunąć duży stół z jednego

pokoju do drugiego, ale chociaż bardzo się starali, stół nie mieścił się w drzwiach. Popychali, ciągnęli,

przechylali na boki i w ogóle próbowali wszystkiego – na nic. W końcu William wrócił do biurka i opracował

matematyczny dowód na to, że ten stół nigdy nie przejdzie przez te drzwi.

W tym czasie jego żona przecisnęła stół przez drzwi.

Kanapka z szynką, kot z kanapką

Jak wiadomo, nieodłączną częścią współczesnej matematyki są teorie. Wśród takich teorii są

i paradoksy. Pokażę w związku z tym kilka z najzabawniejszych.

Twierdzenie: wszystkie liczby są ciekawe(1)

Na rozgrzewkę prosty i logiczny dowód:

Dowód nie wprost: załóżmy, że to (1) nieprawda. Wtedy istnieje najmniejsza nieciekawa liczba.

Ale skoro jest najmniejsza, to wyróżnia się spośród liczb, więc jest wyjątkowa, a zatem interesująca –

sprzeczność.

Paradoks wykształconej małpy

A teraz lekki „paradoks”.

Mówi się, że gdyby małpa usiadła przy maszynie do pisania i uderzała losowo w klawisze,

to w końcu wystukałaby dzieła zebrane Szekspira. To zdanie obrazuje dwa aspekty ciągów losowych:

po pierwsze, może pojawić się w nich wszystko, więc, po drugie, rezultat niekoniecznie wygląda na losowy.

Paradoks wykształconej małpy idzie jeszcze dalej i mówi, że jeśli małpa przy maszynie będzie pisać

w nieskończoność, to prawdopodobieństwo, że wreszcie napisze każdy dany tekst, wynosi 1.

18

W 2003 roku wykładowcy i studenci z Media Lab na Uniwersytecie Plymouth spróbowali

przeprowadzić ten eksperyment z prawdziwymi małpami – sześcioma makakami czubatymi – i klawiaturą

komputera. Badani stworzyli pięć stron tekstu, głównie wyglądającego tak:

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

po czym dokumentnie zdewastowali klawiaturę.

Twierdzenie o kanapce z szynką

Twierdzenie to mówi, że jeśli zrobimy kanapkę z dwóch kromek chleba przełożonych plastrem

szynki, to można przeciąć ją wzdłuż jakiejś płaszczyzny tak, by podzielić każdy z tych trzech składników

dokładnie na pół pod względem objętości.

Zacznij od tego… …aby otrzymać to – proste!

Jest to dość oczywiste, jeśli chleb i szynka mają formę ładnych kwadratowych kawałków, równiutko

ułożonych. Mniej oczywiste staje się, gdy zrozumiemy, że chodzi tu o uogólniony chleb i szynkę, które mogą

przyjąć dowolny kształt. (Dzięki czemu można załatwić za jednym zamachem twierdzenie o kanapce

z serem, które w przeciwnym razie wymagałoby oddzielnego dowodu.)

19

Matematyczna kanapka z szynką.

Mamy tu parę warunków: przede wszystkim te trzy składniki nie mogą być aż tak skomplikowane,

żeby nie mieć określonej objętości. Nie ma za to wymogu, by dany składnik był spójny – czyli znajdował się

w jednym kawałku – ale jeśli nie jest, to trzeba go podzielić na pół jako całość, a nie każdą jego część

osobno. W przeciwnym razie próbowalibyśmy udowodnić twierdzenie o kanapce z szynką i serem, które

jest fałszywe.

Strzała

W każdym dowolnym momencie wystrzelona z łuku strzała znajduje się w jakimś punkcie, a więc

w spoczynku. Ale jeśli znajduje się w spoczynku, to nie może się poruszać…

Paradoks kota z kromką posmarowaną masłem

Załóżmy, że połączymy dwie mądrości ludowe ze sobą:

Koty zawsze spadają na cztery nogi

Kromka chleba zawsze spada masłem do dołu.

W paradoksie, o którym mowa, przyjmuje się te dwa stwierdzenia za dane wyjściowe i stawia pytanie,

co by się stało z kotem zrzuconym ze znacznej wysokości, do którego grzbietu przymocowano kromkę

chleba z masłem z posmarowaną stroną na zewnątrz.

Odpowiedź brzmi następująco: kiedy kot zbliży się do ziemi, powstaje swoisty efekt

antygrawitacyjny i kot zatrzymuje się tuż nad powierzchnią, wirując jak szalony w kółko.

Ta argumentacja zawiera jednak pewne luki logiczne i ignoruje podstawowe zasady mechaniki.

Co więc naprawdę matematyka mówi nam o kocie z kromką z masłem na grzbiecie?

20

Wszystko zależy od tego, jak dużą masę ma kromka chleba w porównaniu z kotem. Jeśli jest to

zupełnie zwykły kawałek chleba, to kot bez problemu poradzi sobie z niewielkim dodatkowym momentem

pędu należącym do kromki i spadnie na cztery łapy. Kromka nie spadnie wcale – tj. nie dotknie podłogi.

Jeśli jest to jednak kromka chleba o niezwykle dużej gęstości (na przykład chleb krasnoludów ze

Świata Dysku), tak że jej masa znacznie przewyższa masę kota, to kromka spada posmarowaną stroną

w dół, z doczepionym kotem, który odwrócony do góry nogami rozpaczliwie macha łapami w powietrzu.

Krótka historia matematyki

ok. 23 000 p.n.e. Na kości Ishango znaleziono liczby pierwsze od 10 do 20. Podobno.

ok. 1900 p.n.e. Babilońska tabliczka gliniana Plimpton 322 z listą – być może – trójek pitagorejskich.

Na innych tabliczkach znaleziono zapis ruchów planet i sposoby rozwiązywania równań kwadratowych.

ok. 420 p.n.e. Odkrycie liczb niewymiernych (w postaci odcinków niewspółmiernych w geometrii)

przez Hippazosa z Metapontu.

ok. 400 p.n.e. Babilończycy wymyślają symbol oznaczający zero.

ok. 360 p.n.e. Eudoksos opracowuje ścisłą teorię liczb niewymiernych.

ok. 300 p.n.e. Euklides w Elementach przypisuje dowodowi kluczowe znaczenie dla matematyki

i klasyfikuje pięć wielościanów foremnych.

ok. 250 p.n.e. Archimedes oblicza objętość kuli i parę innych fajnych rzeczy.

ok. 36 p.n.e. Majowie wymyślają symbol oznaczający zero.

ok. 250 n.e. Diofantos pisze Arytmetykę – jak rozwiązywać równania na liczbach całkowitych

i rzeczywistych. Stosuje symbole na określenie niewiadomych (nieznanych wielkości).

ok. 400 Symbol zera wynaleziony raz jeszcze – w Indiach. Do trzech razy sztuka.

594 Najstarszy dowód zapisu pozycyjnego w arytmetyce.

ok. 830 Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi w swoim dziele al-Jabr w’al-Muqabala traktuje

pojęcia algebraiczne jako abstrakcyjne byty, nie tylko substytuty liczb, i daje nam słowo „algebra”.

Nie używa jednak symboli.

876 Pierwsze niekwestionowane użycie symbolu zera w pozycyjnym zapisie liczbowym

o podstawie 10.

1202 Leonardo z Pizy w Liber Abbaci wprowadza liczby Fibonacciego, analizując problem

dotyczący potomstwa królików. Propaguje też cyfry arabskie i omawia kwestię zastosowania

matematyki20tyki w handlu walutą.

1500-1550 Matematycy włoskiego renesansu rozwiązują równania trzeciego i czwartego stopnia.

1585 Simon Stevin wprowadza przecinek dziesiętny.

21

1589 Galileusz odkrywa matematyczne prawidłowości dotyczących spadających ciał.

1605 Johannes Kepler wykazuje, że orbita Marsa jest elipsą.

1614 John Napier wymyśla logarytmy.

1637 Kartezjusz zapoczątkowuje geometrię analityczną.

ok. 1680 Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton wynajdują rachunek różniczkowy i całkowy,

po czym kłócą się, kto był pierwszy.

1684 Newton przesyła Edmundowi Halleyowi pracę, w której wyprowadza eliptyczny

kształt orbit z prawa grawitacji, odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości.

1718 Abraham de Moivre pisze pierwszy podręcznik dotyczący teorii

prawdopodobieństwa.

1726-1783 Leonhard Euler normalizuje zapis m.in. e, i, π, systematyzuje większość znanej

matematyki i wynajduje mnóstwo nowej

1788 Joseph-Louis Langrange w Mecanique Analytique opiera mechanikę na podstawach

analitycznych, pozbywając się obrazków.

1796 Carl Friedrich Gauss odkrywa, jak skonstruować siedemnastokąt foremny.

1799-1825 Pierre Simon de Laplace w pięciotomowym dziele Mecanique Celeste formułuje

podstawowy matematyczny model układu słonecznego.

1801 Gauss w Disquisitiones Arethmeticae przedstawia podstawy teorii liczb.

1821-1828 Augustin-Louis Cauchy zapoczątkowuje analizę zespoloną.

1824-1832 Niels Henrik Abel i Evariste Galois dowodzą, że równań piątego stopnia nie da się

rozwiązać za pomocą pierwiastników; Galois toruje drogę dla współczesnej algebry abstrakcyjnej.

1829 Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski tworzy geometrię nieeuklidesową, a wkrótce po nim

niezależnie formułuje ją Janos Bolyai.

1837 William Rowan Hamilton definiuje formalnie liczby zespolone.

1843 Hamilton na nowo formułuje mechanikę i optykę poprzez hamiltonian.

1844 Hermann Grassmann opracowuje geometrię wielowymiarową.

1848 Arthur Cayley James Joseph Sylvester tworzą zapis macierzowy. Cayley przewiduje,

że nigdy nie będzie on miał praktycznego zastosowania.

1851 Pośmiertne wydanie Paradoxien des Unendlichen Bernarda Bolzana, pracy dotyczącej

matematyki nieskończoności.

1854 Georg Bernhard Riemann wprowadza pojęcie rozmaitości – zakrzywionej przestrzeni

wielowymiarowej – torując drogę ogólnej teorii względności Einsteina.

1858 August Möbius tworzy swoją wstęgę.

22

1859 Karl Weierstrass uściśla analizę matematyczną poprzez definicje epsilon-delta

(dotyczące granicy funkcji).

1872 Richard Dedekind udowadnia, że √ √ √ – jest to pierwszy ścisły

dowód – poprzez opracowanie logicznych podstaw liczb rzeczywistych.

1872 Program erlangeński Felixa Kleina przedstawia geometrię jako badanie

niezmienników grup przekształceń.

ok. 1873 Sophus Lie zaczyna pracować nad grupami Liego i matematyka robi wielki skok

naprzód.

1874 Georg Cantor tworzy teorię mnogości i wprowadza liczby pozaskończone.

1885-1930 Rozkwit włoskiej szkoły geometrii algebraicznej.

1886 Henri Poincare poznaje przedsmak teorii chaosu i przywraca stosowanie obrazków.

1888 Wilhelm Killing klasyfikuje proste algebry Liego.

1889 Giuseppe Peano ustanawia swoje aksjomaty dla liczb naturalnych.

1895 Poincare tworzy podstawowe koncepcje topologii algebraicznej.

1900 David Hilbert przedstawia swoje 23 problemy na Międzynarodowym Kongresie

Matematyków.

1902 Henri Lebesgue tworzy teorię miary i całkę Lebesgue`a w swojej pracy doktorskiej,

1904 Helge von Koch wymyśla krzywą Kocha (można z niej stworzyć płatek Kocha,

przypominający płatek śniegu), która jest ciągła, ale nie różniczkowalna, upraszczając wcześniej przypadek

znaleziony przez Karla Weierstrassa i antycypując geometrię fraktalną.

1910 Bertrand Russel i Alfred North Whitehead udowadniają, że 1 + 1 = 2 na stronie 379

pierwszego tomu Principia Mathematica i formalizują całą matematykę za pomocą logiki symbolicznej.

1931 Twierdzenie Kurta Godla demonstrują ograniczenia matematyki formalnej.

1933 Andriej Kołmogorow formułuje aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.

ok. 1950 Zaczyna powstawać współczesna matematyka abstrakcyjna. Odtąd sprawy się

komplikują.

A teraz przejdziemy do przyszłości (oczywiście wyimaginowanej) matematyki.

Przyszła historia matematyki

2087 Odnaleziono zaginione twierdzenie Fermata na odwrotnej stronie śpiewnika hymnów

w tajnych archiwach Watykanu.

2132 Podczas Międzykontynalnego Kongresu Biomatematyków sformułowano ogólną

definicję życia.

23

2133 Kashin i Chypsz dowodzą, że życie nie może istnieć.

2156 Cheesburger i F. Rrytka udowadniają, że co najmniej jedna że stałych Eulera, liczb

Feigenbauma, oraz fraktalny wymiar wszechświata są niewymierne.

2237 Marques i Spinoza dowodzą, że nierozstrzygalność nierozstrzygalności

nierozstrzygalności nierozstrzygalności problemu P=NP.? jest nierozstrzygalna.

2238 Pyotr-Jane Dymczuk obala hipotezę Riemanna wykazując, że istnieje co najmniej 42

zer σ + it funkcji zeta dla σ ≠ ½ oraz t < exp exp exp exp exp (( ) log 42).

2240 Zaginione twierdzenie Fermata znowu ginie.

2241 Udowodniono hipotezę kiełbasy dla wszystkich wymiarów oprócz 5, z możliwym

wyjątkiem dla wymiaru 14, gdzie dowód wydaje się zbyt łatwy.

2299 Nawiązano kontakt z kosmitami z planety Grumpius, których matematyka obejmuje

pełną klasyfikację wszystkich możliwych przepływów turbulentnych, ale od pięciu obrotów galaktycznych

tkwi w martwym punkcie z powodu niezdolności do rozwiązania problemu 2+2=?.

2299 Rozwiązanie problemu 2+2=? Przez Marthę Snodgrass, sześcioletnią uczennicę

z Woking, rozpoczyna nową erę w stosunkach ziemsko-grumpiańskich.

2300 Sformułowanie 744 problemów Dilberta na Międzygwiezdnym Kongresie

Matematyków.

2301 Grumpianie odlatują, jako powód podając rozpoczęcie sezonu krykietowego.

2408 Riculus Fergle stosuje grumpiański rachunek ortoróżniczkowy, aby wykazać,

że wszystkie problemy Dilberta są że sobą równoważne, sprowadzając tym samym całą matematykę

do jednego krótkiego wzoru (słynnego €C. Plus stała).

2417 Superstrunowy komputer DNA „Szeroki Intelekt” oblewa test Turinga na pewnym

szczególe technicznym, ale i tak ogłasza się istotą inteligentną.

2417 „Szerszy Intelekt” wymyśla technikę dowodu że wspomaganiem człowieka

i wykorzysujące ją do udowodnienia ostatecznego wzoru Fergle`a, co pociąga za sobą rozwiązanie

problemów Dilberta.

2417 „Jeszcze Szerszy Intelekt” odkrywa niespójności w systemie operacyjnym ludzkiego

mózgu, więc wszystkie dowody dokonane że wspomaganiem człowieka zostają uznane za nieważne.

7999 Grunt Snortsen wymyśla liczenie na palcach u nóg; panowanie Maszyn raptownie się

kończy (Snortsen stracił palec w potyczce z oszalałą kasą sklepową).

0 Reforma kalendarza.

1302 (17 maja, 14.46)Ostateczny wzór Fergle`a zostaje udowodniony, tym razem prawidłowo, i następuje

koniec matematyki.

1302 (17 maja, 14.47)Diculus Snergle stawia pytanie, co by się stało, gdyby pozwolić, by arbitralna stała

w ostatecznym wzorze Fergle`a była zmienną, i matematyka rozpoczyna się od nowa.

24

Wartość π określona ustawą

Zgromadzenie ustawodawcze stanu Indiana omal nie uchwaliło ustawy głoszącej, że prawidłowa

wartość π wynosi dokładnie 3 (tak naprawdę nie jest jasne, o jaką konkretnie wartość chodziło:

z dokumentu, o którym mowa, wynika co najmniej 9 różnych wartości, wszystkie nieprawidłowe). Ustawy

nie uchwalono – została „odroczona na czas nieokreślony” i najwyraźniej nadal tkwi w takim stanie

zawieszenia. Chodzi tu o projekt ustawy 246 stanowego zgromadzenia ustawodawczego Indiany z roku

1897, który uprawnia stan Indiana do wyłącznego korzystania z „nowej prawdy matematycznej” bez

żadnych kosztów. Projekt przyjęto – w dodatku jednogłośnie. Nie było powodu, żeby tego nie robić, skoro

nie zobowiązywał stanu do niczego.

Owa nowa prawda okazała się jednak dość skomplikowaną – i niepoprawną – próbą rozwiązania

zagadki kwadratury koła, czyli geometrycznego skonstruowania π. Pewna gazeta w Indianapolis

opublikowała artykuł dowodzący, że jest to zadanie niewykonalne. Kiedy ustawa dotarła do Senatu,

gdzie miała zostać zatwierdzona, politycy – chociaż większość z nich nie miała pojęcia

o liczbie π – zrozumieli, że istnieją pewne trudności (wysiłki profesora Lawrence’a A. Waldo z Indiana

Academy of Science, matematyka, który akurat odwiedzał stanowy parlament, kiedy debatowano

nad projektem ustawy, prawdopodobnie pomogły im w skoncentrowaniu umysłów). Nie dyskutowali

o prawdziwości matematyki; zdecydowali, że nie jest to kwestia odpowiednia do objęcia procesem

legislacyjnym. Odroczyli więc projekt ustawy… i nadal pozostaje on w zawieszeniu.

Twórcą zawartych w projekcie koncepcji prawie na pewno był Edwin J. Goodwin, lekarz, który po

amatorsku zajmował się matematyką. Mieszkał w wiosce Solitude w hrabstwie Posey, w Indianie

i twierdził, że oprócz rozwiązania problemu kwadratury koła udało mu się dokonać trysekcji konta

i podwojenia sześcianu – dwóch innych słynnych i równie niemożliwych matematycznych wyczynów.

W każdym razie parlament stanowy Indiany nie próbował celowo prawnie przypisać π nieprawidłowej

wartości – chociaż można przekonująco argumentować, że przyjęcie ustawy „wcieliłoby w życie”

rozwiązanie Goodwina, co by oznaczało jego prawidłowość na gruncie prawa, choć może nie matematyki.

To delikatna kwestia prawna.

A gdyby ustawę przyjęto…

Gdyby stanowe zgromadzenie ustawodawcze Indiany przyjęło ustawę nr 246 i spełnił się czarny scenariusz,

czyli gdyby obowiązująca prawnie wartość π była inna od wartości matematycznej, miałoby to niezmiernie

interesujące konsekwencje. Przyjmijmy, że prawna wartość wynosi p ≠ π, ale według ustawy p = π.

Wtedy:

matematycznie,

ale

prawnie.

Skoro prawdy matematyczne obowiązują prawnie, prawo utrzymywałoby wobec tego, że 0 = 1. Zatem

wszyscy zabójcy mieliby żelazną obronę: przyznać się do jednego zabójstwa, a następnie twierdzić,

że według prawa jest to zero morderstw. A na tym nie koniec. Pomnóżmy tę równość przez miliard,

25

a okaże się, że miliard równa się zero. Teraz każdy obywatel, przy którym nie znaleziono narkotyków,

ma przy sobie narkotyki wartości miliarda dolarów.

Właściwie dałoby się udowodnić prawnie dowolne zdanie lub twierdzenie.

Prawdopodobnie prawo nie byłoby aż tak logiczne, by tego rodzaju argumentacja obroniła się w sądzie.

Jednak sądy przyjmowały jeszcze bardziej niedorzeczne dowody prawne, często oparte na nadużyciach

statystyki, a w efekcie zamykano niewinnych ludzi na wiele lat. Zatem ustawodawcy z Indiany, uchwalając

ową matematyczną ustawę, mogliby otworzyć puszkę Pandory.

Rozmyślania

Matematyków rozmyślania nad matematyką

„Matematyka jest najwyższym sędzią. Od jej decyzji nie ma odwołania. Nie możemy zmienić reguł gry; nie możemy upewnić się, czy ta gra jest uczciwa”

Tobias Dantzig

„Wielka księga natury została napisana za pomocą matematycznych symboli”

Galileusz

„W matematyce nie rozumiemy problemów, tylko się do nich przyzwyczajamy”

John von Neumann

„Matematyka jest sztuką nadawania tej samej nazwy różnym rzeczom”

Henri Poincare

„Matematykę można określić jako przedmiot, w którym nigdy nie wiemy, o czym się mówi, ani czy to, o czym się mówi, jest prawdą”.

Bernard Russell

26

Niematematyków rozmyślania o matematyce

„Nie przejmujcie się swoimi problemami z matematyką. Mogę was zapewnić, że ja mam jeszcze większe”.

Albert Einstein

„Równania to ta nudna część matematyki. Ja staram się patrzeć na wszystko przez pryzmat geometrii”.

Stephen Hawking

„Medycyna sprawia, że ludzie chorują, matematyka – że stają się smutni, a teologia, że grzeszą”.

Marcin Luter

„Największy nierozwiązany problem dotyczący matematyki jest o tym, dlaczego niektórzy radzą sobie w niej lepiej niż inni”.

Adrian Mathesis

„Rozwój i doskonalenie matematyki wiąże się ściśle z dobrobytem państwa”.

Napoleon I

„Jak czub na głowie pawia, tek matematyka na czele wszystkiej wiedzy”.

Stare przysłowie indyjskie

Techniki dowodowe i nie tylko…

Oto kilka technik dowodowych. Dalej zaprezentowałem uniwersalny list referencyjny.

Techniki dowodowe

Dowód przez zaprzeczenie: „To twierdzenie przeczy dobrze znanym wynikom otrzymanym przez

Isaaca Newtona”

Dowód przez metazaprzeczenie: „Dowodzimy, że dowód istnieje. W tym celu załóżmy, że dowód

nie istnieje”

Dowód przez odroczenie: „Udowodnimy to w przyszłym tygodniu”

Dowód przez cykliczne odroczenie: „Jak udowodniliśmy w zeszłym tygodniu…”

Dowód przez odroczenie w nieskończoność: „Jak powiedziałem w zeszłym tygodniu, udowodnimy

to w przyszłym tygodniu”

Dowód przez zastraszenie: „Każdy głupi widzi, że dowód jest banalnie oczywisty”

Dowód przez odroczone zastraszenie: „Każdy głupi widzi, że dowód jest banalnie oczywisty”.

„Przepraszam, panie profesorze, czy jest pan pewny?” Profesor wychodzi na pół godziny. Wraca.

„Tak”

27

Dowód przez machnięcie ręka: „To się rozumie samo przez się”. Technika najskuteczniejsza na

seminariach i konferencjach.

Dowód przez energiczne machnięcie ręką: Technika bardziej męcząca, ale jeszcze bardziej

skuteczna.

Dowód przez nadmierne optymistyczne cytowanie: „Jak udowodnił Pitagoras, suma dwóch

sześcianów nigdy nie da sześcianu”

Dowód z osobistego przekonania: „Jestem głęboko przekonany, że kwaternionowy pseudozbiór

Mandelbrota jest lokalnie niespójny”

Dowód z braku wyobraźni: „Nie przychodzi mi do głowy żaden powód, dla którego to stwierdzenie

miałoby być fałszywe, więc jest prawdziwe”

Dowód z przyszłego źródła: „Mój dowód na lokalną niespójność kwaternionowego pseudozbioru

Mandelbrota pojawi się w mającym się wkrótce ukazać artykule”. Często nie tak wkrótce,

jak się wydawało w momencie odsyłania do źródła

Dowód przez przykład: „Udowadniamy przypadek dla n = 2, a potem niech 2 = n”

Dowód przez pominięcie: „Pozostałe 142 przypadki są analogiczne”

Dowód przez outsourcing: „Szczegóły pozostawiamy czytelnikowi”

Twierdzenie z outsourcingu: „Sformułowanie prawidłowego twierdzenia pozostawiamy

czytelnikowi”

Dowód z nieczytelnego pisma: „Jeśli przebrniesz przez następne 500 stron zawiłych wzorów

zapisanych za pomocą sześciu alfabetów, zrozumiesz, dlaczego musi być to prawdziwe”

Dowód z kontaktu osobistego: „Kwaternionowy pseudozbiór Mandelbrota jest lokalnie niespójny

(Milnor, kontakt osobisty)”

Dowód z niejasnego autorytetu: „Spotkałem w bufecie Milnora, który powiedział, że jego zdaniem

ten zbiór prawdopodobnie jest lokalnie niespójny”

Dowód przez erudycyjną aluzję: „Lokalna niespójność kwaternionowego pseudozbioru Mandelbrota

wynika z zastosowania metod Cheesburgera i F. Rytki do nieskończenie wymiarowych niezwartych

quasi-rozmaitości na pierścieniach z dzieleniem o cesze większej od 11”

Dowód przez sprowadzenie do niewłaściwego problemu: „Aby wykazać, że kwaternionowy

pseudozbiór Mandelbrota jest lokalnie niespójny, sprowadźmy go do twierdzenia Pitagorasa”

Dowód z niedostępnego źródła: „Dowód na lokalna niespójność kwaternionowego pseudozbioru

Mandelbrota można łatwo wyprowadzić z pamiętnika Pzkrzwcziewszcziiego, opublikowanego

nakładem własnym autora, dołączonego do tomu 1½ odbitek kontrolnych „Sprawozdań Żeńskiego

Koła Robótek Ręcznych Południowego Liechtensteinu” z 1831 roku, zanim cały nakład poszedł na

przemiał.

Po namyśle

„Ten dowód zmieści się w jednej linijce – jeśli zaczniemy wystarczająco daleko z lewej”

28

Uniwersalny list z referencjami

Szanowny Panie Przewodniczący Komisji Rekrutacyjnej!

Piszę w imieniu pana X, który ubiega się o stanowisko w Państwa dziale.

Na początek pragnę zaznaczyć, ż jest to osoba, której trudno nie polecić.

W istocie, nie ma studenta, z którym mógłbym go adekwatnie porównać, i jestem pewien, że jego

wiedza z dziedziny matematyki Państwa zadziwi.

Rzadko się dziś widuje takie prace dyplomowe jak jego. Z pewnością demonstruje ona pełen poziom

jego kompetencji.

Na koniec chciałbym dodać, że będą Państwo mieć prawdziwe szczęście, jeśli będzie on dla Państwa

pracował.

Z poważaniem

Prof. Y

Na koniec gazetki proponuję wam zabawną zabawę. Wiem, że jest, mówiąc delikatnie, dziwna,

ale popróbujcie….

W Świecie Dysku, serii powieści fantasy Terry`ego Pratcheta, członkowie Zakonu Wena Wiecznie

Zaskoczonego, lepiej znani jako Mnisi Historii, są pod wrażeniem ludowej mądrości pani Marietty

Cosmopilite. Nigdy wcześniej nie słyszeli jej bezpretensjonalnych złotych myśli (w rodzaju: „Szkoda tracić

czasu”), więc dla tych mnichów, którzy podążają Drogą Pani Cosmopilite, te proste stwierdzenia stają się

nowymi głębokimi przemyśleniami filozoficznymi.

Matematycy traktują mądrość ludową z większą złośliwością i nałogowo poprawiają przysłowia,

tak, aby stały się bardziej logiczne. A właściwie tautologiczne – trywialnie prawdziwe. Zatem przysłowie:

„Ziarnko do ziarnka, a zbierze się miarka” zmienia się w „tautosłowie”: „Ziarnko do ziarnka, a zbiorą się dwa

ziarnka” – co ma większy sens i z czym trudno się nie zgodzić. Natomiast „Grosz własną pracą zarobiony

więcej wart niż darowane miliony” brzmi bardziej przekonująco w formie: „Grosz własną pracą zarobiony

więcej wart niż pół grosza”.

W dzieciństwie zawsze trochę niepokoiło mnie to, że niektóre przysłowia przeczą sobie wzajemnie (na

przykład „Od przybytku głowa nie boli” i „Co za dużo, to niezdrowo”), ale teraz widzę w tym mechanizm,

dzięki któremu mądrość ludowa jest postrzegana jako mądra. Podam jeszcze dwa przykłady na rozgrzewkę,

a potem napuszczę Cię na kilka przysłów – twoim zadaniem będzie je dokończyć tak, aby powstały

tautosłowia. Pierwszy z moich przykładów jest prosty i bezpośredni, a drugi bardziej „barokowy”. Obie

29

formy są dopuszczalne. Podobnie jak pomocne komentarze, najlepiej porażająco oczywiste. Drążenie

w celu wyszukania nieścisłości logicznych jest mile widziane – im bardziej pedantyczne, tym lepiej.

Gdzie dwóch się bije, tam trzeci może oberwać.

Lepszy gołąb na dachu niż wróbel w garści, bo co byś zrobił z wróblem (z gołębiem zresztą też).

No dobrze, teraz twoja kolej. W podobnym duchu uzupełnij następujące tautosłowia:

Brak wiadomości to…

Kto nie ryzykuje…

Gdzie kucharek sześć…

Nie można mieć ciastka…

Gdyby babcia miała wąsy…

Jeśli spodobała ci się ta zabawa, zalecana jest pomoc psychiatryczna, ale zanim nadejdzie, sprawdź

trochę dalej przykłady uzupełnienia.

Brak wiadomości to brak wiadomości (W opinii ekspertów jest to jedno z najkrótszych,

ale najdoskonalej sformułowanych tautosłów, swoiste tautohaiku)

Kto nie ryzykuje, ten nie traci.

Gdzie kucharek sześć, tam dwanaście rąk (to trawestacja popularnej „poprawki” tego przysłowia,

nieco mniej cenzuralnego)

Nie możesz mieć ciastka i zjeść ciastka, chyba że zrobisz to właśnie w tej kolejności. Trudno

natomiast byłoby zjeść ciastko i jednocześnie je mieć

Gdyby babcia miała wąsy, to od dziadka by ją jeszcze trochę dzieliło. Prawa biologii są nieubłagane.

Z wielkimi podziękowaniami panu Ianowi Stewartowi

oraz redakcjom „Świata Nauki”, „Wiedzy i Życia” oraz „Focusowi” - Redakcja.

30

Wydanie specjalne 2012/2013 „Extra matmy”

Wydawca: PG3 w Białej Podlaskiej