Środowiskowe Studia Doktoranckie

z Nauk Matematycznych

Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie

Józef Banaś

Katedra MatematykiPolitechnika Rzeszowska

Wariacje Funkcji, Ich Własności

i Zastosowania

Lublin 2014

Spis treści

Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Funkcje mierzalne i regularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Wariacja funkcji w sensie Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Funkcje o wariacji ograniczonej w sensie Wienera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Funkcje o wariacji ograniczonej w sensie Wienera-Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

5. Wariacja funkcji w sensie Watermana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

6. Całka Riemanna-Stieltjesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Wstęp

Celem przedkładanego skryptu jest przedstawienie podstawowych faktów dotyczących

różnych rodzajów definicji pojęcia wariacji (wahania) funkcji. Główny nacisk zostanie po-

łożony na podanie podstawowych faktów dotyczących klasycznej wariacji funkcji. Pojęcie

to zostało wprowadzone do matematyki przez znakomitego francuskiego matematyka C.

Jordana pod koniec XIX wieku. Jordan odkrył też podstawową własność funkcji o waria-

cji ograniczonej. Własność ta pozwala każdą funkcję o wariacji ograniczonej na zadanym

przedziale [a, b] przedstawić jako różnicę dwóch funkcji rosnących na tym przedziale.

Odkrycie tej własności pozwoliło na znaczne uproszczenie teorii funkcji o wariacji ogra-

niczonej, a przede wszystkim na zbudowanie poręcznej teorii całki Riemanna-Stieltjesa.

To ostatnie pojęcie okazało się niezwykle użyteczne w teorii prawdopodobieństwa oraz w

pewnych działach mechaniki [2,3,5].

W przedkładanym opracowaniu wskażemy również na pewne uogólnienie wspomnia-

nego, klasycznego pojęcia wariacji i funkcji o wariacji ograniczonej. Mianowicie, przed-

stawimy pojęcie wariacji funkcji w sensie Wienera, w sensie Wienera-Younga i w sensie

Watermana. Oczywiście uogólnienia te nie wyczerpują listy wszystkich, obecnie znanych

uogólnień pojęcia wariacji funkcji. Tym niemniej, przedstawiają one najważniejsze z tych

uogólnień, które mają najwięcej własności, najwięcej zastosowań i których teoria jest

obecnie najbardziej rozwinięta.

Niniejszy skrypt został opracowany głównie na podstawie monografii [1], która cał-

kowicie poświęcona jest przedstawieniu pojęcia wariacji funkcji w różnym ujęciu oraz

omówieniu ich własności i zastosowań. Ponadto, wykorzystane zostały również pozycje

[6,7,8,9]. W pozycjach tych omawia się również pojęcie wariacji funkcji i wskazuje na

różnorakie zastosowania tego pojęcia.

3

1. Funkcje monotoniczne i regularne

Niech D będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R oraz niech danabędzie funkcja f : D → R. Dalej, niech dany będzie zbiór A ⊂ D, A 6= ∅.

Definicja 1.1. Mówimy, że funkcja f jest na zbiorze A:

a) rosnąca, jeżeli ∀x1,x2∈A[x1 < x2 ⇒ f(x1) ¬ f(x2)]; piszemy wtedy, że f ��A

b) ściśle rosnąca, jeżeli ∀x1,x2∈A[x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)]; piszemy wtedy: f ↗ A

c) malejąca, jeżeli ∀x1,x2∈A[x1 < x2 ⇒ f(x1) f(x2)]; piszemy, że f AAU A

d) ściśle malejąca, jeżeli ∀x1,x2∈A[x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)]; piszemy wtedy, żef ↘ A

Funkcję f nazywa się funkcją monotoniczną (ściśle monotoniczną) na zbiorze A, jeżeli

f jest rosnąca na zbiorze A lub malejąca na zbiorze A (ściśle rosnąca lub ściśle malejąca

na zbiorze A).

Oczywiście, każda funkcja ściśle monotoniczna na zbiorze A jest na tym zbiorze monoto-

niczna.

Zauważmy, że suma dwóch funkcji rosnących (malejących) na zbiorze A jest funkcją

rosnącą (malejącą) na zbiorze A. Ponadto, iloczyn funkcji rosnącej (malejącej) na zbiorze

A przez stałą c 0 jest funkcją rosnącą (malejącą) na zbiorze A. Zauważmy, że jeżeli fjest rosnąca (malejąca) na zbiorze A oraz c < 0 to cf jest malejąca (rosnąca) na zbiorze

A. Stąd np. wynika, że jeżeli oznaczymy przez SA zbiór wszystkich funkcji rosnących

(malejących) na zbiorze A, to zbiór ten ma własność:

f ∈ SA, − f ∈ SA ⇒ f ≡ 0 na zbiorze A .

Oznacza to, że zbiór SA funckji rosnących (albo malejących) na zbiorze A, będący pod-

zbiorem przestrzeni liniowej RA ∗, ma strukturę stożka. Niestety, nie jest to podprzestrzeńprzestrzeni RA. Podobnie, zbiór MA funckji monotonicznych na zbiorze A nie ma nawetstruktury stożka!

Później pokażemy, jak tą niedogodną sytuację można obejść (w pewnien sposób).

∗Jeżeli X,Y są zbiorami niepustymi, to symbolem Y X oznaczamy zbiór wszystkich funkcji f : X → Y .

4

W dalszym ciągu załóżmy, że I jest przedziałem (otwartym, domkniętym, jednostron-

nie otwartym, ograniczonym lub nieograniczonym). Symbolem I̊ będziemy oznaczać wnę-

trze przedziału I, np. jeżeli I = (a, b], to I̊ = (a, b) itd.

Mamy następujące, ważne twierdzenie.

Twierdzenie 1.2. Załóżmy, że f jest funkcją monotoniczną na przedziale I(f : I → R).Wtedy dla dowolnego x ∈ I̊ istnieją granice jednostronne funkcji f w punkcie x (skończo-ne), tzn. istnieją

f(x−) = limy→x−

f(y) ,

f(x+) = limy→x+

f(x) .

Ponadto, jeżeli f jest rosnąca na przedziale I, to

f(x−) ¬ f(x) ¬ f(x+) ,

natomiast, jeżeli f jest malejąca na I, to

f(x−) f(x) f(x+) .

Dowód. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że f jest rosnąca na przedziale I. Pokażemy, że

f(x−) = sup{f(y) : y < x, y ∈ I}

f(x+) = inf{f(y) : y > x, y ∈ I} .

Załóżmy najpierw, że y ∈ I, y < x. Wtedy z założenia mamy, że

f(y) < f(x)

a to oznacza, że zbiór {f(y) : y ∈ I, y < x} jest ograniczony z góry i jedną z jegomajorant jest f(x). Zatem zbiór ten ma kres górny - oznaczmy ten kres górny przez f∗(x),

tzn. kładziemy:

f∗(x) = sup{f(y) : y ∈ I, y < x} .

Ponieważ f(x) jest majorantą zbioru {f(y) : y ∈ I, y < x}, więc mamy

f∗(x) ¬ f(x) . (1.1)

Przy okazji otrzymujemy, że f∗(x) ∈ R.

5

W dalszym ciągu pokażemy, że f(x−) istnieje oraz, że

f(x−) = f∗(x) . (1.2)

W tym celu ustalmy dowolnie liczbę ε > 0. Z definicji kresu górnego wynika, że istnieje

liczba w zbiorze {f(y) : y ∈ I, y < x} - tzn. istnieje liczba y < x, y ∈ I taka, że

f∗(x)− ε < f(y) ¬ f∗(x) . (1.3)

Weźmy teraz dowolny ciąg {xn} taki, że {xn} ⊂ I, xn < x dla n = 1, 2, ... oraz xn → x.Stąd: i z definicji granicy ciągu wynika, że istnieje liczba naturalna n0 taka, że dla n ∈ N,n n0, zachodzi, że

y < xn ¬ x .

Stąd i z (1.3) mamy:

f∗(x)− ε < f(y) ¬ f(xn) ¬ f∗(x) , (1.4)

przy czym ostatnia nierówność (po prawej stronie) w (1.4) wynika z definicji kresu górnego,

bowiem {xn} ⊂ {y ∈ I : y < x} .Z nierówności (1.4) otrzymujemy, że

limn→∞

f(xn) = f∗(x) .

Ponieważ tak jest dla dowolnego ciągu {xn} (byle tylko xn < x, xn → x, xn ∈ {y ∈I : y < x}), więc stąd mamy, że

limy→x−

f(x) = f(x−) = f∗(x) ,

co dowodzi (1.2).

Dowód, że f(x+) = f ∗(x) = inf{f(y) : y ∈ I, y > x} przebiega podobnie. Mamyrównież, że

f(x+) f(x) .

Koniec dowodu. �

Uwaga 1.3. Jeżeli x jest lewym (prawym) końcem przedziału I, mamy podobne stwier-

dzenia. Np. gdy przedział I ma postać

I = (a, b) lub I = [a, b) itp. , b ¬ +∞ ,

6

to mamy, że limx→a+

f(x) istnieje, oraz

f(a+) = limx→a+

f(x) f(a)

(oczywiście dla funkcji rosnącej).

Twierdzenie 1.4. Rodzina przedziałów otwartych i rozłącznych jest co najwyżej przeli-

czalna.

Dowód. Wiadomo, że w każdym przedziale otwartym znajduje się przynajmniej jedna

liczba wymierna.

Załóżmy, że (Uλ)λ∈Λ jest rodziną przedziałów otwartych i rozłącznych. Weźmy odwzoro-

wanie f : Λ→ Q (Q oznacza zbiór liczb wymiernych) określone w ten sposób, że każdemuwskaźnikowi λ ∈ Λ przyporządkowujemy dokładnie jedną liczbę wymierną z przedziałuUλ. Jest to funkcja różnowartościowa, bowiem dla λ1 6= λ2, λ1, λ2 ∈ Λ, przedziały Uλ1 iUλ2 są rozłączne, więc liczby wymierne f(λ1) i f(λ2) są różne. Zatem f : Λ→ f(Λ) ⊂ Qjest bijekcją. Ponieważ f(Λ), jako podzbiór zbioru przeliczalnego Q, jest skończony lub

przeliczalny, więc zbiór Λ, a co zatem idzie rodzina {Uλ}λ∈Λ, jest co najwyżej przeliczal-na. �

Sformułujemy teraz i udowodnimy kilka lematów o funkcjach monotonicznych.

Lemat 1.5. Niech f : I → R będzie funkcją rosnącą (malejącą) na przedziale I. Niechx, y, z ∈ I będą takie, że x < z < y (wtedy oczywiście z ∈ I̊). Wtedy zachodzą nierówności

f(x+) ¬ f(z) ¬ f(y−) , gdy f �� I

f(x+) f(z) f(y−) , gdy f AAU I .

Dowód. Załóżmy np., że f jest rosnąca na I. Wtedy, z dowodu poprzedniego Twierdzenia

1.2 mamy, że

f(x+) = infu∈(x,+∞)∩I

f(u) ¬ f(z)

(bo z ∈ (x,+∞) ∩ I), orazf(z) ¬ sup

v∈(−∞,y)∩If(v)

(bo z ∈ (−∞, y) ∩ I). Koniec dowodu. �

7

Lemat 1.6. Niech x ∈ I̊ będzie punktem nieciągłości funkcji rosnącej f . Wtedy przedział(f(x−), f(x+)) jest przedziałem niepustym (i otwartym). Podobnie, gdy x jest punktemnieciągłości funkcji malejącej f , to przedział (f(x+), f(x−)) jest niepusty.

Dowód. Załóżmy np., że f �� I . Jeżeli x jest punktem nieciągłości funkcji f , to z po-

przednio ustalonych własności mamy, że albo f(x−) ¬ f(x) < f(x+), albo f(x−) <f(x) ¬ f(x+) albo f(x−) < f(x) < f(x+). W każdym z trzech przypadków mamy, żef(x−) < f(x+), więc przedział (f(x−), f(x+)) jest niepusty. �

Lemat 1.7. Niech x, y ∈ I̊, x < y. Załóżmy, że x, y są punktami nieciągłości funkcji f ,rosnącej na przedziale I. Wtedy przedziały (f(x−), f(x+)), (f(y−), f(y+)) są niepuste irozłączne. Podobne stwierdzenie ma miejsce dla funkcji malejącej.

Dowód. Tak jak poprzednio, dla ustalenia uwagi załóżmy, że f �� I . Wtedy, z Lematu

1.5 mamy, że f(x+) ¬ f(y−), więc przedziały otwarte (f(x−), f(x+)), (f(y−), f(x+))są rozłączne i niepuste. �

Twierdzenie 1.8. Zbiór punktów nieciągłości funkcji f : I → R, która jest monotonicznana przedziale I, jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód. Oznaczmy przez DI zbiór wszystkich punktów nieciągłości funkcji f na przedzia-

le I. Wtedy I̊ jest oczywiście też przedziałem i mamy, że DI = DI̊∪{a} lub DI = DI̊∪{b}lub DI = DI̊ ∪ {a, b} lub DI = DI̊. Wystarczy pokazać, że zbiór DI̊ jest co najwyżejprzeliczalny.

Dla ustalenia uwagi załóżmy, że f �� I . Weźmy odwzorowanie T , które każdemu punk-

towi x ∈ D przyporządkowuje przedział niepusty i otwarty (f(x−), f(x+)). Z Lematu 1.7wynika, że odwzorowanie T jest injektywne. Zatem T (D) złożone jest z przedziałów otwar-

tych, niepustych i rozłącznych oraz T : D → T (D) jest bijekcją. Na podstwie Twierdzenia1.4 wiemy, że T (D) jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Ponieważ T : D → T (D) jestbijekcją, więc D jest co najwyżej przeliczalny. Koniec dowodu. �

W dalszym ciągu wskażemy na pewne istotne uogólnienie zarówno funkcji monoto-

nicznych jak i ciągłych. W tym celu wprowadzimy najpierw pewne oznaczenia.

I tak, zbiór wszystkich funkcji f : [a, b]→ R, które są ograniczone na przedziale [a, b],oznaczać będziemy symbolem B([a, b]). Wiadomo, że ten zbiór tworzy przestrzeń Banacha

8

z normą supremum, tzn. dla f ∈ B([a, b]) przyjmujemy, że

||f ||∞ = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]} . (1.5)

Ważną w wielu rozważaniach przestrzenią jest przestrzeń C([a, b]) złożona z funkcji

f : [a, b]→ R, które są ciągłe na [a, b]. Przestrzeń tę również wyposażamy w normę (1.5).Oczywiście, ze znanych własności funkcji ciągłych wynika, że normę (1.5) można zastąpić

normą maksimum

||f ||∞ = max{|f(x)| : x ∈ [a, b]} . (1.6)

Można pokazać, że C([a, b]) jest domknietą podprzestrzenią przestrzeni B([a, b]), a więc

jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ta nazywa się przestrzenią funkcji ciągłych z normą

(metryką) zbieżności jednostajnej, ponieważ zbieżność względem normy (1.6) pokrywa się

ze zbieżnością jednostajną.

Oczywiście na funkcje monotoniczne na przedziale [a, b], tzn. na zbiór M[a,b], możemy

patrzeć jako na zbiór w przestrzeni B([a, b]).

Jak udowodniliśmy to wyżej, każda funkcja monotoniczna f ∈ B([a, b]) ma w każ-dym punkcie przedziału [a, b] (skończone) granice jednostronne. Punkt nieciągłości takiej

funkcji jest to tzw. skok.

Na ogół przyjęto mówić, że jeżeli funkcja f ∈ B([a, b]) ma w punkcie x0 granice jednostron-ne oraz jest w tym punkcie nieciągła, to taka nieciągłość jest nazywana nieciągłością

I-tego rodzaju.

Żeby nasze rozważania ujednolicić, wprowadzimy dalej pewne definicje i oznaczenia.

Definicja 1.9. Funkcję f ∈ B([a, b]) będziemy nazywać funkcją regularną, jeżeli wkażdym punkcie x ∈ [a, b] funkcja f ma granice jednostronne (skończone). Oczywiście wpunkcie x = a ma granicę prawostronną, natomiast w punkcie x = b granicę lewostronną.

Zbiór wszystkich funkcji regularnych na przedziale [a, b] będziemy oznaczać symbolem

R([a, b]). Oczywiście R([a, b]) ⊂ B([a, b]).Jeżeli f ∈ R([a, b]), to w dowolnie ustalonym punkcie x ∈ [a, b] funkcja f może być

ciągła lub nieciągła. Jeżeli w punkcie x funkcja f jest nieciągła, to w przypadku, gdy

granice jednostronne f(x−) = limy→x−

f(y), f(x+) = limy→x+

f(y) są różne (f(x−) 6= f(x+)),punkt x nazywamy skokiem. Jeżeli f(x−) = f(x+), to liczbę x nazywamy nieciągłościąusuwalną.

9

Dla f ∈ R([a, b]) wprowadzimy następujące oznaczenia:

D(f) = {x ∈ [a, b] : f jest nieciągła w punkcie x} , (1.7)

D0(f) = {x ∈ [a, b] : f ma nieciągłość usuwalną w x} , (1.8)

D1(f) = {x ∈ [a, b] : f ma skok w punkcie x} . (1.9)

Mamy, że:

D(f) = D0(f) ∪D1(f)

dla f ∈ R([a, b]). Jeżeli f jest monotoniczna na [a, b] to

D(f) = D1(f), D0(f) = ∅ .

Chociaż wydaje się, że klasa funkcji regularnych jest bardzo odległa od klasy funkcji

monotonicznych, to jednak funkcje regularne zachowują jedną bardzo ważną własność

funkcji monotnicznych. Mamy bowiem następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.10. Zbiór punktów nieciągłości funkcji regularnej f : [a, b] → R jest conajwyżej przeliczalny.

Dowód. Rozważmy ”uśrednienie” f funkcji f określone wzorem

f(x) =

12(f(x−) + f(x+)) dla x ∈ D1(f)f(x) dla x pozostałych .

Oczywiście mamy, że D(f) = D(f), D0(f) = D0(f), D1(f) = D1(f), więc wystarczy

pokazać, że zbiór D(f) jest co najwyżej przeliczalny.

Załóżmy najpierw, że x0 ∈ D0(f)∩(a, b). Wtedy f(x0−) = f(x0+) 6= f(x0). Załóżmy np.,że f(x0−) = f(x0+) < f(x0) i połóżmy ε = 12(f(x0) − f(x0+)) > 0. Dobierzmy liczbęδ > 0 tak, żeby dla x ∈ (x0− δ, x0)∪ (x0, x0 + δ) zachodziła nierówność f(x) < f(x0)− ε.Stąd wynika, że koło w R2 o środku w punkcie (x0, f(x0)) i promieniu min{δ, ε} nie zawierainnych punktów wykresu funkcji f (lub f) za wyjątkiem środka (x0, f(x0)).

Załóżmy dalej, że x0 ∈ D1(f) ∩ (a, b). Wtedy f(x0−) 6= f(x0+). Niech np. będzie, żef(x0−) < f(x0+). Połóżmy ε = 13(f(x0+) − f(x0−)) > 0 i dobierzmy liczbę δ > 0 taką,żeby

f(x) < f(x0−) + ε dla x ∈ (x0 − δ, x0)

10

oraz

f(x) > f(x0+)− ε dla x ∈ (x0, x0 + δ) .

Stąd wynika, że koło o środku w punkcie (x0, f(x0)) i promieniu min{ε, δ} nie zawierainnych punktów wykresu funkcji f poza punktem (x0, f(x0)).

Ostatecznie widzimy, że zbiór tych wszystkich punktów wykresu funkcji f , które są

środkami kół wyżej opisanych, składa sie wyłącznie z punktów izolowanych. Z faktów

zawartych w niżej podanych zadaniach (zad. 1 i 2) łatwo wywnioskować, że zbiór ten jest

co najwyżej przeliczalny. Stąd wynika, że zbiór D(f) jest co najwyżej przeliczalny. �

Ważne twierdzenie, charakteryzujące funkcje regularne, udowodnił w 1933 roku Wa-

cław Sierpiński. Przytoczymy to twierdzenie bez dowodu (por. [1]).

Twierdzenie 1.11. Funkcja f należy do zbioru R([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy można

ją przedstawić w postaci złożenia f = g ◦ τ , gdzie τ : [a, b] → [c, d] jest funkcją ściślerosnącą, natomiast g ∈ C([a, b]).

Zauważmy na zakończenie tego rozdziału, że zbiór R([a, b]) ma strukturę przestrzeni

liniowej nad ciałem R.Pozostawiamy Czytelnika z problemem: CzyR([a, b]) jest domknietą podprzestrzenią prze-

strzeni B([a, b])? Inaczej: Czy R([a, b]) jest przestrzenią Banacha z normą (1.5)?

Zadania

1. Pokazać, że jeżeli funkcja f : [a, b] → R jest ściśle rosnąca na przedziale [a, b], tofunkcja odwrotna f−1 jest ciągła na zbiorze f([a, b]).

2. Pokazać, że funkcja f : R → R jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdyf−1([α, β]) jest przedziałem dla każdego przedziału [α, β] ⊂ R.Czy twierdzenie to jest prawdziwe w przypadku, gdy f : [a, b]→ R?

3. Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X z metryką d. Zbiór A nazywać

będziemy zbiorem izolowanym, jeżeli każdy punkt zbioru A jest punktem izolowanym

tego zbioru.

Pokazać, że zbiór wszystkich punktów izolowanych zbioru A jest zbiorem izolowa-

nym.

11

4. Niech X będzie przestrzenią metryczną ośrodkową. Pokazać, że każdy podzbiór A

przestrzeni X, który jest zbiorem izolowanym, jest co najwyżej przeliczalny.

5. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Pokazać, że jeżeli istnieje zbiór A (A ⊂X), który jest nieprzeliczalny oraz jeżeli istnieje liczba ε > 0 taka, że dla dowolnych

x, y ∈ A, x 6= y zachodzi, że d(x, y) ε, to przestrzeń X nie jest ośrodkowa.

6. Pokazać, że przestrzeń l∞ złożona ze wszystkich ciągów rzeczywistych ograniczo-

nych, z normą supremum, nie jest ośrodkowa.

7. Udowodnić Twierdzenie 1.11 (Sierpińskiego).

8. Niech f : [a, b] → R będzie zadaną funkcją ograniczoną. Rodzinę {In} (skończonąlub nie) nie zachodzących na siebie podprzedziałów przedziału [a, b] będziemy nazy-

wać f -uporządkowaną, jeżeli |f(In)| |f(In+1)| dla każdego n = 1, 2, ..., przy czymsymbol |A| (dla A będącego ograniczonym podzbiorem zbioru R) oznacza długośćzbioru A, tzn. |A| = supA − inf A. Pokazać, że jeżeli f jest funkcją regularną naprzedziale [a, b], to każdy ciąg nie zachodzących na siebie podprzedziałów przedziału

[a, b] można f -uporządkować.

Uwaga. Jeżeli U i V są podzbiorami przestrzeni metrycznej X, to mówimy, że zbiory U ,

V nie zachodzą na siebie, jeżeli Ů ∩V̊= ∅.

12

2. Wariacja funkcji w sensie Jordana

W rozdziale tym omówimy pojęcie wariacji funkcji w sensie klasycznym, które zostało

wprowadzone pod koniec XIX wieku przez znakomitego matematyka francuskiego Camile

Jordana (por. [1]). Warto w tym miejscu wspomnieć, że C. Jordan odkrył fundamentalną

własność funkcji o wariacji ograniczonej na przedziale, mówiącą, że taką funkcję można

przedstawić jako różnicę dwóch funkcji rosnących na tym przedziale.

W celu wprowadzenia pojęcia wariacji (wahania) funkcji załóżmy, że f jest funkcją

rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] (tzn. f : [a, b] → R), ograniczoną. Skończonyzbiór P = {t0, t1, t2, ..., tm} złożony z puntów przedziału [a, b] takich, że

a = t0 < t1 < · · · < tm−1 < tm = b

będziemy nazywać podziałem przedziału [a, b]. Występująca w tej definicji liczba m jest

dowolną liczbą naturalną, m 2.Zbiór wszystkich podziałów przedziału [a, b] oznaczać będziemy przez P([a, b]).Liczbę określoną równością

µ(P ) = max{tj − tj−1 : j = 1, 2, ...,m}

nazywać będziemy rozmiarem podziału P . Jeżeli

t1 − t0 = t2 − t1 = · · · = tm − tm−1

to podział P nazywamy równoodległym.

Definicja 2.1. Dla zadanej dowolnie funkcji f : [a, b]→ R, ograniczonej na [a, b] oraz dlazadanego podziału P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]), liczbę nieujemną Var(f, P ), określonąwzorem

Var(f, P ) = Var(f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| (2.1)

będziemy nazywać wariacją (w sensie Jordana) funkcji f na przedziale [a, b]

względem podziału P .

Natomiast wielkość (możliwie nieskończoną) Var(f), określoną równością

Var(f) = Var(f ; [a, b]) = sup{Var(f, P ; [a, b]) : P ∈ P([a, b])} (2.2)

będziemy nazywać wariacją całkowitą (Jordana) funkcji f na przedziale [a, b].

13

Zauważmy, że zamiast nazwy wariacja używa się też nazwy wahanie. Ponadto, w

miejsce nazwy wariacja całkowita będziemy używać terminu wariacja.

Definicja 2.2. Jeżeli Var(f ; [a, b])

(g) Wariacja (2.2) jest addytywna ze względu na przedziały, tzn.

Var(f ; [a, b]) = Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b])

dla a < c < b.

Dowód. Ustalmy dowolnie funkcje f, g : [a, b] → R oraz liczbę λ ∈ R. Weźmy podziałP = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]). Wtedy otrzymujemy:

Var(f + g, P ) =m∑j=1

|(f + g)(tj)− (f + g)(tj−1)|

=m∑j=1

|[f(tj)− f(tj−1)] + [g(tj)− g(tj−1)]|

¬m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|+m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|

= Var(f, P ) + Var(g, P ) ¬ Var(f) + Var(g) .

Stąd otrzymujemy

Var(f + g) ¬ Var(f) + Var(g) ,

co dowodzi nierówności z punktu (a).

Dla dowodu (b) napiszmy:

Var(λf, P ) =m∑j=1

|(λf)(tj)− (λf)(tj−1)|

= |λ|m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| = |λ|Var(f, P ) .

Stąd i z własności kresu górnego otrzymujemy równość z punktu (b).

Żeby udowodnić (c) wystarczy wziąć podział {x, y} ∈ P([x, y]).Wtedy mamy

|f(x)− f(y)| = Var(f, P ; [x, y]) ¬ Var(f ; [x, y])

i otrzymujemy żądaną nierówność.

Dalej, zakładając, że a < x < b i biorąc podział Px = {a, x, b} ∈ P([a, b]), otrzymujemy

|f(x)− f(a)| ¬ |f(b)− f(x)|+ |f(x)− f(a)| = Var(f, Px; [a, b]) .

15

Stąd dostajemy

|f(x)| − |f(a)| ¬ ||f(x)| − |f(a)|| ¬ |f(x)− f(a)| ¬ Var(f ; [a, b])

i dalej mamy

|f(x)| ¬ |f(a)|+ Var(f ; [a, b]) (2.3)

dla dowolnego x ∈ (a, b). Powyższa nierówność jest również w sposób trywialny prawdziwadla x = a.

Biorąc dalej w nierówności z punktu (c) x = a, y = b, otrzymujemy:

|f(b)| − |f(a)| ¬ ||f(b)| − |f(a)|| ¬ |f(b)− f(a)|

= |f(a)− f(b)| ¬ Var(f ; [a, b])

Stąd

|f(b)| ¬ |f(a)|+ Var(f ; [a, b]) .

Łącząc powyższą nierówność z nierównością (2.3) wnioskujemy o prawdziwości nierówności

z (d).

Załóżmy teraz, że f : [a, b]→ R jest funkcją monotoniczną na [a, b]. Rozważmy przy-padek, gdy f jest rosnąca. Wtedy, dla dowolnie ustalonego podziału P = {t0, t1, ..., tm} ∈P([a, b]) otrzymujemy:

Var(f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| =m∑j=1

[f(tj)− f(tj−1)]

= f(b)− f(a) = |f(b)− f(a)| .

Stąd wnioskujemy, że

Var(f ; [a, b]) = |f(b)− f(a)| .

Dowód w przypadku, gdy f jest malejąca, przebiega podobnie. Dowodzi to punktu (e).

Dla dowodu (f) załóżmy, że P = {t0, t1, ...tm} ∈ P([a, b]). Niech Q ∈ P([a, b]) będzietakim podziałem, że P ⊂ Q. Załóżmy najpierw, że podział Q powstaje z podziału P przezdołączenie jednego punktu c. Wtedy istnieje i ∈ {1, 2, ...,m} takie, że ti−1 < c < ti. Dalejmamy:

Var(f, P ) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

16

=i−1∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|+ |f(ti)− f(ti−1)|+m∑

j=i+1

|f(tj)− f(tj−1)|

¬i−1∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|+ |f(ti)− f(c)|+ |f(c)− f(ti−1)|

+m∑

j=i+1

|f(tj)− f(tj−1)| = Var(f ;Q) .

Teraz, stosując zasadę indukcji matematycznej łatwo dowodzimy nierówności z punktu

(f) dla dowolnego skończonego podziału Q takiego, że P ⊂ Q.Dla dowodu (g) weźmy dowolny podział P = {t0, t1, t2, ..., tm} ∈ P([a, b]). Jeżeli ist-

nieje takie j ∈ {1, 2, ...,m−1}, że tj = c, to wtedy mamy, że P1 = {t0, t1, ..., tj} ∈ P([a, c])oraz Q1 = {tj, tj+1, ..., tm} ∈ P([c, b]). Zatem:

m∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)| =j∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|+m∑

i=j+1

|f(ti)− f(ti−1)|

¬ Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b]) (2.4)

Jeżeli natomiast tak nie jest, to istnieje j ∈ {0, 1, 2, ...,m− 1} takie, że

tj < c < tj+1 .

Wtedy mamy:

P ∪ {c} = {t0, t1, ..., tj−1, tj, c, tj+1, ..., tm} ∈ P([a, b]) .

Dalej, dostajemy:

m∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)| =j∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|+m∑

i=j+1

|f(ti)− f(ti−1)|

=j∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|+ |f(tj+1 − f(tj))|+m∑

i=j+2

|f(ti)− f(ti−1)|

¬j∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|+ |f(tj+1 − f(c))|+ |f(c)− f(tj)|+m∑

i=j+2

|f(ti)− f(ti−1)|

j∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|+ |f(c)− f(tj)|

+|f(tj+1)− f(c)|+

m∑i=j+2

|f(ti)− f(ti−1)|

¬ Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b]) . (2.5)

17

Z (2.4) i (2.5) otrzymujemy, że

Var(f ; [a, b]) ¬ Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b]) . (2.6)

Dla dowodu nierówności przeciwnej do nierówności (2.6) ustalmy dowolne ε >

0 i dobierzmy takie podziały P1 = {t0, t1, ..., tn−1, tn} ∈ P([a, c]) oraz Q1 ={tn, tn+1, ..., tm−1, tm} ∈ P([c, b]), że

Var(f ; [a, c])− ε2¬

n∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)| ,

Var(f ; [c, b])− ε2¬

m∑i=n+1

|f(ti)− f(ti−1)| .

Mamy oczywiście, że t0 = a, tn = c, tm = b.

Zauważmy, że wtedy P = P1 ∪Q1 ∈ P([a, b]) i stąd otrzymujemy:

Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b])− ε ¬m∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|

= Var(f, P ; [a, b]) .

Z powyższej nierówności dostajemy:

Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b])− ε ¬ Var(f ; [a, b]) .

Ze względu na dowolność ε otrzymujemy stąd nierówność:

Var(f ; [a, c]) + Var(f ; [c, b]) ¬ Var(f ; [a, b]) . (2.7)

Łacząc teraz (2.6) i (2.7) otrzymujemy tezę twierdzenia. �

Wniosek 2.4. Funkcja x→ Var(f ; [a, x]) jest rosnąca na przedziale [a, b].

Rzeczywiście, biorąc x, y ∈ [a, b] takie, że x < y i korzystając z Twierdzenia 2.3(g),mamy

Var(f ; [a, y]) = Var(f ; [a, x]) + Var(f ; [x, y])

Var(f ; [a, x]) .

�

18

Rozważmy teraz zbiór BV ([a, b]) złożony ze wszystkich funkcji o wariacji ograniczonej

na [a, b]. Oczywiście mamy, że

BV ([a, b]) ⊂ R[a,b] .

Zauważmy, że z naszego twierdzenia wynika, że suma dwóch funkcji o wariacji ograni-

czonej na [a, b] jest funkcją o wariacji ogarniczonej na [a, b] oraz iloczyn funkcji f o wariacji

ograniczonej na [a, b] przez liczbę rzeczywistą jest również funkcją o wariacji ograniczonej

na [a, b]. Stąd wynika, że zbiór BV ([a, b]) z działaniami dodawania funkcji i ich mnożenia

przez liczby rzeczywiste tworzy podprzestrzeń przestrzeni liniowej R[a,b] (z tymi samymidziałaniami), więc ma strukturę przestrzeni liniowej.

Można jednak udowodnić coś więcej, bowiem mamy twierdzenie:

Twierdzenie 2.5. Niech f, g ∈ BV ([a, b]). Wtedy:

(i) f · g ∈ BV ([a, b])

(ii) Jeżeli istnieje stała σ > 0 taka, że ∀x∈[a,b]|g(x)| σ, to fg ∈ BV ([a, b]).

Dowód (i). Ustalmy dowolny podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]). Z punktu (d) po-przedniego twierdzenia wynika, że f, g są funkcjami ograniczonymi na [a, b]. Zatem istnieją

stałe M1 > 0, M2 > 0 takie, że |f(x)| ¬M1, |g(x)| ¬M2 dla x ∈ [a, b].Mamy dalej:

m∑i=1

|(fg)(ti)− (fg)(ti−1)| =m∑i=1

|f(ti)g(ti)− f(ti−1)g(ti−1)|

=m∑i=1

|f(ti)g(ti)− f(ti)g(ti−1) + f(ti)g(ti−1)− f(ti−1)g(ti−1)|

¬m∑i=1

[|f(ti)||g(ti)− g(ti−1)|+ |g(ti−1)||f(ti)− f(ti−1)|]

¬m∑i=1

|f(ti)||g(ti)− g(ti−1)|+m∑i=1

|g(ti−1)||f(ti)− f(ti−1)|

¬M1m∑i=1

|g(ti)− g(ti−1)|+M2m∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|

¬M1Var(g; [a, b]) +M2Var(f, [a, b]) .

19

Stąd

Var(fg; [a, b]) ¬M1Var(g; [a, b]) +M2Var(f ; [a, b])

Rozważmy funkcję Vf : [a, b]→ R określoną równością

Vf (x) = Var(f ; [a, x]) .

Z Wniosku 2.4 wynika, że funkcja Vf jest rosnąca na przedziale [a, b]. Połóżmy pf = Vf a

następnie zdefiniujmy funkcję nf : [a, b]→ R, kładąc

nf (x) = pf (x)− f(x)

dla x ∈ [a, b].Pokażemy, że funkcja nf jest rosnąca na przedziale [a, b]. W tym celu ustalmy dowolne

x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Wtedy mamy

nf (y)− nf (x) = pf (y)− f(y)− pf (x) + f(x)

= Vf (y)− Vf (x)− f(y) + f(x)

= Var(f ; [a, y])− Var(f ; [a, x])− [f(y)− f(x)] .

Stąd i z Twierdzenia 2.3(g) dostajemy:

nf (y)− nf (x) = Var(f ; [x, y])− [f(y)− f(x)] .

Z powyższej równości oraz z Twierdzenia 2.3(c) otrzymujemy:

nf (y)− nf (x) Var(f ; [x, y])− |f(y)− f(x)| 0 .

Oznacza to, że funkcja nf jest rosnąca na przedziale [a, b] i tym samym kończy dowód

naszego twierdzenia. �

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia możemy otrzymać następujący wniosek.

Wniosek 2.7. Przestrzeń BV ([a, b]) jest przestrzenią rozpiętą na zbiorze M[a,b] złożonym

ze wszystkich funkcji monotonicznych na przedziale [a, b].

Twierdzenie Jordana pozwala również wyciągnąć inny, bardzo ważny wniosek. W celu

sformułowania tego wniosku przypomnijmy najpierw, że każda funkcja monotoniczna na

przedziale [a, b] ma tylko nieciągłości I-tego rodzaju (skoki), więc zgodnie z Definicją

1.9 jest funkcją regularną na tym przedziale. Zatem zbiór M[a,b] funkcji monotonicznych

21

na [a, b] jest podzbiorem przestrzeni funkcji regularnych R([a, b]). Stąd i z Wniosku 2.7otrzymujemy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.8. Przestrzeń BV ([a, b]) jest podprzestrzenią przestrzeni R([a, b]).

Innymi słowy, każda funkcja o wariacji ograniczonej na przedziale [a, b] jest funkcją

regularną na tym przedziale.

Przypomnijmy, że podane ostatnio twierdzenie Jordana mówiło, że jeżeli f : [a, b]→ Rto f ∈ BV ([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy f może być przedstawione w postaci f(x) =pf (x)− nf (x), gdzie pf i nf są funkcjami rosnącymi na przedziale [a, b].

Dowód twierdzenia polegał na tym, że określaliśmy funkcję Vf : [a, b]→ R przyjmując,że

Vf (x) = Var(f ; [a, x]) (2.8)

dla dowolnego x ∈ [a, b]. Następnie przyjmowaliśmy, że

pf (x) = Vf (x) (2.9)

oraz

nf (x) = Vf (x)− f(x) (2.10)

dla x ∈ [a, b]. O funkcjach pf oraz nf pokazywaliśmy, że są to funkcje rosnące na przedziale[a, b]. Oczywiście mamy, że

f(x) = pf (x)− nf (x)

dla x ∈ [a, b].Okazuje się, że rozkład funkcji f o wahaniu ograniczonym na przedziale [a, b] na różnicę

dwóch funkcji rosnących na tym przedziale (tzn. rozkład Jordana) nie jest jednoznaczny.

Co więcej, można ten rozkład zrobić tak, że jest on z pewnego punktu widzenia najlepszy.

Rzeczywiście, załóżmy, że f ∈ BV ([a, b]). Określmy funkcje ϕ, ψ : [a, b]→ R przyjmując:

ϕ(x) =12

[Vf (x) + f(x)] (2.11)

ψ(x) =12

[Vf (x)− f(x)] . (2.12)

Wtedy zachodzi twierdzenie.

Twierdzenie 2.9. Funkcje ϕ i ψ są funkcjami rosnącymi na przedziale [a, b] oraz

f(x) = ϕ(x)− ψ(y)

22

dla x ∈ [a, b]. Ponadto, funkcje ϕ i ψ są możliwie najsłabiej rosnące na przedziale [a, b] wtym sensie, że jeżeli f jest przedstawiona w postaci

f(x) = ϕ(x)− ψ(x) (2.13)

dla x ∈ [a, b], gdzie ϕ i ψ są rosnące na [a, b], to

ϕ(y)− ϕ(x) ¬ ϕ(y)− ϕ(x) , (2.14)

ψ(y)− ψ(x) ¬ ψ(y)− ψ(x) (2.15)

dla wszystkich x, y ∈ [a, b], x < y.Oprócz tego, ma miejsce równość

Var(f ; [x, y]) = Var(ϕ; [x, y]) + Var(ψ; [x, y])

dla dowolnych x, y ∈ [a, b], x < y.

Dowód. Ustalmy dowolnie x, y ∈ [a, b], x < y. Korzystając z nierówności udowodnionejw Twierdzeniu 2.3(c), otrzymujemy

f(x)− f(y) ¬ |f(x)− f(y)| ¬ Var(f ; [x, y]) . (2.16)

Mamy teraz:

ϕ(y)− ϕ(x) = 12

[Vf (y) + f(y)]−12

[Vf (x) + f(x)]

=12

[Vf (y)− Vf (x) + f(y)− f(x)]

=12

[Var(f ; [a, y])− Var(f ; [a, x]) + f(y)− f(x)]

=12

[Var(f ; [a, x] ∪ [x, y])− Var(f ; [a, x]) + f(y)− f(x)]

=12

[Var(f ; [a, x]) + Var(f ; [x, y])− Var(f ; [a, x]) + f(y)− f(x)]

=12

[Var(f ; [x, y]) + f(y)− f(x)] 0 , (2.17)

przy czym ostatnia nierówność wynika z (2.16).

Podobnie, otrzymujemy teraz z (2.12):

ψ(y)− ψ(x) = 12

[Vf (y)− f(y)]−12

[Vf (x)− f(x)]

23

=12

[Var(f ; [x, y])− (f(y)− f(x))] 0 , (2.18)

przy czym ta nierówność również wynika z (2.16).

Nierówności (2.17) i (2.18) dowodzą, że funkcje ϕ, ψ są rosnące na przedziale [x, y].

Oczywiście, jak łatwo sprowadzić bezpośrednim rachunkiem, zachodzi równość f(x) =

ϕ(x)− ψ(x) dla x ∈ [a, b], co dowodzi pierwszej części naszego twierdzenia.Dla dowodu drugiej części załóżmy, że ma miejsce przedstawienie (2.13), gdzie

ϕ, ψ : [a, b] → R są funkcjami rosnącymi na [a, b]. Dalej, weźmy dowolne x, y ∈ [a, b],x < y. Wtedy mamy, na podstawie (2.17), (2.13), (2.11) oraz własności wahania funkcji:

ϕ(y)− ϕ(x) = 12

[Var(f ; [x, y]) + f(y)− f(x)]

=12

{Var(f ; [x, y]) + [ϕ(y)− ψ(y)]− [ϕ(x)− ψ(x)]

}=

12

{Var(ϕ− ψ; [x, y]) + [ϕ(y)− ϕ(x)]− [ψ(y)− ψ(x)]

}¬ 1

2

{Var(ϕ; [x, y]) + Var(ψ; [x, y]) + [ϕ(y)− ϕ(x)]− [ψ(y)− ψ(x)]

}=

12

{[ϕ(y)− ϕ(x)] + [ψ(y)− ψ(x)] + [ϕ(y)− ϕ(x)]− [ψ(y)− ψ(x)]

}= ϕ(y)− ϕ(x) .

Dowodzi to nierówności (2.14).

Dowód nierówności (2.15) prowadzimy podobnie. Mamy, z (2.18), (2.13), (2.12) oraz z

własności wahania funkcji:

ψ(y)− ψ(x) = 12{Var(f ; [x, y])− (f(y)− f(x))}

=12

{Var(f ; [x, y])−

{[ϕ(y)− ψ(y)]− [ϕ(x)− ψ(x)]

}}=

12

{Var(ϕ− ψ; [x, y])−

{[ϕ(y)− ϕ(x)]− [ψ(y)− ψ(x)]

}}=

12

{Var(ϕ− ψ; [x, y])− [ϕ(y)− ϕ(x)] + [ψ(y)− ψ(x)]

}¬ 1

2

{Var(ϕ; [x, y]) + Var(ψ; [x, y])− [ϕ(y)− ϕ(x)] + [ψ(y)− ψ(x)]

}=

12

{[ϕ(y)− ϕ(x)] + [ψ(y)− ψ(x)]− [ϕ(y)− ϕ(x)] + [ψ(y)− ψ(x)]

}= ψ(y)− ψ(x) .

24

Zauważmy dalej, że z (2.17) i (2.18) otrzymujemy dla x, y ∈ [a, b] takich, że x < y:

(ϕ(y)− ϕ(x)) + (ψ(y)− ψ(x)) =

=12{Var(f ; [x, y]) + [f(y)− f(x)] + Var(f ; [x, y])− [f(y)− f(x)]}

= Var(f ; [x, y]) .

Stąd i z własności wahania, dostajemy ostatecznie

Var(f ; [x, y]) = Var(ϕ; [x, y]) + Var(ψ; [x, y])

i koniec dowodu. �

Jako bezpośrednią konsekwencję twierdzenia Jordana otrzymujemy następujący wnio-

sek, który sformułujemy tutaj jako twierdzenie.

Twierdzenie 2.10. Jeżeli f ∈ BV ([a, b]), to f ma co najwyżej przeliczalną ilość punktównieciągłości.

Funkcja Vf (x) = Var(f ; [a, x]) używana w dowodach ostatnich twierdzeń, ma wiele

interesujących własności i jest ściśle związana z funkcją f . Prześledzimy to w naszych

dalszych rozważaniach i twierdzeniach.

Rozpoczniemy od następującego prostego twierdzenia, zwanego zasadą majoranty.

Twierdzenie 2.11. Niech f : [a, b]→ R. Funkcja f ma wahanie ograniczone na przedziale[a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g : [a, b]→ R, która jest rosnąca na przedziale[a, b] i taka, że

|f(y)− f(x)| ¬ g(y)− g(x) (2.19)

dla dowolnych x, y ∈ [a, b], x < y.

Dowód. Załóżmy najpierw, że istnieje funkcja g o żądanych własnościach. Wtedy, z

nierówności (2.19), dla dowolnego podziału P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]) mamy:

Var(f, P ; [a, b]) =m∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)| ¬m∑i=1

[g(ti)− g(ti−1)]

= g(b)− g(a) .

25

Stąd, wobec dowolności podziału P , otrzymujemy:

Var(f ; [a, b]) ¬ g(b)− g(a)

= Var(f ; [x0, b])− Var(f ; [x, b]) < Var(f, P ; [x0, b]) + ε− Var(f ; [x, b]) .

Ale δ < t1 − x0, x − x0 < δ ⇒ x − x0 < t1 − x0 ⇒ x < t1 więc x0 < x < t1. Stąd i zpowyższego oszacowania dostajemy:

Vf (x)− Vf (x0) < |f(x)− f(x0)|+ |f(t1)− f(x)|+m∑j=2

|f(tj)− f(tj−1)|

− Var(f ; [x, b]) + ε ¬ |f(x)− f(x0)|+ ε < 2ε ,

ponieważ Var(f ; [x, b]) |f(t1)− f(x)|+m∑j=2|f(tj)− f(tj−1)| .

Z ostatniej nierówności wynika, że funkcja Vf jest ciągła prawostronnie w punkcie x0. W

podobny sposób pokazujemy, że Vf jest ciągła z lewej strony w punkcie x0, co ostatecznie

dowodzi ciągłości funkcji Vf w punkcie x0 (włączając przypadki x0 = a i x0 = b).

Na odwrót, załóżmy, że Vf jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b]. Wtedy, dla x x0 mamy:

|f(x)− f(x0)| ¬ Var(f ; [x0, x]) = Var(f ; [a, x])−

− Var(f ; [a, x0]) = Vf (x)− Vf (x0)→ 0

przy x→ x0+.Natomiast, dla x ¬ x0 otrzymujemy

|f(x)− f(x0)| ¬ Var(f ; [x, x0]) = Var(f ; [a, x0])−

− Var(f ; [a, x]) = Vf (x0)− Vf (x)→ 0

przy x→ x0−.W konkluzji dostajemy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i koniec dowodu. �

Zauważmy teraz, że rozkład Jordana funkcji f ∈ BV ([a, b]) na różnicę dwóch funkcjirosnących na przedziale [a, b] pozwala nie tylko uzyskać informacje o tym, że funkcja f

ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości. Tych konsekwencji jest więcej.

Np. z analizy matematycznej wiadomo, że funkcja monotoniczna na przedziale [a, b] jest

na tym przedziale całkowalna w sensie Riemanna. Stąd i z twierdzenia Jordana wynika

następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.13. Jeżeli f ∈ BV ([a, b]) to f jest całkowalna w sensie Riemanna naprzedziale [a, b].

27

Mimo, że funkcja o wariacji ograniczonej na przedziale ma na tym przedziale co naj-

wyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości, to implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Mało tego, istnieją funkcje ciągłe, które mają wariację nieograniczoną.

Przykład 2.14. Niech f : [0, 1]→ R będzie określona wzorem

f(x) =

x sin1x

dla x ∈ (0, 1]0 dla x = 0 .

Oczywiście f(0) = 0 oraz limx→0

f(x) = limx→0

x sin 1x

= 0, a więc funkcja f jest ciągła w

punkcie x = 0. Ciągłość funkcji f na przedziale (0, 1] jest konsekwencją twierdzeń o

ciągłości funkcji złożonej i o ciągłości iloczynu funkcji ciągłych. Zatem f jest ciągła na

przedziale [0, 1]. Pokażemy, że f /∈ BV ([0, 1]).W tym celu weźmy podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([0, 1]) taki, że

t0 = 0, tk =2

[2m− (2k − 1)]πdla k = 1, 2, ...,m− 1 oraz tm = 1 .

I tak, mamy na przykład:

t1 =2

(2m− 1)π, t2 =

2(2m− 3)π

, t3 =2

(2m− 5)π, ...

... , tm−2 =2

{2m− [2(m− 2)− 1]}π=

2[2m− (2m− 5)]π

=2

5π,

tm−1 =2

{2m− [2(m− 1)− 1]}π=

2[2m− (2m− 3)]π

=2

3π.

Ustalmy teraz j, 2 ¬ j ¬ m− 1. Wtedy kolejne punkty tj−1, tj naszego podziału są takie,że

1tj− 1tj−1

=[2m− (2j − 1)]π − {2m− [2(j − 1)− 1]}π

2

=(2m− 2j + 1)π − (2m− 2j + 3)π

2=−2π

2= −π

więc funkcja x→ sin 1x

przyjmuje w tych punktach na przemian wartości 1 i −1. Rzeczy-wiście mamy:

sin1tj

= sin[(2m− 2j + 1)π

2

]= sin(2p+ 1)

π

2= sin

(π

2+ pπ

).

Dalej mamy:

|f(tj)− f(tj−1)| =∣∣∣∣∣tj sin 1tj − tj−1 sin 1tj−1

∣∣∣∣∣ = |tj + tj−1|28

2tj−1 .

Zatem:

Var(f, P ; [0, 1]) m−1∑j=2

|f(tj)− f(tj−1)|

2(t1 + t2 + ...+ tm−2) = 2(

25π

+2

7π+ · · ·+ 2

(2m− 1)π

)

=4π

(15

+17

+ · · ·+ 12m− 1

)Z faktu, że szereg harmoniczny jest rozbieżny wynika, że

Var(f ; [0, 1]) =∞ .

Następne twierdzenie, które podamy, mówić będzie o możliwości przechodzenia do

granicy przy zbieżności punktowej ciągu funkcji o wariacji ograniczonej.

Twierdzenie 2.15. Niech (fn) będzie ciągiem funkcyjnym takim, że fn ∈ BV ([a, b]) dlakażdego n = 1, 2, ... . O ciągu tym zakładamy, że jest punktowo zbieżny do pewnej funkcji

f , tzn. istnieje funkcja f : [a, b]→ R taka, że f(x) = limn→∞

fn(x) dla dowolnego x ∈ [a, b].Wtedy

Var(f ; [a, b]) ¬ lim infn→∞

Var(fn; [a, b]) . (2.21)

W szczególności, jeżeli (fn) jest ciągiem funkcji rzeczywistych, określonych na przedziale

[a, b], o wariacjach wspólnie ograniczonych na [a, b], zbieżnym punktowo do pewnej funkcji

f : [a, b]→ R, to f ∈ BV ([a, b]).

Dowód. Jeżeli wielkość po prawej stronie nierówności (2.21) jest równa +∞, to oczywiścienierówność (2.21) jest spełniona. Przypuśćmy więc, że tak nie jest, tzn. istnieje stała L > 0

taka, że

lim infn→∞

Var(fn; [a, b]) = L .

Ustalmy dalej dowolnie liczbę ε > 0.

Wtedy, biorąc pod uwagę definicję granicy dolnej ciągu liczbowego wnioskujemy, że istnieje

podciąg (fkn) ciągu (fn) taki, że

Var(fkn ; [a, b]) ¬ L+ ε

dla n = 1, 2, ... .

29

Ustalmy teraz dowolny podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]). Wtedy dostajemy:

Var(fkn , P ; [a, b]) =m∑j=1

|fkn(tj)− fkn(tj−1)| ¬ L+ ε .

Przechodząc teraz z n→∞ otrzymujemy stąd

Var(f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| ¬ L+ ε .

Ponieważ ta nierówność zachodzi dla każdego podziału P ∈ P([a, b]), więc stąd wynika,że

Var(f ; [a, b]) ¬ L+ ε .

Stąd, ze względu na dowolność liczby ε otrzymujemy, że

Var(f ; [a, b]) ¬ L ,

co dowodzi nierówności (2.21).

Druga część twierdzenia jest bezpośrednią konsekwencją pierwszej części. �

Jak już wcześniej zauważyliśmy, zbiór BV ([a, b]) tworzy przestrzeń liniową nad ciałem

liczb rzeczywistych R.Teraz, dla dowolnie zadanej funkcji f ∈ BV ([a, b]) połóżmy:

||f ||BV = |f(a)|+ Var(f ; [a, b]) . (2.22)

Mamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.16. Wielkość || · ||BV zadana wzorem (2.22) jest normą w przestrzeniBV ([a, b]). Norma ta jest zupełna, tzn. przestrzeń BV ([a, b]) z tą normą jest przestrzenią

Banacha.

Dowód. Z definicji wielkości || · ||BV widzimy, że w przestrzeni BV ([a, b]) przyjmuje onawartości rzeczywiste nieujemne.

Warunek ||f ||BV = 0⇔ f ≡ 0 na [a, b] jest łatwy do sprawdzenia i jest on konsekwencjąfaktu, że jeżeli Var(f ; [a, b]) = 0 to funkcja f jest stała na przedziale [a, b].

Warunek ||λf ||BV = |λ|||f ||BV wynika z dodatniej jednorodności wariacji funkcji. Nato-miast warunek trójkąta dla || · ||BV jest prostą kosekwencją podaddytywności wariacji zewzględu na funkcje.

30

Zatem wielkość ||·||BV spełnia warunki normy w przestrzeni liniowej BV ([a, b]). Pokażemyteraz, że ta norma jest zupełna.

W tym celu załóżmy, że (fn) jest ciągiem funkcyjnym z BV ([a, b]) spełniającym wa-

runek Cauchy’ego względem normy || · ||BV . Oznacza to, że dla ustalonego dowolnie ε > 0znajdziemy liczbę naturalną n0 taką, że dla m,n ∈ N, m,n n0 mamy, że

||fn − fm||BV = |fn(a)− fm(a)|+ Var(fn − fm; [a, b]) ¬ε

2. (2.23)

Z powyższej nierówności wynika w szczególności, że

|fn(a)− fm(a)| ¬ε

2(2.24)

dla n,m n0, a to oznacza, że ciąg liczbowy (fn(a)) jest ciągiem Cauchy’ego. Zatem tenciąg jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej, którą oznaczymy przez f(a).

Biorąc teraz m→∞ w nierówności (2.24) i korzystając z ciągłości bezwzględnej wartości,otrzymujemy

|fn(a)− f(a)| ¬ε

2(2.25)

dla n ∈ N, n n0.Dalej, z nierówności (2.23), dla n,m ∈ N, n,m n0 otrzymujemy:

Var(fn − fm; [a, b]) ¬ε

2. (2.26)

Ustalmy dalej dowolnie x ∈ (a, b]. Wtedy, z (2.26) i z własności wariacji wnioskujemy, że

Var(fn − fm; [a, x]) ¬ε

2.

Zatem, biorąc podział {a, x} przedziału [a, x], z powyższej nierówności otrzymujemy:

|fn(x)− fm(x)| − |fn(a)− fm(a)|

¬ |[fn(x)− fm(x)]− [fn(a)− fm(a)]|

= Var(fn − fm, {a, x}; [a, x])

¬ Var(fn − fm; [a, x]) ¬ε

2.

Stąd otrzymujemy, że

|fn(x)− fm(x)| ¬ |fn(a)− fm(a)|+ε

2¬ ε (2.27)

31

dla x ∈ [a, b].Nierówność (2.27) implikuje, że dla każdego x ∈ [a, b] ciąg liczbowy (fn(x)) jest ciągiemCauchy’ego, więc ten ciąg jest zbieżny do liczby, którą oznaczymy przez f(x).

Mamy zatem określoną funkcję f : [a, b]→ R taką, że ciąg (fn) jest punktowo zbieżny dotej funkcji.

Pokażemy teraz, że ciąg (fn) jest zbieżny do funkcji f w sensie normy (2.22).

W tym celu odnotujmy najpierw, że ciąg (fn) jest ograniczony w normie || · ||BV , jakociąg Cauchy’ego tzn. istnieje stała M > 0 taka, że

||fn||BV ¬M

dla n ∈ N. Stąd w szczególności otrzymujemy, że

Var(fn; [a, b]) ¬M

dla wszystkich n ∈ N. Zatem wariacje Var(fn; [a, b]) są wspólnie ograniczone, co napodstawie Twierdzenia 2.15 pozwala wywnioskować, że f ∈ BV ([a, b]).Dalej zauważmy, że z (2.26), po przejściu z m → ∞, na podstawie Twierdzenia 2.15otrzymujemy

Var(fn − f ; [a, b]) ¬ lim infm→∞

Var(fn − fm; [a, b]) ¬ε

2dla n n0. Stąd i z (2.25) wynika, że

||fn − f ||BV ¬ ε

a to oznacza, że ciąg funkcyjny (fn) jest zbieżny w przestrzeni BV ([a, b]) do funkcji f i

kończy dowód. �

Jak to wcześniej zauważyliśmy omawiając własności funkcji o wariacji ograniczonej,

iloczyn dwóch funkcji o wariacji ograniczonej jest funkcją o wariacji ograniczonej.

Oznacza to, że przestrzeń liniowa (Banacha) BV ([a, b]) z działaniem mnożenia funkcji

ma algebraiczną strukturę algebry Banacha (tzn. określone jest mnożenie jako operacja

wewnętrzna, asocjatywna i mająca dodatkowo jedynkę - funkcja tożsamościowo równa 1

na przedziale [a, b] - oraz operacja ta jest przemienna). Zatem BV ([a, b]) (z operacjami

dodawania funkcji, ich mnożenia przez liczby rzeczywiste oraz z operacją mnożenia) jest

przemienną algebrą z jednością.

Ogólnie przyjmujemy następującą definicję.

32

Definicja 2.17. Niech V będzie algebrą nad ciałem K (K = R lub K = C), którajest dodatkowo przestrzenią Banacha z normą || · || określoną na V . Algebrę V będziemynazywać algebrą Banacha, jeżeli istnieje c > 0 takie, że

||x · y|| ¬ c||x|| · ||y|| (2.28)

dla dowolnych x, y ∈ V .Jeżeli w nierówności (2.28) można przyjąć c = 1, tzn. jeżeli dla dowolnych x, y ∈ Vzachodzi nierówność:

||xy|| ¬ ||x|| · ||y|| ,

to algebrę V nazywamy znormalizowaną algebrą Banacha.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.18. Algebra BV ([a, b]) z normą określoną wzorem (2.22), tzn. z normą

określoną dla dowolnej funkcji f ∈ BV ([a, b]) wzorem

||f ||BV = |f(a)|+ Var(f ; [a, b])

jest algebrą Banacha. Ponadto, dla dowolnych funkcji f, g ∈ BV ([a, b]) ma miejsce nie-równość:

Var(fg; [a, b]) ¬ ||f ||∞Var(g; [a, b]) + ||g||∞Var(f ; [a, b]) , (2.29)

gdzie symbol || · ||∞ oznacza normę w przestrzeni B([a, b]), określoną wzorem:

||f ||∞ = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]} .

Dowód. W dowodzie będziemy korzystać z faktu, że każda funkcja o wariacji ograniczonej

na przedziale [a, b] jest ograniczona na tym przedziale.

Weźmy dalej dowolnie ustalone funkcje f, g ∈ BV ([a, b]). Następnie ustalmy dowolnypodział a = t0 < t1 < t2 < ... < tm = b, tzn. podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]).Wtedy mamy:

Var(fg, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)g(tj)− f(tj−1)g(tj−1)|

=m∑j=1

|f(tj)g(tj)− f(tj)g(tj−1) + f(tj)g(tj−1)− f(tj−1)g(tj−1)|

33

¬m∑j=1

{|f(tj)||g(tj)− g(tj−1)|+ |g(tj−1)||f(tj)− f(tj−1)|}

¬m∑j=1

{||f ||∞|g(tj)− g(tj−1)|+ ||g||∞|f(tj)− f(tj−1)|}

= ||f ||∞m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|+ ||g||∞m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

= ||f ||∞Var(g, P ; [a, b]) + ||g||∞Var(f, P ; [a, b])

¬ ||f ||∞Var(g; [a, b]) + ||g||∞Var(f ; [a, b]) .

Stąd otrzymujemy nierówność (2.29), co kończy dowód. �

W dalszym ciągu, dla dowolnej funkcji f ∈ BV ([a, b]) połóżmy

||f ||1BV = ||f ||∞ + Var(f ; [a, b]) . (2.30)

Wtedy, możemy sformułować następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.19. Wielkość || · ||1BV określona wzorem (2.30) jest normą w przestrzeniBV ([a, b]) równoważną normie || · ||BV .

Dowód. Fakt, że || · ||1BV spełnia warunki normy w przestrzeni BV ([a, b]) dowodzi sięłatwo wykorzystując własności wariacji funkcji wykazane w Twierdzeniu 2.3 oraz to, że

|| · ||∞ jest normą w przestrzeni B([a, b]).Ustalmy teraz dowolną funkcję f ∈ BV ([a, b]). Wtedy dostajemy

||f ||BV = |f(a)|+ Var(f ; [a, b]) ¬ ||f ||∞ + Var(f ; [a, b])

= ||f ||1BV . (2.31)

Z drugiej strony, korzystając z nierówności udowodnionej w Twierdzeniu 2.3(d), otrzymu-

jemy

||f ||1BV = ||f ||∞ + Var(f ; [a, b])

¬ |f(a)|+ Var(f ; [a, b]) + Var(f ; [a, b])

= |f(a)|+ 2Var(f ; [a, b]) ¬ 2|f(a)|+ 2Var(f ; [a, b])

= 2||f ||BV . (2.32)

34

Ostatecznie, z (2.31) i (2.32) wnioskujemy, że mają miejsce nierówności

12||f ||1BV ¬ ||f ||BV ¬ ||f ||1BV . (2.33)

Powyższa nierówność oznacza, że norma || · ||1BV jest równoważna normie || · ||BV i kończydowód. �

Wniosek 2.20. Przestrzeń BV ([a, b]) z normą || · ||BV tworzy algebrę Banacha taką, że

||fg||BV ¬ 4||f ||BV ||g||BV (2.34)

dla dowolnych f, g ∈ BV ([a, b]). Ponadto, BV ([a, b]) z normą || · ||1BV tworzy znormalizo-waną algebrę Banacha.

Dowód. Zauważmy, że z faktu orzekającego, że BV ([a, b]) jest przestrzenią Banacha z

normą || · ||BV (por. Twierdzenie 2.16) oraz z Twierdzenia 2.19 wynika, że norma || · ||1BVjest zupełna w przestrzeni BV ([a, b]). Dalej, dla f, g ∈ BV ([a, b]), korzystając z (2.29),otrzymujemy:

||fg||1BV = ||fg||∞ + Var(fg; [a, b])

¬ ||f ||∞ · ||g||∞ + ||f ||∞Var(g; [a, b]) + ||g||∞Var(f ; [a, b])

¬ ||f ||∞ · ||g||∞ + ||f ||∞Var(g; [a, b]) + ||g||∞Var(f ; [a, b])

+ Var(f ; [a, b]) · Var(g; [a, b])

= (||f ||∞ + Var(f ; [a, b]))(||g||∞ + Var(g; [a, b]))

= ||f ||1BV · ||g||1BV .

Powyższa nierówność oznacza, że BV ([a, b]) z normą || · ||1BV jest znormalizowaną algebrąBanacha.

Teraz, wykorzystując wyżej ustalony fakt i (2.33), dla dowolnych f, g ∈ BV ([a, b])dostajemy:

||fg||BV ¬ ||fg||1BV ¬ ||f ||1BV · ||g||1BV

¬ 2||f ||BV · 2||g||BV = 4||f ||BV ||g||BV ,

co dowodzi nierówności (2.34) i kończy dowód. �

Podamy teraz kilka uwag związanych z omawianą wyżej tematyką funkcji o wariacji

ograniczonej.

35

Uwaga 2.21. Zauważmy, że każda funkcja f : [a, b]→ R, spełniająca warunek Lipschitzana przedziale [a, b] (ze stałą L), jest funkcją o wariacji ograniczonej na [a, b] oraz

Var(f ; [a, b]) ¬ L(b− a) .

Pominiemy proste uzasadnienie tego faktu.

Uwaga 2.22. Mówimy, że funkcja f : [a, b] → R spełnia warunek Höldera na prze-dziale [a, b], jeżeli istnieją stałe L > 0 oraz α ∈ (0, 1] takie, że

|f(x)− f(y)| ¬ L|x− y|α

dla dowolnych x, y ∈ [a, b].Okazuje się, że funkcja spełniająca na przedziale [a, b] warunek Höldera nie musi mieć

wariacji ograniczonej na [a, b]. Przykład takiej funkcji można skonstruować w następujący

sposób (por. [1]):

Ustalmy liczbę α ∈ (0, 1). Następnie, zdefiniujmy stałą γ i ciąg (tn) w przedziale [0, 1]kładąc:

γ =∞∑k=1

1k1/α

,

tn =1γ

∞∑k=n

1k1/α

dla n = 1, 2, ....

Zauważmy, że t1 = 1 oraz, że ciąg (tn) jest malejący a także, że limn→∞

tn = 0. Rozważmy

dalej funkcję f : [0, 1]→ R, określoną wzorem

f(x) =

0 dla x = 0(−1)nn

dla x = tnliniowa i łącząca kolejne punkty

(tn,

(−1)nn

)odpowiednio .

Biorąc teraz podział Pn = {0, tn, tn−1, ..., t2, t1} ∈ P([0, 1]) łatwo zauważyć, że

Var(f, Pn; [0, 1]) 1 +12

+13

+ · · ·+ 1n→∞

a więc f 6∈ BV ([0, 1]).Teraz, niech 0 < x < y ¬ 1. Dobierzmy m,n ∈ N tak, żeby tn+1 ¬ x ¬ tn oraz

tm+1 ¬ y ¬ tm. Wtedy mamy trzy przypadki.

36

(1) n = m.

W tym przypadku mamy, że

0 < y − x ¬ tn − tn+1 =1

γn1/α,

skąd

|f(x)− f(y)| = (y − x) |f(tn)− f(tn+1)|tn − tn+1

¬ (y − x)2γn1/α

n

= 2γ|x− y|α · |x− y|1−α · n(1−α)/α

¬ 2γ|x− y|α|tn − tn+1|1−α · n(1−α)/α

¬ 2γ|x− y|α · n(1−α)/α

γ1−α · n(1−α)/α= 2γα|x− y|α .

(2) n = m+ 1.

Wtedy tn = tm+1 i stąd dostajemy:

|f(x)− f(y)| ¬ |f(x)− f(tn)|+ |f(tm+1)− f(y)|

¬ 2γα(|x− tn|α + |tm+1 − y|α) ¬ 4γα|x− y|α

Zauważmy, że w dowodzie powyższej nierówności skorzystaliśmy z oczywistej nie-

równości

xα + yα ¬ (x+ y)α + (x+ y)α = 2(x+ y)α .

(3) n m+ 2.

Wtedy możemy znaleźć punkty s ∈ [tn, tn−1], t ∈ [tm+2, tm+1] takie, że f(s) = f(t) =0. Stąd mamy:

|f(x)− f(y)| ¬ |f(x)− f(s)|+ |f(s)− f(t)|+ |f(t)− f(y)|

¬ 4γα(|x− s|α + |t− y|α) ¬ 8γα|x− y|α .

Podsumowując widzimy, że w każdym z trzech możliwych rozważanych przypadków funk-

cja f spełnia warunek Höldera z wykładnikiem α i ze stałą L = 8γα dla 0 < x < y ¬ 1.”Dołączenie” sytuacji x = 0 nie przedstawia trudności (ciągłość funkcji f w punkcie

x = 0).

37

Uwaga 2.23. Bardzo ważną podklasę klasy funkcji o wariacji ograniczonej na ustalonym

przedziale [a, b] stanowi klasa tzw. funkcji bezwzględnie ciągłych. Przedstawimy kilka

faktów dotyczących tej właśnie klasy.

Zaczniemy od wprowadzenia pewnych oznaczeń. Mianowicie, symbolem∑

([a, b]) bę-

dziemy oznaczać rodzinę wszystkich skończonych zbiorów S = {[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]}złożoną z parami niezachodzących na siebie podprzedziałów przedziału [a, b]. Podobnie,

symbolem∑∞([a, b]) będziemy oznaczać rodzinę wszystkich nieskończonych i przeliczal-

nych zbiorów S∞ = {[an, bn] : n ∈ N} złożonych z niezachodzących na siebie podprze-działów przedziału [a, b].

Definicja 2.24. Funkcję f : [a, b] → R będziemy nazywać bezwzględnie ciągłą,jeżeli dla każdej liczby ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla każdego zbioru S =

{[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]} ∈∑

([a, b]) takiego, że

n∑i=1

(bi − ai) ¬ δ (2.35)

spełniona jest nierównośćn∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ¬ ε . (2.36)

Zauważmy, że równoważnie możemy zażądać, że dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie,

że dla każdego nieskończonego zbioru S∞ = {[an, bn] : n ∈ N} ∈∑∞([a, b]) takiego, że

∞∑i=1

(bi − ai) ¬ δ (2.37)

mamy, że∞∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ¬ ε . (2.38)

Rzeczywiście, zauważmy najpierw, że definicja, w której występuje∑∞([a, b]) implikuje

Definicję 2.24. W tym celu ustalmy dowolnie ε > 0 i dobierzmy δ > 0 zgodnie z (2.37)-

(2.38). Dalej, weźmy dowolny zbiór

S = {[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]} ∈∑

([a, b])

taki, że spełniona jest nierówność (2.35). Zastąpmy przedział [an, bn] zbiorem

S∞ = {[αi, αi+1] : i ∈ N, i n} ∈∑∞([an, bn]) ,

gdzie αn = an, αn+1 = 12(αn + bn), αn+2 =12(αn+1 + bn), ... .

38

Wtedy

bn − an =∞∑i=n

(αi+1 − αi) ,

a zatem zbiór

{[a1, b1], [a2, b2], ..., [an−1, bn−1], [αn, αn+1], [αn+1, αn+2], ...}

tworzy nieskończony ciąg niezachodzących na siebie przedziałów takich, żen∑i=1

(bi − ai) =n−1∑i=1

(bi − ai) +∞∑i=n

(αi+1 − αi) ¬ δ .

Stąd, zgodnie z założeniem, dostajemyn∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ¬n−1∑i=1

|f(bi)− f(ai)|+∞∑i=n

|f(αi+1)− f(αi)| ¬ ε .

Dowodzi to bezwzględnej ciągłości funkcji w sensie Definicji 2.24.

Na odwrót, załóżmy, że funkcja f jest bezwzględnie ciągła w sensie Definicji 2.24.

Ustalmy ε > 0 i dobierzmy δ > 0 zgodnie z tą definicją. Weźmy dowolny nieskończony

ciąg {[ai, bi] : i ∈ N} ∈∑∞([a, b]) taki, że spełniona jest nierówność (2.37). Wtedy, dla

każdego dowolnie ustalonego n ∈ N mamy, że zbiór {[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]} ∈∑

([a, b])

orazn∑i=1

(bi − ai) ¬ δ. Wtedy, zgodnie z Definicją 2.24 spełniona jest nierówność (2.36).Stąd wynika, że

∞∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ¬ ε ,

a to oznacza, że funkcja f jest bezwzględnie ciągła na przedziale [a, b] w sensie sformuło-

wanej wyżej definicji równoważnej Definicji 2.24.

Zbiór wszystkich funkcji bezwzględnie ciągłych na przedziale [a, b] będziemy dalej

oznaczać symbolem AC([a, b]).

Zauważmy dalej, że bezwzględna ciągłość implikuje ciągłość (jednostajną) na prze-

dziale [a, b]. Ponadto, prawdziwe jest również następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.25. Każda funkcja bezwzględnie ciągła na przedziale [a, b] jest na tym

przedziale funkcją o wariacji ograniczonej.

Dowód. Niech f będzie funkcją bezwzględnie ciągłą na [a, b]. Wtedy np. do liczby ε = 1

możemy dobrać taką liczbę δ > 0, że nierówność (2.35) implikuje, żen∑i=1

|f(bi)− f(ai)| ¬ 1 . (2.39)

39

Rozważmy dalej równoodległy podział Pn = {t0, t1, ..., tn} przedziału [a, b], gdzie n jesttak duże, że nδ b − a. Wtedy, zgodnie z doborem δ, na każdym przedziale [ti−1, ti]takim, że ti−1, ti ∈ Pn, po uwzględnieniu (2.39) mamy

Var(f ; [ti−1, ti]) ¬ 1 .

Stąd, biorac pod uwagę addytywność wariacji ze względu na przedziały, otrzymujemy

Var(f ; [a, b]) ¬ n

że ciągi (gn) i (hn) zawierają podciągi, które są zbieżne punktowo na przedziale [a, b] do

pewnych funkcji rosnących g i h, odpowiednio. Wtedy funkcja f = g − h będzie miałażądane własności.

Zatem, niech gn : [a, b] → R będzie funkcją rosnącą oraz niech |gn(x)| ¬ c < ∞ dlan ∈ N oraz x ∈ [a, b].Załóżmy, że E = {r1, r2, ...} jest pewnym przeliczalnym zbiorem gęstym w przedziale[a, b] takim, że r1 = a oraz r2 = b. Ponieważ |gn(r1)| ¬ c dla n ∈ N, więc z twierdzeniaBolzano-Weierstrassa możemy znaleźć podciąg (g(1)n ) ciągu (gn), który jest zbieżny w

punkcie r1. Podobnie, ponieważ |g(1)n (r2)| ¬ c dla n ∈ N, to możemy znaleźć podciąg (g(2)n )ciągu (g(1)n ), który jest zbieżny w punktach r1 i r2. Mając skonstruowany ciąg (g

(k−1)n ) w

taki właśnie sposób, możemy wybrać podciąg (g(k)n ) ciągu (g(k−1)n ), który jest zbieżny w

punktach r1, r2, ..., rk. Zatem, ciąg przekątniowy (gnk) określony wzorem gnk(x) = g(k)k (x)

jest zbieżny w każdym punkcie rj ∈ E.Teraz, określmy funkcję g : [a, b]→ R kładąc

g(x) =

limk→∞

gnk(x) jeżeli x = rj ∈ E

suprj 0 możemydobrać ri, rj takie, że

ri < x < rj (2.40)

oraz

g(rj)− g(ri) < ε , (2.41)

ponieważ funkcja g jest ciągła w punkcie x. Ponadto, korzystając z punktowej zbieżności

ciągu (gnk) do g na zbiorze E, znajdziemy k0 ∈ N takie, że

|gnk(ri)− g(ri)| < ε , (2.42)

|gnk(rj)− g(rj)| < ε (2.43)

41

dla k k0. Dalej, łącząc (2.40), (2.41), (2.42) i (2.43) otrzymujemy

g(x)− ε < g(ri) ¬ gnk(ri) + ε ¬ gnk(x) + ε

¬ gnk(rj) + ε < g(rj) + 2ε ¬ g(x) + 2ε , (2.44)

ponieważ ri < x < rj i funkcje występujące w (2.44) są rosnące. Pokazuje to, że

gnk(x) → g(x) punktowo na zbiorze [a, b] \ D gdy k → ∞. Jednakże zbiór D jest conajwyżej przeliczalny i ciąg (gnk) jest wspólnie ograniczony. Możemy więc użyć jeszcze

raz procedury przekątniowej opisanej wyżej aby znaleźć jeszcze jeden podciąg, który jest

zbieżny punktowo na całym przedziale [a, b]. Funkcja graniczna g otrzymana tą drogą jest,

jak można pokazać, funkcją rosnącą. Koniec dowodu. �

Uwaga 2.28. Twierdzenie Jordana (Twierdzenie 2.6) jest twierdzeniem charakteryzu-

jącym funkcje o wariacji ograniczonej poprzez różnicę dwóch funkcji rosnących, a więc

twierdzenie to ma charakter liniowy. Przedstawimy teraz inne twierdzenie, zwane twier-

dzeniem Federera, które charakteryzuje funkcje o wariacji ograniczonej poprzez złoże-

nie funkcji rosnącej i funkcji spełniającej warunek Lipschitza. Jest to więc twierdzenie w

pewnym sensie analogiczne do twierdzenia Sierpińskiego (Twierdzenie 1.11).

Twierdzenie 2.29. Funkcja f należy do przestrzeni BV ([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy

można ją przedstawić w postaci złożenia f = g ◦ τ , gdzie τ : [a, b] → [c, d] jest rosnącaoraz funkcja g : [c, d]→ R spełnia na przedziale [c, d] warunek Lipschitza ze stałą L = 1.

Dowód. Załóżmy najpierw, że f = g ◦ τ , gdzie g oraz τ mają wspomniane własności.Weźmy dowolny podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]). Wtedy otrzymujemy

Var(f, P ) =m∑j=1

|g(τ(tj))− g(τ(tj−1))| ¬m∑j=1

|τ(tj)− τ(tj−1)|

= |τ(b)− τ(a)| .

Stąd wynika, że f ∈ BV ([a, b]).Na odwrót załóżmy, że f ∈ BV ([a, b]). Niech τ = Vf będzie rosnącą funkcją wahaniafunkcji f . Wtedy funkcja ta odwzorowuje przedział [a, b] w pewien przedział [c, d], gdzie

c = 0 oraz d = Var(f ; [a, b]). Oczywiście, funkcja τ nie musi być odwzorowaniem na. Jeżeli

teraz określimy funkcję g na zbiorze wartości τ([a, b]) ⊂ [c, d] przez położenie

g(τ(x)) = f(x)

42

to otrzymamy rozkład f = g ◦ τ zgodnie z konstrukcją.Mamy

|g(τ(s))− g(τ(t))| = |f(s)− f(t)| ¬ Var(f ; [s, t])

= |τ(s)− τ(t)|

dla a ¬ s < t ¬ b. Oznacza to, że funkcja g spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1 nazbiorze τ([a, b]) ⊂ [c, d].

W celu przedłużenia funkcji g ze zbioru τ([a, b]) na cały przedział [c, d] do funkcji

g spełniającej warunek Lipschitza ze stałą 1 na przedziale [c, d] (a nawet na całej pro-

stej R) użyjemy metody ”uwypuklania”. Mianowicie, dla ustalonego dowolnie λ ∈ [0, 1]definiujemy funkcją g, kładąc

g(y) =

(1− λ)g(x−) + λg(x) jeżeli y = (1− λ)τ(x−) + λτ(x)(1− λ)g(x) + λg(x+) jeżeli y = (1− λ)τ(x) + λτ(x+) .Można łatwo sprawdzić, że funkcja g spełnia na przedziale [c, d] warunek Lipschitza ze

stałą 1. Koniec dowodu. �

Zadania

1. Znaleźć funkcje f, g ∈ BV ([0, 1]) takie, że g(x) > 0 dla x ∈ [0, 1] oraz f/g 6∈BV ([0, 1]).

2. Pokazać, że jeżeli f ∈ BV ([a, b]) to |f | ∈ BV ([a, b]) oraz Var(|f |; [a, b]) ¬Var(f ; [a, b]).

3. Znaleźć funkcję f 6∈ BV ([0, 1]) tak, że |f | ∈ BV ([0, 1]).

4. Załóżmy, że f ∈ C([a, b]) i |f | ∈ BV ([a, b]). Pokazać, że f ∈ BV ([a, b]).

5. Niech f ∈ BV ([a, b]). Pokazać, że

Vf (x0+)− Vf (x0) = |f(x0+)− f(x0)|

dla każdego x0 ∈ [a, b), oraz

Vf (x0)− Vf (x0−) = |f(x0)− f(x0−)|

dla każdego x0 ∈ (a, b].

43

6. Udowodnić następujące twierdzenie, zwane zasadą lokalizacji: Jeżeli f 6∈BV ([a, b]), to istnieje punkt x0 ∈ [a, b] taki, że: 1o Jeżeli x0 ∈ (a, b) to f 6∈ BV ([c, d])dla każdego przedziału [c, d] ⊂ [a, b] takiego, że c < x0 < d. 2o Jeżeli x0 = a tof 6∈ BV ([a, c]) dla każdego przedziału [a, c] ⊂ [a, b] takiego, że a < c. 3o Jeżelix0 = b to f 6∈ BV ([c, b]) dla każdego przedziału [c, b] ⊂ [a, b] takiego, że c < b.

7. Dla ustalonych liczb α, β ∈ R rozważmy funkcję fα,β : [0, 1] → R określoną wnastępujący sposób:

fα,β(x) =

xα sinxβ dla 0 < x ¬ 1

0 dla x = 0 .

Pokazać, że dla β > 0 funkcja fα,β należy do BV ([0, 1]) wtedy i tylko wtedy, gdy

α + β 0.

8. Pokazać, że funkcja f : [0, 1] → R określona wzorem f(x) =√x jest bezwzględnie

ciągła na [0, 1].

44

3. Funkcje o wariacji ograniczonej w sensie Wienera

C. Jordan wprowadził pojęcie funkcji o wariacji ograniczonej w sensie klasycznym pod

koniec XIX w. W roku 1924 amerykański matematyk N. Wiener wprowadził uogólnienie

tego pojęcia, które teraz przytoczymy.

Definicja 3.1. Niech p 1 będzie ustaloną liczbą rzeczywistą oraz niech dana będziefunkcja f : [a, b]→ R, ograniczona na [a, b].Dla dowolnie zadanego podziału P = {t0, t1, t2, ..., tm} ∈ P([a, b]) zdefiniujmy liczbę nie-ujemną VarWp (f, P ) przyjmując

VarWp (f, P ) = VarWp (f, P ; [a, b]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p . (3.1)

Liczbę tę nazywać będziemy wariacją (wahaniem) Wienera funkcji f na przedziale

[a, b] względem podziału P .

Natomiast wielkość

VarWp (f) = VarWp (f ; [a, b]) = sup{VarWp (f, P ; [a, b]) : P ∈ P([a, b])} (3.2)

nazywa się (całkowitą) wariacją Wienera funkcji f na przedziale [a, b] .

Jeżeli VarWp (f ; [a, b]) < ∞ to mówimy, że funkcja f jest funkcją o wahaniu skoń-czonym (ograniczonym) w sensie Wienera.

Zbiór wszystkich funkcji o wahaniu ograniczonym w sensie Wienera oznaczać będziemy

symbolem WBVp([a, b]).

Odnotujmy najpierw, że ma miejsce następujące twierdzenie podające własności wa-

riacji w sensie Wienera jak również własności funkcji o wahaniu ograniczonym w sensie

Wienera.

Twierdzenie 3.2. Wielkości VarWp (f, P ) oraz VarWp (f) mają następujące własności:

(a) Wielkość (VarWp (f ; [a, b]))1/p = VarWp (f ; [a, b])

1/p jest podaddytywna ze względu na

funkcje:

VarWp (f + g; [a, b])1/p ¬ VarWp (f ; [a, b])1/p + VarWp (g; [a, b])1/p ,

dla dowolnych funkcji ograniczonych f, g : [a, b]→ R.

45

(b) Wielkość VarWp (f ; [a, b])1/p jest dodatnio jednorodna, tzn.

VarWp (λf ; [a, b])1/p = |λ|VarWp (f ; [a, b])1/p

dla dowolnego λ ∈ R.

(c) Dla dowolnych t, s ∈ [a, b], s < t, ma miejsce nierówność

|f(s)− f(t)| ¬ VarWp (f ; [s, t])1/p .

(d) Każda funkcja o wahaniu ograniczonym w sensie Wienera na przedziale [a, b] jest

ograniczona, tzn. jeżeli f ∈ WBVp([a, b]) to f ∈ BV ([a, b]) oraz ma miejsce nierów-ność:

||f ||∞ ¬ |f(a)|+ VarWp (f ; [a, b])1/p .

(e) Zbiór WBVp([a, b]) jest przestrzenią liniową nad ciałem R natomiast wielkość

|| · ||WBVp określona wzorem

||f ||WBVp = |f(a)|+ VarWp (f ; [a, b])1/p

jest normą na przestrzeni WBVp([a, b]). Norma ta jest zupełna.

Dowód. Przeprowadzimy dowody niektórych, wyżej wymienionych podpunktów. W do-

wodzie (a) będziemy wykorzystywać tzw. nierówność Minkowskiego, która mówi, że

dla dowolnych ciągów skończonych (a1, a2, ..., am), (b1, b2, ..., bm) liczb rzeczywistych, speł-

niona jest nierówność m∑j=1

|aj + bj|p1/p ¬

m∑j=1

|aj|p1/p +

m∑j=1

|bj|p1/p , (3.3)

dla dowolnego p ∈ [1,∞).Ustalmy dalej dowolny podział P = {t0, t1, t2, ..., tm} ∈ P([a, b]). Wtedy dostajemy:

VarWp (f + g, P ; [a, b])1/p =

m∑j=1

|f(tj) + g(tj)− f(tj−1)− g(tj−1)|p1/p

=

m∑j=1

|[f(tj)− f(tj−1)] + [g(tj)− g(tj−1)]|p1/p

46

¬

m∑j=1

[|f(tj)− f(tj−1)|+ |g(tj)− g(tj−1)|]p1/p

¬

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p1/p +

m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|p1/p

= VarWp (f ;P ; [a, b])1/p + VarWp (g, P ; [a, b])

1/p

¬ VarWp (f ; [a, b])1/p + VarWp (g; [a, b])1/p .

Stąd, biorac po lewej stronie powyższej nierówności kres górny ze względu na wszystkie

podziały należące do P([a, b]) otrzymujemy naszą nierówność z (a).Dowód (b) jest natychmiastowy i go pominiemy.

Dla dowodu (c) ustalmy dowolnie liczby t, s ∈ [a, b] takie, że s < t. Weźmy podziałP = {s, t} ∈ P([s, t]).Wtedy dostajemy:

VarWp (f, P ; [s, t]) = |f(t)− f(s)|p ¬ VarWp (f ; [s, t]) ,

skąd

|f(t)− f(s)| ¬ VarWp (f ; [s, t])1/p .

Dowodzi to (c).

Dla dowodu (d) weźmy dowolną liczbę x ∈ (a, b) i rozważmy podział Px = {a, x, b}.Wtedy mamy

VarWp (f, Px; [a, b]) = |f(b)− f(x)|p + |f(x)− f(a)|p

¬ VarWp (f ; [a, b]) .

Stąd dostajemy

|f(x)− f(a)|p ¬ VarWp (f ; [a, b])

więc

|f(x)− f(a)| ¬ VarWp (f ; [a, b])1/p . (3.4)

Ale

|f(x)| − |f(a)| ¬ ||f(x)| − |f(a)|| ¬ |f(x)− f(a)| . (3.5)

Z (3.4) i (3.5) otrzymujemy:

|f(x)| ¬ |f(a)|+ VarWp (f ; [a, b])1/p . (3.6)

47

Powyższa nierówność jest również w sposób trywialny spełniona dla x = a.

Następnie, biorąc podział P = {a, b} ∈ P([a, b]), mamy

VarWp (f, P ; [a, b]) = |f(b)− f(a)|p ¬ VarWp (f ; [a, b]) .

Stąd otrzymujemy

|f(b)| − |f(a)| ¬ |f(b)− f(a)| ¬ VarWp (f ; [a, b])1/p ,

więc

|f(b)| ¬ |f(a)|+ VarWp (f ; [a, b]) .

Łącząc powyższą nierówność z nierównością (3.6) otrzymujemy nierówność z (d).

Zauważmy w końcu, że z (a) i (b) wynika, że zbiór WBVp([a, b]) jest przestrzenią

liniową nad ciałem R. Nietrudno również sprawdzić, że wielkość zdefiniowana w punkcie(e) spełnia warunki normy w przestrzeni liniowej WBVp([a, b]). Można pokazać, że ta

norma jest zupełna, co tutaj pominiemy. �

Okazuje się, że pewne własności wariacji funkcji w sensie klasycznym (Jordana) nie

przenoszą się na analogiczne własności w sensie Wienera. W niżej podanych przykładach

wskażemy na dwie takie własności.

Przykłada 3.3. Rozważmy funkcję f : [0, 2]→ R określoną w następujący sposób:

f(x) =

0 dla 0 ¬ x < 11 dla x = 1

2 dla 1 < x ¬ 2 .

Następnie weźmy podziały P = {0, 2} i Q = {0, 1, 2} przedziału [0, 2]. Wtedy oczywiścieP ⊂ Q i mamy dla dowolnie ustalonej liczby p, p > 1:

VarWp (f, P ; [0, 2]) = 2p ,

VarWp (f,Q; [0, 2]) = 2 .

Stąd widoczne jest, że wariacja w sensie Wienera względem podziału nie jest monotoniczna

ze względu na podziały (por. Twierdzenie 2.3(f)).

48

Przykład 3.4. Weźmy znowu pod uwagę funkcję f zdefiniowaną w poprzednim Przykła-

dzie 2.3 oraz rozważmy wariacje Wienera tej funkcji na przedziałach [0, 1], [1, 2] i [0, 2],

dla ustalonego p, p > 1. Proste rachunki dają następujące wyniki:

VarWp (f ; [0, 1]) = VarWp (f ; [1, 2]) = 1 ,

VarWp (f ; [0, 2]) = 2p .

Oznacza to, że wariacja w sensie Wienera nie jest addytywna ze względu na przedziały

(por. Twierdzenie 2.3(g)).

Pokażemy później w nieco ogólniejszej sytuacji, że wariacja funkcji w sensie Wienera

jest superaddytywna (nadaddytywna) ze względu na przedziały w tym sensie, że dla

dowolnie ustalonej liczby p > 1 ma miejsce nierówność

VarWp (f ; [a, b]) VarWp (f ; [a, c]) + VarWp (f ; [c, b])

dla a < c < b.

W celu znalezienia zależności w formie inkluzji między przestrzeniami WBVp([a, b]) i

WBVq([a, b]) dla np. p < q, przytoczymy kilka faktów pomocniczych dotyczących funkcji

wypukłych.

W tym celu załóżmy, że dana jest funkcja ϕ : [0,∞)→ R. Rozważmy funkcję ψ : (0,∞)→R określoną wzorem:

ψ(t) =ϕ(t)t

.

Lemat 3.5. Jeżeli ϕ jest wypukła na przedziale [0,∞) oraz ϕ(0) ¬ 0, to funkcja ψ jestrosnąca na przedziale (0,∞).

Dowód. Przypomnijmy, że to, że ϕ jest wypukła na przedziale [0,∞) oznacza, że dladowolnych s, t ∈ [0,∞) oraz dla dowolnego λ ∈ [0, 1] spełniona jest nierówność:

ϕ(λs+ (1− λ)t) ¬ λϕ(s) + (1− λ)ϕ(t) . (3.7)

Weźmy teraz x1, x2 ∈ (0,∞) takie, że x1 < x2. Kładąc w nierówności (3.7) s = x2, t = 0,λ = x1/x2, otrzymujemy:

ϕ(x1) ¬ λϕ(x2) + (1− λ)ϕ(0) ¬ λϕ(x2) =x1x2ϕ(x2) .

49

Stąd mamy:ϕ(x1)x1

¬ ϕ(x2)x2

więc ψ(x1) ¬ ψ(x2) i koniec dowodu. �

Lemat 3.6. Załóżmy, że funkcja ϕ : [0,∞)→ [0,∞) jest wypukła oraz ϕ(0) = 0. Wtedyϕ jest rosnąca oraz superaddytywna na przedziale [0,∞), tzn.

ϕ(α) + ϕ(β) ¬ ϕ(α + β) (3.8)

dla α, β 0.

Dowód. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że ϕ nie jest rosnąca na przedziale [0,∞),tzn. istnieją x1, x2 ∈ [0,∞), x1 < x2 takie, że ϕ(x1) > ϕ(x2).Jeżeli x1 = 0, to wtedy mielibyśmy, że ϕ(x2) < 0, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem

możemy założyć, że 0 < x1 < x2. Stąd

1x1

>1x2

i dalej mamy:ϕ(x1)x1

ϕ(x1)x2

>ϕ(x2)x2

(3.9)

ponieważ z założenia ϕ(x1) > ϕ(x2).

Jednakże nierówność (3.9) stoi w sprzeczności z Lematem 3.5. Zatem ϕ jest rosnąca na

przedziale [0,∞).Ustalmy dalej dowolne α, β ∈ [0,∞).

Jeżeli α = 0, to wtedy z założenia mamy, że ϕ(0) = 0, więc

ϕ(α) + ϕ(β) = ϕ(0) + ϕ(β) = ϕ(β) = ϕ(0 + β) = ϕ(α + β) .

Przypadek β = 0 rozpatrujemy analogicznie.

Załóżmy więc, że α > 0 i β > 0. Wtedy α < α + β oraz β < α + β. Z udowodnionej

już części twierdzenia mamy:

ϕ(α)α¬ ϕ(α + β)

α + β,

ϕ(β)β¬ ϕ(α + β)

α + β.

Stąd

ϕ(α) ¬ αα + β

ϕ(α + β) ,

50

ϕ(β) ¬ βα + β

ϕ(α + β) .

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

ϕ(α) + ϕ(β) ¬(

α

α + β+

β

α + β

)ϕ(α + β) = ϕ(α + β)

i koniec dowodu. �

Najprostrzym przykładem funkcji, która spełnia założenia Lematów 3.5 i 3.6 jest funk-

cja ϕ(t) = tp gdzie p jest dowolnie ustaloną liczbą, p 1.Rzeczywiście, ϕ′(t) = ptp−1, ϕ′′(t) = p(p − 1)tp−2 > 0 dla p > 1 (przypadek p = 1 jesttrywialny). Zatem funkcja ta jest wypukła na przedziale [0,∞) oraz ϕ(0) = 0.Stąd i z Lematu 3.6 wynika, że dla dowolnych t, s 0 spełniona jest nierówność

tp + sp ¬ (t+ s)p (3.10)

dla dowolnego p 1.Udowodnimy teraz, zapowiadane wcześniej twierdzenie.

Twierdzenie 3.7. Niech 1 ¬ p ¬ q

która implikuje, że

VarWq (f ; [a, b])1/q ¬ VarWp (f ; [a, b])1/p ,

a więc otrzymujemy nierowność (3.11).

Inkluzje (3.12) wynikają teraz już łatwo z wyżej udowodnionej nierówności (3.11), przy

czym ostatania inkluzja po prawej stronie (3.12) jest prostą konsekwencją Twierdzenia

3.2(d). �

Podamy teraz przykład wskazujący na pewne istotne fakty związane zarówno z samym

pojęciem wariacji funkcji w sensie Wienera jak również z inkluzjami (3.12).

Przykład 3.8. Ustalmy dowolnie liczbę p, 1 ¬ p, i weźmy zbiór A = { 1n

: n ∈ N}.Następnie, określmy funkcję fp : [0, 1]→ R w następujący sposób.

fp(x) =

1np

dla x = 1n∈ A

0 dla x pozostałych .

Dalej, weźmy podziały P1 = {0, 1m ,1

m−1 , ...,12 , 1} ∈ P([0, 1]) oraz P2 =

{0, x1, x2, ..., xm, 1} ∈ P([0, 1]), gdzie x1, x2, ..., xm są dowolnie ustalonymi liczbami ta-kimi, że 0 < x1 < 1m oraz

1m− (i− 2)

< xi <1

m− (i− 1)

dla i = 2, ...,m. Następnie, weźmy podział P = P1 ∪ P2, tzn.

P = {0, x1,1m,x2,

1m− 1

, ...,12, xm, 1} .

Oczywiście P ∈ P([0, 1]).

Teraz, dla dowolnie ustalonej liczby q, q 1, dostajemy:

VarWq (fp, P ; [0, 1]) =m∑i=1

2 · 1iq/p

= 2(

1 +1

2q/p+ · · ·+ 1

mq/p

).

Zatem, na podstawie dobrze znanych faktów dotyczących szeregu harmonicznego dowol-

nego rzędu, mamy:

VarWq (fp; [0, 1]) =∞ dla 1 ¬ q ¬ p ,

VarWq (fp; [0, 1])

Zatem fp 6∈ WBVq([0, 1]) dla q ¬ p, natomiast fp ∈ WBVq([0, 1]) dla p < q. W szczegól-ności mamy, że f1 6∈ WBV1([0, 1]) ale f1 ∈ WBVp([0, 1]) dla p > 1.

Powyższy przykład pokazuje, że inkluzje (3.12) są ostre dla 1 < p < q, a z drugiej

strony wskazuje na to, że pojęcie wariacji ograniczonej w sensie Wienera jest uogólnieniem

klasycznego pojęcia wariacji ograniczonej (w sensie Jordana).

Następujące twierdzenie będzie wskazywać na pewien związek między spełnianiem

przez funkcję warunku Höldera a przynależnością tej funkcji do przestrzeni funkcji o wa-

riacji ograniczonej w sensie Wienera.

Twierdzenie 3.9. Niech p 1 będzie dowolnie ustaloną liczbą. Jeżeli funkcja f : [a, b]→R spełnia na przedziale [a, b] warunek Höldera z wykładnikiem 1/p, to f ∈ WBVp([a, b]).

Dowód. Załóżmy, że f spełnia warunek Höldera na przedziale [a, b] z wykładnikiem 1/p

tzn., istnieje stała L > 0 taka, że

|f(t)− f(s)| ¬ L|t− s|1/p

dla t, s ∈ [a, b]. Ustalmy dowolny podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P([a, b]). Wtedy dostajemy

VarWp (f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p

¬m∑j=1

(L|tj − tj−1|1/p)p = Lpm∑j=1

|tj − tj−1|

= Lp(b− a) .

Stąd

VarWp (f ; [a, b]) ¬ Lp(b− a)

Sierpińskiego (Twierdzenie 1.11) a zarazem będzie ”równoległe” do twierdzenia Federera

(Twierdzenie 2.29).

Twierdzenie 3.10. Funkcja f należy do przestrzeni WBVp([a, b]) wtedy i tylko wtedy,

gdy może być przedstawiona jako złożenie f = g ◦ τ , gdzie τ : [a, b] → [c, d] jest rosną-ca na przedziale [a, b] natomist funkcja g spełnia na przedziale [c, d] warunek Höldera z

wykładnikiem 1/p i ze stałą L = 1.

Dowód. Ponieważ dowód tego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu Twierdzenia

2.29 (Federera), podamy tylko jego szkic.

Załóżmy najpierw, że f = g ◦ τ , gdzie g i τ mają własności wymienione w naszymtwierdzeniu. Niech zadany będzie dowolnie ustalony podział P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P ([a, b]).Wtedy mamy:

VarWp (f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|g(τ(tj))− g(τ(tj−1))|p

¬m∑j=1

(|τ(tj)− τ(tj−1)|1/p

)p=

m∑j=1

|τ(tj)− τ(tj−1)|

= |τ(b)− τ(a)| ,

a to oznacza, że f ∈ WBVp([a, b]).Na odwrót załóżmy, że f ∈ WBVp([a, b]). Niech funkcja τ = τ(t) będzie określona naprzedziale [a, b] w następujący sposób

τ(t) = Vf,p(t) = VarWp (f ; [a, t]) .

Korzystając z własności wariacji w sensie Wienera można pokazać, że funkcja τ jest

rosnąca na przedziale [a, b] oraz c = 0 i d = VarWp (f ; [a, b]). Następnie, określmy funkcję

g na zbiorze wartości funkcji τ , tzn. na zbiorze τ([a, b]) ⊂ [c, d], kładąc g(τ(x)) = f(x).Wtedy oczywiście mamy, że f = g ◦ τ oraz

|g(τ(s))− g(τ(t))| = |f(s)− f(t)| ¬ VarWp (f ; [s, t])1/p

¬ |τ(s)− τ(t)|1/p

dla a ¬ s < t ¬ b. Powyższa nierówność oznacza, że na zbiorze τ([a, b]) funkcja g spełniawarunek Höldera z wykładnikiem 1/p i ze stałą 1.

54

Teraz, przy użyciu twierdzenia McShane możemy przedłużyć funkcję g ze zbioru τ([a, b])

na cały przedział [c, d] otrzymując funkcje g spełniającą na przedziale [c, d] warunek

Höldera z wykładnikiem 1/p i ze stałą L = 1 a ponadto taką, że f = g ◦ τ = g ◦ τ .Koniec dowodu. �

Uwaga 3.11. Przytoczymy teraz, wraz z dowodem, wspomniane wyżej twierdzenie

McShane’a. Twierdzenie to odgrywa poważną rolę w teorii funkcji rzeczywistych [1].

Twierdzenie 3.12. Niech M ⊂ R będzie zadanym zbiorem niepustym oraz niech f :M → R będzie funkcją spełniającą na zbiorze M warunek Höldera z wykładnikiem α ∈(0, 1]. Wtedy istnieje funkcja f̂ : R → R spełniająca na zbiorze R warunek Höldera zwykładnikiem α, która jest przedłużeniem funkcji f .

Dowód. Z założenia, funkcja f spełnia na zbiorze M warunek Höldera z wykładnikiem α

i z pewną stałą L > 0. Oznaczmy symbolem Hα(f) najlepszą z możliwych stałą L, którą

można zdefiniować następująco:

Hα(f) = sup{|f(x)− f(y)||x− y|α

: x, y ∈M, x 6= y}.

Następnie, określmy funkcję f̂ : R→ R, kładąc

f̂(x) = sup{f(z)−Hα(f)|x− z|α : z ∈M} , (3.13)

dla x ∈ R. Fakt, że funkcja f̂ jest poprawnie określona, wynika z niżej podanego ciągunierówności

|f(z)| − |f(x)| ¬ |f(z)− f(x)| ¬ Hα(f)|z − x|α = Hα(f)|x− z|α ,

skąd

|f(z)| −Hα(f)|x− z|α ¬ |f(x)| .

Teraz, dla dowolnie ustalonych x, y ∈ R, z określenia (3.13) i z własności kresów funkcji,otrzymujemy:

|f̂(x)− f̂(y)| =∣∣∣∣∣supz∈M[f(z)−Hα(f)|x− z|α]

− sup[f(z)−Hα(f)|y − z|α]∣∣∣∣

¬ supz∈M{Hα(f)||x− z|α − |y − z|α|} ¬ Hα(f)|x− y|α .

55

Powyższa nierówność pokazuje, że funkcja f̂ spełnia na zbiorze R warunek Höldera zwykładnikiem α oraz ma miejsce nierówność Hα(f̂) ¬ Hα(f). Nierówność przeciwna jestprawdziwa w sposób trywialny, bowiem f̂ jest przedłużeniem funkcji f .

Koniec dowodu. �

Uwaga 3.13. Zauważmy, że z Twierdzenia 3.10 oraz z twierdzenia Sierpińskiego (Twier-

dzenie 1.11) wynika, że każda funkcja o wariacji ograniczonej w sensie Wienera na prze-

dziale [a, b] jest funkcją regularną na [a, b]. Biorąc pod uwagę oznaczenie R([a, b]) wpro-

wadzone dla przestrzeni liniowej funkcji regularnych na przedziale [a, b], fakt ten możemy

zapisać w postaci inkluzji

WBVp([a, b]) ⊂ R([a, b]) .

Zatem, ciąg inkluzji (3.12) możemy poszerzyć w następujący sposób

BV ([a, b]) = WBV1([a, b]) ⊂ WBVp([a, b])

⊂ WBVq([a, b]) ⊂ R([a, b]) ⊂ B([a, b]) (3.14)

dla dowolnych p, q takich, że 1 ¬ p ¬ q 0 i pα + β 0 albo β ¬ 0 ipα + β > 0.

3. Skonstruować funkcję f ∈ WBVp([0, 1]), która nie spełnia warunku Höldera z wy-kładnikiem 1/p.

4. Dla ustalonego przedziału [a, b] oznaczmy symbolem Lip([a, b]) zbiór wszystkich

funkcji f : [a, b]→ R, które spełniają warunek Lipschitza na przedziale [a, b].

56

(a) Pokazać, że zbiór Lip([a, b]) ma strukturę przestrzeni liniowej nad ciałem R zezwykłymi działaniami dodawania funkcji i ich mnożenia przez liczby rzeczywi-

ste.

(b) Pokazać, że wielkość || · ||Lip określona dla dowolnej funkcji f ∈ Lip([a, b])wzorem

||f ||Lip = |f(a)|+ sup{|f(x)− f(y)||x− y|

: x, y ∈ [a, b], x 6= y}

jest normą w przestrzeni Lip([a, b]).

(c) Pokazać, że przestrzeń Lip([a, b]) z normą określoną w punkcie (b) jest prze-

strzenią Banacha.

5. Ustalmy liczbę α ∈ (0, 1] i symbolem Lipα([a, b]) oznaczmy zbiór wszystkich funkcjif : [a, b] → R, które spełniają warunek Höldera z wykładnikiem α na przedziale[a, b].

(a) Pokazać, że zbiór Lipα([a, b]) jest przestrzenią liniową nad ciałem R z działa-niami dodawania funkcji i ich mnożenia przez liczby rzeczywiste.

(b) Pokazać, że wielkość || · ||Lipα określona dla dowolnej funkcji f ∈ Lipα([a, b])wzorem

||f ||Lipα = |f(a)|+ sup{|f(x)− f(y)||x− y|α

: x, y ∈ [a, b], x 6= y}

jest normą w przestrzeni Lipα([a, b]).

(c) Pokazać, że przestrzeń Lipα([a, b]) z normą || · ||Lipα określoną w punkcie (b)jest przestrzenią Banacha.

57

4. Wariacja funkcji w sensie Wienera-Younga

Rozdział ten poświęcony jest omówieniu kolejnego uogólnienia pojęcia wariacji funkcji.

Jest to uogólnienie pojęcia wariacji funkcji w sensie Wienera, które było dyskutowane w

poprzednim rozdziale. Oznacza to automatycznie, że jest to również uogólnienie pojęcia

wariacji funkcji w klasycznym sensie Jordana, które było przedstawione w Rozdziale 2.

Pojęcie wariacji funkcji w sensie Wienera-Younga zostało wprowadzone w 1937 roku

przez L.C. Younga (por. [1]). W celu przedstawienia tego pojęcia omówimy najpierw

pojęcie tzw. funkcji Younga, które odgrywać będzie podstawową rolę przy definiowaniu

zapowiedzianego pojęcia wariacji.

Definicja 4.1. Funkcję φ : R+ → R+ = [0,∞) będziemy nazywać funkcją Younga, jeżelijest ona ciągła i wypukła na R+, φ(0) = 0, φ(t) > 0 dla t > 0 oraz φ(t)→∞ przy t→∞.

Uwaga 4.2. Zwróćmy uwagę na to, że przyjęte w powyższej definicji założenia mówiące,

że φ(t)→∞ przy t→∞, jest prostą konsekwencją pozostałych założeń.

Typowymi przykładami funkcji Younga są funkcje φ(t) = tp dla 1 ¬ p < ∞, φ(t) =et − 1, φ(t) = t ln(t+ 1), φ(t) = (t+ 1) ln(t+ 1).

Definicja 4.3. Załóżmy, że dana jest funkcja Younga �