TUTOR Tajemnicza Hipoteza Riemanna - Witold Bednarek 14 s

��

��

��

��

��

��

��

� ��!��"�#��

��$%�&'��''��()��))��*'��+,(��-��-��.�

� !��"��#�� $

�� &//,��.

�� !��"�� #

!��"��#�� $ �.�� +01&��,)�+//�� 2��.13�4�5/�(67�6(�***�((�� 8��!��%��.� ��.�� .-�

�%&'()*+*,+*(-.,+,.+/

Pamięci

Wacława Sierpińskiego

Kilka zdań o Wacławie Sierpińskim

Wacław Sierpiński (1882–1969) urodził się w Warszawie. Po ukoń-

czeniu szkoły średniej studiował na Uniwersytecie Warszawskim (1900–

1904). W latach 1905–1906 kontynuował studia na Uniwersytecie Jagiel-

lońskim, gdzie otrzymał stopień doktora na podstawie pracy z teorii liczb.

Dwa lata później uzyskał habilitację na Uniwersytecie Lwowskim, gdzie

pozostał do 1918 roku (był profesorem nadzwyczajnym od 1910 roku). Po

roku 1918, kiedy Polska odzyskała niepodległość, był profesorem na Uni-

wersytecie Warszawskim, na którym pozostał aż do śmierci (wyłączając

okres trwania II wojny światowej).

Wacław Sierpiński był współtwórcą Polskiej Szkoły Matematycznej:

opracował pierwsze na świecie syntetyczne ujęcie teorii mnogości oraz

teorię zbiorów analitycznych. Zajmował się również algebrą zbiorów, prze-

strzeniami metrycznymi i topologią. Dorobek Profesora Sierpińskiego obej-

muje 724 prace badawcze oraz 50 książek: monografii, podręczników aka-

demickich, podręczników szkolnych, książek popularnonaukowych. Wa-

cław Sierpiński był jednym z najwybitniejszych matematyków polskich

XX wieku i drugim (po Leonhardzie Eulerze) na świecie pod względem

liczby wydanych prac. Największym i najbardziej znanym Jego dziełem

jest Teoria liczb (część I i część II) — księgi te mają w sumie ponad 1000

stron druku.

Czytelnikowi, który chce bliżej poznać życie i twórczość Profesora

Sierpińskiego, polecamy książkę Andrzeja Schinzla pt.Wacław Sierpiński

(Warszawa 1976).

Przedmowa

Teoria liczb jest jednym z najciekawszych działów matematyki. W tej

książce przedstawiamy zagadnienia, które można rozwiązać w sposób ele-

mentarny (co nie znaczy łatwo), oraz oryginalne hipotezy.

Wiele problemów teorii liczb ma proste sformułowanie, natomiast ich

rozwiązania (jeśli istnieją) są tak trudne, że tylko wąska grupa matema-

tyków jest w stanie je zrozumieć. Sztandarowym przykładem jest wielkie

twierdzenie Fermata mówiące, że równanie xn + yn = zn nie ma rozwią-

zania w liczbach naturalnych x, y, z dla n > 2 (x, y, z > 0, n ∈ N).

Twierdzenie to zostało udowodnione przez angielskiego matematyka An-

drew Wilesa po 350 latach od jego sformułowania. Obecnie najważniejszą

hipotezą w teorii liczb (powiązaną z teorią funkcji analitycznych) jest hi-

poteza Riemanna, o której będzie mowa w tej książce. Nadmieńmy, że

za udowodnienie tej hipotezy jeden z amerykańskich instytutów oferuje

nagrodę miliona dolarów.

Przystępne omówienie najważniejszych problemów teorii liczb Czytel-

nik może znaleźć w mojej książce Szkice o liczbach, funkcjach i figurach,

Toruń 2003, Oficyna Wydawnicza „Tutor”.

Niniejsza książka składa się z czterech zasadniczych części:

I — otwarte hipotezy i problemy rozwiązane przez autora (większość

z nich była zamieszczona w czasopiśmie „Matematyka”);

II — oryginalne zadania (około połowa z nich była zadaniami w kon-

kursach organizowanych przez czasopisma „Matematyka” lub

„Delta”);

III — rozwiązania zadań;

IV — suplement zawierający 26 zadań, których rozwiązanie zależy

całkowicie od Czytelnika.

Materiał zawarty w książce będzie bardzo dobrą pomocą w przygo-

towaniu do olimpiady matematycznej i ucieszy wszystkich miłośników

elementarnej teorii liczb.

Autor

Łódź, 12 listopada 2007 roku

Spis treści

Kilka zdań o Wacławie Sierpińskim 4

Przedmowa 5

Wstęp 8

1. Problemy 10

1.1. Zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Nietypowe cechy podzielności . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Jak wymyślić podzielność? . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Silnia i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Skojarzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. O małym uogólnieniu małego twierdzenia Fermata . . . . 20

1.7. Liczby Carmichaela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8. Postać dzielników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9. O pewnym diofantycznym równaniu

wykładniczym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10. Urojony sprzymierzeniec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11. Rozkład jedności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.12. Pierwiastki jako ułamki łańcuchowe . . . . . . . . . . . . 40

1.13. Skracanie ułamków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.14. O liniowych równaniach rekurencyjnych . . . . . . . . . . 48

1.15. Funkcja zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.16. O hipotezie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6

1.17. Problemy i hipotezy autorskie . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.18. Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych . . . . . . . . . . . . 74

1.19. Wokół problemu Erdosa–Strausa . . . . . . . . . . . . . . 76

2. Zadania 83

2.1. Liczby pierwsze i liczby złożone . . . . . . . . . . . . . . 84

2.2. Równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5. Rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.6. Wielomiany o współczynnikach całkowitych . . . . . . . 97

2.7. Nierówności całkowitoliczbowe . . . . . . . . . . . . . . . 99

3. Rozwiązania 101

3.1. Liczby pierwsze i liczby złożone . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2. Równania diofantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.3. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.5. Rozmaitości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.6. Wielomian o współczynnikach całkowitych . . . . . . . . 165

3.7. Nierówności całkowitoliczbowe . . . . . . . . . . . . . . . 177

4. Suplement 183

4.1. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . 184

4.2. Przydatne tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Rekomendowana literatura 191

Wstęp

Wszystkie problemy i zadania przedstawione w tej książce da się roz-

wiązać w sposób elementarny (z wyjątkiem hipotezy Riemanna). Często

powołujemy się na trzy fundamentalne twierdzenia:

Twierdzenie Fermata

Jeśli p jest liczbą pierwszą i a jest liczbą całkowitą niepodzielną przez

p, to p jest dzielnikiem liczby ap−1 − 1. Równoważnie: p jest dzielnikiem

liczby ap − a dla dowolnej liczby całkowitej a.

Twierdzenie Czebyszewa

Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że

n < p < 2n. Równoważnie: jeśli pk oznacza k-tą z kolei liczbę pierwszą,

to pk+1 < 2pk dla k = 1, 2, 3, . . .

Twierdzenie Dirichleta

Jeśli liczby naturalne a i r są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycz-

nym a, a+ r, a+2r, . . . znajduje się nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Uwaga. W teorii liczb zakłada się, że 0 nie jest liczbą naturalną, a więc

N = {1, 2, 3, . . .}.

Stosujemy również twierdzenie o sumie dzielników liczby naturalnej

n > 1. Jeśli n = pα11 pα22 · . . . · p

αkk jest rozkładem liczby n na czynniki

pierwsze p1, p2, . . . , pk (α1, α2, . . . , αk – liczby naturalne), to suma S(n)

wszystkich dzielników liczby n wyraża się wzorem

S(n) =pα1+11 − 1

p1 − 1·pα2+12 − 1

p2 − 1· . . . ·

pαk+1k − 1

pk − 1.

W szczególnym przypadku, gdy α1 = α2 = . . . = αk = 1, mamy

S(n) = (p1 + 1)(p2 + 1) · . . . · (pk + 1).

Często wygodnie jest posługiwać się relacją kongruencji ≡, która dla

całkowitych a, b,m (m > 1) zdefiniowana jest następująco: a ≡ b(mod m)

wtedy i tylko wtedy, gdy m jest dzielnikiem różnicy a− b.

Kongruencja ma podobne własności jak relacja równości (z wyjątkiem

dzielenia obu stron):

1. jeśli a ≡ b(mod m) i c ≡ d(mod m), to a + c ≡ b + d(mod m),

a− c ≡ b− d(mod m) i ac ≡ bd(mod m),

2. jeśli a ≡ b(mod m), to an ≡ bn(mod m) dla n ∈ N,

3. (a+ km)n ≡ an(mod m) dla n ∈ N (k – liczba całkowita).

Stosujemy również oznaczenia:

• a | b – liczba całkowita a jest dzielnikiem liczby całkowitej b,

• a ∤ b – liczba całkowita a nie jest dzielnikiem liczby całkowitej b,

• NWD(a1, a2, . . . , ak) – największy wspólny dzielnik liczb natural-

nych a1, a2, . . . , ak,

• NWW(a1, a2, . . . , ak) – najmniejsza wspólna wielokrotność liczb na-

turalnych a1, a2, . . . , ak,

•

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + . . .+ an,

•

n∏

k=1

ak = a1 · a2 · . . . · an,

• [x] – część całkowita liczby rzeczywistej x, tj. taka liczba całkowita

m, że m ¬ x < m+ 1,

• {x} – część ułamkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x, tj. taka licz-

ba z przedziału 〈0, 1), że x = [x] + {x}.

��

��

1. Problemy 11

1.1. Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji jest narzędziem służącym do dowodzenia niektórych

twierdzeń dotyczących liczb naturalnych. Przedstawiamy różne wersje tej

zasady.

Niech Z(k) oznacza zdanie orzekające o danej liczbie naturalnej k.

Zasadę indukcji w klasycznej wersji można zapisać symbolicznie w nastę-

pujący sposób:

Z(1) ∧∧

k∈N

(Z(k)⇒ Z(k + 1))

⇒∧

k∈N

Z(k).

Zasadę indukcji ze skokiem 2 zapisujemy w postaci

Z(1) ∧ Z(2) ∧∧

k∈N

(Z(k)⇒ Z(k + 2))

⇒∧

k∈N

Z(k).

I ogólnie ze skokiem m:

Z(1) ∧ Z(2) ∧ . . . ∧ Z(m) ∧∧

k∈N

(Z(k)⇒ Z(k +m))

⇒∧

k∈N

Z(k).

Oto inna wersja zasady indukcji, rzadziej stosowana:

∧

k∈N

(Z(1) ∧ Z(2) ∧ . . . ∧ Z(k)⇒ Z(k + 1))

⇒∧

k∈N

Z(k).

Indukcja wsteczna. Niech (nm) będzie rosnącym ciągiem liczb natural-

nych. Wówczas

∧

m∈N

(Z(nm)⇒ Z(nm+1)

∧

∧

k2

(Z(k)⇒ Z(k − 1))

⇒∧

k∈N

Z(k).

12 1. Problemy

Zadanie 1.

Niech n oraz m będą ustalonymi liczbami naturalnymi większymi od 1

i niech Z(k) oznacza zdanie „Równanie xn1 + xn

2 + . . . + xn

k= yn ma

rozwiązanie w liczbach naturalnych x1 < x2 < . . . < xk < y.” Wykaż, że

jeżeli zdania Z(m), Z(m+1), . . . , Z(2m− 2) są prawdziwe, to dla każdejliczby naturalnej k m zdanie Z(k) jest prawdziwe.

Wskazówka. Zastosuj zasadę indukcji ze skokiem m− 1, począwszy odk = m.

Zadanie 2.

Wykaż, że jeśli liczby a1, a2, . . . , an są dodatnie, to

a1 + a2 + . . .+ ann

n

√a1a2 · . . . · an.

Wskazówka. Udowodnij podaną nierówność najpierw w przypadku, gdy

nm = 2m dla m = 1, 2, 3, . . . Następnie zastosuj indukcję wsteczną.

1.2. Nietypowe cechy podzielności

Każda liczba naturalna posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn po-

tęg liczb pierwszych. Problem w tym, że rozkładanie dużych liczb na

czynniki pierwsze jest trudne. Dlatego ciągle ważne są różne nietypowe

cechy podzielności.

W książce Michała Szurka Opowieści matematyczne znajdujemy po-

niższą cechę podzielności przez 7 (twierdzenie Żbikowskiego).

Twierdzenie

Niech a i b będą liczbami naturalnymi. Liczba 10a+b jest podzielna przez

7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a− 2b jest podzielna przez 7.

Dowód wynika z tożsamości

10a+ b = 10(a− 2b) + 21b.

1. Problemy 13

(Jest to więc również cecha podzielności przez 3 i 21).

Jeśli na przykład mamy sprawdzić, czy liczba 311 115 jest podzielna

przez 7, to obliczamy kolejno:

31 111− 2 · 5 = 31 101,3 110− 2 · 1 = 3 108,310− 2 · 8 = 294,29− 2 · 4 = 21.

Wyjściowa liczba jest podzielna przez 7, bo taką własność ma liczba 21.

Okazuje się, że można otrzymać wiele analogicznych cech podzielno-

ści. Na przykład z równości

10a+ b = 10(a− b) + 11b

wnioskujemy, że liczba 10a+b jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy,

gdy liczba a− b jest podzielna przez 11.Sprawdźmy na przykład, czy liczba 100 001 jest podzielna przez 11.

Obliczamy kolejno:

10 000− 1 = 9 999,999− 9 = 990,99− 0 = 99,9− 9 = 0.

Wyjściowa liczba jest podzielna przez 11, bo taką własność ma liczba 0.

Twierdzenie

Niech q > 1 będzie liczbą naturalną niepodzielną ani przez 2, ani przez

5. Niech k będzie taką liczbą całkowitą, że q | 10k − 1 (można wykazać,że taka liczba całkowita k zawsze istnieje). Wówczas

q | 10a+ b⇔ q | a+ kb.

14 1. Problemy

Dowód wynika z tożsamości

10a+ b = 10(a+ kb)− (10k − 1)b.

Wypisując dzielniki liczby 10k − 1, znajdujemy wiele nietypowychcech podzielności:

k 10k − 1 q a+ kb

−10 −101 101 a− 10b−9 −91 7, 13, 91 a− 9b−8 −81 3, 9, 27, 81 a− 8b−7 −71 71 a− 7b−6 −61 61 a− 6b−5 −51 3, 17, 51 a− 5b−4 −41 41 a− 4b−3 −31 31 a− 3b−2 −21 3, 7, 21 a− 2b−1 −11 11 a− b1 9 3, 9 a+ b

2 19 19 a+ 2b

3 29 29 a+ 3b

4 39 3, 13, 39 a+ 4b

5 49 7, 49 a+ 5b

6 59 59 a+ 6b

7 69 3, 23, 69 a+ 7b

8 79 79 a+ 8b

9 89 89 a+ 9b

10 99 3, 9, 11, 33, 99 a+ 10b

TUTOR Tajemnicza Hipoteza Riemanna - Witold Bednarek 14 s

Documents

Transcript of TUTOR Tajemnicza Hipoteza Riemanna - Witold Bednarek 14 s