Układy równań liniowych i metody ichrozwiązywania

Łukasz Wojciechowski

21 marca 2010

Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1)

gdzie:aij to współczynniki układubi to tzw. wyrazy wolne

Układowi temu odpowiadają macierze:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

, B =a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

... . . . ......

am1 am2 . . . amn bm

gdzie:macierz A nazywana jest macierzą podstawową układu (1)macierz B nazywana jest macierzą rozszerzoną układu (1)

1

Układ (1) możemy zapisać w postaci:

Ax = b

gdzie:

x =

x1x2...xn

Definicja 1.Rozwiązaniem układu (1) nazywamy każdy układ liczb x1, x2, . . . , xnspełniający układ (1).

Definicja 2.Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę kolumn liniowoniezależnych i oznaczamy przez rz(A).

Uwaga.Obliczając rząd macierzy należy, za pomocą operacji elementarnych nawierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej, wtedy wszystkieniezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rządmacierzy.

Definicja 3.Przekształceniami elementarnymi układu równań liniowych nazywamy:

� przestawienie dwóch równań (wierszy)

� pomnożenie równania (wiersza) przez liczbę różną od zera

� pomnożenie równania przez dowolną liczbę różną od zera i dodanie gostronami do innego równania danego układu

2

� przestawienie dwóch kolumn w macierzy układu

Przykład 1. Obliczyć rząd macierzy

A =

1 −1 1 22 −2 1 23 −3 1 2

W celu obliczenia rzędu macierzy musimy sprowadzić macierz A do postacischodkowej przy użyciu przekształceń elementarnych. 1 −1 1 22 −2 1 23 −3 1 2

W2−2W1−−−−−→W3−3W1

1 −1 1 20 0 −1 −20 0 −2 −4

W3−2W2−−−−−→

1 −1 1 20 0 −1 −20 0 0 0

K2K3−−−−→

K2K3−−−−→

1 −1 1 20 −1 0 −20 0 0 0

→ [1 −1 1 20 −1 0 −2

]

Największa macierz schodkowa to macierz 2x2, tak więc rz(A)=2.

Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego).Układ równań liniowych (1) o macierzy głównej A i macierzy rozszerzonejB ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz(A) = rz(B).

Wniosek 1.Układ równań liniowych (1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ⇔rz(A)=rz(B)=n,gdzie n jest liczbą niewiadomych w układzie.

Wniosek 2.Jeżelirz(A)=rz(B) = r < nto układ (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-rparametrów.

3

Wniosek 3.Układ równań liniowych (1) jest sprzeczny jeżeli rz(A) 6= rz(B).

Definicja 4.Układ nazywamy układem Cramera, jeśli macierz współczynników A jestkwadratową macierzą nieosobliwą tzn. m = n i det(A) 6= 0.

Twierdzenie 2 (Cramera).Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to dane jestwzorami (wzory Cramera):

xk =det(Ak)det(A) , k = 1, 2, . . . , n

gdzie Ak oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie k-tejkolumny kolumną b (kolumna wyrazów wolnych)

Przykład 2.Rozwiązać układ równań:

x1 + x2 + 2x3 = −12x1 − x2 + 2x3 = −45x1 + 2x2 + 6x3 = −3

Rozwiązanie. Tworzymy macierz współczynników A i obliczamy jejwyznacznik:

A =

1 1 22 −1 25 2 6

; detA =

∣∣∣∣∣∣∣1 1 22 −1 25 2 6

∣∣∣∣∣∣∣ = 6.Ponieważ detA = 6 6= 0, więc jest to układ Cramera. Obliczamywyznaczniki A1, A2 , A3:

detA1 =

∣∣∣∣∣∣∣−1 1 2−4 −1 2−3 2 6

∣∣∣∣∣∣∣ = 6, detA2 =

∣∣∣∣∣∣∣1 −1 22 −4 25 −3 6

∣∣∣∣∣∣∣ = 12.

4

detA3 =

∣∣∣∣∣∣∣1 1 −12 −1 −45 2 −3

∣∣∣∣∣∣∣ = −12.Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie: x1=1, x2=2,x3=-2.

Uwaga.Układ Cramera można rozwiązać tzw. metodą macierzową. PonieważdetA 6= 0, więc istnieje macierz odwrotna A−1. Mnożymy układ - zapisanyw postaci macierzowej - z lewej strony przez A−1:

A−1Ax = A−1b

Ponieważ A−1A = E, otrzymujemy:

x = A−1b

Przykład 3.Rozwiązać układ równań:

3x1 + x2 − x3 = 14x1 + 2x2 − x3 = 2−2x1 − x2 + x3 = 3

Rozwiązanie:

A =

3 1 −14 2 −1−2 −1 1

; detA =

∣∣∣∣∣∣∣3 1 −14 2 −1−2 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1.Macierz odwrotna jest postaci:

A−1 =

1 0 1−2 1 −10 1 2

Mnożymy teraz A−1b:

5

x = A−1b =

1 0 1−2 1 −10 1 2

123

= 4−38

Uwaga.Jeżeli układ (1) jest układem Cramera i b1 = b2 = · · · = bn = 0 to układ tennazywamy jednorodnym.

Uwaga.Jednorodny układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązaniex1 = x2 = · · · = xn = 0.

W przypadku, gdy liczba niewiadomych n jest duża, obie przedstawionemetody rozwiązania układu Cramera stają się mało przydatne, gdyżwymagają dużo obliczenie.

Metoda eliminacji Gaussa

Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, zapomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierzrozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnienależy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzeniaKroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązańukładu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układureprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

Przykład 4.Rozwiązać układ równań:

4x1 + x2 + 3x3 = 2x1 + 4x2 + x3 = 12x1 + 3x2 + 2x3 = 4

6

Rozwiązanie:

A =

4 1 31 4 12 3 2

; B =

4 1 3 21 4 1 12 3 2 4

Sprowadzamy macierz B to postaci schodkowej:

4 1 3 21 4 1 12 3 2 4

W3− 14W1−−−−−→W2− 12W1

4 1 3 20 154

1412

0 52

12 3

W3− 23W2−−−−−→

4 1 3 20 154

1412

0 0 1383

Otrzymana macierz odpowiada układowi:

4x1 + x2 + 3x3 = 2154 x2 +

14x3 =

12

13x3 =

83

Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma dokładnie jednorozwiązanie. Przeprowadzamy teraz tzw. redukcję wsteczną, czylizaczynamy od najniższego schodka(równania), wyznaczamy z niego x3,następnie wyznaczone x3 podstawiamy do jednego równania wyżej iwyznaczamy x2 itd.Otrzymujemy rozwiązanie: x1 = −275 , x2 = −

25 , x3 = 8

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Redukcja Gaussa – Jordana jest innym sposobem eliminacji niewiadomych,niż metoda Gaussa. Różnica polega na tym, że macierz rozszerzoną układusprowadzamy do postaci macierzy jednostkowej i w wyniku czego niemusimy przeprowadzać redukcji wstecznej, bo będziemy mieli już gotowerozwiązanie po sprowadzeniu macierzy rozszerzonej do postacijednostkowej, będzie nim dodatkowa kolumna (ostatnia) w tej macierzy.

7

Przykład 5.Rozwiązać układ równań:

x1 + 2x2 + 3x3 = 144x1 + 3x2 − x3 = 7x1 − x2 + x3 = 2

Rozwiązanie:

A =

1 2 34 3 −11 −1 1

; B =

1 2 3 144 3 −1 71 −1 1 2

Sprowadzamy macierz B to postaci macierzy jednostkowej:

1 2 3 144 3 −1 71 −1 1 2

W3−W1−−−−−→W2−4W1

1 2 3 140 −5 −13 −490 −3 −2 −12

− 15W2−−−→

1 2 3 140 1 13

5495

0 −3 −2 −12

W3+3W2−−−−−→W1−2W2

W3+3W2−−−−−→W1−2W2

1 0 −115 −285

0 1 135

495

0 0 295

875

529W3−−−→

1 0 −115 −285

0 1 135

495

0 0 1 3

W2− 135 W3−−−−−−→W1+ 115 W3

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

Otrzymujemy rozwiązanie: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

8

Przykład 6.Rozwiązać układ równań:

x+ 2y + 3z − 2t+ u = 43x+ 6y + 5z − 4t+ 3u = 5x+ 2y + 7z − 4t+ u = 112x+ 4y + 2z − 3t+ 3u = 6

W układzie tym mamy 4 równania i 5 niewiadomych. Nie jest zatemmożliwe rozwiązanie go metodą Cramera. Układ ten może miećnieskończenie wiele rozwiązań lub może być to układ sprzeczny. Aby tosprawdzić i ewentualnie wyznaczyć rozwiązanie, skorzystamy z twierdzeniaKroneckera-Capeliego.Budujemy macierz rozszerzoną układu:

B =

1 2 3 −2 1 43 6 5 −4 3 51 2 7 −4 1 112 4 2 −3 3 6

Wykonując elementarne operacje, szukamy rzędu macierzy B. W wynikutych operacji otrzymujemy macierz:

B =

1 2 3 −2 1 43 6 5 −4 3 51 2 7 −4 1 112 4 2 −3 3 6

→x y z t u1 0 0 0 0 00 0 0 2 0 70 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0

→x t u1 0 00 2 00 0 1

rz(B)=3Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego stwierdzamy, że układ posiadanieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.Rozwiązania te wyznaczamy w taki sposób, że po przeniesieniu na prawąstronę niewiadomych uznanych za parametry (w tym przykładzie y i z, bokolumny się wyzerowały).

9

Otrzymujemy układ równań:x+ 2t+ u = 4− 2y − 3z3x− 4t+ 3u = 5− 6y − 5z2x− 3t+ 3u = 6− 4y − 2z

Otrzymany układ równań jest układem typu n x n i jest jednocześnieukładem Cramera. Można go rozwiązać metodą Cramera.

detA =

∣∣∣∣∣∣∣1 −2 13 −4 32 −3 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 2.

detA1 =

∣∣∣∣∣∣∣(4− 2y − 3z) −2 1(5− 6y − 5z) −4 3(6− 4y − 2z) −3 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 4y−2z−9, detA2 =

∣∣∣∣∣∣∣1 (4− 2y − 3z) 13 (5− 6y − 5z) 32 (6− 4y − 2z) 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 4z−7

detA3 =

∣∣∣∣∣∣∣1 −2 (4− 2y − 3z)3 −4 (5− 6y − 5z)2 −3 (6− 4y − 2z)

∣∣∣∣∣∣∣ = 4z + 3Ostateczne rozwiązanie jest postaci:

x = detA1detA= 4y−2z−92

y ∈ Rz ∈ R

t = detA2detA= 4z−72

u = detA3detA= 4z+32

10