Twierdzenia o wzajemności

Praca - definicja

Praca – iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły.

)(sFr

sdr

S

)(sFr

sdr

S

( )αcos)()( sFsF ss

rr=( )∫

∫

=

==

S

S

dssF

sdsFL

αcos)(

)(

r

ro

r

α

Praca zewnętrzna

1rr

Praca statycznego układu siłzewnętrznych na konstrukcję trwa w nieskończenie długim czasie i dlatego można narysować wykres tego obciążenia tak jak na rysunku:

Fi

∑∫ ==i

ii

S

z sFsdsFL2

1)(

ro

r

si

LwiF1 F2

s1s2

Fw1F2

s1s2

Praca zewnętrzna sił

Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje „punkt” belki pod wpływem działania tej siły czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia i wartość składowej siły, działającej na

( )22112

1

2

1)( sFsFsFsdsFL y

iii

S

z +=== ∑∫r

or

F1F2

s1s2

F1F2

s1s2

F1y

F1x

przemieszczenia i wartość składowej siły, działającej na kierunku tego przemieszczenia.

Praca zewnętrzna sił i momentów

Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod wpływem działania tego oddziaływania siły

czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej

( )22112

1sFMLz += ϕ

M1F2

ϕ1

s2

przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) .

Praca zewnętrzna obciążeń

Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod wpływem działania tego oddziaływania siły

czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) .

( ) ( )2222 2

1

2

1sFqAsFdxxuqL

ba

az +=

+∫=+

F2s1 =u(a)

q

a b

u(x)

x

s2 =u(a+b)

F2

s1

q

a b

s2A

Praca wewnętrzna

Praca sił wewnętrznych jest zawsze ujemna, bo siły wewnętrzneprzeciwstawiają się odkształceniom, a więc mają przeciwne zwroty.Praca ta jest równa całce iloczynu naprężeń, wywołanych siłamiwewnętrznymi, i odkształceń jakie powoduje działanie siłzewnętrznych:zewnętrznych:.

dVdVLV

T

V

Tw ∫∫ −=−= σεεσ

2

1

2

1

dVdVVV

T

V

T

∫∫ == σεεσ2

1

2

1

Energia sprężysta

Energia sprężysta powoduje, że gdy usuniemy obciążenie, toukład wróci do kształtu pierwotnego przed działaniem sił.

Oznaczenia

dVdVLV

T

V

Tw ∫∫ −=−= σεεσ

2

1

2

1

dVdVV TT

∫∫ == σεεσ11

Energia sprężysta

=

xz

xy

z

y

x

τττσσσ

σ

Praca sił wewnętrznych:Wektor naprężeń:

dVdVVVV∫∫ == σεεσ

22

yzτ

=

yz

xz

xy

z

y

x

γγγεεε

ε

x

uxx ∂

∂ε =

y

u yy ∂

∂ε =

z

uzz ∂

∂ε = γ ∂∂

∂∂xy

x yu

y

u

x= +

γ ∂∂

∂∂xz

x zu

z

u

x= +

γ∂∂

∂∂yz

y zu

z

u

y= +

Wektor odkształceń

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami

ε=σ DNajbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego:

τττσσσ

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

σ

γγγεεε

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

ε

++

+

=

µµ

µµλλλ

λµλλλλµλ

00000

00000

00000

0002

0002

0002

D

( )( ) νν

νννλ

21

2

21+1 −=

−= GE

( ) GE ==

νµ

+12gdzie stałe Lamego


Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami σε 1−= DNajbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego:

τττσσσ

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

σ

γγγεεε

=

yz

xz

xy

zz

yy

xx

ε

( )( ) νν

νννλ

21

2

21+1 −=

−= GE

( ) GE ==

νµ

+12gdzie stałe Lamego

++

+−−

−−−−

=−

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

11

νν

ννν

νννν

ED


( ) GE ==

νµ

+12

gdzie stałe Lamego

++

+

=µ

µλλλλµλλλλµλ

00000

0002

0002

0002

D

Macierz, zawierająca dane materiałowe

( )( ) νν

νννλ

21

2

21+1 −=

−= GE

( )ν+12

µµ

µ

00000

00000

00000

E – moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej

G – moduł Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej

ν – współczynnik Poissona, równy ilorazowi odkształceń wzdłuż kierunku

działania naprężenia i w kierunku prostopadłym,

np. przy zz

xx

yy

xx

εε

εεν −=−= .0,0,0 ==≠ zzyyxx σσσ

Równania konstytutywne -geneza

Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych,

np. próba statyczna rozciągania.

0=yyσ

Exx

xx

σ=ε

xxxx

xxyy EEσν−=σν−=νε−=ε

xxxx

xxzz EEσν−=σν−=νε−=ε

naprężenia działają tylko wzdłuż osi naprężenia działają tylko wzdłuż osi xx

dx

du

dx

duxxx ==ε

dy

dv

dy

duyyy ==ε

dz

dw

dz

duzzz ==ε

yy

0=zzσ

0== yxxy ττ0== zxxz ττ0== zyyz ττ


Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna rozciągania.

σnaprężenia działają wzdłuż osi naprężenia działają wzdłuż osi yy

Eyy

yy

σ=ε

Ezz

zz

σ=ε

yyyy

yyxx EEσν−=

σν−=νε−=ε

yyyy

yyzz EEσν−=

σν−=νε−=ε

naprężenia działają wzdłuż osi naprężenia działają wzdłuż osi zz

zzzz

zzxx EEσν−=σν−=νε−=ε

zzzz

zzyy EEσνσννεε −=−=−=


Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami postaciowymi i naprężeniami stycznymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna skręcania.

Gxy

xy

τ=γ2

Gyz

yz

τ=γ2

Gxz

xz

τ=γ2

Układy Clapeyrona

Układ sprężysty musi spełniać następujące warunki:– materiał, z którego wykonany jest układ, zachowuje się zgodnie zprawem Hooke’a czyli jest to materiał liniowo-sprężysty,

– w układzie nie ma takich warunków brzegowych, których istnienie– w układzie nie ma takich warunków brzegowych, których istnieniezależy od odkształcenia konstrukcji,– temperatura układu jest stała,– nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych.

Układy, które spełniaj ą wymienione warunki, nazywane s ą

układami Clapeyrona.

Twierdzenia Clapeyrona mówi,że dla układu sprężystego, znajdującego się wrównowadze, praca sił zewnętrznych Lz równa jest energii potencjalnej siłwewnętrznych (energii sprężystej):

Lz=V

Twierdzenie Clapeyrona

lub w innej wersji

Praca sił zewnętrznych jest miarą energii potencjalnej obciążenia zewnętrznegoprzekształcającej się w energię sprężystą:

Lz=Vz=V=-Lw

=⋅∑=

n

iii

12

1uP ∫∫ =

VV

dVdV σεεσTT

2

1

2

1

Układ sił Pik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanychukładem sił Pjn jak układ sił Pjn na przemieszczeniach wywołanych przez siły Pik.

Twierdzenie E.Bettiego o wzajemności pracy

ijji uPuP ⋅=⋅

P P

∑∑ ⋅=⋅n

injnk

jkik uPuP

Pi

uiiuji

Pj

Pi

uiiuji

Pj

uijujj

uijujj

jij uP ⋅ iji uP ⋅=

Ugięcie belki od siły Pi Ugięcie belki od siły Pj

Praca siły Pj Praca siły Pi

Układ sił Pik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanychukładem sił Pjn jak układ sił Pjn na przemieszczeniach wywołanych przez siły Pik.

Twierdzenie E.Bettiego o wzajemności pracy - dowód

Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona praca sił zewnętrznychLz równa jest energiipotencjalnej sił wewnętrznych (energii sprężystej):

∑∫∫∫∑ ⋅====⋅n

injn

V

ji

V

ji

V

jik

jkik dVdVdV uPσεεDεεσuP TTTT

∑∑ ⋅=⋅n

injnk

jkik uPuP

Dεσ = DεDεσTTTT ==

Lz=V czyli =⋅∑=

n

iii

12

1uP ∫∫ =

VV

dVdV σεεσTT

2

1

2

1

Wykorzystując równania konstytuwne:mamy:

Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowePi=1 i Pj=1,wywołujące odpowiednio przemieszczeniawji (przemieszczenie w punkciej na kierunku siłyPj wywołane siłą Pi) i wij (przemieszczenie w punkciei na kierunku siłyPi wywołane siłą Pj),to te przemieszczenia są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (Maxwella)

Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wjiPi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji

Pi

wiiwji

Pj

Pi=1

wiiwji

Pj=1

wijwjj

wij wjj

Ugięcie belki od siły Pi=1Ugięcie belki od siły Pj=1

Praca siły Pj Praca siły Pi

Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowePi=1 i Pj=1,wywołujące odpowiednio przemieszczeniawji i wij, to te przemieszczenia są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (Maxwella)

Przykład

Pi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji

Pi=1

wii

wji

Pj=1wij

wjj

Odkształcenie belki od siły Pi=1 Ugięcie belki od siły Pj=1

Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnymuogólnionym przemieszczeniom jednostkowymδi=1 i δj=1 (obciążenie geometryczne),wywołującym odpowiednio reakcjeRji (reakcja w podporzej wywołana obciążeniemgeometrycznymδi) i Rij (reakcja w podporzei wywołana obciążeniem geometrycznymδj), tote reakcje są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności reakcji (Rayleigha)

δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rjiδi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji

δi=1

RjiUgięcie belki od wymuszenia δi=1

Ugięcie belki od wymuszenia δj=1

Praca reakcji Rij Praca reakcji Rji

δj=1Rii

Rij

Rjj

Rij δi Rij = δj Rji

Rjiδj=1δi=1

Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnymuogólnionym przemieszczeniom jednostkowymδi=1 i δj=1, wywołującym odpowiednioreakcjeRji i Rij, to te reakcje są sobie równe.


Przykład

δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji

δi=1

Rji

δj=1Rii

Rij

Rjj

Odkształcenie belki od przemieszczenia δi=1 Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1

Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnymuogólnionym przemieszczeniom jednostkowymδi=1 i δj=1, wywołującym odpowiednioreakcjeRji i Rij, to te reakcje są sobie równe.


Przykład

δi Rij = δj Rji oraz δi=1 i δj=1 ⇒ Rij = Rji

δi=1

Rji

δj=1

Rii

Rij Rjj

Odkształcenie belki od przemieszczenia δi=1 Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1

Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie (dwie sytuacje) w punkcieisiła jednostkowaPi=1 oraz w podporzej przemieszczenie jednostkoweδj=1 (obciążeniegeometryczne), wywołujące odpowiednio reakcję Rji (reakcja w podporzej wywołana siłą Pi)i przemieszczeniewij (przemieszczenie w punkciei wywołane obciążeniem geometrycznymprzyłożonym w podporzej), to reakcjaRji i przemieszczeniewij są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji

P w + R δ =0P =1

wii

Rji Ugięcie belki od wymuszenia δj=1

Praca siły PiPraca reakcji Rji

δj

Rjj

0 wii+0 Rjj = Pi wij+δj Rji

Pi wij + Rji δj=0

wij

Pi=1Ugięcie belki od siły Pi=1

wii

δj

wij

δi=0

δi=0

Rjj

Pi=1

Rji

Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie w punkciei siła jednostkowaPi=1 oraz w podporzej przemieszczenie jednostkoweδj=1, wywołujące odpowiednio reakcjęRji i przemieszczeniewij, to reakcjaRji i przemieszczeniewij są sobie równe.

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji

Przykład

0 wii+0 Rjj = Pi wij+δj Rji

δj=1

Rjj

Rji

Odkształcenie belki od przemieszczenia δj=1

Pi=1

wii

wji=0

Odkształcenie belki od siły Pi=1

wij

Metoda kinematyczna wyznaczania linii wpływu

Linie wpływu a twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji

P=1

Ra b

Układ i

Układ j

0= Pi wij+δj Rji

δj=1

0= Pw+δjR ⇒ R=-w

l.w.R

w

-

Układ j

Praca sił układu i na przemieszczeniach układu j

b

δj=1

Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną

Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji VC (reakcja w formie siły), tonależy przesunąć podporę o jednostkę w kierunku działania tej reakcji. Pod wpływem takiegowymuszenia nastąpi przesunięcie podpory. Jeżeli podpora ma zamocowanie sztywne, tonastąpi przesunięcie przęsła czyli fragmentu belki od podpory do przegubu. Belka wpozostałych podporach nie może się przesunąć, ale jeżeli są to podpory przegubowe, tomoże się obrócić.

P=1x

Przy rysowaniu kształtu belki pod wpływem wymuszenia należy pamiętać, że belka może załamywać się w przegubach.

L.w.VC

P=1x

AB C

x1VC(x)

AB

C

VC

1

przesunięcie

+-

Wyznaczanie linii wpływu belekmetodą kinematyczną

Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji MC (reakcja w formie momentu), tonależy obrócić podporę o jednostkowy kąt w kierunku działania tej reakcji. Obrót o kąt jednostkowyoznacza (przy założeniu małych przemieszczeń), że obracamy o kąt, którego tangens jest równy 1.Pod wpływem takiego wymuszenia nastąpi obrót podpory, ale nie przesunięcie. Na rysunkupokazano wymuszony obrót w punkcie C. Belka załamuje się w przegubie, po to aby wrócić dopodpory B. To powoduje przesunięcie drugiego przegubu, w którym belka także musi się złamać poto, aby wrócić do podpory w punkcie A. Przemieszczenia zgodne ze zwrotem siły P bierzemy zeto, aby wrócić do podpory w punkcie A. Przemieszczenia zgodne ze zwrotem siły P bierzemy zeznakiem ujemnym.

L.w.MC

P=1x

AB C

x MC(x)

AB

Cobrót

MC

k+

k_

1

Wyznaczanie linii wpływu belekmetodą kinematyczną

Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły poprzecznej (tnącej) TM, to należybelkę rozciąć i rozsunąć o jednostkę. Rozcięte fragmenty przęsła muszą być po rozsunięciurównoległe, tak więc przesunięcia punktów rozcięcia (c1 i c2) w stosunku do pierwotnegopołożenia muszą spełniać następujące warunki:

121 =+ cc2

2

1

1

dc

dc =

L.w.TM

21 ddP=1x

AB C

x

1

TM(x)

AB

C1

rozsunięcie

-

M

M

b

d1 d2 d1c1

Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną

Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu momentu zginającego MM, to należy belkęprzełamać i obrócić w taki sposób, aby kat pomiędzy fragmentami przęsła wyniósł 1.

W związku z tym należy odłożyć odcinek d1 z lewej strony rozcinanego fragmentu (d1=BF) a d2 z prawej strony (d2=EG).

P=1x

AB C

M

M

b

d2 z prawej strony (d2=EG). Następnie połączyć końce tych odcinków z przeciwległymi punktami przęsła czyli narysować odcinki BG i EF. Odcinki pomiędzy punktami B, H i G tworzą kształt belki, spowodowany analizowanym wymuszeniem. Wartość h można wyznaczyć ze wzoru:

21

21hdd

dd+

=

AB C

x

hMM(x)

AB

C

złamanie

-

M

1

d1 d2

d1 d2

+

F

E

G

H

Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną

Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficznąlinię wpływu siły normalnej w pręcie, tonależy pręt skrócić o 1.

P=1

1α

Skrócenie pręta o 1

Obrót pręta tak, aby pozostałe węzły nieprzesunęły się w poziomie.

1y

α

y1

α α

( )αcos1 =y

( )αcos

1=y


Jeżeli chcemy otrzymać metodągraficzną linię wpływu siły normalnej wpręcie, to należy pręt skrócić o 1.

P=1

Przesuwamy węzły w pionie tak, abyuzyskać odkształceniekratownicyuzyskać odkształceniekratownicy

Dopasowanie pozostałych części kratownicy; lewa część górnego pasa ma być równoległa do prawej części górnego pasa

Najpierw węzły prętów sąsiadujących zprętem, dla którego wyznaczana jest liniawpływu siły normalnej

y( )αcos

1=y


Jeżeli chcemy otrzymać metodągraficzną linię wpływu siły normalnej wpręcie, to należy pręt skrócić o 1.

P=1

l.w. N

Linię wpływu tworzą przesunięte węzły,leżące na drodze siły

( )αcos

1=y

y

y

y1

y2a1

a2

21 yyy +=

2

2

1

1

a

y

a

y =y1

y2-+

l.w. N



P=1

βCB

Skrócenie pręta o 1

Skrócenie pręta zmienia trójkąt ABC, bokBC się skraca a bok AC się obraca.

y ( )βtgy

=1

( )βctgy =1

A

B

C

β 1

β

y β

B

A

1

C



P=1

α Przesuwamy węzły w pionie tak, abyuzyskać odkształceniekratownicy

βuzyskać odkształceniekratownicy

Najpierw węzły prętów sąsiadujących zprętem, dla którego wyznaczana jest liniawpływu siły normalnej

Przesunięcie węzła C na linię i dopasowanie pozostałych części kratownicy

A

B

1

Cy

( )βctgy =

y



P=1

α

l.w. N

y

y

l.w. N

y-

Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych

P=1M

Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną reakcjiM

M

Uzyskanie linii wpływu reakcji M wymaga obrotu podpory o kąt równy 1

1

l.w.M

Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.

-+


P=1

Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną Tα i Mα

α

α

Uzyskanie linii wpływu siły tnącej Tα wymaga przesunięcia o 1 końców belki w przekroju,proporcje rozdzielenia dobieramy tak, jak dla układu statycznie wyznaczalnym.

l.w.Tα


+

1


P=1

Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną Tα i Mα

α

α

Uzyskanie linii wpływu siły tnącej Mα złamania w przekroju i wzajemnego obrotu końcówbelki w przekroju o 1, pozostałe zasady doboru wartości w przekroju także tak, jak w układachstatycznie wyznaczalnych.

l.w.Mα


1

+

Zasada prac wirtualnych

Przemieszczenie wirtualne powinno spełniać następujące warunki:• dowolne, niezależne od sił działających na bryłę,• zgodne z więzami, a więc kinematycznie dopuszczalne,• niezależne od czasu.

Przemieszczenie wirtualne

Pi

Pi

ui

Ciało sprężyste Clapeyrona

ui

iu

Suma prac sił zewnętrznychPik na przemieszczeniach wirtualnychi naprężeń rzeczywistych σσσσi na odkształceniach

wirtualnych jest równa zero.

Zasada prac wirtualnych dla ciał sprężystych (odkształcalnych)

Pi

iku

iε

0T =−⋅ ∫∑ jiikik dVεσuP

Pi

Pi

ui

ui

iu

0=−⋅ ∫∑V

jik

ikik dVεσuP

czyli

∫∑ =⋅V

jik

ikik dVεσuP T

W elementach prętowych stosujemy założenie płaskichprzekrojów, dzięki czemu wektory naprężeń i odkształceńredukują się do dwóch składowych: naprężeń normalnych iodkształceń oraz naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych.

Zasada prac wirtualnych dla elementów prętowych

Pi

Pi

ui

ui

iu

∫∫∑ +=⋅V

ji

V

jik

ikik dVdV γτεσuP

∫∑ =⋅V

jik

ikik dVεσuP T

Koniec

Twierdzenia o wzajemności

Documents

Transcript of Twierdzenia o wzajemności