Topologia

Jakub Maksymiuk

zima 19/20

Spis treści

I Metryki 3

1 Metryka – definicja 3

2 Metryka - przykłady 4

3 Podprzestrzeń 6

4 Przykłady c.d. 6

5 Zbiór ograniczony 7

6 Kule 8

II Zbiory otwarte i domknięte 9

1 Definicja 9

2 Własności 11

3 Uwaga o metrykach równoważnych 12

III Ciągi w przestrzeniach metrycznych 13

1 Definicja 13

2 Zbieżność ciągu 13

3 Ciągowa charakteryzacja zbiorów domkniętych 15

4 Ćwiczenia 15

IV Przestrzenie topologiczne 15

1 Definicja 15

2 Podprzestrzeń 16

3 Przestrzeń Hausdorffa 16

V Operacje topologiczne 17

1

1 Definicje 17

2 Własności domknięcia 18

3 Własności wnętrza 19

4 Własności brzegu 20

5 Charakteryzacje 20

6 Inne własności 21

VI Funkcje ciągłe 21

1 Definicja 21

VII Homeomorfizmy 25

1 Definicja 25

2 Przestrzenie homeomorficzne 25

VIII Przestrzenie spójne 27

1 Definicja 27

2 Spójność i ciągłość 29

3 Składowe spójności 31

4 Łukowa spójność 31

IX Przestrzenie zwarte 32

1 Definicja 32

2 Zwartość i ciągłość 34

X Przestrzenie zupełne 35

1 Definicja 35

2 Punkty stałe 37

3 Twierdzenie Banacha o kontrakcji 37

XI Punkty izolowane i punkty skupienia 38

1 Definicja 38

XII Zbiory gęste i przestrzenie ośrodkowe 40

1 Definicja 40

2

2 Własności 41

XIII Inne 42

3 Zbiór Cantora 42

4 Twierdzenie o kanapce 45

5 Równoważność metryk 46

6 Twierdzenie Baire’a 49

XIV 51

Temat I

Metryki1 Metryka – definicja

„Potoczne” cechy odległości:

• jest nieujemna

• odległość do miejsca w którym jesteśmy jest równa zero

• od A do B jest tak samo daleko jak od B do A

• okrężną droga jest dalej

Matematyczny opis pojęcia odległości metryka.

Niech X będzie dowolnym, niepustym zbiorem.

Definicja 1. Funkcja d : X ×X → R jest metryką w X, gdy spełnia warunki:

(d1) ∀x,y∈X d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

(d2) ∀x,y∈X d(x, y) = d(y, x)

(d3) ∀x,y,z∈X d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y)

Warunek (d2) nazywamy symetrią, (d3) nazywamy nierównością trójkąta

Fakt 1.

∀x,y∈X

d(x, y) ­ 0

Dowód.

0(d1)= d(x, x)

(d3)¬ d(x, y) + d(y, x)

(d2)= 2d(x, y)

3

X

x

y

x

x

y

zd(x, x)

d(x, y)

d(y,x)

d(x, y)

d(y, z)

d(z,x)

Rysunek 1: Aksjomaty metryki

Definicja 2. Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie d jest metryką w X.

• elementy zbioru X — punkty przestrzeni

• liczba d(x, y) — odległość pomiędzy punktami x i y

• często będziemy upraszczać napis (X, d) do X

2 Metryka - przykłady

Metryka euklidesowaX = Rn

de(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2

standardowa metryka na Rn, znana z geometrii i analizy

Szczególne przypadki:

• X = R, d(x, y) = |x− y|

• X = C, d(x, y) = |x− y|

Metryka taksówkowaX = Rn

dT (x, y) :=n∑i=1

|xi − yi|

Metryka maksimumX = Rn

d∞(x, y) = max1¬i¬n

{|xi − yi|}

4

Metryka rzekaX = R2

dr(x, y) =

{|x2 − y2| gdy x1 = y1

|x2|+ |x1 − y1|+ |y2| w przeciwnym wypadku

Metryka kolejowaX = R2

dk(x, y) =

{de(x, y) gdy x, y, 0 są współliniowede(x, 0) + de(y, 0) w przeciwnym wypadku

Metryka dyskretnaX – dowolny niepusty zbiór

d0-1(x, y) =

{0 dla x = y

1 dla x 6= y(metryka dyskretna)

Metryka supremum w CX = C([a, b],Rn)

dsup(f, g) = supa¬x¬b

{|f(x)− g(x)|}

Metryka w L2

X = L2([a, b]) = {f : [a, b]→ R :∫ ba|f(x)|2dx <∞}

dL2(f, g) =

√√√√√ b∫a

|f(x)− g(x)|2 dx

Niech (X1, d1), (X2, d2), . . . , (Xn, dn) będą p. metrycznymi.

iloczyn kartezjański p.m.X = X1 ×X2 × ...×Xn jest przestrzenią metryczną z metryką

d(x, y) =n∑i=1

di(xi, yi)

Można też użyć metryk:

d(x, y) =

√√√√ n∑i=1

di(xi, yi, d(x, y) = max1¬i¬n

{d(xi, yi)}

PrzykładStosując powyższą konstrukcję do (Xi, di) = (R, de), i = 1, . . . , n otrzymujemy (odpowiednio) metryki:taksówkową, euklidesową oraz maksimum.

„W pewnym sensie” wszystkie trzy sposoby są równoważne.

5

„w pewnym sensie”Brakuje nam jeszcze kilku pojęć, aby to dobrze zrozumieć. Dla niecierpliwych: Jeżeli d1 i d2 są

równoważne to przestrzenie (X, d1) i (X, d2) mają te same własności topologiczne. Innymi słowy sąhomeomorficzne. Czyli mówiąc wprost, są nierozróżnialne.

3 Podprzestrzeń

Niech (X, d) będzie p.m. i niech A ⊂ X.

Definicja 3. Funkcję dA = d|A×A nazywamy metryką w A indukowaną z X.

Definicja 4. Parę (A, dA) nazywamy podprzestrzenią metryczną przestrzeni (X, dX).

• będziemy mówić, że A jest podprzestrzenią przestrzeni X

• będziemy czasami pisać A ⊂ (X, d)

• będziemy stosować wymiennie sformułowania „podprzestrzeń przestrzeni X” i „podzbiór przestrze-ni X”

Fakt 2. Każda podprzestrzeń jest także przestrzenią metryczną.

Dowód. Jest to proste ćwiczenie z własności kwantyfikatorów.

• [a, b] ⊂ R

• [a, b]× [c, d] ⊂ R2

• S1 ⊂ R2 S1 = {z ∈ R2 : |z| = 1}

• C1([a, b],R) ⊂ C0([a, b],R)

• etc.

4 Przykłady c.d.

Metryka indukowana z normyJeżeli (X, ‖ · ‖) jest przestrzenią unormowaną, to (X, d) jest przestrzenią metryczną z metryką d(x, y) =‖x− y‖.

• (Rn, d), gdzie d = de, dT , d∞

• (C, dsup), (L2, dL2)

• Jak wyglądają te normy?

Dowód. Twierdzenie wynika wprost z aksjomatów normy.

(d1) Jeżeli x = y, to d(x, y) = ‖x−y‖ = ‖0‖ = 0. Z drugiej strony 0 = d(x, y) = ‖x−y‖ =⇒ x−y = 0.

(d2) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = | − 1|‖y − x‖ = d(y, x)

(d3) d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(x− z) + (z − y)‖ ¬ ‖x− z‖+ ‖z − y‖ = d(x, z) + d(z, y)

6

W dowolnej p.u. (X, ‖ · ‖)

d(x, y) =

{‖x− y‖ gdy x = λy, λ- skalar‖x‖+ ‖y‖ w przeciwnym wypadku

KonkursCzy metryki dyskretna/kolejowa/rzeka są indukowane przez jakąś normę?

Nie są.Zauważmy, że gdyby d0−1 był indukowana przez normę, to dla x 6= 0 (a więc 3x 6= 0 byłoby

d0−1(3x, x) = ‖3x− x‖ = 2‖x‖ = 2d0−1(x, 0) = 2.Gdyby metryka kolejowa była indukowana przez normę, to dla x = (1, 0) oraz y = (0, 1) byłoby

2 = dk(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(1,−1)‖ = dk((1,−1), (0, 0)) =√

2.Podobny przykład łatwo znaleźć w metryce rzeka. Proszę uzasadnić spróbowac użyć argumentu ze

skalarem i z sumą wektorów w każdej z tych metryk.

W zbiorze potęgowymNiech X będzie zbiorem. Zdefiniujmy różnicę symetryczną zbiorów A i B jako A∆B = (A\B)∪ (B \A).Czy funkcja d(A,D) = moc(A∆B) jest metryką na zbiorze wszystkich skończonych podzbiorów X?

W zbiorze odcinkówNiech I oznacza zbiór odcinków domkniętych. Funkcja d([a, b], [s, t]) = max{|a− s|, |b− t|} jest metrykąw I. Czy tę metrykę można rozszerzyć na odcinki nie domknięte?

Niech x ∈ (X, d) oraz A,B ⊂ (X, d).

Definicja 5. Odległość punktu x od zbioru A definiujemy jako

dist(x,A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}.

jeżeli będzie taka potrzeba, to przyjmujemy, że d(x, ∅) = 1

Definicja 6. Odległość zbioru A od zbioru B definiujemy jako

dist(A,B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Proszę sprawdzić, że na płaszczyźnie z metryką euklidesową, powyższe wzory w przypadku A =prosta,okrąg, B = prosta,okrąg prowadzą do wzorów znanych z geometrii!

5 Zbiór ograniczony

Średnica niepustego zbioru A ⊂ X przestrzeni metrycznej:

diam(A) := supx,y∈A

{d(x, y)}

Wybrane własności:

• diam(A) ∈ [0,+∞],

• ∅ 6= A ⊂ B =⇒ diam(A) ¬ diam(B),

• A ∩B 6= ∅ =⇒ diam(A ∪B) ¬ diam(A) + diam(B).

Dwie pierwsze własności są oczywiste. Aby udowodnić trzecią zauważmy, że:

7

A

X

Rysunek 2: Średnica zbioru

1. x, y ∈ A =⇒ d(x, y) ¬ diam(A)

2. x, y ∈ B =⇒ d(x, y) ¬ diam(B)

3. Niech x ∈ A, y ∈ B. Weźmy z ∈ A ∩B, wtedy d(x, y) ¬ d(x, z) + d(y, z) ¬ diam(A) + diam(B)

Powyższe obserwacje dają tezę. Dlaczego warunek A ∩B 6= ∅ jest istotny?

Definicja 7. Niepusty zbiór A ⊂ (X, d) jest ograniczony, jeżeli diam(A) <∞.

Definicja 8. Przestrzeń metryczna jest ograniczona jeżeli zbiór X jest ograniczony.

W każdej przestrzeni (X, d) można wprowadzić metryki:

d1(x, y) = min{1, d(x, y)} d2(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y),

W obu tych metrykach diam(X) < 1! Są one równoważne metryce d.Bycie przestrzenią ograniczoną nie jest własnością które nas interesuje, gdyż nie jest zachowywana

przez metryki równoważne.

6 Kule

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 9. Kulą otwartą o środku x0 ∈ X i promieniu r ­ 0 nazywamy zbiór

K(x0, r) = {x ∈ X : d(x0, x) < r}

Definicja 10. Kulą domkniętą o środku x0 ∈ X i promieniu r ­ 0 nazywamy zbiór

K(x0, r) = {x ∈ X : d(x0, x) ¬ r}

Fakt 3. Poniższe zdania są równoważne:

• zbiór A jest ograniczony,

• istnieje kula otwarta o środku w zbiorze A, która zawiera zbiór A.

• istnieje kula otwarta, która zawiera zbiór A,

Dowód. Załóżmy, że A jest ograniczony. Weźmy dowolny x0 ∈ A i niech r = 2 diam(A). Kula K(x0, r)zawiera zbiór A. Rzeczywiście, jeżeli x ∈ A wtedy d(x0, x) ¬ diam(A) < r. Pytanie: czy można przyjąćr = diam(A)?.

Dla dowolnego punktu z0 ∈ Z, kula K(z0, r + d(x0, z0)) zawiera zbiór A.Jeżeli jakaś kula K zawiera zbiór A, to diam(A) ¬ diam(K) <∞. Ile wynosi średnica kuli?

8

• Zbiór ograniczony może mieć ograniczone dopełnienie.

• Kula nie musi składać się z jednego kawałka.

• Kula nie musi być zbiorem wypukłym.

• Kula nie wyznacza jednoznacznie swojego środka i promienia.

• może się zdażyć, że K(x,R) ⊂ K(x, r) i R > r

Dowód. • wsk. rozpatrzyć przestrzeń ograniczoną

• wsk. X = [0, 1] ∪ [2, 3]

• wsk. rozpatrzyć metrykę dnc((x, y), (a, b)) = sqrt|x− a|+√|y − b| albo d = max{de, dnc}

• dokłądniej: jeżeli wiem, że zbiór jest kulą, to nie zawsze możemy jednoznacznie stwierdzić jaki jestjej środek i promień; wsk. X = [0, 1], duży promień

• wsk. X = suma odcinków

Fakt 4. W każdej przestrzeni metrycznej:

• diam(K(x, r)) ¬ 2r

• d(x, y) > r +R =⇒ K(x, r) ∩K(y,R) = ∅

• KA(x, r) = KX(x, t) ∩A

Dowód. • d(x, y) ¬ d(x, x0) + d(x0, y) ¬ 2r

• gdyby z ∈ K(x, r) ∩K(y,R), to d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y) < r +R

• ćwiczenie z kwantyfikatorów

Temat II

Zbiory otwarte i domknięte1 Definicja

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 11. Podzbiór A ⊂ X nazywamy zbiorem otwartym w X, gdy

∀x∈A∃r>0

KX(x, r) ⊂ A

Rodzinę wszystkich zbiorów otwartych w X oznaczamy OX .

9

A

X

Rysunek 3: Zbiór otwarty

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 12. Podzbiór A ⊂ X nazywamy zbiorem domkniętym w X, gdy jego dopełnienie jest zbioremotwartym.

Rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w X oznaczamy FX .

Definicja 13. Podzbiór A ⊂ X nazywamy otwarto-domkniętym w X, gdy jest on zarówno otwarty jaki domknięty.

A

X

Rysunek 4: Zbiór domknięty

Podstawowe przykłady:

• otwarty i nie domknięty: (a, b) ⊂ (R, de),

• domknięty i nie otwarty: [a, b] ⊂ (R, de),

• nie otwarty i nie domknięty: [a, b) ⊂ (R, de),

• kula otwarta jest zawsze zbiorem otwartym,

• kula domknięta jest zawsze zbiorem domkniętym,

• w przestrzeni metrycznej dyskretnej, każdy zbiór jest otwarto-domknięty (O0−1 = F0−1.

10

2 Własności

Twierdzenie 1. W każdej przestrzeni metrycznej (X, d)

(O1) ∅, X ∈ OX

(O2) A,B ∈ OX =⇒ A ∩B ∈ OX

(O3) ∀t∈T At ∈ OX =⇒⋃t∈T At ∈ OX

Fakt 5. Część wspólna dowolnej skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Słowa „skoń-czonej” nie można opuścić.

Dowód. (O1) Trywialne.

(O2) Jeżeli A ∩ B = ∅ - tw. prawdziwe. Niech x ∈ A ∩ B. Jeżeli K(x, rA) ⊂ A oraz K(x, rB) ⊂ B, toK(x,min{rA, rB}) ⊂ A ∩B.

(O3) Jeżeli x ∈⋃At to istnieje t takie, że x ∈ At. Stąd istnieje rt takie, że K(x, rt) ⊂ At ⊂

⋃At.

Słowa skończonej nie można opuścić, gdyż jeżeli An = (−1 + 1/n, 1− 1/n), to⋃An = [−1, 1].

Zachodzi także „dualne” twierdzenie dla zbiorów domkniętych, które łatwo można udowodnić korzy-stając z praw de Morgana.

Twierdzenie 2. W każdej przestrzeni metrycznej (X, d)

(F1) zbiór pusty i X są zbiorami domkniętymi w X

(F2) suma dowolnej skończonej rodziny zbiorów domkniętych w X jest zbiorem domkniętym w X.

(F3) przekrój dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w X jest zbiorem domkniętym w X

Fakt 6. Suma dowolnej skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Słowa „skoń-czonej” nie można opuścić.

To czy zbiór jest otwarty, czy domknięty zależy

nie tylko od samego zbioru

ale także od

wyboru przestrzeni metrycznej.

Zauważmy, że w przestrzeni X = [0, 1] ∪ (2, 3) zbiór [0, 1] jest otwarty oraz, że zbiór (2, 3) jestdomknięty. Oba te zbiory są otwarto-domknięte.

Jeżeli A jest podprzestrzenią przestrzeni X, to nie jest na ogół prawdą, że OA ⊂ OX , ani że FA ⊂ FX .

Twierdzenie 3. Niech A ⊂ X. Wtedy

1)U ∈ OA ⇐⇒ ∃

V ∈OXU = A ∩ V

2)F ∈ FA ⇐⇒ ∃

G∈FXF = A ∩G

11

Dowód. Załóżmy, że U ∈ OA.Dla każdego x ∈ U istnieje rx > 0 t.ż. KA(x, rx) ⊂ U . ZdefiniujmyV =

⋃x∈U KX(x, rx). Wtedy V jest otwarty oraz

A ∩⋃x∈U

KX(x, rx) =⋃x∈U

A ∩KX(x, rx,=)⋃x∈U

KA(x, rx) = U (ostatnia równość wymaga dowodu)

Z drugiej strony, załóżmy, że U = V ∩ A dla pewnego zbioru V ∈ OX . Niech x ∈ U , wtedy istniejer > 0 t.ż. KX(x, r) ⊂ V . Ponieważ KA(x, r) = A ∩KX(x, r), więc KA(x, r) ⊂ U

Fakt 7. 1) A ∈ OX wtedy i tylko wtedy, gdy OA ⊂ OX .

2) A ∈ FX wtedy i tylko wtedy, gdy FA ⊂ FX .

Dowód. Jeżeli A ∈ OX , to jeżeli U ∈ OA to U = A∩ V dla pewnego V ∈ OX . Zatem U ∈ OX . W drugastronę oczywiste.

Fakt 8. W każdej przestrzeni metrycznej zbiór jednopunktowy jest domknięty.

Zbiór jednopunktowy może być otwarty.Jeżeli y ∈ X \ {x}, to d(x, y) > 0, zatem K(y, 12d(x, y)) ⊂ X \ {x}.W przestrzeni X = {0} ∪ [2, 3], zbiór {0} jest otwarty.

3 Uwaga o metrykach równoważnych

Definicja 14. Niech d1 i d2 będą dwoma metrykami na X. Metryki nazywamy jednostajnie równoważ-nymi, jeżeli

∃c,C>0∀

x,y∈Xc d1(x, y) ¬ d2(x, y) ¬ C d1(x, y)

Fakt 9. Jeżeli d1 i d2 są jednostajnie równoważne, to dla wszystkich x ∈ X i r > 0

Kd1(x, r/C) ⊂ Kd2(x, r) ⊂ Kd1(x, r/c)

Wniosek 1. Jeżeli d1 i d2 są jednostajnie równoważne, to Od1 = Od2 (oczywiście Fd1 = Fd2).

Uwaga: de i d0−1 w N nie są jednostajnie równoważne ale mają takie same zbiory otwarte.

Definicja 15. Metryki d1 i d2 nazywamy równoważnymi, jeżeli Od1 = Od2 (i oczywiście Fd1 = Fd2).

Uwagi

• Jeżeli metryki są są jednostajnie równoważne, to są równoważne.

• de i d0−1 w N są równoważne ale nie jednostajnie równoważne.

12

KonkursPokazać, że metryki: euklidesowa, taksówkowa i supremum są równoważne. Pokazać, że na płaszczyźniemetryka euklidesowa i dyskretna, nie są równoważne.

Temat III

Ciągi w przestrzeniach metrycznych1 Definicja

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 16. Ciągiem punktów przestrzeni X nazywamy funkcję φ : N→ X.

Ciąg punktów będziemy oznaczać {xn}∞n=1 ⊂ X.Dla wygody będziemy stosować zapis skrócony {xn}.

Ciąg {xn} nazywamy

• ciągiem stałym, jeżeli dla każdego n ∈ N, xn = x0

• ciągiem stałym od pewnego miejsca, jeżeli istnieje N > 0 takie, że dla każdego n > N , xn = x0

• ciągiem ograniczonym, jeżeli zbiór {xn : n ∈ N} jest zbiorem ograniczonym

2 Zbieżność ciągu

Definicja 17. Ciąg {xn} ⊂ X nazywamy zbieżnym do punktu x0 ∈ X, gdy

∀ε>0∃N>0∀n>N

d(x0, xn) < ε

Fakt, że ciąg {xn} jest zbieżny do punktu x0 będziemy zapisywać

limn→∞

xn = x0 lub xn → x0.

• Ciąg jest zbieżny do punktu x0, gdy odległość pomiędzy wyrazami ciągu a punktem x0 maleje dozera.

• Równoważnie, dowolnie blisko punktu x0 znajdują prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

• Granica ciągu punktów przestrzeni X jest elementem tej przestrzeni.

• Ciąg może być ciągiem zbieżnym w jednej metryce i nie być zbieżnym w innej.

Najbardziej jaskrawym przykładem tego faktu jest metryka dyskretna, w której zbieżne są tylko ciągiod pewnego miejsca stałe.

13

Fakt 10. • xn → x0 ⇐⇒ limn→∞ d(x0, xn) = 0.

• ciągi stałe i ciągi od pewnego miejsca stałe są zbieżne.

Fakt 11. Poniższe warunki są równoważne:

1) xn → x0

2) ∀r>0∃N ∀n>N xn ∈ K(x0, r)

3) Jeżeli U ∈ OX oraz x0 ∈ U , to ∃N ∀n>N xn ∈ U .

Dowód. 1) ⇐⇒ 2) Przyjmując ε = r, teza wynika wprost z definicji.2) =⇒ 3) Jeżeli zachodzi 2), to dla U ∈ OX , x0 ∈ U istnieje r takie, że K(x0, r) ⊂ U . Ponieważ

p.w., wyrazy xn należą do K(x0, r) więc należą także do U3) =⇒ 2) Ponieważ, teza jest prawdziwa dla dowolnego zbioru otwartego więc w szczególności jest

prawdziwa również dla każdej kuli otwartej.

Fakt 12. Niech A ⊂ X i niech {xn} ⊂ A. Wtedy

• jeżeli xn → x0 w X, to xn → x0 w A ⇐⇒ x0 ∈ A,

• jeżeli xn → x0 w A, to xn → x0 w X.

Definicja 18. Ciąg {xn} nazywamy ciągiem Cauchy’ego, gdy

∀ε>0∃N>0∀

m,n>N

d(xm, xn) < ε

• Własność bycia ciągiem Cauchy’ego zależy tylko od metryki, a nie zależy od podprzestrzeni.

• Nie każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

• Przestrzenie w których każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny nazywamy przestrzeniami zupełnymi.

Przykładem przestrzeni, która nie jest zupełna jest ((0, 1), de). A także przestrzeń wielomianów (dla-czego?)

Fakt 13. Jeżeli ciąg jest zbieżny to:

1) posiada tylko jedną granicę.

2) to zbiór jego wyrazów jest ograniczony

3) każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy

4) jest ciągiem Cauchy’ego

Dowód. 1) Jeżeli xn → g1 oraz xn → g2 to wtedy dla r = d(g1,g2)2 istnieje N takie, że dla n ­ N

xn ∈ K(g1, r) oraz K(g2, r). Ale K(g1, r) ∩K(g2, r) = ∅. Sprzeczność.

2) Niech ε = 1. Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuliK(x0, 1), gdzie r = maxn=1,...,N{d(x0, xn)}.

3) Oczywiste.

4) Ustalmy ε > 0. istnieje N takie, że d(xn, x0) ¬ ε/2, dla n > N . Wtedy dla n,m > N mamy

d(xm, xn) ¬ d(xm, x0) + d(x0, xn) ¬ ε

14

3 Ciągowa charakteryzacja zbiorów domkniętych

Twierdzenie 4 (ciągowa charakteryzacja zbiorów domkniętych). Zbiór F ⊂ X jest domknięty wtedy itylko wtedy, gdy

∀{xn}⊂F

xn → x0 ⇒ x0 ∈ F

Dowód. Załóżmy, że F ∈ F oraz że {xn} ⊂ F jest zbieżny do x0 ∈ X. Przypuśćmy, że x0 /∈ F . Wtedyx0 ∈ X \ F ∈ OX . Zatem istnieje r > 0 takie, że K(x0, r) ⊂ X \ F . Ponadto prawie wszystkie wyrazyciągu xn należą do X \ F . Sprzeczność.

Załóżmy, że zachodzi drugi warunek oraz, że F nie jest domknięty. Wtedy U = X \ F nie jestotwarty. Zatem istnieje punkt x0 ∈ U taki, że dla każdego r > 0, K(x0, r) 6⊂ U , stąd K(x0, r) ∩ F 6= ∅.W szczególności dla każdego n istnieje element xn ∈ K(x0, 1n ) ∩ F . Skonstruowaliśmy ciąg punktów wF , zbieżny do x0 /∈ F . Sprzeczność.

4 Ćwiczenia

Ćwiczenia:

• Scharakteryzować ciągi zbieżne w metrykach: d0−1, dk i dr.

• Czy zbiory otwarte/domkniete w metryce de pozostają otwarte/domknięte w metrykach d0−1, dk,dr (i na odwrót)?

Temat IV

Przestrzenie topologiczne1 Definicja

Niech X będzie niepustym zbiorem.

Definicja 19. Topologią w zbiorze X nazywamy rodzinę zbiorów OX ⊂ 2X , spełniającą własności:

(O1) ∅, X ∈ OX ,

(O2) A,B ∈ OX =⇒ A ∩B ∈ OX

(O3) {An}∞n=1 ∈ OX =⇒⋃∞n=1An ∈ OX

Elementy rodziny OX nazywamy zbiorami otwartymi w X.Topologię w zbiorze X nazywamy także rodziną zbiorów otwartych w X.

Definicja 20. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X,OX), gdzie OX jest topologią w zbiorze X.

Wszystkie informacje o przestrzeni topologicznej zawarte są w jej topologii.

• przestrzeń dyskretna: X - dowolny, OX = 2X ,

• przestrzeń antydyskretna: X - dowolny, OX = {∅, X}

• przestrzeń metryczna: OX zbiory otwarte w sensie p. metrycznych.

15

Fakt 14. Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną.

Jeżeli w przestrzeni topologicznej została wprowadzona metryka taka, że zbiory otwarte w sensie metrykisą identyczne ze zbiorami otwartymi, to topologię w tej przestrzeni nazywamy:

topologią wyznaczoną przez metrykę.

Przestrzeń topologiczną, w której można wprowadzić metrykę taką, że topologia jest wyznaczona przeztę metrykę nazywamy:

przestrzenią metryzowalną.

Topologia przestrzeni metryzowalnej nie wyznacza jednoznacznie metryki.

2 Podprzestrzeń

Niech (X,O) będzie przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ X.

Definicja 21. Parę (A,OA) nazywamy podprzestrzenią topologiczną, jeżeli

OA = {A ∩ U : U ∈ OX}.

Definicja 22. Mówimy, że zbiór F ⊂ X jest zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej X, gdyX \ F ∈ OX . Rodzinę zbiorów domkniętych w przestrzeni X oznaczamy FX .

Twierdzenie 5. Jeżeli (X,OX) jest przestrzenią topologiczną, to:

(F1) ∅, X ∈ FX

(F2) A,B ∈ FX =⇒ A ∪B ∈ FX

(F3) {An}∞n=1 ∈ FX =⇒⋂∞n=1An ∈ FX

Pytanie:Jak scharakteryzować zbiory domknięte w podprzestrzeni?

3 Przestrzeń Hausdorffa

Definicja 23. Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią Hausdorffa lub przestrzenią T2 jeżeli speł-nia warunek

∀x,y∈X

∃U,V ∈OX

x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ U ∩ V = ∅ (T2)

Przestrzeń antydyskretna nie jest T2.

Bardziej skomplikowanym przykładem przestrzeni która nie jest T2 jest tzw. prosta o dwóch począt-kach.

16

Ćwiczenia

• Czy w każdej przestrzeni topologicznej zbiór {x} jest domknięty?

• Czy przestrzeń metryczna jest przestrzenią T2?

• Czy przestrzeń metryczna dyskretna jest przestrzenią dyskretną?

• Inne przykłady przestrzeni metrycznych, które są przestrzeniami dyskretnymi?

• Czy przestrzeń antydyskretna jest metryzowalna?

• Czy przestrzeń nie-T2 jest metryzowalna?

Temat V

Operacje topologiczne1 Definicje

Definicja 24. Domknięciem zbioru A w przestrzeni X nazywamy zbiór

A = {x ∈ X : ∀r>0

K(x, r) ∩A 6= ∅}

Definicja 25. Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór

IntA = {x ∈ X : ∃r>0

K(x, r) ∩X \A = ∅}

Definicja 26. Brzegiem zbioru A w przestrzeni metrycznej X nazywamy zbiór

∂A = {x ∈ X : ∀r>0

K(x, r) ∩A 6= ∅ ∧K(x, r) ∩X \A 6= ∅}

A

xy

z

x, y ∈ A ∩ ∂A z ∈ IntA ∩A

X

Rysunek 5: Operacje topologiczne

17

2 Własności domknięcia

Twierdzenie 6. Niech X będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊂ X. Wtedy

•A = {x ∈ X : ∀

r>0∃a∈A

d(x, a) < r},

•A = {x ∈ X : ∃

{an}⊂Alim an = x},

•A =

⋂{F ∈ FX : A ⊂ F}.

Dowód. Pierwsze wynika w prost z definicji.Załóżmy, że x ∈ A, niech rn = 1

n wtedy dla każdego n istnieje an ∈ A taki, że d(an, x) ¬ 1n . Stąd

{an} ⊂ A i an → x.W drugą stronę, załóżmy, że dla x istnieje an ∈ A, an → x oraz x /∈ A. Zatem istnieje r taki, że

K(x, r) ∩A = ∅. ale wtedy prawie wszystkie an ∈ K(x, r), sprzeczność.Dowód trzeciej kropki pomijamy.

Twierdzenie 7 (własności domknięcia). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A,B ⊂ X.

(Cl1) ∅ = ∅, X = X

(Cl2) A ⊂ A,

(Cl3) A = A

(Cl4) A ∪B = A ∪B

Powyższe własności pozwalają wprowadzić topologię.

Dowód. (Cl1) proste cwiczenie z logiki

(Cl2) jeżeli x ∈ A to K(x, r) ∩A dla kazdego A

(Cl3) ponieważA ⊂ A, wystarczy wykazać druga inkluzję. Niech x ∈ A wtedy dla kazdego r, K(x, r) capA 6=∅, dla dowolnego y naezacego do częsci wspólnej istnieje R takie, że K(y,R) ⊂ K(x, r). Ponieważy ∈ A wiec K(y,R) ∩A 6= ∅.

(Cl4) Niech x ∈ A ∪B wtedy dla każdego r, K(x, r) ∩ (A ∪ B) 6= ∅ale wtedy K(x, r) ∩ A 6= ∅ lubK(x, r) ∩B 6= ∅, zatem x ∈ A ∪B.

dowód w druga strone jako ćwiczenie

Twierdzenie 8. A jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy A = A.

Twierdzenie 9 (własności domknięcia c.d.). • A ∈ FX ,

• A ⊂ B =⇒ A ⊂ B

• A ∩B ⊂ A ∩B,

18

• A \B ⊂ A \B.Żadnej z powyższych inkluzji nie mozna zamienić na równość.

Dowód. Zał, że A jest domknięty, pokażemy, że ClA ⊂ A. niech x ∈ A wtedy istnieje ciag {an} ⊂ Azbieżny do x, ponieważ A jest domkniety wiec x ∈ A.

Z drugiej strony, załóżmy, że ciag {an} ⊂ A, zbiega do x ale x /∈ A. Zatem x /∈ A, czyli dla pewnejkuli K(x, r) ∩A = ∅ i prawie wszystkie wyrazy an należa do tej kuli. Sprzeczność.

Dowód. • poniewż A = A, wiec A ∈ F

• jeżelI K(x, r) ∩A 6= ∅ więc takze K(x, r) ∩B 6= ∅

• ponieważ A ∩B ⊂ A,B więc A ∩B ⊂ A ∩B

• cwiczenie

3 Własności wnętrza

Twierdzenie 10. Niech X będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊂ X. Wtedy

•IntA = {x ∈ A : ∃

r>0K(x, r) ⊂ A},

•IntA =

⋃{U ∈ OX : U ⊂ A}.

Twierdzenie 11 (własności wnętrza).(Int1) Int ∅ = ∅, IntX = X

(Int2) IntA ⊂ A

(Int3) Int IntA = IntA

(Int4) Int (A ∩B) = IntA ∩ IntBPowyższe własności pozwalają wprowadzić topologię.

Dowód.(Int1) cwiczenie z logiki

(Int2) cwiczenie z logiki

(Int3) poniewaz Int IntA ⊂ IntA wystarczy wykazac druga inkluzję. Jeżeli x ∈ IntA to dla pewnego rmamy K(x, r) ⊂ A, Pokazemy, że K(x, r) ⊂ IntA. Gdyby istniał y ∈ K(x, r) ale y /∈ IntA, to wtedydla kazdego R K(y,R) ∩ (X \A) 6= ∅. Ale dla pewnego R0 K(y,R0) ⊂ K(x, r) ⊂ A. sprzecznosć

(Int4) skorzystać z faktu K(x, r) ⊂ A ∩B ⇐⇒ K(⊂, A) i K(x, r) ⊂ B

19

Twierdzenie 12. A jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy A = IntA.

Twierdzenie 13 (własności wnętrza c.d.). • IntA ∈ OX ,

• A ⊂ B ⇒ IntA ⊂ IntB,

• IntA ∪ IntB ⊂ IntA ∪B.

• IntA \B ⊂ IntA \ IntB,Żadnej z powyższych inkluzji nie mozna zamienić na równość.

Dowód. Załóżmy, że A jest otwarty wystarczy wykazać, ze A ⊂ IntA. Niech x ∈ A, ale wtedy istnieje rtaki, że K(x, r) ⊂ A, czyli x ∈ IntA

Z drugiej strony, jezeli x ∈ A, to x ∈ IntA, czyli dla pewnego r, K(x, r) ⊂ A, czyli A jest otwarty.

Dowód. • IntA = Int IntA wiec IntA ∈ O

• K(x, r) ⊂ A ⊂ B

• IntA ⊂ A, IntB ⊂ B, zatem IntA ∪ IntB ⊂ A ∪ B, ponieważ IntA ∪ IntB jest otwarty, więcIntA ∪ IntB ⊂ IntA ∪B

• ćwiczenie

4 Własności brzegu

Twierdzenie 14.∂A = A \ IntA

Twierdzenie 15 (własności brzegu). • ∂∅ = ∅, ∂X = ∅

• ∂(∂A) ⊂ ∂A,

• ∂(A ∪B) ⊂ ∂A ∪ ∂B

• ∂(A ∩B) ⊂ ∂A ∪ ∂B

• ∂A ∈ FX ,

• ∂(X \A) = ∂A,

5 Charakteryzacje

Twierdzenie 16. Poniższe warunki są równoważne:

• A jest zbiorem domkniętym w X,

• A = A,

• ∂A = A \ IntA,

• ∂A ⊂ A.

20

Twierdzenie 17. Poniższe warunki są równoważne:

• A jest zbiorem otwartym w X,

• ∂A = A \A,

• ∂A ∩ IntA = ∅.

Wniosek 2. A jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy ∂A = ∅.

6 Inne własności

Twierdzenie 18 (ZOO relacji). • A = A ∪ ∂A,

• A = IntA ∪ ∂A,

• ∂A = ∂A

• IntA = A \ ∂A,

• IntA = X \ (X \A),

• (∂ IntA) ∩ IntA = ∅

• ∂A = A \ IntA,

Twierdzenie 19 (ZOO relacji c.d.). • ∂A = A ∩X \A,

• ∂A = X \ (IntA ∪ Int (X \A)),

• ∂A = (A \ IntA) ∪ ((X \A) \ Int (X \A))

• X = IntA ∪ ∂A ∪ Int (X \A),

• X \A = Int (X \A),

• X \ IntA = X \A

• X \A = Int (X \A)

Twierdzenie 20 (charakteryzacja przez dist(x,A)). • A = {x ∈ X : dist(x,A) = 0},

• IntA = {x ∈ Xx : dist(x,X \A) > 0},

• ∂A = {x ∈ X : dist(x,A) = 0 ∧ dist(x,X \A) = 0},

Temat VI

Funkcje ciągłe1 Definicja

Niech (X,OX) i (Y,OY ) będą przestrzeniami topologicznymi.

21

Definicja 27. Odwzorowanie f : (X,OX)→ (Y,OY ) nazywamy odwzorowaniem ciągłym, gdy

∀U∈OY

f−1(U) ∈ OX

Ciągłość zależy nie tylko od f ale także od topologii.

X

Y

U

f−1 (

U)

f

f−1

Rysunek 6: Funkcja ciągła

Twierdzenie 21. Niech (X, dX) i (Y, dY ) będą przestrzeniami metrycznymi i niech f : X → Y . Poniższewarunki są równoważne

• f jest funkcją ciągłą

• Warunek ciągłości Cauchy’ego:

∀x∈X∀ε>0∃δ>0∀

x′∈XdX(x, x′) < δ =⇒ dY (f(x), f(x′)) < ε

• Warunek ciągłości Heine’go:

∀x∈X

∀{xn}⊂X

limn→∞

xn = x =⇒ limn→∞

f(xn) = f(x)

Dla dowolnych przestrzeni topologicznych X i Y poniższe funkcje są ciągłe:

• stała: cy0 : X → Y , cy0(x) = y0, y0 ∈ Y .

• identyczność: idX : X → X, idX(x) = x,

• ciąg: f : (N, de)→ X.

• złożenie funkcji ciągłych

• Każda funkcja f : X → Y , jeżeli X jest przestrzenią dyskretną.

• Każda funkcja f : X → Y , jeżeli Y jest przestrzenią antydyskretną.

Funkcja f : X → X, f(x) = x nie musi być ciągła!

22

Twierdzenie 22. Niech X i Y będą przestrzeniami metrycznymi i niech f : X → Y . Poniższe warunki,są równoważne

1. f jest funkcją ciągłą,

2. przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym

3. przeciwobraz każdej kuli otwartej jest zbiorem otwartym,

4.∀x∈X∀ε>0∃δ>0

f(KX(x, δ)) ⊂ KY (f(x), ε) ,

5. dla każdego A ⊂ X zachodzi f(A) ⊂ f(A).

6. dla każdego A ⊂ Y zachodzi f−1(IntY A) ⊂ IntX f−1(A)

Dowód.

1. ⇐⇒ 2. wynika z tożsamości f−1(Y \A) = X \ f−1(A)

1. =⇒ 3. oczywiste, gdyż kula otwarta jest zbiorem otwartym

3. =⇒ 1. Niech U ∈ OY i niech x ∈ f−1(U), wtedy istnieje R > 0 takie, że KY (f(x), R) ⊂ U , stądistnieje r > 0 takie, że KX(x, r) ⊂ f−1(KY (f(x), R)) ⊂ f−1(U)

1. =⇒ 4. Ustalmy ε i x. Ponieważ f−1(KY (f(x), ε) ∈ OX więc istnieje δ > 0 taka, że KX(x, δ) ⊂f−1(KY (f(x), ε), teza wynika z faktu A ⊂ B =⇒ f(A) ⊂ f(B).

4. =⇒ 1. Niech U ∈ OY i niech x ∈ f−1(U), wtedy istnieje ε taki, że KY (f(x), ε,⊂)U . Istniejezatem również δ > 0 taka, że

f(KX(x, δ)) ⊂ KY (f(x), ε) ⊂ UStąd KX(x, δ) ⊂ f−1(U) czyli jest to zbiór otwarty.

2. =⇒ 5. Niech A ⊂ X i niech y ∈ f(A), wtedy istnieje x ∈ A taki, że f(x) = y oraz ciąg {xn} ⊂ A,zbieżny do x. Ponieważ f(A) ⊂ f(A) więc A = f−1f(A) ⊂ f−1(f(A)). Ponieważ f(A) ∈ FY więcf−1(f(A)) ∈ FX . Zatem xn oraz x ∈ f−1(f(A)) a stąd y = f(x) ∈ f(A).

5. =⇒ 2. Niech F ∈ FY wtedy f−1(F ) ⊂ f−1(F ), z drugiej strony

f(f−1(F )) ⊂ ff−1(F ) = F = F

stąd f−1(F ) ⊂ f−1(F )

6. ⇐⇒ 1. Niech A ⊂ Y , ponieważ IntA ∈ OY więc f−1(IntA) ∈ OX . Ponieważ IntA ⊂ A więcf−1(IntA) ⊂ f−1(A). Zatem f−1(IntA) ⊂ Int f−1(A).

Z drugiej strony, jeżeli A ∈ OY , to A = IntA, czyli f−1(A) = f−1(IntA) ⊂ Int f−1(A) Ponieważtakże Int f−1(A) ⊂ Int f−1(A) więc twierdzenie jest udowodnione.

Twierdzenie 23. Niech X1, X2, Y będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f : X1 × X2 → Y jestciągłą wtedy i tylko wtedy gdy funkcje

f1 : X1 → Y, f1(x1) = f(x1, x2)

orazf1 : X1 → Y, f2(x2) = f(x1, x2)

są ciągłe.

Twierdzenie 24. Niech X,Y1, Y2 będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja f = (f1, f2) : X → Y1×Y2jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy funkcje f1 i f2 są ciągłe.

23

KonkursNiech f będzie funkcją ciągłą. Sprawdzić jakie są relacje pomiędzy zbiorami:

• f(Int U) oraz Int f(U)

• f(U) oraz f(U)

• f(∂U) oraz ∂f(U)

• f−1(Int U) oraz Int f−1(U)

• f−1(U) oraz f−1(U)

• f−1(∂U) oraz ∂f−1(U)

Funkcje ciągłe nie muszą:

• przeprowadzać zbiorów otwartych na zbiory otwarte,

• przeprowadzać zbiorów domkniętych na zbiory domknięte,

• przeprowadzać zbiorów ograniczonych na ograniczone,

• ciągów Cauchy’ego na ciągi Cauchy’ego,

• jeżeli są odwracalne, posiadać ciągłej funkcji odwrotnej.

• f : R→ R,f(x) = x2, f((−1, 1)) = [0, 1) wiec nie jest to odwzorowanie otwarte

• f : R2 → R, f(x, y) = x, A = {(x, 1/x), x 6= 0}, f(A) = R \ {0}, więc nie jest to odwzorowaniedomknięte

• tangens przeprowadza zbiór ograniczony na nieograniczony

• f : (0,∞)→ R, f(x) = 1/x, f({1/n}) = {n}

• wsk. f : X → X f(x) = x z różnymi metrykami

• sin((0, π)) = (0, 1], sin(F ) = (0, 1] dla F =⋃n∈N[2nπ + 1/(n+ 1), 2nπ + π − 1/(n+ 1)]

Mniej oczywiste przykłady funkcji ciągłych:

• dodawanie wektorów w przestrzeni unormowanej

• mnożenie wektora przez skalar w przestrzeni unormowanej

• działania arytmetyczne

• metryka d : X ×X → R

• norma ‖ · ‖ : X → R, iloczyn skalarny 〈·, ·〉 : X ×X → R

Niech (X, dX) będzie przestrzenią metryczną, Wprowadźmy metrykę naX×X wzorem d((x1, x2), (y1, y2)) =dX(x1, y1) + dX(x2, y2)

• metryka jest ciągła jako funkcja dX : (X×X, d)→ (R, de), Zauważmy, że (xn1 , xn2 )→ (x1, x2) wtedy

i tylko wtedy gdy xn1 → x1 oraz xn2 → x2 w dX .

Mamy zatem

de (d ((xn1 , xn2 ), (x1, x2))) , 0) = |d ((xn1 , x

n2 ), (x1, x2)) | = |dX(xn1 , x1)−dX(xn2 , x2)| ¬ dX(xn1 , x1)+dX(xn2 , x2)→ 0

24

Temat VII

Homeomorfizmy1 Definicja

Niech (X,OX) i (Y,OY ) będą przestrzeniami topologicznymi.

Definicja 28. Odwzorowanie h : (X,OX)→ (Y,OY ) nazywamy homeomorfizmem, gdy

1) h jest ciągłe

2) h−1 istnieje, tzn.: f jest bijekcją

3) h−1 jest ciągłe

Istnieją funkcje spełniające dwa z trzech powyższych warunków!

Twierdzenie 25. Własności:

1) idX jest homeomorfizmem.

2) Jeżeli h jest homeomorfizmem, to h−1 jest homeomorfizmem.

3) Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.

Porównać z: bijekcje, odwozorowania liniowe, izometrie

Dowód. 1. oczywiste

2. Niech f = h−1, wtedy f jest odwracalna, ciągła i f−1 = (h−1)−1 = h jest ciagła

3. Niech h1 : X → Y i h2 : Y → Z będą homeomorfizmami. Wtedy g = h2 ◦ h2 jest ciagłą bijekcjąoraz g−1 = h−11 ◦ h

−12 jest ciagłe

2 Przestrzenie homeomorficzne

Definicja 29. Mówimy, że przestrzenie (X,OX) i (Y,OY ) są homeomorficzne jeżeli istnieje homeomor-fizm z X na Y .

Twierdzenie 26. Relacja

X ' Y ⇐⇒ X jest homeomorficzne z Y

jest relacją równoważności w klasie przestrzeni topologicznych,

Dowód. 1. zwrotna: idX jest homemorfizmem

2. symetryczna: h i h−1 jest homemorfizmem

3. przechodnia: złożenie homemorfizmów jest homeomorfizmem

25

Meta-definicjaWłasność W przestrzeni topologicznej X nazywamy niezmiennikiem homeomorfizmu lub własnością

topologiczną, jeżeli każda przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią X posiada tę własność.

Będziemy mówić, że homeomorfizm zachowuje własność W zbioru A jeżeli homeomorficzny obraz tegozbioru posiada własność W.

Własnością topologiczną jest każda własność, która można zdefiniować wyłącznie za pomocą zbiorówotwartych

Twierdzenie 27. Niech h : X → Y będzie homeomorfizmem. Wtedy

1) U ∈ OX ⇐⇒ h(U) ∈ OY ,

2) F ∈ FX ⇐⇒ h(F ) ∈ FY ,

3) xn → x w X wtedy i tylko wtedy, gdy h(xn)→ h(x) w Y ,

4) f : X → Z jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy f ◦ h−1 : Y → Z jest ciągła,

5) f : Z → X jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy h ◦ f : Z → Y jest ciągła.

Dowód. Niech h : X → Y będzie homeomorfizmem, oznanczmy g = h−1.

• Jeżeli U ∈ OX to wtedy h(U) = g−1(U) ∈ OY . Jeżeli h(U) ∈ OY , to U = h−1(h(U)) ∈ OX .

• dla zbiorów domkniętych analogicznie

• =⇒ jest oczywiste, Jeżeli h(xn)→ h(x) to wtedy z ciągłości g mamy xn = g(h(xn))→ g(h(x) = x

• ciągłość złożenia jest oczywista. Jeżeli f ◦ h−1 jest ciągła to wtedy (f ◦ h−1) ◦ h = f jest ciągła

• analogicznie

Twierdzenie 28. Homeomorfizmy nie muszą zachowywać własności:

• bycia zbiorem ograniczonym,

• bycia ciągiem Cauchy’ego,

• bycia kulą otwartą,

• bycia kulą domkniętą.

• f : ((0,∞), de)→ ((0,∞), de), f(x) = 1/x

• f jak wyżej xn = 1/n

• f : (R2, de)→ (R2, dT ), f(x) = x

• j.w.

26

ĆwiczenieHomeomorfizmy zachowują własność:

• bycia wnętrzem zbioru tzn.: h(IntX A) = IntY h(A)

• bycia domknięciem zbioru tzn.: h(ClX A) = ClY h(A)

• bycia brzegiem zbioru tzn.: h(∂XA) = ∂Y h(A)

Lemat 1. Funkcja f : (X,OX)→ (Y,OY ) jest ciagła, wtedy i tylko wtedy gdy f−1(IntY A) ⊂ IntX f−1(A)

Dowód. Niech A ⊂ Y , ponieważ IntA ∈ OY więc f−1(IntA) ∈ OX . Ponieważ IntA ⊂ A więcf−1(IntA) ⊂ f−1(A). Zatem f−1(IntA) ⊂ Int f−1(A).

Z drugiej strony, jeżeli A ∈ OY , to A = IntA, czyli f−1(A) = f−1(IntA) ⊂ Int f−1(A) Ponieważtakże Int f−1(A) ⊂ Int f−1(A) więc twierdzenie jest udowodnione.

• z ciągłości h−1 mamy h(IntX A) = (h−1)−1(IntX A) ⊂ IntY (h−1)−1(A) = IntY h(A). Z drugiejstrony, ponieważ Int h(A) ∈ OY więc h−1(Int h(A) ∈ OX . Ponadto, z faktu, ze Int h(A) ⊂ h(A)mamy, że h−1(Int h(A) ⊂ h−1(h(A)). stąd h

(h−1(Int h(A)

)⊂ Int h(A)

• h(ClX A) ⊂ ClY h(A) z ciągłosci h. Z ciągłości h−1 mamy h−1(ClY h(A)) ⊂ ClX h−1(h(A)) =ClX A, stąd teza

• Ponieważ h jest bijekcją oraz ∂A = A∩X \A, więc h(∂A) = h(A)∩h(X \A) = h(A)∩h(X \A) =∂h(A)

• Każda przestrzeń metryczna jest homeomorficzna z przestrzenią ograniczoną.

• Przestrzeń metryczna (topologiczna) zawiera podprzestrzeń homemorficzną z przestrzenią dyskret-ną.

Konkurs

• Kiedy dwie przestrzenie dyskretne są homemorficzne?

• Podać (wzorem) homeomorfizmy:

– okręgu z kwadratem (ramką)

– koła z prostokątem (pełnym)

– elipsy (pełnej) z prostokątem (pełnym)

• Czy okrąg jest homeomorficzny z odcinkiem?

Temat VIII

Przestrzenie spójne1 Definicja

Definicja 30. Przestrzeń topologiczną X nazywamy spójną, jeżeli nie istnieją dwa zbiory A, B ⊂ Xniepuste, otwarte, rozłączne i takie, że X = A ∪B.

Definicja 31. Podzbiór A ⊂ X nazywamy zbiorem spójnym, jeżeli A jest przestrzenią spójną, jakopodprzestrzeń przestrzeni X.

Intuicyjnie: przestrzeń spójna składa się z „jednego kawałka”.

27

AX

B

A

X

B

Rysunek 7: Zbiór spójny i niespójny

Twierdzenie 29. Poniższe warunki są równoważne:

1) X jest przestrzenią spójną,

2) nie istnieją dwa zbiory niepuste, domknięte i rozłączne A,B ⊂ X takie, że A ∪B = X.

3) jedynymi zbiorami otwarto–domkniętymi w X są X i ∅,

4) każde przekształcenie ciągłe z X w dwupunktową przestrzeń dyskretną jest stałe,

5) każdy właściwy podzbiór przestrzeni X ma niepusty brzeg.

Dowód.

1) ⇐⇒ 2) wynika z faktu, że A = X \B i definicji zbioru domkniętego

1) ⇐⇒ 3) (wsk.) Jeżeli A byłby otwarto domknięty, to B = X \A także byłby otwarto-domknięty.

1) ⇐⇒ 4) (wsk.) Załóżmy, że f : X → {0, 1} nie jest stałe, Wtedy, przyjmując A = f−1({0}) orazB = f−1({1}), widzimy, że X nie jest spójna.

3) ⇐⇒ 5) (wsk.) jeżeli zbiór ma pusty brzeg, to jest otwarto-domknięty.

• Niech ∅ 6= A $ X i ∂A = ∅. Wtedy FrX \A = ∅ i zbiory A i X \A są otwarte. Zdefiniujmy funkcjęf : X → {0, 1} następująco

f(x) =

{1 x ∈ A0 x ∈ X \A

Zauważmy, że f jest ciągła, a zatem jest stała. Stąd, albo A = ∅ albo X\ = ∅. Sprzeczność.

Podstawowe przykłady:

spójne: odcinek, prosta, okrąg

niespójne: przestrzeń metryczna dyskretna, dwa odcinki, (R \ {0}, de)

Czy suma zbiorów rozłącznych jest niespójna?Czy iloczyn zbiorów spójnych jest spójny?

28

• ∅, {x} są spójne w każdej przestrzeni topologicznej,

• zbiór skończony, zawierający co najmniej dwa punkty nie jest spójny w żadnej przestrzeni metrycz-nej,

• zbiór przeliczalny nie jest spójny w żadnej przestrzeni metrycznej,

Spójna przestrzeń metryczna zawierająca więcej niż jeden punkt jest nieprzeliczalna.

Dowód. Załóżmy, że A ⊂ (X, d) jest zbiorem przeliczalnym i spójnym i niech x, y ∈ A. Ponieważ d(x, y) >0, więc zbiór (0, d(x, y)) jest niepusty i przeliczalny. Zauważmy, że istnieje r ∈ (0, d(x, y) takie, że żadenpunkt a ∈ A nie spełnia równości d(x, a) = r. Zatem K(x, r) = K(x, r) jest właściwym, otwarto-domkniętym podzbiorem odcinka otwartego. Sprzeczność.

W przestrzeni topologicznej może się zdarzyć, że

• istnieje zbiór skończony, zawierający co najmniej dwa punkty i spójny;

• istnieje zbiór przeliczalny i spójny.

Twierdzenie 30. Odcinek ([0, 1], de) jest zbiorem spójnym.

Dowód. Załóżmy, że nie jest, wtedy istnieą dwa zbiory niepuste, otwarte, rozłączne A∪B = X. Możemyzałożyć, że 0 ∈ A. oznaczmy przez b = inf B, Ponieważ B jest otwarty, b /∈ B więc b ∈ A. Ponieważ Ajest otwarty (w [0, 1]) więc istnieje ε > 0 takie, że K[0,1](b, ε) ⊂ A. W szczególności [b, b + ε) ∩ B więcinfB ­ b+ ε. Sprzeczność.

Twierdzenie 31. Iloczyn kartezjański zbiorów spójnych, jest zbiorem spójnym.

Twierdzenie 32. Niech {Cs} bedzie rodzina zbiorów spójnych takich, że⋂Cs 6= ∅. Wtedy

⋃Cs jest

zbiorem spójnym.

To twierdzenie pozwala udowadniać spójność, np.: dla odcinka (0, 1) lub prostej R.

Dowód. łatwo pokazać, że każdy odcinek domknięty jest spójny. ALe wtedy (0, 1) = bigcup[0 + 1/n, 1−1/n]. podobnie dla prostej.

2 Spójność i ciągłość

Twierdzenie 33. Ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Czyli spójność jest niezmiennikiemodwzorowań ciągłych.

Wniosek 3. Spójność jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

Dowód. Niech X będzie spójny i niech f : X → Y będzie ciągła. Załóżmy, że f(X) nie jest spójny. Wtedyistnieje g : f(Y ) → {0, 1} nie stała i ciągła (g(A) = {0} oraz g(B) = {1}. ale wtedy także g ◦ f jest niestała i ciągła. Sprzecznośc ze spójnością X.

Ćwiczenie: udowodnić z kozystając z definicji.

29

Poniższe zbiory są spójne

• okrąg (sfera)

• koło (kula)

i wszystkie zbiory homeomorficzne np.: czworokąty, „niedziurawe plamki” Czy kwadrat [0, 1]2 jest ciągłymobrazem odcinka [0, 1]?

Twierdzenie 34 (Dowód: właśność Darboux). Jeżeli X jest spójna i f : X → R jest ciągła to dlakażdych x1, x2 ∈ X jeżeli f(x1) ¬ y ¬ f(x2) to istnieje x ∈ X taki, że f(x) = y.

Wniosek 4. Niech f : S1 → R będzie funkcją ciągłą. Istnieje x0 ∈ S1 taki, że f(x0) = f(−x0).

A

X

B

f

R

f(A)

f(B)

Rysunek 8: Własność Darboux

Dowód: własność Darboux. Załóżmy, że tak nie jest. Zbiory A = f−1((−∞, y)) oraz B = f−1((y,∞)pokazują, że X jest niespójna. Sprzeczność.

Inny dowód a.a.: Zdefiniujmy A = (−∞) ∩ f(X), B = (y,∞) ∩ f(X), te zbiory są niepuste, bozawierają x1 i x2; rozłączne. Zdefiniumy g : f(X) → {0, 1}, g(A) = 0, g(B) = 1. Funkcja g jest ciągła inie jest stała. stąd g ◦ f także. sprzeczność ze spójnością.

Jeszcze inny dowód a.a.: zbiory A i B j.w. są także otwarte w f(X) i A ∪ B = f(X). Zatem f(X)jest niespójna i jest obrazem ciągłym zbioru spójnego. Sprzeczność

wniosek . Zdefiniujmy g(x) = f(x) − f(−x), g : S1 → R. Zauważmy, że g(−x) = −g(x) dla wszystkichx. Jeżeli g(x) = 0 to tw. udowodnione. Jeżeli nie to g(x) i g(−x) mają różne znaki. Zatem na mocy tw.Darboux, dla pewnego x0 mamy g(x0) = 0. Stąd teza.

Twierdzenie 35. Jeżeli h : X ' Y jest homeomorfizmem, to dla dowolnego punktu x ∈ X, h : X \{x} →Y \ {h(x)} jest homeomorfizmem.

UWAGA: Nie jest prawdą, że X ' Y =⇒ X \ {x} ' Y \ {y}!

• Okrąg nie jest homeomorficzny z prostą.

• Odcinek [0, 1] nie jest homeomorficzny z odcinkiem (0, 1)

• Prosta nie jest homeomorficzna z płaszczyzną.

30

3 Składowe spójności

Definicja 32. Spójny podzbiór S ⊂ X nazywamy składową spójności jeżeli dla dowolnego zbioru spójnegoP zawierającego S, S = P .

Składowa jest maksymalnym, w sensie inkluzji, spójnym podzbiorem przestrzeni.składowa = kawałekilość składowych = ilość kawałkówprzestrzeń spójna = jedna składowa

Twierdzenie 36. 1) Składowe spójności są parami rozłączne.

2) Składowe spójności są domknięte.

3) Przestrzeń jest sumą swoich składowych spójności.

Twierdzenie 37. Własność bycia składową jest niezmiennikiem homeomorfizmów. Ilość składowych jestniezmiennikiem homeomorfizmów.

Dowód. Gdyby różne składowe S1 i S2 nie były rozłączne, to S1∩S2 byłby zbiorem spójnym zawierajacymS1 i S2, ale to oznacza, że przynajmniej jedna z nich nie była składową.

Niech S będzie składową w X i niech h : X → Y będzie homemorfizmem. Wtedy h(S) jest spójny wY . Załóżmy, że P ⊂ Y jest spójny, zawiera h(S) ale nie jest równy h(S). Wtedy S ⊂ h−1(P ), jest spójnyi różny od S. Sprzeczność.

• [0, 1] nie jest homeomorficzny z [0, 1] ∪ [2, 3]

• itd...

Konkurs

• Czy jeżeli A jest spójny, to IntA, ∂A A muszą być spójne?

• Czy jeżeli A nie jest spójny, to IntA, ∂A A muszą być nie spójne?

• Czy część wspólna zbiorów spójnych jest spójna?

• Czy część wspólna zstępującego ciągu zbiorów spójnych jest spójna?

• Czy składowa jest zawsze otwarto-domknięta, (wsk. znaleźć składowe {0} ∪ {. . . , 15 ,14 ,13 ,12 ,11})?

4 Łukowa spójność

Definicja 33. Przestrzeń nazywamy łukowo spójną, gdy

∀x,y∈X

∃σ : [0,1]→X

σ–ciągła ∧ σ(0) = x ∧ σ(1) = y

Twierdzenie 38. Jeżeli X jest łukowo spójna, to jest spójna.

31

Jak wygląda przestrzeń spójna, ale nie łukowo spójna?Rozważmy, wykres funkcji f(x) = sin( 1x ):

KonkursW zbiorze X = {a, b, c, d} zdefiniować topologię taką, że X bedzie przestrzenią spójną i łukowo spójną.

s

Temat IX

Przestrzenie zwarte1 Definicja

Definicja 34 (W przestrzeniach metrycznych). Przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy przestrzeniązwartą, jeżeli z każdego ciągu punktów tej przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny.

Jeżeli K ⊂ X, to K nazywamy zbiorem zwartym jeżeli (K, d|K) jest przestrzenią zwartą.

Definicja 35. Rodzinę zbiorów {Uα}α∈A ⊂ OX nazywamy pokryciem otwartym przestrzeni X jeżeliX =

⋃α∈A Uα.

Definicja 36. Podpokryciem skończonym pokrycia {Uα}α∈A nazywamy podrodzinę {Uα}α∈A′ , taką,że⋃α∈A Uα i A′ ⊂ A jest zbiorem skończonym.

Twierdzenie 39. Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartegoprzestrzeni X można wybrać podpokrycie skończone.

Definicja 37 (W przestrzeniach topologicznych). Przestrzeń metryczna, gdy z każdego pokrycia otwar-tego przestrzeni X można wybrać podpokrycie skończone.

32

Podstawowe przykłady

• zwarte: [a, b], kwadrat, okrąg (w metryce de), skończona przestrzeń dyskretna

• niezwarte: (a, b), prosta (w metryce de), nieskończona przestrzeń dyskretna

Odcinek (0, 1) nie jest zwarty, ponieważ An = (1/n, 2/n) tworzy otwarte pokrycie, z którgo nie możnawybrac podpokrycia skończonego.

Twierdzenie 40 (Bolzano-Weierstrass). Z każdego ciagu {xn} ⊂ [a, b] można wybrać podciag zbieżny.

Twierdzenie 41. Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Twierdzenie 42. Zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.

Twierdzenie 43. W przestrzeni metrycznej poniższe warunki są równoważne:

• każdy domknięty i ograniczony podzbiór jest zwarty

• każda kula domknięta jest zwarta

Dowód. • Niech X będzie zwarty i niech A ∈ FX . Niech {xn} ⊂ A. Wtedy istnieje podciag {xnk}zbieżny do x w X. Ponieważ A domknięt, więc x ∈ A.

• Załóżmy, że A jest zwarty. Niech {xn} bedzie zbieżny do x. Ponieważ A zwarty więc dla pewnegopodciagu {xnk} mamy xnk → g w A. Z jednoznaczności granicy g = x. Czyli A jest domknięty.

Załóżmy, że A nie jest ograniczony. Ustalmy x0 ∈ X. Wtedy istnieje ciąg {an} ⊂ A taki, żed(an, x0) > n. Z tego podciągu nie można wybrać podciągu zbieżnego.

Ponieważ kula domknięta jest domknięta i ograniczona więc jest zwarta. Załóżmy, że każda kuladomknięta jest zwarta. Niech A bedzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Wtedy zawiera się w pewnejkuli i jako domnięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty.

Twierdzenie 44 ( Heine–Borel ). Podzbiór K przestrzeni Rn ze standardową metryka jest zwarty wtedyi tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Inne przykłady do rozważenia

• Inne przykłady do rozważenia:

• kwadrat w róznych przestrzniach,

• przestrzeń (metryczna) dyskretna,

• kula domknięta i kula otwarta,

• ciąg z granicą, ciąg bez granicy

33

2 Zwartość i ciągłość

Twierdzenie 45. Niech f : X → Y bedzie funkcją ciągłą. Jeżeli K ⊂ X jest zwarty, to f(K) jestzbiorem zwartym.

Wniosek 5. Zwartość jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

Dowód. (topologicznie) Niech Vα będzie otwartym pokryciem f(K). Wtedy {f−1(Vα)} jest otwartym po-kryciem K (dlaczego?). Ponieważ K jest zwarty, więc istnieje skończona rodzina {f−1(V1), . . . , f−1(V1)}będąca pokryciem K. Stąd {V1, . . . , Vn} jest otwartym pokryciem f(K).

(metrycznie) Niech {yn} ⊂ f(K). Zdefiniujmy ciag xn ∈ f−1({yn}) (uwaga!). Z tego ciągu możnawybrać podciag zbieżny, a warunku heinego wynika, że w takim razie z {yn} także mzna wybrać podciągzbieżny.

Mamy kolejny dowód, że [0, 1] 6' (0, 1). (jaki był poprzedni?)

Nowe niezmienniki

• bycie zwartą składową

• ilość zwartych składowych

Zastosowanie: szybki dowód, że [0, 1] ∪ (2, 3) 6' [0, 1] ∪ [2, 3].

Twierdzenie 46. Jeżeli f : X → Y jest ciągłą bijekcją i X jest przestrzenią zwartą, to f jest homemor-fizmem.

Konkurs

• Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

• Każda ciągła iniekcja na przestrzeni zwartej posiada jednostajnie ciągłą odwrotną.

Dowód. Niech g = f−1. Wystarczy pokazać, że g jest ciągła. Niech B ⊂ X domknięty a więc zwarty jakopodzbiór p. zwartej. Wtedy g−1(B) = f(B) jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Jest zaemdomknięty. Czyli g = f−1 jest ciągła.

Twierdzenie 47. Niech X będzie przestrzenią zwartą. Każda funkcja ciągła f : X → R jest ograniczonai osiąga z swoje kresy.

Dowód. Zbiór f(X) jest zwarty, a więc domknięty i ograniczony. Ponieważ jest ograniczony, więć inf f(X)oraz sup f(X) są skonczne. Ponieważ jest domkniety, więc kresy należą do f(X).

34

Twierdzenie 48. Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdakula domknięta jest zwarta.

KonkusPokazać, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej kula domknięta nie musi być zwarta.

Dowód. ( =⇒ ). Poniewż X jest skończenie wymiarowa więc jest izomorficzna (homeomorficzna) z prze-strzenią Rn w której kule są zwarte. Zatem ich przeciwobrazy są zwarte.

(⇐=)Załóżmy, że B = K(0, 1) jest zwarta. Rodzina {K(x, 1/2)}x∈B jest pokryciem B. Zatem istnieją

{x1, : xn} takie, że B ⊂ K(x1, 1/2) ∪ · · · ∪K(xn, 1/2).Zdefiniumy Y = span{x1, . . . , xn}. Zauważmy, że K(xi, 1/2) = x1 + 1/2B. Zatem

K(0, 1) ⊂ B ⊂ Y + 1/2K(0, 1)

i stąd

K(0, 1) ⊂ B ⊂ Y + 1/2(Y + 1/2K(0, 1)) ⊂ . . . Y +12nK(0, 1) = Y +K(0, 1/2n)

Oznacza to, że każdy z ∈ K(0, 1) może być zapisany jako z = yn + bn (tzn. ma wiele reprezentacji, któretworzą ciag), gdzie yn ∈ Y oraz bn ∈ K(0, 1/2n). Ponieważ bn → 0 wiec yn → z. Stąd K(0, 1) ⊂ Y . Alestąd X ⊂ Y , czyli X jest skońćzenie wymiarowa.

Temat X

Przestrzenie zupełne1 Definicja

Definicja 38. Przestrzeń metryczną nazywamy przestrzenią zupełną, jeżeli każdy ciąg Cauchy’ego w tejprzestrzeni jest zbieżny.

• podstawowy przykład: R z metrykę euklidesową

• podstawowy kontrprzykład: (0, 1) z metryką euklidesową

• inny ważny kontrprzykład Q

• przestrzeń metryczna dyskretna

Zupełność nie jest niezmiennikiem homeomorfizmów, np.: R ' (0, 1)

Twierdzenie 49. Odwzorowanie jednostajnie ciągłe przeprowadza ciągi Cauchy’ego na ciągi Cauchy’ego

• Przypomnijmy, że odwzorowanie ciągłe nie ma tej własności, np.: exp : R→ (0,∞).

• odwzorowania jednostajnie ciągłe (a nawet Lipschitza) nie zachowują zupełności:

arc tg : R→ R (jedn. c.);

f : ((0, 1), d0−1)→ (0, 1), de), f(x) = x (lip)

35

• Jeżeli f : X → Y jest ciągła i X zupełna, f zachowuje ciągi Cauchy’ego.

Dowód. Niech f : X → Y bedzie jednostajnie ciągła i niech {xn} ⊂ X będzie ciągiem Cauchy’ego.Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnych a, b ∈ X takich, że dX(a, b) ¬ δ =⇒dy(f(a), f(b)) ¬ ε.

Ponieważ {xn} jest c. C. wiec istnieje r < δ/2 takie, że kula B zawierająca prawie wszystkie wyrazy,ale wtedy f(B) zawiera prawie wszystkie wyrazy {f(xn)}. Ponieważ diam(B) ¬ δ więc diam(f(B)) ¬ εi zawiera się w pewnej kuli C razem z prawie wszystkimi wyrazami {f(xn)}. Ponieważ ε dowolny więc{f(xn)} jest c.C.

Twierdzenie 50. Załóżmy, że f : X → Y jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym i homeomorfizmem.Jeżeli Y jest zupełna, to X jest zupełna.

Twierdzenie 51 (lustrzane odbicie powyższego). Załóżmy, że f : X → Y jest homeomorfizmem takim,że f−1 jest jednostajnie ciągłą. Jeżeli X jest zupełna to Y jest zupełna.

Dowód. Niech xn będzie c. C. Wtedy {f(xn)} jest c. C. i jest zbieżny. Ponieważ f−1 jest ciągła wiec xnjest zbieżny.

Twierdzenie 52. Zupełny podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty.

Twierdzenie 53. Niech X będzie przestrzenia zupełną. Podzbiór A ⊂ X jest zupełny wtedy i tylko wtedy,gdy jest domknięty.

(0, 1) nie jest zupełnym podzbiorem przestrzeni zupełnej R.

Zbiór otwarty może być zupełny, np.: [0, 1]∪(2, 3), [0, 1] jest otwarty i zupełny. Zbiór otwarty jest zupełny=⇒ jest otwarto-domknięty. Kiedy otwarto-domknięty jest zupełny?

Dowód. • trywialne

• Załóżmy, że A domknięty i X zupełna. Jeżeli {xn} ⊂ A jest c. C., to jest zbieżny w X. Z domknię-tości A jest zbieżny w A.

Twierdzenie 54. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.

Dowód. Niech X zwarta i {xn} c.C. Wtedy istnieje podciąg zbieżny xnk , do x. Wtedy

d(x, xn) ¬ d(x, xnk) + d(xnk , xn)

Czyli xn jest zbieżny.

Przestrzeń BanachaWażną klasą przestrzeni zupełnych są przestrzenie Banacha, czyli przestrzenie unormowane, które sąprzestrzeniami zupełnymi względem metryki indukowanej przez normę.

Przestrzeń HilbertaWażną klasą przestrzeni zupełnych są przestrzenie Hilberta, czyli przestrzenie unitarne, które są prze-strzeniami zupełnymi względem metryki indukowanej przez iloczyn skalarny.

Ich badaniem zajmuje się analiza funkcjonalna (następny semestr).

36

2 Punkty stałe

Definicja 39. Punktem stałym odwzorowania f : X → Y nazywamy punkt x0 ∈ X taki, że f(x0) = x0

Definicja 40. Przestrzeń Xposiada własność punkty stałego (WPS) jeżeli każde odwzorowanie ciągłef : X → X posiada punkt stały.

Twierdzenie 55. WPS jest niezmiennikiem homeomorfizmów.

Dowód. Niech h : X → Y będzie homeomorfizmem i niech X posiada WPS. Pokażemy, że każda funkcjaciagła g : Y → Y posiada punkt stały. Zdefiniujmy f : X → X wzorem f = h−1 ◦ g ◦ h. Funkcja f jestciągła, ponieważ X ma WPS więc istnieje x0 taki, że f(x0) = x0 stąd g(h(x0)) = h(x0).

• [0, 1] posiada WPS

• (0, 1) i R nieposiadają WPS

• (Twierdzenie Browera) Zwarty wypukły podzbiór (Rn, de) posiada WPS.

KonkursPodać przykład odwzorowania f : S1 → S1 takiego, że

• nieposiada punktu stałego

• posiada dokładnie jeden punkt stały

• posiada 2,3,. . . punktów stałych

• posiada nieskończenie wiele punktów stałych

Dowód. Niech f : [0, 1]→ [0, 1] będzie ciągła. Jezeli f(0) = 0 lub f(1) = 1 to twierdzenie udowodnione.Możemy założyć, że f(0) > 0 oraz f(1) < 1. Zdefiniujmy g : [0, 1]→ R, wzorem g(x) = f(x)−x. Zera

funckji g są punktami stałymi f . Zauwążmy, że g(0) > 0 oraz g(1) < 0. Z własności Darboux, istnieje x0taki, że g(x0) = 0 =⇒ f(x0) = x0.

3 Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Definicja 41. Odwzorowanie f : X → X nazywamy kontrakcją jeżeli

∃0<L<1 ∀x,y∈Xd(f(x), f(y)) ¬ Ld(x, y)

Kontrakcja jest funkcją ciągłą.

37

Twierdzenie 56 (Banacha o kontrakcji). Niech X będzie przestrzenią metryczną zupełną i niech f : X →X będzie kontrakcją. Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt stały odworowania f . Co więcej, dla każdegox0 ∈ X, ciąg iteracji fn(x0) zbiega do tego punktu.

Wniosek 6. Jeżeli dla pewnego n, iteracja fn jest kontrakcją, to f posiada dokładnie jeden punkt stały.

Dowód. Wybierzmy dowolne x0 ∈ X i zdefiniujmy ciąg xn+1 = f(xn), tzn. xn = fn(x0) = (f◦· · ·◦f)(x0).Dla dowolnych n, p ∈ N mamy (dla czytelności fx0 = f(x0) ):

d(xn, xn+p) = d((f ◦ fn−1)x0, (f ◦ fn+p−1)x0

)¬ Ld(fn−1x0, fn+p−1)x0) ¬ . . .

· · · ¬ Ln d(x0, fpx0) ¬ Ln(d(x0, fx0) + d(fx0, f2x0) + · · ·+ d(fp−1x0, fpx0)

)¬

¬ Ln(1 + L+ · · ·+ Lp−1

)d(x0, fx0) = Ln

1− Lp

1− Ld(x0, fx0)

Ponieważ 0 < L < 1 więc Ln 1−Lp

1−L < 1. Ponadto dla dużych n, p ten ułamek jest dowolnie mały. Stąd xnjet ciągiem Cauchy’ego i z zupełności istnieje x ∈ X taki, że limxn = x. Aby pokazać, zę jet to punktstały, zauważmy, że

x = limxn = limxn+1 = lim f(xn) = f(x)

Aby wykazać jednoznaczność załóżmy, że x = f(x) oraz y = f(y). Wtedy

d(x, y) = d(f(x), f(y)) ¬ Ld(f(x), f(y)) < d(x, y),

ale ta nierównośc jest spełniona tylko gdy d(x, y) = 0. Zatem x = y.

• f(x) = 12x, L = 1/2, X = R vs. X = (0,∞)

• Nie można przyjąć L = 1, tzn d(f(x), f(y)) ¬ d(x, y): f(x) = x+ 1, L = 1, X = R

• Nie można założyć d(f(x), f(y)) < d(x, y): f(x) = ln(1 + ex), X = R

• Warunek d(f(x), f(y)) < d(x, y) wystarcza, jeżeli X jest zwarta (tw. Edelsteina).

Zastosowania

• Jeżeli położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie któryleży na punkcie terenu, którego jest obrazem.

• Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiazań równań różniczkowych i całkowych.

• zbieżność metod numerycznych

• odwzorowanie X ⊂ R 7→ 13X ∪

(13X + 2

3

)jest kontrakcją (względem metryki Hausdorffa), jego

punktem stałym jest zbiór Cantora, np. iteracje X0 = [0, 1].

Temat XI

Punkty izolowane i punkty skupienia1 Definicja

38

Definicja 42. Punkt x ∈ A nazywamy punktem izolowanym zbioru A jeżeli

dist(x,A \ {x}) 6= 0

Zbiór punktów izolowanych zbioru A będziemy oznaczać IsoA.

Definicja 43. Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A jeżeli

dist(x,A \ {x}) = 0

Zbiór punktów skupienia zbioru A będziemy oznaczać AccA.

• Punkt skupienia zbioru A nie musi być jego elementem.

• Zbiór punktów izolowanych zależy tylko od zbioru i metryki

• Zbiór punktów skupienia także od przestrzeni w której rozpatrujemy zbiór.

Twierdzenie 57. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊂ X. Poniższe warunki sąrównoważne:

1) x ∈ IsoA,

2) ∃r>0 KA(x, r) = {x},

3) {x} ∈ OA,

Twierdzenie 58. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną i niech A ⊂ X. Poniższe warunki sąrównoważne:

1) x ∈ AccA,

2) ∀r>0K(x, r) 6= {x}

3) ∃{xn}⊂A ∀n xn 6= x ∧ xn → x

4) x ∈ A \ {x}

5) ∀x∈U∈O U ∩ (A \ {x}) 6= ∅.

Twierdzenie 59. • Zbiór A jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy Acc(X \A) ∩A = ∅.

• Zbiór A jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy AccA ⊂ A.

Nie jest prawdą, że zbiór otwarty nie zawiera punktów skupienia. Prawdą jest, że może nie zawierać.

Twierdzenie 60. • Acc(A) ∩ Iso(A) = ∅

• IsoA = A \AccA

• x ∈ A =⇒ (x ∈ AccA⇔ x 6∈ IsoA)

• x 6∈ A =⇒ (x ∈ AccA⇔ dist(x,A) = 0)

• x ∈ AccA⇐⇒ x /∈ IsoA ∧ dist(x,A) = 0

39

Fakt 15. • W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy punkt jest izolowany.

• Skończona przestrzeń metryczna składa się tylko z punktów izolowanych.

• Skończona przestrzeń metryczna nie posiada punktów skupienia.Skończona przestrzeń topologiczna może posiadać punkty skupienia.

• IsoR = ∅, AccR = R (w de)

• IsoQ = ∅, AccR Q = R, AccQ Q =? (w de)

• IsoN = N, AccN = ∅ (w de)

• Jakie są punkty skupienia i izolowane zbioru A = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1}?

Konkurs

• Czy odwzorowania ciagłe zachowują punkty skupienia i zolowane?

• Czy własność x ∈ AccA lub x ∈ IsoA jest neizmiennikiem homeomorfizmów?

Temat XII

Zbiory gęste i przestrzenie ośrodkowe1 Definicja

Definicja 44. Zbiór A ⊂ X jest gęsty w przestrzeni X, jeżeli A = X.

Definicja 45. Przestrzeń X nazywamy przestrzenią ośrodkową, jeżeli istnieje zbiór A ⊂ X przeliczalnyi gęsty w X. Zbiór A nazywamy wtedy ośrodkiem.

• Q w R jest ośrodkiem, Qn jest ośrodkiem w Rn

• każda przestrzeń przeliczalna jest ośrodkowa

• wielomiany o współczynnikach wymiernych są ośrodkiem w (C, dsup)

• Z nie jest gęsty w R

• Q ∩ [0, 1] jest ośrodkiem w [0, 1]

• R2 z metryką rzeka/kolejowa nie jest ośrodkowa

40

2 Własności

Twierdzenie 61. • Zbiór A jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niepustego zbioruotwartego U , U ∩A 6= ∅.

• A ⊂ X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy gdy AccA = X.

Dowód. (tylko pierwszy punkt, metrycznie)Niech A = X. Wtedy dla każdego x ∈ X istnieje {an} ⊂ A, taki że an → x. Zatem, dla dowolnego

zbioru otwartego U zawierajacego x nieskończenie wiele wyrazów ciagu an nalezy do U .Niech x ∈ X, zdefiniujmy K(x, 1/n), wtedy w każdej takiej kuli znajduje się przynajmniej jeden

element zbioru A. Możemy zatem utworzyć ciąg elementów zbioru A zbieżny do x (jak?). Co dowodzi,że A = X.

(tylko pierwszy punkt, topologicznie)Załóżmy, że A = X i dla pewnego zbioru otwartego U , U ∩A = ∅. Wtedy A ⊂ X \U . Ponieważ X \U

jest domknięty, więc A ⊂ X \ U = X \ U . Stąd A ∩ U = ∅ i A 6= X.Ponieważ X \A jest otwarty i rozłączny z A, wiec X \A = ∅. Zatem A = X.1

Twierdzenie 62. • Gęsty podzbiór X zawiera wszystkie punkty izolowane X.

• Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa.

• Przestrzeń jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina zbiorów parami rozłącznych jestco najwyżej przeliczalna.

• Przestrzeń ośrodkowa jest mocy co najwyżej continuum.

• Z każdego pokrycia otwartego przestrzeni ośrodkowej można wybrać podpokrycie przeliczalne.

Twierdzenie 63. Niech Y będzie przestrzenią Hausdorffa i niech A będzie zbiorem gęstym. Załóżmy, żef, g : X → Y są ciągle i f = g na zbiorze A. Wtedy f = g wszędzie.

Konkurs

• Czy twierdzenie pozostaje prawdziwe jeżeli = zamienimy na 6=?

• Czy funkcja ciągła i różnowartościowa na zbiorze gęstym musi być różnowartościowa wszędzie?

Dowód. (metrycznie)Weźmy, dowolny punkt x ∈ X oraz ciag {an} ⊂ A zbieżny do x. Wtedy, z ciągłości g(x) = lim g(an) =

lim f(an) = f(x).(topologicznie)Jeżeli f(x) 6= g(x), to istnieją rozłączne pozdbiory otwarte takie, że f(x) ∈ U oraz g(x) ∈ V . Wtedy

zbiór B = f−1(U)∩g−1(V ) jest otwarty oraz x ∈ B. Istnieje także a ∈ A należacy do B, stąd f(a) = g(a)i w konsekwencji U ∩ V 6= ∅.

41

Rysunek 9: Zbiór Cantora - pierwsze siedem iteracji (Wikipedia.pl)

Twierdzenie 64. • Funkcje ciągłe nie muszą przekształcać zbiorów gęstych na gęste.

• Ciagłe surjekcje przekształcają zbiory geste na zbiory geste.

• Ośrodkowość jest własnością topologiczną.

Dowód. • Na przykład funkcja stała.

• Niech f : X → Y będzie ciagła i A = X.Wtedy Y = f(X) = f(A) ⊂ f(A) ⊂ Y

• Niech h : X → Y , będzie homeomorfizmem. Jeżeli A = X i |A| ¬ ℵ0, to |h(A)| = |A| ¬ ℵ0 orazh(A) = Y .

Temat XIII

Inne3 Zbiór Cantora

Konstrukcja zbioru Cantora:

• C0 = [0, 1]

• Aby otrzymać zbiór Cn postępujemy następująco:

- Każdy z odcinków z których składa się zbiór Cn−1 dzielimy na trzy równe i rozłączne odcinki,

- w taki sposób, że środkowy z tych odcinków jest otwarty, a skrajne są domknięte

- usuwamy, wszystkie środkowe odcinki

DefinicjaZbiorem Cantora nazywamy zbiór

{ =∞⋂n=0

Cn

ĆwiczenieZbiór Cantora wyraża się jawnym wzorem:

{ = [0, 1] \∞⋃n=1

3n−1−1⋂k=0

(3k + 1

3n,

3k + 23n

)

42

• Zbiór Cantora nie jest pusty.

• W rzeczywistości zawiera dużo punktów, składa się z punktów odcinka [0, 1], których rozwinięciew układzie trójkowym, nie zawiera cyfry 1. Inaczej:

{ = {x ∈ [0, 1] : x =∞∑n=1

αn3n, αn ∈ {0, 2}}

• Zatem |{| = c

• Zauważmy, że zbiór Cantora nie składa się tylko z końców odcinków – tych jest tylko przeliczalniewiele

• do zbioru Cantora należą np.: 1/4 = 0.(02)3, 3/4 = (20)3, 3/10 = 0.(0220)3 . . .

Własności zbioru Cantora:

• ma miarę Lebesguea równą zero

• jest domknięty

• jest zupełny i zwarty

• składa się tylko z punktów skupienia

• wnętrze jest puste

• każdy punkt jest składową spójności

• nie zawiera żadnego odcinka

• składa się tylko z liczb wymiernych i przestępnych

Własności zbioru Cantora c.d.:

• jest samopodobny (jest fraktalem), tzn jego część jest podobna (w sensie goemetrii!), funkcje

T1(x) = x/3, T2(x) = (2 + 3)/3

wyznaczają podobieństwo

• jest homeomorficzny ze zbiorem {× {

• jest homeomorficzny ze zbiorem {0, 1}ℵ0

• każda przestrzeń zwarta i metryzowalna jest ciągłym obrazem zbioru { (np.: odcinek [0, 1] (sic!) )

Diabelskie schody (funkcja Cantora) c : [0, 1]→ [0, 1]:

• x ∈ [0, 1] wyrażamy w systemie trójkowym

• jeżeli występuje jedynka, to wszystkie cyfry po pierwszej jedynce zamieniamy na zera

• zamieniamy wszystkie dwójki na jedynki

• interpretujemy powstała liczbę c(x) jako liczbę w systemie dwójkowym

Inna konstrukcja - OBRAZEK

43

Rysunek 10: Naszyjnik Antoine’a jest homeomorficzny z { (wikipedia.pl)

Rysunek 11: Diabelskie schody (wikipedia.pl)

44

Własności:

• funkcja jest niemalejąca

• funkcja jest stała na każdej składowej [0, 1] \ { – czyli prawie wszędzie!

• jest ciągła (a nawet jednostajnie ciągła)

• jest różniczkowalna prawie wszędzie

• nie posiada pochodnej na zbiorze przeliczalnym {

• długość c([0, 1]) jest równa 2

• c({) = [0, 1]

• ∫ 10c(t)dt =

16

∞∑j=1

(23

)j=

16· 1

1− 23=

16

•0 =

∫ 10c′(t)dt 6= c(1)− c(0) = 1− 0

Dlaczego to powinno być szokujące?

KonkursIstnieje ściśle rosnąca funkcja u : [0, 1]→ R, której pochodna jest równa zero prawie wszędzie.

Zdefiniujmy funkcję g : [0, 1]→ [0, 2]g(x) = x+ c(x)

Zauważmy, że funkcja g jest ściśle rosnąca i ciągłą. Zatem jest ciągła i różnowartościowa na zbiorzezwartym =⇒ jest homeomorfizmem.

• miara Lebesgue’a g({) jest równa 1.

Funkcje ciągłe nie muszą zachowywać zbiorów miary zero!.Funkcje różniczkowalne muszą zachowywać zbiory miary zero. Dzięki temu twierdzenie o zamianie

zmiennych w całce działa!

4 Twierdzenie o kanapce

Twierdzenie (o kanapce)Dla dowolnych zbiorów mierzalnych A1, . . . , An w przestrzeni Rn istnieje (n− 1)-wymiarowa hiperpłasz-czyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na połowy (zbiory o równej mierze).

45

Dowód n = 2

• Niech l oznacza prostą o współczynniku kierunkowym α, przechodzącą przez punkt x0.

• Jeżeli ustalimy α to istnieje punkt x0 taki, że l dzieli A2 na połowy.

• Jeżeli ustalimy x0 to istnieje α takie, że l dzieli A2 na połowy.

• wybierzmy prostą l dla której α = 0, dzielącą A2 na pół,

• l dzieli A1 na dwie części: większą i mniejszą (dokładnie: nie mniejszą)

• oznaczmy przez π(α) miarę większej części

• zmieniamy α od 0 do π

• zauważmy, że π(0) ­ 1/2 i π(π) ¬ 1/2

• zatem istnieje α takie, że π(α) = 1/2

• znaleźliśmy szukaną prostą

Dowód przypadku ogólnego

• Niech Sn−1 oznacza sferę jednostkową w Rn

• Dla dowolnego punktu na Sn istnieje nieskończenie wiele hiperpłaszczyzn prostopadłych do wektoranormalnego v w tym punkcie

• nazwijmy dodatnia stroną, ta stronę płaszczyzny prostopadłej do v w która „patrzy” v

• dla każdego p istnieje hiperpłaszczyzna Π(p) prostopadła do v dzieląca zbiór An na pół

• oznaczmy przez voli(Π(p) miarę części zbioru Ai leżącej po dodatniej stronie Π(p)

• zdefiniujmy funkcję f : Sn−1 → Rn−1 w następujący sposób

f(p) = {vol1(Π(p)), . . . , voln−1(Π(p))}

• f jest ciągła

• istnieją punkty antypodyczne p i q na sferze dla których f(p) = f(q) (Borsuk-Ulam)

• płaszczyzny Π(p) oraz Π(q) są identyczne tylko inaczej zorientowane

• równość f(p) = f(q) oznacza, że płaszczyzna Π(p) jest szukana płaszczyzną.

5 Równoważność metryk

Definicja 46. Niech d i e bęą metrykami na X. Mówimy, że:

• metryka d jest topologicznie silniejsza od e (e jest topologicznie słabsza od d), gdy każdy otwartypodzbiór (X, e) jest otwarty w (X, d)

• metryki d i e są topologicznie równoważne, gdy d jest zarówno słabsza i silniejsza od e

• d i e są nieporównywalne, gdy d nie jest ani silniejsza, ani słabsza od e

46

Twierdzenie 65. Poniższe stwierdzenia są równoważne:

• każdy otwarty podzbiór (X, e) jest otwarty w (X, d)

• każda kula otwarta w e zawiera kulę otwartą w d o tym samym środku

• każdy domknięty podzbiór (X, e) jest domknięty w (X, d)

• funkcja f : (X, d)→ (X, e), f(x) = x jest ciągła

• każdy ciąg zbieżny w (X, d) jest zbieżny w (X, e) do tej samej granicy

• jeżeli f : (X, d)→ (Y,m) ciągła, to f : (X, e)→ (Y,m) jest ciągła

• jeżeli f : (Y,m)→ (X, d) ciągła, to f : (Y,m)→ (X, e) jest ciągła

Twierdzenie 66 (charakteryzacja topologicznej równoważności). Poniższe stwierdzenia są równoważne:

• metryki d i e są topologicznie równoważne

• topologie (X, d) i (X, e) są identyczne

• zbiory domkniete w (X, e) i w (X, d) są identyczne

• funkcja f : (X, d) → (X, e), f(x) = x jest ciągła oraz funkcja g : (X, e) → (X, d), g(x) = x jestciągła

• ciąg jst zbieżny w (X, d) iff jest zbieżny w (X, e) (do tej samej granicy)

• jeżeli f : (X, d)→ (Y,m) ciągła ⇐⇒ f : (X, e)→ (Y,m) jest ciągła

• jeżeli f : (Y,m)→ (X, d) ciągła ⇐⇒ f : (Y,m)→ (X, e) jest ciągła

Fakt 16. • Relacja topologicznej równoważności metryk jest relacją równoważności w zbiorze metryk.

• Jeżeli metryki są równoważne, to przestrzenie są homeomorficzne.

Czy jeżeli (X, d) i (X, e) są homeomorficzne, to metryki są topologicznie równoważne?

• metryki dp(x, y) = (∑ni=1 |xi − yi|p)

1/p, 1 ¬ p <∞, d∞ są topologicznie równoważne na Rn

• metryki d, αd, d1+d są topologicznie równoważne

• metryki de i e(x, y) = | 1x = 1y | są topologicznie równoważne na (0,∞)

• jeżeli (X, d) jest przestrzenią z topologią dyskretną, to d i d0−1 są topologicznie równoważne

• metryki dr i dk są topologicznie słabsze od de na R2, ale nie równoważne

• metryki dr i dk są topologicznie nieporównywalne

Twierdzenie 67 (własności zachowywane przez metryki równoważne). • podzbiory otwarte, domknię-te, gęste, zwarte, spójne

• ciagi zbieżne i ich granice

• funkcje ciągłe

47

Własności niezachowywane

• zbiory ograniczone

• ciągi Cauchy’ego (de i e(x, y) = |1/x− 1/y|) i podzbiory zupełne

• własności o naturze geometrycznej (odległość, średnica itp.)

Definicja 47. Mówimy, że metryka d jest jednostajnie silniejsza od e jeżeli funkcja f(x) = x, f : (X, d)→(X, e) jest jednostajnie ciągła. Metryki są jednostajnie równoważne jeżeli d jest silniejsza od e oraz e jestsilniejsza od d.

Z jednostajna równoważność implikuje topologiczną równoważność.Jest to relacja równoważności.

• dp, d∞ są jednostajnie równoważne

• jeżeli d i e są topologicznie równoważne, to na każdym zwartym podzbiorze są jednostajnie równo-ważne

• de i d0−1 są jednostajnie równoważne na N

Twierdzenie 68. Metryki jednostajnie równoważne zachowują ciągi Cauchy’ego i zupełność.

Metryki jednostajnie równoważne nie zachowują zbiorów ograniczonych.

Definicja 48. Mówimy, że metryka d jest lipschitzowsko silniejsza od e jeżeli funkcja f(x) = x, f : (X, d)→(X, e) jest funkcją Lipschitza.. Metryki są lipschitzowsko równoważne jeżeli d jest lipschitzowsko silniejszaod e oraz e jest lipschitzowsko silniejsza od d.

Z lipschitzowska równoważność implikuje jednostają równoważność równoważność.Jest to relacja równoważności.Zachowywana jest ograniczoność zbiorów.

• dp, d∞ są lipschitzowsko równoważne

• jeżeli normy są równoważne, tzn. A‖x‖1 ¬ ‖x‖2 ¬ B‖x‖1, to generowane przez nie metryki sąlipschitzowsko równoważne

• poniższe metryki na X = C1[a, b] są parami równoważne

d1(f, g) = sup |f(x)− g(x)|+ sup |f ′(x)− g′(x)|

d2(f, g) =√

(sup |f(x)− g(x)|)2 + sup |f ′(x)− g′(x)|2

d3(f, g) = max{sup |f(x)− g(x)|, sup |f ′(x)− g′(x)|}d4(f, g) = |f(x0)− g(x0)|+ sup |f ′(x)− g′(x)|

• metryka

d5(f, g) =∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx

jest lipschitzowsko słabasza od powyższych

48

6 Twierdzenie Baire’a

Definicja 49. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór A ⊂ X nazywamy:

• brzegowym, jeżeli X \A jest zbiorem gęstym, (tzn. X \A = X)

• nigdzie gęstym, jeżeli A jest zbiorem brzegowym (tzn. X \A = X),

• zbiorem I kategorii jeżeli jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów nigdzie gęstych,

• zbiorem II kategorii, jeżeli jest uzupełnieniem zbioru I kategorii.

Twierdzenie 69. Następujace warunki są równoważne:

• Zbiór A jest nigdzie gęsty w X.

• IntA = ∅

• Dla każdego U ∈ O istnieje V ∈ O taki, że V ⊂ U \A.

• Każdy otwarty zbiór U zawiera niepusty otwarty zbiór V , taki że V ∩A = ∅.intuicyjnie: elementy zbioru nigdzie gęstego są „rzadko” rozmieszczone w X

Dowód.

1 ⇐⇒ 2 Ponieważ A jest nigdzie gęsty, więc X \A = X. Z tożsamości X \ B = IntX \B, dlaB = X \A mamy ∅ = X \ (X \A) = IntA.

Alternatywny dowód można otrzymać z tożsamości X \ IntB = X \B

2 =⇒ 3 Ponieważ IntA = ∅, więc dla dowolnego niepustego zbioru otwartego U mamy U \ A 6=.Ponieważ A ∈ F , więc U \A ∈ O. Zatem istnieje otwarty podzbiór V taki, że V ⊂ U \A ⊂ U \A.

3 =⇒ 2 ćwiczenie

1 ⇐⇒ 4 ćwiczenie

ćwiczenie: udowodnić metrycznie

Inne własności i przykłady:

• Skończony podzbiór p.m. jest nigdzie gęsty

• skończona suma i dowolny iloczyn zbiorów nigdzie gęstych jest nigdzie gęsta

• nieskończona suma zbiorów nigdzie gęstych nie musi być nigdzie gęsta np.: Q w R

• zbiór gęsty nie jest nigdzie gęsty,

• Czy brzeg zbioru jest nigdzie gesty?

Niech A ∈ O. Wtedy ∂ = A ∩X \A. Ponieważ A jest otwarty, to X \A = X \A. Zatem

Int ∂A = Int (A ∩ (X \A)) = IntA ∩ IntX \A = IntA ∩ IntX \A ⊂ A ∩ (X \A) = ∅

Niech A|inF i niech U ∈ O. Mamy U ⊂ ∂A ⊂ A a stąd U ⊂ IntA. Ale U ⊂ ∂ ∩ IntA = ∅. ZatemU = ∅.

• zbiór Cantora jest nigdzie gesty

• zbiór nigdzie gęsty na [0, 1] może mieć dodatnią miarę Lebesgue’a np.: odpowiednio zmodyfikowanyzbiór Cantora, (a nawet dowolną miarę < 1)

• { 1n} ∪ {0} jest nigdzie gęsty w [0, 1] (ale ma punkt skupienia)

• [0, 1] na prostej nie jest gęsty i nie jest nigdzie gesty

49

Twierdzenie 70. Następujące warunki są równoważne:

• A jest zbiorem brzegowym,

• IntA = ∅,

• A nie zawiera, żadnego niepustego zbioru otwartego.

Dowód. ćwiczenie, skorzystać z tożsamości X \A = X \ IntA i topologicznej definicji wnętrza.

Inne własności i przykłady:

• na prostej rzeczywistej: punkt , Q, R \Q

• wykres funkcji ciągłej f : R→ R

• zbiór brzegowy zawiera się w swoim brzegu (bo IntA = A \ ∂A).

Twierdzenie 71 (Baire). Niech X będzie przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny i niech {En}będzie ciągiem nigdzie gęstych podzbiorów X. Wtedy E =

⋃∞n=1En jest zbiorem brzegowym w X.

Dowód. Pokażemy, że X \ E jest gęsty, tzn, x ∈ X =⇒ x ∈ X \ E. Niech d będzie metryką zupełną naX. Wystarczy pokazać, że dla każdego r > 0 mamy K(x0, r) ∩X \ E 6= ∅.

Niech K = K(x0, r). Ponieważ E1 jest brzegowy, więc istnieje x1 ∈ K, taki że x1 /∈ E1. Istnieje także0 < ε1 < 1, taki że K1 = K(x1, ε1) ⊂ K(x0, r) oraz K1 ∩ E1 = ∅.

Powtarzając rozumowanie dla zbioru K1, istnieje kula domknięta K2 = K(x2, ε2) ⊂ K1, 0 < ε2 <12 ,

taka że K2 ∩ E2 = ∅.Otrzymujemy zatem ciąg K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . . Ponieważ są to niepuste domknięte podzbiory,

takie że diam(Kn)→ 0, więc z twierdzenia Cantora⋂∞n=1Kn jest niepusty.

Ponieważ także Kn ∩ En = ∅ zatem ⋂Kn ∩

⋃En = ∅

Stąd⋂Kn ⊂ X \ E oraz K ∩X \ E 6= ∅.

Równoważne sformułowania:

• W przestrzeni zupełnej przekrój przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i gęstych jest gęsty.

• W przestrzeni zupełnej suma przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych i nigdzie gęstych jestbrzegowa.

• W przestrzeni metryzowalnej w sposób zupełny, każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

• W przestrzeni zupełnej każdy zbiór II kategorii jest gęsty.

Dowód. Niech {Un} będzie przeliczalną rodzina zbiorów otwartych i gęstych. Zdefiniujmy En = X \Un.Wtedy En jest domknięty oraz

X \ En = X \ En = Un = X

to znaczy En jest nigdzie gęsty. Z tw. Baire’a mamy, że⋃En jest brzegowy. Zatem

X = X \ E = X \⋃En =

⋂X \ En =

⋂Un

co oznacza, że zbiór⋂Un jest gęsty w X.

50

Dowód w drugą stronę podobnie. Niech En będą zbiorami nigdzie gęstymi. Wtedy En są domkniętei brzegowe, a stąd Un = X \ En są otwarte i gęste ponieważ

Un = X \ En = X

Ponieważ zbiórX \

⋃En =

⋂X \ En ⊂

⋂X \ En =

⋃Un

jest gesty, więc⋃En jest brzegowy.

Wniosek 7. Niech X będzie przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny i taką że x ∈ X \ {x}, dlakażdego x ∈ X. Wtedy X jest nieprzeliczalna

Wniosek 8. Przestrzeń Q nie jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzeń R jest nieprzeliczalna.

Dowód. Załóżmy, że X jest przeliczalna. Ponieważ zbiory {x} są domknięte i brzegowe. Zatem z tw.Baire’a X =

⋃{x} jest brzegowa. W szczególności IntX = ∅. Sprzeczność.

Inny dowód:Załóżmy, że X jest przeliczalna. Ponieważ zbiory {x} są domknięte, więc Ux = X \ {x} są otwarte.

Ponieważ x ∈ X \ {x} = Ux, więc są także gęste.Zatem

⋂Ux =

⋂x∈X X \ {x} jest gesty i pusty. Sprzeczność.

Wniosek 9. Zbiór funkcji ciągłych na [0, 1], które są różniczkowalne w przynajmniej jednym punkciejest brzegowy, Istnieje funkcja ciągła i nieróżniczkowalna w żadnym punkcie.

Dowód. NiechX = C[0, 1] z normą supremum. Jest to przestrzeń zupełna. Dla każdego n ∈ N zdefiniujmyzbiór

En = {f ∈ X : ∃x∈[0,1]∀h6=0∣∣∣∣f(x+ h)− f(x)

h

∣∣∣∣ ¬ n}Zbiory En są domknięte. (ćwiczenie)Zbiory En mają puste wnętrze. Niech A będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych. Oczy-

wiście A jest gęsty w X. Co więcej, każdą funkcję z A można aproksymować funkcjami nie należącymi doustalonego zbioru En. Zatem C[0, 1] = A ⊂ C[0, 1] \ En, w szczególności oznacza to, że En mają pustewnętrze (są brzegowe).

Ponieważ En są nigdzie gęste, więc z twierdzenia Baire’a⋃En 6= C[0, 1]

Z drugiej strony, jeżeli f ma skończoną pochodną to należy do któregoś ze zbiorów En.

Temat XIV

51