Teoria de Teletrafico.pdf

8/18/2019 Teoria de Teletrafico.pdf

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© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014

Teoría e Ingeniería deTeletráfico

Dr. Ing. José Joskowicz

[email protected]


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Introducción



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3© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014

¿Qué es la“Teoría de Teletráfico”?

Es la aplicación de las teorías de probabilidadesa la solución de problemas de planificación,evaluación de desempeño, operación y

mantenimiento de sistemas detelecomunicaciones

Parte de esta presentación se basa en

ITU–D Study Group 2 Question 16/2Handbook “TELETRAFFIC ENGINEERING”

June 2006


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Principales funciones de laIngeniería de Teletráfico

Caracterización de la demanda de tráfico Objetivos del grado de servicio (GoS)

Controles y dimensionamiento del tráfico

Vigilancia de la calidad de funcionamiento

Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)


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Principales funciones de laIngeniería de Teletráfico

Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)


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Conjunto de recursos

Intensidad Instantánea de Tráfico(Traffic Intensity)

La intensidad instantánea de tráfico en unconjunto de recursos es la cantidad de recursosocupados en un determinado instante de tiempo

Los “recursos” pueden ser líneas urbanas,servidores, o cualquier tipo de elemento que puedeser compartido por varios usuarios

recurso librerecurso ocupado

Instantánea

n recursosocupados


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Conjunto de recursos

Intensidad Promedio de Tráfico(Traffic Intensity)

La ocupación de cada recurso puede variar conel tiempo.

En cada instante t, hay n recursos ocupados

Evoluciónen eltiempo

n(t) recursosocupados


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Intensidad Promedio de Tráfico(Traffic Intensity)


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Intensidad Promedio de Tráfico

Donde n(t) es la cantidad de recursos ocupadosen cada instante t y T es un tiempo fijo

Y(T) es adimensionada (“tiempo” / “tiempo”)

∫=T

dt t nT

T Y 0

)(1

)(


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Erlang

Unidad de medida de tráfico(definición de la CCIF* del 28 deoctubre de 1946):

* Le Comité Consultatif International des Comunications Telephoniques a grandedistance


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Unidades de Tráfico

Erlang (E ): Un Erlang corresponde a una intensidad promedio de

tráfico de una hora por hora

Equivalente a un recurso ocupado en forma

permanente Cientos de segundos por hora o Hundred call

seconds per hour (CCS ):

Un CCS corresponde a una intensidad promedio detráfico de 100 segundos por hora (puede serasociado a la duración de una llamada típica)

36 CCS = 1 E


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Volumen de tráficoTraffic Volume

Es el tráfico total cursado en un periodo detiempo T

Integral en el tiempo de la intensidad de tráfico

Se mide en Eh (Erlang-horas) o Es (Erlang-segundos)

Es la suma de todos los tiempos de ocupación

en el periodo medido


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Intensidad de llamadasCall Intensity

Promedio de llamadas por unidad de tiempo

tiempodeunidad

llamadas=λ


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Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,durante 10 días, de lunes a viernes


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Intensidad de llamadasCall Intensity Distribución de Lllamadas

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

0 7 : 0 0

0 7 : 3 0

0 8 : 0 0

0 8 : 3 0

0 9 : 0 0

0 9 : 3 0

1 0 : 0 0

1 0 : 3 0

1 1 : 0 0

1 1 : 3 0

1 2 : 0 0

1 2 : 3 0

1 3 : 0 0

1 3 : 3 0

1 4 : 0 0

1 4 : 3 0

1 5 : 0 0

1 5 : 3 0

1 6 : 0 0

1 6 : 3 0

1 7 : 0 0

1 7 : 3 0

Horario

% d e l l a m a d a s

02-Mar 03-Mar

04-Mar 05-Mar

06-Mar 09-Mar

10-Mar 11-Mar

12-Mar 13-Mar

16-Mar 17-Mar

18-Mar 19-Mar

20-Mar 23-Mar

Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,cada día


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Llamadas por minuto, entre las 8:00 y las 13:00 de un día particular


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Llamadas por minuto, en una hora (entre las 10 y las 11),en un día particular

Llamadas por minuto

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Minuto (10:xx)

C a n t i d a d


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Tiempo medio de ocupaciónMean Holding Time

Duración media del tiempo de ocupación Por ejemplo: Duración media de las llamadas


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Tráfico en función de intensidadde llamadas y ocupación media

)(1

)(

1

1−=

=

=

sd

smediaduraciónd

ssegundo

llamadas

µ

λ

d


20/130



1 s

)(1

1

smediaduración

ssegundo

llamadas

=

=

µ

λ

/ 1


21/130



El tráfico A se puede calcular como

µ

λ λ == d A


22/130


Hora picoBusy Hour

Período de 60 minutos que tiene el máximo detráfico, tomado en intervalos de 15 minutos

Por ejemplo: La hora pico puede ser de 9:15 a 10:15


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Hora picoBusy Hour

La relación entre el tráfico en la

hora pico y el tráfico diario totales del orden del 12%


24/130


Tráfico OfrecidoOffered Traffic

Es el tráfico que se cursaría si no existierarechazo dentro de la red

Se podría cursar con “infinitos” recursos

UsuariosTráfico

OfrecidoRed Usuarios


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Tráfico CursadoCarried Traffic

Es el tráfico que efectivamente cursado por lared

Típicamente “se puede medir”

UsuariosTráfico

OfrecidoRed

TráficoCursado

Usuarios


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Tráfico Perdido o RechazadoLost or Rejected Traffic

Es el tráfico que NO pudo ser cursado por la red

UsuariosTráfico

OfrecidoRed

TráficoCursado

P er d i d o

Usuarios


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Tráfico de DesbordeOverflow Traffic

Es el tráfico que no pudo ser cursado por un redy es derivado a otra red

UsuariosTráfico

OfrecidoRed 1

TráficoCursado

Usuarios

D e s b or d e

Red 2


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Generación de tráfico

Probabilidad deerror del usuario

Probabilidad deerrores técnicos y

bloqueo

Probabilidad decada resultado

posible

Reintentos


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Reintentos cuando el destinoestá ocupadoHistograma de los

reintentos en

función del tiempode reintento luegodel intento inicial,

cuando el destinoestá ocupado


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Modelos Matemáticos

Teoría e Ingeniería de

Teletráfico


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Proceso de Arribos

Los procesos de arribo se pueden describirmatemáticamente como procesos estocásticospuntuales

Tiempo entre arribos:- Variable aleatoria

- No se produce arribos múltiples

- En promedio, λ arribos por unidad de tiempo

tiempo

arribos


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Proceso de Arribos

Al asumir que cada “tiempo entre arribos” semodela con la misma variable aleatoria, quedaimplícito que la distribución de arribos esindependiente del tiempo

Puede ser cierto durante períodos cortos de tiempo

Llamaremos A a la variable aleatoria quemodela el tiempo entre arribos

∫=≤= T

dt t aT P0

)()(AAAAA

(T

)

A

(T

)

A

(T

)

A

(T

)


33/130


Proceso de Arribos

El tiempo medio entre arribos (el valoresperado) se puede calcular como

¿Cómo definir A?

El “tiempo entre arribos” se puede modelar con

una distribución exponencial de parámetro λ

∫∞

=0

)(1

dt t ta

λ

t

t

et a

et A

λ

λ

λ −

−

=

−=

)(

1)(


34/130


Ejemplo: 360 llamadas por hora

segundo

llamadas

hora

llamadas1.0360 ==λ

)(101

llamadasentre promediotiempollamada

segundos=

λ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 20 40 60

t

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 20 40 60

t

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 20 40 60

t

t

et A

λ −−=

1)(

t et a λ λ −=)( t tet ta λ λ −=)(


35/130


Propiedades de la distribuciónExponencial de parámetro λ

Valor esperado

Varianza var A = E (A2) – E (A)2

λ

1)( =AAAA E

21var λ =AAAA


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Propiedades de la distribuciónexponencial

“No tiene memoria”:)()|( hPT hT P >=≥+> AAAAAAAAAAAA

∫∫∫

∫ ∫

∞

−−

−

+−

∞

−

∞

+

−

∞ ∞

−

>=====>+>

==>

h

t h

T

hT

T

t

hT

t

T T

t

hPdt eee

e

dt e

dt e

T hT P

dt edt t aT P

)()(

)()(

)(AAAAAAAAAAAA

AAAA

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ


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Propiedades de la distribuciónexponencial

La distribución de probabilidad del arribo de unanueva llamada no depende de cuanto tiempohaya pasado desde el arribo de la últimallamada


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Relación entre la distribuciónExponencial y la de Poisson

Si los tiempos entre arribos son exponencialesde parámetro λ , el número de arribos N queocurren en un lapso de tiempo T tiene undistribución de Poisson de parámetro λT

!

)()(

N

eT N P

T N λ λ −=

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N= cantidad de llamadas para T=60 seg

segundo

llamadas1.0=λ


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Duración de las llamadasDuración de llamadas:- Variable aleatoria

- En promedio, de duración

d= 1 /µ


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Duración de las llamadas

Al asumir que la duración de las llamadas semodela con la misma variable aleatoria, quedaimplícito que la distribución de la duración esindependiente del tiempo

Puede ser cierto durante períodos cortos de tiempo ypara un mismo tipo de llamadas

Llamaremos S a la variable aleatoria quemodela la duración de llamadas

∫=≤=T

dt t sT S PT S 0

)()()(


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La duración media de las llamadas (el valoresperado) se puede calcular como

La duración de las llamadas se puede modelarcon una distribución Exponencial de parámetro

µ=1/ d

∫∞

==0

)(1

dt t tsd

µ

t

t

et s

et S

µ

µ

µ −

−

=

−=

)(

1)(


42/130


Ejemplo: duración media de 3minutos

1180 / 1

180

−=

=

segundos

segundosd

µ

d

t

ed t s

−

=

1

)( d

t

ted t ts

−

=

1

)(

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0 200 400 600

t

0

0.05

0.1

0.150.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 100 200 300 400 500 600

t


43/130


Modelo con“infinitos recursos”


Teletráfico


44/130


Consideraciones

Consideramos un sistema con∞

recursosidénticos, trabajando en paralelo

“Grupo homogéneo” (homogeneous group )

Hay∞

fuentes que pueden generar tráfico Una llamada es aceptada en el sistema si existe

por lo menos un recurso disponible, y cada

llamada ocupa un único recurso “Accesibilidad completa” (full accessibility )

Dado que hay ∞ recursos, las llamadas son siempreaceptadas


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Consideraciones

El arribo de llamadas se puede modelar comoun proceso de Poisson de parámetro λ llamadaspor segundo

“Tráfico de Chance Pura”

La duración de las llamadas tiene unadistribución exponencial de parámetro µ=1/ dsegundos-1

El tráfico se puede modelar como un proceso de“nacimiento y muerte”

Proceso simple de Markov


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Diagrama de transición deestados

Definimos el estado del sistema [i] como lacantidad de recursos ocupados i.

En un instante determinado, el sistema se

encuentra en el estado [i]

0 1 2 i -1 i i +1


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Con el tiempo pueden existir transiciones entreestados

Entre un tiempo t y t +dt, solo existen

transiciones simples La probabilidad de arribo o fin de más de 2 llamadas

en dt es despreciable

0 1 2 i -1 i i +1 i +2


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Demostración para el caso de arribos:Probabilidad de N arribos en un tiempo T:

)1(2

)(

2

)()2(

)1(

0!

)()(

22

PT eT

P

T TeP

T N

eT N P

T

T

T N


49/130



En una situación de equilibrio estadístico , elsistema se encontrará en el estado [i] unaproporción de tiempo p(i)

p(i) es la probabilidad de encontrar al sistema enel estado [i]

0 1 2 i -1 i i +1

p(i) = probabilidad del estado i


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La probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1]en un intervalo de tiempo T , es la probabilidadde que exista un arribo en ese intervalo detiempo.

Si T es muy pequeño, esa probabilidad es

0 1 2 i -1 i i +1

T TeP T λ λ λ ≈= −)1( T λ


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La probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1]durante un tiempo corto T

Es lineal con T

Solo depende de la tasa de arribos λ, pero no delestado [i] en el que se encuentre el sistema

Hay “infinitas fuentes” generadoras de tráfico

0 1 2 i -1 i i +1

T λ T λ T λ T λ T λ T λ


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La probabilidad de pasar del estado [i] al [

i-1] enun intervalo de tiempo T , es la probabilidad de

que termine una llamada en t < T

La probabilidad de que termine1

de las illamadas del estado [i] es

Como hay i llamadas p( [i]→ [i-1] )=iµT

)0(...)2

)(1(1)(

1)(

2

→≈−+−−=

−= −

T paraT T T T S

eT S T

µ µ µ

µ


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Si T es muy pequeño, la probabilidad de pasardel estado [i] al [i-1] en un intervalo de tiempo T

Es lineal con T

Es inversamente proporcional a la duración media d

Es proporcional a µ=1/ d

Es proporcional a la cantidad de llamadas (recursosocupados) en el sistema

Es proporcional a i


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0 1 2 i -1 i i +1

T λ T λ T λ T λ T λ T λ

T i µ )1( +T iT i )1( −T µ 2T

Válido para T muy pequeño


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Ecuaciones de nodo

p(i) es la probabilidad de encontrar al sistema enel estado [i]

La cantidad media de “saltos” del estado [0] alestado [1] en el intervalo T es λTp(0)

La cantidad de “saltos” del estado [0] al estado [1] porunidad de tiempo es λTp(0)/T= λ p(0)

La cantidad media de “saltos” del estado [1] alestado [0] en el intervalo T es µTp(1)

La cantidad de “saltos” del estado [1] al estado [0] porunidad de tiempo es µTp(1)/T= µp(i+1)


56/130


Ecuaciones de nodo

0 1

λ

µ

)1()0( p pλ =

Transiciones por unidad de tiempo


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Ecuaciones de nodo

)()()1()1()1(

)()()1()1()1(

0

i pii pii p

i pii pi pii p

i

µ λ µ λ

µ λ µ λ

+=+++−

+=+++−

>

i -1 i i +1

λ λ

)1( +i µ i



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En equilibro estadístico, la cantidad detransiciones del estado [i-1] al [i] deben seriguales a las transiciones del estado [i] al [i-1]

Ecuaciones de corte

)()1(

0

i pii p

i

µ λ =−

>i -1 i

λ

i



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Normalización

El sistema siempre estará en uno de losposibles estados

La suma de todas las probabilidades de los estadosdebe ser 1

1)(0

=∑∞

=i

i p

D d ió d l b bilid d


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Deducción de las probabilidadesde estados

Aplicamos las ecuaciones de “corte”

....

)1()1()(

)()()1(

)1()1()2(

....

)3(3)2(

)2(2)1(

)1()0(

++=

=−

−−=−

=

=

=

i pii p

i pii p

i pii p

p p

p p

p p

µ λ

µ λ

µ λ

µ λ

µ λ

λ

µ λ == d A

D d ió d l b bilid d


61/130



....

)0(!

)1()(

)0()!1()2(1)1(

....

)0(23)2(3)3(

)0(2

)1(2

)2(

)0()1(

1

3

2

pi

Ai p

i

Ai p

pi

A

i pi

A

i p

p x

A

p

A

p

p A

p A

p

Ap p

i

i

=−=

−=−−=−

==

==

=

−

A

i

i

i

ii

e

i

A p

pi

A

i p

−∞

=

∞

=

∞

=

==

⇒=

=

∑

∑

∑

0

0

0

!

1)0(

1)0(!

1)(

Ai

ei

Ai p

−=

!)(

Ejemplo


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Ejemplo

¿Cuántos recursos de conmutación seránutilizados?

Sistema con

“Infinitos recursos”de conmutación

Usuarios quegenerar

600 llamadaspor hora,

de 1 minuto deduraciónpromedio

Ejemplo


63/130


Ejemplo

600 llamadas por hora = 600/3600 llamadas porsegundo

λ=1/6 seg-1

60 segundosde duración

d =60 seg

µ=1/60 seg-1

A = λ /µ= 10 Erlang

Ai

e

i

Ai p

−=

!

)(0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

p ( i )

i - cantidad de recursos ocupados

p(i) para A=10

Características del tráfico con


64/130


Características del tráfico coninfinitos recursos

No hay “congestión”: Hay infinitos recursos ytodos son accesibles

El tráfico cursado Y es igual al tráfico ofrecido

El tráfico perdido es 0

Ae Aei

A Aee

i

AiiipY

A

i

Ai

A

i

Ai

i

==−

=== ∑∑∑ ∞

=

−−

−∞

=

−∞

= 1

1

11 )!1(!)(


65/130


Recursos finitos:Modelos de pérdida


Teletráfico

Consideraciones


66/130


Consideraciones

Consideramos un sistema con n recursosidénticos, trabajando en paralelo

“Grupo homogéneo” (homogeneous group )

Una llamada es aceptada en el sistema si existepor lo menos un recurso disponible, y cadallamada ocupa un único recurso

“Accesibilidad completa” (full accessibility )

Consideraciones


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Consideraciones

Si todos los recursos están ocupados el sistemaestá “congestionado” y el intento de llamada esbloqueado

El intento de llamada en este caso “desaparece”, no

hay espera ni reintentos

Modelo de pérdida (Lost Calls Cleared )

Diagrama de transición de


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0 1 2 i -1 i i +1

λ λ λ λ λ λ

)1( +i µ i µ )1( −i2


n

λ

µ n

Deducción de las probabilidades


69/130



)0(!)1()(

....

)0(!)1()(

....

)0(23)2(3)3(

)0(2

)1(2

)2(

)0()1(

3

2

pn

A

n pn

A

n p

pi

A

i pi

A

i p

p x

A

p

A

p

p A

p A

p

Ap p

n

i

=−=

=−=

==

==

=

∑

∑

∑

=

=

=

=

⇒=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

A p

pi

A

i p

0

0

0

!

1)0(

1)0(!

1)(

∑=

= n

j

j

i

j

Ai Ai p

0 !

1!

)(

Congestión


70/130


Congestión

Hay “congestión” cuando todos los recursosestán ocupados, o sea cuando el sistema estáen el estado [n]

La probabilidad de que al llegar un “arribo”encuentre al sistema en el estado [n] es igual ala probabilidad estacionaria de que el sistemase encuentra en el estado [n]

Esto es conocido como propiedad “Poisson ArrivalsSee Time Average” o PASTA, demostrada porRonald W. Wolff en 1982

Congestión


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Congestión

Hay “congestión” cuando todos los recursosestán ocupados, o sea cuando el sistema estáen el estado [n]

Por tanto, la probabilidad de que existacongestión es

),(

!

!)(

0

An E

j A

n

A

n p Bn

j

j

n

==

∑=

Conocida como Fórmula de Erlang-B (publicada en 1917)

Ejemplo


72/130


Ejemplo

¿Qué probabilidad hay de que existacongestión?

Sistema con

“10 recursos”de conmutación

Usuarios quegenerar

600 llamadaspor hora,

de 1 minuto de

duraciónpromedio

Ejemplo


73/130


Ejemplo

λ=1/6 seg-1

µ=1/60 seg-1

A = λ /µ= 10 Erlang

%2121.0

!

10

1

!10

10)10,10(

10

0

10

===

∑= j

j B

j

E

Ejemplo


74/130


Ejemplo

¿Cómo varía la probabilidad de bloqueo segúnla cantidad de recursos disponibles?

∑=

= n

j

j

n

B

j

An A An E

0 !

1!

),(

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

p ( b l o q u e o )

n- cantidad de recursos disponibles

E B(n,10)

Ejemplo


75/130


Zoom

Ejemplo

Si queremos que la probabilidad de bloqueo seamenor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?

012345678

9101112131415161718

192021

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

n (

c a

n t i d a d e r e c u r s o s )

p- probabilidad de bloqueo

E B(n,10)

Ejemplo


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je p o

Si queremos que la probabilidad de bloqueo seamenor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

n ( c

a n t i d a d e r e c u r s o s )


E B(n,10)

n=18

Tablas de Erlang-B


77/130


g

n

Probabilidad de bloqueo= En(A)

Características del tráfico con


78/130


modelo de pérdida

Hay “congestión” cuando todos los recursos

están ocupados

El tráfico cursado Y es menor al tráfico ofrecido A

(usando las ecuaciones de corte)

El tráfico perdido es

( )

( )),(1

)(1)1()(11

An E AY

n p Ai ApiipY

B

n

i

n

i

−=

−=−== ∑∑==

( ) ),(),(1 An AE An E A AY A A B Blost =−−=−=

Resumen de las Hipótesis


79/130


putilizadas para Erlang-B

Chance pura

El arribo de llamadas se modela según un proceso dePoisson

El tiempo entre arribos de llamadas tiene una

distribución exponencial Existen “infinitas” fuentes generadoras de tráfico


La duración de las llamadas tiene una distribuciónexponencial

Resumen de las Hipótesis


80/130


putilizadas para Erlang-B

Grupo homogéneo de recursos

Los recursos son idénticos, trabajando en paralelo

Accesibilidad completa

Una llamada es aceptada en el sistema si existe porlo menos un recurso disponible, y cada llamadaocupa un único recurso

Sistema de pérdida

Si un intento de llamada no encuentra un recursolibre, se pierde

No hay “reintentos”

Generalización


81/130



La fórmula es valida para cualquier distribución deduración de llamadas, y solo depende de la duraciónmedia d

De hecho, solo depende del tráfico µ λ == d A

Fuentes finitas


82/130


¿Qué sucede si hay un número “finito” de

fuentes generadoras de tráfico?

A medida que las “fuentes” obtienen un recurso,quedan menos “fuentes” para generar tráfico

Por lo tanto, la probabilidad de transición del estado[i] al [i-1] dependerá del estado [i]

0 1 2 i -1 i i +1

)(i)1( −iπ )2()1(π )0(π )1( +iπ

n

)1( −n

Fuentes finitas


83/130


Interesa en este caso la tasas de arribos por

cada “fuente”

En promedio γ arribos por unidad de tiempo por cada“fuente”

Si hay S fuentes, la tasa total de arribos es

Para el caso de ∞ fuentes aplica

S =

)(lim 0,γ S S →∞→=

Fuentes finitas


84/130


El tráfico por cada “fuente” se puede definir

como

µ =

a



85/130


estados

0 1 2 i -1 i i +1

)( iS −

)1( +− iS )2( −S

)1( −S

S )1( −− iS

)1( +i µ i µ )1( −i2


n

)1( −− nS

µ n



86/130


de estados


....

)1()1()()(

)()()1()1(

)1()1()2()2(

....)3(3)2()2(

)2(2)1()1(

)1()0(

++=−

=−+−

−−=−+−

=−

=−

=

i pii piS

i pii piS

i pii piS

p pS

p pS

p pS

µ γ

µ γ

µ γ

µ γ

µ γ

µ γ == d a



87/130


de estados

....

)0(!

)1)....(2)(1()1(

)1()(

)0()!1(

)2)....(2)(1()2(

1

)2()1(

....

)0(23

)2)(1()2(

3

)2()3(

)0(2

)1()1(

2

)1()2(

)0()1(

1

3

2

pi

aiS S S S i p

i

aiS i p

pi

aiS S S S i p

i

aiS i p

p x

aS S S p

aS p

paS S

paS

p

Sap p

i

i

+−−−=−

+−=

−

+−−−=−

−

+−=−

−−=

−=

−=

−=

=

−

Deducción de las probabilidadesd d


88/130


de estados

)0()(

!)!(

!

)0(

!)!(

!)(

)0(!

)1)....(2)(1()(

paC i p

C iiS

S

p

iiS

aS i p

pi

aiS S S S i p

is

i

s

i

i

i

=

=−

−=

+−−−=

Combinaciones de S tomadas de i

Deducción de las probabilidadesd d


89/130


de estados

Normalización

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

n

i

is

i

n

i

is

i

isi

n

i

aC

p

paC

paC i p

i p

1

1

1

1)0(

1)0(

)0()(

1)(

Congestión


90/130



están ocupados, o sea cuando el sistema estáen el estado [n]

Por tanto, la probabilidad de que exista

congestión es

),,()(

0

S na E

aC

aC n p Engset

in

i

S

i

nS

n ==

∑=Conocida como Fórmula de Engset (publicada en 1918)

Tore Olaus Engset1865-1943

Características del tráfico deé did f t fi it


91/130


pérdida y fuentes finitas


están ocupados

El tráfico cursado Y es

( ) E nS S a

aY

E nS aaY aS Y

E nS aiipaiSpan pnS ai piS aY

i piS ai piS aiipY

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

)(1

)(

)()()()()()()(

)()()1()1()(

0 00

1

011

−−+

=

−−−=

−−−=−−−=

−=−+−==

∑ ∑∑

∑∑∑

= ==

−

===


92/130

Resumen de las Hipótesistili adas para Engset


93/130


utilizadas para Engset

Grupo homogéneo de recursos

Los recursos son idénticos, trabajando en paralelo

Accesibilidad completa

Una llamada es aceptada en el sistema si existe por

lo menos un recurso disponible, y cada llamadaocupa un único recurso

Sistema de pérdida

Si un intento de llamada no encuentra un recursolibre, se pierde

No hay “reintentos”


94/130


Recursos finitos:Modelos de demora


Teletráfico

Consideraciones


95/130


Consideramos un sistema con n recursos

idénticos, trabajando en paralelo “Grupo homogéneo” (homogeneous group )

Una llamada es aceptada en el sistema si existe

por lo menos un recurso disponible, y cadallamada ocupa un único recurso

“Accesibilidad completa” (full accessibility )

Consideraciones


96/130


Si todos los recursos están ocupados el sistema

está “congestionado” y la llamada se pone en“cola de espera”

La “cola de espera” no tiene límites

Pueden existir ∞ llamadas en espera

Cuando una llamada ingresa a la “cola de espera”, semantiene hasta que llega su turno

NO hay “abandonos”

Modelo de demora (Delay Systems )


estados


97/130


Cola de esperaRecursos

estados

0 1 2 i n

λ λ λ λ λ

ni2


n+1

λ

µ nn


de estados


98/130


de estados


)1()(

....

)1()(

)()1(

....)1()1()(

....

)1()0(

++=+

+=

=−

++=

=

jn pn jn p

n pnn p

n pnn p

i pii p

p p

µ λ

µ λ

µ λ

µ λ

λ

µ λ == d A


de estados


99/130


de estados

....

)0(!

)1()(

)0()!1(

)2(1

)1(

....

)0(2

)1(2

)2(

)0()1(

1

2

pi

Ai p

i

Ai p

pi

Ai p

i

Ai p

p A

p A

p

Ap p

ni

i

i

=−=

−=−

−=−

==

=

≤

−

)0(

!

)(

)0(!

)(

)()1()(

p

nn

Ai p

pn

An

Ai p

n pn

Ai p

n

Ai p

ni

ni

i

nni

ni

ni

−

−

−

−

=

=

=−=

>


de estados


100/130


de estados

n A

n

An A

n

A

n

A

i

A p

pnn

A p

i

A

i p

j j

j

j j

jnn

i

i

ni

ni

in

i

i

i

<

−

=

=

+

=+

=

∑

∑∑

∑∑

∑

∞

=

∞

=

−

=

∞

=

−

−

=

∞

=

,

1

1

1!!

)0(

1)0(!

)0(!

1)(

0

0

1

0

1

0

0

n A

Ann

n A

i A

pn

i

ni <

−+

=

∑−

=

,

!!

1)0(

1

0

Probabilidad de que exista

demora


101/130


demora

La probabilidad de que una llamada ingrese a la

cola de espera (es decir, que no pueda seratendida inmediatamente) es la probabilidad deque el sistema se encuentra en cualquiera de

los estados [i] mayores o iguales a [n]

∑

∞

=

=>ni

i pWait p )()0(

Probabilidad de que exista

demora


102/130


demora

)0(!

)0(!

)0(!

)0(

)()0(

0

p An

n

n

A p

n

A

n

A p

nn

AWait p

i pWait p

n

j j

jn

nini

i

ni

−===>

=>

∑∑

∑∞

=

∞

=

−

∞

=

n A An E

An

n

n

A

i

A

An

n

n

A

Wait p C n

i

ni

n

∑

−

=

),,(

!!

!)0(1

0

Conocida como Fórmula de Erlang-C

Probabilidad de que existan

llamadas en espera


103/130


llamadas en espera

La probabilidad de que existan llamadas en

espera es la probabilidad de que el sistema seencuentra en cualquiera de los estados [i]mayores estrictos a [n]

),()()0(1

An E n

Ai p L p

C ni

==>

∑

∞

+=

Número promedio de llamadas

en espera


104/130


en espera

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

),()(

1)(

1)(

)()(

)(!

)0()0(!

)(....)3(3)2(2)1(1

2

11

111

1

An E

An

A

An

A

An

nn p L

n An An p

n An A

n An An p L

n An An

An pn A

n An

An p L

n A

n A

n An Ak

n

Ak n p

n

Ak

n

A p p

nn

A Ak L

k nkpn pn pn p L

C

k

k

k

k

k k

k

k k

k n

k k

k n

k

−

=

−−

=

−=

−∂∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

=

==

+=++++++=

∑∑

∑∑∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

Número promedio de llamadas

en espera cuando hay cola


105/130


en espera cuando hay cola

¿Cuántas llamadas en promedio habrá en espera, si

sabemos que existe cola de espera?

Ann L

An

An p

n A

n An p

k p

k nkp

L

L

nk

k

L

−=

−

−=

+

=

>

∞

+=

∞

=

>

∑

∑

0

2

1

1

0

)(

)1(

)(

)(

)(

Tiempo promedio de espera


106/130


¿Cuánto tiempo en promedio deberá esperar

una llamada hasta ser atendida?Teorema de Little (John Little, 1961):

La cantidad promedio de llamadas en

espera L es igual a la tasa de arribos λ multiplicada por la demora media W

Es válido para cualquier sistema de encolamiento, sinimportar la distribución de arribos ni la distribución dela duración del servicios o llamadas

W L λ = John Dutton Little1928-

Tiempo promedio de espera


107/130


),(

),(1

An E An

d W

d A

An E

An

A LW

C

C

−=

==

−==

λ µ

λ λ λ

Esta es la demora promedio para TODAS lasllamadas

Algunas tuvieron demora, otras fueron atendidas sin

demora

Tiempo promedio de espera para

las llamadas en cola


108/130


Si una llamada es encolada, ¿cuánto tiempo en

promedio deberá esperar para ser atendida?

las llamadas en cola

An

d

Wait p

W W

W −=

>=

> )0(0


109/130


Generalizaciones


Teletráfico

Notación de Kendall


110/130


David George Kendall fue un matemático

especializado en estadística En 1953 Propuso una notación para

describir modelos de encolamiento

generales, según La distribución del proceso de arribos

La distribución de la duración del servicio

El número de “recursos”

David George Kendall1918-2007

Notación de Kendall


111/130


Notación: A/B/n A = Proceso de Arribos

B = Distribución del tiempo de servicio

n = número de recursos

Los valores de A y B pueden ser:M = Proceso “Markoviano” (Poisson, distribución

exponencial)

D = DeterminísticaG = General (Distribución arbitraria)

Otros…

Notación de Kendall - Ejemplo


112/130


M/M/n Sistema de “chance pura” con proceso de arribo de

Poisson, tiempos de servicios con distribuciónexponencial y un número n finito de recursos

M/M/ ∞

Sistema de “chance pura” con proceso de arribo dePoisson, tiempos de servicios con distribuciónexponencial y un número infinito de recursos

Notación de Kendall – Extensión


113/130


A/B/n/K/S/X K = Capacidad total del sistema (K – n = número

de posiciones para la cola de espera)

S = Número de “fuentes” generadoras de tráfico X = Comportamiento de la cola

FIFO,LIFO,…

Tráfico de desborde


114/130


Es el tráfico que no puedo ser cursado por una

red y es derivado a otra red

Usuarios TráficoOfrecidoRed 1 TráficoCursado Usuarios

D e

s b or d e

Red 2

¿Se puede aplicar Erlang-B al tráficosobre la Red 2?

EjemploRed 1, n=16


115/130


Tráfico ofrecido: A = 10 Erlang

Red 1: n=16 recursos E B(n,A)=0.022 = 2.2% de

probabilidad de bloqueo

Tráfico total perdido=10 E x 0.022= 0.22 E =2.2% del tráfico total ofrecido

1 2 8 15 16 9TráficoOfrecido

P er d i d o

A=10E

2.2%

Red 2, n=8

EjemploRed 1, n=8

DesbordeA=3.4E


116/130


Tráfico ofrecido Red 1: A = 10 E Red 1: n=8 recursos

E B(n,A)= 0.34 = 34% probabilidad

de bloqueo Tráfico perdido Red 1=10 x 0.34 =

3.4 E = Trafico ofrecido a Red 2


P er d i d o

A=10E

Red 2, n=8

EjemploRed 1, n=8

DesbordeA=3.4E


117/130


Tráfico ofrecido Red 2: A = 3.4 E

Red 2: n=8 recursos E B(n,A)= 0.0145 = 1.45% de

probabilidad de bloqueo

El tráfico perdido en la red 2 esAlost=3.4 x 0.0145= 0.049 E

= 0.49% del tráfico total ofrecido


P er d i d o

A=10E

0.49%

Pero elvalor reales 2.2%!!

Tráfico de desborde


118/130


El tráfico de desborde no cumple las hipótesis

de Erlang-B Es un tráfico que presenta características de

“ráfagas”, en los momentos en que la Red

anterior está completa. Fue estudiado por Roger I. Wilkinson (en 1956)

y por G. Bretschneider (en el mismo año)


119/130


Ejemplos


Teletráfico

Ejemplo 1


120/130


Una Empresa desea incorporar un sistema de

“correo de voz” en su red, para todos sus usuarios Se sabe que

Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz

Cada comunicación con el correo de voz tiene unaduración media de 2 minutos

Por cada usuario, se espera que el correo de voz atiendaen promedio 1 llamada en la hora pico

Se acepta que de 100 intentos, 1 no consiga conectarse

¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de

voz”?

Ejemplo 1


121/130


Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos

de duración A= λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E

¿Qué modelo aplicamos?

Erlang-B

Engset

Erlang-C

…

Ejemplo 1

A=33.3


122/130


n (

c a n t i d a d

e r e c u r s o s )

p-probabilidad de bloqueo

N=45

utilizandoErlang B

N=44

utilizandoEngset

Ejemplo 1


123/130


Utilizando las tablas de Erlang-B

Engset vs Erlang-B

A=33.3


124/130


n (

c a n t i d a

d e r e c u r s o s )


Ejemplo 2


125/130


Una Empresa desea incorporar un sistema de

“correo de voz” en su red, para todos sus usuarios Se sabe que

Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz

Cada comunicación con el correo de voz tiene una

duración media de 2 minutos Por cada usuario, se espera que el correo de voz atienda

en promedio 1 llamada en la hora pico

Se acepta que de 100 intentos, 1 se vea demorada hasta

ser atendida ¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de

voz”?

Ejemplo 2


126/130


Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos

de duración A= λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E

¿Qué modelo aplicamos?

Erlang-B

Engset

Erlang-C

…

A=33.3

Ejemplo 2


127/130


n (

c a n t i d a

d e r e c u r s o s )

p-probabilidad de que la llamada sea demorada

N=48

utilizandoErlang C

A=33.3implicaN > 34

Ejemplo 2


128/130


Utilizando las tablas de Erlang-C

Ejemplo 2


129/130


¿Cuál será la demora promedio?

Si una llamada es demorada, ¿Cuál será sudemora esperada?

ss

An E An

d W C 08.001.0

33.3348

120),( =

−=

−=

s An

d Wait p

W W W

2.83.3348

120)0(0

=−

=−

=>

=>


130/130


Muchas Gracias!


Dr. Ing. José Joskowicz

[email protected]

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