Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 8Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok

Elżbieta Adamus 11 maja 2017r.

Układy równań liniowych

Zadane układy równań rozpatrujemy nad R.

Zadanie 1. Wykorzystując twierdzenie Cramera i wnioski z tego twierdzenia określ typ podanychukładów równań i rozwiąż je:

a){

3x− 7y = 12x+ 9y = 28

b){

6x− 4y = 59x− 6y = 2

c)

x+ 2y + z = 1−x− y + z = 0y + z = −1

d)

3x− y + 2z = 04x+ 2y − 5z = 02x− 7y + 11z = 0

e)

3x+ 2y − z = 04x+ 2y − 5z = 02x− 7y + 11z = 0

Zadanie 2. Rozwiąż następujące układy równań w zależności od parametrów a, b, c, k ∈ R:

a){

2kx− 2ky = 65kx− 10ky = 15

b){

(1 + a)x− ay = 1 + aax+ (1− a)y = a− 1

c){

kx+ 2y + 4 = 05x+ (k − 3)y − 10 = 0

d){

2x− ky = 0kx+ 4y = 0

e){

2k2x+ 10y − 16 = 0kx+ y − 3 = 0

f)

x+ y + az = 0x− y − az = 12x+ az = 2

g)

x+ y − az = −1ax+ y + az = 44x+ y + 4z = a

h)

ay + bx = ccx+ az = bbz + cy = a

Zadanie 3. Wykorzystując twierdzenie Kroneckera-Capellego rozwiąż następujące układy równań:

a)

4x− 6y = 06x− 9y = 02x− 3y = 0

b)

4x− y = 73x+ y = 142x+ 3y = 0

c){

x+ 2y − z + 4w = 12x− 3y − 2z − 6w = 0

d)

3x+ y + 2z = 4x− 2y + 3z = 12x+ 3y − z = −1

Zadanie 4. Przy pomocy twierdzenia Kroneckera-Capellego przedyskutuj rozwiązalność następu-jących układów równań w zależności od parametrów a, b, c ∈ R i rozwiąż układy równań:

a)

x+ 2y = 62x+ y = 9x+ y = a

b)

ax+ y = 0x+ by = 0x+ y = b

c)

x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = −12x1 + 5x2 + 9x3 + 7x4 = −1−2x1 − 4x2 − 6x3 − 10x4 = 2−x2 − 3x3 + 3x4 = −13x1 + 7x2 + 12x3 + 12x4 = −2

Zadanie 5. Przy pomocy twierdzenia Kroneckera-Capellego określ typ układu równań i jego liczbęrozwiązań:

1

a)

ax+ y = 23x+ y = 1x+ 4y = a

b)

x− 3y + z = 02x+ y − z = 15x− y − z = 2x− 10y + 4z = −1x+ y + 2z = 1

Zadanie 6. Dany jest układ równań

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 03x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4 = 44x1 + 5x2 + 6x3 + 3x4 = 55x1 + 3x2 + 9x3 + 9x4 = −9

. Posługując sie algoryt-

mem Gaussa sprowadź macierz tego układu do macierzy trójkątnej górnej a następnie rozwiążotrzymany w ten sposób równoważny układ równań.

Zadanie 7. Posługując się algorytmem Gaussa rozwiąż następujące układy równań:

a){

x+ 5y = 2−3x+ 6y = 15

b)

2x+ 3y + 2z = 13x+ 4y + 2z = 24x+ 2y + 3z = 3

c)

x+ 2y + 3z − 2t− u = 63x+ 6y + 5z − 2t− 9u = 12x+ 4y + 2z − 8u = −52x+ 4y + 7z − 5t+ u = 17x+ 2y + 6z − 5t− 10u = 12

d)

x1 + x2 + 2x4 = 1x1 + x2 − x4 = 0x1 − x2 + x3 − x4 = 9

e)

x1 + x2 = 1x1 + x2 + x3 = 4x2 + x3 + x4 = −3x3 + x4 + x5 = 2x4 + x5 = −1

f)

2x1 + x2 − x3 + x4 = 13x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 25x1 + x2 − x3 + 2x4 = −12x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4

Zadanie 8. Posługując się algorytmem Gaussa rozwiąż następujące układy równań w zależnościod parametru p ∈ R:

a)

py − z = 0px+ y = ppx+ z = 1

b)

x+ 2y + z + pt = 6x+ y + pz + pt = −83x+ 5y + (p+ 2)z + 3pt = p

Zadanie 9. Posługując się algorytmem Gaussa określ liczbę rozwiązań układu równań w zależnościod parametru p ∈ R

px+ py + pz + pt = px+ py + pz + pt = px+ y + pz + pt = px+ y + z + pt = p

Zadanie 10. Rozwiąż podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:

a){

x+ 7y = 22x− y = 9

b)

x− 2y + 3z = −73x+ y + 4z = 52x+ 5y + z = 18

Zadanie 11. Ile rozwiązań może mieć układ 5 równań z 7 niewiadomymi?

2