Warszawa, listopad 2015

r

2

Autorzy:

Agnieszka Sułowska

Małgorzata Zambrowska

Bartosz Kondratek

© Copyright by: Instytut Badań Edukacyjnych, Warszawa, listopad 2015

Wzór cytowania:

Sułowska A., Zambrowska M. i Kondratek B. (2015). Sprawdzian 2015. Matematyka. Analiza błędów

popełnianych przez uczniów w zadaniach zamkniętych.

Warszawa: Instytut Badań Edukacyjnych.

Wydawca:

Instytut Badań Edukacyjnych

ul. Górczewska 8

01-180 Warszawa

tel. (22) 241 71 00; www.ibe.edu.pl

Publikacja opracowana w ramach projektu systemowego: Badanie jakości i efektywności edukacji

oraz instytucjonalizacja zaplecza badawczego, współfinansowanego przez Unię Europejską ze

środków Europejskiego Funduszu Społecznego, realizowanego przez Instytut Badań Edukacyjnych.

Publikacja została wydrukowana na papierze ekologicznym.

Egzemplarz bezpłatny

3

1. Wprowadzenie

Aby sprawdzian, oprócz ogólnej oceny umiejętności uczniów, spełniał także funkcję diagnostyczną,

konieczne wydaje się takie opracowywanie jego wyników, które pozwoli nauczycielom nie tylko wie-

dzieć, że ich uczniowie rozwiązali zadanie poprawnie lub błędnie, ale także, jaki typ błędu popełnili

i czym spowodowany może być wybór danej odpowiedzi. Aby ten cel osiągnąć, dystraktory propono-

wane uczniom w zadaniach zamkniętych powinny wynikać z autentycznych, często popełnianych błę-

dów uczniowskich, a analiza sprawdzianu winna obejmować także analizę zadań zamkniętych wraz

z omówieniem znaczenia wyborów poszczególnych odpowiedzi.

Arkusz matematyczny sprawdzianu 2015 zawierał 10 zadań zamkniętych. Poniżej przestawiamy

omówienie tych zadań wraz ze szczegółową analizą błędów popełnianych przez uczniów.

W omówieniach zadań posługujemy się wykresami procentowymi, na których przedstawiono, jak czę-

sto poszczególne odpowiedzi wybierali uczniowie o różnym poziomie umiejętności matematycznych.

Oto przykład takiego wykresu:

Na osi poziomej umieszczone są grupy (centyle) uczniów o rosnącym poziomie umiejętności matema-

tycznych. Zero oznacza uczniów o średnim poziomie umiejętności, czyli tych, którzy z części matema-

tycznej sprawdzianu otrzymali 12 punktów. Im bardziej na lewo, tym uczniowie słabsi, im bardziej na

prawo – tym lepsi. Jednostka użyta na osi poziomej to odchylenie standardowe, czyli 5,23 punktu.

Zatem uczniowie o poziomie umiejętności –1 to ci, którzy otrzymali 6–7 punktów, a poziom umiejętno-

ści 1 odpowiada wynikowi 17–18 punktów.

Na osi pionowej zaznaczono odsetek uczniów z danego centyla wybierających każdą

z proponowanych w zadaniu odpowiedzi (każda odpowiedź zaznaczona jest innym kolorem).

Z przedstawionego powyżej wykresu można odczytać, że spośród uczniów z pierwszego centyla

(skrajne kropki z lewej strony wykresu), czyli spośród uczniów o najniższych umiejętnościach, najwię-

cej – około 40% uczniów – wybrało niepoprawną odpowiedź A. Poprawna odpowiedź B została wy-

brana przez mniej niż 10% uczniów z tej grupy. Pozostałe dwie odpowiedzi były wybierane przez oko-

4

ło 25% – 30% uczniów. Najmniej było uczniów, którzy nie udzielili żadnej odpowiedzi lub zaznaczyli

więcej niż jedną odpowiedź (czerwona linia najbliżej osi poziomej).

W kolejnej grupie (centylu) lekko zmniejszyły się odsetki uczniów wybierających wszystkie niepopraw-

ne odpowiedzi i znacznie zwiększył się odsetek wybierających poprawną odpowiedź B.

Jeśli spojrzymy na środek wykresu, zobaczymy, że już wśród uczniów o średnich umiejętnościach

(zero na osi poziomej) około 95% wybrało poprawną odpowiedź B. Każda z niepoprawnych odpowie-

dzi jest wybierana przez bardzo niewielu uczniów.

Taki kształt wykresu oznacza, że zadanie bardzo dobrze różnicuje uczniów o umiejętnościach niż-

szych niż średnie, natomiast dla uczniów o umiejętnościach wyższych niż średnie zadanie jest za

łatwe – w ogóle ich nie różnicuje.

5

2. Omówienie zadań i odpowiedzi

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że zadanie wymaga odczytania liczb zapisanych w systemie rzym-

skim. Po dokładniejszym przyjrzeniu się danym liczbowym użytym w zadaniu, okazuje się jednak, że

nie pozwala ono wychwycić najczęściej popełnianych, typowych błędów związanych z odczytywaniem

takich liczb. Jeśli bowiem uczeń odczytał liczbę IX jako 11, a XI jako 9 i podobny błąd zrobił, odczytu-

jąc liczbę XIV jako 16, to i tak sumarycznie otrzymał takie wyniki, które wskazują na poprawną odpo-

wiedź C. A zatem z faktu, że uczeń podał w tym zadaniu dobrą odpowiedź C nie wynika niestety, że

umie on poprawnie odczytywać liczby zapisane w systemie rzymskim.

6

W zadaniu użyto również określenia „włącznie” – jego rozumienie i właściwe użycie generalnie mogło-

by mieć znaczenie dla poprawnego rozwiązania. Ale okazuje się, że przy tak dobranych danych nie

ma ono znaczenia – niezależnie od tego, czy uczeń je dostrzegł i właściwie użył, czy nie, i tak uzyski-

wał poprawną odpowiedź C.

10,0

2,3

73,5

14,0

0,10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C* D WZBO

Zadanie 14

Zadanie zostało poprawnie rozwiązane przez zaledwie 3 na 4 uczniów. Trudno wyobrazić sobie, jakie

błędy popełnili uczniowie, wybierający którąkolwiek z pozostałych odpowiedzi. Czy sugerowali się

ilością liczb zapisanych w pierwszym wierszu tabeli i dlatego wybierali odpowiedź A (10% uczniów)?

Czy nie zauważyli w treści zadania, ile było wszystkich tomów encyklopedii i wybierali odpowiedź D:

„wszystkie pozostałe tomy”, bo myśleli, że jest ich dużo więcej (14% uczniów)?

W tym zadaniu lepsze wyniki osiągnęły dziewczynki (76% poprawnych odpowiedzi) niż chłopcy (71%).

Wykres pokazuje, że odpowiedzi A i D mimo, że mają podobne odsetki wskazań, są wybierane przez

innych uczniów: odpowiedź A wybierają głównie uczniowie najsłabsi i częstość wyboru tej odpowiedzi

7

szybko spada wraz ze wzrostem ich umiejętności. To może potwierdzać hipotezę o wybieraniu tej

odpowiedzi „na oko” – z powodu wielu wypisanych liczb. Z kolei odpowiedź D jest dwukrotnie rzadziej

wybierana przez uczniów najsłabszych niż odpowiedź A, ale częstość wyboru tej błędnej odpowiedzi

bardzo wolno maleje wraz ze wzrostem umiejętności. Tym bardziej ciekawe jest, jaki błąd popełniają

ci uczniowie.

Z wykresu można również zobaczyć, że nawet wśród uczniów najsłabszych poprawna odpowiedź jest

całkiem często wybierana – wskazuje ją prawie 30% spośród nich. Dla uczniów najlepszych zadanie

było bardzo łatwe – prawie 100% z nich rozwiązywało je poprawnie.

***

Zadanie wykorzystujące znajomość rzymskiego zapisu liczb było rozwiązywane przez uczniów V klasy

w badaniu DUMa (Diagnoza Umiejętności Matematycznych) w maju 2014 roku1. Poprawnie rozwiąza-

ło je tylko 46% uczniów. Jednak analiza popełnianych błędów pokazała, że uczniowie mieli problem

raczej z dobraniem działania arytmetycznego odpowiedniego do przedstawionej sytuacji (47%), niż z

odczytywaniem liczb (15%).

1 Informacje o badaniu i raport z badania dostępne pod adresem: http://eduentuzjasci.pl/zadania/210-

publikacje/raport/raport-z-badania/diagnoza-umiejetnosci-matematycznych-uczniow-szkol-podstawowych-

duma/1168-diagnoza-umiejetnosci-matematycznych-uczniow-szkol-podstawowych-duma-raport-z-

badania.html

8

Aby rozwiązać to zadanie potrzebna jest znajomość i rozumienie reguł wykonywania działań na ułam-

kach zapisanych w postaci dziesiętnej.

34,5 42,1

15,4

7,80,2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PP* PF FP FF WZBO

Zadanie 15

Zadanie poprawnie wykonało tylko 34,5% uczniów – było to najtrudniejsze zadanie z całej części ma-

tematycznej sprawdzianu – trudniejsze nawet niż zadania otwarte.

Pierwszą część zadania dotyczącą mnożenia ułamków poprawnie wykonało prawie 77% uczniów

(suma słupków PP i PF). W drugiej części, dotyczącej dzielenia, wynik był niższy – tylko połowa

uczniów widziała, że oba podane działania dadzą taki sam wynik (słupki PP i FP). Warto uświadomić

sobie, że główna trudność zadania polega na tym, że reguły rządzące przesuwaniem przecinka są

inne przy mnożeniu, a inne przy dzieleniu ułamków dziesiętnych. Dlatego odsetek uczniów, którzy

poradzili sobie zarówno z pierwszą, jak i z drugą częścią zadania jest znacznie niższy, niż z każdą

częścią z osobna.

Najwięcej uczniów wskazywało odpowiedzi PF. Uczniowie ci potrafili poprawnie zastosować regułę

dotyczącą mnożenia ułamków dziesiętnych, natomiast prawdopodobnie tę samą regułę zastosowali

do dzielenia i przez to uzyskali niepoprawną odpowiedź w drugiej części zadania.

9

W tym najtrudniejszym zadaniu także lepsze wyniki osiągnęły dziewczynki (38% poprawnych odpo-

wiedzi) niż chłopcy (tylko 31%).

Wykres potwierdza, że było to bardzo trudne zadanie – rozwiązało je poprawnie niespełna 90%

uczniów najlepszych, zaledwie 30% uczniów o średnich umiejętnościach i około 10% uczniów naj-

słabszych.

Najbardziej popularny błędny zestaw odpowiedzi PF był wybierany przez około połowę uczniów

o niskich i średnich umiejętnościach oraz, co ciekawe, przez niemałe odsetki uczniów o umiejętno-

ściach wyższych niż średnie. Nawet wśród uczniów najlepszych takie odpowiedzi podawało około

10% uczniów.

Warto zauważyć, że wśród uczniów o niższych i średnich umiejętnościach częstości wyborów po-

szczególnych odpowiedzi bardzo niewiele się różnią – uczniowie o umiejętnościach z dolnej części

skali odpowiadali bardzo podobnie.

***

Zadania dotyczące umiejętności wykonywania działań na ułamkach dziesiętnych znajdowały się we

wszystkich badaniach umiejętności matematycznych uczniów szkół podstawowych przeprowadzanych

w ostatnich latach przez IBE.

W badaniu DUMa uczniowie V klasy mieli wskazać, które z czterech działań podanych w zadaniu

zostało wykonane niepoprawnie. Zadanie zostało rozwiązane zaledwie przez 38% uczniów – to bar-

dzo podobny odsetek, jak w zadaniu omawianym powyżej.

W badaniu DUSZa2, przygotowanym wspólnie z Centralną Komisją Egzaminacyjną i prze-

prowadzonym z grudniu 2014 roku, brali udział uczniowie klas VI – ci sami, którzy w kwietniu 2015

roku pisali sprawdzian. W badaniu tym znalazło się zadanie bardzo podobne do omawianego powyżej

zadania ze sprawdzianu. I wynik tego zadania również był bardzo podobny – poprawnie rozwiązało je

2 Diagnoza umiejętności szóstoklasistów DUSZa, zob, raport na stronie: http://eduentuzjasci.pl/publikacje-ee-

lista/raporty/235/diagnoza-umiejetnosci-szostoklasistow-dusza/1250

10

zaledwie 33% uczniów. A zatem uczniowie i nauczyciele już kilka miesięcy przed sprawdzianem mogli

zobaczyć, że działania na ułamkach dziesiętnych nie zostały jeszcze wystarczająco opanowane.

W zadaniu użytym z badaniu K53 (maj 2015) uczniowie V klas rozwiązywali prostsze zadanie dotyczą-

ce ułamków dziesiętnych – mieli wskazać liczbę odpowiednio 10 razy większą i 100 razy mniejszą od

danego ułamka dziesiętnego. Wyniki potwierdziły, że umiejętność mnożenia i dzielenia przez wielo-

krotności liczby 10 jest lepiej opanowana – zadanie zostało poprawnie rozwiązane przez 65%

uczniów.

Wyniki wszystkich tych zadań potwierdzają, że znajomość i rozumienie reguł wykonywania działań na

ułamkach zapisanych w postaci dziesiętnej nie jest wśród uczniów szkoły podstawowej wystarczająca.

Ważne jest, aby nauczyciele gimnazjum mieli tego świadomość i odpowiednio zaplanowali swoją pra-

cę.

3 Badanie: Kompetencje matematyczne piątoklasistów. Raport w przygotowaniu.

11

Do poprawnego rozwiązania tego zadania wystarczyła umiejętność obliczenia kwadratu i sześcianu

liczby naturalnej. Kolejność wykonywania działań nie miała znaczenia, gdyż jeśli nawet uczeń popełnił

błąd i najpierw pomnożył lub dodał liczby, zamiast podnieść je do potęgi, to po prostu nie znajdował

takiej odpowiedzi wśród zaproponowanych, co było dla niego sygnałem, że wykonał to działanie nie-

poprawnie i powinien zacząć od początku, inaczej. A zatem zadanie nie sprawdzało drugiej z wymie-

nionych w ramce powyżej umiejętności.

10,9 5,8 9,2

74,0

0,10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

AC AD BC BD* WZBO

Zadanie 16

Było to jedno z łatwiejszych zadań w arkuszu rozwiązało je poprawnie prawie 3 na 4 uczniów.

Ponad 83% uczniów poprawnie wykonało pierwsze podane działanie (suma słupków BC i BD), a pra-

wie 80% drugie działanie (słupki AD i BD).

Uczniowie wskazujący odpowiedzi A (17%) i C (20%) popełnili raz lub dwa razy błąd polegający na

pomożeniu podstawy potęgi i jej wykładnika. Może to świadczyć o tym, że pojęcie potęgi jest niewy-

starczająco utrwalone i uczniowie traktują je jako inną formę zapisu mnożenia.

12

Jest to trzecie i ostatnie zadanie zamknięte, w którym lepszy wynik osiągnęły dziewczynki (76% po-

prawnych odpowiedzi) niż chłopcy (72%).

Zadanie było bardzo łatwe dla uczniów dobrych i bardzo dobrych – rozwiązało je prawie 100% z nich.

Także dla uczniów o średnich umiejętnościach było ono nietrudne i zostało poprawnie rozwiązane

przez ponad 80% tych uczniów. Natomiast co ciekawe – to zadanie, które było średnio stosunkowo

łatwe (łatwość 74%), okazało się wyjątkowo trudne dla uczniów najsłabszych – rozwiązało je zaledwie

około 10% z nich.

***

Zadanie zawierające potęgi pojawiło także w badaniu DUSZa, ale z analizy popełnianych błędów oka-

zało się, że większym problemem dla uczniów były w nim działania na ułamkach dziesiętnych, niż

podnoszenie do potęgi. Łatwość tego zadania wynosiła 56%.

13

Do poprawnego rozwiązania tego zadania wystarczyła wskazana powyżej umiejętność wykonywania

działań na liczbach ujemnych.

20,813,4

54,8

10,9

0,10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C* D WZBO

Zadanie 17

Zadanie rozwiązało poprawnie niewiele ponad połowę uczniów – okazało się ono dla szóstoklasistów

zaskakująco trudne.

Liczbę – 28 (odpowiedź A) otrzymali uczniowie, którzy dodali – 7 i – 21. Liczbę – 14 (odpowiedź B)

uzyskali ci, którzy od 21 odjęli 7 i uznali, że wynik tego działania będzie liczbą ujemną. Liczbę 28

(odpowiedź D) wskazali ci, którzy dodali – 7 i – 21 i uznali, ze wynik tego działania będzie liczbą do-

datnią – być może pamiętali, że „minus i minus daje plus”. Popełniane błędy świadczą o tym, że dzia-

łania na liczbach ujemnych są dla dużej części uczniów niezrozumiałe i trudne.

14

Ten wykres pokazuje, że wyższy odsetek wyborów niepoprawnej odpowiedzi A niż pozostałych dwóch

niepoprawnych odpowiedzi, wynika z tego, że tę odpowiedź znacznie częściej wybierali uczniowie o

średnich umiejętnościach.

***

Odpowiednika tego zadania nie było w żadnej z przeprowadzonych przez IBE diagnoz.

15

Aby poprawnie rozwiązać to zadanie niezbędna jest wskazana powyżej umiejętność opisania części

danej całości za pomocą ułamka, ale także umiejętność skracania ułamków.

8,8

81,8

4,7 4,60,1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B* C D WZBO

Zadanie 18

Zadanie poprawnie wykonało prawie 82% uczniów – było to najłatwiejsze zadanie z części matema-

tycznej sprawdzianu.

Wybór odpowiedzi A, czyli ułamka ¼ jest efektem konkretnego błędu popełnionego przez uczniów –

obliczyli oni stosunek zacieniowanych kratek do jasnych kratek, a nie do całej figury. Trudno natomiast

wyjaśnić, jak rozwiązywali to zadanie uczniowie, którzy wybrali odpowiedzi C lub D – żadne typowe

błędy nie prowadzą do takich odpowiedzi.

16

Z wykresu można odczytać, że mimo, że było to łatwe zadanie, to jednak dla uczniów najsłabszych

stanowiło ono problem – rozwiązało je poprawnie mniej niż 10% z nich. Uczniowie z tej grupy najczę-

ściej wybierali odpowiedź A (40%), czyli popełniali typowy błąd opisany powyżej. Po 20% – 30%

uczniów z tej grupy wybierało również „dziwne” odpowiedzi C lub D.

Wraz ze wzrostem umiejętności odsetek poprawnych odpowiedzi w tym zadaniu szybko rósł i wśród

uczniów o średnich umiejętnościach wynosił już ponad 90%.

***

Zadanie dotyczące opisywania części całości za pomocą ułamka znalazło się również w tegorocznym

badaniu K5. Jednak w tym zadaniu uczniowie V klasy najpierw musieli wybrać z tabeli potrzebne in-

formacje, a dopiero później wykonać dwa wymagane w zadaniu obliczenia. Zadanie było więc bardziej

złożone. Jego łatwość wynosiła 57%.

17

Aby rozwiązać to zadanie uczeń musi samodzielnie wymyśleć sposób obliczenia mniejszej porcji jed-

nego ze składników tak, aby zachować proporcje podane w przepisie.

W zadaniach związanych z proporcjami, dość często popełniany przez uczniów błąd polega na zasto-

sowaniu porównywania różnicowego, zamiast ilorazowego. Ale w tym zadaniu, jeśli uczeń zastosował

ten błędny sposób rozwiązania, to po prostu nie znajdował wśród dystraktorów swojej odpowiedzi, i

tym samym dostawał informację, że rozwiązał zadanie źle i powinien zrobić to jeszcze raz – inaczej.

10,713,9

67,5

7,80,1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C* D WZBO

Zadanie 19

Odpowiedź A (10) wybierali prawdopodobnie ci uczniowie, którzy zauważyli, że aby rozwiązać zada-

nie potrzeba wiedzieć, ile cukru „przypada” na dwa białka i poprzestali na tym. Liczbę 15 (odpowiedź

B) być może wskazywali ci, którzy zauważyli, że Magda ma o dwa białka mniej niż w przepisie oraz,

że liczba 15 to dwa razy mniej niż 30. Być może więc tę odpowiedź wybierali uczniowie, mylący po-

18

równywanie ilorazowe z różnicowym. Z kolei odpowiedź D (25) mogła być wzbierana przez uczniów,

którzy rozwiązywali zadanie „na oko” – 4 to trochę mniej niż 6, a 25 to trochę mniej niż 30.

Jest to jedyne zadanie, które znacznie lepiej rozwiązali chłopcy (73% poprawnych odpowiedzi) niż

dziewczynki (tylko 62%).

Zadanie było poprawnie rozwiązywane przez 100% uczniów najlepszych, około 70% uczniów o śred-

nich umiejętnościach i nieco poniżej 20% uczniów najsłabszych.

Najsłabsi uczniowie zdecydowanie najczęściej (ponad 40%) wybierali niepoprawną odpowiedź B,

w której podano połowę cukru z przepisu. Po około 20% z nich wskazywało niepoprawne odpowiedzi

A i D.

***

Zadanie dotyczące tworzenia proporcji znalazło się również w tegorocznym badaniu K5. Jednak w tym

zadaniu proporcja była łatwiejsza do zauważenia – należało wziąć połowę porcji podanej w przepisie.

Łatwość tego zadania dla uczniów V klasy była równa 76%.

19

72,6

8,914,9

3,50,2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

AC* AD BC BD WZBO

Zadanie 20

Było to jedno z łatwiejszych zadań w arkuszu – rozwiązało je poprawnie prawie 3 na 4 uczniów.

Prawie 82% uczniów poprawnie odpowiedziało na pierwsze pytanie (suma słupków AC i AD), a jesz-

cze więcej, aż 88%, na drugie pytanie (słupki AC i BC).

Uczniowie wskazujący odpowiedz BC być może wybrali pierwszą odpowiedź, odpowiadając na pyta-

nie, ile godzin lekcyjnych trwał kurs. Może na to wskazywać poprawna odpowiedź na pytanie o czas

trwania (w minutach) dwóch takich godzin. Uczniowie, którzy w drugim zdaniu wskazywali odpowiedź

D (12%) prawdopodobnie przyjęli w obliczeniach, że godzina ma 100 minut. Obie niepoprawne odpo-

wiedzi BD podało tylko 3,5% uczniów.

20

Wykres potwierdza, że dla uczniów o umiejętnościach średnich i wyższych było to łatwe zadanie –

poprawnie rozwiązało je 100% uczniów najlepszych i około 80% uczniów o średnich umiejętnościach.

Wykres pokazuje także, że wśród uczniów najsłabszych poprawna kombinacja odpowiedzi była naj-

rzadziej wybierana spośród wszystkich możliwych – wskazało ją zaledwie około 15% uczniów.

***

To zadanie nie miało swojego odpowiednika w przeprowadzonych wcześniej diagnozach.

21

Aby uczeń mógł rozwiązać to zadanie, wystarczy, że będzie umiał obliczyć podany procent z podanej

wielkości. Wydaje się, że nawet umiejętność odejmowania wielocyfrowych liczb naturalnych, podana

jako druga w tabeli powyżej, nie jest w tym zadaniu potrzebna.

3,9 7,9

18,5

69,4

0,20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C D* WZBO

Zadanie 21

Najbardziej popularną błędną odpowiedzią była odpowiedź C (250). Być może uczniowie, którzy

wskazywali tę odpowiedź, w drodze do poprawnego rozwiązania obliczyli 10% liczby 2500 i poprze-

stali na tym. Uczniowie wskazujący odpowiedź A (25) obliczyli 1% liczby 2500, a wskazujący B (50) –

2% tej liczby.

22

Podobnie, jak poprzednie, to zadanie również było łatwe dla uczniów o umiejętnościach średnich

i wyższych – poprawnie rozwiązało je 100% uczniów najlepszych i około 70% uczniów o średnich

umiejętnościach.

Wykres pokazuje także, że ponad połowa uczniów najsłabszych wybrała niepoprawną odpowiedź C,

czyli obliczyła 10% podanej wielkości, zamiast 20%. Na wykresie można także zobaczyć, że wśród

uczniów najsłabszych poprawna odpowiedzi była jedną z dwu najrzadziej wybieranych – podobnie, jak

w poprzednim zadaniu, wskazało ją zaledwie około 15% uczniów.

***

Zadanie wymagające umiejętności posługiwania się procentami pojawiło się tylko raz – w badaniu

DUSZa. Było to jednak znacznie bardziej złożone zadanie otwarte, więc wyniki osiągnięte przez

uczniów w tych dwóch zadaniach są nieporównywalne.

23

Aby poprawnie rozwiązać to zadanie, uczeń przede wszystkim musi obliczyć boki kwadratów, mając

dane ich pola. Następnie korzystając z obliczonych długości, musi obliczyć pole małego kwadratu i

porównać ilorazowo odpowiednie pola z sobą.

24

57,6

8,4

31,2

2,6 0,20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PP* PF FP FF WZBO

Zadanie 22

Zadanie zostało całkowicie poprawnie rozwiązane przez prawie 58% uczniów.

Pierwszą część zadania dotyczącą porównania pól kwadratów rozwiązało 66% uczniów, a drugą

część, która dotyczyła pól prostokątów, prawie 89%. Różnica między tymi odsetkami jest bardzo duża,

choć obie części odnosiły się do porównania pól bardzo prostych figur. Przyczyną tak dużej różnicy

w poziomie trudności była prawdopodobnie konieczność wykorzystania porównywania ilorazowego do

rozwiązania pierwszej części zadania. Mogło również być tak, że niektórzy uczniowie drugą część

zadania rozwiązywali „na oko” – patrząc na rysunek, wydawało im się, że prostokąty mają taką samą

wielkość.

Wykres wybieralności poszczególnych odpowiedzi w tym zadaniu wygląda inaczej niż w wielu po-

przednich zadaniach – tylko dla jednej odpowiedzi częstość jej wyboru wyraźnie spada wraz ze wzro-

stem umiejętności uczniów, dla pozostałych odpowiedzi jest na podobnym poziomie lub rośnie.

Zielona, „spadająca” linia i różowa linia w sumie pokazują odsetek uczniów, którzy odpowiadali niepo-

prawnie na drugą część zadania, czyli nie widzieli, że pola prostokątów są równe. Takich uczniów było

25

około 35% wśród najsłabszych i już tylko około 10% wśród średnich. Pozostali umieli poprawnie od-

powiedzieć na tę część zadania.

Natomiast czarna linia o nietypowym kształcie pokazuje, że odsetek uczniów, którzy wiedzą, że pola

prostokątów są równe, ale nie potrafią poprawnie porównać pól kwadratów, rośnie wraz ze wzrostem

umiejętności uczniów – od najsłabszych aż do średnich. Dopiero uczniowie o umiejętnościach wyż-

szych niż średnie coraz częściej potrafią właściwie porównać pola kwadratów i w związku z tym coraz

częściej wybierają odpowiedź niebieską zamiast czarnej. Ciekawe jednak, że nawet wśród uczniów

najlepszych około 10% nie potrafi odpowiednio porównać pól kwadratów i wybiera „czarną odpo-

wiedź”.

***

W każdej z przeprowadzonych wcześniej diagnoz znajdowało się zadanie dotyczące rozumowania i

tworzenia strategii w obszarze geometrii. Łatwość tych zadań wahała się od 43% – w zadaniu o rozci-

naniu kwadratowych kartek (badanie DUMa – V klasa) i w zadaniu dotyczącym obliczania obwodów

prostokątów powstałych z rozcięcia na pół kwadratu (badanie K5 – V klasa), do 61% – w zadaniu do-

tyczącym porównania pól trójkątów powstałych z rozcięcia trapezu (badanie DUSZa – VI klasa).

Wydaje się zatem, że pod koniec szkoły podstawowej umiejętność rozumowania i tworzenia strategii

w obszarze geometrii jest opanowana przez około połowę uczniów.

26

W tym zadaniu wystarczyło wiedzieć, co to jest wysokość trójkąta i umieć ją rozpoznać na rysunku.

3,8

17,2

71,2

7,80,2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A B C* D WZBO

Zadanie 23

27

Zadanie zostało poprawnie rozwiązane przez 71% uczniów. Najczęściej popełnianym błędem był wy-

bór odpowiedzi B (17%). Być może oznacza to, że uczniowie zapamiętali, że wysokość w trójkącie

jest prostopadła do boku, ale nie zastanowili sie, do którego boku. Natomiast uczniowie wskazujący

odpowiedź D prawdopodobnie wybrali rysunek najbardziej podobny do tego, z którym najczęściej

spotykali się na lekcjach.

Wykres pokazuje, że uczniowie najsłabsi popełniają właściwie każdego rodzaju błędy i wybierają z

częstością 20% - 30% wszystkie proponowane odpowiedzi. Natomiast omawiany powyżej, najczęściej

popełniany błąd i wybór odpowiedzi B, był najbardziej charakterystyczny dla uczniów o średnich umie-

jętnościach. Wśród tych uczniów odpowiedzi A i C już prawie się nie zdarzają, natomiast odpowiedź B

jest wybierana przez około 20% uczniów.

***

To zadanie nie miało żadnego odpowiednika w przeprowadzonych wcześniej diagnozach.

28

Aby ocenić prawdziwość informacji podanej w pierwszej części zadania konieczne jest obliczenie

objętości sześcianu. W tym celu trzeba skorzystać z informacji o wielkości kostek, podanej w tekście

zadania oraz policzyć na rysunku, z ilu takich kostek sześcian jest zbudowany.

Aby ocenić prawdziwość drugiej części zadania nie trzeba już niczego obliczać – jeśli uczeń rozumie

pojęcie objętości, a nie tylko umie ją obliczać, to wie, że skoro obie bryły zbudowane są z takiej samej

liczby takich samych kostek, to te bryły mają równą objętość. Jeśli ktoś tego nie wie, to analogicznie,

jak w pierwszej części zadania musi obliczyć objętość prostopadłościanu.

Dość typowym błędem popełnianym przez uczniów szkoły podstawowej w zadaniach dotyczących brył

jest mylenie objętości z polem powierzchni bryły.

29

8,2

62,5

15,3 13,9

0,10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PP PF* FP FF WZBO

Zadanie 24

Zadanie zostało poprawnie rozwiązane przez 62,5% uczniów.

Objętość sześcianu, której dotyczyła pierwsza część zadania, poprawnie obliczyło prawie 71%

uczniów (suma słupków PP i PF).

Drugą część zadania poprawnie rozwiązało nieco ponad 76% uczniów (suma słupków PF i FF). Ucz-

niowie, którzy w drugiej części zadania odpowiedzieli niepoprawnie, czyli P (23,5% – suma słupków

PP i FP) albo nie rozumieją pojęcia objętości, albo pomylili objętość z polem powierzchni, albo po

prostu nie potrafią obliczać objętości.

Można spróbować odpowiedzieć na pytanie, na czym polegał błąd uczniów w drugiej części zadania,

korzystając z tego, jak odpowiadali w pierwszej części. I tak, jeśli w pierwszej części uczeń dał odpo-

wiedź P, to znaczy, że potrafi poprawnie obliczyć objętość bryły i nie myli jej z polem powierzchni.

Skoro jednak w drugiej części odpowiedział źle, oznacza to, że nie rozumie pojęcia objętości, mimo,

że potrafi ją obliczyć. Takich uczniów jest 8,2% (odpowiedzi PP).

Jeśli z kolei uczeń pomylił objętość z polem powierzchni, wtedy powinien podać odpowiedzi FP (bo

pole powierzchni sześcianu to 96 cm2, a prostopadłościanu – 112 cm2, czyli więcej niż sześcianu).

Taki układ odpowiedzi można również otrzymać wtedy, gdy w pierwszej części uczeń źle policzył obję-

tość i uzyskał jakąkolwiek liczbę inną niż 64 cm2. I w drugiej części również źle obliczał i otrzymał ja-

kąkolwiek liczbę większą niż dla sześcianu. Uczniów, którzy podali taką odpowiedź jest 15,3%.

Także uczniowie, którzy udzielali odpowiedzi FF prawdopodobnie po prostu nie potrafią obliczać obję-

tości brył, a nie mylą ją z polem powierzchni. Takich uczniów było 13,9%.

30

Z wykresu można odczytać, że uczniów, którzy poprawnie rozwiązali całe zadanie było: prawie 100%

wśród najlepszych, około 60% wśród średnich i około 25% wśród najsłabszych.

Wśród uczniów najsłabszych najczęściej wybieraną kombinacją odpowiedzi jest FP, czyli albo ucz-

niowie ci mylą objętość z polem powierzchni, albo po prostu nie potrafią obliczać objętości.

Odpowiedź PP, świadcząca o tym, że uczeń potrafi obliczać objętość, ale nie rozumie, co właściwie to

pojęcie oznacza jest najrzadziej spotykana na każdym poziomie umiejętności.

Najdziwniej na wykresie wygląda linia różowa, odpowiadająca odpowiedziom FF. Tak odpowiadali

uczniowie, którzy nie potrafią poprawnie obliczyć objętości, ale ich problem nie polega na myleniu jej z

polem powierzchni. Zagadkowe jest, dlaczego odsetek takich uczniów lekko rośnie wraz ze wzrostem

umiejętności, a nie spada – podobnie, jak linie czarna i niebieska.

***

W dwóch z przeprowadzonych diagnoz znalazły się zadania dotyczące geometrii przestrzennej, któ-

rych wyniki można próbować zestawić z zadaniem omawianym powyżej.

W badaniu K5 uczniowie V klasy mieli ocenić, czy objętość bryły powstałej po wyjęciu z prostopadło-

ścianu jednej kostki będzie mniejsza niż objętość wyjściowego prostopadłościanu. W tym zadaniu nie

można było skorzystać ze wzoru, bo powstała bryła nie była już prostopadłościanem ani sześcianem.

Aby zadanie poprawnie rozwiązać, trzeba było rozumieć pojęcie objętości – potrafiło to zrobić 68%

uczniów. Trzeba jednak pamiętać, że w tym zadaniu uczniowie mieli do wyboru tylko dwie odpowiedzi

(Prawda lub Fałsz), zatem prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi zupełnie losowo

wynosi aż 50%.

Z kolei w badaniu DUSZa uczniowie VI klasy mieli odpowiedzieć na pytanie, ile prostopadłościennych

klocków o podanych wymiarach potrzeba, aby zbudować z nich sześcian. To również nie było zada-

nie, w którym można było korzystać z jakichś wzorów. Nie było również potrzebne pojęcie objętości –

potrzebna była tylko wyobraźnia geometryczna. Zadanie zostało poprawnie rozwiązane tylko przez

36% uczniów V klasy.