Hipoteza jod - Urząd Miasta Łodzi
21
PIOTR ŁUKOWSKI Uniwersytet Łódzki Katedra Logiki i Metodologii Nauk Hipoteza jod Przez wieki nieskończoność funkcjonowała w matematyce jako wartość potencjalna. Nieskończoność aktualna nie była znana. Wraz z pojawieniem się nieskończoności aktualnych, a zwłaszcza mnogości tych nieskończoności, okazało się możliwym rozważenie nieskończenie małych wielkości genero- wanych przez te nieskończoności. Można wręcz zaryzykować stwierdzenie, że istnienie nieskończonej ilości różnych, nieskończenie małych wielkości jest prostą konsekwencją istnienia nieskończenie wielu, różnych liczb nieskoń- czonych. W pracy została podjęta próba rozróżnienia nieskończonej ilości wartości potencjalnie zerowych, ktÓre dotychczas kryją się pod postacią jednej aktualnej wartości zera. Tradycyjnie, to jedno aktualne zero jest rozumiane jako odwrotność wszystkich liczb nieskończonych. Jednak każda liczba nieskończona jest różna od pozostałych, co oznacza, że odwrotności każdej z tych liczb winna odpowiadać inna, nieskończenie mała liczba. Idea niezerowych odwrotności liczb nieskończonych nie jest nowa. Pojawiła się wraz z teorią liczb nadrzeczywistych (ang. hyperreal numbers) będących ważnym, właściwym podzbiorem zbioru liczb surrealnych (ang. surreal numbers)!. Tak więc wydaje się, że nieskończona klasa wartości nieskoń- czonych powinna wymagać swoistego odpowiednika w postaci również nieskończonej klasy wartości odpowiadających ich odwrotnościom, czyli wartościom potencjalnie zerowym. Tak jak potencjalna nieskończoność została zastąpiona klasą aktualnych nieskończoności, tak aktualne zero powinno zostać zastąpione klasą potencjalnych zer, czyli klasą liczb in- finitezymalnych - liczb zarazem większych od zera i mniejszych od dowolnej liczby rzeczywistejZ. Celem tej pracy jest przedstawienie hipotezy zakładającej fraktalną strukturę osi liczbowej oraz wynikającą z tego założenia względność takich pojęć, jak "ciągłość" czy "gęstość". Istnienie wielkości infinitezymalnych wydaje się l Patrz Conway, Guy 1998; [1], [2]. Teoria liczb nadrzeczywistych poza wspomnianą niezerowością odwrotności liczb nieskończonych nie ma jednak związku z zaproponowaną w pracy hipotezą. 2 Patrz [1].
Transcript of Hipoteza jod - Urząd Miasta Łodzi
Hipoteza jod
Przez wieki nieskoczono funkcjonowaa w matematyce jako warto potencjalna. Nieskoczono aktualna nie bya znana. Wraz z pojawieniem si nieskoczonoci aktualnych, a zwaszcza mnogoci tych nieskoczonoci, okazao si moliwym rozwaenie nieskoczenie maych wielkoci genero- wanych przez te nieskoczonoci. Mona wrcz zaryzykowa stwierdzenie, e istnienie nieskoczonej iloci rónych, nieskoczenie maych wielkoci jest prost konsekwencj istnienia nieskoczenie wielu, rónych liczb niesko- czonych. W pracy zostaa podjta próba rozrónienia nieskoczonej iloci wartoci potencjalnie zerowych, ktÓre dotychczas kryj si pod postaci jednej aktualnej wartoci zera. Tradycyjnie, to jedno aktualne zero jest rozumiane jako odwrotno wszystkich liczb nieskoczonych. Jednak kada liczba nieskoczona jest róna od pozostaych, co oznacza, e odwrotnoci kadej z tych liczb winna odpowiada inna, nieskoczenie maa liczba. Idea niezerowych odwrotnoci liczb nieskoczonych nie jest nowa. Pojawia si wraz z teori liczb nadrzeczywistych (ang. hyperreal numbers) bdcych wanym, waciwym podzbiorem zbioru liczb surrealnych (ang. surreal numbers)!. Tak wic wydaje si, e nieskoczona klasa wartoci niesko- czonych powinna wymaga swoistego odpowiednika w postaci równie nieskoczonej klasy wartoci odpowiadajcych ich odwrotnociom, czyli wartociom potencjalnie zerowym. Tak jak potencjalna nieskoczono zostaa zastpiona klas aktualnych nieskoczonoci, tak aktualne zero powinno zosta zastpione klas potencjalnych zer, czyli klas liczb in- finitezymalnych - liczb zarazem wikszych od zera i mniejszych od dowolnej liczby rzeczywistejZ.
Celem tej pracy jest przedstawienie hipotezy zakadajcej fraktaln struktur osi liczbowej oraz wynikajc z tego zaoenia wzgldno takich poj, jak "cigo" czy "gsto". Istnienie wielkoci infinitezymalnych wydaje si
l Patrz Conway, Guy 1998; [1], [2]. Teoria liczb nadrzeczywistych poza wspomnian niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych nie ma jednak zwizku z zaproponowan w pracy hipotez.
2 Patrz [1].
128 PIOTR UKOWSKI
by nie do pogodzenia z wiar zarówno w bezwzgldn cigo, jak i w bezwzgldn gsto zbioru liczb rzeczywistych.
Ponadto w pracy jest postawione otwarte pytanie dotyczce nieistnienia najmniejszej nieskoczonoci. Schodzenie w dó struktury fraktalu, jakim jest o liczbowa, moe przecie zosta odwrócone i w efekcie zastpione przez wspinanie si wzwy tej samej fraktalnej struktury3. Proces ten nieuchronnie generuje nieskoczenie wiele nieskoczonoci mniejszych od ~o· Naturalnie, pojmowanie osi liczbowej jako fraktalu nie pociga za sob koniecznoci uznania klasy nieskoczonoci mniejszych od ~o. Wystarczy bowiem przyj, e o liczbowa jest fraktalem z nieskoczon co prawda iloci poziomów, jednak wród nich istnieje poziom pierwszy, odpowiadajcy wanie liczbie ~o.
1. Paradoks osi liczb rzeczywistych
Jedn z dajcych si sformuowa postaci paradoksu osi liczb rzeczywistych jest nastpujce rozumowanie:
• Paradoks osi liczbowej
"Ilo liczb wymiernych to ~o' za niewymiernych c. Poniewa ~o < c, wic liczb niewymiernych jest istotnie wicej ni liczb wymiernych. Jak jest wic moliwe, aby midzy dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi (zawsze) istniaa liczba wymierna?"
Naturalnie, mona stwierdzi, e w przypadku zbiorów nieskoczo- nych tradycyjna intuicja zawodzi i w zwizku z tym istnieje wiele fak- tów, które mog uchodzi za paradoksalne. Wydaje si jednak, e przy- toczone wyej rozumowanie pozostaje paradoksalnym nawet w kontekcie wszystkich istotnych "nieintuicyjnych" faktów dotyczcych zbiorów nie- skoczonych.
3 Fraktal jest zbiorem o szczególnie skomplikowanej budowie. Dowolnie may jego fragment jest tak samo skomplikowany jak cao. FraktaI jest konstrukcj wykazujc tak zwane "nieskoczone samopodobiestwo". Oznacza to, e dowolnie may jego kawaek, odpowiednio powikszony, przypomina do zudzenia cay zbiór lub jego znaczn cz. Jednoczenie fraktaIe maj prosty opis i czsto s otrzymywane przez powtarzanie nieskoczenie wiele razy tej samej operacji. Teoria fraktali powstaa na pocztku XX w. jako skutek bada matematycznych nad definicj wymiaru i definicj krzywej. Najbardziej znanymi, a zarazem jednymi z najprostszych, fraktalami s: trójkt Sierpiskiego, dywan Serpiskiego i piramida Sierpiskiego; patrz: internetowa strona Wydziau Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej, http://www.mini.pw.edu.pl.
Mogoby si na przykad wydawa, e paradoksalno wyzeJ przed- stawionego rozumowania znika wraz z uwiadomieniem sobie faktu gstoci zbioru liczb wymiernych:
"Dla dowolnych dwóch rónych liczb wymiernych a b istnieje liczba c taka, e a<c<b".
Có jednak z tego, skoro zbiór liczb niewymiernych równie jest gsty w tym samym znaczeniu sowa "gsty". Niewyobraalna wrcz rónica w iloci liczb wymiernych i niewymiernych sugeruje, e zbiór liczb niewymiernych powinien by "znacznie bardziej gsty" ni zbiór liczb wymiernych. Z drugiej jednak strony, obowizuje twierdzenie goszce, e midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi zawsze istnieje liczba wymierna. Jak wida, uwzgldnienie gstoci obu zbiorów nie rozwizuje paradoksu osi liczbowej.
Propozycj rozwizania tego paradoksu poprzedmy analiz niezwykle prostego problemu. Rozwamy dwa zbiory: A = {k: k = 5n, dla nEN} oraz B = N\A, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Przy mniej precyzyjnym zapisie zbiory te maj posta: A = {O, 5, lO, 15, ...} oraz B = {l, 2, 3, 4, 6, ... }. atwo zauway, e prawdziwe jest:
ZDANIE l: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru A, jeli a <b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru B, e a < c <b".
Nie jest natomiast prawd:
ZDANIE 2: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru B, jeli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru A, e a < c <b".
Jednoczesna prawdziwo obu zda wymagaaby tego, aby po kadej liczbie jednego zbioru istniaa liczba drugiego zbioru. Brak tej naprzemiennoci sprawia, e które ze zda l, 2 musi by faszywe. Zauwamy bowiem, e jeli nastpn, ze wzgldu na wielko, po liczbie aEB jest liczba bEB, to dla tych wanie liczb a i b nie istnieje w zbiorze A liczba leca na osi liczbowej midzy nimi.
Bardzo dobrze znane s nastpujce twierdzenia dotyczce liczb wymiernych i niewymiernych:
TWIERDZENIE l. Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymie- rnymi istnieje liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb wymier- nych). TWIERDZENIE 2. Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami wymiernymi istnieje liczba niewymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb niewymiernych ).
130 PIOTR UKOWSKI
TWIERDZENIE 3. W dowolnie maym otoczeniu liczby niewymiernej istnieje nieskoczenie wiele liczb wymiernych. TWIERDZENIE 4. W dowolnie maym otoczeniu liczby wymiernej istnieje nieskoczenie wiele liczb niewymiernych.
Doskonale wiemy, e zbiór wszystkich liczb wymiernych Q stanowi dyskretny podzbiór zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, za liczebno zbioru liczb rzeczywistych R, a wic i niewymiernych NQ - to tak zwane continuum c. Aby wic prawd byy twierdzenia 1 i 2, powinna mie miejsce swoista naprzemienno liczb wymiernych i niewymiernych na osi liczbowej. Porównujc liczebno obu zbiorów, musimy jednak tak naprzemienno wykluczy. Co wicej, skoro moc zbioru NQ jest c, za moc zbioru Q, to ~O> musz istnie takie dwie liczby wymierne midzy, którymi powinien znajdowa si cay (cigy) przedzia liczb niewymiernych. Przeczy to jednak prawdziwoci twierdze 1 i 3.
Istnieje wic sprzeczno midzy twierdzeniem 1 a wiedz dotyczc liczebnoci zbiorów Q i NQ.
Wykorzystujc przedstawiony wyej przykad, warto spróbowa od- powiedzie na pytanie:
Pod jakim warunkiem mamy zagwarantowan jednoczesn prawdziwo zda l i 2, mimo niezmienionej postaci zbiorów A i B?
Przyjmijmy, e z jakich powodów nie jestemy w stanie operowa odlegociami mniejszymi ni 5. Wówczas, w zbiorze B jestemy w stanie odróni liczb l dopiero od liczby 6. Odlego liczby l od liczb 2, 3, 4, 5 jest dla nas praktycznie równa zero. Tym samym, nie ma dla nas sensu operowanie takim wyraeniem, jak na przykad: "midzy liczb l a liczb 4". Jeli wic uywamy wyraenia "midzy liczb a, a liczb b", to mamy na myli liczby odlege od siebie o co najmniej 5. W takiej sytuacji zmianie ulego wyraenie stwierdzajce róno dwóch liczb. Od liczby l róna nie jest ani liczba 2, ani 3, ani 4, ani 5. Od liczby l róne s dopiero wszystkie liczby wiksze od liczby 5, a zatem 6, 7, 8, itd. Wida, e przy takim rozumieniu wyrae "midzy" oraz "róny" prawdziwe s oba zdania- - tak 1, jak i 2. Zdanie 1 z oczywistych powodów pozostaje prawd. Teraz jednak prawdziwe jest równie:
ZDANIE 2. "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru B, jdli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru A, e a < c < b".
Przykad analizowanych wyej dwóch zbiorów A i B pokazuje, e jednoczesna prawdziwo dwóch twierdze goszcych wzajemnie, e midzy
Hipoteza jod 131
dwiema dowolnymi rónymi liczbami jednego zbioru, zawsze istnieje liczba drugiego zbioru, moe by niemoliwa do zaakceptowania nawet w przypadku, gdy oba zbiory s tej samej mocy. Fakt ten jest oczywisty i moe by bez najmniejszego trudu zilustrowany na wiele rónych sposobów, np. A - zbiór liczb naturalnych parzystych, B - zbiór liczb naturalnych nieparzystych bez liczby 7; A - zbiór liczb pierwszych, B - zbiór liczb naturalnych nie-pierwszych; A - zbiór liczb wymiernych, w których zapisie uproszczonych postaci uamkowych nie wystpuje liczba 3 (np. 5/19, 27/11), B = (Q - A) - [1/555, 1/554] (np. 1/23, 3/77).
Skoro wic naprzemienno dwóch zbiorów jest czym wicej ni rów- noliczno tych zbiorów, czy faktycznie moliwa jest do pomylenia na- przemienno dwóch zbiorów, z których jeden jest w istotny sposób liczniejszy od drugiego, nawet przy zaoeniu ich gstoci? Ponadto pojawia si obawa, czy z zaoenia gstoci zbioru nie zwyklimy wyciga zbyt daleko idcych wniosków? Czy fakt gstoci zbioru nie dostarcza usprawiedliwienia, które uatwia akceptacj zbyt wielu twierdze. Moe gsto zbioru znaczy mniej, ni przypuszczamy?
2. Paradoks liczb nieskoczonych
• Paradoks alefów
"Odwrotnoci dowolnych dwóch rónych liczb s liczbami rónymi. Wartoci nieskoczone ~o' c, 2e, ••• s rónymi liczbami. Mimo to, wszystkie te liczby maj wspóln odwrotno: zero".
Przyjmijmy zatem istnienie odpowiadajcej klasie wszystkich liczb nie- skoczonych generowanych przez operacj potgowania klas jod, wielkoci niewyobraalnie maych:
, 0= IW.o' ' I = l/c, '2= 1/(2 fe), '3 = 1/(2f(2fe)), '4 = 1/(2f(2f(2fe))), ... 4
Wybór hebrajskiej litery , (jod) nie jest przypadkowy i nawizuje do dokonanego kiedy przez Georga Cantora wyboru innej hebrajskiej litery ~
4 afb = ab.
132 PIOTR UKOWSKI
(alet) na okrelenie wartoci nieskoczonej. Poniewa rozwaania nasze dotycz niezwykle maych wartoci, wród rónych liter hebrajskiego alfabetu najlepszym kandydatem wydaje si by wanie joda, która w europejskiej kulturze, od wieków jest symbolem czego bardzo maego.
Naturalnie, skoro:
~o < e < 2fe < 2f(2fe) < 2f(2f(2fe)) < 2f(2f(2f(2fe))) < ..., wic
'0>' 1>'2>'3 >'4>'5> ...> O.
Zauwamy, e kada z jod, poczwszy od pierwszej jody zero, spenia definicj wielkoci infinitezymalnych: jest jednoczenie liczb dodatni (wiksz od zera) i zarazem mniejsz od dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej s. Istotnie, skoro dla dowolnej liczby rzeczywistej T, T < ~o' wic l/r > 'o (z dowolnoci liczby rzeczywistej T wynika, dowolno liczby rzeczywistej lir).
Wszystkie jody s liczbami rónymi od zera, jednak na tyle maymi, e ich róno od zera jest niewyraalna za pomoc liczb wymiernych. Nie moe przecie istnie uamek p/q taki, e p i q s liczbami cakowitymi (nalecymi do zbioru C), q jest liczb niezerow oraz p/q ='k dla jakie- gokolwiek kEN. Tak wic, z punktu widzenia liczb wymiernych, '0 praktycznie jest zerem, naleaoby jednak rzec zerem potencjalnym. Podobnie kada z pozostaych jod jest jedynie zerem potencjalnym, nie za aktualnym.
Zaoenie rónoci od zera odwrotnoci wspomnianych liczb nieskoczonych ma swoje istotne konsekwencje. Przyjmujc bowiem niezerowo jody zero, naley uzna, e - dla przykadu - granic cigu {i/nt nie jest zero, lecz wanie' o' Kada podstawiona w miejsce zmiennej n niezerowa liczba naturalna jest przecie mniejsza od ~o' Oznacza to, e bez wzgldu na liczb n, l/n zawsze przyjmuje warto wiksz od ' o. Dlatego te,
Nie dysponujc jodami uwaamy, e granic tego cigu jest zero, chocia tak naprawd granic t jest l/~o' Jeli l/~o byoby zerem, to tym bardziej zerem byyby odwrotnoci wszystkich pozostaych liczb nieskoczonych: l/e, 1/(2fe), ...
Inn konsekwencj hipotezy jod jest konieczno przyjcia, i warto uamka okresowego 0,(9) nie jest równa 1. Naturalnie, argumentu za podobnym rozrónieniem obu liczb nie dostarcza fakt, i obie liczby róni si zapisem, i to w sposób do istotny: 0,99999... oraz 1,00000... Naley bowiem zauway, e liczba 0,(9) jest granic cigu {i-l/lon}, który zgodnie
5 Liczba x 'ft O jest infinitezymalna (ang. infinitesimal) wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna skoczona suma lxi + ...+ lxi ma warto mniejsz od 1, patrz Conway, Guy 1998.
Hipoteza jod 133
z hipotez jod nie jest zbieny do liczby 1, lecz do 1 - l/'c{o' czyli do liczby 1 - ~o' Zatem:
Przypomnijmy, e ju od uczniów szkó podstawowych wymagana jest umiejtno zamiany uamków okresowych na zwyke - zamiana uamków zwykych na okresowe jest banalna. Tak wic, ucze koczcy szko podstawow winien wiedzie, e na przykad:
0,(1) = 1/9 0,(2) = 2/9 0,(6) = 6/9 = 2/3 0,(7) = 7/9
0,(01) = 1/99 0,(30) = 30/99 = 10/33 0,(55) = 55/99 0,(81) = 81/99 = 9/11
0,(001) = 1/999 0,(030) = 30/999 = 10/333 0,(055) = 55/999 0,(810) = 810/999 = 90/111
Problemem jest jednak kady uamek posiadajcy w okresie liczb 9. Stosujc powyszy algorytm mona atwo obliczy, e:
0,(9) = 9/9 = 1.
o ile jednak kady z uamków okresowych, których okresem nie jest liczba 9 daje si otrzyma jako wynik podzielenia licznika przez mianownik odpowiedniego uamka zwykego, np. dzielc 1 przez 9 otrzymamy 0,1111111 ..., o tyle nie sposób w analogiczny sposób otrzyma liczb 0,9999999 ... Trudno ta dotyczy kadego uamka posiadajcego w okresie liczb 9, np. 5,(9); 14,5694(9); 0,000(9); 1,89898(9).
Tak wic, odrzucenie zaoenia, i odwrotno alefa zero jest wartoci niezerow, jest równowane przyjciu, e 0,(9) = l. Co wicej, ju samo dziaanie na liczbach wymiernych jest de facto odrzuceniem niezerowoci odwrotnoci alefa zero - w wiecie liczb wymiernych odwrotno alefa zero jest po prostu zerem.
3. Nastpnik liczby wymiernej
Hipoteza jod ma jednak znacznie bardziej zaskakujce konsekwencje. Rozwaane w poprzednim paragrafie dwa cigi s, zgodnie z teori jod, zbiene odpowiednio do liczb ~o oraz l - ~o' Spróbujmy wic znale odpowiedzi na dwa nastpujce pytania:
Czy istnieje liczba wymierna wiksza ni O i mniejsza ni ~a? Czy istnieje liczba wymierna wiksza ni l - ,o i mniejsza ni l?
134 PIOTR UKOWSKI
Naturalnie, odpowiedzi na kade z tych pyta, zgodn z zapropono- wan tu hipotez, jest NlE. W pierwszym przypadku nie jest moliwe dodanie do zera takiej liczby wymiernej, aby w konsekwencji otrzyma liczb wiksz od O i mniejsz ni ~o' W drugim przypadku nie istnieje napis w postaci rozwinicia dziesitnego reprezentujcy liczb wiksz od O, (9) i mniejsz ni 1.
Zatem, w wietle powyszych rozwaa, mona przyj, e w wiecie liczb wymiernych poszerzonym o niezerow jod zero, ~o jest nastpnikiem liczby O, za 1 jest nastpnikiem liczby 0,(9). Co wicej, dla dowolnej liczby wymiernej a, jej nie do koca "wymiernym" nastpnikiem jest a + ' o. Naley bowiem podkreli, e poniewa liczba ~o nie jest wyraalna za pomoc uamka p/q, gdzie pEC, qEC-{O}, wic liczba a+'o jest "wymiernym" nastpnikiem liczby a niewyraalnym w wiecie liczb wymiernych - liczba ~o wyraa najwiksz odlego, w promieniu której nie ma innej liczby wymiernej6.
Rozwamy zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych Q +. Oczywicie, zastpienie w naszych rozwaaniach zbioru Q zbiorem Q + nie ma innego znaczenia jak tylko wygod i prostot zapisu. Poniewa liczebno zbioru Q + to ~o moemy wic ustawi wszystkie elementy tego zbioru w cig:
, ••• }.
speniajca nastpujcy warunek:
Vx. Y (jeli (x, YE{q], q2' q3' ... } i x#y), to (X=qi<qj=Y wtw i<j))?
Skoro s wszystkie moliwe permutacje, to moe powinna by i ta jedna szczególna. Jeli tak, to cig {q], q2' q3' ... } jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb wymiernych ustawionych w kolejnoci wzrastania. Naturalnie q] = O. Ponadto, cig ten ma niezwyk wasno:
"midzy dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami wymiernymi cigu {q], q2' q3' ... } nie ma innych liczb wymiernych".
6 Sowo "wymierny" w wyraeniu ,,«wymierny» nastpnik", ma sygnalizowa wzgldno pojcia nastpnika. Jeli bowiem uwzgldnimy kolejne jody, mniejsze od '0' to natychmiast okae si, e istnieje nieskoczenie wiele liczb w otoczeniu dowolnej liczby wymiernej o promieniu równym jod zero.
Hipoteza jod 135
Istotnie, skoro cig {ql' q2' q3' ... } zawiera wszystkie dodatnie liczby wymierne, a qn+ l jest wiksze ni qn' to nie istnieje taka liczba wymierna q, e
Dla kadej liczby wymiernej qn (nE{1, 2, 3, ...}), liczba qn+l jest wic jej nastpnikiem. Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej nEN:
albo qn+l - qn =' a' albo
Jeli przyjmiemy, e qn+l - qn = 'a' to jod zero okae si liczb wy- miern niewyraaln w postaci uamka p/q, rónych od zera liczb na- turalnych p, q. Dla prostoty dalszej analizy przyjmijmy t wanie ró- wno?
4. Fraktal osi liczbowej, czyli wzgldno cigoci
Analizowany w pierwszym paragrafie przykad ilustrowa sytuacj pole- gajc na tym, e uwzgldnianie jedynie takich odlegoci, które s wiksze od pewnej danej wartoci, sprawia, i moliwe do udowodnienia staje si, faszywe skdind, twierdzenie mówice, e midzy dwiema dowolnie wy- branymi liczbami zbioru bardziej licznego zawsze istnieje liczba (a nawet nieskoczenie wiele liczb) zbioru istotnie mniej licznego. Jeli uwzgldnimy hipotez jod, ten paradoksalny fakt nie daje si ju udowodni, przynajmniej w tak mocnej wersji.
Zaoylimy, e najmniejsza, w sensie wyraalnoci za pomoc liczb wymiernych oraz jody zero, odlego midzy liczbami wymiernymi wynosi 'a. T odlego nazwiemy Q-pad-mierzaln; kad odlego wyraaln w liczbach wymiernych lub nieskoczonych nazwiemy odlegoci Q-mierzaln; kad za odlego mniejsz od Q-pod-mierzalnej bdziemy nazwa Q- -niemierzaln·
Z perspektywy wielkoci wyraonej przez jod zero, o liczbowa jest zbiorem przedziaów liczb niewymiernych, na kracach których znajduj si (pojedyncze) liczby wymierne, oddalone od siebie o odlegoci Q-pod-mierzalne wyraajce dugoci tych przedziaów. Innymi sowy, o liczbowa jest dyskretnym zbiorem liczb wymiernych oddzielonych od siebie przedziaami liczb niewymiernych:
1 Dalsze rozwaania s równie moliwe przy zaoeniu, e n + 1- n > 'o. Co wicej, z punktu widzenia poruszanych dalej kwestii, rónice wynikajce z przyjcia tego lub drugiego z dwóch moliwych zaoe nie s istotne.
136 PIOTR UKOWSKI
"Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi istnieje liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb wymiernych)";
prawdziwe jest natomiast:
midzy nimi jest Q-mierzalna istnieje nieskoczenie wiele liczb wymie- rnych.
b) Istniej takie dwie róne liczby niewymierne oddalone od siebie o odlego Q-nie-mierzaln, midzy którymi nie ma liczby wymiernej.
Poszukujc odlegoci wyraonej przez' l' rozwamy teraz przedzia otwarty, którego kracami s dowolne dwie kolejne liczby wymierne: n i n+l' Do tego zbioru nale wszystkie liczby niewymierne wiksze od n i mniejsze od n+l, i nie naley adna liczba wymierna. Rozumujc analogicznie do przypadku liczb wymiernych, dochodzimy do wniosku, e odwrotnoci continuum c winna odpowiada warto potencjalnie zerowa z punktu widzenia liczb rzeczywistych, których jest wanie c. Aktualnie warto ta jest oczywicie róna od zera:
'l = l/c> O.
Jest to wic wielko bdca odlegoci midzy kolejnymi dwiema liczbami niewymiernymi, któr konsekwentnie nazwiemy NQ-pod-mierzaln. Oczywicie operowanie wielkociami wikszymi od NQ-pod-mierzalnych sprawia, e nie dostrzegamy jakichkolwiek odlegoci midzy kolejnymi liczbami niewymier- nymi, mówic cilej: nie jestemy w stanie nawet o tych odlegociach pomyle. Nie tylko z punktu widzenia wielkoci Q-mierzalnych, ale równie z perspektywy wielkoci Q-pod-mierzalnych, 'l jest zerem. Jeli jednak uwzgldnimy ten kolejny rodzaj wielkoci potencjalnie zerowych, stwierdzimy, e midzy dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami niewymiernymi jest cay przedzia liczb nie bdcych liczbami rzeczywistymi, a których ilo jest równa 2fc.
Hipoteza jod 137
'J 'J )
--1----1----+1-- ? i ?j ? s
Oczywicie pojcie cigu Wlze si cile ze zbiorami o mocy ~o' Jeli jest wic mowa o kolejnoci liczb niewymiernych ri' rj, r" 000' nie jest to kolejno rozumiana w sensie iteracji liczbami naturalnymi. Tym bardziej pojcie cigu ulega zmianie na kadym rónym od wymiernego poziomie.
Moc znanych nam zbiorów liczbowych, którymi zwyklimy operowa, nie jest wiksza ni e. Liczby rzeczywiste stanowi najwikszy wiat liczb, jakimi operujemy. Nie oznacza to jednak, e nie istnieje daleko potniejszy wiat liczb pod-rzeczywistych. Zaproponowana tutaj hipoteza jod zakada, i na o liczbow moemy spojrze jak na zbiór nie tylko liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych, ale jak na zbiór zawierajcy w sobie kolejne nienazwane liczby ze zbiorów o mocy 2fe, 2f(2fe), 2f(2f(2fc)), 2f(2f(2f(2fe))), ... Aby jednak dostrzec kolejne nieznane nam liczby, naley "woy odpowiednie okulary". Okulary te sprawi, i zaczniemy dostrzega odpowiednio mae, a cilej mówic, nieskoczenie mae, infinitezymalne wartoci, wartoci niewyraalne za pomoc liczb wymiernych B. Analiza matematyczna od dawna operuje wartociami nieskoczenie maymi. Z punktu widzenia naszego podejcia, wartoci te nie zasuguj jednak na swoj nazw· S to bowiem wartoci bardzo mae, ale jednak wyraalne przy pomocy liczb wymiernych, a wic nie nieskoczenie mae. Tylko wówczas, gdy operujemy tak duymi wielkociami jak te, które s wyraalne liczbami wymiernymi, moemy udowodni twierdzenia l oraz 3. Otoczenie liczby niewymiernej jest wówczas na tyle wielkie, e mieci w sobie nieskoczon ilo liczb wymiernych.
Aby wej w wiat kolejnych coraz to potniejszych zbiorów liczb pod-rzeczywistych, naley operowa wielkociami nie dajcymi si wyrazi za pomoc liczb wymiernych, czyli wielkociami mniejszymi ni Q-pod-
8 Wielko nieskoczenie maa w analizie matematycznej to dowolnie maa wielko wymierna. W tym sensie wielko infinitezymalna to nie to sarno co wielko nieskoczenie maa. "Wielko nieskoczenie maa" jest wic pojciem wzgldnym, zalenym od tego, na jakim poziomie fraktalu si znajdujemy. Lepiej jest wic operowa pojciem "wielkoci infmitezymalnej".
138 PIOTR UKOWSKI
-mierzalne. Z punktu widzenia wiata wielkoci Q-mierzalnych, czyli tych dajcych si wyrazi liczbami wymiernymi lub nieskoczonymi, wszystkie wielkoci mniejsze, czyli co najwyej Q-pod-mierzalne, s postrzegane jako zera, cho nimi nie s.
Mona pokusi si o stwierdzenie natury ogólniejszej: z punktu widzenia wiata liczb tworzcych zbiór o mocy m = 2f( ... (2fe», wiat liczb tworzcych zbiór 2fm wydaje si by zbiorem cigym, a wic zbiorem midzy liczbami którego nie ma niezerowych odlegoci. Odlegoci te pojawi si, jeli tylko zejdziemy w gb osi liczbowej na kolejny niszy stopie, poprzez zwikszenie zbioru niezerowych wielkoci o now, kolejn jod.
Zgodnie z przedstawion koncepcj, o liczbowa jest wic fraktalem, czyli struktur nieskoczenie samopodobn. Wielostopniowo tej struktury ma t cech, i na kadym poziomie wyglda ona tak samo. Gdy patrzymy na ni z perspektywy wielkoci Q-wymiernych, widzimy, e jest ona cigym zbiorem liczb niewymiernych "od czasu do czasu poprzerywanym" izolowanymi (pojedynczymi) liczbami wymiernymi. Okazuje si jednak, e patrzc na o liczbow z perspektywy niezerowych odlegoci midzy kolejnymi liczbami niewymiernymi, widzimy, e jest ona cigym zbiorem jakich liczb pod- rzeczywistych poprzerywanym izolowanymi (pojedynczymi) liczbami niewymier- nymi. Oznacza to, e obraz osi liczbowej jest z obu perspektyw identyczny. W kolejnych krokach schodzenia w wiat coraz to mniejszych wielkoci o liczbowa staje si cigym zbiorem liczb podn+1-rzeczywistych poprzerywanym pojedynczymi liczbami podn-rzeczywistymi. Tak wic, na kadym poziomie o liczbowa wyglda tak samo.
Fraktalna struktura osi liczbowej wyklucza bezwzgldn cigo któ- regokolwiek ze zbiorów liczbowych. O cigoci mona mówi jedynie w kontekcie okrelonego poziomu fraktalu. Kady zbiór liczb mocy 2fm = 2f(2f( .. ·(2f~o))) jest cigy jedynie na tym poziomie, który jest najwyszym sporód wszystkich tych poziomów, dla których l/m jest wielkoci odrónialn od zera.
5. Czy frak tal osi liczbowej ma poziom pierwszy?
Z perspektywy teorii jod, o liczbowa jest fraktalem. Nie jest jednak przesdzone, czy fraktal ten ma poziom pierwszy, czy te nie. Mona wic przyj zarówno to zaoenie, które zakada, i poziom liczb wymiernych jest pierwszym i zarazem najwyszym poziomem fraktalu osi liczbowej, jak i zaoenie, zgodnie z którym, fraktal osi liczbowej nie ma poziomu pierwszego - kady poziom jest jednoczenie "nad" nieskoczon liczb jednych i "pod" nieskoczon liczb innych poziomów.
Hipoteza jod 139
Odrzucajc zaoenie, e fraktal ma poziom pierwszy, przyjmujemy istnienie takiego poziomu, na którym zbiór liczb wymiernych jest zbiorem cigym poprzerywanym izolowanymi liczbami nad-wymiernymi. Z perspektywy tego poziomu liczby niewymierne s niedostrzegalne. Pogld odrzucajcy istnienie poziomu pierwszego fraktalu osi liczbowej jest o tyle uzasadniony, i nie istnieje taki skoczony zbiór, którego np. zbiór potgowy byby równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych: zbiór potgowy jakiegokolwiek zbioru sko- czonego nie ma mocy nieskoczonej, choby tej najmniejszej ze znanych. Co wicej, nie ma operacji, która wykonana na zbiorach skoczonych dawaaby zbiór nieskoczony. Innymi sowy, istnieje przepa midzy wiatem wartoci skoczonych a wiatem wartoci nieskoczonych. Tymczasem przejcie na wyszy poziom fraktalu jest równoznaczne z wejciem w wiat jakich liczb nad-wymiernych tworzcych zbiór nieskoczony o mocy mniejszej ni ~o. T now moc zbiorów nieskoczonych oznaczmy Kl' Wprost z przyjtych zaoe wynika, e:
u _ 2t{-I~'o- .
Oznacza to, e liczb nad-wymiernych jest nieskoczenie wiele, ale istotnie mniej ni liczb wymiernych. Stosunek iloci liczb nad-wymiernych do iloci liczb wymiernych ma si tak jak stosunek liczb wymiernych do liczb niewymiernych, czyli równie tak jak liczb podn-rzeczywistych do liczb podn+I-rzeczywistych. Proces odwrotny do potgowania zbiorów moemy wic kontynuowa dalej, uzyskujc w efekcie cig malejcych wartoci nieskoczonych:
...< ~-5 < ~--4 < ~-3 < ~-2 < ~-I <K{)
takich, e dla n EN,
~-n = 2K-t>-I.
Naturalnie i te nieskoczonoci winny mie swoje, wzajemnie róne od siebie odwrotnoci:
Jednak z perspektywy liczb wymiernych trudno byoby liczby te zaliczy do wielkoci infinitezymalnych. Jak wic wielkoci z punktu widzenia wiata liczb wymiernych jest '-l jod a minus jeden? Czy jest ona wartoci skoczon, czy moe ju nieskoczon? Czy jody nie przechodz w wielkoci nieskoczone, a wielkoci nieskoczone w jody? By moe to, e pewne liczby zaliczamy do liczb nieskoczonych, inne za do jadów, wynika wycznie z naszej perspektywy liczb wymiernych?
140 PIOTR UKOWSKI
Nieskoczono nieraz ju pokazaa, i intuicje z ni zwizane s mylce i znacznie upraszczajce to, co si za jej pojciem kryje. Czy jest wic wykluczone, aby w zbiorze liczb nieskoczonych nie tylko nie byo wielkoci najwikszej, ale aby nie byo równie wielkoci najmniejszej
...< ~-5 < ~-4 < ~-3 < ~-2 < ~-1 < ~-O <c < 2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) < ...?
6. Konstrukcja liczb pod-rzeczywistych
Konstrukcja dodatnich liczb pod-rzeczywistych zostanie poprzedzona konstrukcj dodatnich liczb rzeczywistych w postaci uamków dziesitnych. Niech Z* bdzie zbiorem indeksów. Zaómy, e Z* = N. Niech ponadto kademu niezerowemu elementowi k EZ* odpowiada dziesicioelementowy zbiór Zk = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Liczbie k = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo = N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych, taki, e kady jego k-ty element naley do zbioru Zk' Pierwszy element z indeksem zero oddzielmy od drugiego elementu posiadajcego indeks dwa przecinkiem. Przykadem tak otrzymanej liczby jest
12,3874092551 ...
gdzie: ko = 12; kI = 3; k] = 8; k3 = 7; k4 = 4; kj = O; k6 = 2; k7 = 5; ks = 5; k9 = 1; ...
z*
Hipoteza jod 141
Oczywistym faktem jest to, e w wyzeJ przedstawiony sposób mona zbudowa dowoln dodatni liczb rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego. Ich ilo wyraa si wzorem:
Moliwa jest równie konstrukcja liczb w systemie innym ni dziesitkowy. Jeli, dla przykadu: Zk = {O, 1}, dla k ~ l oraz Zo = {O, l, 10, 11, 100, 101, 110, Ill, ...}, to liczby konstruowane w sposób analogiczny do wyej przedstawionego s liczbami rzeczywistymi w systemie dwójkowym danymi w postaci uamka dziesitnego. Zbiór wszystkich takich liczb stanowi mnogo równoliczn ze zbiorem liczb rzeczywistych w systemie dziesit- kowym:
Zaproponowana konstrukcja daje si z niewielkimi zmianami powtórzy tak, aby w jej efekcie powstaway liczby pod-rzeczywiste w danym systemie i w postaci uamka dziesitnego. Ograniczmy si do systemu dziesit- kowego.
Dostosowujc do tego zadania wczeniejsz konstrukcj, wystarczy przyj, e zbiór indeksów Z* jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych R +. Pozostae elementy konstrukcji s niezmienione. Niech wic kademu niezerowemu elementowi TEZ* odpowiada dziesicioelementowy zbiór Zr = {O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Liczbie T = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo = N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych taki, e kady jego T-ty element naley do zbioru Zk9. Pierwszy element z indeksem zero oddzielmy od pozostaych elementów tego "cigu" przecinkiem. Przy- kadem tak otrzymanej liczby jest
9 Naturalnie, pojcie "cigu" wystpujce w opisie konstrukcji liczby pod-rzeczywistej jest niestandardowe. Kolejno ustalana przez tego typu "cig" jest wyznaczona przez relacj wikszoci okrelon na liczbach rzeczywistych.
142 PIOTR UKOWSKI
<b cb cDc~. . .(.) ..
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... N
Tak jak w przypadku liczby rzeczywistej, na pozycji r = O mamy liczb ao = 12, na pozycji r = 1 liczb al = 3, na pozycji r = 2 liczb aJ = 8, na pozycji r = 3 liczb a3 = 7, itd. Tym, co róni liczb pod-rzeczywist od liczby rzeczywistej, jest wystpowanie nieskoczenie wielu liczb ar zbioru Nw = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9} na pozycjach r. Oczywicie pozycje te s wyraone liczbami spoza zbioru liczb naturalnych N. Liczby wystpujce na nowych pozycjach znajdujcych si midzy dwiema pozycjami odpowia- dajcymi kolejnym liczbom naturalnym tworz wic przedziay (aj, aj+l), dla iEN. W przypadku pod-rzeczywistej liczby podanej jako przykad ao = 12. al = 3, aJ = 8, a3 = 7, a4 = 4. a5 = O, a6 = 9. a7 = 2, aB= 5... Zatem, posta dowolnej liczby pod-rzeczywistej jest nastpujca:
gdzie aoEN; al' az' a3, a4, a6, a7, as'" ENlO oraz kade r, bdce indeksem liczby z przedziau (aj, aj+ l) dla iE N (a wic i< r < i+ 1), jest dodatni liczb rzeczywist. atwo zauway, e ilo wszystkich liczb pod-rzeczywistych w systemie dziesitkowym wyraa si wzorem:
~o' (lO/c) = ~o(2/e) = 21e.
Kady przedzia (aj, aj+l) taki, e kada liczba ar z przedziau (aj, aj+l) jest równa zero, oznaczymy symbolem (= O). Jeli natomiast pewna liczba ar z przedziau (ai' aj+l) jest róna od zera, to (aj, aj+l) = (# O). Gdy dla kadego iEN, (aj, aj+l) = (= O), wówczas liczba pod-rzeczywista:
Hipoteza jod 143
jest liczb rzeczywist:
ao'(= O)al = O)ai = O)ai = O)al..= O)asC= 0)a6(= 0)a7(= 0)a8·.. = = aO,a]a2ap4a5a6a~8'"
Podobnie, dowolna liczba naturalna n ma w wiecie liczb pod-rzeczywistych posta:
n = n,( = O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= 0)0 ...
Fraktalna struktura osi liczbowej oznacza, e wszystkie liczby pod- -rzeczywiste maj na tej osi swoje miejsce. Porzdek liczb pod-rzeczywistych jest generowany przez porzdek liczb rzeczywistych:
Zaómy, e JrT] = ao,(ao,a])ala],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)asCa5,a6)aia6'a7)ala7,a8)a8 ..· JrT2 = ao,(ao,a])a](a],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)a5(a5,a6)aia6,a7)ala7,a8)a8'" s dwiema liczbami pod-rzeczywistymi. Niech ponadto dla iE {1, 2}, TiE R +(s;E R +) oznacza liczb naturaln przypisan T-tej (s-tej) pozycji w liczbie p-Ti• Jeli dla dowolnej T::::; S, T] = r2, to z dwóch pod-rzeczywistych liczb Jrr] i JrT2 wiksza jest ta, która ma wiksz liczb naturaln przypisan pozycji s.
o niezwykej mocy zbioru wszystkich liczb pod-rzeczywistych moe wiadczy nastpujcy przykad. Rozwamy dwie liczby wymierne 1,1 oraz 1,2. Naturalnie,
1,1 = 1,(= O)l( = 0)0(= 0)0(= O) . 1,2 = 1,( = 0)2( = O)O(= O)O(= O) .
Wród liczb wikszych od 1,1 i mniejszych ni 1,2 s nastpujce klasy liczb:
1,( = O)l( =1=O)ai = O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai =1=O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai = 0)a5..· 1,(= 0)1(= O)ai= O)ai= O)ak;i= O)aj'oo
1,( = O)l( =1=O)al =1=0)a3(= O)ai = 0)a5· ••
1,( = O)l( = O)ai =1=O)ai =1=O)ai = 0)a5• ••
1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai =1=O)aj''' 1,(= 0)1(= O)ai= O)ai= O)ai=l= O)aj'''
144 PIOTR UKOWSKI
1,(= 0)1(= O)ai = O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( =1= O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 ••.
1,(= 0)1( = O)azC= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
dla ao' al' a2, al' a4, a5EN. Naturalnie, kade wystpienie symbolu (=1= O) wyraa 2fc przypadków pod-rzeczywistych liczb.
Wykonywanie dziaa na wielu liczbach pod-rzeczywistych jest tak samo niemoliwe, jak wykonywanie tych dziaa na wielu liczbach niewymiernych. Precyzyjne i pene okrelenie dziaa arytmetycznych jest, w praktyce, ograniczone do zbioru liczb wymiernych. Sporód wszystkich liczb niewymier- nych dostpne dla dziaa s bowiem tylko te liczby, które posiadaj nazwy. Jedynie nadanie specjalnych nazw niektórym liczbom niewymiernym np. "J2", "JJ", "n", "e", umoliwia wykonywanie na tych liczbach dziaa tak, jak gdyby byy one liczbami wymiernymi. Brak nazw dla wielu liczb niewymiernych sprawia, e dziaania na nich s niewykonalne, bo ju samo wyraenie wartoci tej liczby jest niemoliwe. Poszerzenie zbioru liczb wymiernych o pewien, niekoniecznie skoczony chocia przeliczalny, zbiór podstawowych liczb niewymiernych, takich jak wyej wspomniane, ma robi wraenie, e dziaania na dowolnych liczbach rzeczywistych s wykonalne. Tymczasem, dysponujc liczb e, mamy jedynie e/2, 3e/4, itd. Traktujemy tym samym "e" jak nowy element dodany do zbioru liczb cakowitych, który mona stosowa w konstrukcji nazw liczb wymiernych, tak jak to si czyni z innymi symbolami liczb cakowitych, a wic na przykad z symbo- lem ,,2"10.
10 O charakterze tego poszerzenia wiadczy chociaby to, e jest ono przeprowadzane na wzór konstrukcji liczb urojonych aj+b, dla a, bER oraz i=)-l, z t rónic, e dziaania w przypadku obu cia liczbowych s rónie okrelone. Nie jest przecie trudnym zadaniem sprawdzi, e zbiór liczb {aJ2 + b: a, b E Q} z dobrze znanymi dziaaniami jest ciaem liczbowym, podobnie jak ciaem liczbowym jest zbiór liczb urojonych. Symbol ,,)2" nie jest zastpowalny adnym innym symbolem liczby wymiernej tak samo jak symbol "i". W podobnym zreszt sensie nie jest zastpowalny symbol dowolnej liczby naturalnej, np. ,,2". Dostpny dla nas zbiór liczb rzeczywistych przypomina wic zbiór okrelony nastpujco:
{p/q: p, qENu{1', 2', 3', ...} i q 'i' O},
Hipoteza jod 145
7. Podsumowanie
Hipoteza jod bazuje na obowizujcym ju w niektórych teoriach matematycznych zaoeniu niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych. Przyjcie tej hipotezy oznacza zaoenie istnienia nieskoczenie wielu wartoci nieskoczenie maych. Pojcie "wielkoci nieskoczenie maej" jest jednak rozumiane w inny sposób, ni ma to miejsce w tradycyjnej analizie matematycz- nej. Wielkoci nieskoczenie mae reprezentowane w przedstawionej tu hipotezie przez jody s wielkociami wikszymi od zera i mniejszymi od dowolnej dodatniej liczby wymiernej, a wic mniejszymi równie od dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej. S wic wielkociami niewyraalnymi w postaci uamka p/q, gdzie p i q s liczbami cakowitymi, za q jest dodatkowo liczb rón od zera. Istnieje jednak moliwo innego wyraenia za pomoc liczb wymiernych najwikszej sporód jod, jako granicy cigu:
Nie istnieje jednak jakakolwiek moliwo wyraenia pozostaych jod za pomoc liczb wymiernych.
Wszystkie jody bdce odwrotnociami generowanych przez operacj potgowania wartoci nieskoczonych tworz cig nieskoczony liczb in- finitezymalnych zbieny do zera. Naturalnie, liczba zero nie moe by elementem tego cigu, gdy w przeciwnym razie oznaczaoby to zaoenie, i w cigu liczb nieskoczonych
~o c, 2/,c, 2/'(2/,c), 2/'(2/'(2/,c)), 2/'(2/'(2/'(2/,c))),
gdzie {l', 2', 3', ...} jest przeliczalnym zbiorem nowych symboli zarezerwowanych dla pewnych niewymiernych wielkoci. To rozszerzenie ciaa liczb wymiernych o pewn przeliczaln ilo liczb rzeczywistych sprawia, e okrelenie dziaa na liczbach rzeczywistych jest ograniczone jedynie do przeliczalnego podzbioru zbioru R. Mona wic przyj, e wszystkie znane w ciele liczb wymiernych dziaania s okrelone jedynie na przeliczalnym podzbiorze zbioru R. Oznacza to, e nawet tak proste dziaanie jak dodawanie nie jest na zbiorze R okrelone.
146 PIOTR UKOWSKI
istnieje liczba najwiksza. Wiadomo jednak, e zaoenie istnienia zbioru wszystkich zbiorów, jak równie zaoenie istnienia zbioru o najwikszej mocy, prowadzi do sprzecznoci, co oznacza, e ukryty w liczbach Bóg Georga Cantora jest nieosigalny równie na gruncie matematyki. Wielkoci nieskoczone d do Tej Jednej Nieskoczonoci, lecz jej nie osigaj
~o < c < 2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) < 2f(2f(2f(2fc))) < ...< OJ,
W pewnym sensie nieosigalno Tej Jednej Nieskoczonoci wpywa na charakter zera. N aturainie, jest ono wynikiem odejmowania dowolnej liczby a od siebie samej, jednak jedynym cigiem zbienym do zera jest cig jod. Kady konstruowalny za pomoc liczb wymiernych i bez uycia operacji odejmowania cig zbiega do wielkoci rónej od zera. Fakt, i jody s odwrotnociami liczb nieskoczonych, oznacza, e wartoci nieskoczone s odwrotnociami jod. Tymczasem, odwrotno zera 1/0 jest wartoci nie- okrelon, tak jak nieokrelon jest Nieskoczono OJ. Jest to kolejny argument za istnieniem wielkoci infinidezymalnych. Skoro nieskoczonoci postaci:
2f( ... (2f~o) )
s definiowalne, a wic tym samym s okrelone, ich odwrotnoci równie winny by okrelone, których z kolei odwrotnoci take powinny by wielkociami okrelonymi. Jeli wic odwrotnoci definiowalnej liczby nieskoczonej 2f (. .. (2f~o)) ma by zero, to odwrotno zera, bdc wielkoci nie okrelon, nie powinno by równe 2f( ... (2f ~o) ). Ponadto - jak ju zostao to wczeniej zauwaone - jedna liczba, w tym wypadku zero, nie powinna by odwrotnoci wielu rónych liczb.
Zgodnie z hipotez jod, z punktu widzenia wiata liczb wymiernych, wszystkie jody s wartociami zerowymi. S to jednak zera potencjalne, nie za aktualne. Dotychczasowy zakres nazwy "zero" zosta podzielony na zakresy nazw ,,joda zero", ,,joda jeden", ,,joda dwa", ... oraz "zero w wszym rozumieniu". Zero w wszym rozumieniu jest wic zerem aktualnym, odpowiadajcym odwrotnoci jednej jedynej i niewyraalnej, najwikszej Nieskoczonoci ograniczajcej cig wszystkich znanych nam nieskoczonoci, o ile ograniczenie to w ogóle istnieje. Istnienie za tego Ograniczenia wydaje si pozostawa kwesti wiary.
Hipoteza jod 147
Aczel A. D., 2002, Tajemnica Alefów, matematyka, kabala i poszukiwania nieskoczonoci (The Mystery of the Aleph), Dom Wyd. Rebis, Pozna.
Conway J. H., Guy R. K., 1998, Ksiga liczb, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa. [1] http://www.campusprogram.com/reference/en/wikipedia/i/in/infinitesima1.html [2] http:j /www.campusprogram.comjreferencejenjwikipediajsjsujsurreal_number.html
Page 3
Images
Images
Przez wieki nieskoczono funkcjonowaa w matematyce jako warto potencjalna. Nieskoczono aktualna nie bya znana. Wraz z pojawieniem si nieskoczonoci aktualnych, a zwaszcza mnogoci tych nieskoczonoci, okazao si moliwym rozwaenie nieskoczenie maych wielkoci genero- wanych przez te nieskoczonoci. Mona wrcz zaryzykowa stwierdzenie, e istnienie nieskoczonej iloci rónych, nieskoczenie maych wielkoci jest prost konsekwencj istnienia nieskoczenie wielu, rónych liczb niesko- czonych. W pracy zostaa podjta próba rozrónienia nieskoczonej iloci wartoci potencjalnie zerowych, ktÓre dotychczas kryj si pod postaci jednej aktualnej wartoci zera. Tradycyjnie, to jedno aktualne zero jest rozumiane jako odwrotno wszystkich liczb nieskoczonych. Jednak kada liczba nieskoczona jest róna od pozostaych, co oznacza, e odwrotnoci kadej z tych liczb winna odpowiada inna, nieskoczenie maa liczba. Idea niezerowych odwrotnoci liczb nieskoczonych nie jest nowa. Pojawia si wraz z teori liczb nadrzeczywistych (ang. hyperreal numbers) bdcych wanym, waciwym podzbiorem zbioru liczb surrealnych (ang. surreal numbers)!. Tak wic wydaje si, e nieskoczona klasa wartoci niesko- czonych powinna wymaga swoistego odpowiednika w postaci równie nieskoczonej klasy wartoci odpowiadajcych ich odwrotnociom, czyli wartociom potencjalnie zerowym. Tak jak potencjalna nieskoczono zostaa zastpiona klas aktualnych nieskoczonoci, tak aktualne zero powinno zosta zastpione klas potencjalnych zer, czyli klas liczb in- finitezymalnych - liczb zarazem wikszych od zera i mniejszych od dowolnej liczby rzeczywistejZ.
Celem tej pracy jest przedstawienie hipotezy zakadajcej fraktaln struktur osi liczbowej oraz wynikajc z tego zaoenia wzgldno takich poj, jak "cigo" czy "gsto". Istnienie wielkoci infinitezymalnych wydaje si
l Patrz Conway, Guy 1998; [1], [2]. Teoria liczb nadrzeczywistych poza wspomnian niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych nie ma jednak zwizku z zaproponowan w pracy hipotez.
2 Patrz [1].
128 PIOTR UKOWSKI
by nie do pogodzenia z wiar zarówno w bezwzgldn cigo, jak i w bezwzgldn gsto zbioru liczb rzeczywistych.
Ponadto w pracy jest postawione otwarte pytanie dotyczce nieistnienia najmniejszej nieskoczonoci. Schodzenie w dó struktury fraktalu, jakim jest o liczbowa, moe przecie zosta odwrócone i w efekcie zastpione przez wspinanie si wzwy tej samej fraktalnej struktury3. Proces ten nieuchronnie generuje nieskoczenie wiele nieskoczonoci mniejszych od ~o· Naturalnie, pojmowanie osi liczbowej jako fraktalu nie pociga za sob koniecznoci uznania klasy nieskoczonoci mniejszych od ~o. Wystarczy bowiem przyj, e o liczbowa jest fraktalem z nieskoczon co prawda iloci poziomów, jednak wród nich istnieje poziom pierwszy, odpowiadajcy wanie liczbie ~o.
1. Paradoks osi liczb rzeczywistych
Jedn z dajcych si sformuowa postaci paradoksu osi liczb rzeczywistych jest nastpujce rozumowanie:
• Paradoks osi liczbowej
"Ilo liczb wymiernych to ~o' za niewymiernych c. Poniewa ~o < c, wic liczb niewymiernych jest istotnie wicej ni liczb wymiernych. Jak jest wic moliwe, aby midzy dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi (zawsze) istniaa liczba wymierna?"
Naturalnie, mona stwierdzi, e w przypadku zbiorów nieskoczo- nych tradycyjna intuicja zawodzi i w zwizku z tym istnieje wiele fak- tów, które mog uchodzi za paradoksalne. Wydaje si jednak, e przy- toczone wyej rozumowanie pozostaje paradoksalnym nawet w kontekcie wszystkich istotnych "nieintuicyjnych" faktów dotyczcych zbiorów nie- skoczonych.
3 Fraktal jest zbiorem o szczególnie skomplikowanej budowie. Dowolnie may jego fragment jest tak samo skomplikowany jak cao. FraktaI jest konstrukcj wykazujc tak zwane "nieskoczone samopodobiestwo". Oznacza to, e dowolnie may jego kawaek, odpowiednio powikszony, przypomina do zudzenia cay zbiór lub jego znaczn cz. Jednoczenie fraktaIe maj prosty opis i czsto s otrzymywane przez powtarzanie nieskoczenie wiele razy tej samej operacji. Teoria fraktali powstaa na pocztku XX w. jako skutek bada matematycznych nad definicj wymiaru i definicj krzywej. Najbardziej znanymi, a zarazem jednymi z najprostszych, fraktalami s: trójkt Sierpiskiego, dywan Serpiskiego i piramida Sierpiskiego; patrz: internetowa strona Wydziau Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej, http://www.mini.pw.edu.pl.
Mogoby si na przykad wydawa, e paradoksalno wyzeJ przed- stawionego rozumowania znika wraz z uwiadomieniem sobie faktu gstoci zbioru liczb wymiernych:
"Dla dowolnych dwóch rónych liczb wymiernych a b istnieje liczba c taka, e a<c<b".
Có jednak z tego, skoro zbiór liczb niewymiernych równie jest gsty w tym samym znaczeniu sowa "gsty". Niewyobraalna wrcz rónica w iloci liczb wymiernych i niewymiernych sugeruje, e zbiór liczb niewymiernych powinien by "znacznie bardziej gsty" ni zbiór liczb wymiernych. Z drugiej jednak strony, obowizuje twierdzenie goszce, e midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi zawsze istnieje liczba wymierna. Jak wida, uwzgldnienie gstoci obu zbiorów nie rozwizuje paradoksu osi liczbowej.
Propozycj rozwizania tego paradoksu poprzedmy analiz niezwykle prostego problemu. Rozwamy dwa zbiory: A = {k: k = 5n, dla nEN} oraz B = N\A, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Przy mniej precyzyjnym zapisie zbiory te maj posta: A = {O, 5, lO, 15, ...} oraz B = {l, 2, 3, 4, 6, ... }. atwo zauway, e prawdziwe jest:
ZDANIE l: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru A, jeli a <b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru B, e a < c <b".
Nie jest natomiast prawd:
ZDANIE 2: "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru B, jeli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru A, e a < c <b".
Jednoczesna prawdziwo obu zda wymagaaby tego, aby po kadej liczbie jednego zbioru istniaa liczba drugiego zbioru. Brak tej naprzemiennoci sprawia, e które ze zda l, 2 musi by faszywe. Zauwamy bowiem, e jeli nastpn, ze wzgldu na wielko, po liczbie aEB jest liczba bEB, to dla tych wanie liczb a i b nie istnieje w zbiorze A liczba leca na osi liczbowej midzy nimi.
Bardzo dobrze znane s nastpujce twierdzenia dotyczce liczb wymiernych i niewymiernych:
TWIERDZENIE l. Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymie- rnymi istnieje liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb wymier- nych). TWIERDZENIE 2. Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami wymiernymi istnieje liczba niewymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb niewymiernych ).
130 PIOTR UKOWSKI
TWIERDZENIE 3. W dowolnie maym otoczeniu liczby niewymiernej istnieje nieskoczenie wiele liczb wymiernych. TWIERDZENIE 4. W dowolnie maym otoczeniu liczby wymiernej istnieje nieskoczenie wiele liczb niewymiernych.
Doskonale wiemy, e zbiór wszystkich liczb wymiernych Q stanowi dyskretny podzbiór zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, za liczebno zbioru liczb rzeczywistych R, a wic i niewymiernych NQ - to tak zwane continuum c. Aby wic prawd byy twierdzenia 1 i 2, powinna mie miejsce swoista naprzemienno liczb wymiernych i niewymiernych na osi liczbowej. Porównujc liczebno obu zbiorów, musimy jednak tak naprzemienno wykluczy. Co wicej, skoro moc zbioru NQ jest c, za moc zbioru Q, to ~O> musz istnie takie dwie liczby wymierne midzy, którymi powinien znajdowa si cay (cigy) przedzia liczb niewymiernych. Przeczy to jednak prawdziwoci twierdze 1 i 3.
Istnieje wic sprzeczno midzy twierdzeniem 1 a wiedz dotyczc liczebnoci zbiorów Q i NQ.
Wykorzystujc przedstawiony wyej przykad, warto spróbowa od- powiedzie na pytanie:
Pod jakim warunkiem mamy zagwarantowan jednoczesn prawdziwo zda l i 2, mimo niezmienionej postaci zbiorów A i B?
Przyjmijmy, e z jakich powodów nie jestemy w stanie operowa odlegociami mniejszymi ni 5. Wówczas, w zbiorze B jestemy w stanie odróni liczb l dopiero od liczby 6. Odlego liczby l od liczb 2, 3, 4, 5 jest dla nas praktycznie równa zero. Tym samym, nie ma dla nas sensu operowanie takim wyraeniem, jak na przykad: "midzy liczb l a liczb 4". Jeli wic uywamy wyraenia "midzy liczb a, a liczb b", to mamy na myli liczby odlege od siebie o co najmniej 5. W takiej sytuacji zmianie ulego wyraenie stwierdzajce róno dwóch liczb. Od liczby l róna nie jest ani liczba 2, ani 3, ani 4, ani 5. Od liczby l róne s dopiero wszystkie liczby wiksze od liczby 5, a zatem 6, 7, 8, itd. Wida, e przy takim rozumieniu wyrae "midzy" oraz "róny" prawdziwe s oba zdania- - tak 1, jak i 2. Zdanie 1 z oczywistych powodów pozostaje prawd. Teraz jednak prawdziwe jest równie:
ZDANIE 2. "Dla dowolnych dwóch rónych liczb a i b nalecych do zbioru B, jdli a < b, to istnieje taka liczba c naleca do zbioru A, e a < c < b".
Przykad analizowanych wyej dwóch zbiorów A i B pokazuje, e jednoczesna prawdziwo dwóch twierdze goszcych wzajemnie, e midzy
Hipoteza jod 131
dwiema dowolnymi rónymi liczbami jednego zbioru, zawsze istnieje liczba drugiego zbioru, moe by niemoliwa do zaakceptowania nawet w przypadku, gdy oba zbiory s tej samej mocy. Fakt ten jest oczywisty i moe by bez najmniejszego trudu zilustrowany na wiele rónych sposobów, np. A - zbiór liczb naturalnych parzystych, B - zbiór liczb naturalnych nieparzystych bez liczby 7; A - zbiór liczb pierwszych, B - zbiór liczb naturalnych nie-pierwszych; A - zbiór liczb wymiernych, w których zapisie uproszczonych postaci uamkowych nie wystpuje liczba 3 (np. 5/19, 27/11), B = (Q - A) - [1/555, 1/554] (np. 1/23, 3/77).
Skoro wic naprzemienno dwóch zbiorów jest czym wicej ni rów- noliczno tych zbiorów, czy faktycznie moliwa jest do pomylenia na- przemienno dwóch zbiorów, z których jeden jest w istotny sposób liczniejszy od drugiego, nawet przy zaoeniu ich gstoci? Ponadto pojawia si obawa, czy z zaoenia gstoci zbioru nie zwyklimy wyciga zbyt daleko idcych wniosków? Czy fakt gstoci zbioru nie dostarcza usprawiedliwienia, które uatwia akceptacj zbyt wielu twierdze. Moe gsto zbioru znaczy mniej, ni przypuszczamy?
2. Paradoks liczb nieskoczonych
• Paradoks alefów
"Odwrotnoci dowolnych dwóch rónych liczb s liczbami rónymi. Wartoci nieskoczone ~o' c, 2e, ••• s rónymi liczbami. Mimo to, wszystkie te liczby maj wspóln odwrotno: zero".
Przyjmijmy zatem istnienie odpowiadajcej klasie wszystkich liczb nie- skoczonych generowanych przez operacj potgowania klas jod, wielkoci niewyobraalnie maych:
, 0= IW.o' ' I = l/c, '2= 1/(2 fe), '3 = 1/(2f(2fe)), '4 = 1/(2f(2f(2fe))), ... 4
Wybór hebrajskiej litery , (jod) nie jest przypadkowy i nawizuje do dokonanego kiedy przez Georga Cantora wyboru innej hebrajskiej litery ~
4 afb = ab.
132 PIOTR UKOWSKI
(alet) na okrelenie wartoci nieskoczonej. Poniewa rozwaania nasze dotycz niezwykle maych wartoci, wród rónych liter hebrajskiego alfabetu najlepszym kandydatem wydaje si by wanie joda, która w europejskiej kulturze, od wieków jest symbolem czego bardzo maego.
Naturalnie, skoro:
~o < e < 2fe < 2f(2fe) < 2f(2f(2fe)) < 2f(2f(2f(2fe))) < ..., wic
'0>' 1>'2>'3 >'4>'5> ...> O.
Zauwamy, e kada z jod, poczwszy od pierwszej jody zero, spenia definicj wielkoci infinitezymalnych: jest jednoczenie liczb dodatni (wiksz od zera) i zarazem mniejsz od dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej s. Istotnie, skoro dla dowolnej liczby rzeczywistej T, T < ~o' wic l/r > 'o (z dowolnoci liczby rzeczywistej T wynika, dowolno liczby rzeczywistej lir).
Wszystkie jody s liczbami rónymi od zera, jednak na tyle maymi, e ich róno od zera jest niewyraalna za pomoc liczb wymiernych. Nie moe przecie istnie uamek p/q taki, e p i q s liczbami cakowitymi (nalecymi do zbioru C), q jest liczb niezerow oraz p/q ='k dla jakie- gokolwiek kEN. Tak wic, z punktu widzenia liczb wymiernych, '0 praktycznie jest zerem, naleaoby jednak rzec zerem potencjalnym. Podobnie kada z pozostaych jod jest jedynie zerem potencjalnym, nie za aktualnym.
Zaoenie rónoci od zera odwrotnoci wspomnianych liczb nieskoczonych ma swoje istotne konsekwencje. Przyjmujc bowiem niezerowo jody zero, naley uzna, e - dla przykadu - granic cigu {i/nt nie jest zero, lecz wanie' o' Kada podstawiona w miejsce zmiennej n niezerowa liczba naturalna jest przecie mniejsza od ~o' Oznacza to, e bez wzgldu na liczb n, l/n zawsze przyjmuje warto wiksz od ' o. Dlatego te,
Nie dysponujc jodami uwaamy, e granic tego cigu jest zero, chocia tak naprawd granic t jest l/~o' Jeli l/~o byoby zerem, to tym bardziej zerem byyby odwrotnoci wszystkich pozostaych liczb nieskoczonych: l/e, 1/(2fe), ...
Inn konsekwencj hipotezy jod jest konieczno przyjcia, i warto uamka okresowego 0,(9) nie jest równa 1. Naturalnie, argumentu za podobnym rozrónieniem obu liczb nie dostarcza fakt, i obie liczby róni si zapisem, i to w sposób do istotny: 0,99999... oraz 1,00000... Naley bowiem zauway, e liczba 0,(9) jest granic cigu {i-l/lon}, który zgodnie
5 Liczba x 'ft O jest infinitezymalna (ang. infinitesimal) wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna skoczona suma lxi + ...+ lxi ma warto mniejsz od 1, patrz Conway, Guy 1998.
Hipoteza jod 133
z hipotez jod nie jest zbieny do liczby 1, lecz do 1 - l/'c{o' czyli do liczby 1 - ~o' Zatem:
Przypomnijmy, e ju od uczniów szkó podstawowych wymagana jest umiejtno zamiany uamków okresowych na zwyke - zamiana uamków zwykych na okresowe jest banalna. Tak wic, ucze koczcy szko podstawow winien wiedzie, e na przykad:
0,(1) = 1/9 0,(2) = 2/9 0,(6) = 6/9 = 2/3 0,(7) = 7/9
0,(01) = 1/99 0,(30) = 30/99 = 10/33 0,(55) = 55/99 0,(81) = 81/99 = 9/11
0,(001) = 1/999 0,(030) = 30/999 = 10/333 0,(055) = 55/999 0,(810) = 810/999 = 90/111
Problemem jest jednak kady uamek posiadajcy w okresie liczb 9. Stosujc powyszy algorytm mona atwo obliczy, e:
0,(9) = 9/9 = 1.
o ile jednak kady z uamków okresowych, których okresem nie jest liczba 9 daje si otrzyma jako wynik podzielenia licznika przez mianownik odpowiedniego uamka zwykego, np. dzielc 1 przez 9 otrzymamy 0,1111111 ..., o tyle nie sposób w analogiczny sposób otrzyma liczb 0,9999999 ... Trudno ta dotyczy kadego uamka posiadajcego w okresie liczb 9, np. 5,(9); 14,5694(9); 0,000(9); 1,89898(9).
Tak wic, odrzucenie zaoenia, i odwrotno alefa zero jest wartoci niezerow, jest równowane przyjciu, e 0,(9) = l. Co wicej, ju samo dziaanie na liczbach wymiernych jest de facto odrzuceniem niezerowoci odwrotnoci alefa zero - w wiecie liczb wymiernych odwrotno alefa zero jest po prostu zerem.
3. Nastpnik liczby wymiernej
Hipoteza jod ma jednak znacznie bardziej zaskakujce konsekwencje. Rozwaane w poprzednim paragrafie dwa cigi s, zgodnie z teori jod, zbiene odpowiednio do liczb ~o oraz l - ~o' Spróbujmy wic znale odpowiedzi na dwa nastpujce pytania:
Czy istnieje liczba wymierna wiksza ni O i mniejsza ni ~a? Czy istnieje liczba wymierna wiksza ni l - ,o i mniejsza ni l?
134 PIOTR UKOWSKI
Naturalnie, odpowiedzi na kade z tych pyta, zgodn z zapropono- wan tu hipotez, jest NlE. W pierwszym przypadku nie jest moliwe dodanie do zera takiej liczby wymiernej, aby w konsekwencji otrzyma liczb wiksz od O i mniejsz ni ~o' W drugim przypadku nie istnieje napis w postaci rozwinicia dziesitnego reprezentujcy liczb wiksz od O, (9) i mniejsz ni 1.
Zatem, w wietle powyszych rozwaa, mona przyj, e w wiecie liczb wymiernych poszerzonym o niezerow jod zero, ~o jest nastpnikiem liczby O, za 1 jest nastpnikiem liczby 0,(9). Co wicej, dla dowolnej liczby wymiernej a, jej nie do koca "wymiernym" nastpnikiem jest a + ' o. Naley bowiem podkreli, e poniewa liczba ~o nie jest wyraalna za pomoc uamka p/q, gdzie pEC, qEC-{O}, wic liczba a+'o jest "wymiernym" nastpnikiem liczby a niewyraalnym w wiecie liczb wymiernych - liczba ~o wyraa najwiksz odlego, w promieniu której nie ma innej liczby wymiernej6.
Rozwamy zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych Q +. Oczywicie, zastpienie w naszych rozwaaniach zbioru Q zbiorem Q + nie ma innego znaczenia jak tylko wygod i prostot zapisu. Poniewa liczebno zbioru Q + to ~o moemy wic ustawi wszystkie elementy tego zbioru w cig:
, ••• }.
speniajca nastpujcy warunek:
Vx. Y (jeli (x, YE{q], q2' q3' ... } i x#y), to (X=qi<qj=Y wtw i<j))?
Skoro s wszystkie moliwe permutacje, to moe powinna by i ta jedna szczególna. Jeli tak, to cig {q], q2' q3' ... } jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb wymiernych ustawionych w kolejnoci wzrastania. Naturalnie q] = O. Ponadto, cig ten ma niezwyk wasno:
"midzy dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami wymiernymi cigu {q], q2' q3' ... } nie ma innych liczb wymiernych".
6 Sowo "wymierny" w wyraeniu ,,«wymierny» nastpnik", ma sygnalizowa wzgldno pojcia nastpnika. Jeli bowiem uwzgldnimy kolejne jody, mniejsze od '0' to natychmiast okae si, e istnieje nieskoczenie wiele liczb w otoczeniu dowolnej liczby wymiernej o promieniu równym jod zero.
Hipoteza jod 135
Istotnie, skoro cig {ql' q2' q3' ... } zawiera wszystkie dodatnie liczby wymierne, a qn+ l jest wiksze ni qn' to nie istnieje taka liczba wymierna q, e
Dla kadej liczby wymiernej qn (nE{1, 2, 3, ...}), liczba qn+l jest wic jej nastpnikiem. Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej nEN:
albo qn+l - qn =' a' albo
Jeli przyjmiemy, e qn+l - qn = 'a' to jod zero okae si liczb wy- miern niewyraaln w postaci uamka p/q, rónych od zera liczb na- turalnych p, q. Dla prostoty dalszej analizy przyjmijmy t wanie ró- wno?
4. Fraktal osi liczbowej, czyli wzgldno cigoci
Analizowany w pierwszym paragrafie przykad ilustrowa sytuacj pole- gajc na tym, e uwzgldnianie jedynie takich odlegoci, które s wiksze od pewnej danej wartoci, sprawia, i moliwe do udowodnienia staje si, faszywe skdind, twierdzenie mówice, e midzy dwiema dowolnie wy- branymi liczbami zbioru bardziej licznego zawsze istnieje liczba (a nawet nieskoczenie wiele liczb) zbioru istotnie mniej licznego. Jeli uwzgldnimy hipotez jod, ten paradoksalny fakt nie daje si ju udowodni, przynajmniej w tak mocnej wersji.
Zaoylimy, e najmniejsza, w sensie wyraalnoci za pomoc liczb wymiernych oraz jody zero, odlego midzy liczbami wymiernymi wynosi 'a. T odlego nazwiemy Q-pad-mierzaln; kad odlego wyraaln w liczbach wymiernych lub nieskoczonych nazwiemy odlegoci Q-mierzaln; kad za odlego mniejsz od Q-pod-mierzalnej bdziemy nazwa Q- -niemierzaln·
Z perspektywy wielkoci wyraonej przez jod zero, o liczbowa jest zbiorem przedziaów liczb niewymiernych, na kracach których znajduj si (pojedyncze) liczby wymierne, oddalone od siebie o odlegoci Q-pod-mierzalne wyraajce dugoci tych przedziaów. Innymi sowy, o liczbowa jest dyskretnym zbiorem liczb wymiernych oddzielonych od siebie przedziaami liczb niewymiernych:
1 Dalsze rozwaania s równie moliwe przy zaoeniu, e n + 1- n > 'o. Co wicej, z punktu widzenia poruszanych dalej kwestii, rónice wynikajce z przyjcia tego lub drugiego z dwóch moliwych zaoe nie s istotne.
136 PIOTR UKOWSKI
"Midzy dowolnymi dwiema rónymi liczbami niewymiernymi istnieje liczba wymierna (istnieje nieskoczenie wiele liczb wymiernych)";
prawdziwe jest natomiast:
midzy nimi jest Q-mierzalna istnieje nieskoczenie wiele liczb wymie- rnych.
b) Istniej takie dwie róne liczby niewymierne oddalone od siebie o odlego Q-nie-mierzaln, midzy którymi nie ma liczby wymiernej.
Poszukujc odlegoci wyraonej przez' l' rozwamy teraz przedzia otwarty, którego kracami s dowolne dwie kolejne liczby wymierne: n i n+l' Do tego zbioru nale wszystkie liczby niewymierne wiksze od n i mniejsze od n+l, i nie naley adna liczba wymierna. Rozumujc analogicznie do przypadku liczb wymiernych, dochodzimy do wniosku, e odwrotnoci continuum c winna odpowiada warto potencjalnie zerowa z punktu widzenia liczb rzeczywistych, których jest wanie c. Aktualnie warto ta jest oczywicie róna od zera:
'l = l/c> O.
Jest to wic wielko bdca odlegoci midzy kolejnymi dwiema liczbami niewymiernymi, któr konsekwentnie nazwiemy NQ-pod-mierzaln. Oczywicie operowanie wielkociami wikszymi od NQ-pod-mierzalnych sprawia, e nie dostrzegamy jakichkolwiek odlegoci midzy kolejnymi liczbami niewymier- nymi, mówic cilej: nie jestemy w stanie nawet o tych odlegociach pomyle. Nie tylko z punktu widzenia wielkoci Q-mierzalnych, ale równie z perspektywy wielkoci Q-pod-mierzalnych, 'l jest zerem. Jeli jednak uwzgldnimy ten kolejny rodzaj wielkoci potencjalnie zerowych, stwierdzimy, e midzy dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami niewymiernymi jest cay przedzia liczb nie bdcych liczbami rzeczywistymi, a których ilo jest równa 2fc.
Hipoteza jod 137
'J 'J )
--1----1----+1-- ? i ?j ? s
Oczywicie pojcie cigu Wlze si cile ze zbiorami o mocy ~o' Jeli jest wic mowa o kolejnoci liczb niewymiernych ri' rj, r" 000' nie jest to kolejno rozumiana w sensie iteracji liczbami naturalnymi. Tym bardziej pojcie cigu ulega zmianie na kadym rónym od wymiernego poziomie.
Moc znanych nam zbiorów liczbowych, którymi zwyklimy operowa, nie jest wiksza ni e. Liczby rzeczywiste stanowi najwikszy wiat liczb, jakimi operujemy. Nie oznacza to jednak, e nie istnieje daleko potniejszy wiat liczb pod-rzeczywistych. Zaproponowana tutaj hipoteza jod zakada, i na o liczbow moemy spojrze jak na zbiór nie tylko liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych, ale jak na zbiór zawierajcy w sobie kolejne nienazwane liczby ze zbiorów o mocy 2fe, 2f(2fe), 2f(2f(2fc)), 2f(2f(2f(2fe))), ... Aby jednak dostrzec kolejne nieznane nam liczby, naley "woy odpowiednie okulary". Okulary te sprawi, i zaczniemy dostrzega odpowiednio mae, a cilej mówic, nieskoczenie mae, infinitezymalne wartoci, wartoci niewyraalne za pomoc liczb wymiernych B. Analiza matematyczna od dawna operuje wartociami nieskoczenie maymi. Z punktu widzenia naszego podejcia, wartoci te nie zasuguj jednak na swoj nazw· S to bowiem wartoci bardzo mae, ale jednak wyraalne przy pomocy liczb wymiernych, a wic nie nieskoczenie mae. Tylko wówczas, gdy operujemy tak duymi wielkociami jak te, które s wyraalne liczbami wymiernymi, moemy udowodni twierdzenia l oraz 3. Otoczenie liczby niewymiernej jest wówczas na tyle wielkie, e mieci w sobie nieskoczon ilo liczb wymiernych.
Aby wej w wiat kolejnych coraz to potniejszych zbiorów liczb pod-rzeczywistych, naley operowa wielkociami nie dajcymi si wyrazi za pomoc liczb wymiernych, czyli wielkociami mniejszymi ni Q-pod-
8 Wielko nieskoczenie maa w analizie matematycznej to dowolnie maa wielko wymierna. W tym sensie wielko infinitezymalna to nie to sarno co wielko nieskoczenie maa. "Wielko nieskoczenie maa" jest wic pojciem wzgldnym, zalenym od tego, na jakim poziomie fraktalu si znajdujemy. Lepiej jest wic operowa pojciem "wielkoci infmitezymalnej".
138 PIOTR UKOWSKI
-mierzalne. Z punktu widzenia wiata wielkoci Q-mierzalnych, czyli tych dajcych si wyrazi liczbami wymiernymi lub nieskoczonymi, wszystkie wielkoci mniejsze, czyli co najwyej Q-pod-mierzalne, s postrzegane jako zera, cho nimi nie s.
Mona pokusi si o stwierdzenie natury ogólniejszej: z punktu widzenia wiata liczb tworzcych zbiór o mocy m = 2f( ... (2fe», wiat liczb tworzcych zbiór 2fm wydaje si by zbiorem cigym, a wic zbiorem midzy liczbami którego nie ma niezerowych odlegoci. Odlegoci te pojawi si, jeli tylko zejdziemy w gb osi liczbowej na kolejny niszy stopie, poprzez zwikszenie zbioru niezerowych wielkoci o now, kolejn jod.
Zgodnie z przedstawion koncepcj, o liczbowa jest wic fraktalem, czyli struktur nieskoczenie samopodobn. Wielostopniowo tej struktury ma t cech, i na kadym poziomie wyglda ona tak samo. Gdy patrzymy na ni z perspektywy wielkoci Q-wymiernych, widzimy, e jest ona cigym zbiorem liczb niewymiernych "od czasu do czasu poprzerywanym" izolowanymi (pojedynczymi) liczbami wymiernymi. Okazuje si jednak, e patrzc na o liczbow z perspektywy niezerowych odlegoci midzy kolejnymi liczbami niewymiernymi, widzimy, e jest ona cigym zbiorem jakich liczb pod- rzeczywistych poprzerywanym izolowanymi (pojedynczymi) liczbami niewymier- nymi. Oznacza to, e obraz osi liczbowej jest z obu perspektyw identyczny. W kolejnych krokach schodzenia w wiat coraz to mniejszych wielkoci o liczbowa staje si cigym zbiorem liczb podn+1-rzeczywistych poprzerywanym pojedynczymi liczbami podn-rzeczywistymi. Tak wic, na kadym poziomie o liczbowa wyglda tak samo.
Fraktalna struktura osi liczbowej wyklucza bezwzgldn cigo któ- regokolwiek ze zbiorów liczbowych. O cigoci mona mówi jedynie w kontekcie okrelonego poziomu fraktalu. Kady zbiór liczb mocy 2fm = 2f(2f( .. ·(2f~o))) jest cigy jedynie na tym poziomie, który jest najwyszym sporód wszystkich tych poziomów, dla których l/m jest wielkoci odrónialn od zera.
5. Czy frak tal osi liczbowej ma poziom pierwszy?
Z perspektywy teorii jod, o liczbowa jest fraktalem. Nie jest jednak przesdzone, czy fraktal ten ma poziom pierwszy, czy te nie. Mona wic przyj zarówno to zaoenie, które zakada, i poziom liczb wymiernych jest pierwszym i zarazem najwyszym poziomem fraktalu osi liczbowej, jak i zaoenie, zgodnie z którym, fraktal osi liczbowej nie ma poziomu pierwszego - kady poziom jest jednoczenie "nad" nieskoczon liczb jednych i "pod" nieskoczon liczb innych poziomów.
Hipoteza jod 139
Odrzucajc zaoenie, e fraktal ma poziom pierwszy, przyjmujemy istnienie takiego poziomu, na którym zbiór liczb wymiernych jest zbiorem cigym poprzerywanym izolowanymi liczbami nad-wymiernymi. Z perspektywy tego poziomu liczby niewymierne s niedostrzegalne. Pogld odrzucajcy istnienie poziomu pierwszego fraktalu osi liczbowej jest o tyle uzasadniony, i nie istnieje taki skoczony zbiór, którego np. zbiór potgowy byby równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych: zbiór potgowy jakiegokolwiek zbioru sko- czonego nie ma mocy nieskoczonej, choby tej najmniejszej ze znanych. Co wicej, nie ma operacji, która wykonana na zbiorach skoczonych dawaaby zbiór nieskoczony. Innymi sowy, istnieje przepa midzy wiatem wartoci skoczonych a wiatem wartoci nieskoczonych. Tymczasem przejcie na wyszy poziom fraktalu jest równoznaczne z wejciem w wiat jakich liczb nad-wymiernych tworzcych zbiór nieskoczony o mocy mniejszej ni ~o. T now moc zbiorów nieskoczonych oznaczmy Kl' Wprost z przyjtych zaoe wynika, e:
u _ 2t{-I~'o- .
Oznacza to, e liczb nad-wymiernych jest nieskoczenie wiele, ale istotnie mniej ni liczb wymiernych. Stosunek iloci liczb nad-wymiernych do iloci liczb wymiernych ma si tak jak stosunek liczb wymiernych do liczb niewymiernych, czyli równie tak jak liczb podn-rzeczywistych do liczb podn+I-rzeczywistych. Proces odwrotny do potgowania zbiorów moemy wic kontynuowa dalej, uzyskujc w efekcie cig malejcych wartoci nieskoczonych:
...< ~-5 < ~--4 < ~-3 < ~-2 < ~-I <K{)
takich, e dla n EN,
~-n = 2K-t>-I.
Naturalnie i te nieskoczonoci winny mie swoje, wzajemnie róne od siebie odwrotnoci:
Jednak z perspektywy liczb wymiernych trudno byoby liczby te zaliczy do wielkoci infinitezymalnych. Jak wic wielkoci z punktu widzenia wiata liczb wymiernych jest '-l jod a minus jeden? Czy jest ona wartoci skoczon, czy moe ju nieskoczon? Czy jody nie przechodz w wielkoci nieskoczone, a wielkoci nieskoczone w jody? By moe to, e pewne liczby zaliczamy do liczb nieskoczonych, inne za do jadów, wynika wycznie z naszej perspektywy liczb wymiernych?
140 PIOTR UKOWSKI
Nieskoczono nieraz ju pokazaa, i intuicje z ni zwizane s mylce i znacznie upraszczajce to, co si za jej pojciem kryje. Czy jest wic wykluczone, aby w zbiorze liczb nieskoczonych nie tylko nie byo wielkoci najwikszej, ale aby nie byo równie wielkoci najmniejszej
...< ~-5 < ~-4 < ~-3 < ~-2 < ~-1 < ~-O <c < 2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) < ...?
6. Konstrukcja liczb pod-rzeczywistych
Konstrukcja dodatnich liczb pod-rzeczywistych zostanie poprzedzona konstrukcj dodatnich liczb rzeczywistych w postaci uamków dziesitnych. Niech Z* bdzie zbiorem indeksów. Zaómy, e Z* = N. Niech ponadto kademu niezerowemu elementowi k EZ* odpowiada dziesicioelementowy zbiór Zk = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Liczbie k = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo = N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych, taki, e kady jego k-ty element naley do zbioru Zk' Pierwszy element z indeksem zero oddzielmy od drugiego elementu posiadajcego indeks dwa przecinkiem. Przykadem tak otrzymanej liczby jest
12,3874092551 ...
gdzie: ko = 12; kI = 3; k] = 8; k3 = 7; k4 = 4; kj = O; k6 = 2; k7 = 5; ks = 5; k9 = 1; ...
z*
Hipoteza jod 141
Oczywistym faktem jest to, e w wyzeJ przedstawiony sposób mona zbudowa dowoln dodatni liczb rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego. Ich ilo wyraa si wzorem:
Moliwa jest równie konstrukcja liczb w systemie innym ni dziesitkowy. Jeli, dla przykadu: Zk = {O, 1}, dla k ~ l oraz Zo = {O, l, 10, 11, 100, 101, 110, Ill, ...}, to liczby konstruowane w sposób analogiczny do wyej przedstawionego s liczbami rzeczywistymi w systemie dwójkowym danymi w postaci uamka dziesitnego. Zbiór wszystkich takich liczb stanowi mnogo równoliczn ze zbiorem liczb rzeczywistych w systemie dziesit- kowym:
Zaproponowana konstrukcja daje si z niewielkimi zmianami powtórzy tak, aby w jej efekcie powstaway liczby pod-rzeczywiste w danym systemie i w postaci uamka dziesitnego. Ograniczmy si do systemu dziesit- kowego.
Dostosowujc do tego zadania wczeniejsz konstrukcj, wystarczy przyj, e zbiór indeksów Z* jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych R +. Pozostae elementy konstrukcji s niezmienione. Niech wic kademu niezerowemu elementowi TEZ* odpowiada dziesicioelementowy zbiór Zr = {O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Liczbie T = OEZ* odpowiada zbiór wszystkich liczb naturalnych: Zo = N.
Dodatni liczb pod-rzeczywist w systemie dziesitkowym dan w postaci uamka dziesitnego jest nieskoczony "cig" liczb naturalnych taki, e kady jego T-ty element naley do zbioru Zk9. Pierwszy element z indeksem zero oddzielmy od pozostaych elementów tego "cigu" przecinkiem. Przy- kadem tak otrzymanej liczby jest
9 Naturalnie, pojcie "cigu" wystpujce w opisie konstrukcji liczby pod-rzeczywistej jest niestandardowe. Kolejno ustalana przez tego typu "cig" jest wyznaczona przez relacj wikszoci okrelon na liczbach rzeczywistych.
142 PIOTR UKOWSKI
<b cb cDc~. . .(.) ..
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... N
Tak jak w przypadku liczby rzeczywistej, na pozycji r = O mamy liczb ao = 12, na pozycji r = 1 liczb al = 3, na pozycji r = 2 liczb aJ = 8, na pozycji r = 3 liczb a3 = 7, itd. Tym, co róni liczb pod-rzeczywist od liczby rzeczywistej, jest wystpowanie nieskoczenie wielu liczb ar zbioru Nw = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9} na pozycjach r. Oczywicie pozycje te s wyraone liczbami spoza zbioru liczb naturalnych N. Liczby wystpujce na nowych pozycjach znajdujcych si midzy dwiema pozycjami odpowia- dajcymi kolejnym liczbom naturalnym tworz wic przedziay (aj, aj+l), dla iEN. W przypadku pod-rzeczywistej liczby podanej jako przykad ao = 12. al = 3, aJ = 8, a3 = 7, a4 = 4. a5 = O, a6 = 9. a7 = 2, aB= 5... Zatem, posta dowolnej liczby pod-rzeczywistej jest nastpujca:
gdzie aoEN; al' az' a3, a4, a6, a7, as'" ENlO oraz kade r, bdce indeksem liczby z przedziau (aj, aj+ l) dla iE N (a wic i< r < i+ 1), jest dodatni liczb rzeczywist. atwo zauway, e ilo wszystkich liczb pod-rzeczywistych w systemie dziesitkowym wyraa si wzorem:
~o' (lO/c) = ~o(2/e) = 21e.
Kady przedzia (aj, aj+l) taki, e kada liczba ar z przedziau (aj, aj+l) jest równa zero, oznaczymy symbolem (= O). Jeli natomiast pewna liczba ar z przedziau (ai' aj+l) jest róna od zera, to (aj, aj+l) = (# O). Gdy dla kadego iEN, (aj, aj+l) = (= O), wówczas liczba pod-rzeczywista:
Hipoteza jod 143
jest liczb rzeczywist:
ao'(= O)al = O)ai = O)ai = O)al..= O)asC= 0)a6(= 0)a7(= 0)a8·.. = = aO,a]a2ap4a5a6a~8'"
Podobnie, dowolna liczba naturalna n ma w wiecie liczb pod-rzeczywistych posta:
n = n,( = O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= O)O(= 0)0 ...
Fraktalna struktura osi liczbowej oznacza, e wszystkie liczby pod- -rzeczywiste maj na tej osi swoje miejsce. Porzdek liczb pod-rzeczywistych jest generowany przez porzdek liczb rzeczywistych:
Zaómy, e JrT] = ao,(ao,a])ala],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)asCa5,a6)aia6'a7)ala7,a8)a8 ..· JrT2 = ao,(ao,a])a](a],a2)aia2,a3)aia3,a4)aia4,a5)a5(a5,a6)aia6,a7)ala7,a8)a8'" s dwiema liczbami pod-rzeczywistymi. Niech ponadto dla iE {1, 2}, TiE R +(s;E R +) oznacza liczb naturaln przypisan T-tej (s-tej) pozycji w liczbie p-Ti• Jeli dla dowolnej T::::; S, T] = r2, to z dwóch pod-rzeczywistych liczb Jrr] i JrT2 wiksza jest ta, która ma wiksz liczb naturaln przypisan pozycji s.
o niezwykej mocy zbioru wszystkich liczb pod-rzeczywistych moe wiadczy nastpujcy przykad. Rozwamy dwie liczby wymierne 1,1 oraz 1,2. Naturalnie,
1,1 = 1,(= O)l( = 0)0(= 0)0(= O) . 1,2 = 1,( = 0)2( = O)O(= O)O(= O) .
Wród liczb wikszych od 1,1 i mniejszych ni 1,2 s nastpujce klasy liczb:
1,( = O)l( =1=O)ai = O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai =1=O)ai = O)ai = 0)a5..· 1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai = 0)a5..· 1,(= 0)1(= O)ai= O)ai= O)ak;i= O)aj'oo
1,( = O)l( =1=O)al =1=0)a3(= O)ai = 0)a5· ••
1,( = O)l( = O)ai =1=O)ai =1=O)ai = 0)a5• ••
1,( = O)l( = O)ai = O)ai =1=O)ai =1=O)aj''' 1,(= 0)1(= O)ai= O)ai= O)ai=l= O)aj'''
144 PIOTR UKOWSKI
1,(= 0)1(= O)ai = O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( =1= O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai =1= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 ••.
1,(= 0)1( = O)azC= O)al =1= O)ai =1= 0)a5 •••
1,(= 0)1( = O)ai = O)al = O)ai =1= 0)a5 •••
dla ao' al' a2, al' a4, a5EN. Naturalnie, kade wystpienie symbolu (=1= O) wyraa 2fc przypadków pod-rzeczywistych liczb.
Wykonywanie dziaa na wielu liczbach pod-rzeczywistych jest tak samo niemoliwe, jak wykonywanie tych dziaa na wielu liczbach niewymiernych. Precyzyjne i pene okrelenie dziaa arytmetycznych jest, w praktyce, ograniczone do zbioru liczb wymiernych. Sporód wszystkich liczb niewymier- nych dostpne dla dziaa s bowiem tylko te liczby, które posiadaj nazwy. Jedynie nadanie specjalnych nazw niektórym liczbom niewymiernym np. "J2", "JJ", "n", "e", umoliwia wykonywanie na tych liczbach dziaa tak, jak gdyby byy one liczbami wymiernymi. Brak nazw dla wielu liczb niewymiernych sprawia, e dziaania na nich s niewykonalne, bo ju samo wyraenie wartoci tej liczby jest niemoliwe. Poszerzenie zbioru liczb wymiernych o pewien, niekoniecznie skoczony chocia przeliczalny, zbiór podstawowych liczb niewymiernych, takich jak wyej wspomniane, ma robi wraenie, e dziaania na dowolnych liczbach rzeczywistych s wykonalne. Tymczasem, dysponujc liczb e, mamy jedynie e/2, 3e/4, itd. Traktujemy tym samym "e" jak nowy element dodany do zbioru liczb cakowitych, który mona stosowa w konstrukcji nazw liczb wymiernych, tak jak to si czyni z innymi symbolami liczb cakowitych, a wic na przykad z symbo- lem ,,2"10.
10 O charakterze tego poszerzenia wiadczy chociaby to, e jest ono przeprowadzane na wzór konstrukcji liczb urojonych aj+b, dla a, bER oraz i=)-l, z t rónic, e dziaania w przypadku obu cia liczbowych s rónie okrelone. Nie jest przecie trudnym zadaniem sprawdzi, e zbiór liczb {aJ2 + b: a, b E Q} z dobrze znanymi dziaaniami jest ciaem liczbowym, podobnie jak ciaem liczbowym jest zbiór liczb urojonych. Symbol ,,)2" nie jest zastpowalny adnym innym symbolem liczby wymiernej tak samo jak symbol "i". W podobnym zreszt sensie nie jest zastpowalny symbol dowolnej liczby naturalnej, np. ,,2". Dostpny dla nas zbiór liczb rzeczywistych przypomina wic zbiór okrelony nastpujco:
{p/q: p, qENu{1', 2', 3', ...} i q 'i' O},
Hipoteza jod 145
7. Podsumowanie
Hipoteza jod bazuje na obowizujcym ju w niektórych teoriach matematycznych zaoeniu niezerowoci odwrotnoci liczb nieskoczonych. Przyjcie tej hipotezy oznacza zaoenie istnienia nieskoczenie wielu wartoci nieskoczenie maych. Pojcie "wielkoci nieskoczenie maej" jest jednak rozumiane w inny sposób, ni ma to miejsce w tradycyjnej analizie matematycz- nej. Wielkoci nieskoczenie mae reprezentowane w przedstawionej tu hipotezie przez jody s wielkociami wikszymi od zera i mniejszymi od dowolnej dodatniej liczby wymiernej, a wic mniejszymi równie od dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej. S wic wielkociami niewyraalnymi w postaci uamka p/q, gdzie p i q s liczbami cakowitymi, za q jest dodatkowo liczb rón od zera. Istnieje jednak moliwo innego wyraenia za pomoc liczb wymiernych najwikszej sporód jod, jako granicy cigu:
Nie istnieje jednak jakakolwiek moliwo wyraenia pozostaych jod za pomoc liczb wymiernych.
Wszystkie jody bdce odwrotnociami generowanych przez operacj potgowania wartoci nieskoczonych tworz cig nieskoczony liczb in- finitezymalnych zbieny do zera. Naturalnie, liczba zero nie moe by elementem tego cigu, gdy w przeciwnym razie oznaczaoby to zaoenie, i w cigu liczb nieskoczonych
~o c, 2/,c, 2/'(2/,c), 2/'(2/'(2/,c)), 2/'(2/'(2/'(2/,c))),
gdzie {l', 2', 3', ...} jest przeliczalnym zbiorem nowych symboli zarezerwowanych dla pewnych niewymiernych wielkoci. To rozszerzenie ciaa liczb wymiernych o pewn przeliczaln ilo liczb rzeczywistych sprawia, e okrelenie dziaa na liczbach rzeczywistych jest ograniczone jedynie do przeliczalnego podzbioru zbioru R. Mona wic przyj, e wszystkie znane w ciele liczb wymiernych dziaania s okrelone jedynie na przeliczalnym podzbiorze zbioru R. Oznacza to, e nawet tak proste dziaanie jak dodawanie nie jest na zbiorze R okrelone.
146 PIOTR UKOWSKI
istnieje liczba najwiksza. Wiadomo jednak, e zaoenie istnienia zbioru wszystkich zbiorów, jak równie zaoenie istnienia zbioru o najwikszej mocy, prowadzi do sprzecznoci, co oznacza, e ukryty w liczbach Bóg Georga Cantora jest nieosigalny równie na gruncie matematyki. Wielkoci nieskoczone d do Tej Jednej Nieskoczonoci, lecz jej nie osigaj
~o < c < 2fc < 2f(2fc) < 2f(2f(2fc)) < 2f(2f(2f(2fc))) < ...< OJ,
W pewnym sensie nieosigalno Tej Jednej Nieskoczonoci wpywa na charakter zera. N aturainie, jest ono wynikiem odejmowania dowolnej liczby a od siebie samej, jednak jedynym cigiem zbienym do zera jest cig jod. Kady konstruowalny za pomoc liczb wymiernych i bez uycia operacji odejmowania cig zbiega do wielkoci rónej od zera. Fakt, i jody s odwrotnociami liczb nieskoczonych, oznacza, e wartoci nieskoczone s odwrotnociami jod. Tymczasem, odwrotno zera 1/0 jest wartoci nie- okrelon, tak jak nieokrelon jest Nieskoczono OJ. Jest to kolejny argument za istnieniem wielkoci infinidezymalnych. Skoro nieskoczonoci postaci:
2f( ... (2f~o) )
s definiowalne, a wic tym samym s okrelone, ich odwrotnoci równie winny by okrelone, których z kolei odwrotnoci take powinny by wielkociami okrelonymi. Jeli wic odwrotnoci definiowalnej liczby nieskoczonej 2f (. .. (2f~o)) ma by zero, to odwrotno zera, bdc wielkoci nie okrelon, nie powinno by równe 2f( ... (2f ~o) ). Ponadto - jak ju zostao to wczeniej zauwaone - jedna liczba, w tym wypadku zero, nie powinna by odwrotnoci wielu rónych liczb.
Zgodnie z hipotez jod, z punktu widzenia wiata liczb wymiernych, wszystkie jody s wartociami zerowymi. S to jednak zera potencjalne, nie za aktualne. Dotychczasowy zakres nazwy "zero" zosta podzielony na zakresy nazw ,,joda zero", ,,joda jeden", ,,joda dwa", ... oraz "zero w wszym rozumieniu". Zero w wszym rozumieniu jest wic zerem aktualnym, odpowiadajcym odwrotnoci jednej jedynej i niewyraalnej, najwikszej Nieskoczonoci ograniczajcej cig wszystkich znanych nam nieskoczonoci, o ile ograniczenie to w ogóle istnieje. Istnienie za tego Ograniczenia wydaje si pozostawa kwesti wiary.
Hipoteza jod 147
Aczel A. D., 2002, Tajemnica Alefów, matematyka, kabala i poszukiwania nieskoczonoci (The Mystery of the Aleph), Dom Wyd. Rebis, Pozna.
Conway J. H., Guy R. K., 1998, Ksiga liczb, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa. [1] http://www.campusprogram.com/reference/en/wikipedia/i/in/infinitesima1.html [2] http:j /www.campusprogram.comjreferencejenjwikipediajsjsujsurreal_number.html
Page 3
Images
Images
