V Konkurs Matematyczne Preteksty – edycja 2017/2018 MatPret.pl

Wszelkie prawa zastrzeżone! Copyright © Marek Matejuk, Wałbrzych, 30-12-2017 r. Strona 1 z 4

Witam Cię serdecznie !Bardzo się cieszę, że bierzesz udział w tej zabawie matematycznej i gratuluję Ci podjęcia wyzwania. Potraktuj to jako

fajną przygodę. Niech rozwiązywanie zadań Konkursu sprawi Ci co najmniej tyle radości, ile mi sprawiło ich układanie!

1. Najpierw dobrze skoncentruj się na poniższym tekście pod tytułem „POKÓJ”. Uważnie czytaj go samodzielnie albo poprośrodziców, by Ci go czytali. Na następnych stronach znajdziesz pytania do tego tekstu.2. Nie musisz rozwiązywać wszystkich zadań, ale rozwiąż ich jak najwięcej. Jeśli jesteś przedszkolakiem lub uczysz się w szkolepodstawowej, to być może rozwiążesz kilka lub kilkanaście zadań. Jeżeli uczysz się w gimnazjum, to być może rozwiążeszokoło połowy zadań. Jeśli uczysz się w szkole ponadgimnazjalnej, to być może rozwiążesz prawie wszystkie zadania.3. Zadania nie są uporządkowane od najłatwiejszego do najtrudniejszego, a więc po zadaniu trudnym, możesz spotkać łatwe.4. Odpowiadaj na pytania, opierając się na poniższym tekście oraz na odpowiedziach do wcześniejszych pytań. Być może kilkainformacji trzeba będzie znaleźć w źródłach zewnętrznych (nauczyciele, rodzice, książki, Internet itp.).5. Najlepiej, rozwiązuj zadania po kolei. Jeżeli spotkasz trudną treść zadania, albo nie poradzisz sobie z trudnym problememw trakcie jego rozwiązywania, to tymczasowo zostaw to zadanie i przejdź do następnego. Kiedy rozwiążesz łatwiejsze zadaniai będziesz mieć czas – wróć do pozostałych zadań. Jeżeli do rozwiązania zadania potrzebujeszwiedzy, która jeszcze w szkole nie była przekazywana, to po prostu zdobądź ją w innych dobrychi pewnych źródłach samodzielnie lub z pomocą innych, jeżeli zależy Ci na jak najlepszym wyniku.6. Rozwiązuj zadania bardzo uważnie (mogą zawierać pułapki), nie spiesz się i dobrze przemyślodpowiedź. Za poprawną otrzymasz 1 punkt, ale za niepoprawną odejmiemy 1 punkt, niestety.

Życzę Ci wszystkiego najlepszego i pięknej wygranej!Marek Matejuk

POKÓJ

– Jedzcie, bo zaraz po śniadaniu zabieramy się za meblowanie pokoju dziewczyn –powiedział tata do Tymka i Mateusza.– Ale one też będą pomagały, prawda? – chłopcy utkwili wzrok w twarzach swoichsióstr. – Myśmy się nieźle namęczyli wczoraj, przy układaniu paneli w ich pokoju,więc niech dzisiaj pomogą bardziej.– Najbardziej to się napracował tata – odpowiedziała chłopcom mama. – A dzisiaj

wszyscy będą potrzebni do pomocy, bo będzie nie tylko ustawianie mebli, ale też będzie dodatkowa praca – mamaporozumiała się wzrokiem z tatą, a potem spojrzała z uśmiechem na swoje córki. – A chciałabym, żeby pokój Basi i Dorotybył gotowy do wieczora i żeby wreszcie był porządek w całym mieszkaniu.– O jaką dodatkową pracę chodzi? – spytały mamę dziewczyny, nieco zaniepokojonym tonem.– No cóż, ponieważ wczoraj pracowali głównie chłopcy, a wy trochę się obijałyście ... – surowym tonem zaczął tata,odpowiadając zamiast mamy i zawieszając na chwilę głos.– Ale sam mówiłeś, że chłopcy wystarczą ci do pomocy, a my nie musimy pomagać, bo będzie tylko zamieszanie –zdziwionym i lekko przerażonym tonem szybko odpowiedziała Basia. – A poza tym, sam kazałeś nam pomagać mamieprzy czyszczeniu mebli. Razem z Dorotą wyczyściłyśmy wszystkie tak, jak nam mama powiedziała.– ... to dzisiaj będziecie miały okazję naprawić to, ... przy skręcaniu nowych mebli – wesoło odpowiedział tata.– Jakich nowych mebli? – zapytali, przekrzykując się jeden przez drugiego, Baśka, Dorota, Mateusz i Tymek.– To jest nasza niespodzianka dla dziewczyn – odpowiedziała z uśmiechem mama i, zwracając się do nich, powiedziała –kupiliśmy wam trochę nowych rzeczy do pokoju, w tym kilka nowych mebli i trzeba je będzie również dzisiaj skręcić,bo przyjadą zapakowane w paczki. To jest ta dodatkowa praca.– A my nie dostaniemy nowych mebli? – z żalem zapytali rodziców Tymek i Mateusz, kiedy piski ich sióstr nieco ucichły.– Oczywiście, że dostaniecie, ale nieco później, kiedy będziemy remontowali wasz pokój. Poza tym, na razie stać nas akurattylko na tyle – odpowiedział tata, spoglądają z miłością na swoich synów, a potem dodał, widząc już ich rozchmurzone miny:– Cierpliwości chłopaki, czasami trzeba spokojnie poczekać na fajne rzeczy.

– Nowe rzeczy do pokoju dziewcząt przyjadą o 11:00, mamy więc 2,5 godziny na porozmawianie o nowych wariantachustawień mebli i na przeniesienie i ustawienie tych starych rzeczy, które zostają i nie będą wymieniane na nowe –zakomunikował tata, kiedy skończył rozmowę telefoniczną. – W soboty dostarczają do 12:00, a kurier ma też inne dostawy.– Razem z tatą wymyśliliśmy kilka wariantów nowych ustawień waszego pokoju, kiedy 4 dni temu zamawialiśmy meble –powiedziała mama do dziewcząt. – Mamy teraz czas, żeby o nich porozmawiać i wybrać najlepszy z nich, albo coś zmienić.

– To rzeczywiście świetne rozwiązanie. Tak umeblujemy wasz pokój – powiedziała mama do córek, kiedy ustalili plan pokoju.– Za kwadrans powinien być kurier – tata zwrócił się do wszystkich. – Przyniesie paczki do naszych drzwi. Każdą paczkębiorą co najmniej dwie osoby. Dziewczyny biorą najmniejsze paczki, chłopcy – średnie, a te najcięższe – mama i ja.

– Zaczynamy od składania szafy, bo jest największa – zawyrokował tata, kiedy wszystkie paczki były w pokoju. – Tylko ktopołożył paczki z jej częściami na samym spodzie stosu? Teraz trzeba to wszystko przekładać! – dodał zirytowanym tonem.Dzieci popatrzyły na siebie, na uśmiechającą się lekko mamę i po chwili odpowiedziały, z dziwnymi minami – Ty, tatusiu.

V Konkurs Matematyczne Preteksty – edycja 2017/2018 MatPret.pl

Wszelkie prawa zastrzeżone! Copyright © Marek Matejuk, Wałbrzych, 30-12-2017 r. Strona 2 z 4

ZADANIA

1. Jakiego dnia tygodnia mama i tata zamówili nowe meble do pokoju Basi i Doroty?

2. Kiedy mama i tata zamówili nowe meble do pokoju dziewcząt, jeśli ich dostawaodbyła się 4 marca?

3. O której godzinie rozpoczęło się śniadanie, jeżeli trwało 20 minut, a zaraz po jegozakończeniu tata rozmawiał z kurierem przez 2 minuty?

4. Ile sekund czekali na przyjazd kuriera, od kiedy tata zakończył z nim rozmowętelefoniczną?

5. Ile czasu ustalali wspólnie plan umeblowania pokoju Doroty i Basi?

6. Jeżeli imiona dzieci zapiszemy bez zdrobnień, to młodsze dziecko ma mniej liter w swoim imieniu, a starsze ma więcejliter w swoim imieniu. Czy w tej rodzinie są bliźnięta?

7. Ile lat ma Tymek, jeżeli uczy się w szkole podstawowej, a różnice wieku dzieci w latach są proporcjonalne do różnic liczbliter w ich imionach, pisanych bez zdrobnień? Wiek każdego dziecka, w latach, jest liczbą pierwszą.

8. Ile jest różnych 8-literowych słów, z sensem lub bez, w których litery pochodzą ze słowa„pokój”?

9. Ile różnych 3-literowych słów, z sensem lub bez, można utworzyć z liter słowa „pokój”,jeżeli każda litera może być użyta w takich słowach tylko jeden raz?

10. Ile różnych słów, z sensem lub bez, można utworzyć z liter słowa „pokój”, jeżeli każdalitera może być użyta w takich słowach tylko jeden raz?

11. Jeżeli słowo „pokój” zapiszemy 7 razy, jeden za drugim, to którą literą, licząc od lewejstrony, będzie ostatnie „o”?

12. Jeżeli słowo „pokój” zapiszemy n razy, jeden za drugim, to którą literą, licząc od lewejstrony, będzie ostatnie „o”, gdy n jest dodatnią liczbą naturalną?

13. Jeżeli słowo „pokój” zapiszemy 11 razy, jeden za drugim, przy kolejnym słowie odwracającporządek liter: „pokójjókoppokójjókop...”, to którą literą, licząc od lewej strony, będzieostatnie „k”?

14. Którą literą, licząc od lewej strony, będzie ostatnie „o”, w sytuacji opisanej w poprzednim zadaniu?

15. Jeżeli słowo „pokój” zapiszemy n razy, jeden za drugim, przy kolejnym słowie odwracając porządek liter:„pokójjókoppokójjókop...”, to którą literą, licząc od lewej strony, będzie ostatnie „o”, gdy n jest dodatnią liczbą naturalną?

16. Wymiary pokoju dziewcząt różnią się o 1 m, a ich suma to 11,4 m. Jaka jest wysokość tego pokoju, jeżeli to najmniejszaz tych liczb?

17. Jaką powierzchnię ma podłoga w pokoju dziewcząt? Jest prostokątem, podobnie jak każda ściana.

18. Basia i Dorota chciałyby mieć taki dywan, którego boki byłyby odległeo 1 m od boków podłogi ich pokoju. W jakiej skali kształt tego dywanubyłby podobny do kształtu podłogi?

19. Jaką powierzchnię miałby największy okrągły dywan, który zmieściłbysię na podłodze w pokoju dziewcząt?

20. Jaki byłby obwód największego okrągłego dywanu, który zmieściłby sięna podłodze w pokoju Doroty, obok dywanu z poprzedniego zadania? Żaden fragment jednego z dywanów nie może leżećna drugim dywanie.

21. Jaka jest najmniejsza liczba kwadratowych dywanów, którymi można byłoby pokryć całą podłogę w pokoju dziewcząt?Każdy fragment podłogi musi być przykryty jakimś dywanem i żadne dwa dywany nie mogą na siebie zachodzić.

V Konkurs Matematyczne Preteksty – edycja 2017/2018 MatPret.pl

Wszelkie prawa zastrzeżone! Copyright © Marek Matejuk, Wałbrzych, 30-12-2017 r. Strona 3 z 4

22. Jaka jest największa liczba kwadratowych dywaników o bokach długości 1 m, które zmieściłyby się na podłodze w pokojudziewcząt, jeżeli żaden fragment jednego z dywaników nie może leżeć na innym dywaniku.

23. O ile należałoby jednocześnie powiększyć krótszy bok i pomniejszyć dłuższy bok podłogiw pokoju dziewcząt, aby otrzymać kwadratową podłogę o takiej samej powierzchni?

24. Jaka jest najmniejsza liczba sześcianów, którymi można byłoby wypełnić całkowicie pusty pokójdziewcząt, nie biorąc pod uwagę wnęk okiennych? Każdy punkt pokoju musi należeć do jakiegośsześcianu i żadne dwa sześciany nie mogą się przenikać.

25. Jaka jest największa liczba drewnianych klocków sześciennych o krawędzi 1 m, które zmieściłyby się w całkowiciepustym pokoju Basi i Doroty, nie biorąc pod uwagę wnęk okiennych?

26. O ile należałoby jednocześnie powiększyć lub pomniejszyć wymiary pokoju dziewcząt, aby otrzymać pokój w kształciesześcianu?

27. Jakie wymiary miałaby podłoga o takiej samej powierzchni jak podłoga w pokoju dziewcząt,gdyby miała kształt sześciokątna foremnego?

28. Na mniejszej ścianie pokoju Doroty i Basi znajdują się 2 okna, z wnękami o wysokościach 185cm, szerokościach 115 cm i głębokościach 25 cm. Są one rozmieszczone tak, że odległość międzywnękami jest taka sama, jak odległości wnęk od sąsiednich ścian. Jaka byłaby objętośćnajwiększego ostrosłupa, który zmieściłby się w ich pokoju?

29. Jaka byłaby odpowiedź do poprzedniego zadania, gdyby zamiast okien tam opisanych, było 30 okien z wnękamio wymiarach 25x25x25 cm?

30. Jaka byłaby objętość największego stożka (prostego), który zmieściłby się w pokoju dziewcząt?

31. Jaka byłaby objętość największego stożka (prostego), który zmieściłby się w pokoju dziewcząt, gdyby na środkumniejszej ściany znajdowało się okrągłe okno o średnicy 25 cm, z wnęką o głębokości również 25 cm?

32. Jaka jest powierzchnia okna w pokoju Basi, jeżeli jego wymiary są o 15 cm mniejsze, niż wymiary wnęki okiennej?

33. W pokoju Doroty są rolety z tkaniny, zamontowane na ścianie, 10 cm nad wnękamiokiennymi. Jakie są wymiary tkaniny, jeżeli po całkowitym rozwinięciu rolety, zakrywaona dolny i boczne fragmenty ściany wokół wnęki okiennej, na szerokość 5 cm?

34. Ile kosztowały rolety z pokoju dziewcząt, jeżeli były zamawiane „na wymiar”, a w takimprzypadku ich koszt był wyliczany wg wskaźnika: 50 zł za 1 m2 tkaniny?

35. O ile procent byłyby tańsze rolety dopasowane do wymiarów wnęk okiennych?

36. Tkanina rolety ma grubość 0,2 mm, a wałek, na którym jest zamocowana, ma średnicę 3cm. Jaka będzie średnica zwiniętej rolety? Długość spirali potraktuj jako sumę długości okręgów.

37. Gdyby w pokoju dziewcząt były okrągłe okna o średnicy 1 m, to do jakiej wysokości okna powinno się opuścić roletę,aby przesłonić 60% jego powierzchni?

38. Jaka byłaby odpowiedź do poprzedniego zadania, gdyby dziewczęta miały w swoim pokoju kwadratowe okna o bokachdługości 1 m oraz pionowych i poziomych przekątnych?

39. Jaka byłaby odpowiedź do poprzedniego zadania, gdyby dolna część rolety nie była pozioma, tylko miała kształtsymetrycznego „ostrza”, będącego połową kwadratu?

40. Pewnego dnia, w chwili kiedy Słońce było najwyżej nad horyzontem, promienie słoneczne padały na podłogę w pokojuBasi i Doroty pod kątem 30°. Jak duży fragment podłogi oświetliły, jeżeli zewnętrzna wnęka okienna w ścianie budynkuma głębokość 15 cm, a pozostałe jej wymiary są takie same, jak wymiary okna? Ściana z oknami w pokoju dziewcząt jest

częścią południowej ściany budynku, w którym mieszkają, a od podłogi do dolnej krawędziwewnętrznej wnęki okiennej jest 70 cm.

41. Na środku sufitu pokoju dziewcząt wisi lampa. Środek jej żarówki znajduje się 25 cm od sufitu.Jakie są jego odległości od rogów pokoju dziewcząt?

42. Jaka jest najmniejsza możliwa suma odległości środka żarówki od rogów pokoju, jeżeli lampęz poprzedniego zadania można byłoby dowolnie opuszczać?

V Konkurs Matematyczne Preteksty – edycja 2017/2018 MatPret.pl

Wszelkie prawa zastrzeżone! Copyright © Marek Matejuk, Wałbrzych, 30-12-2017 r. Strona 4 z 4

43. Gdyby lampa z pokoju dziewcząt miała klosz w kształcie stożka, o kącie rozwarcia 120° i średnicy 40 cm, to jaka byłabywysokość fragmentu dłuższej ściany pokoju, który by oświetlała? Od wierzchołka klosza do końca żarówki jest 10 cm.

44. Na środku podłogi stoi kwadratowy stolik, którego blat jest na wysokości 50 cm nad podłogą. Jakie jest pole cienia tegoblatu, jeżeli jego boki mają 50 cm długości?

45. Znajdź funkcję opisującą pole cienia blatu z poprzedniego zadania, w zależności od wysokości stolika.

46. Jakie są współrzędne środka żarówki lampy z pokoju dziewcząt w prostokątnym układzie współrzędnych, jeżeliprzyjęlibyśmy, że jego nieujemna część osi pierwszych współrzędnych (x) biegnie wzdłuż łączenia podłogi i dłuższejściany, jego nieujemna część osi drugich współrzędnych (y) biegnie wzdłuż łączenia podłogi i ściany z oknami, a jegonieujemna część osi trzecich współrzędnych (z) biegnie wzdłuż łączenia ściany z oknami i dłuższej ściany pokoju. Osie sązorientowane standardowo, wspólny punkt tych osi ma współrzędne (0;0;0), a jednostka to 1 m.

47. Podaj współrzędne wierzchołków sześcianu o krawędziach długości 1 m, który zmieściłby się w pokoju Doroty i Basi,jeżeli jeden z tych wierzchołków ma współrzędne (0;0;0)?

48. Ile jest punktów o współrzędnych (a;b), gdzie a i b przyjmują wartości 1 lub -1,w przestrzeni 2-wymiarowej z prostokątnym układem współrzędnych?

49. Ile jest punktów o współrzędnych (a;b;c), gdzie a, b i c przyjmują wartości 1lub –1, w przestrzeni 3-wymiarowej z prostokątnym układem współrzędnych?

50. Ile jest punktów o współrzędnych (x1; x2; x3; ...; xn), gdzie x1, x2, x3, ..., xn

przyjmują wartości 1 lub –1, w n-wymiarowej przestrzeni z prostokątnym układem współrzędnych, gdy n jest dodatniąliczbą naturalną?

51. Jaka jest odległość punktów z zadania o numerze o 3 mniejszym od numeru tego zadania, od początku układuwspółrzędnych?

52. Jaka jest odległość punktów z zadania o numerze o 3 mniejszym od numeru tego zadania, od początku układuwspółrzędnych?

53. Jaka jest odległość punktów z zadania o numerze o 3 mniejszym od numeru tego zadania, od początku układuwspółrzędnych?

54. Poprzedniego dnia tata z Mateuszem i Tymkiem układali panele na podłodze pokoju dziewcząt. Ile mieli paczek paneli,jeżeli było ich jak najmniej, ale tyle, żeby panele pokryły powierzchnię o 10% większą niż powierzchnia podłogioraz dodatkowo mieli jedną całą paczkę? Panele mają wymiary swoich powierzchni 20x130 cm, a w paczce jest ich 10.

55. Panele były układane dłuższym bokiem wzdłuż dłuższej ściany. Między panelami, a każdą ścianą zaplanowali 1 cmodstępu. Czy musieli docinać pierwszy rząd paneli, przed jego ułożeniem, jeżeli producent nakazuje, aby ostatni układanyrząd miał nie mniej, niż 5 cm szerokości?

56. Jaka jest maksymalna długość wszystkich linii, będących łączeniami sąsiednich paneli, które nie będą widocznespod dywanu o wymiarach o 2 m mniejszych, niż wymiary podłogi? Panele są układane tak, że łączenie dwóch krótkichboków paneli jednego rzędu wypada w połowie panelu sąsiedniego rzędu.

57. Kto pierwszy wziął paczkę od kuriera i zaniósł ją do pokoju dziewcząt?

58. Ile paczek przywiózł kurier, jeżeli Basia nosiła je 6 razy, Dorota – 4 razy, Mateusz – 5 razy, Tymek i mama – po 6 razy,a tata – 8 razy?

59. Czy istnieje niebezpieczeństwo, że tata i jego pomocnicy, składając „na leżąco” szafę o podstawie60x80 cm i wysokości 240 cm, a następnie stawiając ją pionowo, bez podnoszenia, mogliby stłucżarówkę w lampie na suficie pokoju dziewcząt?

60. Czy Tymek o wzroście 150 cm może dostrzec, stojąc na podłodze pokoju dziewcząt, okrągłepudełko o średnicy 40 cm i wysokości 12 cm, leżące „płasko” na szafie z poprzedniego zadania, jeżeliszafa stoi w rogu pokoju, dłuższym bokiem przylegając do dłuższej ściany, a krótszym – do krótszej?Pudełko styka się z dwiema ścianami pokoju, a Tymek może „zyskać” 5 cm, stając na palcach.

Pozdrawiam serdecznie,Marek Matejuk - autor