W dalszej części zajęć wyróżniać będziemy następujące rodzaje szeregów:

• szereg szczegółowy• szereg rozdzielczy przedziałowy • szereg rozdzielczy punktowy

Szereg szczegółowy

Szereg rozdzielczy przedziałowy

Szereg rozdzielczy punktowy

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

Miary pozycyjne

Miary pozycyjne są rzeczywistymi wartościami badanej cechy statystycznej występujące w uporządkowanym szeregu statystycznym, wybrane ze względu na zajmowaną pozycję w tym szeregu.

Do miar pozycyjnych zalicza się przede wszystkim wartość modalną (dominantę) i medianę

Wartość modalna (dominanta)

Wartość modalna (Mo) jest to wartość cechy, która najczęściej (najliczniej) występuje w badanej zbiorowości statystycznej. Można, stwierdzić, że jest to wartość typowa dla tej zbiorowości. Wartość modalną przedstawiać będziemy następująco: Mo = xd

gdzie xd wartość cechy, dla której ni = max

PrzykładZbadano cenę paliwa E-95 na 9 stacjach benzynowych w Warszawie.3,5 3,7 3,6 3,7 3,6 3,8 3,6 3,9 3,8

ile wynosi wartość modalna ceny paliwa

3,5 3,6 3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9

Mo = 3,6

Wartość modalna (dominanta)

Jeżeli materiał statystyczny podany jest w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego, znajdujemy najpierw przedział w o największej liczebności. Następnie wyznaczamy wartość modalną na podstawie następującego wzoru interpolacyjnego.

)()( 11

1

dddd

dddDdo nnnn

nnlxM

gdzie:xDd — dolna granica przedziału wartości modalnejnd — liczebność przedziału wartości modalnejnd-1 — liczebność przedziału poprzedzającego przedział wartości modalnejnd+1 — liczebność przedziału następującego po przedziale wartości modalnejld — rozpiętość przedziału wartości modalnej.

Mo

ni

xi

Wartość modalna (dominanta) wyznaczanie metodą graficzną

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

Jest to wartość cechy, która rozdziela zbiorowość na dwie równe części, zajmując środkową pozycję w szeregu statystycznym.

Mediana (wartość środkowa)

Mediana (wartość środkowa)

2

1 ne xM

2

1n

PMe

2

122

nn

e

xx

M

2

nPMe

gdy n jest nieparzyste gdy n jest parzyste

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97

Wyznacz medianę

Przypadek gdy n – nieparzyste

92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

964

2

17

2

1 xxxM ne

42

17

2

1

n

PMe

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97, 88

Wyznacz medianę

Przypadek gdy n – parzyste

88, 92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

42

8

2

nPMe

5,952

9695

22214411

22 28

28

xxxxxx

Mnn

e

Me

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego, najpierw wyznacza się przedział klasowy mediany. Przy wyznaczaniu tego przedziału korzystamy z szeregu kumulacyjnego (szereg powstały w wyniku narastającego sumowania liczebności poszczególnych klas). Następnie stosujemy następujący wzór przybliżający wartość mediany:

Mediana

1

1

M

iiMe

M

MDMe nP

n

lxM

xDM – dolna granica przedziału klasowego mediany,lM – rozpiętość przedziału klasowego mediany,nM – liczba jednostek obserwacji w przedziale klasowym medianyPMe – pozycja mediany w szeregu statystycznym

1

1

M

iin

- łączna liczba obserwacji w klasach poprzedzających klasę zawierającą medianę, czyli liczebność skumulowana przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany

Liczebność skumulowana

100

350

750

1250

1600

1800

9002

1800

2

nPMe

M

MM

i

iMeDMe n

lnPxM

1

1

43500

1015040

500

1075090040

eM

40DMx

900MeP

7501

1

M

i

in 10Ml 500Mn

Liczebność skumulowana

100

350

750

1250

1600

1800

Me

nsk

xi

Mediana wyznaczanie metodą graficzną

PMe

Mediana dzieli zbiorowość na równe dwie części, a więc informuje, poniżej i powyżej jakiej wartości cechy znajduje się 50% zbiorowości. Według tej samej zasady można podzielić zbiorowość na większą liczbę części.

Wartości te nazywamy kwantylami (od słowa „kwant”). W zależności od liczby części, na jakie dzieli się zbiór wartości badanej cechy, otrzymujemy konkretne kwantyle. Najczęściej stosowane są:

kwartyle – dzielą szereg statystyczny na 4 części (jest ich 3)decyle – dzielą szereg statystyczny na 10 części (jest ich 9)centyle – dzielą szereg statystyczny na 100 części (jest ich 99).

Miary pozycyjne wyższych rzędów

Kwantyle oznaczać będziemy następująco:

Qb,v

gdzie:b – numer kwantyla,v – rząd kwantyla, tzn. dla kwartyli v = 4, dla decyli v = 10, a dla centyli v = 100.

pierwszy element w zbiorze ostatni element w zbiorze

Q1,4 Q2,4 Q3,4

KWARTYLE

Me

Q1,4

Q3,4

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

• rozstęp • odchylenie ćwiartkowe• współczynnik skośności

n

xxs

n

ii

1

2

2

n

nxxs

k

iii

1

2

2

n

nxxs

k

iisi

1

2

2

Wariancja

Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej.

Wariancja dla szeregu szczegółowego

Wariancja dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

Wariancja dla szeregu rozdzielczego punktowego

Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym średniej arytmetycznej, kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji.

dla szeregu szczegółowego

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

dla szeregu rozdzielczego punktowego

n

xxs

n

ii

1

2

n

nxxs

k

iisi

1

2

n

nxxs

k

iii

1

2

Wiek Liczba

10-20 100

20-30 250

30-40 400

40-50 500

50-60 350

60-70 200

Razem 1800 334200

96800484

50400144

20004

2560064

81000324

78400784

76500

1300065

1925055

2250045

1400035

625025

150015

2isi xx six isi nx iisi nxx 2

435,421800

765001

n

nxx

k

iisi

2GiDi

si

xxx

n

xxs

n

isi

1

2

2

68%

95%

99%

xi

ni

s s s sss

Obszar wartości typowych badanej cechy statystycznej

Obszar wartości charakterystycznych badanej

cechy statystycznej

Obszar wartości badanej cechy statystycznej

Odchylenie przeciętneOdchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej.

dla szeregu szczegółowego

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

dla szeregu rozdzielczego punktowego

n

xxd

n

ii

x

1

n

nxxd

i

k

isi

x

1

n

nxxd

i

k

ii

x

1

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

• rozstęp • odchylenie ćwiartkowe• współczynnik skośności

Odchylenie przeciętneOdchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej.

dla szeregu szczegółowego

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego

dla szeregu rozdzielczego punktowego

n

xxd

n

ii

x

1

n

nxxd

i

k

isi

x

1

n

nxxd

i

k

ii

x

1