Tales z MiletuTales z Miletu, gr. Θαλης (ok. 620 – 540 p.n.e.) byłgreckim filozofem i matematykiem, astronomem,inżynierem, politykiem,podróżnikiem i kupcem,zaliczanym do siedmiu

mędrcówstarożytnej Grecji. Uznawanyjest za twórcę podstaw nauki i filozofii europejskiej.

TalesTales prowadził badania nad udowodnieniem swoich

twierdzeń oraz twierdzeń wcześniej postawionychprzez matematyków egipskich, dając podstawy

nauceprzez zapoczątkowanie systematycznejrozbudowy pojęć i twierdzeń geometrycznych.

Talesowi z MiletuTalesowi z Miletu przypisuje się wiele twierdzeń z geometrii: Średnica dzieli okrąg na połowy. Dwa kąty przy podstawie trójkąta

równoramiennego są równe. Jeśli dwie linie przecinają się, to dwa kąty

przeciwległe są równe. Kąt wpisany na półokręgu jest kątem prostym. Trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego

podstawa i kąty przy podstawie.

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymirównoległymi, to stosunki długości odcinkówwyznaczonych przez te proste na jednymramieniu kąta, są równe stosunkom długościodpowiednich odcinków na drugim ramieniukąta.

'

'

OB

OA

OB

OA

''

'

BA

OA

AB

OA

OB

OA

BB

AA'

'

''

'

CA

OC

AC

OC

Jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi i stosunkidługości odcinków na jednym ramieniu kąta równe są

stosunkomdługości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to

daneproste są równoległe.

Twierdzenie TalesaTwierdzenie Talesa ma liczne zastosowaniapraktyczne i teoretyczne. Przedstawię trzy z nich:

Pomiar wysokości piramidy Pomiar odległości statku od brzegu Podział odcinka w danym stosunku

Według legendy TalesTales wyznaczyłwysokość piramidy w Egipcie napodstawie długości cienia rzucanegoprzez kij, czym wprawił w zdumieniekapłanów. Oto jak tego dokonał:

Na podstawie wniosku z twierdzenia Talesatwierdzenia Talesa zachodzi proporcja |OA|:|OB| = |AA′|:|BB′| skąd |BB′|=|AA′|·|OB|:|OA|. Znając |AA′| – długość kija, mierząc |OA| – długość jego cienia i |OB| – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Nieco inne rozumowanie pozwalaobliczyć odległość statkuznajdującego się na morzu.

Z wniosku z twierdzenia Talesatwierdzenia Talesa mamy: (|A′A|+x):|B′A′| = x:|BA| skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A′|-|BA|).Mierząc długości odcinków występujących w tej równości wyznaczamy x.

Dane są dwa odcinki o długościach a i b.

Dany odcinek AB podzielić w stosunku:

b

a

Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesatwierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, które Grecy utożsamiali z liczbami.

PITAGORAS z SAMOSPITAGORAS z SAMOS (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). Urodził się na wyspieSamos, a zmarł w Metaponcie. Znany jest głównie z słynnego twierdzenia  o trójkącie prostokątnym, powszechnie znanego jako twierdzeniePitagorasa.Ów grecki matematyk, filozof, półlegendarny założyciel słynnej SzkołyPitagorejskiej, był także twórcą kierunku filozoficzno-religijnego zwanegopitagoreizmem. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba,rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do Boga. Około 532 r. p.n.e. PitagorasPitagoras opuścił wyspę Samos wyemigrował do

koloniijońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie właśnie założył związekpitagorejski. Tam też rozwinął żywą działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie, gdzieprzebywał aż do śmierci.

Wersja geometryczna:Wersja geometryczna:Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól

kwadratówzbudowanych na przyprostokątnych jest równa polukwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Wersja algebraiczna:Wersja algebraiczna:Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratówdługości przyprostokątnych jest równa kwadratowidługości przeciwprostokątnej.

2a

2c

2b

222 cba a

b

c

Założenie: Teza: Trójkąt ABC jest prostokątny

Dowód: Długość boku kwadratu ABCD wynosiZatem pole tego kwadratu wynosi Kwadrat ten składa się z kwadratu o boku c oraz czterechprzystających trójkątów prostokątnych. Jego pole możemy więczapisać: 

Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:

Ostatecznie otrzymamy:

Jest to teza naszego twierdzenia.

ba 2ba

abc2

142

222 cba

abcba2

1422

abcbaba 22 222

222 cba

a

a

a

a

b

b

b

b

cc

cc

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków

trójkąta, jest równa kwadratowi długościtrzeciego boku trójkąta, to trójkąt jestprostokątny.

PitagorejczycyPitagorejczycy byli uczniami PitagorasaPitagorasa. Oto ichnajważniejsze osiągnięcia:

Udowodnili twierdzenie Pitagorasatwierdzenie Pitagorasa.

Spośród wszystkich liczb naturalnych, wyróżniali pewne nieskończone ciągi liczb zwane ogólnie liczbami wielokątnymi, a więc trójkątne, czworokątne, pięciokątne.

Zajmowali się także liczbami doskonałymi. Liczba doskonała, to taka liczba, której suma dzielników od niej mniejszych jest równa tej liczbie. Takimi liczbami są np. 6, 28, 496, 8128.

Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma dzielników jednej z nich jest równa drugiej, np. 220 i 284.

Zajmowali się proporcjami, lecz szczególnie dla dalszego rozwoju matematyki miało stwierdzenie istnienia odcinków niewspółmiernych.

Przy tworzeniu prezentacji korzystano ze stron:

http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/tales.htm http://pl.wikipedia.org/wiki/Tales_z_Miletu http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Talesa http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/starozyt/pitag.htm http://www.szkoly.edu.pl/gim.margonin/niezbed/tw_pit.html