Tema5a 2016 Inf Talk

8/18/2019 Tema5a 2016 Inf Talk

1/50

Variable AleatoriaEsperanza matemática. Momentos

Variables aleatorias bidimensionales

Variables Aleatorias. Distribuciones de Probabilidad

Variables Aleatorias. Distribuciones de Probabilidad

Departamento Matemática Aplicada

Universidad de Málaga

Curso 2015-2016

Departamento Matemática Aplicada Variables Aleatorias. Distribuciones. Pág. 1

http://find/


2/50


3/50



Variable aleatoria unidimensionalVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua

Definición

Sea (E , A, P ) un espacio probabiĺıstico, es decir un espaciomuestral E, una álgebra o σ-álgebra A y una probabilidad P .Definición

Decimos que X es una variable aleatoria sobre E, a unaaplicaci´ on de E → R que verifique la propiedad:

Para todo x ∈ R, el conjunto {w ∈ E /X (w ) ≤ x } ∈ A

DefiniciónLlamamos soporte de la variable aleatoria X (S X ), al conjunto de valores reales que puede tomar.


http://find/http://goback/


4/50




Ejemplo

Ejemplo

Dado el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y unamoneda y la variable aleatoria ξ : ’valor obtenido en el dado, que se duplica si resulta cara al lanzar la moneda’.

Determinar su espacio muestral.

Hallar el aplicado de cada uno de los elementos de E.

Determinar el soporte de X.

a) E={

’1C’, ’2C’, ’3C’, ’4C’, ’5C’, ’6C’, ’1F’, ’2F’, ’3F’, ’4F’, ’5F’, ’6F’}

b) X(’1C’)=2, X(’2C’)=4, X(’3C’)=6, X(’4C’)=8, X(’5C’)=10,X(’6C’)=12, X(’1F’)=1, X(’2F’)=2, X(’3F’)=3, X(’4F’)=4,X(’5F’)=5, X(’6F’)=6.

c) El soporte S X =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12

}Departamento Matemática Aplicada Variables Aleatorias. Distribuciones. Pág. 4

http://find/


5/50




Ejemplo

EjemploDeterminar el soporte para:

La variable aleatoria ’N´ umero de llamadas recibidas’.

Obtener un n´ umero aleatorio x en [0,1). (x=rand(1,1))

Multiplicar 6 por x y sumarle 1. (y=6*x+1)

Quedarte con la parte entera de y. (z=floor(y))

Ejemplo

Un componente es sustituido cuando se aveŕıa o al cabo de 10 a˜ nos.Determinar el soporte de la v.a. ’Duraci´ on del componente’.

Si disponemos de 5 componentes iguales y cada uno sustituye al anterior. Lo mismo para la v.a. ’Duraci´ on de los 5 componentes’.

Repetir los anteriores apartados si solo se s u sti tu y e po r ave r ́ıa.Departamento Matemática Aplicada Variables Aleatorias. Distribuciones. Pág. 5

V bl Al V bl l d l



6/50




Función de distribución

Definición

Dado un espacio probabiĺıstico (E,A, P ) y una variable aleatoria X.Definimos la función de distribución de la variable aleatoria Xcomo una funci´ on que verifica:

1 F : R → [0, 1]2 F(x) = P(ω ∈ A/X(ω) ≤ x)

Propiedad

La función de distribución asociada a una variable aleatoriaes única y caracteriza a la misma.

Esto es, si conocemos la función de distribución podemos calcular laprobabilidad de que la variable aleatoria tome un valor.


http://find/


7/50

V i ble Ale t i V i ble le t i idi e si l


8/50




Ejemplo

Ejemplo

La funci´ on de distribuci´ on F (x ) de una v.a. discreta ξ viene dada por:x (−∞, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12) [12,∞)

F (x ) 0 112

312

412

612

712

912

1012

1112

1

Hallar:1) P (ξ ≤ 3.5), 2) P( ξ ≤ 7), 3) P( ξ > 2), 4) P( ξ ≥ 2), 5) P( 3 < ξ ≤ 8).

1) P (ξ ≤ 3.5)=F(3.5)= 412 = 13 .2) P(ξ ≤ 7)=F(7)= 912 = 34 .3) P(ξ > 2)=1-F(2)= 34 .

4) P(ξ ≥ 2) = P (ξ = 2) + P (ξ > 2) = (F (2) − ĺımh→0 F (2 − h)) + 34 == ( 312 − 112 ) + 34 = 11125) P(3 < ξ ≤ 8)=F(8)-F(3)= 1012 − 412 =0.5.NOTA: La variable ξ es la de un ejemplo anterior con lanzamiento demoneda y dado.


Variable Aleatoria Variable aleatoria unidimensional

http://find/


9/50




Tipos de variables aleatorias

Dependiendo de como sea el conjunto soporte podemos distinguirvarios tipos de variables aleatorias.

Tipos devariables

aleatorias.

Discretas

Soporte finitoSoporte numerable

Continuas

Mixtas

Finita: Lanzamiento de un dado. Puntos obtenidos por un equipo defútbol en una jornada (S P = {0, 1, 3}).Numerable: D́ıas transcurridos hasta realizar un cambio de tarifa demóvil. Número de aveŕıas recibidas por un servicio técnico.

Continua: Alcance de una antena. Distancia recorrida por un veh́ıculo en1 hora. Consumo en litros de combustible en 100Km.Mixta: a) Distancia alcanzada por un lanzador, si no lo realiza secodifica como -1.

b) Premio obtenido. Se realiza un sorteo entre 10 concursantes, si es

seleccionado puede obtener un premio entre 5 y 20.Departamento Matemática Aplicada Variables Aleatorias. Distribuciones. Pág. 9


http://find/


10/50




Variable aleatoria discreta

DefiniciónSea (E , A, P ) un espacio probabiĺıstico asociado a un experimento aleatorio y sea X una variable aleatoria. Diremos que se trata de una variable aleatoria discreta si su soporte es es un conjunto discreto. Es decir, la variable X toma solo un conjunto finito o

infinito numerable de valores en R.

Para este tipo de variable, la forma más simple de definirlas es darla probabilidad p i de que tome cada uno de los posible valores x i de su soporte.

Definición

Definimos la función de probabilidad de una variable aleatoriadiscreta, mediante:

p (x i ) = P (ω

∈ A/X (ω) = x i ) = P (X = x i )


http://find/


11/50



12/50




Ejemplo para v.a. numerable

Ejemplo

Sea la variable aleatoria ’Lanzar un dado hasta la primera aparici´ onde un 5’. Hallar la funci´ on de probabilidad.

P(X=1)=P(sacar 5 a la 1a)=1/6.P(X=2)=P(fallar la primera y sacar 5 a la 2a)=(5/6)(1/6).P(X=3)=P(fallar 2 veces y sacar 5 a la 3a)=(5/6)(5/6)(1/6)==(5/6)2(1/6),

. . .P(X = k) = (5/6)k−1(1/6), para k = 1, 2, . . .que es la función de probabilidad.



http://find/


13/50

Esperanza matemática. MomentosVariables aleatorias bidimensionales

Variable aleatoria discretaVariable aleatoria continua

Propiedades

La función de probabilidad caracteriza a la variablealeatoria discreta.

Si P es una función de R en [0, 1] que verifica:

i P (X = x i ) = 1, entonces existe una v.a. que la tiene comofunción de probabilidad.

Ejemplo

¿Determina la funci´ on: P (X = k ) = (2/3)k (1/3) con

k = 0, 1, 2, . . ., una funci´ on de probabilidad? Para todo k , 0 ≤ P (X = k ) ≤ 1. Veamos si

∞k =0 P (X = k ) = 1.

k P (X = k ) = P (X = 0) + P (X = 1) + . . . = (2/3)0(1/3) + (2/3)1(1/3)+

+(2/3)2(1/3) + (2/3)3(1/3) + . . . = 1/3 + (2/3)(1/3) + (2/3)2(1/3) + ... =

= 1/31−2/3

= 1 luego define una función de probabilidad.



http://find/


14/50



Representación gráfica. Ejemplo.

Tanto la función de probabilidad, como la de distribución de unavariable aleatoria pueden ser representadas gráficamente.

Ejemplo

Sea ξ la variable aleatoria ’N´ umero de caras’ al lanzar 4 monedas.Hallar:

Funci´ on de probabilidad.

Funci´ on de distribuci´ on.

Representar ambas gráficamente.P(0) =P (FFFF ) = 1/16, P(1) =P (CFFF ∪ FCFF ∪ FFCF ∪ FFFC ) = 4/16,P(2) =P (CCFF ∪ CFCF ∪ CFFC ∪ FCCF ∪ FCFC ∪ FFCC ) = 6/16,. . . P(3) = 4/16, P(4) = 1/16.



http://find/


15/50



Ejemplo-cont

La función de probabilidad expresada como tabla y la La función

de distribución F (x ) = P (ξ ≤ x ) quedan:x i p i 0 1

161 4

162 6

16

3 4164 1

16

P (X ) =

0 116

1 416

2 616

3 416

4 116Otro 0

x F (x )(−∞, 0) 0

[0, 1) 116

[1, 2) 516

[2, 3) 11

16[3, 4) 1516

[4,∞) 1

F (x ) =

0 x


16/50



Esperanza matemática. Caso discreto

DefiniciónSe llama esperanza matemática de la variable aleatoria discretaX a:

E(X) =

xi∈SX

xiP(X = xi)

En el caso de que el soporte S X sea un conjunto infinito numerable,será necesario que la serie sea absolutamente convergente, esto es

x i ∈S X |x i |P (X = x i )


17/50

Esperanza matematica. MomentosVariables aleatorias bidimensionales


Generalización del concepto

DefiniciónSea g una funci´ on real y X una variable aleatoria llamamos esperanza de g(x) a:

E(g(X)) = xi∈SX

g(xi)P(X = xi)

con la condici´ on de que la serie sea absolutamente convergente:x i ∈S X

|g (x i )|P (X = x i )

Ejemplo

Si X es la v.a. ’N´ umero de caras’ al lanzar 4 monedas. Hallar las esperanzas de: 1) X 2, 2) X 3, 3) sen(πX 2 ):

1) E (X 2) = 02P (0)+12P (1)+22P (2)+32P (3)+42P (4) = 1·416

+ 4·616

+ 9·416

+ 16·116

= 5


Variable AleatoriaEsperanza matemática Momentos

Variable aleatoria unidimensionalVariable aleatoria discreta

http://find/


18/50



Ejemplo-cont

2) E (X 3) = 03P (0) + 13P (1) + 23P (2) + 33P (3) + 43P (4) == 1·416 + 8

·616 + 27

·416 + 64

·116 = 14

3) E (senπX

2

) = sen(0)P (0) + sen(π2 )P (1) + sen(π)P (2)+

+sen( 3π2 )P (3) + sen(2π)P (4) = 416 − 416 = 0

Ejemplo

Sea ξ la variable aleatoria ’N´ umero de lanzamientos’ de un dado hasta laprimera aparici´ on de la cara ’5’. Hallar E (ξ ).

Conocemos que P(k) = (5/6)k−1(1/6) para k=1,2,. . . , luego:E (X ) = 1(1/6) + 2(5/6)(1/6) + 3(5/6)2(1/6) + 4(5/6)3(1/6) + . . . == 1

6[1 + 2(5/6) + 3(5/6)2 + 4(5/6)3 + . . .] = S

6

S = 1 +2(5/6) +3(5/6)2 + 4(5/6)3 + . . .56

S = +1(5/6) +2(5/6)2 + 3(5/6)3 + . . .

S − 56

S = 1 + (5/6) + (5/6)2 + (5/6)3 + . . . ⇒

S

6 =

1

1

−5/6

= 6 ⇒ S = 36 ⇒ E(X) = 6


Variable AleatoriaEsperanza matemática Momentos


http://find/


19/50



Variable aleatoria continua

Definición

Se dice que una variable aleatoria es continua si su soporte es unintervalo real (finito o infinito) o uni´ on de ellos.

Son variables aleatorias continuas: Temperatura, peso, duración de uncomponente, ....

Definimos la probabilidad de un intervalo:

P (a < ξ ≤ b ) = P (ξ −1(a, b ]) = P (ω ∈ A/a < ξ (ω) ≤ b )En las variables aleatorias continuas (v.a.c.) se da la circunstancia de que

la probabilidad de un punto es cero, aunque pueda ocurrir. Por ello:1) P(ξ a) = P(ξ ≥ a) = 1 − F(a)3) P(a < ξ


20/50



Función de densidad

DefiniciónDada una variable aleatoria continua ξ , decimos que la funci´ ony = f (t ) real y no negativa es una función de densidad asociadaa ξ , si verifica: F(x) =

x−∞ f (t)dt, ∀x ∈ R

Propiedades: ∞−∞ f (t)dt = 1 (Consecuencia de F (+∞) = 1)

P(a < ξ


21/50



Interpretación de la función de densidad

La función de densidad además de caracterizar a la variablealeatoria sirve para calcular probabilidades. Aśı, las probabilidades:

P (a


22/50

pVariables aleatorias bidimensionales Variable aleatoria continua

Ejemplo

Ejemplo

Sea ξ la v.a.c. determinada por la funci´ on de densidad:f (x ) = máx{0, a − |2 − x |}.

Determinar el valor de a para que f (t ) sea una funci´ on de densidad.

Hallar la funci´ on de distribuci´ on.

Hallar las probabilidades de los sucesos a)P (ξ ≤ 1.5), b)P (ξ > 2.3),c) P (1.1 ≤ ξ ≤ 1.7) d) P (1.5 ≤ ξ ≤ 2.5)

a) La forma de la función y = f (x ) es triangular con máximo en x=2 y

altura a, y base (2 − a, 2 + a). Para que el área valga 1:S = Bh/2 = (2a)a/2 = a2 = 1 ⇒ a = 1 y resulta la figura.

b) f (x ) = máx{0, 1 − |2 − x |} =

x − 1 x ∈ (1, 2]3 − x x ∈ (2, 3)0 x ∈ (1, 3)




http://find/


23/50

pVariables aleatorias bidimensionales Variable aleatoria continua

Ejemplo-cont

Función de densidad de ξ Función de distribución de ξ

Integramos para hallar la función de distribución: (la constante deintegración se ajusta para que sea continua, aśı F(1)=0, F(2)=0.5,

F(3)=1).

F(x) =

0 x ≤ 1x 2

2 − x + 12 1 < x ≤ 23x − x 22 − 3.5 2 < x


24/50

Variables aleatorias bidimensionales Variable aleatoria continua

Ejemplo-cont2

a)P (ξ ≤ 1.5) = 1.5−∞ f (t )dt = 1.51 (t − 1)dt = {Más fácil} == F (1.5) = 0.125

b)P (ξ > 2.3) = ∞

2.3 f (t )dt = ∞

2.3(3 − t )dt = {Más fácil} == 1 − F (2.3) = 1 − 3(2.3) − 2.322 − 3.5 = 0.245c) P (1.1 ≤ ξ ≤ 1.7) = 1.71.1 f (t )dt = 1.71.1 t − 1dt ={Más fácil} = F (1.7) − F (1.1) = 0.245 − 0.005 = 0.24d) P (1.5

≤ ξ ≤

2.5) = 2.51.5

f (t )dt = 21.5

(t −

1)dt +

+ 2.5

2 (3 − t )dt = {Más fácil} = F (2.5) − F (1.5) == 0.875 − 0.125 = 0.75



V i bl l i bidi i l

Variable aleatoria unidimensionalVariable aleatoria discretaV i bl l i i

http://find/


25/50


Esperanza matemática. Caso Continuo

DefiniciónSe llama esperanza matemática de la v.a.c. X a:

E(X) =

∞−∞

xf (x)dx

Solo quedará definida cuando la integral sea absolutamente convergente,es decir: ∞−∞

|x |f (x )dx


26/50


Generalización del concepto

DefiniciónSea g una funci´ on real y X una variable aleatoria continuallamamos esperanza de g(x) a:

E(g(X)) = ∞

−∞

g(x)f (x)dx

con la condici´ on de que la integral sea absolutamente convergente: ∞−∞ |g (x )|f (x )dx

EjemploHallar E(sen( ξ ))

E [sen(ξ )] =

∞−∞

sen(x )f (x )dx =

21

sen(x )(x −1)dx + 3

2

sen(x )(3−x )dx ≈ 0.836




Esperanza matemáticaMomentosParámetros

http://find/


27/50

Variables aleatorias bidimensionales Parametros

Propiedades de la esperanza matemática

Las siguientes propiedades son válidas para cualquier variable aleatoria:

Es la media de la variable aleatoria: X̄ = E(X).

E(k)=k. (La esperanza matemática de una constante k es k.)

E(aX+b)=aE(X)+b (Transformación af́ın)

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) (Linealidad)

Si son independientes se verifica: E(XY) = E(X)E(Y)

Ejemplo

Sea X la v.a. ’N´ umero de caras’ al lanzar 4 monedas e Y ’Puntos obtenidos’ al lanzar un dado. Hallar E(Y), E(X+Y) y E(3Y-2X+7).

E (Y ) = 1 16 + 216 + . . . + 6

16 =

216 = 3.5

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) = 2 + 3.5 = 5.5,E (3Y

−2X + 7) = 3E (Y )

−2E (X ) + 7 = 3(3.5)

−2(2) + 7 = 13.5







28/50


Ejemplo

Ejemplo

Sea ξ la variable aleatoria continua dada por la funci´ on de

distribuci´ on: F (x ) =

0 x ≤ 0x 4 0 h=inline(’sin(x).*4.*x.̂ 3’),quad(h,0,1)aunque podŕıa haberse calculado mediante integración por partes.





http://find/


29/50


Momentos

DefiniciónLlamamos momento de orden r respecto al punto ’a’ de lavariable aleatoria X, a

Mr(a) = E((X − a)r)

Cuando a=0 se denominan momentos ordinarios de orden r:mr = E(Xr).

Cuando a = X̄ = E (X ) se denominan momentos centrales de orden r: µr = E((X − E(X))r)

Definición

Llamamos Varianza de una variable aleatoria X a su momento central de orden 2:

µ2 = E((X

−E(X))2) = E(X2)

−[E(X)]2 = m2

− X̄2







30/50


Relaciones entre momentos

Definición

A la ráız cuadrada de la varianza la llamamos desviación t́ıpica de la variable aleatoria: σx = +

V(X)

Propiedades de los momentos:m0 = 1, m1 = E (X ) = X̄

m2 = V (x ) + X̄ 2.

µ0 = 1, µ1 = 0,

µ2 = V (x ) = m2 − X̄ 2µ3 = m3 − 3m2X̄ + 2X̄ 3µ4 = m4 − 4m3X̄ + 6m2X̄ 2 − 3X̄ 4





http://find/


31/50

Parámetros

Parámetros de tendencia central: Son la media, moda ymediana.

Media: Es la esperanza de X.

Moda: Valor máximo de la función de probabilidad (discretas)o de la de densidad (continuas).

Mediana: Valor x tal que F (x ) = 0.5Al igual que en descriptiva podemos hablar de cuantiles, cuartiles,.... El cuantil c ∈ (0, 1) es el valor x tal que F (x ) = c .Medidas de dispersión: Podemos hablar de rango, desviación

t́ıpica, varianza.Coeficiente de variación: CV = σx

|X̄|

Medidas de forma: (Coeficientes de Fisher)Sesgo: γ 1 =

µ3σ3

Curtosis: γ 2 = µ4

σ4

−3




DefiniciónVariables aleatorias bidimensionales discretasVariables aleatorias bidimensionales continuas

http://find/


32/50

Variable aleatoria bidimensional

DefiniciónSea (E , A, P ) un espacio de probabilidad y sean X e Y dos variables aleatorias definidas sobre ese espacio. Una variablealeatoria bidimensional será una aplicaci´ on (X , Y ) → R2 que

verifica:

∀(x, y) ∈ R2, el conjunto {ω ∈ A/X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y} ∈ A

Definición

Sea (E , A, P ) un espacio de probabilidad y sea (X,Y) un a variable aleatoria bidimensional. Llamaremos función de distribuciónconjunta de la variable aleatoria (X,Y) a la funci´ onF : R2 → [0, 1], definida por: F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)





http://find/


33/50

Tipos de variables aleatorias bidimensionales

Cada una de las variables X e Y que forman la variablebidimensional podrá ser: discreta, continua o mixta. Sin embargo

vamos a estudiar solamente:Variables aleatorias bidimensionales discretas: Cuandoambas son discretas (soporte finito o infinito numerable).

Variables aleatorias bidimensionales continuas: Si ambasson continuas.





http://find/


34/50

Variables aleatorias bidimensionales discretas

DefiniciónPodemos caracterizar la variable aleatoria bidimensional mediante la Función de probabilidad conjunta, donde

P(X = xi, Y = y j) = pi, j

La función de probabilidad viene usualmente expresada en forma tabular.

X \Y y 1 y 2 · · · y j · · · y L

x 1 p 11 p 12 . . . p 1 j . . . p 1Lx 2 p 21 p 22 . . . p 2 j . . . p 2L

... ... ... . . . ... . . . ...x i p i 1 p i 2 . . . p ij . . . p iL...

......

. . ....

. . ....

x k p k 1 np 2 . . . p kj . . . p kL







35/50

Variables discretas - cont.

Podremos definir todo lo que se ha indicado para tablas de

frecuencias bidimensionales:Variables aleatorias marginales: (X e Y )

Variables aleatorias condicionadas: (X /Y = y j ) e (Y /X = x i )

Conceptos de dependencia, independencia y dependencia funcional.

Momentos bidimensionales respecto a (a,b):

M rs (a, b ) = E [(X − a)r (Y − b )s ] =

i

j

(x i − a)r (y j − b )s p ij

Si (a,b)=(0,0) se llaman momentos ordinarios:

mrs = E (X r Y s )

Si (a, b ) = (X̄ , Ȳ ) se llaman momentos centrales:

µrs = E [(X − X̄ )r (Y − Ȳ )s ]Conceptos de media, varianza, covarianza, . . . .





http://find/


36/50

Ejemplo bidimensional discreta

Ejemplo

Sea la variable aleatoria bidimensional (X , Y ) consistente en lanzar 4 monedas: X = {N´ umero de caras en los dos primeros lanzamientos } e Y = {N´ umero total de caras }. Hallar:

1

La funci´ on de probabilidad conjunta.2 ¿Son independientes?

3 La funci´ on de distribuci´ on.

4 Medias de X e Y, varianzas de X e Y, covarianza.

5 P (X 2 + Y ≤ 3), P (2X + Y > 5)6 Rectas de regresi´ on de Y/X y X/Y.

7 Coeficiente de correlaci´ on lineal.





http://find/


37/50

Ejemplo bidimensional discreta

1) Veamos como se calcula alguno de los términos de la tabla, porejemplo para X=1, Y=2: Los casos que lo producen deben tener 1 caraen las dos primeros lanzamientos y otra cara en los dos últimos. Aśı,{X = 1, Y = 2} = {CFCF , CFFC , FCCF , FCFC } y su probabilidadserá 4/16.

X \Y 0 1 2 3 40 116

216

116 0 0

416

1 0 2164

162

16 0 8

162 0 0 116

216

116

416

1

16

4

16

6

16

4

16

1

16 12) Tendŕıa que verificarse que p ij fuese el producto de las marginales paratodo i,j, y falla el primero: P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0)P (Y = 0),luego no son independientes existiendo dependencia estad́ıstica.





http://find/


38/50

Ejemplo bidimensional discreta-2

3) La función de distribución expresada como tabla resulta:

X \Y (−∞, 0) [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, ∞)(−∞, 0) 0 0 0 0 0 0

[0, 1) 0 1

163

164

164

164

16[1, 2) 0 116

516

1016

1216

1216

[2, ∞) 0 116 516 1116 1516 1

Para calcular el valor de una casilla, por ejemplo x ∈ [1, 2), y ∈ [2, 3)miramos en la tabla de la función de probabilidad y sumamos todas lasprobabilidades de las casillas con X ≤ 1 e Y ≤ 2, es decir:P(0,0)+P(0,1)+P(0,2)+P(1,1)+P(1,2)=10/16.


Variable AleatoriaEsperanza matemática. MomentosVariables aleatorias bidimensionales


http://find/


39/50


4) Para las medias y varianzas podemos usar las marginales (función deprobabilidad)Media de X: E (X ) = 0 416 + 1

816 + 2

416 = 1

Media de Y: E (Y ) = 0 116 + 1 416 + 2

616 + 3

416 + 4

116 = 2

Varianza de X: m2,0 = E (X 2

) = 02 4

16 + 12 8

16 + 22 4

16 = 24

16 ⇒V (X ) = 2416 − 12 = 0.5Varianza de Y:m0,2 = E (Y

2) = 02 116 + 12 4

16 + 22 6

16 + 32 4

16 + 42 1

16 = 8016 ⇒

V (X ) = 8016 − 22 = 1Covarianza:m1,1 = E (XY ) = 0 ·0 · 116 + 0 ·1 · 216 + 0 ·2 · 116 + 1 ·1 · 216 + 1 ·2 · 416 + 1 ·3 · 216 ++2 · 2 · 116 + 2 · 3 · 216 + 2 · 4 · 116 = 4016 ⇒ Cov(X, Y) = 4016 − 1 · 2 = 0.5




http://find/


40/50


5) P(X2

+ Y ≤ 3) : Las casillas de la tabla de la función de probabilidadque verifican la condición, (con p ij > 0), son: (0,0),(0,1),(0,2), (1,1) y(1,2). P ({(0, 0) ∪ (0, 1) ∪ (0, 2) ∪ (1, 1) ∪ (1, 2)}) = 1016P(2X + Y > 5) : Las casillas de la tabla de la función de probabilidadque verifican la condición, (con p ij > 0), son: (2,2),(2,3) y (2,4).

P ({(2, 2) ∪ (2, 3) ∪ (2, 4)}) = 416 = 0.256) Podemos usar la fórmula: Y − Ȳ = b (X − X̄ ), donde sabemos que:X̄ = 1, Ȳ = 2. b = Cov

V (x ) = 0.50.5 = 1 ⇒ mY /X = 1 b = Cov V (y ) = 0.51 = 0.5

⇒ mX /Y = 2 y las rectas son:

Y /X : Y − 2 = 1(X − 1) ⇒ Y = X + 1X /Y : Y − 2 = 2(X − 1) ⇒ X = 0.5Y

7) ρ =√

bb =√

1 · 0.5 ≈ 0.7071






41/50

Variables bidimensionales continuas

Definición

Llamamos función de densidad bidimensional de la variable aleatoria (X , Y ) a una funci´ on f : R2 → R, tal que sea:

Integrable y no negativa.

F (x , y ) =

x

−∞

y

−∞f (x , y )dydx

∂ 2F (x ,y )∂ x ∂ y = f (x , y ) en todos los puntos en donde esté definida

esa derivada segunda.

Dada la función de densidad de la variable aleatoria, laprobabilidad de (a ≤ X ≤ b ) ∩ (c ≤ Y ≤ d ) queda definida por:

P ({(a ≤ X ≤ b ) ∩ (c ≤ Y ≤ d )}) = d

c

b a

f (x , y )dxdy






42/50

Variables continuas-cont

Variables aleatorias marginales: (X e Y)

F 1(x ) =

x −∞ ∞−∞ f (x , y )dydx , F 2(y ) =

∞−∞

y −∞ f (x , y )dxdy

Variables aleatorias condicionadas: (X /Y ≤ b ) e (Y /X ≤ a)F X /Y ≤b (x ) =

P (X ≤x ,Y ≤b )P (Y ≤b )

=

x −∞

b −∞

f (x ,y )dydx ∞

−∞

b −∞

f (x ,y )dydx = F (x ,b )

F (∞,b ) = F (x ,b )

F 2(b )

F Y /X ≤a(y ) = P (X ≤a,Y ≤y )

P (X ≤a) =

y −∞

a−∞

f (x ,y )dxdy

∞

−∞

a

−∞

f (

x ,

y )

dxdy = F (a,y )

F (a,∞) = F (a,y )

F 1

(a)

Variables aleatorias condicionadas: (X /Y = b ) e (Y /X = a)Ahora los sucesos Y = b y X = a tienen probabilidad 0 (no está definida la

condicionada). Tomamos un intervalo de amplitud y ĺımites cuando → 0:

F X /Y =b (x ) = ĺım→0P (X ≤x ,b ≤Y ≤b +)

P (b ≤Y ≤b +) = ĺım→0

x −∞

b +

b f (x ,y )dydx

∞

−∞

b +

b f (x ,y )dydx

=

=

x −∞

f (x ,b )dx ∞

−∞f (x ,b )dx

F Y /X ≤a(y ) = ĺım→0P (a≤X ≤a+,Y ≤y )

P (a≤X ≤a+) = ĺım→0

y −∞

a+

a f (x ,y )dxdy

∞

−∞

a+

a f (x ,y )dxdy

=

y

−∞f (a,y )dy

∞

−∞f (a,y )dxdy






43/50

Variables continuas-cont2

Conceptos de dependencia, independencia y dependenciafuncional.

Momentos bidimensionales respecto a (a,b):

M rs (a, b ) = E [(X −a)r (Y −b )s ] = ∞

−∞

∞−∞

(x −a)r (y −b )s f (x , y )dxdy

Si (a,b)=(0,0) se llaman momentos ordinarios:

mrs = E (X r Y s )

Si (a, b ) = (¯X ,

¯Y ) se llaman momentos centrales:

µrs = E [(X − X̄ )r (Y − Ȳ )s ]Conceptos de media, varianza, covarianza, . . .




http://find/


44/50

Ejemplo variable bidimensional continua

EjemploSea la variable aleatoria (X,Y) con funci´ on de densidad:

f (x , y ) =

c (x 2 + y ) 0 ≤ y ≤ 1 − x 2

0 en el resto

1 Dibuje la regi´ on de R2 que representa el soporte de la variable aleatoria.

2 Determine el valor de c.3 Hallar P (X ≥ 0).4 Hallar la probabilidad de que la variable aleatoria tome valor en el

cuadrado de lado 1 y centro el origen de coordenadas.5 Determinar la distribuci´ on marginal de X.6 ¿Son X e Y variables independientes? 7 Calcular la recta de regresi´ on de Y/X y determinar la bondad del

ajuste.




Ej l bidi i l i

http://find/


45/50

Ejemplo bidimensional continua

1) El soporte será la región donde f (x , y ) > 0 y está representadoen la figura:




Ej l bidi i l i 2

http://find/


46/50

Ejemplo bidimensional continua-2

2) Las funciones de densidad deben verificar: ∞−∞

∞−∞ f (x , y )dxdy = 1 que aqúı queda: 1

−1

1−x 20 c (x

2 + y )dydx = 1

1

−1

c x 2y + y 2

2

1−x 2

0

dx = 1

−1

c x 2(1 − x 2) +

(1 − x 2)2

2 dx =

= c

2

1−1

1 − x 4dx = c 2

x − x

5

5

1−1

= 4c

5 = 1 ⇒ c = 1.25

3) P(X ≥ 0) = 1.25 10 1−x 20 (x 2 + y )dydx == 1.25

10

x 2y +

y 2

2

1−x 20

dx = 1.25

2

10

1 − x 4dx = 12




Ej l bidi i l i 3

http://find/


47/50


4) Será el cuadrado C de extremos (-0.5,-0.5), (0.5,-0.5), (0.5,0.5) y

(-0.5,0.5). Su intersección con el soporte es el rectángulo con y > 0, esdecir: (-0.5,0), (0.5,-0), (0.5,0.5) y (-0.5,0.5).

P (C ) = 1.25

0.5−0.5

0.5−0.5

x 2 + y

dydx = 1.25

0.5−0.5

0.50

x 2y +

y 2

2

0.50

dx =

= 1.252

0.5

−0.5

(x 2 + 0.25)dx = 1.252

x 3

3 + 0.25x

0.5

−0.5

≈ 0.2083

5) Marginal de X: Para −1 ≤ x ≤ 1 se obtiene:

F 1(x ) = 1.25 x −1

1−x 2

0 (x 2

+ y )dydx = 1.25 x −1

x

2

y +

y 2

21−x

2

0 dx =

= 1.25

2

x −1

(1 − x 4)dx = 1.252

x − x

5

5

x −1

= 1

8(5x − x 5 + 4)

Si x

≤ −1, F 1(x ) = 0, y si x

≥ 1, F 1(x ) = 1




Ej l bidi i l ti 4

http://find/


48/50


6) Existen varias formas de verlo, por ejemplo, calculando la marginal dey viendo que la función de densidad conjunta es el producto de lasmarginales. Pero es evidente que no son independientes, pues viendo laforma del soporte las condicionadas de Y /X = 0.99 e Y /X = 0 sondiferentes. En la primera f (0.99, 0.5) = 0 y en la segundaF (0.99, 0.5) > 0.7) Sin embargo vamos a comprobar que verifica E (XY ) = E (X )E (Y ) ypor tanto son incorreladas (Cov=0).

E (X ) = 5

4

1−1

1−x 20

x (x 2 + y )dydx = 5

4

1−1

x (x 2y +

y 2

2 )

1−x 2

0

dx =

= 5

8

1−1

(−x 5 + x )dx = 58

−x

6

6 +

x 2

2

1−1

= 0




Ej l bidi i l ti 5

http://find/


49/50


E (Y ) = 5

4

1−1

1−x 20

y (x 2 + y )dydx = 5

4

1−1

(x 2

y 2

2 +

y 3

3 )

1−x 20

dx =

= 5

24

1

−1

(x 6

−3x 2 + 2)dx =

10

21

E (XY ) = 5

4

1−1

1−x 20

xy (x 2+y )dydx = 5

4

1−1

(x 3

y 2

2 + x

y 3

3 )

1−x 20

dx =

= 5

24

1

−1

(x 7

−3x 3 + 2x )dx = 0

Cov=E(XY)-E(X)E(Y)=0 ⇒ r = 0, b = 0, mY /X = 0 y la recta deregresión de Y/X queda: Y − 1021 = 0(X − 0) y es la recta Y = 1021paralela al eje OX.La recta X/Y será la recta vertical X = 0 pues mY /X =

1r

σy σx

con r = 0.




Ejemplo bidimensional continua 6

http://find/


50/50


La recta X/Y será la recta vertical X = 0 pues mX /Y = 1

r

σy σx

= ∞ conr = 0.

Y −

10

21 =

∞(X

−0)

⇒ X = 0

Es la recta de pendiente ∞ que pasa por (0, 1021 ).Bondad del ajuste: El ajuste es muy malo pues r = 0 (incorreladas),esto quiere decir que mediante la regresión lineal, el conocer una variableno aporta conocimiento sobre la otra. V r = (1

−r 2)V (y ) = V (y )

http://find/

Tema5a 2016 Inf Talk

Documents

Transcript of Tema5a 2016 Inf Talk